เป็นไปไม่ได้อย่างยิ่งที่จะแก้ปัญหาทางกายภาพหรือตัวอย่างในวิชาคณิตศาสตร์โดยปราศจากความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์และวิธีการคำนวณ อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความของวันนี้ให้กับหัวข้อพื้นฐานนี้ อนุพันธ์คืออะไร, ความหมายทางกายภาพและเรขาคณิตของมันคืออะไร, วิธีการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน? คำถามเหล่านี้สามารถรวมเป็นหนึ่งเดียว: จะเข้าใจอนุพันธ์ได้อย่างไร
ความหมายทางเรขาคณิตและทางกายภาพของอนุพันธ์
ให้มีฟังก์ชั่น เอฟ(x) กำหนดไว้เป็นช่วงๆ (ก,ข) . คะแนน x และ x0 เป็นของช่วงเวลานี้ เมื่อ x เปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเอง การเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์ - ความแตกต่างของค่าของมัน x-x0 . ความแตกต่างนี้เขียนเป็น เดลต้า x และเรียกว่าอาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้น การเปลี่ยนแปลงหรือการเพิ่มของฟังก์ชันคือความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุดสองจุด คำนิยามอนุพันธ์:
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อส่วนหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์
อย่างอื่นเขียนได้ดังนี้
อะไรคือประเด็นในการหาขีด จำกัด ดังกล่าว? แต่อันไหน:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งเท่ากับแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน OX และแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด
ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์: อนุพันธ์เวลาของเส้นทางเท่ากับความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง
อันที่จริงตั้งแต่สมัยเรียน ทุกคนรู้ดีว่าความเร็วเป็นเส้นทางส่วนตัว x=f(t) และเวลา t . ความเร็วเฉลี่ยในช่วงระยะเวลาหนึ่ง:
เพื่อหาความเร็วของการเคลื่อนที่ในแต่ละครั้ง t0 คุณต้องคำนวณขีด จำกัด :
กฎข้อที่หนึ่ง: นำค่าคงที่ออก
ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ ยิ่งกว่านั้นก็ต้องทำ เมื่อแก้ตัวอย่างในวิชาคณิตศาสตร์ให้ใช้เป็นกฎ - หากคุณลดรูปนิพจน์ได้ ให้แน่ใจว่าได้ลดความซับซ้อน .
ตัวอย่าง. มาคำนวณอนุพันธ์กัน:
กฎข้อที่สอง: อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันทั้งสองมีค่าเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของผลต่างของฟังก์ชันก็เช่นเดียวกัน
เราจะไม่ให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่ให้พิจารณาตัวอย่างที่ใช้งานได้จริง
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
กฎข้อที่สาม: อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์สองตัวคำนวณโดยสูตร:
ตัวอย่าง: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
วิธีการแก้: 
นี่เป็นสิ่งสำคัญที่จะพูดเกี่ยวกับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน อนุพันธ์ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เทียบกับอาร์กิวเมนต์ระดับกลางโดยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลางเทียบกับตัวแปรอิสระ
ในตัวอย่างข้างต้น เราพบนิพจน์:
ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์ระดับกลางคือ 8x ยกกำลังห้า ในการคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์นั้น ก่อนอื่นให้พิจารณาอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นภายนอกโดยอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลางเทียบกับตัวแปรอิสระ
กฎข้อที่สี่: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน
สูตรสำหรับหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน:
เราพยายามพูดคุยเกี่ยวกับอนุพันธ์สำหรับหุ่นจำลองตั้งแต่ต้น หัวข้อนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิด ดังนั้นโปรดระวัง: มักจะมีข้อผิดพลาดในตัวอย่าง ดังนั้นควรระมัดระวังในการคำนวณอนุพันธ์
หากมีคำถามเกี่ยวกับเรื่องนี้และหัวข้ออื่น ๆ คุณสามารถติดต่อฝ่ายบริการนักเรียนได้ ในเวลาอันสั้น เราจะช่วยคุณแก้ปัญหาการควบคุมที่ยากที่สุดและจัดการกับงานต่างๆ แม้ว่าคุณจะไม่เคยจัดการกับการคำนวณอนุพันธ์มาก่อนก็ตาม
ในบทนี้ เราจะเรียนรู้วิธีใช้สูตรและกฎการสร้างความแตกต่าง
ตัวอย่าง. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9 การใช้กฎ ฉัน, สูตร 4, 2 และ 1. เราได้รับ:
y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1
2. y=3x6 -2x+5. เราแก้เหมือนกันโดยใช้สูตรและสูตรเดียวกัน 3.
y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
การใช้กฎ ฉัน, สูตร 3, 5
และ 6
และ 1.
