Nuo geometrijos ir matematikos kursų moksleiviai yra pripratę prie to, kad išvestinės sąvoka jiems perteikiama per figūros plotą, diferencialus, funkcijų ribas, taip pat ribas. Pabandykime pažvelgti į išvestinės sąvoką kitu kampu ir nustatyti, kaip galima susieti išvestinę ir trigonometrines funkcijas.
Taigi, apsvarstykite kokią nors savavališką kreivę, kuri apibūdinama abstrakčia funkcija y = f(x).
Įsivaizduokite, kad grafikas yra turistinio maršruto žemėlapis. Prieaugis ∆x (delta x) paveiksle yra tam tikras tako atstumas, o ∆y – tako aukščio virš jūros lygio pokytis.
Tada paaiškėja, kad santykis ∆x/∆y apibūdins sudėtingą maršrutą kiekviename tako atkarpoje. Žinodami šią vertę, galite drąsiai pasakyti, ar pakilimas / nusileidimas yra status, ar reikalinga laipiojimo įranga ir ar turistams reikalingas tam tikras fizinis pasirengimas. Bet šis rodiklis galios tik vienam nedideliam intervalui ∆x.
Jei kelionės organizatorius paims tako pradžios ir pabaigos taškų reikšmes, tai yra ∆x - bus lygus maršruto ilgiui, tada jis negalės gauti objektyvių duomenų apie laipsnį. dėl kelionės sunkumo. Todėl reikia sukurti dar vieną grafiką, kuris charakterizuotų takų pokyčių greitį ir „kokybę“, kitaip tariant, kiekvienam maršruto „metrui“ nustatys santykį ∆x/∆y.
Šis grafikas bus vaizdinė konkretaus kelio išvestinė ir objektyviai apibūdins jo pokyčius kiekviename dominančiame intervale. Tai labai lengva patikrinti, ∆x/∆y reikšmė yra ne kas kita, kaip skirtumas, paimtas konkrečiai x ir y reikšmei. Diferencijavimą taikykime ne tam tikroms koordinatėms, o visai funkcijai:
Išvestinės ir trigonometrinės funkcijos
Trigonometrinės funkcijos yra neatsiejamai susijusios su išvestiniu. Tai galite suprasti iš toliau pateikto piešinio. Koordinačių ašies paveiksle pavaizduota funkcija Y = f (x) – mėlyna kreivė.
K (x0; f (x0)) yra savavališkas taškas, x0 + ∆x yra prieaugis išilgai OX ašies, o f (x0 + ∆x) yra prieaugis išilgai OY ašies tam tikrame L taške.
Nubrėžkite liniją per taškus K ir L ir sukurkite stačią trikampį KLN. Jei mintyse perkelsite segmentą LN išilgai grafiko Y = f (x), tada taškai L ir N bus linkę į reikšmes K (x0; f (x0)). Pavadinkime šį tašką sąlygine grafiko pradžia – riba, bet jei funkcija begalinė, bent viename iš intervalų – ši siekiamybė taip pat bus begalinė, o jos ribinė reikšmė artima 0.
Šio siekio pobūdį galima apibūdinti pasirinkto taško liestine y = kx + b arba pradinės funkcijos dy išvestinės - žalios tiesės - grafiku.
Bet kur čia trigonometrija?! Labai paprasta laikyti stačią trikampį KLN. Konkretaus taško K diferencialo reikšmė yra kampo α arba ∠K liestinė:
Taigi galima apibūdinti geometrinę išvestinės reikšmę ir jos ryšį su trigonometrinėmis funkcijomis.
Išvestinės trigonometrinių funkcijų formulės
Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento transformacijos nustatant išvestinę turi būti įsimenamos.
Paskutinės dvi formulės nėra klaida, faktas yra tas, kad yra skirtumas tarp paprasto argumento išvestinės apibrėžimo ir funkcijos to paties pajėgumo.
Apsvarstykite lyginamąją lentelę su sinis, kosinuso, liestinės ir kotangento išvestinių formulėmis:
Taip pat išvestos arcsinuso, arkosino, arktangento ir arkotangento išvestinių formulės, nors jos naudojamos itin retai:
Reikėtų pažymėti, kad aukščiau pateiktų formulių nepakanka sėkmingam sprendimui. tipinės užduotys NAUDOJIMAS, kuris bus parodytas sprendžiant atvejo analizė ieškoti trigonometrinės išraiškos išvestinės.
Pratimas: Būtina rasti funkcijos išvestinę ir rasti jos reikšmę π/4:
Sprendimas: Norint rasti y’, reikia prisiminti pagrindines formules, kaip pirminę funkciją paversti išvestine, t.
Dažniausiai užduodami klausimai
Ar galima padaryti antspaudą ant dokumento pagal pateiktą pavyzdį? Atsakymas Taip, tai įmanoma. Atsiųskite nuskaitytą kopiją ar nuotrauką mūsų el. pašto adresu gera kokybė ir mes padarysime reikiamą dublikatą.
Kokius mokėjimo tipus sutinkate?
