І ще одне завдання B11 на ту ж тему - з реального ЄДІпо математиці.
Завдання. Знайдіть значення виразу:
У цьому короткому відеоуроці ми дізнаємося, як застосовувати формули приведеннядля вирішення реальних завдань B11 з ЄДІ з математики. Як ви бачите, перед нами — два тригонометричні вирази, кожен з яких містить синуси та косинуси, а також досить звірячі числові аргументи.
Перш ніж розв'язувати ці завдання, давайте згадаємо, що таке формули приведення. Отже, якщо у нас є вирази виду:
То ми можемо позбутися першого доданку (виду k · π/2) за спеціальним правилам. Накреслимо тригонометричне коло, відзначимо на ньому основні точки: 0, π/2; π; 3π/2 та 2π. Потім дивимося на перший доданок під знаком тригонометричної функції. Маємо:
- Якщо цікавий для нас доданок лежить на вертикальній осі тригонометричного кола (наприклад: 3π/2; π/2 і т.д.), то вихідна функція замінюється на ко-функцию: синус замінюється косинусом, а косинус — навпаки, синусом.
- Якщо ж наш доданок лежить на горизонтальній осі, то вихідна функція не змінюється. Просто прибираємо перший доданок у виразі - і все.
Таким чином, ми отримаємо тригонометричну функцію, що не містить доданків виду k · π/2. Однак на цьому робота з формулами наведення не закінчується. Справа в тому, що перед нашою новою функцією, отриманою після «відкидання» першого доданка, може стояти знак плюс чи мінус. Як визначити цей знак? Ось зараз і дізнаємось.
Припустимо, що кут α, що залишився всередині тригонометричної функції після перетворень, має дуже малу градусну міру. Але що означає «малий захід»? Припустимо, α ∈ (0; 30 °) - цього цілком достатньо. Розглянемо для прикладу функцію:
Тоді, дотримуючись наших припущень, що α ∈ (0; 30°), укладаємо, що кут 3π/2 − α лежить у третій координатній чверті, тобто. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Згадуємо символ вихідної функції, тобто. y = sin x у цьому інтервалі. Очевидно, що синус у третій координатній чверті негативний, оскільки за визначенням синус це ордината кінця рухомого радіуса (коротше синус це координата y). Ну, а координата y в нижній напівплощині завжди набуває негативних значень. Значить, і в третій чверті y теж негативний.
На підставі цих роздумів ми можемо записати остаточний вираз:
Завдання B11 - 1 варіант
Ось ці самі прийоми цілком підходять для вирішення завдання B11 з ЄДІ з математики. Різниця лише в тому, що в багатьох реальних завданнях B11 замість радіанної міри (тобто чисел π, π/2, 2π тощо) використовується градусний захід (тобто 90°, 180°, 270° і і т.д.). Давайте подивимося на перше завдання:
Спочатку розберемося з чисельником. cos 41 ° - це нетабличне значення, тому ми нічого не можемо зробити з ним. Поки що так і залишимо.
Тепер дивимося на знаменник:
sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°
Очевидно, що перед нами є формула приведення, тому синус замінився на косинус. З іншого боку, кут 41° лежить на відрізку (0°; 90°), тобто. у першій координатній чверті саме так, як потрібно для застосування формул приведення. Але тоді 90 ° + 41 ° - це друга координатна чверть. Вихідна функція y = sin x там позитивна, тому ми поставили перед косинусом на останньому етапі знак «плюс» (тобто не поставили нічого).
Залишилося розібратися з останнім елементом:
cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5
Тут бачимо, що 180° — це горизонтальна вісь. Отже, сама функція не зміниться: був косинус і залишиться теж косинус. Але знову постає питання: плюс чи мінус стоятиме перед отриманим виразом cos 60°? Зауважимо, що 180 ° - це третя координатна чверть. Косинус там негативний, отже, перед косинусом у результаті стоятиме знак «мінус». Отже, отримуємо конструкцію −cos 60° = −0,5 — це табличне значення, тому все легко вважається.
