Matemātiskā analīze manekeniem. Nodarbība 1. Komplekti.
Komplekta jēdziens
Daudz ir dažu objektu kolekcija. Kādi var būt komplekti? Pirmkārt, ierobežots vai bezgalīgs. Piemēram, sērkociņu kopa kastē ir galīga kopa, tos var ņemt un saskaitīt. Smilšu graudu skaitu pludmalē ir daudz grūtāk saskaitīt, bet principā iespējams. Un šis daudzums ir izteikts ar kādu galīgu skaitli. Tik daudz smilšu graudu pludmalē, protams. Bet punktu kopa uz taisnas līnijas ir bezgalīga kopa. Tā kā, pirmkārt, pati līnija ir bezgalīga, un tajā varat ievietot tik daudz punktu, cik vēlaties. Arī līniju segmenta punktu kopa ir bezgalīga. Jo teorētiski punkts var būt patvaļīgi mazs. Protams, mēs nevaram fiziski uzzīmēt punktu, piemēram, mazāku par atoma izmēru, bet no matemātikas viedokļa punktam nav izmēra. Tās izmērs ir nulle. Kas notiek, ja dala skaitli ar nulli? Tieši tā, bezgalība. Un, lai gan punktu kopa taisnā līnijā un segmentā tiecas uz bezgalību, tas nav viens un tas pats. Komplekts nav kaut kā daudzums, bet gan jebkuru priekšmetu kopums. Un par vienādām tiek uzskatītas tikai tās kopas, kurās ir tieši tādi paši objekti. Ja vienā komplektā ir tādi paši objekti kā citā kopā, bet plus vēl viens "kreisais" objekts, tad tās vairs nav vienādas kopas.
Apsveriet piemēru. Pieņemsim, ka mums ir divi komplekti. Pirmais ir visu līnijas punktu savākšana. Otrais ir visu punktu kopums taisnas līnijas segmentā. Kāpēc viņi nav vienādi? Pirmkārt, līnijas segments un taisne var pat nekrustoties. Tad tie noteikti nav vienādi, jo tajos ir pilnīgi atšķirīgi punkti. Ja tie krustojas, tad tiem ir tikai viens kopīgs punkts. Visi pārējie ir tikpat atšķirīgi. Ko darīt, ja segments atrodas uz taisnas līnijas? Tad visi segmenta punkti ir arī līnijas punkti. Bet ne visi punkti uz līnijas ir punkti līnijas segmentā. Tātad šajā gadījumā kopas nevar uzskatīt par vienādām (identiskām).
Katru kopu nosaka noteikums, kas unikāli nosaka, vai elements pieder šai kopai vai nē. Kādi varētu būt šie noteikumi? Piemēram, ja kopa ir ierobežota, jūs varat muļķīgi uzskaitīt visus tās objektus. Varat iestatīt diapazonu. Piemēram, visi veseli skaitļi no 1 līdz 10. Tā arī būs galīga kopa, taču šeit mēs neuzskaitām tās elementus, bet formulējam noteikumu. Vai arī nevienādība, piemēram, visi skaitļi ir lielāki par 10. Tā jau būs bezgalīga kopa, jo nav iespējams nosaukt lielāko skaitli – lai arī kādu skaitli mēs sauktu, vienmēr ir šis skaitlis plus 1.
Parasti kopas tiek apzīmētas ar latīņu alfabēta lielajiem burtiem A, B, C utt. Ja kopa sastāv no konkrētiem elementiem un mēs to vēlamies definēt kā šo elementu sarakstu, tad šo sarakstu varam ievietot cirtainos iekavās, piemēram, A=(a, b, c, d). Ja a ir kopas A elements, tad to raksta šādi: a Î A. Ja a nav kopas A elements, tad ierakstiet a Ï A. Viena no svarīgām kopām ir visu naturālo skaitļu kopa N N=(1,2,3,...,) . Ir arī īpašs, tā sauktais tukšais komplekts, kurā nav neviena elementa. Tukšo komplektu apzīmē ar simbolu Æ .
1. definīcija (kopu vienādības definīcija). Komplekti BET un B ir vienādi, ja tie sastāv no vieniem un tiem pašiem elementiem, tas ir, ja no xн A seko x н B un otrādi, no x н B seko x н A.
Formāli divu kopu vienādību raksta šādi:
(A=B) := " x (( x Î A ) Û (x Î B )),
Tas nozīmē, ka jebkuram objektam x relācijas xÎ A un xО B ir līdzvērtīgi.
Šeit " ir universālais kvantētājs (" xskan "katram x").
2. definīcija (apakškopas definīcija). Daudz BET ir kopas apakškopa AT ja kāds X kas pieder komplektam BET, pieder komplektam AT. Formāli to var izteikt kā izteiksmi:
(A Ì B) := " x((x Î A) Þ (x Î B))
Ja Ì B bet A ¹ B, tad A ir pareiza kopas apakškopa AT. Kā piemēru atkal var minēt taisnu līniju un segmentu. Ja segments atrodas uz taisnes, tad tā punktu kopa ir šīs līnijas punktu apakškopa. Vai arī cits piemērs. Veselu skaitļu kopa, kas vienmērīgi dalās ar 3, ir veselu skaitļu kopas apakškopa.
komentēt. Tukša kopa ir jebkuras kopas apakškopa.
Operācijas komplektos
Komplektos ir iespējamas šādas darbības:
Asociācija.Šīs darbības būtība ir apvienot divas kopas vienā, kas satur katras kombinētās kopas elementus. Formāli tas izskatās šādi:
C=AÈ B:= {x:x Î A vai xÎ B}
Piemērs. Atrisināsim nevienlīdzību | 2 x+ 3 | > 7.
Tas nozīmē vai nu nevienlīdzību 2x+3 >7, 2x+3≥0, tad x>2
vai nevienlīdzība 2x+3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.
Šīs nevienlīdzības risinājumu kopa ir kopu savienība (-∞,-5) È (2, ∞).