Atsakymas Už dokumentą galite atsiskaityti kurjeriui gavus, patikrinus užpildymo teisingumą ir diplomo kokybę. Tai galima padaryti ir pašto įmonių, siūlančių grynųjų pinigų pristatymo paslaugas, biuruose.
Visos dokumentų pristatymo ir apmokėjimo sąlygos aprašytos skyriuje „Apmokėjimas ir pristatymas“. Taip pat esame pasirengę išklausyti jūsų pasiūlymus dėl dokumento pristatymo ir apmokėjimo sąlygų.
Ar galiu būti tikras, kad po užsakymo nedingsite su mano pinigais? Atsakymas Turime gana ilgametę patirtį diplomų gamybos srityje. Turime keletą svetainių, kurios nuolat atnaujinamos. Mūsų specialistai dirba įvairiose šalies vietose, per dieną parengdami virš 10 dokumentų. Bėgant metams mūsų dokumentai daugeliui žmonių padėjo išspręsti užimtumo problemas arba pereiti į geriau apmokamą darbą. Užsitarnavome klientų pasitikėjimą ir pripažinimą, todėl nėra jokios priežasties tai daryti. Be to, fiziškai to padaryti tiesiog neįmanoma: už užsakymą sumokate gavimo į rankas metu, išankstinio apmokėjimo nėra.
Ar galiu užsisakyti bet kurio universiteto diplomą? Atsakymas Apskritai, taip. Šioje srityje dirbame beveik 12 metų. Per šį laiką buvo suformuota beveik išbaigta beveik visų šalies universitetų išduotų ir skirtingais išdavimo metais dokumentų duomenų bazė. Tereikia pasirinkti universitetą, specialybę, dokumentą ir užpildyti užsakymo formą.
Ką daryti, jei dokumente randu rašybos ir klaidų?
Atsakymas Gavę dokumentą iš mūsų kurjerio ar pašto įmonės, rekomenduojame atidžiai patikrinti visus duomenis. Nustačius rašybos klaidą, klaidą ar netikslumą, turite teisę neatsiimti diplomo, o rastus trūkumus turite nurodyti asmeniškai kurjeriui arba raštu, atsiųsdami el.
Kaip įmanoma greičiau pataisysime dokumentą ir iš naujo išsiųsime nurodytu adresu. Žinoma, siuntimą apmokės mūsų įmonė.
Kad išvengtume tokių nesusipratimų, prieš pildydami pirminę formą, kliento paštu išsiunčiame būsimo dokumento maketą patikrinti ir patvirtinti galutinę versiją. Prieš siųsdami dokumentą kurjeriu ar paštu, taip pat padarome papildomą nuotrauką ir vaizdo įrašą (taip pat ultravioletinėje šviesoje), kad galėtumėte vaizdžiai įsivaizduoti, ką galiausiai gausite.
Ką reikia padaryti norint užsisakyti diplomą iš savo įmonės?
Atsakymas Norėdami užsisakyti dokumentą (pažymėjimą, diplomą, akademinį pažymėjimą ir kt.), turite užpildyti internetinę užsakymo formą mūsų svetainėje arba pateikti savo el. atgal pas mus.
Jei nežinote, ką nurodyti kuriame nors užsakymo formos/anketos laukelyje, palikite juos tuščius. Todėl visą trūkstamą informaciją patikslinsime telefonu.
Naujausios apžvalgos
Torywild:
Nusprendžiau nusipirkti diplomą iš jūsų įmonės, kai persikrausčiau gyventi į kitą miestą, bet tarp daiktų neradau diplomo. Be jo nebūčiau buvęs įdarbintas gerai apmokamam darbui. Jūsų konsultantas patikino, kad ši informacija nėra atskleista, ir niekas neatskirs dokumento nuo originalo. Abejonės neapleido, bet turėjau pasinaudoti galimybe. Man patiko, kad nereikėjo išankstinio mokėjimo. Apskritai diplomą gavau laiku ir manęs neapgavo. Ačiū!
Oksana Ivanovna:
Kai pavogė diplomą, siaubingai susierzinau. Juk tuo metu buvau ką tik atleistas, o dabar randu gerą darbą be diplomo Aukštasis išsilavinimas beveik neįmanoma. Laimei, kaimynas pasiūlė susisiekti su jūsų organizacija. Iš pradžių žiūrėjau skeptiškai, bet nusprendžiau surizikuoti. Paskambinau įmonės vadovui ir paaiškinau savo situaciją. Ir man pasisekė! Jie viską padarė operatyviai, o svarbiausia – pažadėjo neatskleisti mano paslapties. Nerimavau, kad vėliau diplomo įsigijimo faktas neiškils į paviršių.
Masha Kutenkova:
Dėkojame už jūsų darbą! 1991 metais užsisakė diplomą. Pradėjus kelti dokumentus paaiškėjo, kad patirties mažai, reikia ir išsilavinimą patvirtinančio popieriaus. Aš jo neturėjau, o viršininkė tai žinojo, ir ji pati rekomendavo jūsų įmonę (matote, aš esu darbuotojas, nieko panašaus). Ant dokumento ji man nurodė smulkmenas – sako, kokiais metais naudojamas rašalas ar rašalas, parašo storis ir pan. Ačiū už kruopštumą ir kokybę!
