Individuālu kartēšanu, kurai ir īpašība saglabāt leņķus pēc lieluma un virziena, kā arī īpašība saglabāt kartēto punktu mazo apkaimju dilatācijas, sauc par konformālo kartēšanu.
Lai nodrošinātu individuālu atspulgu, tiek identificētas funkciju univalences zonas. Domēnu D sauc par funkcijas f(z) if univalences domēnu.
Konformālās kartēšanas pamatīpašības:
1) stiepšanās noturība. Lineārs punktā ir vienāds visām līknēm, kas iet caur šo punktu, un ir vienādas;
2) leņķu saglabāšana. Visas līknes punktā griežas vienā leņķī, vienādas.
Funkcija parāda punktus uz z plaknes (vai Rīmaņa virsmas). Katrā punktā z tā, lai f(z) būtu analītisks (t.i., unikāli noteikts un diferencējams kādā šī punkta apkārtnē) un kartēšana ir konformāla, t.i. leņķis starp divām līknēm, kas iet caur punktu z, pārvēršas leņķī, kas vienāds pēc lieluma un atskaites virziena starp divām atbilstošām līknēm plaknē.
Bezgalīgi mazs trīsstūris šāda punkta z tuvumā tiek attēlots līdzīgā bezgalīgi mazā trijstūrī - plaknē; katra trijstūra mala ir izstiepta proporcijā un pagriezta par leņķi. Izkropļojuma koeficientu (mazo laukumu lokālo attiecību) kartēšanas laikā nosaka kartēšanas jakobiāns
katrā punktā z, kur kartējums ir konformāls.
Konformālā kartēšana pārveido līnijas par ortogonālu trajektoriju saimi w plaknē.
Z-plaknes apgabalu, kas ar funkciju f(z) attēlo uz visu w plakni, sauc par funkcijas f(z) pamatapgabalu.
Punktus, kuros sauc par kritiskajiem kartēšanas punktiem.
Kartējumu, kas saglabā leņķa lielumu, bet ne virzienu starp divām līknēm, sauc par otrā veida izogonālu vai konformālu kartēšanu.
Kartējums ir konformāls bezgalības punktā, ja funkcija konformāli kartē sākumu ar - plakni.
Divas līknes kādā punktā krustojas leņķī, ja transformācija tās pārveido divās līknēs, kas kādā punktā krustojas leņķī.
Līdzīgi, kartē punktu atbilstoši punktam .
KLASISKI PIEMĒRI KONFORMĀLĀS KARTĒTĒM
Vienkāršākie piemēri
Piemērs 1. Izmantojot funkciju, attēlojiet taisnu līniju plaknē.
Pārveidosim taisno līniju.
Tādējādi
Mēs aizvietojam ar iegūtajiem vienādojumiem:
un saņemam
Mēs izslēdzam x no iegūtajiem vienādojumiem.
No (1) vienādojuma atrodam x un iegūstam
Aizstāt (3) vienādojumā (2):
mēs saņemam
Attēlosim iegūtās līnijas 1. attēlā.
1. attēls Konformālā kartēšana ar tiešo funkciju
Atbilde: Tātad taisna līnija, kas atrodas xOy plaknē, tika atbilstoši kartēta līknē (parabolā), kas atrodas plaknē
2. piemērs. Atrodiet griešanās leņķi un mēroga kropļojumu koeficientu punktā, kad tas tiek parādīts:
Kad tiek parādīts, izmantojot funkciju, rotācijas leņķis ir,a.
Tajā brīdī, kas mums ir
Atbilde: (saspiešana).
3. piemērs. Atrodiet griešanās leņķi un mēroga kropļojumu koeficientu punktā, kad tas tiek parādīts:
Kad tiek parādīts, izmantojot funkciju, ir rotācijas leņķis, un skalas kropļojumu koeficients punktā ir vienāds ar
Tajā brīdī, kas mums ir
(stiepšanās).
Atbilde: (stiepjas).
4. piemērs. Atrodiet plaknes punktus, kuros skalas kropļojumu koeficients ir vienāds ar 1, kad tiek parādīts:
Mēroga kropļojumu koeficients punktā ir vienāds ar
Atvasinājuma atrašana
Tāpēc
5. piemērs. Atrodiet plaknes punktus, kuros skalas kropļojumu koeficients ir vienāds ar 1, kad tiek parādīts:
Mēroga kropļojumu koeficients punktā ir vienāds ar
Atvasinājuma atrašana
Saskaņā ar nosacījumu skalas kropļojumu koeficientam jābūt vienādam ar 1.