Pārbaudīsim. Aprēķināsim izteiksmes vērtību | 2 x+ 3 | vairākiem punktiem, guļot un nemelojot dotajā diapazonā:
| x | | 2 x+ 3 | |
| -10 | 17 |
| -6 | 9 |
| -5 | 7 |
| -4 | 5 |
| -2 | 1 |
| 0 | 3 |
| 1 | 5 |
| 2 | 7 |
| 3 | 9 |
| 5 | 13 |
Kā redzat, viss tika izlemts pareizi (robežas diapazoni ir atzīmēti ar sarkanu krāsu).
krustojums. Krustojums ir darbība, lai izveidotu jaunu divu elementu kopu, kas ir iekļauta abās šajās kopās. Lai to vizualizētu, iedomāsimies, ka mums plaknē ir divas punktu kopas, proti, figūra A un figūra B. To krustpunkts apzīmē figūru C — tas ir kopas krustojuma darbības rezultāts:
Formāli kopu krustošanās darbība tiek uzrakstīta šādi:
C=A Ç B:= (x: x Î A un x О B )
Piemērs.Ļaujiet mums izveidot komplektu C=A Ç B = {5,6,7}
Atņemšana. Kopas atņemšana ir to elementu izslēgšana no atņemtās kopas, kas ir ietverti apakšdaļā un atņēmējā:
Formāli kopas atņemšanu raksta šādi:
A\B:={x:x Î A un xÏ B}
Piemērs. Lai mums būtu daudz A=(1,2,3,4,5,6,7), B=(5,6,7,8,9,10). Tad C=A\ B = { 1,2,3,4}
Papildinājums. Komplements ir unāra darbība (operācija nevis ar divām, bet gan ar vienu kopu). Šī darbība ir rezultāts, atņemot doto kopu no pilnīgas universālās kopas (kopas, kas ietver visas pārējās kopas).
A := (x:x О U un x П A) = U \ A
Grafiski to var attēlot šādi:
simetriska atšķirība. Atšķirībā no parastās atšķirības ar simetrisku kopu starpību paliek tikai tie elementi, kas ir vai nu vienā, vai citā kopā. Vai, vienkārši izsakoties, tas ir izveidots no divām kopām, bet tie elementi, kas atrodas abās kopās, tiek izslēgti no tā:
Matemātiski to var izteikt šādi:
A D B:= (A\B) È ( BA) = (A È B) \ (A Ç B)
Kopu operāciju īpašības.
No kopu savienojuma un krustojuma definīcijām izriet, ka krustojuma un savienojuma operācijām ir šādas īpašības:
- Komutativitāte.
A
È
B=BÈ
A
AÇ
B=BÇ
A
- Asociativitāte.
(A
È
B)
È
C=AÈ
( B
È
C)
(A
Ç
B)
Ç
C = AÇ
( B
Ç
C)
Kategorijā Calculus ir bezmaksas tiešsaistes video nodarbības par šo tēmu. Matemātiskā analīze ir matemātikas nozaru kopums, kas nodarbojas ar funkciju un to vispārinājumu izpēti, izmantojot diferenciālrēķina un integrālrēķina metodes. Tie ietver: funkcionālo analīzi, tostarp Lēbesga integrāļa teoriju, komplekso analīzi (TFKP), kas pēta kompleksā plaknē definētas funkcijas, sēriju un daudzdimensiju integrāļu teoriju, nestandarta analīzi, kas pēta bezgalīgi mazus un bezgalīgi lielus skaitļus, vektoru analīze un variāciju aprēķins. Rēķinu apgūšana no video nodarbībām noderēs gan iesācējiem, gan pieredzējušākiem matemātiķiem. Jūs varat skatīties video nodarbības no sadaļas Matemātiskā analīze bez maksas jebkurā izdevīgā laikā. Dažās video nodarbībās par matemātisko analīzi ir pieejami papildu materiāli, kurus var lejupielādēt. Laimīgu mācīšanos!
Kopējie materiāli: 12
Parādītie materiāli: 1-10
Kas ir funkcijas atvasinājums
Vai vēlaties uzzināt, kas ir funkcijas atvasinājums matemātikā? Protams, jūs daudzkārt esat dzirdējuši par atvasinājumu un pat, iespējams, ņēmāt šo atvasinājumu skolā, pilnībā nesaprotot savas darbības jēgu. Šajā video es nemācīšu jums formulas, bet gan izskaidrošu atvasinājuma nozīmi uz pirkstiem, lai pat apaļš tējkanna varētu saprast. Bet vispirms labāk noskatieties manu iepriekšējo video, kur es arī pieejamā veidā runāju par funkciju. Šajā video pamācībā mēs esam vienkārši, skaidri un ilustratīvi dzīves piemēri ...
Ievads analīzē. Komplektu spēks
Tiešsaistes nodarbība “Ievads analīzē. Kopu spēks” ir veltīts jautājumam par tādu jēdzienu kā kopu spēks. Šis jautājums attiecas uz kopu kvantitatīvo raksturojumu. Ja kopa ir galīga, tad var runāt par tās elementu skaitu. Bet kā ir ar bezgalīgām kopām? Patiešām, šajā gadījumā nebūs jēdziena par vairāk vai mazāk. Lai atrisinātu šo problēmu, tiek ieviests tāds jēdziens kā jauda. Jauda ir rīks bezgalīgu kopu kvantitatīvai salīdzināšanai. Šī nodarbība sniedz...
Funkcijas robeža punktā - definīcija, piemēri
Šajā tiešsaistes nodarbībā tiek runāts par tādu jēdzienu kā funkcijas robeža punktā - definīcija, piemēri. Lielākā daļa funkciju izpētes elementu balstās uz funkcijas robežas pamatjēdzienu. Šeit funkcijas robeža punktā tiks aplūkota, izmantojot vienkāršu piemēru, pēc kura tiks sniegta stingra funkcijas robežas definīcija punktā ar detalizētu ilustrāciju grafikā, lai labāk asimilētu materiālu. Šajā nodarbībā aplūkoti arī citi piemēri un sniegta stingra vienpusēja definīcija...
Pakāpju rindu konverģence - piemērs, kā atrast konverģences apgabalu, pētniecība
Šajā video pamācībā ir runāts par tādu jēdzienu kā pakāpju rindu konverģence, piemērs, kā atrast konverģences apgabalu, pētniecība. Pakāpju rinda ir īpašs funkcionālas sērijas gadījums, kad tās locekļi ir argumenta x pakāpju funkcijas. Konverģences apgabals ir visas mainīgā x vērtības, kurām atbilst atbilstošās skaitliskās rindas. Pētījumiem varat izmantot d'Alemberta testu un izmantot to, lai parādītu, ka pakāpju rindas saplūst vai atšķiras, un kad ...
Kas ir primitīvs
Šajā video pastāstīšu par antiderivatīvu, kas ir atvasinājuma tuvs radinieks. Patiesībā jūs jau zināt par viņu gandrīz visu, ja skatījāties manus iepriekšējos videoklipus, un mums atliek tikai atzīmēt i. Antiatvasinājums ir atvasinājuma “vecāku” funkcija. Atrast antiderivatīvu nozīmē atbildēt uz jautājumu: kura bērns tas ir? Ja meita ir zināma, tad jāatrod māte. Iepriekš tieši otrādi meklējām meitu dotajai mammai. Mēs šobrīd veicam pāreju no...