LenOK:
Perskaičiusi istorijas apie gėdingus darbuotojų atleidimus, kurių diplomai spausdinami spalvotu spausdintuvu, nuėjau kreiptis į universitetą. Deja, nėra biudžeto, nėra pinigų mokytis ir susimokėti už užsiėmimus irgi, teko rizikuoti. Nors labai džiaugiuosi, kad susipažinau su jūsų kompanija. Nors mane įdarbino ne su tavo diplomu, bet dėl praktinio bloko nesėkmės tai ne tavo kaltė. Kai tik rasiu naują vietą – iš karto pas jus, nedelsdamas!
Džeris Terry:
Žiūrint su kokia gėda kolega išskrido iš darbo dėl netikro diplomo, buvo baisu pasekti jo pavyzdžiu. Jei ne krikštatėvis, kuris pas tave užsakė, nebūčiau rizikavęs. Ji patikino, kad čia viskas vyksta sklandžiai, o mano vardas bus visur, kur reikės. Turėjau 4 dienas viskam. Dėkojame už greitį - tai padarėme 3 kartus, taip pat sugebėjome kruopščiai išstudijuoti dokumentų klastojimo būdus, tačiau jūsų blankas netiko klastotei, vadinasi, tiks už originalą.
Andrius:
Niekada nebūčiau pagalvojusi, kad teks nusipirkti diplomą. Po mokyklos dukra išvyko dirbti į Lenkiją, grįžusi po 5 metų norėjo įsidarbinti mados dizainere vietiniuose mados namuose. Be diplomo niekas nenorėjo jos imti į darbą. Jis suprato, kad jei negaus šio darbo, vėl išeis. Vakare naršiau internete, o ryte jau buvau ofise su dukros dokumentais. Po savaitės jis pasiėmė su savimi jos diplomą, o ji galiausiai liko dirbti savo mieste norimose pareigose. Jūs neįsivaizduojate, koks aš dėkingas!
x kotangento išvestinė x atžvilgiu yra atėmus vieną, padalytą iš x sinuso kvadrato:
(ctgx)′ =.
Kotangento išvestinės formulės išvedimas
Norėdami gauti kotangento išvestinės formulę, naudosime šiuos matematinius faktus:
1)
Kotangento išraiška kosinusu ir sinusu:
(1)
;
2)
Kosinuso išvestinės vertė:
(2)
;
3)
Sinuso išvestinės vertė:
(3)
;
4)
Dalinio išvestinės formulė:
(4)
;
5)
Trigonometrinė formulė:
(5)
.
Šias formules ir taisykles taikome kotangento išvestinei.
.
Taigi mes gavome kotangento išvestinės formulę.
Trupmenos (4) išvestinės formulė galioja toms kintamojo x reikšmėms, kurių funkcijų išvestinės yra ir kurioms trupmenos vardiklis neišnyksta:
.
Mūsų atveju
, . Kadangi kosinuso ir sinuso išvestinės yra apibrėžtos visoms kintamojo x reikšmėms, kotangentinės išvestinės formulė galioja visiems x, išskyrus taškus, kur sinusas yra nulis. Tai yra, neskaitant taškų
,
kur yra sveikasis skaičius.
Pati funkcija y = ctg x apibrėžta visiems x, išskyrus taškus
.
Štai kodėl kotangento išvestinė apibrėžiama visoje kotangentinės funkcijos apibrėžimo srityje.
Aukštesnių užsakymų išvestinės priemonės
Paprasta kotangento y = n-osios išvestinės formulė ctg x, Nr. Tačiau aukštesnės eilės išvestinių finansinių priemonių apskaičiavimas gali būti supaprastintas. Procesą galima sumažinti iki daugianario diferenciacija.
Norėdami tai padaryti, kotangento išvestinę išreiškiame pačiu kotangentu:
.
Taigi mes radome:
(6)
.
Raskime (6) lygties kairiosios ir dešiniosios dalių išvestines ir pritaikykime kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklę . Mes gauname antros eilės išvestinė:
.
Pakaitalas (6):
(7)
.
Raskite trečiosios eilės išvestinę. Norėdami tai padaryti, diferencijuojame (7) lygtį, taikome diferenciacijos taisyklę sudėtinga funkcija ir naudokite išraišką (6) pirmajai išvestinei:
.
Panašiai randame ketvirtos ir penktos eilės dariniai:
;
.
Apskritai, n-osios eilės vedinys, kotangentinės funkcijos kintamajame x , gali būti pavaizduotas kaip daugianomas kotangento laipsniais:
.
Šio daugianario koeficientai yra susieti rekursiniu ryšiu:
,
kur
;
;
.
Bendroji formulė
Pavaizduokime diferenciacijos procesą viena formule. Dėl to atkreipiame dėmesį į tai
.
Tada n-oji kotangento išvestinė turi tokią formą:
,
kur .