การแนะนำแคลคูลัสสำหรับหุ่นจำลอง คณิตศาสตร์ชั้นสูงสำหรับหุ่นจำลอง หรือจะเริ่มจากตรงไหนดี? อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออะไร

หน้าใหม่ 1

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สำหรับหุ่นจำลอง บทที่ 1. ชุด

คอนเซปต์ของเซต

เยอะคือชุดของวัตถุบางอย่าง สามารถตั้งค่าอะไรได้บ้าง? อย่างแรก ไม่จำกัดหรืออนันต์ ตัวอย่างเช่น ชุดของไม้ขีดในกล่องเป็นชุดจำกัด พวกเขาสามารถถ่ายและนับได้ จำนวนเม็ดทรายบนชายหาดนับได้ยากกว่ามาก แต่โดยหลักการแล้วเป็นไปได้ และปริมาณนี้แสดงด้วยจำนวนจำกัด เม็ดทรายมากมายบนชายหาดแน่นอน แต่เซตของจุดบนเส้นตรงเป็นเซตอนันต์ เนื่องจากประการแรก เส้นนั้นไม่มีที่สิ้นสุดและคุณสามารถใส่คะแนนได้มากเท่าที่คุณต้องการ เซตของจุดบนส่วนของเส้นตรงนั้นไม่มีที่สิ้นสุดเช่นกัน เพราะตามทฤษฎีแล้ว จุดหนึ่งจุดอาจเล็กตามอำเภอใจ แน่นอนว่าเราไม่สามารถวาดจุดทางกายภาพได้ ตัวอย่างเช่น มีขนาดเล็กกว่าขนาดของอะตอม แต่จากมุมมองของคณิตศาสตร์ จุดนั้นไม่มีขนาด ขนาดของมันคือศูนย์ จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อคุณหารตัวเลขด้วยศูนย์? ถูกต้อง อินฟินิตี้ และถึงแม้ว่าเซตของจุดบนเส้นตรงและบนเซกเมนต์มีแนวโน้มที่จะอนันต์ แต่ก็ไม่ใช่สิ่งเดียวกัน ชุดไม่ใช่ปริมาณของบางสิ่งที่นั่น แต่เป็นชุดของวัตถุใดๆ และเฉพาะชุดที่มีวัตถุเหมือนกันทุกประการเท่านั้นที่ถือว่าเท่ากัน หากชุดหนึ่งมีวัตถุเดียวกันกับชุดอื่น แต่รวมวัตถุ "ซ้าย" อีกชุดหนึ่ง ชุดจะไม่เท่ากันอีกต่อไป

ขอพิจารณาตัวอย่าง. สมมติว่าเรามีสองชุด อย่างแรกคือการรวบรวมจุดทั้งหมดบนเส้น ที่สองคือเซตของจุดทั้งหมดบนส่วนของเส้นตรง ทำไมพวกเขาถึงไม่เท่ากัน? ประการแรก ส่วนของเส้นตรงและเส้นตรงอาจไม่ตัดกันด้วยซ้ำ ย่อมไม่เท่ากันอย่างแน่นอน เพราะมีจุดที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง หากตัดกัน แสดงว่ามีจุดร่วมเพียงจุดเดียว ที่เหลือทั้งหมดก็แตกต่างกัน เกิดอะไรขึ้นถ้าส่วนอยู่บนเส้นตรง? จากนั้นทุกจุดของเซ็กเมนต์ก็เป็นจุดของเส้นด้วย แต่ไม่ใช่ทุกจุดบนเส้นที่จะเป็นจุดบนส่วนของเส้นตรง ดังนั้นในกรณีนี้ เซตจึงไม่ถือว่าเท่ากัน (เหมือนกัน)

แต่ละชุดถูกกำหนดโดยกฎที่กำหนดว่าองค์ประกอบนั้นเป็นของชุดนี้หรือไม่ กฎเหล่านี้อาจเป็นอะไร? ตัวอย่างเช่น ถ้าเซตมีจำกัด คุณสามารถแจกแจงวัตถุทั้งหมดได้อย่างโง่เขลา คุณสามารถกำหนดช่วง ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็มทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 10 นี่จะเป็นเซตจำกัดด้วย แต่ที่นี่เราไม่ได้แสดงรายการองค์ประกอบของมัน แต่กำหนดกฎขึ้นมา หรือความไม่เท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่น ตัวเลขทั้งหมดมากกว่า 10 นี่จะเป็นเซตอนันต์อยู่แล้ว เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะตั้งชื่อจำนวนที่มากที่สุด - ไม่ว่าเราจะโทรหาหมายเลขใด จะมีตัวเลขนี้บวก 1 เสมอ