การใช้กฎ IV, สูตร 5
และ 1
.
ในตัวอย่างที่ห้า ตามกฎ ฉันอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ และเราเพิ่งพบอนุพันธ์ของเทอมที่ 1 (ตัวอย่าง 4 ) ดังนั้น เราจะหาอนุพันธ์ ครั้งที่ 2และ ครั้งที่ 3เงื่อนไขและ สำหรับ 1stเราสามารถเขียนผลได้ทันที
สร้างความแตกต่าง ครั้งที่ 2และ ครั้งที่ 3เงื่อนไขตามสูตร 4
. ในการทำเช่นนี้ เราแปลงรากของดีกรีที่สามและสี่ในตัวส่วนเป็นยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังลบ จากนั้นตาม 4
สูตรเราหาอนุพันธ์ของกำลัง
ดูตัวอย่างนี้และผลลัพธ์ คุณจับรูปแบบหรือไม่? ดี. ซึ่งหมายความว่าเรามีสูตรใหม่และสามารถเพิ่มลงในตารางอนุพันธ์ได้
มาแก้ตัวอย่างที่หกและหาอีกสูตรหนึ่ง
เราใช้กฎ IVและสูตร 4
. เราลดเศษส่วนผลลัพธ์
เราดูที่ฟังก์ชันนี้และอนุพันธ์ของมัน แน่นอนคุณเข้าใจรูปแบบและพร้อมที่จะตั้งชื่อสูตร:
เรียนรู้สูตรใหม่!
ตัวอย่าง.
1. ค้นหาการเพิ่มอาร์กิวเมนต์และเพิ่มฟังก์ชัน y= x2ถ้าค่าเริ่มต้นของอาร์กิวเมนต์คือ 4 และใหม่ 4,01 .
วิธีการแก้.
ค่าอาร์กิวเมนต์ใหม่ x \u003d x 0 + Δx. แทนที่ข้อมูล: 4.01=4+Δx ดังนั้นการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ Δх=4.01-4=0.01. การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันตามคำจำกัดความจะเท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าใหม่และค่าก่อนหน้าของฟังก์ชันเช่น Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0) เนื่องจากเรามีฟังก์ชั่น y=x2, แล้ว Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
ตอบ: อาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้น Δх=0.01; ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น Δу=0,0801.
เป็นไปได้ที่จะค้นหาการเพิ่มฟังก์ชันด้วยวิธีอื่น: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801
2. หามุมเอียงของแทนเจนต์กับกราฟฟังก์ชัน y=f(x)ณ จุดนั้น x 0, ถ้า f "(x 0) \u003d 1.
วิธีการแก้.
มูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุดสัมผัส x 0และเป็นค่าแทนเจนต์ของความชันของแทนเจนต์ (ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์) เรามี: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °เพราะ tg45°=1.
ตอบ: แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันนี้สร้างมุมที่มีทิศทางบวกของแกน Ox เท่ากับ 45 °.
3. หาสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=xn.
ความแตกต่างคือการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
เมื่อค้นหาอนุพันธ์ จะใช้สูตรที่ได้มาจากคำจำกัดความของอนุพันธ์ ในลักษณะเดียวกับที่เราได้รับสูตรสำหรับดีกรีอนุพันธ์: (x n)" = nx n-1.
นี่คือสูตร
ตารางอนุพันธ์มันจะง่ายต่อการจดจำโดยการออกเสียงสูตรด้วยวาจา:
1. อนุพันธ์ ค่าคงที่เท่ากับศูนย์
2. จังหวะ X เท่ากับหนึ่ง
3. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้
4. อนุพันธ์ของดีกรีเท่ากับผลคูณของเลขชี้กำลังของดีกรีนี้โดยดีกรีที่มีฐานเท่ากัน แต่เลขชี้กำลังมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง
5. อนุพันธ์ของรูทเท่ากับหนึ่งหารด้วยสองรูตเดียวกัน
6. อนุพันธ์ของเอกภาพหารด้วย x คือ ลบหนึ่งหารด้วย x กำลังสอง
7. อนุพันธ์ของไซน์เท่ากับโคไซน์
8. อนุพันธ์ของโคไซน์เท่ากับลบไซน์
9. อนุพันธ์ของแทนเจนต์เท่ากับหนึ่งหารด้วยกำลังสองของโคไซน์
10. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์คือลบหนึ่งหารด้วยกำลังสองของไซน์
เราสอน กฎความแตกต่าง.
