„Vienas su vienu“ atvaizdavimas, turintis savybę išlaikyti kampus pagal dydį ir kryptį bei mažų atvaizduotų taškų apylinkių išsiplėtimų pastovumo savybę, vadinamas konforminiu kartografavimu.
Siekiant užtikrinti individualų atspindį, nustatomos funkcijų vienalytiškumo sritys. Sritis D vadinama funkcijos f(z) vienvalencijos sritimi, jei.
Pagrindinės konforminio atvaizdavimo savybės:
1) tempimo pastovumas. Tiesinis taške yra vienodas visoms per tą tašką einančioms kreivėms ir yra lygus;
2) kampų išsaugojimas. Visos kreivės taške sukasi tuo pačiu kampu, lygios.
Funkcija rodo taškus z plokštumoje (arba Riemanno paviršiuje). Kiekviename taške z taip, kad f(z) būtų analitinis (t.y. vienareikšmiškai nustatytas ir diferencijuojamas tam tikroje šio taško kaimynystėje), o atvaizdavimas būtų konformalus, t.y. kampas tarp dviejų kreivių, einančių per tašką z, tarp dviejų atitinkamų kreivių plokštumoje virsta kampu, kurio dydis ir atskaitos kryptis yra lygūs.
Begalinis trikampis šalia tokio taško z atvaizduojamas į panašų begalinį trikampį – plokštumą; kiekviena trikampio kraštinė ištempiama santykiu ir pasukama kampu. Iškraipymo koeficientas (vietinis mažų plotų santykis) kartografuojant nustatomas pagal kartografavimo jakobinį
kiekviename taške z, kur atvaizdavimas yra konformalus.
Konforminis atvaizdavimas paverčia linijas į stačiakampių trajektorijų šeimą w plokštumoje.
Z plokštumos sritis, funkcija f(z) atvaizduota į visą w plokštumą, vadinama pagrindine funkcijos f(z) sritimi.
Taškai, kur vadinami kritiniais atvaizdavimo taškais.
Atvaizdavimas, išsaugantis kampo tarp dviejų kreivių dydį, bet ne kryptį, vadinamas izogoniniu arba konforminiu antrojo tipo kartografavimu.
Atvaizdavimas yra konformalus taške begalybėje, jei funkcija atitinka pradinį tašką su - plokštuma.
Dvi kreivės taške susikerta kampu, jei transformacija paverčia jas dviem kreivėmis, kurios taške susikerta kampu.
Panašiai tašką atitinka taškas .
KLASIKINIAI KONFORMALIŲJŲ ŽYMĖJIMŲ PAVYZDŽIAI
Paprasčiausi pavyzdžiai
1 pavyzdys. Naudodami funkciją, plokštumoje parodykite tiesią liniją.
Paverskime tiesią liniją.
Taigi,
Į gautas lygtis pakeičiame:
ir gauname
Iš gautų lygčių neįtraukiame x.
Iš (1) lygties randame x ir gauname
Pakeiskite (3) į (2) lygtį:
mes gauname
Pavaizduokime gautas linijas 1 paveiksle.
1 pav. Konformalus kartografavimas tiesiogine funkcija
Atsakymas: Taigi, tiesi linija, esanti xOy plokštumoje, buvo konformiškai atvaizduota į kreivę (parabolę), esančią plokštumoje
2 pavyzdys. Raskite sukimosi kampą ir mastelio iškraipymo koeficientą taške, kai rodoma:
Kai rodoma naudojant funkciją, sukimosi kampas yra,a.
Taške, kurį turime
Atsakymas: (suspaudimas).
3 pavyzdys. Raskite sukimosi kampą ir mastelio iškraipymo koeficientą taške, kai rodoma:
Kai rodoma naudojant funkciją, yra sukimosi kampas, o skalės iškraipymo koeficientas taške yra lygus
Taške, kurį turime
(tempimas).
Atsakymas: (tempimas).
4 pavyzdys. Raskite plokštumos taškus, kuriuose mastelio iškraipymo koeficientas yra lygus 1, kai rodoma:
Mastelio iškraipymo koeficientas taške yra lygus
Išvestinės radimas
Vadinasi,
5 pavyzdys. Raskite plokštumos taškus, kuriuose mastelio iškraipymo koeficientas yra lygus 1, kai rodoma:
Mastelio iškraipymo koeficientas taške yra lygus
Išvestinės radimas
Pagal sąlygą skalės iškraipymo koeficientas turi būti lygus 1.