ตามกฎแล้ว ชุดต่างๆ จะแสดงด้วยอักษรตัวพิมพ์ใหญ่ของอักษรละติน A, B, C และอื่นๆ หากชุดประกอบด้วยองค์ประกอบเฉพาะและเราต้องการกำหนดให้เป็นรายการองค์ประกอบเหล่านี้ เราสามารถใส่รายการนี้ในวงเล็บปีกกา เช่น A=(a, b, c, d) ถ้า a เป็นองค์ประกอบของเซต A จะเขียนได้ดังนี้: เอ Î อา. ถ้า a ไม่ใช่สมาชิกของเซต A ให้เขียน a Ï A. เซตที่สำคัญชุดหนึ่งคือเซต N ของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด N=(1,2,3,...,) นอกจากนี้ยังมีชุดพิเศษที่เรียกว่าชุดว่างซึ่งไม่มีองค์ประกอบเดียว ชุดว่างจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ Æ .

คำจำกัดความ 1 (นิยามความเท่าเทียมกันของเซต) ชุด แต่และ B จะเท่ากันหากประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกัน นั่นคือ ถ้ามาจาก xн A ติดตาม x н B และในทางกลับกัน จาก x н B ติดตาม x н A

อย่างเป็นทางการ ความเท่าเทียมกันของสองชุดเขียนดังนี้:

(A=B) := " x (( x Î อา ) Û (x Î บี )),

ซึ่งหมายความว่าสำหรับวัตถุใด ๆ x ความสัมพันธ์ xÎ A และ xО B มีค่าเท่ากัน

ที่นี่ " เป็นปริมาณสากล (" xอ่านว่า "สำหรับแต่ละคน x").

คำจำกัดความ 2 (คำจำกัดความของเซตย่อย) เยอะ แต่เป็นสับเซตของเซต ที่ถ้ามี Xที่อยู่ในชุด แต่,เป็นของชุด ที่.อย่างเป็นทางการ นี้สามารถแสดงเป็นนิพจน์:

(อา Ì บี) := " x((x Î อา) Þ (x Î บี))

ถ้าอา Ì B แต่ A ¹ B แล้ว A เป็นสับเซตที่เหมาะสมของเซต ที่.ตัวอย่างเช่น สามารถอ้างถึงเส้นตรงและส่วนได้ หากส่วนใดอยู่บนเส้นตรง เซตของจุดนั้นจะเป็นเซตย่อยของจุดของเส้นนี้ หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง เซตของจำนวนเต็มที่หารด้วย 3 ลงตัวเป็นเซตย่อยของเซตของจำนวนเต็ม

ความคิดเห็นเซตว่างเป็นสับเซตของเซตใดๆ

ปฏิบัติการชุด

การดำเนินการต่อไปนี้เป็นไปได้ในชุด:

สมาคมสาระสำคัญของการดำเนินการนี้คือการรวมสองชุดเป็นชุดเดียวที่มีองค์ประกอบของแต่ละชุดที่รวมกัน อย่างเป็นทางการดูเหมือนว่านี้:

C=AÈ ข:= {x:x Î A หรือ xÎ บี}

ตัวอย่าง. มาแก้ความไม่เท่าเทียมกัน | 2 x+ 3 | > 7.

มันหมายถึงอสมการ 2x+3 >7 สำหรับ 2x+3≥0 จากนั้น x>2

หรือความไม่เท่าเทียมกัน 2x+3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.

เซตของคำตอบของอสมการนี้คือการรวมกันของเซต (-∞,-5) È (2, ∞).

มาเช็คกัน มาคำนวณค่าของนิพจน์กัน | 2 x+ 3 | หลายจุดนอนและไม่นอนในช่วงที่กำหนด:

x	\| 2 x+ 3 \|
-10	17
-6	9
-5	7
-4	5
-2	1
0	3
1	5
2	7
3	9
5	13

อย่างที่คุณเห็น ทุกอย่างได้รับการตัดสินอย่างถูกต้อง (ช่วงเส้นขอบถูกทำเครื่องหมายด้วยสีแดง)

จุดตัด.ทางแยกคือการดำเนินการในการสร้างชุดใหม่ของสององค์ประกอบที่รวมอยู่ในชุดทั้งสองนี้ ลองนึกภาพว่าเรามีจุดสองชุดบนระนาบ ได้แก่ รูป A และรูป B จุดตัดของพวกมันหมายถึงรูป C - นี่คือผลลัพธ์ของการทำงานของจุดตัดของเซต:

อย่างเป็นทางการ การทำงานของจุดตัดของเซตเขียนดังนี้:

C=A Ç B:= (x: x Î A และ x О B )

ตัวอย่าง.มาจัดชุดกันเลย C=A Ç B = {5,6,7}

การลบชุดการลบคือการยกเว้นจากชุดที่ถูกลบขององค์ประกอบเหล่านั้นที่มีอยู่ใน subtrahend และตัวลบ:

อย่างเป็นทางการ การลบชุดเขียนดังนี้:

A\B:={x:x Î A และ xÏ บี}

ตัวอย่าง.ขอให้มีกันเยอะๆนะครับ A=(1,2,3,4,5,6,7), B=(5,6,7,8,9,10)แล้ว C=A\ บี = { 1,2,3,4}

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป. Complement เป็นการดำเนินการแบบ unary (การดำเนินการไม่ใช่แบบสองชุด แต่เป็นชุดเดียว) การดำเนินการนี้เป็นผลมาจากการลบชุดที่กำหนดออกจากชุดสากลทั้งหมด (ชุดที่รวมชุดอื่นๆ ทั้งหมด)

A := (x:x О U และ x П A) = U \ A

กราฟนี้สามารถแสดงเป็น:

ความแตกต่างแบบสมมาตรตรงกันข้ามกับความแตกต่างตามปกติ โดยมีความแตกต่างแบบสมมาตรของเซต มีเพียงองค์ประกอบที่มีอยู่ในชุดใดชุดหนึ่งหรืออีกชุดหนึ่งเท่านั้นที่ยังคงอยู่ หรือพูดง่ายๆ ก็คือ มันถูกสร้างขึ้นจากสองชุด แต่องค์ประกอบที่อยู่ในทั้งสองชุดนั้นไม่รวมอยู่ในชุด:

ทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงได้ดังนี้:

อาดี ข:= (A\B) È ( B\A) = (อา È บี) \ (อา Ç บี)

คุณสมบัติของการดำเนินการในชุด

จากนิยามของยูเนียนและจุดตัดของเซต การดำเนินการของทางแยกและยูเนียนมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

สัญจรไปมา

อา È B=BÈ อา
อาÇ B=BÇ อา

สมาคม

(อา È บี) È C=AÈ ( บี È ค)
(อา Ç บี) Ç C=AÇ ( บี Ç ค)

หมวดหมู่แคลคูลัสประกอบด้วยบทเรียนวิดีโอออนไลน์ฟรีในหัวข้อนี้ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์คือชุดของสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาฟังก์ชันและลักษณะทั่วไปของฟังก์ชันโดยใช้วิธีการของดิฟเฟอเรนเชียลและอินทิกรัลแคลคูลัส ซึ่งรวมถึง: การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ซึ่งรวมถึงทฤษฎีของอินทิกรัล Lebesgue การวิเคราะห์เชิงซ้อน (TFKP) ซึ่งศึกษาหน้าที่ที่กำหนดไว้บนระนาบเชิงซ้อน ทฤษฎีของอนุกรมและปริพันธ์หลายมิติ การวิเคราะห์ที่ไม่ได้มาตรฐาน ซึ่งศึกษาจำนวนน้อยสุดและจำนวนมากอย่างอนันต์ การวิเคราะห์เวกเตอร์และแคลคูลัสของการแปรผัน การเรียนรู้แคลคูลัสจากบทเรียนวิดีโอจะเป็นประโยชน์สำหรับทั้งผู้เริ่มต้นและนักคณิตศาสตร์ที่มีประสบการณ์มากขึ้น คุณสามารถชมวิดีโอบทเรียนจากส่วน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ได้ฟรีทุกเวลาที่สะดวก บทเรียนวิดีโอเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์มีเนื้อหาเพิ่มเติมที่สามารถดาวน์โหลดได้ มีความสุขในการเรียนรู้!

วัสดุทั้งหมด: 12
แสดงวัสดุ: 1-10

อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออะไร

คุณต้องการทราบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันในวิชาคณิตศาสตร์คืออะไร? แน่นอน คุณเคยได้ยินเกี่ยวกับอนุพันธ์นี้มาหลายครั้งแล้ว และแม้กระทั่งอาจใช้อนุพันธ์นี้ที่โรงเรียน โดยไม่เข้าใจความหมายของการกระทำของคุณเลย ในวิดีโอนี้ ฉันจะไม่สอนสูตรให้คุณ แต่ฉันจะอธิบายความหมายของอนุพันธ์บนนิ้ว เพื่อให้แม้แต่กาน้ำชาทรงกลมก็สามารถเข้าใจได้ แต่ก่อนอื่น คุณควรดูวิดีโอก่อนหน้าของฉัน ซึ่งฉันยังพูดถึงฟังก์ชันนี้ในวิธีที่เข้าถึงได้ ในวิดีโอสอนนี้ เราเป็นตัวอย่างชีวิตที่เรียบง่าย ชัดเจน และแสดงให้เห็น ...