Atvasinājuma ģeometriskā nozīme
Šajā video es runāšu par atvasinājuma ģeometrisko nozīmi. Jūs uzzināsit, ka atvasinājuma ģeometriskā nozīme ir tāda, ka atvasinājums un pieskares slīpums ir gandrīz viens un tas pats. Es saku "gandrīz", jo atvasinājums ir vienāds ar pieskares slīpuma tangensu. Var pieņemt, ka atvasinājums un pieskares slīpums ir cieši saistīti. Ja slīpums ir liels, tad arī atvasinājums ir liels, un funkcija šajā punktā strauji palielinās. Ja slīpuma leņķis ir mazs, tad arī atvasinājums ir mazs...
Kas ir funkcija matemātikā
Vai vēlaties uzzināt, kas ir funkcija matemātikā? Šajā video pamācībā mēs vienkārši un skaidri, izmantojot grafiskas ilustrācijas un ilustratīvus dzīves piemērus, pastāstīsim, kas ir funkcija, kāds ir tās arguments, kas ir funkcijas (palielināšana, samazināšana, jaukšana), kā var iestatīt funkciju (izmantojot grafiks, tabula, formulas). Jūs redzēsiet, ka attiecības, kas parāda, kā viens lielums ir saistīts ar citu lielumu, sauc par funkciju. Jebkura funkcija ir attiecība starp daudzumiem...
Funkcijas robeža bezgalībā - definīcija, piemēri
Nodarbība "Funkcijas robeža bezgalībā - definīcija, piemēri" ir veltīta jautājumam par to, kas ir bezgalības robežas. Lielākā daļa elementāro funkciju ir definētas patvaļīgi lielai argumenta vērtībai. Šajā gadījumā ir svarīgi zināt funkcijas uzvedību bezgalībā. Viens no šādas uzvedības izpētes elementiem ir atrast funkcijas robežu bezgalībā. Lai gan bezgalība nav skaitlis un neviens punkts uz skaitļu līnijas tai neatbilst, ierobežojuma definīcija ...
Ierobežojumi visiem matemātikas studentiem sagādā daudz nepatikšanas. Lai atrisinātu ierobežojumu, dažkārt nākas izmantot daudz triku un no dažādiem risinājumiem izvēlēties tieši to, kas ir piemērots konkrētajam piemēram.
Šajā rakstā mēs nepalīdzēsim izprast jūsu spēju robežas vai izprast kontroles robežas, bet gan mēģināsim atbildēt uz jautājumu: kā izprast robežas augstākajā matemātikā? Izpratne nāk ar pieredzi, tāpēc tajā pašā laikā mēs sniegsim dažus detalizētus ierobežojumu risināšanas piemērus ar paskaidrojumiem.
Robežas jēdziens matemātikā
Pirmais jautājums ir: kāda ir robeža un kāda robeža? Var runāt par skaitlisko secību un funkciju robežām. Mūs interesē funkcijas robežas jēdziens, jo tieši ar tiem studenti saskaras visbiežāk. Bet vispirms vispārīgākā ierobežojuma definīcija:
Pieņemsim, ka ir kāds mainīgais. Ja šī vērtība pārmaiņu procesā bezgalīgi tuvojas noteiktam skaitlim a , tad a ir šīs vērtības robeža.
Funkcijai, kas definēta kādā intervālā f(x)=y ierobežojums ir skaits A , uz kuru funkcija tiecas kad X tiecas uz noteiktu punktu a . Punkts a pieder intervālam, kurā funkcija ir definēta.
Tas izklausās apgrūtinoši, bet tas ir uzrakstīts ļoti vienkārši:
Lim- no angļu valodas ierobežojums- ierobežojums.
Robežas definīcijai ir arī ģeometrisks skaidrojums, taču šeit mēs neiedziļināsimies teorijā, jo mūs vairāk interesē jautājuma praktiskā, nevis teorētiskā puse. Kad mēs to sakām X tiecas uz kādu vērtību, tas nozīmē, ka mainīgais nepieņem skaitļa vērtību, bet tuvojas tam bezgalīgi tuvu.
Ņemsim konkrētu piemēru. Izaicinājums ir atrast robežu.
Lai atrisinātu šo piemēru, mēs aizstājam vērtību x=3 par funkciju. Mēs iegūstam:
Starp citu, ja jūs interesē pamatoperācijas ar matricām, izlasiet atsevišķu rakstu par šo tēmu.
Piemēros X var tendence uz jebkuru vērtību. Tas var būt jebkurš skaitlis vai bezgalība. Šeit ir piemērs, kad X tiecas uz bezgalību:
Intuitīvi ir skaidrs, ka jo lielāks skaitlis saucējā, jo mazāku vērtību ņems funkcija. Tātad, ar neierobežotu izaugsmi X nozīmē 1/x samazināsies un tuvosies nullei.
Kā redzat, lai atrisinātu ierobežojumu, funkcijā vienkārši jāaizstāj vērtība, pēc kuras tiekties X . Tomēr šis ir vienkāršākais gadījums. Bieži vien robežas atrašana nav tik acīmredzama. Robežās pastāv veida nenoteiktības 0/0 vai bezgalība/bezgalība . Ko darīt šādos gadījumos? Izmantojiet trikus!
Neskaidrības iekšienē
Formas bezgalība/bezgalība nenoteiktība
Lai ir ierobežojums:
Ja mēģināsim funkcijā aizvietot bezgalību, mēs iegūsim bezgalību gan skaitītājā, gan saucējā. Kopumā ir vērts teikt, ka šādu nenoteiktību risināšanā ir zināms mākslas elements: ir jāpamana, kā funkciju var pārveidot tā, ka nenoteiktība ir pazudusi. Mūsu gadījumā mēs dalām skaitītāju un saucēju ar X vecākajā pakāpē. Kas notiks?
No iepriekš aplūkotā piemēra mēs zinām, ka termini, kuru saucējā ir x, parasti ir nulle. Tad ierobežojuma risinājums ir:
Lai atklātu tipa neskaidrības bezgalība/bezgalība daliet skaitītāju un saucēju ar X augstākajā pakāpē.
Starp citu! Mūsu lasītājiem tagad ir 10% atlaide jebkāda veida darbs
Cits nenoteiktības veids: 0/0
Kā vienmēr, aizstāšana ar vērtību funkciju x=-1 dod 0 skaitītājā un saucējā. Paskatieties nedaudz uzmanīgāk, un jūs pamanīsit, ka skaitītājā ir kvadrātvienādojums. Atradīsim saknes un rakstīsim:
Samazināsim un iegūsim:
Tātad, ja saskaraties ar tipu neskaidrībām 0/0 - skaitītāju un saucēju faktorizēt.
Lai atvieglotu piemēru risināšanu, šeit ir tabula ar dažu funkciju ierobežojumiem:
L'Hopital likums iekšā
Vēl viens spēcīgs veids, kā novērst abu veidu nenoteiktības. Kāda ir metodes būtība?
