Elektrostatiskais lauks ir potenciāls. Kas ir potenciālais lauks? Ļaujiet elektrostatiskajam laukam pārvietot lādiņu starp diviem punktiem. Lauka spēku darbs, lai pārvietotu lādiņu starp šiem punktiem, nav atkarīgs no ceļa formas, bet ir atkarīgs tikai no pašu punktu stāvokļa. Šādu lauku sauc par potenciālu.
Tā kā elektrostatiskais lauks ir potenciāls, tam ir iespējams ieviest potenciāla jēdzienu.
Potenciālā definīcija:
Dotā punkta potenciāls ir skaitliski vienāds ar darbu, ko lauka spēki veic, lai pārvietotu vienības pozitīvo lādiņu no noteiktā punkta uz bezgalību.
Un kāpēc ir nepieciešams pārvietot lādiņu uz bezgalību? Tiek uzskatīts, ka bezgalībā lauks ir nulle un potenciāls ir nulle. Ja vēlreiz pārlasām potenciāla definīciju, mēs varam saprast, ka, pārvietojot lādiņu uz bezgalību, mēs to pārvietojam līdz vietai, kur potenciāls ir nulle. Jebkuru punktu varētu izvēlēties kā punktu ar nulles potenciālu, bet parasti izvēlas bezgalību.
Cits jautājums: kāpēc potenciāla noteikšanai ir svarīgi, ka elektrostatiskais lauks ir potenciāls? Potenciālā laukā darbs nav atkarīgs no ceļa formas, kas nozīmē, ka potenciāls var raksturot lauku kādā punktā. Galu galā, ja lauka darbs, pārvietojot lādiņu līdz bezgalībai, būtu atkarīgs no ceļa formas, tad, pārvietojot lādiņu dažādos veidos, mēs iegūtu dažādas viena punkta potenciāla vērtības. Bet strādājiet gadījumā elektrostatiskais lauks nē ir atkarīgs no ceļa formas, kas nozīmē, ka potenciāla vērtība punktā būs tikai viena, kas nozīmē, ka potenciāls var raksturot lauku noteiktā punktā.
Dažādiem elektrostatiskā lauka punktiem mēs varam viennozīmīgi norādīt potenciāla vērtību. Tiesa, šeit ir viens smalkums: pirms norādīt potenciāla vērtību kādam punktam, jums ir jāņem potenciāla vērtība noteiktā punktā, kas vienāda ar nulli (vai kādu konkrētu vērtību). Par šādu punktu esam izvēlējušies bezgalību. Šeit ir svarīgi saprast, ka, runājot par lauka potenciālu noteiktā punktā, tad iepriekš ir zināms cits punkts, kur (vai no kurienes) pārvietosim lādiņu.
Formulu var izmantot, lai noteiktu potenciālo starpību starp diviem punktiem elektriskais lauks, ja ir zināms lauka stiprums apgabalā starp šiem punktiem. Apgriežot šo formulu, mēs varam izteikt elektriskā lauka stiprumu tā potenciāla izteiksmē, t.i., zinot V, mēs varam noteikt E.
Apskatīsim, kā tas ir paveikts.
Vienādojumu var pārrakstīt diferenciālā formā:
dV = -E dl = -E l dl,
kur dV- bezgalīgi maza potenciālu starpība starp punktiem attālumā dl viens no otra, un E l ir elektriskā lauka intensitātes sastāvdaļa šīs bezgalīgi mazās nobīdes virzienā dl.
Pēc tam:
Tādējādi elektriskā lauka intensitātes komponents jebkurā virzienā ir vienāds ar potenciāla gradientu šajā virzienā, kas ņemts ar pretēju zīmi. lieluma gradients V sauc par tā atvasinājumu noteiktā virzienā dV/dl. Ja virziens nav norādīts, tad gradients atbilst ātrāko izmaiņu virzienam. V; tas atbilst vektora virzienam E noteiktā punktā, jo tieši šajā virzienā vektora komponents E sakrīt ar lauka intensitātes kopējo vērtību:
Ja vektora E sastāvdaļas rakstām koordinātēs x, y, z un kā lņemiet norādes pa asīm x y, z, tad vienādojumu (24.8) var uzrakstīt šādi:
Šeit dV/dx- daļējs atvasinājums V virzienā X ar nosacījumu, ka plkst un z fiksēts.
Pēdējā piemērā mēs aprēķinājām elektriskā lauka intensitāti E dipols patvaļīgā telpas punktā. Saskaitot katra lādiņa radīto spriegumu vektorus atsevišķi, iegūt šo rezultātu būtu daudz grūtāk. Vispārīgi runājot, daudziem lādiņu sadalījumiem ir daudz vieglāk aprēķināt potenciālu un pēc tam, izmantojot formulu (24.9), elektriskā lauka stiprumu. E nekā aprēķināt pēc Kulona likuma atsevišķi E katram lādiņam: skalārus ir daudz vieglāk pievienot nekā vektorus.
Elektrostatiskā potenciālā enerģija
Mēs pieņemam, ka punktu maksa q pārvietoties telpā no punkta a tieši tā b, elektriskie potenciāli, kuros citu lādiņu dēļ ir attiecīgi vienādi Va un Vb. Izmaiņas lādiņa elektrostatiskajā potenciālajā enerģijā q citu maksājumu jomā ir:
ΔU \u003d U b - U a \u003d q (V b - V a) \u003d qV ba
Lai tagad ir vairāku punktu maksu sistēma. Kāda ir sistēmas elektrostatiskā potenciālā enerģija?