บทนำสู่การวิเคราะห์ พลังของเซต

บทเรียนออนไลน์ “รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการวิเคราะห์ พลังของเซต” มีไว้สำหรับคำถามของแนวคิดเช่นพลังของเซต คำถามนี้เกี่ยวกับการกำหนดลักษณะเชิงปริมาณของเซต ถ้าเซตนั้นมีจำกัด เราก็สามารถพูดถึงจำนวนขององค์ประกอบได้ แต่ชุดอนันต์ล่ะ? อันที่จริงในกรณีนี้จะไม่มีแนวคิดมากหรือน้อย เพื่อแก้ปัญหานี้ จึงมีการแนะนำแนวคิดเช่นพลัง พลังเป็นเครื่องมือสำหรับเปรียบเทียบเซตอนันต์เชิงปริมาณ บทเรียนนี้ให้...

ขีด จำกัด ของฟังก์ชันที่จุด - คำจำกัดความตัวอย่าง

บทเรียนออนไลน์นี้พูดถึงแนวคิด เช่น ขีดจำกัดของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง - คำจำกัดความ ตัวอย่าง องค์ประกอบส่วนใหญ่ของการศึกษาฟังก์ชันจะขึ้นอยู่กับแนวคิดพื้นฐานของลิมิตของฟังก์ชัน ในที่นี้ ลิมิตของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่งจะได้รับการพิจารณาโดยใช้ตัวอย่างง่ายๆ หลังจากนั้น คำจำกัดความที่เข้มงวดของขีดจำกัดของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งๆ จะได้รับพร้อมภาพประกอบโดยละเอียดบนกราฟเพื่อให้ดูดซึมวัสดุได้ดีขึ้น บทเรียนนี้ยังดูตัวอย่างอื่นๆ และให้คำจำกัดความที่เข้มงวดของด้านเดียว...

Convergence of power series - ตัวอย่างวิธีการหาพื้นที่ของการบรรจบกัน, การวิจัย

วิดีโอกวดวิชานี้พูดถึงแนวคิดเช่นการบรรจบกันของอนุกรมพลังงาน ตัวอย่างวิธีการหาพื้นที่ของการบรรจบกัน การวิจัย อนุกรมกำลังเป็นกรณีพิเศษของอนุกรมเชิงฟังก์ชันเมื่อสมาชิกเป็นฟังก์ชันกำลังของอาร์กิวเมนต์ x พื้นที่ของการบรรจบกันคือค่าทั้งหมดของตัวแปร x ซึ่งชุดตัวเลขที่สอดคล้องกันมาบรรจบกัน สำหรับการวิจัย คุณสามารถใช้การทดสอบ d'Alembert และใช้เพื่อแสดงว่าอนุกรมกำลังมาบรรจบกันหรือแยกจากกัน และเมื่อ ...

ดั้งเดิมคืออะไร

ในวิดีโอนี้ ผมจะบอกคุณเกี่ยวกับแอนติเดริเวทีฟ ซึ่งเป็นญาติสนิทของอนุพันธ์ ที่จริงแล้ว คุณรู้เกือบทุกอย่างเกี่ยวกับเธอแล้ว ถ้าคุณดูวิดีโอก่อนหน้าของฉัน และเราก็แค่จุดตัว i แอนติเดริเวทีฟคือฟังก์ชัน "พาเรนต์" สำหรับอนุพันธ์ การหาแอนติเดริเวทีฟหมายถึงการตอบคำถาม: ลูกใคร? ถ้ารู้จักลูกสาว เราก็ต้องหาแม่ให้เจอ ก่อนหน้านี้ ตรงกันข้าม เรากำลังมองหาลูกสาวสำหรับแม่คนหนึ่ง ตอนนี้เรากำลังเปลี่ยนจาก...