Tāpēc
Risinot lietišķās problēmas, bieži vien ir nepieciešams pārveidot doto laukumu par vienkāršākas formas laukumu un tādā veidā, lai leņķi starp līknēm tiktu saglabāti. Ar šo īpašību apveltītās transformācijas ļauj veiksmīgi atrisināt aerodinamikas un hidrodinamikas, elastības teorijas, dažāda rakstura lauku teorijas un daudzas citas problēmas. Mēs aprobežosimies ar līdzenu reģionu transformācijām. Nepārtraukta plakana apgabala kartēšana r = f(r) plaknes apgabalā tiek saukta par konformālu punktā, ja šajā punktā tai ir konstanta pagarinājuma un leņķu saglabāšanas īpašības. Atvērtos reģionus sauc par konformāli ekvivalentiem, ja ir viens pret vienu kartēšana no viena no šiem reģioniem uz otru, konformālu katrā punktā. Rīmaņa teorēma. Jebkuri divi plakani atvērti vienkārši savienoti apgabali, kuru robežas sastāv no vairāk nekā viena punkta, ir konformāli līdzvērtīgi. Galvenā problēma specifisku problēmu risināšanā ir viena no tām konformālās kartēšanas izveidošana viens pret vienu no dotajiem plakanajiem reģioniem. Viens no veidiem, kā atrisināt šo problēmu plaknes gadījumā, ir izmantot kompleksa mainīgā funkciju teorijas aparātu. Kā minēts iepriekš, vienvērtīga analītiskā funkcija ar nulles atvasinājumu veic tās piešķiršanas domēna konformālu kartēšanu savā attēlā. Veidojot konformālos kartējumus, ļoti noderīgs ir šāds noteikums. Robežu atbilstības princips. Ļaujiet kompleksās plaknes z vienkārši savienotā apgabalā H), ko ierobežo kontūra 7, vienvērtības analītisko funkciju w = f(z), nepārtrauktu 9) noslēgumā un atspoguļo kontūru 7 uz kādu kompleksa kontūru 7" linearitāte w Ja tiek saglabāti virzieni, kas šķērso kontūru, tad funkcija w - f(z) veic kompleksās plaknes z apgabala konformālu kartēšanu uz kompleksās plaknes w apgabalu Z1, ko ierobežo kontūra 7". (1. att.). Šīs sadaļas mērķis ir, izmantojot iepriekš atrastos kompleksa mainīgā elementāro pamatfunkciju univalences domēnus, iemācīties konstruēt lietojumprogrammās bieži sastopamu atvērtu vienkārši savienotu plakņu domēnu konformālus kartējumus pār domēniem - augšējo pusi. -plakne un vienības aplis (.2. att.). Lai efektīvāk izmantotu zemāk esošo tabulu, ir noderīgas dažas vienkāršas sarežģītās plaknes transformācijas. Plaknes transformācijas, kas veic: 1. paralēlo translāciju (nobīdi par doto komplekso skaitli a) (Zīm. 3), 3. att. 2. rotācija (noteiktā leņķī 3. stiepšanās (fc > 1) vai saspiešana (5. att.). Tādējādi 0 tipa transformācija, jebkuru apli var izveidot par vienību apli ar centru pie nulles (6. att.), jebkuru pusplakni var padarīt par augšējo pusplakni, jebkuru taisnes segmentu var pārveidot par reālās ass segmentu (14. att. Norādītais laukums ir parādīts tabulā zem Nr. 22. Izmantojot daļēju lineāro transformāciju, mēs pārveidojam šo laukumu par plakni ar griezumu pa staru. un (I, +oo[ Plakne ar griezumu gar reālu staru Plakne ar griezumu pa segmentu (O, 1J Nr. 21 1 plakne ar griezumiem y stari atrodas ia taisnā līnijā, kas iet caur izcelsmi gar reālajiem stariem ] - " у, 0] un (1. Plakne ar griezumu gar reālo staru (0, + in (Plakne ar griezumu gar apļa loku Ixl - 1, lm z > O Plakne ar griezumu pa riņķa loku III - I, Re z > O Plakne ar griezumu gar reālu staru (0, Plakne ar griezumu gar apļveida loku Plakne ar griezumu pa reālu staru [C, + co [ Nr. 25 Pusplakne ar griezumiem Pusplakne l ar griezumu pa segmentu ar griezumu pa iedomātu staru Aplis ar griezumiem Aplis 1 ar griezumu pa segmentu (1/2, 1J Nr. 30 Plakne ar griezumu pa segmentu (-1, 5/4] Aplis) Izl ar griezumiem pa segmentiem (-1 . -1/2] un (1/2, 1] Nr. 31 Plakne ar griezumiem gar griezumiem I -5/4, 5/4] Aplis Ijl ar simetriskiem griezumiem pa iedomāto asi Aplis atrodas ar simetriskiem griezumiem pa reālo asi Apļa ārpuse ar griezumiem Ārējās vienības aplis I ar griezumu gar segmentu un 11, 2) Nr. 34 Plakne ar griezumu gar segmentu [ -1, 5/4] Plakne ar griezumu gar segmentu I - 5/ 4, 3/4] w = e "^z Viena apļa izskats Izl > 1 ar griezumiem pa segmentiem, kas ir tā diametra paplašinājumi Vienības apļa Iwl > 1 ārpuse ar griezumiem pa segmentiem, kas atrodas uz reālās ass Pusaplis ar griezumiem -r2 Nfc 36 Aplis Iwl ar griezumu gar segmentu [ -1/4, 1] Pusaplis , ar griezumu gar segmentu (0, i/2) Pusaplis, ar griezumu gar segmentu )