Visērtāk par nulli izvēlēties lādiņu potenciālo enerģiju ļoti lielos (ideālā gadījumā bezgalīgi lielos) attālumos vienam no otra. Viena punktveida lādiņa potenciālā enerģija Q1 ir nulle, jo, ja nav citu lādiņu, uz to neiedarbojas nekāds spēks. Ja tam tiek celts otrais punktu lādiņš, Q2, potenciāls vietā, kur atrodas otrais lādiņš, būs vienāds ar:
Šeit r 1 2 - attālums starp lādiņiem. Divu lādiņu potenciālā enerģija ir:
Tas raksturo darbu, kas nepieciešams lādiņa pārvietošanai. J 2 no bezgalības ( V= 0) uz attālumu r 1 2 pirms uzlādes J i (vai ar mīnusa zīmi, darbs, kas nepieciešams, lai sadalītu lādiņus bezgalīgā attālumā).
Ja sistēma sastāv no trim lādiņiem, tad tās kopējā potenciālā enerģija būs vienāda ar visu trīs lādiņu pārvietošanas darbu no bezgalības uz to atrašanās vietu. Darbs pie maksājumu konverģences J 2 un J 1 nosaka izteiksme (24.10);
pārskaitīt maksu J 3 no bezgalības līdz punktam attālumā r 1 3 atlaide J 1 un attālumā r 2 3 atlaide J 2, ir jāveic darbs:
Šajā gadījumā trīs punktu lādiņu sistēmas potenciālā enerģija būs vienāda ar:
Četru lādiņu sistēmai potenciālās enerģijas izteiksmē būs seši šādi termini utt. (Sastādot šādas summas, jāuzmanās, lai viens un tas pats pāris netiktu skaitīts divas reizes.) Bieži vien mūs neinteresē kopējā elektrostatiskā potenciālā enerģija, bet tikai daļa no tās. Piemēram, cita dipola klātbūtnē var būt nepieciešams atrast viena dipola potenciālo enerģiju. Mijiedarbībā ir iesaistītas četras maksas: J 1 un -J 1 pirmais dipols un J 2 un -J 2 sekundes dipols.
Viena dipola potenciālā enerģija un cita klātbūtnē (dažreiz saukta par mijiedarbības enerģiju) ir darbs, kas tuvina dipolus kopā no bezgalīga attāluma. Šajā gadījumā mūs neinteresē lādiņu savstarpējā potenciālā enerģija J 1 un -J 1 vai J 2 un -J 2; divu dipolu potenciālās enerģijas izteiksmē būs tikai četri termini, kas atbilst lādiņu mijiedarbības enerģijām: J 1 un J 2 ; J 1 un -J 2 ; -J 1 un J 2 ; -J 1 un -J 2 .
Secinājums
Elektriskais potenciāls jebkurā telpas punktā definē kā vienības lādiņa elektrostatisko potenciālo enerģiju. Potenciālu starpību starp diviem punktiem nosaka darbs ar pretēju zīmi, ko veic lauks, kad starp šiem punktiem pārvietojas vienības elektriskā lādiņš. Potenciālu starpību mēra voltos (1 V = 1 J/C), un dažreiz to sauc par spriegumu. Izmaiņas lādiņa potenciālajā enerģijā q izejot cauri potenciālu starpībai Vba vienāds ∆U = qVba.
Vba starp punktiem b un a vienmērīgā elektriskajā laukā ar intensitāti E tiek noteikts pēc formulas V = -Red, kur d ir attālums gar lauka līniju starp šiem punktiem.
Nehomogēnā elektriskajā laukā E atbilstošajai izteiksmei ir forma .
Tādējādi, zinot E, jūs vienmēr varat definēt Vba. Ja vērtība V ir zināms, tad lauka intensitātes sastāvdaļas E var atrast, apgriežot doto attiecību:
E x \u003d -dV / dx, E y \u003d -dV / dy, E z \u003d -dV / dz .
Komentāri un ieteikumi tiek pieņemti un laipni gaidīti!
Elektriskā lauka potenciāls ir potenciālās enerģijas attiecība pret lādiņu. Kā jūs zināt, elektriskais lauks ir potenciāls. Tāpēc jebkuram ķermenim, kas atrodas šajā laukā, ir potenciālā enerģija. Jebkurš darbs, ko veiks lauks, būs saistīts ar potenciālās enerģijas samazināšanos.
Formula 1 – potenciāls
Elektriskā lauka potenciāls ir lauka enerģijas raksturlielums. Tas atspoguļo darbu, kas jāveic pret elektriskā lauka spēkiem, lai pārvietotu vienību pozitīvo punktu lādiņu, kas atrodas bezgalībā, uz noteiktu lauka punktu.
Elektriskā lauka potenciālu mēra voltos.
Ja lauku veido vairāki lādiņi, kas sakārtoti nejaušā secībā. Potenciāls šāda lauka noteiktā punktā būs visu potenciālu algebriskā summa, kas rada lādiņus katru atsevišķi. Tas ir tā sauktais superpozīcijas princips.
Formula 2 – dažādu lādiņu kopējais potenciāls
Pieņemsim, ka elektriskajā laukā lādiņš pārvietojas no punkta "a" uz punktu "b". Darbs tiek veikts pret elektriskā lauka stiprumu. Attiecīgi potenciāls šajos punktos atšķirsies.
Formula 3 - Darbs elektriskajā laukā
1. attēls - lādiņa kustība elektriskā laukā
Potenciālā starpība starp diviem lauka punktiem būs vienāda ar vienu voltu, ja, lai starp tiem pārvietotu viena piekariņa lādiņu, nepieciešams veikt viena džoula darbu.
Ja lādiņiem ir vienādas zīmes, tad to savstarpējās mijiedarbības potenciālā enerģija būs pozitīva. Šajā gadījumā lādiņi viens otru atgrūž.