Ja limitā ir nenoteiktība, mēs ņemam skaitītāja un saucēja atvasinājumu, līdz nenoteiktība pazūd.
Vizuāli L'Hopital noteikums izskatās šādi:
Svarīgs punkts : ir jābūt robežai, kurā skaitītāja un saucēja vietā ir atvasinājumi no skaitītāja un saucēja.
Un tagad reāls piemērs:
Pastāv tipiska nenoteiktība 0/0 . Ņemiet skaitītāja un saucēja atvasinājumus:
Voila, nenoteiktība tiek novērsta ātri un eleganti.
Mēs ceram, ka jums izdosies šo informāciju lietderīgi izmantot praksē un rast atbildi uz jautājumu "kā atrisināt robežas augstākajā matemātikā". Ja kādā punktā ir jāaprēķina secības robeža vai funkcijas robeža un šim darbam neatliek laika no vārda “absolūti”, sazinieties ar profesionālu studentu servisu, lai saņemtu ātru un detalizētu risinājumu.
Tiem, kas vēlas uzzināt, kā atrast ierobežojumus šajā rakstā, mēs par to runāsim. Teorijā neiedziļināsimies, to parasti lekcijās lasa pasniedzēji. Tātad "garlaicīgā teorija" ir jāiekļauj jūsu piezīmju grāmatiņās. Ja tas tā nav, tad var lasīt mācību grāmatas, kas paņemtas no izglītības iestādes bibliotēkas vai citos interneta resursos.
Tātad robežas jēdziens ir diezgan svarīgs augstākās matemātikas kursa izpētē, it īpaši, ja jūs saskaraties ar integrāļa aprēķinu un saprotat attiecības starp robežu un integrāli. Pašreizējā materiālā tiks apskatīti vienkārši piemēri, kā arī to risināšanas veidi.
Risinājumu piemēri
| 1. piemērs |
| Aprēķināt a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $ |
| Risinājums |
|
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Mēs bieži saņemam šos ierobežojumus, lūdzot palīdzību to risināšanā. Mēs nolēmām tos izcelt kā atsevišķu piemēru un paskaidrot, ka šīs robežas, kā likums, vienkārši ir jāatceras. Ja nevarat atrisināt savu problēmu, nosūtiet to mums. Mēs sniegsim detalizētu risinājumu. Varēsiet iepazīties ar aprēķina gaitu un apkopot informāciju. Tas palīdzēs jums savlaicīgi saņemt kredītu no skolotāja! |
| Atbilde |
| $$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1) (x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 ) (x) = 0 $ $ |
Ko darīt ar formas nenoteiktību: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
| 3. piemērs |
| Atrisiniet $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Risinājums |
|
Kā vienmēr, mēs sākam, aizstājot vērtību $ x $ izteiksmē zem ierobežojuma zīmes. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Ko tālāk? Kādam jābūt rezultātam? Tā kā šī ir nenoteiktība, tā vēl nav atbilde, un mēs turpinām aprēķinu. Tā kā skaitītājos ir polinoms, mēs to sadalām faktoros, izmantojot pazīstamo formulu $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Atcerējās? Lieliski! Tagad uz priekšu un pielieto to dziesmai :) Mēs iegūstam, ka skaitītājs $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Mēs turpinām risināt, ņemot vērā iepriekš minēto transformāciju: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| Atbilde |
| $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$ |
Pieņemsim robežu pēdējos divos piemēros līdz bezgalībai un ņemsim vērā nenoteiktību: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
| 5. piemērs |
| Aprēķināt $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Risinājums |
|
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ko darīt? Kā būt? Nekrīti panikā, jo neiespējamais ir iespējams. Ir nepieciešams izņemt iekavas gan skaitītājā, gan saucējā X un pēc tam to samazināt. Pēc tam mēģiniet aprēķināt limitu. Mēģina... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Izmantojot definīciju no 2. piemēra un aizstājot bezgalību ar x, mēs iegūstam: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| Atbilde |
| $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
Algoritms limitu aprēķināšanai
Tātad, īsi apkoposim analizētos piemērus un izveidosim algoritmu ierobežojumu risināšanai:
- Aizstāj punktu x izteiksmē aiz robežzīmes. Ja tiek iegūts noteikts skaitlis jeb bezgalība, tad robeža ir pilnībā atrisināta. Pretējā gadījumā mums ir nenoteiktība: "nulle dalīta ar nulli" vai "bezgalība dalīta ar bezgalību" un pārejiet pie nākamajām instrukcijas rindkopām.
- Lai novērstu nenoteiktību "nulle dalīt ar nulli", jums ir jāfaktorizē skaitītājs un saucējs. Samazināt līdzīgu. Aizstāj punktu x izteiksmē zem ierobežojuma zīmes.
- Ja nenoteiktība ir "bezgalība dalīta ar bezgalību", tad mēs izņemam gan lielākās pakāpes skaitītājā, gan saucējā x. Mēs saīsinām x. Mēs aizstājam x vērtības no zem robežas atlikušajā izteiksmē.
Šajā rakstā jūs iepazināties ar robežvērtību risināšanas pamatiem, kas bieži tiek izmantoti kursā Calculus. Protams, tie nav visi eksaminētāju piedāvātie problēmu veidi, bet tikai vienkāršākie ierobežojumi. Par cita veida uzdevumiem mēs runāsim nākamajos rakstos, taču vispirms jums ir jāapgūst šī nodarbība, lai turpinātu. Apspriedīsim, ko darīt, ja ir saknes, grādi, pētīsim bezgalīgi mazas ekvivalentas funkcijas, brīnišķīgas robežas, L'Hopitāla likumu.
Ja nevarat patstāvīgi noteikt ierobežojumus, nekrītiet panikā. Mēs vienmēr esam priecīgi palīdzēt!
Visas grāmatas var lejupielādēt bez maksas un bez reģistrācijas.
Teorija.
JAUNS. Natanzon S.M. Īss matemātiskās analīzes kurss. 2004. gads 98 lapas djvu. 1,2 MB.
Šī publikācija ir autores nolasīto lekciju kursa apkopojums Neatkarīgās Maskavas universitātes 1. kursa studentiem 1997.-1998. un 2002.-2003. akadēmiskajā gadā.
Lejupielādēt
JAUNS. E.B. Boronīns. Matemātiskā analīze. Lekciju piezīmes. 2007. gads 160 lpp. pdf. 2,1 MB.
Šī grāmata ir rakstīta inženierzinātņu studentiem, kuri vēlas studēt skaitļošanas eksāmenam. Šīs grāmatas saturs pilnībā atbilst kursa "Matemātiskā analīze" programmai, kuras eksāmens tiek nodrošināts lielākajā daļā Krievijas augstākās izglītības iestāžu. Programma palīdz ātri un bez liekām grūtībām atrast nepieciešamo atbildi uz jautājumu.
