Redukcijos formulės yra koeficientai, leidžiantys pereiti nuo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento su kampais `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` į tas pačias kampo `\alpha` funkcijas, kurios yra pirmajame vieneto apskritimo ketvirtyje. Taigi redukcinės formulės mus „veda“ dirbti su kampais nuo 0 iki 90 laipsnių, o tai labai patogu.
Iš viso yra 32 redukcijos formulės. Jie neabejotinai pravers per egzaminą, egzaminus, testus. Bet mes iš karto perspėsime, kad nereikia jų įsiminti! Turite praleisti šiek tiek laiko ir suprasti jų taikymo algoritmą, tada jums nebus sunku tinkamu metu išvesti reikiamą lygybę.
Pirmiausia užsirašykime visas redukcijos formules:
Jei kampas (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) arba (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha
Kampui (`\pi \pm \alpha`) arba (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha
Jei kampas (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) arba (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha
Kampui (`2\pi \pm \alpha`) arba (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha
Redukcijos formules dažnai galite rasti lentelės pavidalu, kur kampai parašyti radianais:
Norėdami jį naudoti, turite pasirinkti eilutę su mums reikalinga funkcija ir stulpelį su norimu argumentu. Pavyzdžiui, norint sužinoti, kas bus ` sin(\pi + \alpha)` naudojant lentelę, pakanka rasti atsakymą eilutės ` sin \beta` ir stulpelio ` \pi + \ sankirtoje. alfa“. Gauname ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
Ir antroji, panaši lentelė, kur kampai rašomi laipsniais:
Mnemoninė formulių liejimo taisyklė arba kaip jas atsiminti
Kaip jau minėjome, nebūtina įsiminti visų minėtų santykių. Jei atidžiai pažvelgėte į juos, tikriausiai pastebėjote keletą modelių. Jie leidžia mums suformuluoti mnemoninę taisyklę (mnemoninę - įsiminti), kurią naudodami galite lengvai gauti bet kurią redukcijos formulę.
Iš karto pažymime, kad norint taikyti šią taisyklę, reikia gerai nustatyti (arba atsiminti) trigonometrinių funkcijų požymius skirtinguose vieneto apskritimo ketvirčiuose. 
Pats transplantatas susideda iš 3 etapų:
- Funkcijos argumentas turi būti tokiomis formomis: \frac (\pi)2 \pm \alpha, \pi \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha, 2\pi \ pm \alpha, būtinas \alpha aštrus kampas(nuo 0 iki 90 laipsnių).
- Argumentams „\frac (\pi)2 \pm \alpha“, „\frac (3\pi)2 \pm \alpha“ trigonometrinė funkcija konvertuotos išraiškos pasikeičia į kofunkciją, tai yra, priešingą (sinusą į kosinusą, liestinę į kotangentą ir atvirkščiai). Argumentams „\pi \pm \alpha“, „2\pi \pm \alpha“ funkcija nesikeičia.
- Nustatomas pradinės funkcijos ženklas. Dešinėje pusėje gauta funkcija turės tą patį ženklą.
Norėdami pamatyti, kaip šią taisyklę galima pritaikyti praktiškai, pakeiskime keletą posakių:
1. „cos(\pi + \alpha)“.
Funkcija nekeičiama. Kampas ` \pi + \alpha` yra trečiame kvadrante, kosinusas šiame kvadrante turi "-" ženklą, todėl konvertuota funkcija taip pat turės "-" ženklą.
Atsakymas: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)'.
Pagal mnemoninę taisyklę funkcija bus atvirkštinė. Kampas `\frac (3\pi)2 - \alpha` yra trečiame kvadrante, sinusas čia turi "-" ženklą, todėl rezultatas taip pat bus su "-" ženklu.
Atsakymas: "sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha"
3. „cos(\frac (7\pi)2 – \alpha)“.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2–\alpha))“. Pavaizduokime „3\pi“ kaip „2\pi+\pi“. „2\pi“ yra funkcijos laikotarpis.