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

ในวิดีโอนี้ ฉันจะพูดถึงความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ คุณจะได้เรียนรู้ว่าความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์คืออนุพันธ์และความชันของแทนเจนต์เกือบจะเหมือนกัน ฉันพูดว่า "เกือบ" เพราะอนุพันธ์เท่ากับแทนเจนต์ของความชันของแทนเจนต์ เราสามารถสรุปได้ว่าอนุพันธ์และความชันของเส้นสัมผัสสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด หากความชันมีขนาดใหญ่ อนุพันธ์ก็มีขนาดใหญ่เช่นกัน และฟังก์ชัน ณ จุดนี้จะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว ถ้ามุมเอียงน้อย อนุพันธ์ก็จะน้อยด้วย...

ฟังก์ชันในวิชาคณิตศาสตร์คืออะไร

ต้องการทราบว่าฟังก์ชันในวิชาคณิตศาสตร์คืออะไร? ในวิดีโอสอนนี้ เราจะใช้ภาพประกอบกราฟิกและตัวอย่างชีวิตอย่างเรียบง่ายและชัดเจน บอกคุณว่าฟังก์ชันคืออะไร ข้อโต้แย้งของฟังก์ชันคืออะไร (เพิ่ม ลด ผสม) วิธีตั้งค่าฟังก์ชัน (โดยใช้ กราฟ ตาราง สูตร) คุณจะเห็นว่าความสัมพันธ์ที่แสดงให้เห็นว่าปริมาณหนึ่งเกี่ยวข้องกับปริมาณอื่นอย่างไรเรียกว่าฟังก์ชัน ฟังก์ชันใด ๆ คือความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณ...

ขีด จำกัด ของฟังก์ชันที่อินฟินิตี้ - คำจำกัดความตัวอย่าง

บทเรียน "ขีด จำกัด ของฟังก์ชันที่อินฟินิตี้ - คำจำกัดความตัวอย่าง" มีไว้สำหรับคำถามที่ว่าข้อ จำกัด ที่อินฟินิตี้คืออะไร ฟังก์ชันพื้นฐานส่วนใหญ่ถูกกำหนดไว้สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ขนาดใหญ่ตามอำเภอใจ ในกรณีนี้ สิ่งสำคัญคือต้องรู้พฤติกรรมของฟังก์ชันที่ระยะอนันต์ องค์ประกอบหนึ่งของการศึกษาพฤติกรรมดังกล่าวคือการหาขีดจำกัดของฟังก์ชันที่อนันต์ แม้ว่าอนันต์จะไม่ใช่ตัวเลข และไม่มีจุดใดบนเส้นจำนวนที่ตรงกับมัน แต่คำจำกัดความของลิมิตบน ...

ข้อจำกัดทำให้นักเรียนคณิตศาสตร์ทุกคนมีปัญหามากมาย ในการแก้ปัญหาขีดจำกัด บางครั้งคุณต้องใช้กลอุบายมากมาย และเลือกจากวิธีแก้ปัญหาต่างๆ ที่เหมาะกับตัวอย่างโดยเฉพาะ

ในบทความนี้ เราจะไม่ช่วยให้คุณเข้าใจขีดจำกัดความสามารถของคุณหรือเข้าใจขีดจำกัดของการควบคุม แต่เราจะพยายามตอบคำถาม: จะเข้าใจขีดจำกัดในวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูงได้อย่างไร ความเข้าใจมาพร้อมกับประสบการณ์ ดังนั้น ในเวลาเดียวกัน เราจะให้ตัวอย่างโดยละเอียดของการแก้ไขขีดจำกัดพร้อมคำอธิบาย

แนวคิดของขีด จำกัด ในวิชาคณิตศาสตร์

คำถามแรกคือ: อะไรคือขีด จำกัด และขีด จำกัด ของอะไร? เราสามารถพูดถึงขีดจำกัดของลำดับตัวเลขและฟังก์ชันได้ เราสนใจแนวคิดเรื่องลิมิตของฟังก์ชัน เนื่องจากนักเรียนมักพบเจอกับพวกเขามากที่สุด แต่ก่อนอื่น คำจำกัดความทั่วไปที่สุดของขีดจำกัด:

สมมุติว่ามีตัวแปรอยู่บ้าง หากค่านี้ในกระบวนการเปลี่ยนแปลงเข้าใกล้จำนวนหนึ่งอย่างไม่มีกำหนด เอ , แล้ว เอ คือขีดจำกัดของค่านี้

สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง f(x)=y ขีด จำกัด คือจำนวน อา ซึ่งฟังก์ชันมีแนวโน้มเมื่อ X มุ่งไปสู่จุดใดจุดหนึ่ง เอ . Dot เอ เป็นของช่วงเวลาที่กำหนดฟังก์ชัน