1.
อนุพันธ์ของผลรวมเชิงพีชคณิตเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของเงื่อนไขอนุพันธ์
2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของปัจจัยที่หนึ่งโดยตัวที่สองบวกผลคูณของปัจจัยที่หนึ่งโดยอนุพันธ์ของตัวที่สอง
3. อนุพันธ์ของ "y" หารด้วย "ve" เท่ากับเศษส่วนในตัวเศษซึ่ง "y เป็นจังหวะคูณด้วย "ve" ลบ "y คูณด้วยจังหวะ" และในตัวหาร - "ve กำลังสอง" ”
4. กรณีพิเศษของสูตร 3.
มาเรียนรู้ไปด้วยกัน!
หน้า 1 ของ 1 1
ความเป็นส่วนตัวของคุณมีความสำคัญต่อเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ
การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล
ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้
คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา
ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว
ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เรารวบรวม:
- เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ ของคุณ
เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:
- ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่นๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
- ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและข้อความที่สำคัญถึงคุณ
- เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เราให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
- หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายคลึงกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้มาเพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว
การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม
เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณไปยังบุคคลที่สาม
ข้อยกเว้น:
- หากจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาลในกระบวนการทางกฎหมายและ / หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เพื่อเปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาแล้วว่าการเปิดเผยดังกล่าวจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือเหตุผลด้านสาธารณประโยชน์อื่นๆ
- ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง
การปกป้องข้อมูลส่วนบุคคล
เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมทั้งการบริหาร ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้ในทางที่ผิด ตลอดจนจากการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต
รักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท
เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราแจ้งหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด
(\large\bf อนุพันธ์ของฟังก์ชัน)
พิจารณาฟังก์ชั่น y=f(x), กำหนดเป็นช่วงๆ (ก,ข). อนุญาต x- ช่วงจุดคงที่ใด ๆ (ก,ข), แ Δx- ตัวเลขตามอำเภอใจเช่นว่าค่า x+Δxยังเป็นของช่วงเวลา (ก,ข). เบอร์นี้ Δxเรียกว่าอาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้น
คำนิยาม. การเพิ่มฟังก์ชัน y=f(x)ณ จุดนั้น xสอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ Δx, มาเรียกเลขกัน
Δy = f(x+Δx) - f(x).
เราเชื่อว่า Δx ≠ 0. พิจารณา ณ จุดที่กำหนด xอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ที่สอดคล้องกัน Δx
ความสัมพันธ์นี้จะเรียกว่าความสัมพันธ์ส่วนต่าง เนื่องจากค่า xเราถือว่าคงที่ ความสัมพันธ์ส่วนต่างเป็นหน้าที่ของอาร์กิวเมนต์ Δx. ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ทั้งหมด Δx, อยู่ในละแวกใกล้เคียงเล็ก ๆ พอสมควรของจุด ∆x=0ยกเว้นประเด็น ∆x=0. ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์พิจารณาคำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของขีด จำกัด ของฟังก์ชันที่ระบุสำหรับ ∆x → 0.
คำนิยาม. ฟังก์ชันอนุพันธ์ y=f(x)ณ จุดที่กำหนด xเรียกว่าลิมิต ∆x → 0ความสัมพันธ์เชิงอนุพันธ์ นั่นคือ
โดยมีเงื่อนไขว่าขีดจำกัดนี้มีอยู่
การกำหนด. y (x)หรือ ฉ'(x).
ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน เอฟ(x)ณ จุดนี้ xเท่ากับแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน วัวและแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันนี้ที่จุดที่สอดคล้องกัน:
f′(x 0) = \tgα.