Pretējiem lādiņiem mijiedarbības enerģija būs negatīva. Maksas šajā gadījumā tiks piesaistītas viena otrai.
Enerģijas jēdziens ir ārkārtīgi noderīgs mehānikas problēmu risināšanai. Pirmkārt, enerģija tiek saglabāta un tāpēc kalpo kā svarīga dabas parādību īpašība. Izmantojot idejas par enerģiju, daudzas problēmas var atrisināt bez detalizētām zināšanām par spēkiem vai gadījumos, kad Ņūtona likumu piemērošanai būtu nepieciešami sarežģīti aprēķini.
Enerģētikas pieeju var izmantot arī elektrisko parādību izpētē, un šeit tā izrādās ārkārtīgi noderīga: ļauj ne tikai vispārināt enerģijas nezūdamības likumu, bet arī ieraudzīt elektriskās parādības jaunā aspektā, kā arī kalpo kā līdzeklis, lai rastu risinājumus vienkāršāk, nevis ņemot vērā spēkus un elektriskos laukus.
Potenciālo enerģiju var noteikt tikai konservatīviem spēkiem; šāda spēka darbs, pārvietojot daļiņu starp diviem punktiem, nav atkarīgs no izvēlētā ceļa.
Ir viegli saprast, ka elektrostatiskais spēks ir konservatīvs: spēku, ar kādu viens punktveida lādiņš iedarbojas uz otru, nosaka Kulona likums: F = kQ 1 Q 2 /r 2; šeit ir tāda pati apgriezti proporcionāla atkarība no attāluma kvadrāta kā likumā smagums: F \u003d Gm 1 m 2 / r 2. Šādi spēki ir konservatīvi. Spēku, kas iedarbojas uz izvēlēto lādiņu no jebkura lādiņu sadalījuma, var uzrakstīt kā Kulona spēku summu; līdz ar to spēks, ko rada patvaļīga lādiņu sadale, ir konservatīvs. Un tas ļauj mums ieviest elektrostatiskā lauka potenciālo enerģiju.
Punkta lādiņa potenciālās enerģijas starpība q divos dažādos punktos elektrisko lauku var definēt kā darbu, ko veic ārējie spēki, lai pārvietotu lādiņu (pret elektriskā spēka darbību) no viena punkta uz otru. Tas ir līdzvērtīgs lādiņa potenciālās enerģijas izmaiņu definēšanai laukā kā paša lauka veiktajam darbam, lai pārvietotu lādiņu no viena punkta uz otru, ņemot vērā pretējo zīmi.
Apsveriet, piemēram, elektrisko lauku starp divām plāksnēm ar vienādu un pretēju lādiņu. Lai plākšņu izmēri ir lieli, salīdzinot ar attālumu starp tām, un tāpēc lauku starp plāksnēm var uzskatīt par viendabīgu (24.1. att.).
Liksim uz punktu a pie pozitīvi lādētas plāksnes, punktveida pozitīvs lādiņš q. Elektriskais spēks, kas iedarbojas uz lādiņu, mēdz to pārvietot uz negatīvo plāksni (līdz punktam b) veicot maksas pārskaitīšanas darbu. Spēka iedarbībā lādiņš iegūs paātrinājumu un palielināsies tā kinētiskā enerģija; šajā gadījumā potenciālā enerģija samazināsies par paveiktā darba apjomu elektriskais spēks par lādiņa kustību no punkta a tieši tā b. Saskaņā ar enerģijas nezūdamības likumu lādiņa potenciālā enerģija elektriskā laukā pārtaps kinētiskā enerģijā, bet kopējā enerģija paliks nemainīga. Ņemiet vērā, ka pozitīvais lādiņš q ir visaugstākā potenciālā enerģija U pozitīvās plāksnes tuvumā (šajā brīdī tās spēja veikt darbu pie cita ķermeņa vai sistēmas ir maksimāla). Negatīvam lādiņam ir tieši pretēji: tā potenciālā enerģija būs maksimālā negatīvās plāksnes tuvumā.
Mēs definējām elektriskā lauka stiprumu kā spēku, kas iedarbojas uz vienības lādiņu; līdzīgi ir ērti ieviest elektriskais potenciāls(vai vienkārši potenciāls, ja tas neizraisa apjukumu) kā vienības lādiņa potenciālā enerģija. Elektrisko potenciālu norāda ar simbolu V; tātad, ja kādā brīdī a punktu maksa q ir potenciālā enerģija U a, tad elektriskais potenciāls šajā punktā ir vienāds ar V a = U a /q.
Patiesībā mēs mērām tikai potenciālās enerģijas izmaiņas. Attiecīgi faktiski ir iespējams izmērīt tikai potenciālo starpību starp diviem punktiem (piemēram, punktiem a un b att. 24.1). Ja elektrisko spēku darbs, lai pārvietotu lādiņu no punkta a tieši tā b tur ir Wba(un potenciālās enerģijas starpība attiecīgi ir vienāda ar šo vērtību ar pretēju zīmi), tad potenciālajai starpībai varam uzrakstīt
Elektriskā potenciāla (un potenciālu starpības) mērvienība ir džouls uz kulonu (J/C); šai vienībai tika dots nosaukums volt (V) par godu Alesandro Voltam (1745-1827) (viņš pazīstams kā elektriskās baterijas izgudrotājs); 1 V = 1 J/C. Ņemiet vērā, ka saskaņā ar šo definīciju pozitīvi lādētā plāksne attēlā. 24.1 potenciāls ir lielāks nekā negatīvs. Tādējādi pozitīvi lādētam ķermenim būs tendence pārvietoties no punkta ar lielāku potenciālu uz punktu ar zemāku potenciālu, negatīvi lādētam ķermenim - otrādi. Potenciālu starpību bieži sauc par elektrisko spriegumu.