Jautājumus sastāda autore, balstoties uz personīgo pieredzi, ņemot vērā skolotāju prasības.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
Arhipovs, Sadovņičijs, Čubarikovs. Lekcijas par matemātisko analīzi. Mācību grāmata.analīze. 1999. gads 635 lpp. djvu. 5,2 MB.
Grāmata ir mācību grāmata par matemātiskās analīzes kursu un ir veltīta viena un vairāku mainīgo funkciju diferenciālrēķinam un integrālajam aprēķinam. Tā ir balstīta uz lekcijām, kuras autori lasījuši Maskavas Valsts universitātes Mehānikas un matemātikas fakultātē. M. V. Lomonosovs. Mācību grāmata piedāvā jaunu pieeju vairāku analīzes pamatjēdzienu un teorēmu izklāstam, kā arī pašam kursa saturam. Augstskolu, pedagoģisko augstskolu un augstskolu studentiem ar padziļinātu matemātikas apguvi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
Aksjonovs A.P. Matemātiskā analīze. (Furjē rinda. Furjē integrālis. Diverģentu rindu summēšana.) Mācību grāmata. 1999. gads 86 lapas PDF 1.2 Mb.
Rokasgrāmata atbilst bakalaura grāda 510200 "Lietišķā matemātika un informātika" disciplīnas "Matemātiskā analīze" valsts standartam.
Satur teorētiskā materiāla prezentāciju atbilstoši aktuālajai programmai par tēmām: "Furjē rindas", "Furjē integrālis", "Diverģentu rindu summēšana". Ir sniegts liels skaits piemēru. Aprakstīta Sezāro un Ābela-Puasona metožu pielietošana sēriju teorijā. Tiek aplūkots jautājums par empīriski doto funkciju harmonisko analīzi.
Tā paredzēta Fizikas un mehānikas fakultātes specialitāšu 010200, 010300, 071100, 210300 studentiem, kā arī skolotājiem, kas vada praktiskās nodarbības.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
Aksenovs. Matemātiskā analīze. (Integrāļi atkarībā no parametra. Dubultie integrāļi. Līklīnijas integrāļi.) Mācību grāmata SPb. 2000. gads. 145 lpp. PDF. Izmērs 2,3 Mb. djvu.
Rokasgrāmata atbilst bakalaura grāda 510200 "Lietišķā matemātika un informātika" disciplīnas "Matemātiskā analīze" valsts standartam. Satur teorētisko materiālu prezentāciju saskaņā ar pašreizējo programmu par tēmām: "Integrāļi atkarībā no parametra, īpatnējais un nepareizais", "Dubultais integrālis", "Pirmā un otrā veida līknes integrāļi", "Līklīnijas integrāļi no pirmā un otrā veida", "Integrāļi atkarībā no parametra izliektas virsmas, doti gan eksplicīti, gan parametriski vienādojumi", "Eulera integrāļi (Beta funkcija un gamma funkcija)". Ir analizēts liels skaits piemēru un problēmu (kopā 47).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
De Bruyne. Asimptotiskās metodes analīzē. 245 lpp. djvu. 1,6 MB.
Grāmatā ir elementārs izklāsts par vairākām metodēm, ko izmanto analīzē, lai iegūtu asimptotiskas formulas. Grāmatā izklāstīto metožu nozīme, prezentācijas skaidrība un pieejamība padara šo grāmatu par ļoti vērtīgu visiem iesācējiem, lai iepazītos ar šādām metodēm. Grāmata neapšaubāmi interesē arī tos, kam šī analīzes joma jau ir pazīstama.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
Stefans Banahs. Diferenciāļa un integrāļa aprēķins. 1966. gads 437 lpp. djvu. 7,7 MB.
Stefans Banahs ir viens no izcilākajiem 20. gadsimta matemātiķiem. Šo grāmatu viņš bija iecerējis kā rokasgrāmatu sākotnējai iepazīšanai ar šo tēmu. Tikmēr neliela apjoma grāmatā autorei izdevies meistarīgi aptvert gandrīz visu diferenciālrēķina un integrālrēķina pamatmateriālu, nebaidot lasītāju ar skrupulozu izklāsta stingrību.
Grāmatu raksturo prezentācijas vienkāršība un kodolīgums. Tajā ir daudz labi izvēlētu piemēru, kā arī uzdevumi patstāvīgam risinājumam. Paredzēts tehnikumu (īpaši neklātienes), pedagoģisko institūtu studentiem, kā arī inženiertehniskajiem darbiniekiem, kuri vēlas atsvaidzināt diferenciālrēķina un integrālrēķina pamatfaktus.
Sagatavojot otro izdevumu, tika ņemta vērā pieredze, mācot šo grāmatu dažās augstākajās tehniskajās izglītības iestādēs; šajā sakarā grāmatā ir veikti nelieli papildinājumi un dažas vietas tekstā ir izlabotas. Tas tuvināja grāmatu mūsdienu matemātiskās analīzes mācību grāmatu līmenim un ļāva to izmantot tehniskajās koledžās.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
B.M. Budaks, S.V. Fomin. Vairāki integrāļi un sērijas. Mācību grāmata.1965. 606 lpp. djvu. 4,6 MB.
Fizikai.-matemātika. universitātes fakultātēm.
ES IESAKU!!!. Īpaši fiziķiem.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
Viosagmir I.A. Augstākā matemātika manekeniem. Funkciju ierobežojums. 2011. gads. 95 lpp. pdf. 6,1 MB.
Es sveicu jūs savā pirmajā grāmatā par funkcijas robežām. Šī ir pirmā daļa no manas gaidāmās sērijas “Augstākā matemātika manekeniem”. Grāmatas nosaukumam jau vajadzētu par to daudz pastāstīt, taču to var pārprast pavisam. Šī grāmata ir veltīta nevis “manekeniem”, bet visiem tiem, kam ir grūti saprast, ko profesori dara savās grāmatās. Esmu pārliecināts, ka jūs mani saprotat. Es pats biju un esmu tādā situācijā, ka man vienkārši ir jālasa viens un tas pats teikums vairākas reizes. Vai tas ir labi? ES domāju, ka nē.
Tātad, ar ko mana grāmata atšķiras no visām pārējām? Pirmkārt, valoda šeit ir normāla, nevis "abstrakta"; otrkārt, šeit ir daudz analizētu piemēru, kas, starp citu, jums noteikti noderēs; treškārt, tekstam ir būtiska atšķirība savā starpā - galvenās lietas ir izceltas ar noteiktiem marķieriem, un, visbeidzot, mans mērķis ir tikai viens - jūsu izpratne. Jums ir nepieciešama tikai viena lieta: vēlme un prasme. — Prasmes? - tu jautā. Jā! Spēja atcerēties un saprast.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
V.N. Gorbuzovs. Matemātiskā analīze: integrāļi atkarībā no parametriem. Uch. pabalstu. 2006. gads 496 lpp. PDF. 1,6 MB.