Тепер підставляємо отримані числа у вихідну формулу та отримуємо:
Як бачимо, число cos 41° у чисельнику та знаменнику дробу легко скорочується, і залишається звичайний вираз, який дорівнює -10. При цьому мінус можна або винести і поставити перед знаком дробу, або «тримати» поряд з другим множником до останнього кроку обчислень. Відповідь у будь-якому випадку вийде -10. Все, завдання B11 вирішено!
Завдання B14 - 2 варіант
Переходимо до другого завдання. Перед нами знову дріб:
Ну, 27° у нас лежить у першій координатній чверті, тож тут нічого міняти не будемо. А ось sin 117 ° треба розписати (поки без жодного квадрата):
sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°
Очевидно, перед нами знову формула приведення: 90 ° - це вертикальна вісь, отже, синус зміниться на косинус. Крім того, кут α = 117 ° = 90 ° + 27 ° лежить у другій координатній чверті. Вихідна функція y = sin x там позитивна, отже, перед косинус після всіх перетворень все одно залишається знак «плюс». Іншими словами, там нічого не додається - так і залишаємо: cos 27 °.
Повертаємося до вихідного виразу, який потрібно обчислити:
Як бачимо, у знаменнику після перетворень виникла основна тригонометрична тотожність: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Разом −4: 1 = −4 — ось ми і знайшли відповідь до другого завдання B11.
Як бачите, за допомогою формул приведення такі завдання з ЄДІ з математики вирішуються буквально в кілька рядків. Жодних синусів суми та косінусів різниці. Все, що нам потрібно пам'ятати, — це лише тригонометричне коло.
Формули приведення - це співвідношення, які дозволяють перейти від синус, косинус, тангенс і котангенс з кутами `frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` до цих же функцій кута `\alpha`, який знаходиться в першій чверті одиничного кола. Таким чином, формули приведення «приводять» нас до роботи з кутами в межах від 0 до 90 градусів, що дуже зручно.
Усіх разом формул приведення є 32 штуки. Вони безперечно знадобляться на ЄДІ, іспитах, заліках. Але відразу попередимо, що заучувати їх напам'ять немає необхідності! Потрібно витратити трохи часу і зрозуміти алгоритм їх застосування, тоді вам не важко буде в потрібний момент вивести необхідну рівність.
Спочатку запишемо всі формули приведення:
Для кута (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) або (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha) = cos \ \ alpha; `` sin (\frac (\pi)2 + \alpha) = cos \ \ alpha`
`cos(\frac(\pi)2 - \alpha)=sin \\alpha;``cos(\frac(\pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`
`tg(\frac(\pi)2 - \alpha) = ctg \\alpha;``tg(\frac(\pi)2 + \alpha)=-ctg \\alpha`
`ctg(\frac(\pi)2 - \alpha)=tg \\alpha;``ctg(\frac(\pi)2 + \alpha)=-tg \\alpha`
Для кута (`\pi \pm \alpha`) або (`180^\circ \pm \alpha`):
` sin (\pi - \ alpha) = sin \ \ alpha; `` sin (\pi + \ alpha) = - sin \ \ alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \\alpha;``cos(\pi + \alpha)=-cos \\alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha) = -ctg \ \alpha;`` ctg(\pi + \alpha) = ctg \ \alpha`
Для кута (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) або (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac(3\pi)2 - \alpha)=-cos \\alpha;``sin(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-cos\alpha`
`cos(\frac(3\pi)2 - \alpha)=-sin \\alpha;``cos(\frac(3\pi)2 + \alpha)=sin \\alpha`
`tg(\frac(3\pi)2 - \alpha)=ctg \\alpha;``tg(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-ctg \\alpha`
`ctg(\frac(3\pi)2 - \alpha) = tg \\alpha;`` ctg(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-tg \\alpha`
Для кута (`2\pi \pm \alpha`) або (`360^\circ \pm \alpha`):
` sin (2 \ pi - \ alpha) = - sin \ \ alpha; `` sin (2 \ pi + \ alpha) = sin \ \ alpha`
` cos (2 \ pi - \ alpha) = cos \ \ alpha; `` cos (2 \ pi + \ alpha) = cos \ \ alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha) = -ctg \ \ alpha; `` ctg (2 \ pi + \ alpha) = ctg \ \ alpha `
Часто можна зустріти формули приведення у вигляді таблиці, де кути записані в радіанах:
Щоб скористатися нею, потрібно вибрати рядок з потрібною функцією, і стовпець з потрібним аргументом. Наприклад, щоб дізнатися за допомогою таблиці, чому буде одно ` sin(\pi + \alpha)`, достатньо знайти відповідь на перетині рядка ` sin \beta` і стовпця ` \pi + \alpha`. Отримаємо `sin(\pi + \alpha)=-sin \\alpha`.