Potenciāls noteiktā punktā Va atkarīgs no "nulles" potenciāla izvēles; tāpat kā potenciālās enerģijas gadījumā, nulles līmeni var izvēlēties patvaļīgi, jo var izmērīt tikai potenciālās enerģijas izmaiņas (potenciāla starpību). Bieži vien zemes vai ar zemi savienotā vadītāja potenciāls tiek uzskatīts par nulli, un atlikušās potenciāla vērtības tiek skaitītas attiecībā pret "zemi". (Piemēram, sakot, ka potenciāls kādā brīdī ir 50 V, nozīmē, ka potenciālu starpība starp šo punktu un zemi ir 50 V.) Citos gadījumos, kā mēs redzēsim, ir ērti uzskatīt nulles potenciālu bezgalībā.
Tā kā elektriskais potenciāls tiek definēts kā vienības lādiņa potenciālā enerģija, lādiņa potenciālās enerģijas izmaiņas q pārvietojot to no punkta a tieši tā b vienāds
Δ U = U b - U a = qV ba
Citiem vārdiem sakot, kad maksa q pārvietojas starp punktiem ar potenciālu starpību Vba, tā potenciālā enerģija mainās par summu qVba. Ja, piemēram, potenciālu starpība starp plāksnēm att. 24.1 ir 6 V, tad 1 C lādiņš tiek pārvietots (ar ārēju spēku) no punkta b tieši tā a, palielinās savu potenciālo enerģiju par (1 C) (6 V) = 6 J. (Pārvietojoties no a iekšā b, tas zaudēs potenciālo enerģiju 6 J.) Tāpat 2 C lādiņa enerģija palielināsies par 12 J utt. Tādējādi elektriskais potenciāls kalpo kā mērs elektriskā lādiņa potenciālās enerģijas izmaiņām šajā situāciju. Un tā kā potenciālā enerģija ir spēja veikt darbu, elektriskais potenciāls kalpo kā darba mērs, ko konkrētais lādiņš var veikt. Darba apjoms ir atkarīgs gan no potenciālās starpības, gan no lādiņa lieluma.
Lai labāk izprastu elektriskā potenciāla nozīmi, zīmēsim analoģiju ar gravitācijas lauku. Lai akmens nokrīt no klints augšas. Jo augstāks ir akmens, jo vairāk potenciālās enerģijas ir akmenim un jo lielāka būs tā kinētiskā enerģija, kad tas sasniegs klints dibenu. Kinētiskās enerģijas daudzums un attiecīgi darbs, ko akmens var veikt, ir atkarīgs no akmens augstuma un no akmens masas. Līdzīgi elektriskajā laukā potenciālās enerģijas (un darba, ko var veikt) izmaiņas ir atkarīgas no potenciāla starpības (ekvivalents klints augstumam) un lādiņa (ekvivalents masai).
Praksē izmantotie elektroenerģijas avoti - akumulatori, elektriskie ģeneratori - rada zināmu potenciālu starpību. Enerģijas daudzums, kas tiek ņemts no avota, ir atkarīgs no pārnestā lādiņa lieluma.
Apsveriet, piemēram, automašīnas priekšējo lukturi, kas ir savienots ar akumulatoru, kura potenciālu starpība starp spailēm ir 12 V. Enerģijas daudzums, ko lukturis pārvērš gaismā (un, protams, siltumā), ir proporcionāls lādiņam, kas plūst caur lukturi. kas savukārt ir atkarīgs no tā, cik ilgi ir ieslēgts priekšējais lukturis. Ja kādu laiku priekšējam lukturim izgāja lādiņš 5,0 C, tad luktura pārveidotā enerģija būs (5,0 C) * (12,0 V) \u003d 60 J. Ja priekšējo lukturi atstājat ieslēgtu divreiz ilgāk, tad uzlāde no 10,0 iet caur to C, un pārveidotās enerģijas daudzums būs (10,0 C) * (12,0 V) = 120 J.
Viena vai cita lādiņu sadalījuma radītās sekas var aprakstīt gan ar elektriskā lauka intensitātes palīdzību, gan caur elektrisko potenciālu. Pastāv cieša saikne starp lauka stiprumu un potenciālu. Vispirms apskatīsim šīs attiecības vienmērīga elektriskā lauka gadījumā, piemēram, laukam starp plāksnēm attēlā. 24.1 ar potenciālu starpību Vba. Elektriskā lauka darbs pozitīva lādiņa pārvietošanai q no punkta a tieši tā b ir vienāds ar
W = - qV ba
Ņemsim vērā, ka vērtība Vba = Vb - Va negatīvs ( Vba a ir augstāks nekā punktā b(un pozitīvi attiecībā uz potenciālu konkrētajā brīdī b). Līdz ar to lauka paveiktais ir pozitīvs.
No otras puses, darbs ir vienāds ar spēka un nobīdes un spēka, kas iedarbojas uz lādiņu, reizinājumu q, tur ir F = qE, kur E- vienmērīga elektriskā lauka intensitāte starp plāksnēm. Pa šo ceļu,
W = Fd = qEd
kur d- attālums starp punktiem a un b(pa spēka līniju). Pielīdzinot šos izteicienus darbam, mēs iegūstam
- qVba = qEd
V b - V a \u003d V ba \u003d - Red(lauks E viendabīgs).
Mīnusa zīme labajā pusē vienkārši norāda uz to V a V b, t.i. pozitīvās plāksnes potenciāls ir augstāks par negatīvo, kā jau teicām. Pozitīvie lādiņi mēdz pārvietoties no augsta potenciāla zonas uz zema potenciāla apgabalu. No šejienes jūs varat atrast E:
E \u003d - V ba / d .