Tiek parādīts atsevišķu no parametriem atkarīgu nepareizu integrāļu doto funkciju diferenciāļa un integrāļa aprēķins. Tā paredzēta augstskolu studentiem, kuri studē matemātikā un fizikā, kā arī tehnisko specialitāšu studentiem ar paplašinātu programmu matemātikā.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
Dorogovtsevs A.Ya. Matemātiskā analīze. Īss kurss mūsdienīgā vidē. Otrais izdevums. 2004. gads 560 lpp. djvu. 5,1 MB.
Grāmatā ir īss un tajā pašā laikā diezgan pilnīgs mūsdienu matemātiskās analīzes kursa izklāsts. Grāmata galvenokārt paredzēta augstskolu un tehnisko universitāšu studentiem un paredzēta kursa sākotnējai apguvei. Tiek dota vairāku sadaļu modernizēta prezentācija: vairāku mainīgo funkcijas, vairāki integrāļi, integrāļi pār kolektoriem, Stoksa formulas skaidrojums utt. Teorētiskais materiāls ir ilustrēts ar lielu skaitu vingrinājumu un piemēru. . Augstskolu studentiem, matemātikas skolotājiem, inženiertehniskajiem un tehniskajiem darbiniekiem.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
Egorovs V.I., Salimova A.F. Noteikti un vairāki integrāļi. Lauku teorijas elementi. 2004. gads 256 lpp. djvu. 1,6 MB.
Publikācijā ir izklāstīta noteikto un daudzkārtējo integrāļu teorija un galvenie pielietojumi, kā arī lauka teorijas elementi. Materiāls pielāgots mūsdienu matemātikas izglītības programmai augstākajās tehniskajās izglītības iestādēs, izmantošanai datormācību sistēmās. Grāmata paredzēta tehnisko augstskolu studentiem. Tā var būt noderīga arī skolotājiem, inženieriem un pētniekiem.
Skaidrs, ka labi uzrakstīta grāmata. Visi teorijas apgalvojumi ir parādīti ar piemēriem. Iesaku kā papildus literatūru materiāla izpratnei.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
Jevgrafovs. Asimptotiski aprēķini un visas funkcijas. 320 lapas djvu. 3,2 MB.
Grāmata ir veltīta dažādu asimptotisko novērtējumu metožu (Laplasa metode, seglu punkta metode, atlikumu teorija) prezentācijai, ko izmanto veselu funkciju teorijā. Metodes ir ilustrētas galvenokārt šīs teorijas materiālos. Pamatfakti no veselu funkciju teorijas lasītājam it kā nav zināmi – to izklāsts organiski iekļauts grāmatas struktūrā. 3. izdevumam ir pievienota nodaļa par konformālo kartējumu asimptotiku. Grāmata paredzēta plašam lasītāju kontingentam – no studentiem līdz zinātniekiem, gan matemātiķiem, gan lietišķajiem zinātniekiem.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
ES BŪTU. Zeldovičs, I.M. Yaglom. Augstākā matemātika iesācējiem fiziķiem un tehniķiem. 1982. gads 514 lpp. djvu. 12,3 MB.
Šī grāmata ir ievads matemātiskajā analīzē. Līdzās analītiskās ģeometrijas un matemātiskās analīzes principu prezentācijai (diferenciālrēķini un integrālrēķini), grāmatā ir ietverti jēdzieni par spēku un trigonometriskām sērijām un vienkāršākajiem diferenciālvienādojumiem, kā arī skartas vairākas fizikas sadaļas un tēmas (mehānika un svārstību teorija, elektrisko ķēžu teorija, radioaktīvā sabrukšana, lāzeri utt.). Grāmata paredzēta lasītājiem, kurus interesē augstākās matemātikas dabaszinātņu pielietojumi, augstskolu profesoriem un tehnikumiem, kā arī topošajiem fiziķiem un inženieriem.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
Zeldovičs, Jagloms. Grāmata sastāv no trīs daļām: 1. Augstākās matemātikas elementi. Satur: Funkcijas un grafikus (50 lpp.) (, Kas ir atvasinājums (50 lapas), Kas ir integrālis (20 lpp.), Atvasinājumu aprēķināšana (20 lpp.), Integrācijas tehnika (20 lpp.), Sērija, vienkārši diferenciālvienādojumi (35 lpp.), Funkciju izpēte, vairākas problēmas ģeometrijā (55 lpp.) 2. Augstākās matemātikas pielietojumi dažiem fizikas un tehnoloģiju jautājumiem (160 lpp.) Satur: Radioaktīvā sabrukšana un kodolu skaldīšanās, Mehānika, Vibrācijas, Molekulu termiskā kustība, gaisa blīvuma sadalījums atmosfērā, Gaismas absorbcija un emisija, lāzeri, Elektriskās ķēdes un svārstību kustības tajos 3. Papildu tēmas no augstākās matemātikas (50 lpp.) Satur: Kompleksie skaitļi, Kādas funkcijas vajadzīgas fizikai, Diraka brīnišķīgā delta funkcija, Daži Sarežģīta mainīgā funkcijas un delta funkciju pielietojumi 4. Lietojumprogrammas, Atbildes, Norādes, Risinājumi Vai esat uzdūrušies, kāda grāmata tā ir? tu neizbēgami apgūsi arī fiziku. Super. djvu, 500 lpp.. Izmērs 8,7 Mb.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
Zorich V.A. Matemātiskā analīze. 2 daļās. Mācību grāmata. 1 - 1997, 2 - 1984. 567+640 lapas djvu. 9,6+7,4 Mb.
Universitātes mācību grāmata fizisko un matemātikas specialitāšu studentiem. Tā var noderēt fakultāšu un universitāšu studentiem ar padziļinātu matemātikas apmācību, kā arī matemātikas un tās pielietojumu jomas speciālistiem.Grāmata atspoguļo klasiskās analīzes kursa saistību ar mūsdienu matemātikas kursiem (algebra, diferenciālģeometrija, diferenciāle). vienādojumi, kompleksā un funkcionālā analīze).
Pirmajā daļā ietilpa: ievads analīzē (loģiskā simbolika, kopa, funkcija, reālais skaitlis, robeža, nepārtrauktība); viena mainīgā funkcijas diferenciāļa un integrāļa aprēķins; vairāku mainīgo funkciju diferenciālrēķins.
Mācību grāmatas otrajā daļā ir iekļautas šādas sadaļas: Daudzdimensiju integrālis. Diferenciālās formas un to integrācija. Sērijas un integrāļi atkarībā no parametra (ieskaitot virknes un Furjē transformācijas, kā arī asimptotiskus paplašinājumus).