І друга, аналогічна таблиця, де кути записані у градусах:
Мнемонічне правило формул приведення або як їх запам'ятати
Як ми вже згадували, заучувати всі наведені вище співвідношення не потрібно. Якщо ви уважно на них подивилися, то, напевно, помітили деякі закономірності. Вони дозволяють нам сформулювати мнемонічне правило (мнемоніка - запам'ятовувати), за допомогою якого легко можна отримати будь-яку формулу приведення.
Відразу відзначимо, що для застосування цього правила потрібно добре вміти визначати (або запам'ятати) знаки тригонометричних функцій у різних чвертях одиничного кола. 
Саме привил містить 3 етапи:
- Аргумент функції повинен бути представлений у вигляді `frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, причому `\alpha` - обов'язково гострий кут(Від 0 до 90 градусів).
- Для аргументів `frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` тригонометрична функціяперетворюваного виразу змінюється на кофункцію, тобто протилежну (синус на косинус, тангенс на котангенс і навпаки). Для аргументів `\pi\pm\alpha`, `2\pi\pm\alpha` функція не змінюється.
- Визначається символ вихідної функції. Отримана функція у правій частині матиме такий самий знак.
Щоб подивитися, як на практиці можна застосувати це правило, змінимо кілька виразів:
1. ` cos (pi + \ alpha) `.
Функція на протилежну змінюється. Кут \pi + \alpha знаходиться в III чверті, косинус в цій чверті має знак "-", тому перетворена функція буде також зі знаком "-".
Відповідь: cos(\pi + \alpha) = - cos \alpha
2. `sin(\frac(3\pi)2 - \alpha)`.
Згідно з мнемонічним правилом функція зміниться на протилежну. Кут `frac (3\pi)2 - \alpha` знаходиться в III чверті, синус тут має знак "-", тому результат також буде зі знаком "-".
Відповідь: `sin(\frac(3\pi)2 - \alpha) = - cos \alpha`
3. `cos(\frac(7\pi)2 - \alpha)`.
cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alpha))`. Представимо `3\pi` як `2\pi+pi`. `2\pi` - період функції.
Важливо: Функції `cos \alpha` та `sin \alpha` мають період `2\pi` або `360^\circ`, їх значення не зміняться, якщо на ці величини збільшити чи зменшити аргумент.
Виходячи з цього, наш вираз можна записати наступним чином: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`.) Застосувавши два рази мнемонічне правило, отримаємо: `cos (\pi+(\frac(\pi)) 2-\alpha) = - cos (\frac(\pi)2-\alpha) = - sin \alpha`.
Відповідь: ` cos (\ frac (7 \ pi) 2 - \ alpha) = - sin \ alpha `.
Кінське правило
Другий пункт вищеописаного мнемонічного правилаще називають кінським правилом формул приведення. Цікаво, чому кінським?
Отже, ми маємо функції з аргументами `frac(\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm alpha, точки frac (pi 2), pi, frac (3 pi2), 2 ключові, вони розташовуються на осях координат. `\pi` та `2\pi` на горизонтальній осі абсцис, а `\frac(\pi)2` та `\frac(3\pi)2` на вертикальній осі ординат.
Запитуємо себе: «Чи змінюється функція на кофункцію?». Щоб відповісти на це питання, потрібно посунути головою вздовж осі, на якій розташована ключова точка.
Тобто для аргументів із ключовими точками, розташованими на горизонтальній осі, ми відповідаємо «ні», мотаючи головою убік. А для кутів із ключовими точками, розташованими на вертикальній осі, ми відповідаємо «так», киваючи головою зверху вниз, як кінь 🙂
Рекомендуємо подивитися відеоурок, у якому автор докладно пояснює, як запам'ятати формули наведення без заучування їх напам'ять.