No pēdējās vienādības var redzēt, ka elektriskā lauka stiprumu var izmērīt gan voltos uz metru (V/m), gan ņūtonos uz kulonu (N/C). Šīs vienības ir līdzvērtīgas viena otrai: 1 N/C = 1 N m/C m = 1 J/C m = 1 V/m.
Lai pārietu uz vispārīgu neviendabīga elektriskā lauka gadījumu, mēs atceramies saistību starp spēku F un potenciālā enerģija Ušī spēka dēļ. Potenciālo enerģiju atšķirība divos telpas punktos a un b nosaka pēc formulas
kur dl- bezgalīgi maza nobīde, un integrālis tiek ņemts pa patvaļīgu trajektoriju starp punktiem a un b. Elektriskā lauka gadījumā mūs vairāk interesē atšķirība nevis potenciālajās enerģijās, bet gan potenciālos:
V ba = V b - V a = (U b - U a)/q
Elektriskā lauka stiprums E jebkurā telpas punktā nosaka spēka attiecība pret lādiņu: E = F/q. Aizvietojot šīs divas vienādības formulā, mēs iegūstam
Šī ir vispārējā sakarība, kas saista elektriskā lauka stiprumu ar potenciālu starpību.
Kad lauks ir viendabīgs, piemēram, attēlā. 24.1. pa trajektoriju, kas ir paralēla spēka līnijām, no punkta a pie pozitīvās plāksnes līdz punktam b pie negatīvās plāksnes (jo norādījumi E un dl sakrīt visur) mums ir
kur d- attālums pa lauka līniju starp punktiem a un b. Un atkal mīnusa zīme labajā pusē tikai norāda, ka attēlā. 24.1 V a > V b .
Turpinājums sekos. Īsumā par šādu publikāciju:
Komentāri un ieteikumi tiek pieņemti un laipni gaidīti!
Elektrostatiskais lauks ir potenciāls lauks. Potenciālo spēka lauku jēdziens tika ieviests mehānikas kursā. Lauku sauc par potenciālu, ja šī lauka spēku darbs, pārvietojoties no viena punkta uz otru, nav atkarīgs no trajektorijas formas, bet tiek noteikts tikai pēc sākuma un beigu pozīcijas.
Potenciāls ir jebkurš centrālais lauks, kurā spēks ir atkarīgs tikai no attāluma līdz spēka centram un ir vērsts pa rādiusu. Šī apgalvojuma pierādījums tika izskatīts mehānikas gaitā. Elektrostatisko lauku, ko rada atsevišķa punktveida lādiņš, apraksta Kulona likums. Šis lauks ir sfēriski simetrisks un ir īpašs centrālā lauka gadījums. Tas nozīmē punktveida lādiņa elektrostatiskā lauka potenciālo raksturu.
Saskaņā ar superpozīcijas principu jebkura, patvaļīgi sarežģīta stacionāro lādiņu sadalījuma radītā elektrostatiskā lauka stiprums ir katra lādiņa atsevišķi radīto lauka intensitātes vektoru summa. Spēku, kas iedarbojas uz pārvietojamo testa lādiņu, nosaka kopējais lauka stiprums. Tāpēc darbs testa lādiņa kustības laikā ir vienāds ar to spēku darba summu, kas darbojas no atsevišķiem punktveida lādiņiem. Katra šāda spēka darbs nav atkarīgs no trajektorijas formas. Tāpēc arī kopējais darbs - radošā spēka darbs - nav atkarīgs no trajektorijas, kas pierāda jebkura elektrostatiskā lauka potenciālo raksturu.
Potenciālā enerģija. Par lādiņu elektrostatiskā laukā, tāpat kā jebkura potenciāla lauka gadījumā, var ieviest potenciālās enerģijas jēdzienu. Lādiņa potenciālo enerģiju jebkurā lauka punktā definē kā darbu, ko veic lauka spēki, pārvietojot lādiņu no šī punkta uz kādu fiksētu punktu, kura potenciālā enerģija tiek pieņemta kā nulle. Var teikt arī citādi: šī potenciālā enerģija ir vienāda ar ārējo spēku veikto darbu, pārnesot lādiņu no izvēlēta fiksēta punkta uz noteiktu lauka punktu. Potenciālās enerģijas nulles vērtības fiksēta punkta izvēle ir patvaļīga. Tāpēc lādiņa potenciālā enerģija laukā tiek noteikta līdz kādai aditīvai konstantei. Šāda potenciālās enerģijas neskaidrība fizikālos rezultātus nekādā veidā neietekmē, jo visos konkrētajos aprēķinos nozīme ir tikai enerģijas izmaiņām lādiņa pārnešanas laikā no viena lauka punkta uz citu.
Elektriskā lauka potenciāls. Spēks, kas iedarbojas uz lādiņu elektriskajā laukā E, ir proporcionāls lādiņam: Līdz ar to gan darbs, kas veikts ar kādu lādiņa kustību, gan tā
arī potenciālā enerģija ir proporcionāla lādiņam, kā rezultātā ir ērti ņemt vērā potenciālo enerģiju uz lādiņa vienību. Iegūto elektrostatiskā lauka enerģijas raksturlielumu sauc par potenciālu.
Potenciāls noteiktā lauka punktā tiek definēts kā darba A attiecība, ko lauka spēki veic, pārvietojot testa lādiņu no noteikta lauka punkta uz fiksētu punktu, kura potenciāls tiek pieņemts kā nulle, uz šo maksu:
Fiziska nozīme ir tikai potenciālu starpībai starp jebkuriem punktiem, nevis pašu šo punktu potenciālu vērtībām.