Palīdzība problēmu risināšanā.
JAUNS. Dārzkopība I.V., Khoroshilova E.V. Noteiktais integrālis: skaitļošanas teorija un prakse. 2008. gads 528 lpp. djvu. 2,7 MB.
Publikācija ir veltīta teorētiskajiem un praktiskiem noteikto integrāļu aprēķināšanas aspektiem, kā arī to novērtēšanas metodēm, īpašībām un pielietojumiem dažādu ģeometrisku un fizikālu problēmu risināšanā. Grāmatā ir sadaļas par īpašintegrāļu aprēķināšanas metodēm, nepareizo integrāļu īpašībām, noteiktā integrāļa ģeometriskiem un fizikāliem lietojumiem, kā arī daži Rīmaņa integrāļa vispārinājumi - Lēbesga un Stīljesa integrāļi.
Teorētiskā materiāla izklāstu atbalsta liels skaits (vairāk nekā 220) analizētu atsevišķu integrāļu īpašību aprēķināšanas, novērtēšanas un izpētes piemēru; katras rindkopas beigās ir doti uzdevumi patstāvīgam risinājumam (vairāk nekā 640, lielākā daļa - ar risinājumiem).
Rokasgrāmatas mērķis ir palīdzēt studentam lekcijās un praktiskajās nodarbībās tēmas "Noteiktais integrālis" pārvaldībā. Students var sazināties ar viņu, lai iegūtu pamatinformāciju par radušos problēmu. Grāmata var būt noderīga arī skolotājiem un ikvienam, kurš vēlas šo tēmu apgūt pietiekami detalizēti un plaši.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
JAUNS. Horošilova E.V. Matemātiskā analīze: nenoteikts integrālis. (lai palīdzētu praktizēt). 2007. gads 184 lpp. djvu. 822 Kb.
Grāmatā sniegta teorētiskā pamatinformācija par nenoteiktajiem integrāļiem, apskatīta lielākā daļa zināmo integrācijas paņēmienu un metožu un dažādas integrējamo funkciju klases (ar norādi par integrācijas metodēm). Materiāla izklāstu atbalsta liels skaits analizētu integrāļu aprēķināšanas piemēru (vairāk nekā 200 integrāļu), katras rindkopas beigās ir uzdevumi patstāvīgam risinājumam (vairāk nekā 200 uzdevumu ar atbildēm).
Rokasgrāmatā ir šādas sadaļas: "Nenoteikta integrāļa jēdziens", "Integrācijas pamatmetodes", "Racionālo daļu integrācija", "Iracionālo funkciju integrācija", "Trigonometrisko funkciju integrācija", "Hiperbolisko, eksponenciālu integrācija". , logaritmiskās un citas pārpasaulīgās funkcijas”. Grāmata paredzēta nenoteiktā integrāļa teorijas apgūšanai praksē, praktisko integrācijas iemaņu attīstīšanai, lekciju kursa nostiprināšanai, izmantošanai semināros un mājas darbu gatavošanas laikā. Rokasgrāmatas mērķis ir palīdzēt studentam apgūt dažādas integrācijas tehnikas un metodes.
Augstskolu studentiem, tostarp matemātikas specialitātēm, kuri apgūst integrālrēķinu matemātiskās analīzes kursa ietvaros.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
JAUNS. V.F. Butuzovs, N. Č. Krutitskaja, G.N. Medvedevs, A.A. Šiškins. Matemātiskā analīze jautājumos un uzdevumos: Proc. pabalstu. 5. izd., red. 2002. gads 480 lapas djvu. 3,8 MB.
Rokasgrāmata aptver visas viena un vairāku mainīgo funkciju matemātiskās analīzes kursa sadaļas. Par katru tēmu tiek apkopota galvenā teorētiskā informācija un piedāvāti kontroljautājumi; doti standarta un nestandarta uzdevumu risinājumi; tiek doti uzdevumi un vingrinājumi patstāvīgam darbam ar atbildēm un norādījumiem. Ceturtais izdevums 2001
Augstskolu studentiem.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
A.A. Burcevs. Eksāmenu uzdevumu risināšanas metodes 1. kursa 2. semestra matemātiskajā analīzē. 2010. gads pdf, 56 lapas 275 Kb.
Uzdevumu varianti četriem iepriekšējiem. gadā.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
Vinogradova I. A. et al. Matemātiskās analīzes uzdevumi un vingrinājumi (1. daļa). 1988. gads djvu, 416 lapas 5,0 Mb.
Krājums ir apkopots no Maskavas Valsts universitātes Mehānikas un matemātikas fakultātes pirmā kursa matemātiskās analīzes kursa nodarbību materiāla un atspoguļo Matemātiskās analīzes katedras pasniedzēja pieredzi. Tas sastāv no divām daļām, kas atbilst I un II semestrim. Katrā daļā atsevišķi tiek izcelti skaitļošanas uzdevumi un teorētiskās problēmas. Pirmajā daļā ietverta funkciju grafiku skiču konstruēšana, robežvērtību aprēķināšana, viena reāla mainīgā funkciju diferenciālrēķins un teorētiskās problēmas. Otrā daļa - nenoteiktais integrālis, Rīmaņa noteiktais integrālis, daudzu mainīgo funkciju diferenciālrēķins, teorētiskās problēmas. Nodaļās, kurās ir skaitļošanas uzdevumi, pirms katras rindkopas ir sniegti detalizēti metodoloģiski norādījumi. Tie satur visas šajā sadaļā izmantotās definīcijas, galveno teorēmu formulējumus, dažu nepieciešamo sakarību atvasināšanu, tipisku problēmu detalizētus risinājumus, kā arī pievērš uzmanību bieži sastopamām kļūdām. Lielākā daļa uzdevumu un vingrinājumu atšķiras no uzdevumiem, kas ietverti labi zināmajā B. P. Demidoviča problēmu grāmatā. Abās krājuma daļās ir aptuveni 1800 aprēķinu vingrinājumu un 350 teorētisku uzdevumu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
Vinogradova I. A. et al. Matemātiskās analīzes uzdevumi un vingrinājumi (2. daļa). 1991. gads djvu, 352 lapas 3,2 Mb.
Problēmu grāmata atbilst matemātiskās analīzes kursam, kas tiek prezentēts otrajā kursā, un tajā ir šādas sadaļas: dubultie un trīskāršie integrāļi un to ģeometriskie un fiziskie pielietojumi, pirmā un otrā veida līklīnijas un virsmas integrāļi. Dota nepieciešamā teorētiskā informācija, doti tipiski algoritmi, kas piemēroti veselu problēmu klašu risināšanai, sniegti detalizēti metodiskie norādījumi.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
Vinogradovs un citi Red. Sadovnichy. Matemātiskās analīzes uzdevumi un vingrinājumi. 51 lpp. PDF. 1,9 MB.