Svarbu: funkcijų „cos \alpha“ ir „sin \alpha“ laikotarpis yra „2\pi“ arba „360^\circ“, jų reikšmės nepasikeis, jei argumentas bus padidintas arba sumažintas šiomis reikšmėmis.
Remiantis tuo, mūsų išraišką galima parašyti taip: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Du kartus pritaikę mnemoninę taisyklę, gauname: `cos (\pi+(\frac(\) pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Atsakymas: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha.
arklio taisyklė
Antrasis minėtos mnemoninės taisyklės punktas dar vadinamas redukcijos formulių arklio taisykle. Įdomu, kodėl arkliai?
Taigi turime funkcijas su argumentais „\frac (\pi)2 \pm \alpha”, „\pi \pm \alpha”, „\frac (3\pi)2 \pm \alpha”, „2\pi \ pm \alpha, taškai \frac (\pi)2, \pi, \frac (3\pi)2, 2\pi yra pagrindiniai taškai, jie yra koordinačių ašyse. „\pi“ ir „2\pi“ yra horizontalioje x ašyje, o „\frac (\pi)2“ ir „\frac (3\pi)2“ yra vertikalioje y ašyje.
Užduodame sau klausimą: „Ar funkcija virsta kofunkcija? Norėdami atsakyti į šį klausimą, turite pasukti galvą išilgai ašies, kurioje yra pagrindinis taškas.
Tai yra, į argumentus, kurių pagrindiniai taškai yra horizontalioje ašyje, atsakome „ne“ purtydami galvas į šonus. O į kampus, kurių pagrindiniai taškai yra vertikalioje ašyje, atsakome „taip“ linksėdami galvą iš viršaus į apačią, kaip arklys 🙂
Rekomenduojame pažiūrėti vaizdo pamoką, kurioje autorius išsamiai paaiškina, kaip įsiminti redukcijos formules jų neįsiment.
Praktiniai liejimo formulių naudojimo pavyzdžiai
Sumažinimo formulės pradedamos naudoti 9 ir 10 klasėse. Egzaminui pateikiama daug užduočių su jų naudojimu. Štai keletas užduočių, kuriose turėsite taikyti šias formules:
- stačiakampio trikampio sprendimo užduotys;
- skaitinių ir abėcėlinių trigonometrinių reiškinių konvertavimas, jų reikšmių skaičiavimas;
- stereometrines problemas.
1 pavyzdys. Naudokite redukcijos formules, kad apskaičiuotumėte a) „sin 600^\circ“, b) „tg 480^\circ“, c) „cos 330^\circ“, d) „sin 240^\circ“.
Sprendimas: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) „tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3“;
c) „cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2“;
d) „sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2“.
2 pavyzdys. Išreiškę kosinusą per sinusą naudodami redukcijos formules, palyginkite skaičius: 1) `sin \frac (9\pi)8` ir `cos \frac (9\pi)8; 2) „sin \frac (\pi)8“ ir „cos \frac (3\pi)10“.
Sprendimas: 1)`sin \frac (9\pi)8 = sin (\pi+\frac (\pi)8) = -sin \frac (\pi)8
„cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8“
„-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8“.
„sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8“.