ความหมายทางกลของอนุพันธ์: อนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลาเท่ากับความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของจุด:
สมการแทนเจนต์เส้น y=f(x)ณ จุดนั้น M0 (x0,y0)ใช้แบบฟอร์ม
ปปป 0 = ฉ (x 0) (x-x 0).
เส้นตั้งฉากของเส้นโค้งที่จุดหนึ่งคือเส้นตั้งฉากกับเส้นสัมผัสที่จุดเดียวกัน ถ้า f′(x 0)≠ 0แล้วสมการของเส้นตั้งฉากกับเส้นตรง y=f(x)ณ จุดนั้น M0 (x0,y0)ถูกเขียนเช่นนี้:
แนวคิดของความแตกต่างของฟังก์ชัน
ให้ฟังก์ชั่น y=f(x)กำหนดไว้เป็นช่วงๆ (ก,ข), x- ค่าคงที่ของอาร์กิวเมนต์จากช่วงเวลานี้ Δx- การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ใด ๆ ที่มูลค่าของอาร์กิวเมนต์ x+Δx ∈ (a, b).
คำนิยาม. การทำงาน y=f(x)เรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียล ณ จุดที่กำหนด xถ้าเพิ่มขึ้น Δyฟังก์ชั่นนี้ ณ จุดนี้ xสอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ Δx, สามารถแสดงเป็น
Δy = A Δx +αΔx,
ที่ไหน อาเป็นจำนวนที่ไม่ขึ้นกับ Δx, แ α - ฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์ Δxซึ่งมีขนาดเล็กอย่างไม่สิ้นสุดที่ ∆x → 0.
เนื่องจากผลคูณของฟังก์ชันเล็ก ๆ สองอย่าง αΔxน้อยมาก คำสั่งสูง, อย่างไร Δx(คุณสมบัติ 3 ของฟังก์ชันเล็ก ๆ น้อย ๆ ) เราสามารถเขียน:
∆y = A ∆x +o(∆x).
ทฤษฎีบท. เพื่อทำหน้าที่ y=f(x)แตกต่าง ณ จุดที่กำหนด xมีความจำเป็นและเพียงพอที่จะมีอนุพันธ์จำกัด ณ จุดนี้ โดยที่ A=f′(x), นั่นคือ
Δy = f′(x) Δx +o(Δx).
การดำเนินการหาอนุพันธ์มักจะเรียกว่าดิฟเฟอเรนติเอชัน
ทฤษฎีบท. ถ้าฟังก์ชัน y=f(x) xแล้วมันต่อเนื่องตรงจุดนั้น
ความคิดเห็น. จากความต่อเนื่องของฟังก์ชัน y=f(x)ณ จุดนี้ xพูดโดยทั่วๆ ไป มันไม่เป็นไปตามที่ฟังก์ชันนั้นสร้างความแตกต่างได้ เอฟ(x)ณ จุดนี้. ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y=|x|- ต่อเนื่องที่จุด x=0แต่ไม่มีอนุพันธ์
แนวคิดของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล
คำนิยาม. ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล y=f(x)เรียกว่าผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้และการเพิ่มขึ้นของตัวแปรอิสระ x:
dy = y′ ∆x, df(x) = f′(x) ∆x.
สำหรับฟังก์ชั่น y=xเราได้รับ dy=dx=x'Δx = 1 Δx= Δx, นั่นคือ dx=Δx- ค่าดิฟเฟอเรนเชียลของตัวแปรอิสระเท่ากับการเพิ่มขึ้นของตัวแปรนี้
ดังนั้น เราสามารถเขียน
dy = y′dx, df(x) = f′(x)dx
ดิฟเฟอเรนเชียล dyและเพิ่มขึ้น Δyฟังก์ชั่น y=f(x)ณ จุดนี้ xทั้งสองสอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เดียวกัน Δxโดยทั่วไปแล้วไม่เท่ากัน
ความหมายทางเรขาคณิตของดิฟเฟอเรนเชียล: ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเท่ากับการเพิ่มของพิกัดแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดเมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น Δx.
