การทำแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่งซึ่งมีคุณสมบัติในการรักษามุมในขนาดและทิศทาง และคุณสมบัติของความคงตัวของการขยายตัวของย่านเล็กๆ ของจุดที่ถูกแมป เรียกว่า การทำแผนที่ตามโครงสร้าง

เพื่อให้แน่ใจว่าการสะท้อนแบบหนึ่งต่อหนึ่ง จะมีการระบุพื้นที่ของฟังก์ชันที่ไม่สมดุลกัน โดเมน D เรียกว่าโดเมนแห่งความไม่สมดุลของฟังก์ชัน f(z) if

คุณสมบัติพื้นฐานของการแมปตามรูปแบบ:

1) ความสม่ำเสมอของการยืดตัว เส้นตรงที่จุดหนึ่งจะเหมือนกันสำหรับเส้นโค้งทั้งหมดที่ผ่านจุดนั้นและเท่ากัน

2) การรักษามุม เส้นโค้งทั้งหมดที่จุดหนึ่งจะหมุนผ่านมุมเดียวกันเท่ากัน

ฟังก์ชันนี้จะแสดงจุดบนระนาบ z (หรือพื้นผิวรีมันน์) ในแต่ละจุด z โดยที่ f(z) เป็นการวิเคราะห์ (นั่นคือ มีการกำหนดอย่างมีเอกลักษณ์และสามารถหาอนุพันธ์ได้ในบางย่านของจุดนี้) และการแมปเป็นไปตามรูปแบบ กล่าวคือ มุมระหว่างเส้นโค้งสองเส้นที่ผ่านจุด z จะกลายเป็นมุมที่มีขนาดเท่ากันและทิศทางของการอ้างอิงระหว่างเส้นโค้งสองเส้นที่สอดคล้องกันในระนาบ

สามเหลี่ยมที่มีขนาดเล็กที่สุดใกล้กับจุด z ดังกล่าวจะถูกโยงเข้ากับสามเหลี่ยมที่มีขนาดเล็กที่สุดที่คล้ายกัน นั่นก็คือ ระนาบ แต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมจะยืดออกตามอัตราส่วนและหมุนเป็นมุม ค่าสัมประสิทธิ์การบิดเบือน (อัตราส่วนท้องถิ่นของพื้นที่ขนาดเล็ก) ในระหว่างการทำแผนที่จะถูกกำหนดโดยจาโคเบียนของการทำแผนที่

ที่ทุกจุด z ซึ่งการแม็ปเป็นไปตามรูปแบบ

การทำแผนที่ตามรูปแบบจะเปลี่ยนเส้นให้กลายเป็นกลุ่มวิถีวิถีตั้งฉากในระนาบ w

บริเวณของระนาบ z ที่แมปบนระนาบ w ทั้งหมดโดยฟังก์ชัน f(z) เรียกว่าขอบเขตพื้นฐานของฟังก์ชัน f(z)

จุดที่เรียกว่าจุดการทำแผนที่วิกฤต

การทำแผนที่ที่รักษาขนาด แต่ไม่ใช่ทิศทาง ของมุมระหว่างเส้นโค้งสองเส้น เรียกว่าการทำแผนที่แบบมุมฉากหรือแบบที่สอง

การแมปจะสอดคล้องกัน ณ จุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด หากฟังก์ชันจับคู่ต้นกำเนิดกับระนาบ - อย่างสอดคล้องกัน

เส้นโค้งสองเส้นตัดกันที่มุมหนึ่งที่จุดหนึ่ง หากการแปลงแปลงเป็นเส้นโค้งสองเส้นที่ตัดกันที่มุมที่จุดหนึ่ง

ในทำนองเดียวกัน แมปจุดตามแบบแผนของจุด

ตัวอย่างคลาสสิกของการแมปตามรูปแบบ

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด

ตัวอย่างที่ 1 การใช้ฟังก์ชันนี้แสดงเส้นตรงบนระนาบ

มาแปลงเส้นตรงกันเถอะ

ดังนั้น,

เราแทนลงในสมการผลลัพธ์:

และเราได้รับ

เราแยก x ออกจากสมการผลลัพธ์

จากสมการ (1) เราพบ x และได้รับ

แทน (3) ลงในสมการ (2):