2) „cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5) = sin \frac (\pi)5“
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Pirmiausia įrodome dvi argumento `\frac (\pi)2 + \alpha sinuso ir kosinuso formules: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` ir ` cos( \frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Likusi dalis yra kilusi iš jų. Paimkite vienetinį apskritimą ir tašką A su koordinatėmis (1,0). Leiskite įjungus Iš liestinės ir kotangento apibrėžimo gauname ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi) )2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` ir ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac) (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, kuris įrodo redukciją kampo `\frac (\pi)2 + \alpha' liestinės ir kotangento formulės. Norint įrodyti formules su argumentu `\frac (\pi)2 - \alpha`, pakanka pateikti ją kaip `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` ir eiti tuo pačiu keliu, kaip nurodyta aukščiau. Pavyzdžiui, „cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)“. Kampai `\pi + \alpha` ir `\pi - \alpha` gali būti pavaizduoti kaip `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` ir `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` atitinkamai. Ir „\frac (3\pi)2 + \alpha“ ir „\frac (3\pi)2 - \alpha“ kaip „\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)“ ir „\pi“ +(\frac (\pi)2-\alpha)`. Šis straipsnis skirtas išsamiam trigonometrinių redukcijos formulių tyrimui. Pateikiamas visas redukcinių formulių sąrašas, pateikiami jų panaudojimo pavyzdžiai, pateikiamas formulių teisingumo įrodymas. Straipsnyje taip pat pateikiama mnemoninė taisyklė, leidžianti išvesti redukcijos formules neatsimenant kiekvienos formulės. Yandex.RTB R-A-339285-1 Redukcijos formulės leidžia sumažinti pagrindines savavališko dydžio kampų trigonometrines funkcijas iki kampų, esančių diapazone nuo 0 iki 90 laipsnių (nuo 0 iki π 2 radianų). Darbas su kampais nuo 0 iki 90 laipsnių yra daug patogiau nei dirbti su savavališkai didelėmis reikšmėmis, todėl sprendžiant trigonometrijos uždavinius plačiai naudojamos redukcijos formulės. Prieš užrašydami pačias formules, išsiaiškinsime keletą dalykų, kurie yra svarbūs supratimui. Dabar pereikime tiesiai prie redukcijos formulių. Liejimo formulės leidžia pereiti nuo darbo su savavališkai ir savavališkai dideliais kampais prie darbo su kampais nuo 0 iki 90 laipsnių. Visas formules surašykime lentelės pavidalu. Liejamos formulės nuodėm cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos π , 2 α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z =, cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z , co sin π + α + 2 π z π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z, = α sin α + 2 π z + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 ϱ 2 - α = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α Šiuo atveju formulės rašomos radianais. Tačiau juos taip pat galite rašyti naudodami laipsnius. Pakanka radianus paversti laipsniais, π pakeičiant 180 laipsnių. Parodysime, kaip naudoti redukcijos formules ir kaip šios formulės naudojamos sprendžiant praktinius pavyzdžius. Kampas po trigonometrinės funkcijos ženklu gali būti pavaizduotas ne vienu, o įvairiais būdais. Pavyzdžiui, trigonometrinės funkcijos argumentas gali būti pavaizduotas kaip ± α + 2 π z , π 2 ± α + 2 π z , π ± α + 2 π z , 3 π 2 ± α + 2 π z . Parodykime tai. Paimkime kampą α = 16 π 3 . Šį kampą galima parašyti taip: α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π Priklausomai nuo kampo vaizdavimo, naudojama atitinkama redukcijos formulė. Paimkime tą patį kampą α = 16 π 3 ir apskaičiuokime jo liestinę 1 pavyzdys: liejimo formulių naudojimas α \u003d 16 π 3, t g α \u003d? Kampą α = 16 π 3 pavaizduokime kaip α = π + π 3 + 2 π 2 Šis kampo vaizdas atitiks sumažinimo formulę t g (π + α + 2 π z) = t g α t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3 Naudodamiesi lentele nurodome liestinės reikšmę Dabar naudojame kitą kampo α = 16 π 3 vaizdą. 