ฟังดูยุ่งยาก แต่เขียนได้ง่ายมาก:

ลิม- จากอังกฤษ ขีดจำกัด- ขีด จำกัด

นอกจากนี้ยังมีคำอธิบายทางเรขาคณิตสำหรับคำจำกัดความของขีด จำกัด แต่ที่นี่เราจะไม่เข้าสู่ทฤษฎีเนื่องจากเราสนใจในทางปฏิบัติมากกว่าด้านทฤษฎีของปัญหา เมื่อเราพูดว่า X มีแนวโน้มที่จะมีค่าบางอย่าง ซึ่งหมายความว่าตัวแปรจะไม่รับค่าของตัวเลข แต่เข้าใกล้ค่านั้นอย่างไม่สิ้นสุด

ลองมาดูตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม ความท้าทายคือการหาขีดจำกัด

เพื่อแก้ตัวอย่างนี้ เราแทนค่า x=3 เป็นฟังก์ชัน เราได้รับ:

อย่างไรก็ตาม หากคุณสนใจในการดำเนินการขั้นพื้นฐานเกี่ยวกับเมทริกซ์ โปรดอ่านบทความแยกต่างหากในหัวข้อนี้

ในตัวอย่าง X สามารถโน้มน้าวให้มีค่าใด ๆ อาจเป็นตัวเลขหรืออนันต์ก็ได้ นี่คือตัวอย่างเมื่อ X มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด:

เป็นที่ชัดเจนโดยสัญชาตญาณว่ายิ่งตัวเลขในตัวส่วนมากเท่าไร ฟังก์ชันก็จะยิ่งใช้ค่าน้อยลงเท่านั้น ด้วยการเติบโตอย่างไร้ขีดจำกัด X ความหมาย 1/x จะลดลงและเข้าใกล้ศูนย์

อย่างที่คุณเห็น ในการแก้ลิมิต คุณเพียงแค่ต้องแทนที่ค่าเพื่อพยายามเข้าสู่ฟังก์ชัน X . อย่างไรก็ตาม นี่เป็นกรณีที่ง่ายที่สุด บ่อยครั้งการหาขีดจำกัดนั้นไม่ชัดเจนนัก ภายในขอบเขตมีความไม่แน่นอนของประเภท 0/0 หรือ อินฟินิตี้/อินฟินิตี้ . จะทำอย่างไรในกรณีเช่นนี้? ใช้ลูกเล่น!

ความไม่แน่นอนภายใน

ความไม่แน่นอนของรูปแบบ infinity/infinity

ให้มีขีด จำกัด :

หากเราพยายามแทนค่าอนันต์ในฟังก์ชัน เราจะได้ค่าอนันต์ทั้งในตัวเศษและตัวส่วน โดยทั่วไปแล้ว ควรบอกว่ามีองค์ประกอบทางศิลปะในการแก้ไขความไม่แน่นอนดังกล่าว คุณต้องสังเกตว่าคุณสามารถเปลี่ยนฟังก์ชันในลักษณะที่ความไม่แน่นอนหายไปได้อย่างไร ในกรณีของเรา เราหารทั้งเศษและส่วนด้วย X ในระดับอาวุโส อะไรจะเกิดขึ้น?

จากตัวอย่างที่พิจารณาแล้วข้างต้น เราทราบดีว่าคำที่มี x ในตัวส่วนมักจะเป็นศูนย์ จากนั้นวิธีแก้ไขขีดจำกัดคือ:

เพื่อค้นพบความคลุมเครือประเภท อินฟินิตี้/อินฟินิตี้หารตัวเศษและตัวส่วนด้วย Xในระดับสูงสุด

อนึ่ง! สำหรับผู้อ่านของเราตอนนี้มีส่วนลด 10% สำหรับ งานอะไรก็ได้

ความไม่แน่นอนอีกประเภทหนึ่ง: 0/0

เช่นเคย แทนที่ในฟังก์ชันค่า x=-1 ให้ 0 ในตัวเศษและตัวส่วน มองให้ละเอียดขึ้นอีกนิดแล้วคุณจะสังเกตเห็นว่าเรามีสมการกำลังสองในตัวเศษ ลองหารากและเขียน:

มาลดและรับ:

ดังนั้น หากคุณพบความกำกวมประเภท 0/0 - แยกตัวประกอบตัวเศษและตัวส่วน

เพื่อให้คุณแก้ตัวอย่างได้ง่ายขึ้น ต่อไปนี้คือตารางที่มีข้อจำกัดของฟังก์ชันบางอย่าง:

กฎของโลปิตาลภายใน

อีกวิธีที่มีประสิทธิภาพในการขจัดความไม่แน่นอนทั้งสองประเภท สาระสำคัญของวิธีการคืออะไร?