Практичні приклади використання формул приведення
Застосування формул приведення починається ще 9, 10 класі. Чимало завдань із їх використанням винесено на ЄДІ. Ось деякі із завдань, де доведеться застосовувати ці формули:
- завдання на розв'язання прямокутного трикутника;
- перетворення числових та літерних тригонометричних виразів, обчислення їх значень;
- стереометричні задачі.
Приклад 1. Обчисліть за допомогою формул приведення: а) `sin 600^\circ`, б) `tg 480^\circ`, в) `cos 330^\circ`, г) `sin 240^\circ`.
Рішення: а) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
б) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
в) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
г) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
Приклад 2. Виразивши косинус через синус за формулами приведення, порівняти числа: 1) `sin frac (9 pi) 8 і cos frac (9 pi 8); 2) `sin \frac(\pi)8` та `cos\frac(3\pi)10`.
Рішення: 1) `sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`
`-sin \frac(\pi)8> -sin \frac(3\pi)8`
`sin frac (9 pi) 8> cos frac (9 pi) 8 `.
2) `cos \frac (3\pi)10 = cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5) = sin \frac (\pi)5`
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Доведемо спочатку дві формули для синуса і косинуса аргументу `frac(\pi)2 + \alpha`: `sin(\frac(\pi)2 + \alpha) = cos \\alpha` і `cos(\frac(\) pi) 2 + \ alpha) = - sin \ \ alpha`. Інші виводяться з них. Візьмемо одиничне коло і у ньому точку А з координатами (1,0). Нехай після повороту на Виходячи з визначення тангенсу і котангенсу, отримаємо `tg(\frac(\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac(\pi)2 + \alpha))(cos(\frac(\pi)2) + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` і `stg(\frac(\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac (\) pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, що доводить формули приведення для тангенсу і котангенсу кута `frac (pi)2 + alpha`. Щоб довести формули з аргументом `frac(\pi)2 - \alpha`, досить уявити його, як `\frac(\pi)2 + (-\alpha)` і пройти той же шлях, що і вище. Наприклад, `cos(\frac(\pi)2 - \alpha) = cos(\frac(\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`. Кути `\pi + \alpha` і `\pi - \alpha` можна уявити, як `\frac(\pi)2+(\frac(\pi)2+\alpha)` і `\frac(\pi) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` відповідно. А `\frac(3\pi)2 + \alpha` і `\frac(3\pi)2 - \alpha` як `pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` і `pi +(\frac(\pi)2-\alpha)`. Ця стаття присвячена докладному вивченню тригонометричних формул приведення. Наведено повний список формул приведення, показано приклади їх використання, наведено доказ вірності формул. Також у статті наведено мнемонічне правило, яке дозволяє виводити формули приведення, не запам'ятовуючи кожну формулу. Yandex.RTB R-A-339285-1 Фомули приведення дозволяють наводити основні тригонометричні функції кутів довільної величини до функцій кутів, що лежать в інтервалі від 0 до 90 градусів (від 0 до π 2 радіан). Оперувати кутами від 0 до 90 градусів набагато зручніше, ніж працювати зі скільки завгодно великими значеннями, тому формули приведення широко застосовуються при вирішенні задач тригонометрії. Перш, ніж ми запишемо самі формули, уточнимо кілька важливих розуміння моментів. Тепер перейдемо безпосередньо до формул приведення. Формули приведення дозволяють переходити від роботи з довільними і скільки завгодно великими кутами до роботи з кутами в межах від 0 до 90 градусів. запишемо усі формули у вигляді таблиці. Формули наведення sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α, cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α, cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α, cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α, cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α, cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α, cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α У разі формули записані з радіанами. Однак можна записати їх із використанням градусів. Достатньо лише перевести радіани на градуси, замінивши π на 180 градусів. Покажемо, як користуватись формулами наведення та як зазначені формули застосовуються при вирішенні практичних