2 pavyzdys: liejimo formulių naudojimas α \u003d 16 π 3, t g α \u003d? α \u003d - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 \u003d t g - 2 π 3 + 2 π 3 \u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3 d) \u003d Galiausiai, trečiajam kampo vaizdui rašome 3 pavyzdys: liejimo formulių naudojimas α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π 3 π = c 6 g ) Dabar pateiksime sudėtingesnių redukcijos formulių naudojimo pavyzdį 4 pavyzdys: liejimo formulių naudojimas Pavaizduokime nuodėmę 197° smailiojo kampo sinusu ir kosinusu. Kad būtų galima pritaikyti redukcijos formules, reikia kampą α = 197° pavaizduoti vienoje iš formų ± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Pagal problemos būklę kampas turi būti aštrus. Atitinkamai, mes turime du būdus tai pavaizduoti: 197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73° Mes gauname sin 197° = nuodėmė (180° + 17°) nuodėmė 197° = nuodėmė (270° - 73°) Dabar pažvelkime į sinusų mažinimo formules ir išsirinksime tinkamas. sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin(270° - 73° + 360° z) = - cos 73° Liejimo formulių yra daug, ir, laimei, nereikia jų įsiminti. Yra modelių, pagal kuriuos galite gauti redukcijos formules skirtingiems kampams ir trigonometrinėms funkcijoms. Šie modeliai vadinami mnemoninėmis taisyklėmis. Mnemonika yra įsiminimo menas. Mnemoninę taisyklę sudaro trys dalys arba trys etapai. Mnemoninė taisyklė 1. Pradinės funkcijos argumentas pavaizduotas viena iš formų ± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz Kampas α turi būti nuo 0 iki 90 laipsnių. 2. Nustatomas pradinės trigonometrinės funkcijos ženklas. Dešinėje formulės pusėje parašyta funkcija turės tą patį ženklą. 3. Kampams ± α + 2 πz ir π ± α + 2 πz pradinės funkcijos pavadinimas lieka nepakitęs, o atitinkamai kampams π 2 ± α + 2 πz ir 3 π 2 ± α + 2 πz jis keičiasi. „bendradarbiauti“. Sinusas į kosinusą. Liestinė su kotangentu. Norėdami naudoti mnemoninę taisyklę redukcijos formulėms, turite mokėti nustatyti trigonometrinių funkcijų požymius išilgai vieneto apskritimo ketvirčių. Pažvelkime į mnemoninės taisyklės taikymo pavyzdžius. 1 pavyzdys: mnemoninės taisyklės naudojimas Užrašykime cos π 2 - α + 2 πz ir t g π - α + 2 πz redukcijos formules . α - pirmojo ketvirčio kampas. 1. Kadangi pagal sąlygą α yra pirmojo ketvirčio žurnalas, pirmąją taisyklės pastraipą praleidžiame. 2. Nustatykime funkcijų cos π 2 - α + 2 πz ir t g π - α + 2 πz požymius. Kampas π 2 - α + 2 πz taip pat yra pirmojo ketvirčio kampas, o kampas π - α + 2 πz yra antrajame ketvirtyje. Pirmajame ketvirtyje kosinuso funkcija yra teigiama, o antrojo ketvirčio liestinė turi minuso ženklą. Užrašykime, kaip norimos formulės atrodys šiame etape. cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = - 3. Pagal trečiąjį tašką kampui π 2 - α + 2 π funkcijos pavadinimas pasikeičia į Konfucijus, o kampui π - α + 2 πz išlieka toks pat. Parašykime: cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α Dabar pažiūrėkime į aukščiau pateiktas formules ir įsitikinkime, kad mnemoninė taisyklė veikia. Apsvarstykite pavyzdį, kurio specifinis kampas α = 777°. Sukeliame sinuso alfa į smailaus kampo trigonometrinę funkciją. 2 pavyzdys: mnemoninės taisyklės naudojimas 1. Kampą α = 777 ° pavaizduokime reikiama forma 777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2 2. Pradinis kampas – pirmojo ketvirčio kampas. Taigi kampo sinusas turi teigiamą ženklą. Dėl to turime: 3. sin 777° = sin(57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = nuodėmė (90° - 33° + 360° 2) = cos 33° Dabar pažiūrėkime į pavyzdį, rodantį, kaip svarbu teisingai nustatyti trigonometrinės funkcijos ženklą ir teisingai pavaizduoti kampą naudojant mnemoninę taisyklę. Pakartokime dar kartą. Svarbu! Kampas α turi būti smailus! Apskaičiuokime kampo liestinę 5 π 3 . Iš pagrindinių trigonometrinių funkcijų verčių lentelės galite iš karto paimti reikšmę t g 5 π 3 = - 3, tačiau taikysime mnemoninę taisyklę. 