Punkta lādiņa lauka potenciāls. Punkta lādiņa elektrostatiskajam laukam ir ērti izvēlēties bezgalīgi tālu punktu kā punktu ar nulles potenciālu. Tad tāda punkta potenciāla izteiksmei, kas atrodas attālumā no lādiņa, kas rada lauku, ir forma
Atgādiniet to CGSE vienību sistēmā un SI. Attiecīgi formula (2) ir uzrakstīta vienā no divām formām:
Mēs uzsveram, ka formulās (2) un (2a) potenciālam ir lādiņš, kas rada lauku (nevis lādiņa modulis, kā iepriekšējā rindkopas formulā (4) un (4a) lauka intensitātes modulim) . Pozitīva lādiņa radītā lauka potenciāls visur ir pozitīvs, jo šī lauka spēku darbs, pārvietojot pozitīvu testa lādiņu uz bezgalību no jebkura lauka punkta, ir pozitīvs. Tāpat negatīvā lādiņa lauka potenciāls visur ir negatīvs. Tas viss, kā arī pašas formulas (2) un (2a), protams, ir spēkā, izvēloties nulles potenciāla punktu bezgalībā.
Tā pati formula (2) izsaka lauka potenciālu ārpus vienmērīgi uzlādētas bumbiņas, jo tās lauks nav atšķirams no lauka, kurā ir tāds pats punktveida lādiņš, kas novietots lodītes centrā. Visos punktos šādas bumbas iekšpusē, kur lauka stiprums ir nulle, potenciāls ir tāds pats un tam ir tāda pati vērtība kā lodītes virsmai.
Elektrostatiskajā laukā ievietota lādiņa potenciālā enerģija ir vienāda ar lauka punkta, kurā atrodas šis lādiņš, potenciāla reizinājumu:
Ja lādiņš atrodas cita punktveida lādiņa radītajā laukā, tad tā potenciālajai enerģijai, ņemot vērā (2), ir forma
Ar vienādiem lādiņiem, t.i., atgrūžot, potenciālā enerģija ir pozitīva un samazinās, kad lādiņi tiek atdalīti. Ar pretējiem lādiņiem, t.i., ar pievilcību, elektrostatiskā potenciālā enerģija, tāpat kā potenciālā enerģija gravitācijas laukā, ir negatīva un palielinās, kad lādiņi tiek atdalīti.
Superpozīcijas princips potenciālam. Saskaņā ar superpozīcijas principu vairāku lādiņu lauka patvaļīga punkta potenciāls, kā izriet no potenciāla definīcijas, ir vienāds ar visu lādiņu šajā punktā radīto potenciālu algebrisko summu:
Šajā gadījumā nulles potenciāla punkts tiek izvēlēts visiem lādiņiem.
Elektriskā lauka darbs. Spriegums. Darbs, ko veic elektrostatiskā lauka spēki, pārvietojot noteiktu lādiņu no viena punkta uz otru, ir vienāds ar pārnestā lādiņa un potenciālās starpības starp sākuma un beigu punktu reizinājumu:
Izteiksme (6) izriet no potenciāla definīcijas.
Potenciālo starpību starp diviem punktiem parasti sauc par spriegumu no punkta līdz punktam (vai tikai spriegumu)
Kā redzams no (6), lauka spēku darbs, pārvietojot lādiņu no viena punkta uz otru, ir vienāds ar pārnestā lādiņa un sprieguma reizinājumu:
Potenciālu, potenciālu starpību un spriegumu mēra vienās un tajās pašās vienībās. CGSE šai vienībai nav īpaša nosaukuma, un SI sprieguma mērvienību sauc par voltu, kad viena kulona lādiņš pārvietojas starp punktiem ar viena volta potenciālu starpību. elektriskie spēki veic viena džoula darbu:
ekvipotenciālu virsmas. Elektrostatisko lauku vizuāli grafisks attēlojums ir iespējams ne tikai ar spēka līniju attēla palīdzību, kas sniedz priekšstatu par intensitāti katrā lauka punktā, bet arī ar ekvipotenciālu virsmu palīdzību. Ekvipotenciāla virsma ir punktu kopums, kur potenciālam ir vienāda vērtība.
Rīsi. 13. Punkta lādiņa elektriskās uguns spriegojuma līnijas un ekvipotenciālu virsmas
Parasti daļu no šīm virsmām attēlo kāda plakne (zīmējuma plakne), tāpēc attēlos tās izskatās kā līnijas. Piemēram, punktveida lādiņa elektrostatiskajam laukam ekvipotenciālas virsmas ir koncentriskas sfēras ar kopīgu centru vietā, kur atrodas lauku veidojošais lādiņš. Uz att. 13 šo sfēru sekcijas izskatās kā koncentriski apļi.
Elektrostatiskā lauka spēka līnijas ir perpendikulāras ekvipotenciāla virsmām. Patiešām, ja jūs garīgi pārvietojat testa lādiņu pa ekvipotenciāla virsmu, tad darbs, kā redzams no (8), ir vienāds ar nulli. Tādējādi elektriskā lauka spēks nedarbojas, un tas ir iespējams, ja spēks ir perpendikulārs pārvietojumam.
Divi elektrostatisko lauku attēlošanas veidi - spēka līnijas un ekvipotenciāla virsmas - ir līdzvērtīgi: izmantojot vienu no šiem attēliem, jūs varat viegli izveidot citu. Īpaši skaidri ir zīmējumi, kuros attēlotas abas šīs gleznas (14. att.).