หากมีความไม่แน่นอนในขีดจำกัด เราจะหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนจนกว่าความไม่แน่นอนจะหายไป

กฎของ L'Hopital มีลักษณะดังนี้:

จุดสำคัญ : ขีดจำกัดซึ่งต้องมีอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแทนที่จะเป็นตัวเศษและตัวส่วน

และตอนนี้เป็นตัวอย่างที่แท้จริง:

มีความไม่แน่นอนทั่วไป 0/0 . หาอนุพันธ์ของตัวเศษและส่วน:

Voila ความไม่แน่นอนถูกกำจัดอย่างรวดเร็วและสวยงาม

เราหวังว่าคุณจะสามารถนำข้อมูลนี้ไปใช้ประโยชน์ในทางปฏิบัติและค้นหาคำตอบสำหรับคำถาม "วิธีแก้ไขข้อ จำกัด ในวิชาคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น" หากคุณต้องการคำนวณขีดจำกัดของลำดับหรือขีดจำกัดของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง และไม่มีเวลาสำหรับงานนี้จากคำว่า "แน่นอน" โปรดติดต่อฝ่ายบริการนักเรียนมืออาชีพเพื่อหาวิธีแก้ไขที่รวดเร็วและละเอียด

สำหรับผู้ที่ต้องการเรียนรู้วิธีหาข้อ จำกัด ในบทความนี้เราจะพูดถึงเรื่องนี้ เราจะไม่เจาะลึกทฤษฎีนี้ โดยปกติแล้วจะมีการบรรยายโดยครูผู้สอน ดังนั้นควรมีการร่าง "ทฤษฎีที่น่าเบื่อ" ไว้ในสมุดบันทึกของคุณ หากไม่เป็นเช่นนั้น คุณสามารถอ่านหนังสือเรียนที่นำมาจากห้องสมุดของสถาบันการศึกษาหรือแหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ตอื่นๆ

ดังนั้น แนวความคิดของลิมิตจึงค่อนข้างสำคัญในการศึกษาหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับอุดมศึกษา โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคุณเจอแคลคูลัสปริพันธ์และเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างลิมิตกับอินทิกรัล ในเนื้อหาปัจจุบัน จะมีการพิจารณาตัวอย่างง่ายๆ ตลอดจนวิธีแก้ไข

ตัวอย่างโซลูชัน

ตัวอย่างที่ 1
คำนวณ a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $
วิธีการแก้
ก) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ เรามักจะได้รับข้อจำกัดเหล่านี้ส่งมาให้เราเพื่อขอความช่วยเหลือในการแก้ไข เราตัดสินใจที่จะเน้นย้ำให้เป็นตัวอย่างที่แยกต่างหากและอธิบายว่าขีดจำกัดเหล่านี้จำเป็นต้องจดจำตามกฎ หากคุณไม่สามารถแก้ปัญหาของคุณได้ ส่งมาให้เรา เราจะให้รายละเอียดการแก้ปัญหา คุณจะสามารถทำความคุ้นเคยกับความคืบหน้าของการคำนวณและรับข้อมูล นี้จะช่วยให้คุณได้รับเครดิตจากครูในเวลาที่เหมาะสม!
ตอบ
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 )(x) = 0 $$

จะทำอย่างไรกับความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

ตัวอย่างที่ 3
แก้ $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $
วิธีการแก้
เช่นเคย เราเริ่มต้นด้วยการแทนที่ค่าของ $ x $ ลงในนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายจำกัด $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ อะไรต่อไป? ผลควรเป็นอย่างไร? เนื่องจากนี่คือความไม่แน่นอน นี่ไม่ใช่คำตอบและเราดำเนินการคำนวณต่อไป เนื่องจากเรามีพหุนามในตัวเศษ เราจึงแยกมันเป็นตัวประกอบโดยใช้สูตรที่คุ้นเคย $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ จำได้ไหม ยอดเยี่ยม! ตอนนี้ไปข้างหน้าและนำไปใช้กับเพลง :) เราได้ตัวเศษ $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ เรายังคงแก้ปัญหาตามการเปลี่ยนแปลงข้างต้น: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$
ตอบ
$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

ลองใช้ขีดจำกัดในสองตัวอย่างสุดท้ายไปที่อนันต์และพิจารณาความไม่แน่นอน: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