กฎการสร้างความแตกต่าง
ทฤษฎีบท. ถ้าแต่ละฟังก์ชัน คุณ(x)และ วี(x)แตกต่าง ณ จุดที่กำหนด xแล้วผลรวม ผลต่าง ผลผลิต และผลหารของฟังก์ชันเหล่านี้ (ผลหารโดยมีเงื่อนไขว่า v(x)≠ 0) ยังสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้ และสูตรต่อไปนี้ถือเป็น:
พิจารณาฟังก์ชันที่ซับซ้อน y=f(φ(x))≡ F(x), ที่ไหน y=f(u), ยู=φ(x). ในกรณีนี้ ยูเรียกว่า อาร์กิวเมนต์ระดับกลาง, x - ตัวแปรอิสระ.
ทฤษฎีบท. ถ้า y=f(u)และ ยู=φ(x)เป็นฟังก์ชันอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ แล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน y=f(φ(x))มีอยู่และเท่ากับผลคูณของฟังก์ชันนี้ตามอาร์กิวเมนต์ระดับกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลางที่สัมพันธ์กับตัวแปรอิสระ กล่าวคือ
ความคิดเห็น. สำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อนที่ทับซ้อนกันของฟังก์ชันสามฟังก์ชัน y=F(f(φ(x)))กฎความแตกต่างมีรูปแบบ
y′ x = y′ คุณ u′ v v′ x,
ที่ทำงาน v=φ(x), คุณ=f(v)และ y=F(u)เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของข้อโต้แย้ง
ทฤษฎีบท. ให้ฟังก์ชั่น y=f(x)กำลังเพิ่มขึ้น (หรือลดลง) และต่อเนื่องในบางพื้นที่ของจุด x0. ให้นอกจากนี้ ฟังก์ชันนี้สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดที่ระบุ x0และอนุพันธ์ของมัน ณ จุดนี้ f′(x 0) ≠ 0. จากนั้นในบริเวณใกล้เคียงของจุดที่เกี่ยวข้อง y0=f(x0)ผกผันสำหรับ y=f(x)การทำงาน x=f -1 (y)และฟังก์ชันผกผันที่ระบุสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดที่สอดคล้องกัน y0=f(x0)และสำหรับอนุพันธ์ ณ จุดนี้ yสูตรนี้ใช้ได้จริง
ตารางอนุพันธ์
ค่าคงที่ของรูปแบบความแตกต่างแรก
พิจารณาผลต่างของฟังก์ชันเชิงซ้อน ถ้า y=f(x), x=φ(t)เป็นฟังก์ชันอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ แล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=f(φ(t))แสดงโดยสูตร
y′ t = y′ x x′ t.
ตามคำจำกัดความ dy=y't dtแล้วเราจะได้
dy = y′ t dt = y′ x x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,
dy = y′ x dx.
เราจึงได้พิสูจน์แล้วว่า
คุณสมบัติของค่าคงที่ของรูปแบบส่วนต่างแรกของฟังก์ชัน: เช่นในกรณีที่มีการโต้แย้ง xเป็นตัวแปรอิสระและในกรณีที่อาร์กิวเมนต์ xเป็นฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลของตัวแปรใหม่ ดิฟเฟอเรนเชียล dyฟังก์ชั่น y=f(x)เท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ คูณด้วยดิฟเฟอเรนเชียลของอาร์กิวเมนต์ dx.
การประยุกต์ส่วนต่างในการคำนวณโดยประมาณ
เราได้แสดงให้เห็นว่าดิฟเฟอเรนเชียล dyฟังก์ชั่น y=f(x)พูดโดยทั่วไปไม่เท่ากับการเพิ่มขึ้น Δyฟังก์ชันนี้ อย่างไรก็ตาม ถึงหน้าที่เล็ก ๆ อย่างอนันต์ของลำดับความเล็กที่สูงกว่า Δx, ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ
∆y ≈ dy.
อัตราส่วนนี้เรียกว่าข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของความเท่าเทียมกันของความเท่าเทียมกันนี้ เพราะ ∆y-dy=o(∆x)ดังนั้นข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของความเท่าเทียมกันนี้จะเล็กตามอำเภอใจเช่น |Δх|.
ระบุว่า Δy=f(x+δx)-f(x), dy=f′(x)Δx, เราได้รับ f(x+δx)-f(x) ≈ f′(x)Δxหรือ
f(x+δx) ≈ f(x) + f′(x)Δx.