Rīsi. 14. Sprieguma līnijas un vienāda moduļa ekvipotenciālu virsmas, kas atšķiras no (a) un līdzīga (b) punkta lādiņiem
Saikne starp spriedzi un potenciālu. Elektrostatiskā lauka stiprums un tā potenciāls ir saistīti viens ar otru. Šo saistību ir viegli atrast, ņemot vērā lauka spēku darbu ar tik mazu testa lādiņa nobīdi, ka lauka intensitāti var uzskatīt par nemainīgu. No vienas puses, šis darbs ir vienāds ar spēka un nobīdes skalāro reizinājumu, t.i. No otras puses, šis darbs saskaņā ar (8) ir vienāds ar lādiņa un potenciāla starpības reizinājumu, t.i., mīnusa zīme šeit rodas tāpēc, ka potenciāla pieaugums pēc definīcijas ir vienāds ar starpību potenciāla vērtības beigu un sākuma punktos: Pielīdzinot abas izteiksmes darbam, mēs iegūstam
Skalāro reizinājumu var attēlot kā spriedzes projekcijas uz nobīdes vektora virzienu un šī pārvietojuma moduļa reizinājumu
Kustības virzienu var izvēlēties patvaļīgi. Izvēloties to pa vienu no koordinātu asīm, no (10) iegūstam izteiksmi vektora E projekcijai uz atbilstošo asi:
Mēs uzsveram, ka šo izteiksmju skaitītājos saskaņā ar (9) ir potenciālie pieaugumi nelielām nobīdēm pa attiecīgajām koordinātu asīm.
Lādiņu sistēmas enerģija. Līdz šim mēs esam apsvēruši noteikta lādiņa potenciālo enerģiju, kas novietota elektrostatiskajā laukā, ko rada citi lādiņi, kuru atrašanās vieta kosmosā tika uzskatīta par nemainīgu. Tomēr pēc fiziskās būtības testa lādiņi un lādiņi - lauka avoti neatšķiras, un lādiņa potenciālā enerģija laukā ir šo lādiņu mijiedarbības enerģija. Tāpēc dažos gadījumos ir ērti potenciālās enerģijas izteiksmei piešķirt simetrisku formu, lai visi lādiņi - gan lauka avoti, gan testa lādiņi - parādītos kā vienādi. Diviem mijiedarbojošiem punktveida lādiņiem šāda simetriska potenciālās enerģijas izteiksme jau ir atrasta - tā ir formula (4). Tas pieņem, ka potenciālā enerģija ir nulle, kad lādiņus atdala bezgalīgs attālums.
Sarežģītākos gadījumos, kad tiek ņemti vērā vairāki savstarpēji mijiedarbojoši lādiņi, tiek pieņemts, ka mijiedarbības potenciālā enerģija ir vienāda ar nulli jebkuram noteiktam relatīvā pozīcijašīs maksas. Ērts (lai gan nav nepieciešams)
Kā šo konfigurāciju izvēlieties šādu izkārtojumu, kad visi mijiedarbīgie lādiņi tiek noņemti viens no otra bezgalīgos attālumos. Sistēmas potenciālā enerģija jebkurā citā konfigurācijā tiek definēta kā darbs, ko veic visi mijiedarbības spēki sistēmas pārejas laikā no šīs konfigurācijas uz pozīciju ar nulles potenciālo enerģiju. Tajā pašā laikā šī potenciālā enerģija ir vienāda ar ārējo spēku veikto darbu, pārnesot visus lādiņus no pozīcijas ar nulles potenciālo enerģiju uz noteiktu konfigurāciju.
Fiksētu punktveida lādiņu sistēmas mijiedarbības enerģiju izsaka ar formulu
kur ir visu lādiņu radītā lauka potenciāls, izņemot vietu, kur atrodas lādiņš:
Šeit ir norādīts attālums starp lādiņiem.
Lai pierādītu formulu (12), var izmantot matemātiskās indukcijas metodi. Pirmkārt, mēs atzīmējam, ka par
2, šī formula sakrīt ar iepriekš iegūto formulu (4): summa pāri satur divus vārdus:
kur saskaņā ar (13)
Aizstājot šīs vērtības ar (14), mēs iegūstam formulu (4).
Tagad mēs pieņemam, ka formula (12) ir derīga punktu maksām, un mēs pierādīsim tās derīgumu maksu sistēmai. Kad lādiņš tiek ievadīts no bezgalības, sistēmas enerģija mainīsies par summu, kas vienāda ar ārējo spēku veikto darbu:
Šeit, saskaņā ar pieņēmumu, nosaka formula (12), un darbs, ko veic ārējie spēki, pārvietojot lādiņu no bezgalības uz lauka punktu ar potenciālu, ir kur
Šī lauka punkta potenciāls, ko rada visi lādiņi, izņemot
Pēc lādiņa ievadīšanas mainās visu lauka punktu potenciāli, izņemot to, kurā atrodas šis lādiņš. Punkta, kurā atrodas lādiņš, potenciāls tagad būs vienāds ar
Izteiksim lādiņu sistēmas (15) enerģiju jaunu potenciālo vērtību izteiksmē, izmantojot attiecības (17):
Produktu summa ar otro vārdu iekavās šīs vienādības labajā pusē formulas (16) dēļ ir Tāpēc
Tādējādi ir pierādīta formula (12) punktveida lādiņu sistēmas enerģijai.
Pierādīt, ka viena punkta lādiņa radītais elektrostatiskais lauks ir potenciāls.
Pierādīt, ka lauks, ko rada jebkurš sadalījums fiksēts elektriskie lādiņi, potenciāli.
Ko nozīmē superpozīcijas princips attiecībā uz enerģētiskā īpašība elektrostatiskais lauks - potenciāls?