прикладів. Кут під знаком тригонометричної функції можна уявити не одним, а безліччю способів. Наприклад, аргумент тригонометричної функції може бути представлений у видах ± α + 2 π z , π 2 ± α + 2 π z , π ± α + 2 π z , 3 π 2 ± α + 2 π z . Продемонструємо це. Візьмемо кут α = 16 π 3 . Цей кут можна записати так: α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π · 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π · 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π Залежно від уявлення кута використовується відповідна формула приведення. Візьмемо той самий кут α = 16 π 3 і обчислимо його тангенс Приклад 1. Використання формул наведення α = 16 π 3 , t g α = ? Представимо кут α = 16 π 3 у вигляді α = π + π 3 + 2 π · 2 Цьому уявленню кута буде відповідати формула приведення t g (π + α + 2 π z) = t g α t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π · 2 = t g π 3 Скориставшись таблицею, вкажемо значення тангенсу Тепер використовуємо інше уявлення кута α = 16 π 3 . Приклад 2. Використання формул наведення α = 16 π 3 , t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π · 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π · 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3 Нарешті, для третьої вистави кута запишемо Приклад 3. Використання формул наведення α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3 Тепер наведемо приклад на використання формул приведення складніше Приклад 4. Використання формул наведення Представимо sin 197° через синус та косинус гострого кута. Для того, щоб можна було застосовувати формули наведення, потрібно уявити кут α = 197° в одному з видів ±α+360°·z, 90°±α+360°·z, 180°±α+360°·z, 270°±α+360°·z. Відповідно до умови завдання, кут має бути гострим. Відповідно, ми маємо два способи для його представлення: 197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73° Отримуємо sin 197° = sin (180° + 17°) sin 197° = sin (270° - 73°) Тепер подивимося на формули приведення для синусів та виберемо відповідні sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° · z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin (270 ° - 73 ° + 360 ° · z) = - cos 73 ° Формул приведення багато, і, на щастя, немає необхідності заучувати їх напам'ять. Існують закономірності, за якими можна виводити формули приведення для різних кутів та тригонометричних функцій. Ці закономірності називаються мнемонічним правилом. Мнемоніка – мистецтво запам'ятовування. Мнемонічне правило складається з трьох частин, або містить три етапи. Мнемонічне правило 1. Аргумент вихідної функції представляється одному з видів ± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz Кут має лежати в межах від 0 до 90 градусів. 2. Визначається символ вихідної тригонометричної функції. Такий самий знак матиме функція, що записується у правій частині формули. 3. Для кутів ± α + 2 πz і π ± α + 2 πz назва вихідної функції залишається незмінною, а для кутів π 2 ± α + 2 πz і 3 π 2 ± α + 2 πz відповідно змінюється на "кофункцію". Синус – на косинус. Тангенс – на котангенс. Щоб користуватися мнемонічним праїлом для формул приведення, потрібно вміти визначати знаки тригонометричних функцій по чвертях одиничного кола. Розберемо приклади застосування мнемонічного правила. Приклад 1. Використання менімонічного правила Запишемо формули приведення для cos π 2 - α + 2 πz і t g π - α + 2 πz. α - видаток першої чверті. 1. Оскільки за умовою α - видаток першої чверті, ми пропускаємо перший пункт правила. 2. Визначимо знаки функцій cos π 2 - α + 2 πz і t g π - α + 2 πz. Кут π 2 - α + 2 πz також є кутом першої чверті, а кут π - α + 2 πz знаходиться у другій чверті. У першій чверті функція косинуса є позитивною, а тангенс у другій чверті має знак мінус. Запишемо, як виглядатимуть формули, що шукаються на цьому етапі. cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = - 3. Згідно з третім пунктом для кута π 2 - α + 2 π назва функції змінюється на конфуцію, а для кута π - α + 2 πz залишається незмінною. Запишемо: cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α А тепер заглянемо до формул, наведених вище, і переконаємося в тому, що менімонічне правило працює. Розглянемо приклад із конкретним кутом α = 777°. Наведемо синус альфа