ตัวอย่างที่ 5
คำนวณ $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $
วิธีการแก้
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ จะทำอย่างไร? จะเป็นอย่างไร? อย่าตื่นตระหนกเพราะสิ่งที่เป็นไปไม่ได้นั้นเป็นไปได้ จำเป็นต้องถอดวงเล็บทั้งในตัวเศษและตัวส่วน X แล้วลดขนาดลง หลังจากนั้นให้ลองคำนวณวงเงิน การพยายาม... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ โดยใช้คำจำกัดความจากตัวอย่างที่ 2 และแทนค่าอนันต์สำหรับ x เราได้รับ: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
ตอบ
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณขีดจำกัด

ดังนั้น เรามาสรุปตัวอย่างที่วิเคราะห์โดยสังเขปและสร้างอัลกอริธึมเพื่อแก้ไขขีดจำกัดกัน:

แทนจุด x ในนิพจน์หลังเครื่องหมายจำกัด หากได้รับจำนวนหนึ่งหรืออนันต์การ จำกัด จะได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ มิฉะนั้น เรามีความไม่แน่นอน: "ศูนย์หารด้วยศูนย์" หรือ "อนันต์หารด้วยอนันต์" และดำเนินการต่อไปในย่อหน้าถัดไปของคำสั่ง
เพื่อขจัดความไม่แน่นอน "ศูนย์หารด้วยศูนย์" คุณต้องแยกตัวประกอบตัวเศษและตัวส่วน ลดเหมือนกัน. แทนที่จุด x ในนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายจำกัด
หากความไม่แน่นอนคือ "อนันต์หารด้วยอนันต์" เราจะเอาทั้งตัวเศษและตัวส่วน x ของดีกรีสูงสุด เราย่อ x เราแทนที่ค่า x จากภายใต้ขีด จำกัด เป็นนิพจน์ที่เหลือ

ในบทความนี้ คุณจะได้ทำความคุ้นเคยกับพื้นฐานของการแก้ปัญหาขีดจำกัด ซึ่งมักใช้ในหลักสูตรแคลคูลัส แน่นอนว่าปัญหาเหล่านี้ไม่ใช่ปัญหาทุกประเภทที่ผู้ตรวจสอบเสนอ แต่เป็นเพียงข้อจำกัดที่ง่ายที่สุดเท่านั้น เราจะพูดถึงงานประเภทอื่นในบทความต่อๆ ไป แต่ก่อนอื่น คุณต้องเรียนรู้บทเรียนนี้ก่อนเพื่อที่จะไปต่อ เราจะหารือกันว่าจะทำอย่างไรถ้ามีราก ดีกรี เราจะศึกษาฟังก์ชันเทียบเท่าน้อย ลิมิตที่ยอดเยี่ยม กฎของโฮปิตาล

หากคุณไม่สามารถหาขีดจำกัดได้ด้วยตัวเอง ก็อย่าตื่นตระหนก เรายินดีให้ความช่วยเหลือเสมอ!

หนังสือทุกเล่มสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีและไม่ต้องลงทะเบียน

ทฤษฎี.

ใหม่. นาธานซอน S.M. หลักสูตรระยะสั้นในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ 2004 98 หน้า djvu. 1.2 MB.
เอกสารนี้เป็นบทสรุปของหลักสูตรการบรรยายที่จัดทำโดยผู้เขียนสำหรับนักศึกษาชั้นปีที่ 1 ของมหาวิทยาลัยอิสระมอสโกในปี 2540-2541 และ 2545-2546

ดาวน์โหลด

ใหม่. อีบี โบโรนิน. การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ บันทึกบรรยาย. 2550 160 หน้า. pdf 2.1 เมกะไบต์
หนังสือเล่มนี้เขียนขึ้นสำหรับนักศึกษาวิศวกรรมศาสตร์ที่ต้องการเรียนเพื่อสอบวิชาแคลคูลัส เนื้อหาของหนังสือเล่มนี้สอดคล้องกับโปรแกรมสำหรับหลักสูตร "การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์" อย่างครบถ้วน ซึ่งเป็นข้อสอบที่จัดไว้ให้ในสถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาส่วนใหญ่ในรัสเซีย โปรแกรมช่วยให้ค้นหาคำตอบที่จำเป็นสำหรับคำถามได้อย่างรวดเร็วและโดยไม่มีปัญหา
ผู้เขียนรวบรวมคำถามตามประสบการณ์ส่วนตัวโดยคำนึงถึงข้อกำหนดของครู