Pierādiet formulas (6) derīgumu, ņemot vērā lauka darbu, pārvietojot lādiņu no sākuma punkta I uz bezgalību un pēc tam no bezgalības uz punktu 2.
Kāds ir elektrostatiskā lauka spēku darbs, pārvietojot lādiņu pa slēgtu ķēdi?
Pierādīt, ka lauks ir potenciāls, ja šī lauka spēku veiktais darbs, pārvietojoties pa jebkuru slēgtu kontūru, ir vienāds ar nulli.
Uzzīmējiet vienmērīga elektrostatiskā lauka spēka līniju un ekvipotenciālu virsmu attēlu.
Vai var pastāvēt elektrostatiskais lauks spēka līnijas kuras ir paralēlas taisnes ar mainīgu blīvumu (15. att.)?
Kāda ir atšķirība starp testa lādiņa potenciālās enerģijas jēdzienu, kas atrodas divu lādiņu elektrostatiskajā laukā, un visu trīs lādiņu potenciālās enerģijas jēdzienu?
Formulas atvasināšana. Pierādīsim formulas (2) derīgumu vientuļa punktveida lādiņa potenciālam. Potenciāls punktā P, kas atrodas attālumā no lādiņa līdzvērtīgs darbam ko veic lauka spēki, pārvietojot vienības pozitīvo lādiņu no punkta P uz punktu bezgalībā. Tā kā spēks, kas iedarbojas uz vienības lādiņu, ir vienāds ar lauka intensitāti E, tad mūs interesējošā darba izteiksme, vienāds ar potenciālu punktā P, tiks rakstīts formā
Integrāciju šeit var veikt pa jebkuru ceļu, kas iet no punkta P līdz bezgalībai, jo potenciālo lauka spēku darbs nav atkarīgs no trajektorijas formas. Izvēlamies šo ceļu pa taisni, kas iet no lādiņa caur doto punktu P līdz bezgalībai. Tā kā lauka intensitāte E ir vērsta pa šo taisni (no lādiņa pie un uz lādiņu pie, tad skalāro reizinājumu var uzrakstīt kā
ja koordinātu sākumpunkts ir izvēlēts vietā, kur atrodas lādiņš Integrācija (18) tagad tiek veikta diapazonā no līdz
Par punktveida uzlādes modeli. Pievērsīsim uzmanību tam, ka gan punktveida lādiņa lauka intensitāte, gan potenciāls palielinās bezgalīgi (tiecas uz bezgalību), punktam P tuvojoties vietai, kur atrodas lauku veidojošais lādiņš. Fiziski tam nav nozīmes, jo tas atbilst gan spēka, kas iedarbojas uz testa lādiņu, gan tā potenciālās enerģijas bezgalībai. Tas viss liecina, ka pašam punktveida uzlādes modelim ir ierobežota pielietojuma joma.
Cik lielā mērā priekš elementārdaļiņas vai ir iespējams izmantot punktu maksas modeli? Eksperimenti ar lieliem paātrinātājiem ir parādījuši, ka nukleoniem ir iekšēja struktūra. Tajos esošais lādiņš kaut kādā veidā tiek sadalīts pa tilpumu, un ne tikai protonam, bet pat neitronam, kas parasti ir elektriski neitrāls. Kas attiecas uz elektroniem, tiem punktveida lādiņa modelis “darbojas” līdz attālumiem, kas atbilst tā sauktā klasiskā elektronu rādiusa kārtai, sk.
Spriedze kā potenciāls gradients. Tagad atgriezīsimies pie formulām, kas izsaka jebkura elektrostatiskā lauka intensitāti caur tā potenciālu. No formulām (11) izriet, ka lauka intensitātes vektora E projekcijas uz koordinātu asīm var uzskatīt par atvasinājumiem, kas ņemti ar pretēju zīmi attiecībā pret attiecīgajām koordinātām no koordinātu skalārās funkcijas potenciāla Aprēķinot jebkuru no šiem atvasinājumiem, piemēram, attiecībā uz x, divi citi mainīgie, y un uzskatāmi par fiksētiem. Šādus vairāku mainīgo funkcijas atvasinājumus matemātikā sauc par daļējiem atvasinājumiem un apzīmē ar vektoru, kura projekcijas ir vienādas ar skalārās funkcijas parciālajiem atvasinājumiem attiecībā pret attiecīgajām koordinātām, sauc par šīs skalārās funkcijas gradientu. Tādējādi elektriskā lauka stiprums E ir potenciālais gradients, kas ņemts ar mīnusa zīmi. Pierakstiet to šādi:
Šeit V ir simbolisks vektors, kura projekcijas uz koordinātu asīm ir diferenciācijas darbības:
Dekarta koordinātu sistēmas orts.
Jo ātrāk mainās potenciāls telpā, jo lielāks ir tā gradienta modulis, t.i., elektriskā lauka intensitātes modulis. Intensitātes vektors "skatās" virzienā, kurā potenciāls samazinās visstraujāk, t.i., perpendikulāri ekvipotenciāla virsmām. Var redzēt, ka vektors E ir vērsts šādā veidā, izmantojot formulu (9): ja no apskatāmā punkta veicam vienāda lieluma kustības visos iespējamos virzienos, tad vislielākās potenciāla izmaiņas notiks, kad šī kustība ir vērsta pa vektoru E.
Uz kādu elektrostatiskā lauka īpašību ir balstīta integrācijas ceļa izvēle formulā (18)?
Kāpēc punktveida lādiņa laukam nulles potenciāla vērtību nevar izvēlēties vietā, kur atrodas pats lādiņš?
Paskaidrojiet, kāpēc elektriskā lauka stiprums ir vērsts visātrākā potenciāla samazināšanās virzienā.