до тригонометричної функції гострого кута. Приклад 2. Використання менімонічного правила 1. Представимо кут α = 777° у необхідному вигляді 777 ° = 57 ° + 360 ° · 2 777 ° = 90 ° - 33 ° + 360 ° · 2 2. Вихідний кут – кут першої чверті. Отже, синус кута має позитивний знак. У результаті маємо: 3. sin 777 ° = sin (57 ° + 360 ° · 2) = sin 57 ° sin 777 ° = sin (90 ° - 33 ° + 360 ° · 2) = cos 33 ° Тепер розглянемо приклад, який показує, як важливо правильно визначити знак тригонометричної функції та правильно уявити кут під час використання мнемонічного правила. Повторимо ще раз. Важливо! Кут α має бути гострим! Обчислимо тангенс кута 5 π 3 . З таблиці значень основних тригонометричних функцій можна відразу взяти значення t g 5 π 3 = - 3 але ми застосуємо мнемонічне правило. Приклад 3. Використання менімонічного правила Представимо кут α = 5 π 3 у необхідному вигляді та скористаємося правилом t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3 Якщо ж уявити кут альфа як 5 π 3 = π + 2 π 3 , то результат застосування мнемонічного правила буде неправильним. t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3 Невірний результат обумовлений тим, що кут 2 π 3 не є гострим. Доказ формул приведення ґрунтується на властивостях періодичності та симетричності тригонометричних функцій, а також на властивості зсуву на кути π 2 та 3 π 2 . Доказ справедливості всіх формул приведення можна проводити без урахування доданку 2 πz , оскільки воно позначає зміна кута на ціле число повних оборотів і якраз відображає властивість періодичності. Перші 16 формул випливають безпосередньо з властивостей основних тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу та котангансу. Наведемо доказ формул приведення для синусів та косинусів sin π 2 + α = cos α і cos π 2 + α = - sin α Подивимося на одиничне коло, початкова точка якого після повернення на кут α перейшла до точки A 1 x , y , а після повороту на кут π 2 + α - до точки A 2 . З обох точок проведемо перпендикуляри до осі абсцис. Два прямокутні трикутники O A 1 H 1 і O A 2 H 2 рівні по гіпотенузі і кутам, що прилягають до неї. З розташування точок на колі і рівності трикутників можна дійти невтішного висновку у тому, що точка A 2 має координати A 2 - y , x . Використовуючи визначення синуса та косинуса, запишемо: sin α = y , cos α = x , sin π 2 + α = x , cos π 2 + α = y sin π 2 + α = cos α , cos π 2 + α = - sin α З урахуванням основних тотожностей тригонометрії та щойно доведеного, можна записати t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - t g α Для доказу формул приведення з аргументом π 2 - α його необхідно подати у вигляді π 2 + (- α) . Наприклад: cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α У доказі використовуються властивості тригонометричних функцій з аргументами, протилежними за знаком. Усі інші формули наведення можна довести з урахуванням записаних вище. Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter І ще один момент: формул приведення досить багато за кількістю, і відразу застережемо Вас від заучування їх усіх напам'ять. У цьому немає необхідності – існує , що дозволяє легко застосовувати формули приведення. Отже, запишемо усі формули наведення у вигляді таблиці. Ці формули можна переписати з використанням градусів та радіан. Для цього достатньо згадати про зв'язок між градусами і радіанами і скрізь замінити π на 180 градусів. Мета цього пункту полягає в тому, щоб показати, як формули наведення використовуються на практиці при вирішенні прикладів. Спочатку варто сказати, що існує нескінченна кількість способів представлення кута під знаком тригонометричних функцій у вигляді і Наприклад візьмемо кут під знаком тригонометричної функції рівним. Цей кут можна уявити як А тепер давайте подивимося, які формули приведення нам доведеться використовувати залежно від уявлення кута. Наприклад візьмемо . Якщо ми представимо кут як Для подання Нарешті, так як відповідна формула приведення має вигляд На закінчення цих міркувань варто особливо відзначити, що існують певні зручності при використанні уявлень кута, в яких кут має величину від 0 до 90 градусів (від 0 до пі навпіл радіан). Розглянемо приклад застосування формул приведення. приклад. Використовуючи формули наведення, уявіть через синус, а також через косинус гострого кута. Рішення. Щоб застосувати формули приведення, нам потрібно кут 197 градусів подати у вигляді або Звернувшись до відповідних формул приведення Відповідь:
Як ми згадували вище, формули приведення заучувати напам'ять необов'язково. Якщо уважно на них подивитися, то можна виявити закономірності, з яких можна отримати правило, що дозволяє отримати будь-яку формулу приведення. Його називають мнемонічним правилом(Мнемоніка - мистецтво запам'ятовування). Мнемонічне правило містить три етапи: Відразу варто сказати, що для застосування мнемонічного правила потрібно дуже добре вміти визначати знаки синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу по чвертях, тому що робити це доведеться постійно. Розберемо застосування мнемонічного правила на прикладах. приклад. Використовуючи менімонічне правило, запишіть формули приведення для Рішення. Перший крок правила нам робити не доведеться, тому що кути під знаками тригонометричних функцій вже записані у потрібному вигляді. Визначимо знак функцій Оскільки аргумент функції косинус має вигляд У результаті маємо Відповідь:
Для закріплення матеріалу розглянемо рішення прикладу з конкретними кутами. приклад. Використовуючи менімонічне правило, приведіть до тригонометричних функцій гострого кута. Рішення. Для початку уявімо кут 777 градусів у вигляді, необхідному для застосування мнемонічного правила. Це можна зробити двома способами: або . Початковий кут є кутом першої чверті, синус для цього кута має знак плюс. Для подання назву синуса потрібно залишити колишнім, а для подання виду синус доведеться поміняти на косинус. У результаті маємо і . Відповідь: І На закінчення цього пункту розглянемо приклад, що ілюструє важливість правильного представлення кута під знаком тригонометричних функцій для застосування мнемонічного правила: кут повинен бути гострим! Обчислимо тангенс кута. У принципі, звернувшись до матеріалу статті значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, ми можемо відразу дати відповідь на запитання задачі: Якщо ми представимо кут як або як, то можна скористатися мнемонічним правилом: А ось що може вийти, якщо взяти уявлення кута, наприклад, виду. При цьому менімонічне правило приведе нас до такого результату. Цей результат неправильний, а пояснюється це тим, що для подання ми не мали права застосовувати менімонічне правило, оскільки кут не є гострим. Формули приведення відображають періодичність, симетричність та властивості зсуву на кути та . Відразу зауважимо, що це формули приведення можна доводити, відкинувши в аргументах доданок , оскільки воно означає зміна кута ціле число повних оборотів, але це змінює значення тригонометричних функцій. Це доданок і є відображенням періодичності. Перший блок з 16 формул приведення безпосередньо випливає із властивостей синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. На них навіть не варто зупинятися. Переходимо до наступного блоку формул. Спочатку доведемо перші дві з них. Інші випливають із них. Отже, доведемо формули наведення виду Розглянемо одиничне коло. Нехай початкова точка A після повороту на кут перетворюється на точку A 1 (x, y) , а після повороту на кут - у точку A 2 . Проведемо A 1 H 1 та A 2 H 2 – перпендикуляри до прямої Ox. Нескладно бачити, що прямокутні трикутники OA 1 H 1 і OA 2 H 2 рівні по гіпотенузі і двох кутів, що прилягають до неї. З рівності трикутників та розташування точок A 1 і A 2 на одиничному колі стає видно, що якщо точка A 1 має координати x і y то точку A 2 має координати −y і x . Тоді визначення синуса та косинуса дозволяють нам записати рівності та Враховуючи, що і Для доказу формул приведення з аргументом досить його подати як , після чого використовувати доведені формули та властивості тригонометричних функцій з протилежними аргументами. Наприклад, . Аналогічно доводяться й інші формули приведення з урахуванням вже доведених шляхом дворазового застосування. Наприклад, представляється як , а - як Список літератури. Додаткові матеріали Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу Що вивчатимемо: Повторення тригонометричних функцій