Vadinasi,
Sprendžiant taikomąsias problemas, dažnai reikia tam tikrą plotą paversti paprastesnės formos sritimi ir taip, kad būtų išsaugoti kampai tarp kreivių. Šia savybe apdovanotos transformacijos leidžia sėkmingai išspręsti aerodinamikos ir hidrodinamikos, tamprumo teorijos, įvairaus pobūdžio laukų teorijos ir daugelį kitų uždavinius. Apsiribosime plokščių regionų transformacijomis. Nepertraukiamas plokščios srities atvaizdavimas r = f(r) į plokštumos sritį vadinamas konforminiu taške, jei šiame taške jis turi pastovaus kampų išplėtimo ir išsaugojimo savybes. Atviros sritys vadinamos konformiškai lygiavertėmis, jei yra vienas su vienu atvaizdavimas iš vieno iš šių regionų į kitą, konformišką kiekviename taške. Riemano teorema. Bet kurios dvi plokščios atviros tiesiog sujungtos sritys, kurių ribos susideda iš daugiau nei vieno taško, yra konformiškai lygiavertės. Pagrindinė problema sprendžiant konkrečias problemas yra aiškaus vieno iš jų konformalaus atvaizdavimo sudarymas iš konkrečių plokščių regionų. Vienas iš būdų išspręsti šią problemą plokštumos atveju yra naudoti kompleksinio kintamojo funkcijų teorijos aparatą. Kaip minėta aukščiau, vienavalentė analitinė funkcija, turinti nulinę išvestinę, atlieka konformalų savo priskyrimo srities atvaizdavimą savo atvaizde. Kuriant konforminius atvaizdus, labai naudinga ši taisyklė. Ribų atitikimo principas. Paprasčiausiai sujungtoje kompleksinės plokštumos z srityje H), kurią riboja 7 kontūras, bus duota vienos reikšmės analitinė funkcija w = f(z), ištisinė 9) ir atspindinti kontūrą 7 į kažkokį komplekso kontūrą 7" tiesiškumas w Jei išsaugomos kryptys, kertančios kontūrą, tada funkcija w - f(z) atlieka kompleksinės plokštumos z srities konforminį atvaizdavimą į kompleksinės plokštumos w sritį Z1, apribotą kontūru 7" (1 pav.). Šios dalies tikslas – naudojant anksčiau rastus kompleksinio kintamojo pagrindinių elementariųjų funkcijų vienalytiškumo domenus, išmokti sudaryti atvirų tiesiog sujungtų plokštuminių domenų, dažnai pasitaikančių programose, konforminius atvaizdus per domenus – viršutinę pusę. -plokštuma ir vienetinis apskritimas (.2 pav.). Norint efektyviau naudoti toliau pateiktą lentelę, naudingos kai kurios paprastos sudėtingos plokštumos transformacijos. Plokštumos transformacijos, kurios atlieka: 1. lygiagretųjį vertimą (paslinkimas duotu kompleksiniu skaičiumi a) (pav. 3), 3 pav. 2. sukimasis (tam tikru kampu 3. tempimas (fc > 1) arba suspaudimas (5 pav.). Taigi, 0 tipo transformacija, bet kurį apskritimą galima paversti vienetiniu apskritimu su centru ties nuliu (6 pav.), bet kurią pusplokštumą galima padaryti viršutine pusplokštuma, bet kurią tiesiosios linijos atkarpą galima paversti tikrosios ašies segmentu (14 pav. Nurodytas plotas parodytas lentelėje prie Nr. 22. Naudodami trupmeninę tiesinę transformaciją, paverčiame šią sritį į plokštumą su pjūviu išilgai tikrojo spindulio (0, +«>(Plokštuma su pjūviais išilgai realių spindulių J -oo, 0]). ir (I, +oo[ Plokštuma su pjūviu išilgai tikrojo spindulio Plokštuma su pjūviu išilgai atkarpos (O, 1J Nr. 21 1 plokštuma su pjūviais y spinduliai yra tiesi linija, einanti per pradžią išilgai realių spindulių ] - " у, 0] ir (1. Plokštuma su pjūviu išilgai tikrojo spindulio (0, + in (Plokštuma su pjūviu išilgai apskritimo Ixl lanko - 1, lm z > O Plokštuma su pjūviu išilgai apskritimo lanko III - I, Re z > O Plokštuma su pjūviu išilgai tikrojo spindulio (0, Plokštuma su pjūviu išilgai apskritimo lanko Plokštuma su pjūviu išilgai tikrojo spindulio [C, + co [ Nr. 25 Pusplokštuma su pjūviais Pusplokštuma l su pjūviu išilgai segmento su pjūviu pagal įsivaizduojamą spindulį Apskritimas su pjūviais Apskritimas 1 su pjūviu išilgai segmento (1/2, 1J Nr. 30 Plokštuma su pjūviu išilgai segmento (-1, 5/4] Apskritimas) Izl su pjūviais išilgai segmentų (-1 . -1/2] ir (1/2, 1] Nr. 31 Plokštuma su pjūviais išilgai I -5/4, 5/4] Apskritimas Ijl su simetriniais pjūviais pagal įsivaizduojamą ašį Apskritimas yra su simetriškais pjūviais išilgai tikrosios ašies Apskritimo išorė su pjūviais Išorinis vieneto apskritimas I su pjūviu išilgai segmento ir 11, 2) Nr. 34 Plokštuma su pjūviu išilgai atkarpos [ -1, 5/4] Plokštuma su pjūviu išilgai atkarpos I - 5/ 4, 3/4] w = e "^z Vieno apskritimo išvaizda Izl > 1 su pjūviais išilgai segmentų, kurie yra jo skersmens tęsiniai Vienetinio apskritimo Iwl > 1 išorė su pjūviais išilgai segmentų, esančių ant tikrosios ašies Pusapskritis su pjūviais -r2 Nfc 36 Apskritimas Iwl su pjūviu išilgai segmento [ -1/4, 1] Pusapskritis , su pjūviu išilgai segmento (0, i/2) Puslankis, su pjūviu išilgai segmento )