เราได้รับ

ให้เราพรรณนาเส้นผลลัพธ์ในรูปที่ 1

รูปที่ 1 การทำแผนที่ตามรูปแบบโดยฟังก์ชันโดยตรง

คำตอบ: ดังนั้น เส้นตรงที่อยู่ในระนาบ xOy จึงถูกโยงให้สอดคล้องกันเป็นเส้นโค้ง (พาราโบลา) ที่อยู่ในระนาบ

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหามุมการหมุนและค่าสัมประสิทธิ์การบิดเบือนสเกล ณ จุดหนึ่งเมื่อแสดง:

เมื่อแสดงโดยใช้ฟังก์ชัน มุมการหมุนจะเป็น a

ในจุดที่เรามี

คำตอบ: (การบีบอัด)

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหามุมการหมุนและค่าสัมประสิทธิ์การบิดเบือนสเกล ณ จุดหนึ่งเมื่อแสดง:

เมื่อแสดงโดยใช้ฟังก์ชัน จะมีมุมการหมุน และค่าสัมประสิทธิ์การบิดเบือนสเกลที่จุดจะเท่ากับ

ในจุดที่เรามี

(ยืด).

คำตอบ: (ยืด)

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาจุดบนระนาบที่มีค่าสัมประสิทธิ์การบิดเบือนสเกลเท่ากับ 1 เมื่อแสดง:

ค่าสัมประสิทธิ์การบิดเบือนสเกลที่จุดหนึ่งเท่ากับ

การหาอนุพันธ์

เพราะฉะนั้น,

ตัวอย่างที่ 5 ค้นหาจุดระนาบที่มีค่าสัมประสิทธิ์การบิดเบือนสเกลเท่ากับ 1 เมื่อแสดง:

ค่าสัมประสิทธิ์การบิดเบือนสเกลที่จุดหนึ่งเท่ากับ

การหาอนุพันธ์

ตามเงื่อนไข ค่าสัมประสิทธิ์การบิดเบือนสเกลจะต้องเท่ากับ 1

เพราะฉะนั้น,

เมื่อแก้ไขปัญหาที่ใช้มักมีความจำเป็นต้องเปลี่ยนพื้นที่ที่กำหนดให้เป็นพื้นที่ในรูปแบบที่เรียบง่ายกว่าและในลักษณะที่รักษามุมระหว่างเส้นโค้งไว้ การเปลี่ยนแปลงที่มาพร้อมกับคุณสมบัตินี้ทำให้สามารถแก้ไขปัญหาอากาศพลศาสตร์และอุทกพลศาสตร์ ทฤษฎีความยืดหยุ่น ทฤษฎีสนามของธรรมชาติต่างๆ และอื่นๆ อีกมากมายได้สำเร็จ เราจะจำกัดตัวเองอยู่เฉพาะการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่ราบเท่านั้น การทำแผนที่อย่างต่อเนื่อง r = f(r) ของพื้นที่ราบในพื้นที่บนระนาบเรียกว่า สอดคล้อง ณ จุดนี้ หาก ณ จุดนี้มีคุณสมบัติของการขยายคงที่และการอนุรักษ์มุม ภูมิภาคเปิดจะถูกเรียกว่าเทียบเท่ากันหากมีการแมปแบบหนึ่งต่อหนึ่งจากภูมิภาคใดภูมิภาคหนึ่งไปยังอีกภูมิภาคหนึ่ง โดยสอดคล้องกันในแต่ละจุด ทฤษฎีบทของรีมันน์ พื้นที่เชื่อมต่อแบบเรียบเปิดแบบเรียบใดๆ ก็ตามที่มีขอบเขตประกอบด้วยมากกว่าหนึ่งจุดจะเทียบเท่ากันตามข้อกำหนด ปัญหาหลักในการแก้ปัญหาเฉพาะคือการสร้างแผนผังโครงสร้างแบบหนึ่งต่อหนึ่งที่ชัดเจนของหนึ่งในนั้นไปยังอีกพื้นที่หนึ่งจากพื้นที่ราบที่กำหนด วิธีหนึ่งในการแก้ปัญหานี้ในกรณีระนาบคือการใช้อุปกรณ์ของทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่มีอนุพันธ์ที่ไม่ใช่ศูนย์จะทำการจับคู่ขอบเขตของโดเมนที่กำหนดลงบนรูปภาพ เมื่อสร้างการแมปตามรูปแบบ กฎต่อไปนี้มีประโยชน์มาก หลักการโต้ตอบของขอบเขต ปล่อยให้ในบริเวณ H) ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ๆ ของระนาบเชิงซ้อน z ซึ่งถูกล้อมรอบด้วยเส้นขอบ 7 จะได้ฟังก์ชันการวิเคราะห์ค่าเดียว w = f(z) ต่อเนื่องกันโดยปิด 9) และสะท้อนเส้นขอบ 7 ไปยังเส้นขอบ 7" ของเชิงซ้อน ความเป็นเส้นตรง w ถ้าทิศทางถูกรักษาไว้โดยเคลื่อนที่ผ่านเส้นชั้นความสูง ฟังก์ชัน w - f(z) จะดำเนินการวาดโครงร่างของขอบเขตของระนาบเชิงซ้อน z ไปยังขอบเขต Z1 ของระนาบเชิงซ้อน w ซึ่งจำกัดด้วยเส้นขอบ 7" (รูปที่ 1) 3), รูปที่ 3 2. การหมุน (ที่มุมที่กำหนด 3. การยืด (fc > 1) หรือการบีบอัด (รูปที่ 5) ดังนั้น การแปลงประเภท 0 วงกลมใดๆ ก็สามารถกลายเป็นวงกลมหนึ่งหน่วยโดยมีจุดศูนย์กลาง ที่ศูนย์ (รูปที่ 6 ) ครึ่งระนาบใดๆ สามารถสร้างเป็นครึ่งระนาบบนได้ ส่วนของเส้นตรงใดๆ สามารถเปลี่ยนเป็นส่วนของแกนจริงได้ (รูปที่ 14 พื้นที่ที่ระบุจะแสดงในตารางใต้ No . 22. การใช้การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นเราแปลงพื้นที่นี้เป็นระนาบที่มีการตัดตามรังสีจริงด้วย) ตัดตามรังสีจริง (0, +<<>(ระนาบที่มีการตัดตามรังสีจริง J -oo, 0 ] และ (I, +oo[ ระนาบที่มีการตัดตามรังสีจริง เครื่องบินที่มีการตัดตามส่วน (O, 1J หมายเลข 21 1 ระนาบที่มีการตัด y รังสีนอนอยู่ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดไปตามรังสีจริง ] - "у, 0] และ (1. ระนาบที่มีการตัดตามรัศมีจริง (0, + ใน (ระนาบที่มีการตัดตามส่วนโค้งของวงกลม Ixl - 1, lm z > O ระนาบที่มีการตัดตามส่วนโค้งวงกลม III - I, Re z > O ระนาบที่มีการตัดตามรังสีจริง (0, ระนาบที่มีการตัดตามส่วนโค้งวงกลม ระนาบที่มีการตัดตามรังสีจริง [C, + co [ หมายเลข 25 ระนาบครึ่งที่มีการตัด ครึ่ง- ระนาบ l ที่มีการตัดตามส่วนที่มีการตัดตามรังสีจินตภาพ วงกลมที่มีการตัด วงกลม 1 ที่มีการตัดตามส่วน (1/2, 1J หมายเลข 30 ระนาบที่มีการตัดตามส่วน (-1, 5/4] วงกลม Izl โดยตัดตามส่วน (-1 . -1/2] และ (1/2, 1] หมายเลข 31 ระนาบที่มีการตัดตามรอยตัด I -5/4, 5/4] วงกลม Ijl ด้วยการตัดแบบสมมาตรตามแกนจินตภาพ วงกลมอยู่กับการตัดแบบสมมาตรตามแกนจริง ด้านนอกของวงกลมที่มีการตัด วงกลมหน่วยภายนอก I มีการตัดตามส่วนและ 11, 2) หมายเลข 34 เครื่องบินที่มีการตัดตามส่วน [ -1, 5/4] ระนาบที่มีการตัดตามส่วน I - 5/ 4, 3/4] w = e "^z ลักษณะของวงกลมเดี่ยว Izl > 1 โดยมีการตัดตามส่วนที่เป็นส่วนขยายของเส้นผ่านศูนย์กลาง ภายนอกของวงกลมหนึ่งหน่วย Iwl > 1 โดยมีการตัดตามส่วนที่วางอยู่บนแกนจริง ครึ่งวงกลมที่มีการตัด -r2 Nfc 36 วงกลม Iwl โดยมีการตัดตามส่วน [ -1/4, 1] ครึ่งวงกลม โดยมีการตัดตามส่วน (0, i/2) ครึ่งวงกลม โดยมีการตัดตามส่วน )