Діти, з формулами привида ви вже стикалися, але так їх ще не називали. Як думаєте, де? Подивіться наші малюнки. Правильно, коли вводили визначення тригонометричних функцій. Давайте введемо основне правило: Якщо під знаком тригонометричної функції міститься число виду π×n/2 + t, де n – будь-яке ціле число, нашу тригонометричну функцію можна привести до більш простого вигляду, яка міститиме лише аргумент t. Такі формули називають формулами привида. Згадаймо деякі формули: формул привида дуже багато, давайте складемо правило за яким визначатимемо наші тригонометричні функції при використанні формул привиду: Ці правила застосовні, і коли аргумент функції заданий у градусах! Також ми можемо скласти таблицю перетворень тригонометричних функцій: 1.Перетворимо cos(π + t). Найменування функції залишається, тобто. отримаємо cos(t). Далі припустимо, що π/2 2. Перетворимо sin(π/2 + t). Найменування функції змінюється, тобто. отримаємо cos(t). Далі припустимо, що 0 sin(t + π/2) = cos(t) 3. Перетворимо tg(π + t). Найменування функції залишається, тобто. отримаємо tg(t). Далі припустимо, що 0 4. Перетворимо ctg(270 0 + t). Найменування функції змінюється, тобто отримаємо tg(t). Далі припустимо що 0 Діти, перетворіть самостійно, використовуючи наші правила: 1) tg(π + t), 
кут `\alpha` вона перейде в точку `А_1(х, у)`, а після повороту на кут `\frac(\pi)2 + \alpha` в точку `А_2(-у,х)`. Опустивши перпендикуляри з цих точок на пряму ОХ, побачимо, що трикутники OA_1H_1 і OA_2H_2 рівні, оскільки рівні їх гіпотенузи і прилеглі кути. Тоді виходячи з визначень синуса і косинуса можна записати `sin \alpha=у`, `cos \alpha=х`, `sin(\frac(\pi)2 + \alpha)=x`, `cos(\frac(\) pi) 2 + \ alpha) = -y `. Звідки можна записати, що `sin(\frac(\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` і `cos(\frac(\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, що доводить формули приведення для синуса та косинуса кута `frac (pi)2 + alpha`.Формули наведення. перелік
Приклади використання формул приведення
Мнемонічне правило
Приклади використання формул приведення
. Це з тим, що кут може набувати будь-яке значення. Покажемо на прикладі.
, або як 
, або як 
, або ще безліччю інших способів., то цьому уявленню відповідає формула приведення виду , звідки отримуємо 
. Ми можемо вказати значення тригонометричної функції: .ми вже будемо використовувати формулу виду 
, що призводить до наступного результату: .
.
, причому за умовою завдання кут має бути гострим. Це можна зробити двома способами: 
або 
. Таким чином, 
або 
.
і 
, отримуємо та .
і 
.
Мнемонічне правило
і 
рахуючи кут кутом першої чверті.і . За умови, що - кут першої чверті, кут 
теж є кутом першої чверті, а кут 
- кутом другої чверті. Косінус у першій чверті має знак плюс, а тангенс у другій чверті має знак мінус. На цьому етапі шукані формули матимуть вигляд 
та . Зі знаками розібралися, можна переходити до заключного кроку мнемонічного правила., то назву функції потрібно поміняти на кофункцію, тобто на синус. А аргумент тангенсу має вигляд Отже, назву функції потрібно залишити колишньою.
та . Можна заглянути до таблиці формул приведення, щоб переконатися у правильності отриманих результатів.
та .
.
.
і , що призводить до того ж результату.Доказ формул наведення
і 
.
звідки випливає, що і . Цим доведено аналізовані формули приведення для будь-якого кута.
(при необхідності дивіться статтю основні тригонометричні тотожності), а також щойно доведені формули, отримуємо 
і 
. Так ми довели дві наступні формули приведення.
. А й – як і відповідно.Урок та презентація на тему: "Застосування формул приведення під час вирішення завдань"
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
1С: Школа. Інтерактивні завдання на побудову для 7-10 класів
1С: Школа. Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову у просторі для 10–11 класів
1. Трохи повторимо.
2. Правила формул приведення.
3. Таблиця перетворень для формул приведення.
4. Приклади.Правило для формул наведення
3π/2 + t і 3π/2 - t, то функція зміниться на споріднену, тобто синус стане косинусом, котангенс стане тангенсом.
Приклади застосування формул приведення
Завдання з формулами приведення для самостійного вирішення
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) ctg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).