Grafika sadaļa ir apspriesta ļoti detalizēti. Apskatītie piemēri aizņem 35 lappuses.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
Želtuhins. Nenoteiktie integrāļi: aprēķina metodes. 2005 gads. Izmērs 427 Kb. PDF, 80 lpp.Noderīga rokasgrāmata, var izmantot kā atsauci. Tas ne tikai iepazīstina ar visām integrāļu aprēķināšanas metodēm, bet arī sniedz daudz piemēru katram noteikumam. ES iesaku.
Lejupielādēt
Zapožeca. Matemātiskās analīzes problēmu risināšanas ceļvedis. 4. izd. 460 lapas djvu. 7,7 MB.
Aptver visas sadaļas no funkciju izpētes līdz diferenciālvienādojumu risināšanai. Noderīga grāmata.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
Kaļiņins, Petrova, Harins. Nenoteiktie un noteikti integrāļi. 2005 gads. 230 lpp. PDF. 1,2 MB.
Beidzot matemātiķi sāka rakstīt grāmatas fiziķiem un citiem tehnisko specialitāšu studentiem, nevis sev. Iesaku, ja gribi iemācīties rēķināt, nevis pierādīt lemmas un teorēmas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
Kaļiņins, Petrova. Vairāki, līklīnijas un virsmas integrāļi. Apmācība. 2005 gads. 230 lpp. PDF. 1,2 MB.
Šajā apmācībā ir sniegti dažādu integrāļu aprēķināšanas piemēri.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
Kaplan. Augstākās matemātikas praktiskās nodarbības. Analītiskā ģeometrija, diferenciālrēķini, integrālrēķini, diferenciālvienādojumu integrēšana. 2 failos vienā arhīvā. Vispārīgi 925 lpp. djvu. 6,9 MB.
Tiek aplūkoti problēmu risināšanas piemēri vispārējās matemātikas kursā.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
K.N. Lungu uc Augstākās matemātikas uzdevumu krājums. 2. daļa 2. kursam. 2007. gads djvu, 593 lapas 4,1 Mb.
Sērijas un integrāļi. Vektoru un kompleksā analīze. Diferenciālvienādojumi. Varbūtību teorija. operatīvais aprēķins. Šī ir ne tikai problēmu grāmata, bet arī apmācība. Tas var iemācīt jums, kā atrisināt problēmas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
Lungu, Makarovs. Augstākā matemātika. Rokasgrāmata problēmu risināšanai. 1. daļa.2005 Izmērs 2,2 Mb. djvu, 315 lpp
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
I.A. Maroon. Diferenciāļa un integrāļa aprēķins piemēros un uzdevumos (Viena mainīgā funkcijas). 1970. gads djvu. 400 lapas 11,3 Mb.
Grāmata ir rokasgrāmata matemātiskās analīzes uzdevumu risināšanai (viena mainīgā funkcijas). Satur īsus teorētiskus ievadus, tipisku piemēru risinājumus un uzdevumus patstāvīgam risinājumam. Papildus algoritmiski skaitļošanas uzdevumiem tajā ir daudz uzdevumu, kas ilustrē teoriju un veicina tās dziļāku asimilāciju, attīstot studentu neatkarīgu matemātisko domāšanu. Grāmatas mērķis ir iemācīt studentiem patstāvīgi risināt problēmas matemātiskās analīzes gaitā
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
D.T. Rakstīšana. Augstākās matemātikas 100 eksāmena jautājumi. 1999. gads djvu. 304 lapas 9,3 Mb.
Šī rokasgrāmata galvenokārt paredzēta studentiem, kas gatavojas augstākās matemātikas eksāmenam 1. kursā. Tajā apkopotas atbildes uz mutiskā eksāmena eksāmena jautājumiem, kas sniegtas kodolīgā un pieejamā veidā. Rokasgrāmata var būt noderīga visu kategoriju studentiem, kuri vienā vai otrā veidā studē augstāko matemātiku. Tajā ietverts nepieciešamais materiāls 10 augstākās matemātikas kursa sadaļām, kuras parasti apgūst augstskolas (tehniskās skolas) pirmajā kursā studējošie. Atbildes uz 108 eksāmena jautājumiem (ar apakšpunktiem - daudz vairāk) parasti pavada atbilstošu piemēru un uzdevumu risināšana.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
Sobols B.V., Mišņakovs N.T., Porkšjans V.M. Augstākās matemātikas seminārs. 2006. gads 630 lpp. djvu. 5,4 MB.
Grāmatā iekļautas visas augstākās matemātikas standarta kursa sadaļas visdažādākajām augstskolu specialitātēm.
Katra nodaļa (atbilstošā kursa sadaļa) satur izziņas materiālu, kā arī galvenos teorētiskos nosacījumus, kas nepieciešami problēmu risināšanai. Šīs publikācijas īpatnība ir liels uzdevumu skaits ar risinājumiem, kas ļauj to izmantot ne tikai mācībām klasē, bet arī studentu patstāvīgam darbam. Uzdevumi izklāstīti pa tēmām, sistematizēti ar risināšanas metodēm. Aizpildiet katru nodaļu ar uzdevumu komplektiem patstāvīgam risinājumam, kas nodrošināts ar atbildēm.
Materiāla izklāsta pilnīgums un šīs publikācijas relatīvais kompaktums ļauj to ieteikt augstskolu pasniedzējiem un studentiem, kā arī augstākās izglītības iestāžu studentiem, kuri vēlas sistematizēt savas zināšanas un prasmes šajā priekšmetā.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt
E.P. Suljandziga, G.A. Ušakovs. PĀRBAUDES MATEMĀTIKĀ: ROBEŽAS, ATvasinājumi, ALGEBRAS UN ĢEOMETRIJĀS ELEMENTI. Uch. pabalstu. 2009. gads. pdf, 127 lapas 1,1 Mb.
Piedāvāto pamācību var skatīt kā uzdevumu kopumu. Uzdevumi aptver tradicionālās tēmas - matemātiskās analīzes pamatus: funkciju, tās robežu un atvasinājumu. Ir uzdevumi par lineārās algebras un analītiskās ģeometrijas pamatiem. Tā kā funkcijas ierobežojums un atvasinājums ir sarežģītāks, turklāt šīs tēmas ir būtiskas integrāļa aprēķināšanai, tām tiek pievērsta vislielākā uzmanība: tipisku problēmu risinājumi tiek detalizēti analizēti. Apmācības rokasgrāmatā apkopotais materiāls tika atkārtoti izmantots praktiskajās nodarbībās.
Visu augstskolu pirmā kursa studentiem.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lejupielādēt