3 pavyzdys: mnemoninės taisyklės naudojimas Kampą α = 5 π 3 pavaizduojame reikiama forma ir naudojame taisyklę t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3 Jei kampą alfa vaizduosime forma 5 π 3 = π + 2 π 3, tada mnemoninės taisyklės taikymo rezultatas bus neteisingas. t g 5 π 3 \u003d t g π + 2 π 3 \u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3) \u003d 3 Neteisingas rezultatas atsiranda dėl to, kad kampas 2 π 3 nėra smailus. Redukcijos formulių įrodymas remiasi trigonometrinių funkcijų periodiškumo ir simetrijos savybėmis, taip pat poslinkio kampais π 2 ir 3 π 2 savybe. Visų redukcijos formulių galiojimo įrodymas gali būti atliktas neatsižvelgiant į terminą 2 πz, nes jis žymi kampo pokytį sveikuoju pilnų apsisukimų skaičiumi ir tiesiog atspindi periodiškumo savybę. Pirmosios 16 formulių tiesiogiai išplaukia iš pagrindinių trigonometrinių funkcijų savybių: sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. Pateikiame sinusų ir kosinusų redukcijos formulių įrodymą sin π 2 + α = cos α ir cos π 2 + α = - sin α Pažiūrėkime į vienetinį apskritimą, kurio pradinis taškas, pasukus kampą α, perėjo į tašką A 1 x , y , o pasukus kampą π 2 + α - į tašką A 2 . Iš abiejų taškų brėžiame statmenus x ašiai. Du stačiakampiai trikampiai O A 1 H 1 ir O A 2 H 2 yra lygūs hipotenuzės ir prie jos esančių kampų atžvilgiu. Iš taškų išsidėstymo apskritime ir trikampių lygybės galime daryti išvadą, kad taškas A 2 turi koordinates A 2 - y, x. Naudodamiesi sinuso ir kosinuso apibrėžimais, rašome: sin α \u003d y, cos α \u003d x, sin π 2 + α \u003d x, cos π 2 + α \u003d y sin π 2 + α \u003d cos α, cos π 2 + α \u003d - sin α Atsižvelgdami į pagrindines trigonometrijos tapatybes ir tai, kas ką tik buvo įrodyta, galime rašyti t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - α α = cos tgα Norint įrodyti redukcijos formules su argumentu π 2 - α, ji turi būti pavaizduota kaip π 2 + (- α) . Pavyzdžiui: cos π 2 - α \u003d cos π 2 + (- α) \u003d - nuodėmė (- α) \u003d nuodėmė α Įrodyme naudojamos trigonometrinių funkcijų savybės, kurių argumentai yra priešingi. Visos kitos redukcinės formulės gali būti įrodytos remiantis aukščiau parašytomis formulėmis. Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter Ir dar viena užduotis B11 ta pačia tema – iš tikrojo NAUDOJIMO matematikoje. Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: Šiame trumpame vaizdo įraše sužinosime, kaip pateikti paraišką redukcijos formules už realius uždavinius B11 iš matematikos egzamino. Kaip matote, priešais mus yra dvi trigonometrinės išraiškos, kurių kiekvienoje yra sinusai ir kosinusai, taip pat gana žiaurūs skaitiniai argumentai. Prieš spręsdami šias problemas, prisiminkime, kas yra redukcijos formulės. Taigi, jei turime tokius posakius: Tada galime atsikratyti pirmojo nario (formos k · π/2) pagal specialias taisykles. Nubraižykime trigonometrinį apskritimą, pažymėkime jame pagrindinius taškus: 0, π/2; π; 3π/2 ir 2π. Tada žiūrime į pirmąjį terminą po trigonometrinės funkcijos ženklu. Mes turime: Taigi gauname trigonometrinę funkciją, kurioje nėra k · π/2 formos terminų. Tačiau darbas su redukcijos formulėmis tuo nesibaigia. Faktas yra tas, kad prieš mūsų naują funkciją, gautą „atmetus“ pirmąjį terminą, gali būti pliuso arba minuso ženklas. Kaip atpažinti šį ženklą? Dabar išsiaiškinsime. Įsivaizduokite, kad kampas α, kuris po transformacijų lieka trigonometrinės funkcijos viduje, turi labai mažą laipsnio matą. Bet ką reiškia „mažas matas“? Tarkime, α ∈ (0; 30°) – to visiškai pakanka. Paimkime funkciją kaip pavyzdį: Tada, vadovaudamiesi mūsų prielaidomis, kad α ∈ (0; 30°), darome išvadą, kad kampas 3π/2 − α yra trečiajame koordinačių kvadrante, t.y. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Primename pradinės funkcijos ženklą, t.y. y = sin x šiame intervale. Akivaizdu, kad sinusas trečiajame koordinačių ketvirtyje yra neigiamas, nes pagal apibrėžimą sinusas yra judančio spindulio pabaigos ordinatė (trumpiau tariant, sinusas yra y koordinatė). Na, y koordinatė apatinėje pusiau plokštumoje visada įgauna neigiamas reikšmes. Vadinasi, trečiąjį ketvirtį y taip pat yra neigiamas. Remdamiesi šiais samprotavimais, galime parašyti galutinę išraišką: Tie patys metodai yra gana tinkami sprendžiant B11 uždavinį iš vieningo valstybinio matematikos egzamino. Vienintelis skirtumas yra tas, kad daugelyje realių B11 uždavinių vietoj radianinio mato (t. y. skaičiai π, π/2, 2π ir kt.) naudojamas laipsnio matas (t. y. 90°, 180°, 270° ir ir tt). Pažvelkime į pirmąją užduotį: Pirmiausia panagrinėkime skaitiklį. cos 41° yra ne lentelės reikšmė, todėl su ja nieko negalime padaryti. Kol kas palikime taip. Dabar pažiūrėkite į vardiklį: sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41° Akivaizdu, kad prieš mus yra redukcijos formulė, todėl sinusas buvo pakeistas kosinusu. Be to, kampas 41° guli ant atkarpos (0°; 90°), t.y. pirmajame koordinačių ketvirtyje – tiksliai taip, kaip reikia redukcinėms formulėms taikyti. Bet tada 90° + 41° yra antrasis koordinačių ketvirtis. Pradinė funkcija y = sin x yra teigiama, todėl paskutiniame žingsnyje prieš kosinusą dedame pliuso ženklą (kitaip tariant, nieko nedėjome). Belieka susidoroti su paskutiniu elementu: cos 240° = cos (180° + 60°) = -cos 60° = -0,5 Čia matome, kad 180° yra horizontali ašis. Vadinasi, pati funkcija nepasikeis: buvo kosinusas – ir kosinusas taip pat liks. Bet vėl kyla klausimas: ar pliusas ar minusas bus prieš gautą išraišką cos 60 °? Atkreipkite dėmesį, kad 180° yra trečiasis koordinačių kvadrantas. Ten kosinusas yra neigiamas, todėl kosinusas bus su minuso ženklu. Iš viso gauname konstrukciją -cos 60 ° = -0,5 - tai yra lentelės reikšmė, todėl viską lengva apskaičiuoti. Dabar gautus skaičius pakeičiame pradine formule ir gauname: Kaip matote, skaičius cos 41 ° trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra lengvai sumažinamas, o išlieka įprasta išraiška, kuri yra lygi –10. Tokiu atveju minusą galima išimti ir įdėti prieš trupmenos ženklą arba „laikyti“ šalia antrojo daugiklio iki paskutinio skaičiavimo žingsnio. Bet kuriuo atveju atsakymas yra -10. Štai ir viskas, problema B11 išspręsta! Pereikime prie antrosios užduoties. Prieš mus vėl trupmenėlė: Na, pirmame koordinačių kvadrante turime 27°, tai čia nieko nepakeisime. Bet nuodėmė 117 ° turi būti nudažyta (iki šiol be jokio kvadrato): sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27° Akivaizdu, kad vėl prieš mus redukcijos formulė: 90° yra vertikali ašis, todėl sinusas pasikeis į kosinusą. Be to, kampas α = 117° = 90° + 27° yra antrajame koordinačių kvadrante. Ten pradinė funkcija y = sin x yra teigiama, todėl prieš kosinusą po visų transformacijų pliuso ženklas vis tiek išlieka. Kitaip tariant, ten nieko nepridedama - paliekame taip: cos 27 °. Grįžtame prie pradinės išraiškos, kurią reikia įvertinti: Kaip matote, po transformacijų vardiklyje atsirado pagrindinė trigonometrinė tapatybė: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Iš viso -4: 1 = -4 - taip radome atsakymą į antrą uždavinį B11. Kaip matote, redukcinių formulių pagalba tokios užduotys iš vieningo valstybinio matematikos egzamino išsprendžiamos vos per kelias eilutes. Jokių sumos sinusų ir skirtumo kosinusų. Viskas, ką turime atsiminti, yra tik trigonometrinis apskritimas. Apibrėžimas.