ความเท่าเทียมกันโดยประมาณนี้ทำให้เกิดข้อผิดพลาด o(Δx)แทนที่ฟังก์ชัน เอฟ(x)ในย่านเล็ก ๆ ของจุด x(เช่น สำหรับค่าเล็กน้อย Δx) ฟังก์ชันเชิงเส้นของอาร์กิวเมนต์ Δxยืนอยู่ทางด้านขวา
อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น
คำนิยาม. อนุพันธ์อันดับสอง (หรืออนุพันธ์อันดับสอง) ของฟังก์ชัน y=f(x)เรียกว่าอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
สัญกรณ์สำหรับอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน y=f(x):
ความหมายทางกลของอนุพันธ์อันดับสอง. ถ้าฟังก์ชัน y=f(x)อธิบายกฎการเคลื่อนที่ จุดวัสดุเป็นเส้นตรงแล้วตามด้วยอนุพันธ์อันดับสอง ฉ"(x)เท่ากับความเร่งของจุดเคลื่อนที่ ณ เวลา x.
อนุพันธ์อันดับสามและสี่ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน
คำนิยาม. น-th อนุพันธ์ (หรืออนุพันธ์ นลำดับที่) ฟังก์ชั่น y=f(x)เรียกว่าอนุพันธ์ของมัน n-1- อนุพันธ์อันดับที่:
y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.
การกำหนด: y″′, y IV, y Vเป็นต้น
การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่าดิฟเฟอเรนติเอชัน
จากการแก้ปัญหาการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด (และไม่ง่ายมาก) โดยกำหนดอนุพันธ์เป็นขีดจำกัดอัตราส่วนของการเพิ่มต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่กำหนดไว้อย่างแม่นยำปรากฏขึ้น . Isaac Newton (1643-1727) และ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) เป็นคนแรกที่ทำงานด้านการค้นหาอนุพันธ์
ดังนั้นในสมัยของเราเพื่อค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ ไม่จำเป็นต้องคำนวณขีด จำกัด ข้างต้นของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ แต่ต้องใช้ตารางเท่านั้น ของอนุพันธ์และกฎของความแตกต่าง อัลกอริทึมต่อไปนี้เหมาะสำหรับการหาอนุพันธ์
เพื่อหาอนุพันธ์คุณต้องการนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายขีด แบ่งหน้าที่ง่าย ๆและกำหนดการกระทำ (ผลิตภัณฑ์ ผลรวม ผลหาร)ฟังก์ชันเหล่านี้เกี่ยวข้องกัน นอกจากนี้ เราพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานในตารางอนุพันธ์ และสูตรอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ ผลรวมและผลหาร - ในกฎของความแตกต่าง ตารางอนุพันธ์และกฎการสร้างความแตกต่างมีให้หลังจากสองตัวอย่างแรก
ตัวอย่างที่ 1หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
วิธีการแก้. จากกฎของความแตกต่าง เราพบว่าอนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันคือผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน นั่นคือ
จากตารางอนุพันธ์ เราพบว่าอนุพันธ์ของ "X" เท่ากับ 1 และอนุพันธ์ของไซน์คือโคไซน์ เราแทนที่ค่าเหล่านี้ด้วยผลรวมของอนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ที่ต้องการโดยเงื่อนไขของปัญหา:
ตัวอย่างที่ 2หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
วิธีการแก้. สร้างความแตกต่างในฐานะอนุพันธ์ของผลรวม ซึ่งเทอมที่สองที่มีค่าคงที่ สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:
หากยังคงมีคำถามว่าบางสิ่งมาจากไหน ตามกฎแล้วจะมีความชัดเจนหลังจากอ่านตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่ง่ายที่สุด เราจะไปหาพวกเขาตอนนี้
ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย
| 1. อนุพันธ์ของค่าคงที่ (ตัวเลข) ตัวเลขใดๆ (1, 2, 5, 200...) ที่อยู่ในนิพจน์ของฟังก์ชัน ศูนย์เสมอ สิ่งนี้สำคัญมากที่ต้องจำไว้ เพราะจำเป็นมาก | |
| 2. อนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ ส่วนใหญ่มักจะเป็น "x" เท่ากับหนึ่งเสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้ | |
| 3. อนุพันธ์ของดีกรี เมื่อแก้ปัญหา คุณต้องแปลงรากที่สองให้เป็นกำลัง | |
| 4. อนุพันธ์ของตัวแปรยกกำลัง -1 | |
| 5. อนุพันธ์ของรากที่สอง | |
| 6. อนุพันธ์ของไซน์ | |
| 7. อนุพันธ์โคไซน์ |  |
| 8. อนุพันธ์แทนเจนต์ |  |
| 9. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์ |  |