Redukcijos formulės vadinamos formulėmis, leidžiančiomis pereiti nuo trigonometrinių formos funkcijų prie argumentų funkcijų. Jų pagalba savavališko kampo sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas gali būti sumažintas iki kampo nuo 0 iki 90 laipsnių (nuo 0 iki radianų) sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento. Taigi, sumažinimo formulės leidžia pereiti prie darbo su kampais 90 laipsnių ribose, o tai neabejotinai yra labai patogu. Liejimo formulės: Yra dvi liejimo formulių naudojimo taisyklės.
1.
Jei kampas gali būti pavaizduotas kaip (π/2 ±a) arba (3*π/2 ±a), tada keičiasi funkcijos pavadinimas nuodėmės į cos, cos į nuodėmę, tg į ctg, ctg į tg. Jei kampas gali būti pavaizduotas kaip (π ±a) arba (2*π ±a), tada funkcijos pavadinimas lieka nepakitęs. Pažvelkite į žemiau esantį paveikslą, kuriame schematiškai parodyta, kada ženklą reikia keisti, o kada ne. 2. Sumažintas funkcijos ženklas
lieka ta pati. Jei pradinė funkcija turėjo pliuso ženklą, tai sumažinta funkcija taip pat turi pliuso ženklą. Jei pradinė funkcija turėjo minuso ženklą, tai sumažinta funkcija taip pat turi minuso ženklą. Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduoti pagrindinių trigonometrinių funkcijų ženklai, priklausantys nuo ketvirčio. Pavyzdys:
Apskaičiuoti Naudokime redukcijos formules: Sin(150˚) yra antrame ketvirtyje, iš paveikslo matome, kad nuodėmės ženklas šiame ketvirtyje yra lygus „+“. Tai reiškia, kad aukščiau nurodyta funkcija taip pat turės „+“ ženklą. Pritaikėme antrąją taisyklę. Dabar 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ yra π/2. Tai yra, mes susiduriame su atveju π / 2 + 60, todėl pagal pirmąją taisyklę mes keičiame funkciją iš sin į cos. Dėl to gauname Sin(150˚) = cos(60˚) = ½. Jie priklauso matematikos „trigonometrijos“ skyriui. Jų esmė yra paversti kampų trigonometrines funkcijas į „paprastesnę“ formą. Apie jų žinių svarbą galima daug rašyti. Šių formulių yra 32! Nesijaudinkite, jums jų nereikia mokytis, kaip ir daugelio kitų matematikos kurso formulių. Nereikia pildyti galvos nereikalinga informacija, reikia įsiminti „raktus“ ar dėsnius, ir prisiminti ar išvesti norimą formulę nebus problemų. Beje, kai rašau straipsniuose "... reikia išmokti !!!" – tai reiškia, kad to išmokti tikrai būtina. Jei nesate susipažinę su redukcijos formulėmis, tuomet jų išvedimo paprastumas jus maloniai nustebins – yra „dėsnis“, pagal kurį tai padaryti lengva. Ir per 5 sekundes parašysite bet kurią iš 32 formulių. Išvardinsiu tik kai kurias užduotis, kurios bus matematikos egzamine, kur be šių formulių žinių yra didelė tikimybė, kad nepavyks išspręsti. Pavyzdžiui: - stačiakampio trikampio, kai kalbame apie išorinį kampą, ir vidinių kampų uždaviniai, kai kurios iš šių formulių taip pat būtinos. - trigonometrinių išraiškų reikšmių skaičiavimo užduotys; skaitmeninių trigonometrinių