| 10. อนุพันธ์ของอาร์กไซน์ |  |
| 11. อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์ |  |
| 12. อนุพันธ์ของอาร์คแทนเจนต์ |  |
| 13. อนุพันธ์ของแทนเจนต์ผกผัน |  |
| 14. อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ | |
| 15. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม |  |
| 16. อนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง | |
| 17. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง |
กฎการสร้างความแตกต่าง
| 1. อนุพันธ์ของผลรวมหรือส่วนต่าง |  |
| 2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ |  |
| 2ก. อนุพันธ์ของนิพจน์คูณด้วยตัวประกอบคงที่ | |
| 3. อนุพันธ์ของผลหาร |  |
| 4. อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน |  |
กฎข้อที่ 1ถ้าทำหน้าที่
แตกต่างได้ในบางจุด จากนั้นฟังก์ชัน .ที่จุดเดียวกัน
และ
เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลรวมเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้
ผลที่ตามมา ถ้าฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลสองตัวต่างกันด้วยค่าคงที่ อนุพันธ์ของพวกมันคือ, เช่น.
กฎข้อ 2ถ้าทำหน้าที่
ต่างกันที่จุดหนึ่ง แล้วผลคูณก็ต่างกันที่จุดเดียวกัน
และ
เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชันมีค่าเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันเหล่านี้แต่ละตัวและอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น
ผลที่ 1 ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:
ผลที่ 2 อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลหลายตัวเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของอนุพันธ์ของปัจจัยแต่ละตัวและอื่นๆ ทั้งหมด
ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวคูณสามตัว:
กฎข้อ 3ถ้าทำหน้าที่
แตกต่างในบางจุด และ , เมื่อถึงจุดนี้ ผลหารของพวกมันก็หาอนุพันธ์ได้ด้วยเช่นกันu/v และ
เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน เท่ากับเศษส่วนที่มีตัวเศษเป็นผลต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษ และอนุพันธ์ของตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของตัวเศษเดิม .
จะดูหน้าอื่นได้ที่ไหน
เมื่อค้นหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และความฉลาดในปัญหาจริง จำเป็นต้องใช้กฎการสร้างความแตกต่างหลายข้อในครั้งเดียวเสมอ ดังนั้นตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้จะอยู่ในบทความ"อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหาร".
ความคิดเห็นคุณไม่ควรสับสนค่าคงที่ (นั่นคือตัวเลข) เป็นพจน์ในผลรวมและเป็นปัจจัยคงที่! ในกรณีของพจน์ อนุพันธ์จะเท่ากับศูนย์ และในกรณีของตัวประกอบคงที่ อนุพันธ์จะถูกนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ นี่เป็นข้อผิดพลาดทั่วไปที่เกิดขึ้นใน ชั้นต้นการเรียนรู้อนุพันธ์ แต่ในขณะที่พวกเขาแก้ตัวอย่างหนึ่งสององค์ประกอบ นักเรียนทั่วไปจะไม่ทำผิดพลาดนี้อีกต่อไป
และถ้าเมื่อแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์หรือผลหาร คุณมีเทอม ยู"วี, โดยที่ ยู- ตัวเลข เช่น 2 หรือ 5 นั่นคือ ค่าคงที่ จากนั้นอนุพันธ์ของตัวเลขนี้จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น พจน์ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ (กรณีดังกล่าววิเคราะห์ในตัวอย่างที่ 10) .
ข้อผิดพลาดทั่วไปอีกประการหนึ่งคือการแก้ปัญหาทางกลของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนในฐานะอนุพันธ์ของฟังก์ชันง่าย ๆ นั่นเป็นเหตุผลที่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนอุทิศให้กับบทความแยกต่างหาก แต่ก่อนอื่น เราจะเรียนรู้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันง่าย ๆ
ระหว่างทางคุณไม่สามารถทำได้โดยไม่ต้องแปลงนิพจน์ ในการดำเนินการนี้ คุณอาจต้องเปิดคู่มือ windows ใหม่ การกระทำด้วยอำนาจและรากเหง้าและ การกระทำที่มีเศษส่วน .