išraiškų transformacijos; pažodinių trigonometrinių išraiškų transformacijos. - užduotys apie liestinę ir geometrinę liestinės reikšmę, reikalinga liestinės redukcijos formulė, taip pat kitos užduotys. - stereometrinės problemos, sprendžiant dažnai reikia nustatyti kampo, kuris yra nuo 90 iki 180 laipsnių, sinusą arba kosinusą. Ir tai tik tie punktai, kurie susiję su egzaminu. O pačioje algebroje kyla daug problemų, kurias sprendžiant, nežinant redukcijos formulių, tiesiog neįmanoma padaryti. Taigi prie ko tai veda ir kaip nustatytos formulės mums supaprastina problemų sprendimą? Pavyzdžiui, turite nustatyti bet kurio kampo nuo 0 iki 450 laipsnių sinusą, kosinusą, liestinę arba kotangentą: alfa kampas svyruoja nuo 0 iki 90 laipsnių * * *
Taigi, būtina suprasti čia veikiantį „įstatymą“: 1. Nustatykite funkcijos ženklą atitinkamame ketvirtyje. Leiskite jiems priminti: 2. Atsiminkite šiuos dalykus: funkcija pakeičiama į kofunkciją
funkcija nekeičiama į bendrąją funkciją
Ką reiškia sąvoka – funkcija keičiasi į kofunkciją?
Atsakymas: sinuso pokyčiai į kosinusą arba atvirkščiai, tangentas į kotangentą arba atvirkščiai.
Tai viskas! Dabar, pagal pateiktą įstatymą, savarankiškai rašome keletą redukcijos formulių: Šis kampas yra trečiajame ketvirtyje, o kosinusas trečiajame ketvirtyje yra neigiamas. Bendros funkcijos funkcijos nekeičiame, nes turime 180 laipsnių, o tai reiškia: Kampas yra pirmame ketvirtyje, o sinusas pirmajame ketvirtyje yra teigiamas. Mes nekeičiame funkcijos į kofunkciją, nes turime 360 laipsnių, o tai reiškia: Čia yra dar vienas papildomas patvirtinimas, kad gretimų kampų sinusai yra lygūs: Kampas yra antrajame ketvirtyje, sinusas antrajame ketvirtyje yra teigiamas. Mes nekeičiame funkcijos į kofunkciją, nes turime 180 laipsnių, o tai reiškia: Išnagrinėkite kiekvieną formulę mintyse arba raštu ir pamatysite, kad nėra nieko sudėtingo. ***
Straipsnyje apie sprendimą buvo pastebėtas toks faktas - vieno stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas yra lygus kito jame esančio smailiojo kampo kosinusui.
kampe `\alpha` jis eis į tašką `A_1(x, y)`, o pasukus kampu `\frac (\pi)2 + \alpha` į tašką `A_2(-y,x)` . Numetę statmenus iš šių taškų į tiesę OX, matome, kad trikampiai `OA_1H_1` ir `OA_2H_2` yra lygūs, nes jų hipotenuzės ir gretimi kampai yra lygūs. Tada, remdamiesi sinuso ir kosinuso apibrėžimais, galime parašyti „sin \alpha=y“, „cos \alpha=x“, „sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x“, „cos“ (\frac (\pi)2 + \alpha)=-y`. Kaip galima parašyti, kad ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` ir ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, kas įrodo redukciją kampo sinuso ir kosinuso formulės `\frac (\pi)2 + \alpha.Liejimo formulės. Sąrašas
Liejimo formulių naudojimo pavyzdžiai
Mnemoninė taisyklė
Problema B11 – 1 variantas
Problema B14 – 2-as variantas