หากคุณกำลังมองหาคำตอบของอนุพันธ์ที่มีกำลังและราก นั่นคือ เมื่อฟังก์ชันดูเหมือน 
จากนั้นทำตามบทเรียน " อนุพันธ์ของผลรวมของเศษส่วนที่มีกำลังและราก".
หากคุณมีงานเช่น 
แล้วคุณจะอยู่ในบทเรียน "อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย"
ตัวอย่างทีละขั้นตอน - วิธีหาอนุพันธ์
ตัวอย่างที่ 3หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
วิธีการแก้. เรากำหนดส่วนต่าง ๆ ของนิพจน์ฟังก์ชัน: นิพจน์ทั้งหมดแสดงถึงผลิตภัณฑ์ และปัจจัยของมันคือผลรวม ในวินาทีที่หนึ่งในเงื่อนไขมีปัจจัยคงที่ เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์: อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้และอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น:
ต่อไป เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลรวม: อนุพันธ์ของผลรวมเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ ในกรณีของเรา ในแต่ละผลรวม เทอมที่สองที่มีเครื่องหมายลบ ในแต่ละผลรวม เราจะเห็นทั้งตัวแปรอิสระ อนุพันธ์ของค่าหนึ่งเท่ากับหนึ่ง และค่าคงที่ (ตัวเลข) ซึ่งอนุพันธ์นั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น "x" กลายเป็นหนึ่ง และลบ 5 - เป็นศูนย์ ในนิพจน์ที่สอง "x" ถูกคูณด้วย 2 เราจึงคูณสองด้วยหน่วยเดียวกันกับอนุพันธ์ของ "x" เราได้รับค่าอนุพันธ์ดังต่อไปนี้:
เราแทนที่อนุพันธ์ที่ค้นพบเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ และรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งหมดที่กำหนดโดยเงื่อนไขของปัญหา:
และคุณสามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของอนุพันธ์บน
ตัวอย่างที่ 4หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
วิธีการแก้. เราต้องหาอนุพันธ์ของผลหาร เราใช้สูตรในการแยกความแตกต่างของผลหาร: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันเท่ากับเศษส่วนซึ่งตัวเศษคือผลต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษ และอนุพันธ์ของตัวส่วน และ ตัวส่วนคือกำลังสองของตัวเศษเดิม เราได้รับ:
เราพบอนุพันธ์ของปัจจัยในตัวเศษแล้วในตัวอย่างที่ 2 แล้ว อย่าลืมว่าผลคูณซึ่งเป็นปัจจัยที่สองในตัวเศษในตัวอย่างปัจจุบัน ถูกนำมาด้วยเครื่องหมายลบ:
หากคุณกำลังมองหาวิธีแก้ไขปัญหาดังกล่าว ซึ่งคุณจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งมีกองรากและดีกรีต่อเนื่องกัน เช่น 
ยินดีต้อนรับเข้าสู่ชั้นเรียน "อนุพันธ์ของผลรวมของเศษส่วนที่มีกำลังและราก" .
หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์ของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และอื่นๆ ฟังก์ชันตรีโกณมิตินั่นคือเมื่อฟังก์ชั่นดูเหมือน แล้วคุณจะมีบทเรียน "อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย" .
ตัวอย่างที่ 5หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
วิธีการแก้. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลคูณ หนึ่งในปัจจัยที่เป็นรากที่สองของตัวแปรอิสระ โดยมีอนุพันธ์ที่เราคุ้นเคยในตารางอนุพันธ์ ตามกฎความแตกต่างของผลิตภัณฑ์และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สอง เราได้รับ:
คุณสามารถตรวจสอบวิธีแก้ไขปัญหาอนุพันธ์ได้ที่ เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ออนไลน์ .
ตัวอย่างที่ 6หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
วิธีการแก้. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลหาร ซึ่งเงินปันผลคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ ตามกฎการแยกความแตกต่างของผลหาร ซึ่งเราทำซ้ำและใช้ในตัวอย่างที่ 4 และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สอง เราได้รับ:
ในการกำจัดเศษส่วนในตัวเศษ ให้คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย .