Sākot no ģeometrijas un matemātikas kursa, skolēni ir pieraduši pie tā, ka atvasinājuma jēdziens viņiem tiek nodots caur figūras laukumu, diferenciāļiem, funkciju ierobežojumiem un arī ierobežojumiem. Mēģināsim aplūkot atvasinājuma jēdzienu no cita leņķa un noteikt, kā var saistīt atvasinājumu un trigonometriskās funkcijas.
Tātad, apsveriet kādu patvaļīgu līkni, ko apraksta ar abstraktu funkciju y = f(x).
Iedomājieties, ka grafiks ir tūrisma maršruta karte. Pieaugums ∆x (delta x) attēlā ir noteikts ceļa attālums, un ∆y ir takas augstuma izmaiņas virs jūras līmeņa.
Tad izrādās, ka attiecība ∆x/∆y raksturos sarežģīto maršrutu katrā ceļa posmā. Zinot šo vērtību, jūs varat droši pateikt, vai kāpums / nolaišanās ir stāvs, vai ir nepieciešams kāpšanas aprīkojums un vai tūristiem ir nepieciešama noteikta fiziskā sagatavotība. Bet šis rādītājs būs derīgs tikai vienam nelielam intervālam ∆x.
Ja brauciena organizators ņems takas sākuma un beigu punktu vērtības, tas ir, ∆x - būs vienāds ar maršruta garumu, tad viņš nevarēs iegūt objektīvus datus par pakāpi. ceļojuma grūtības. Tāpēc nepieciešams izveidot citu grafiku, kas raksturos ceļa izmaiņu ātrumu un “kvalitāti”, citiem vārdiem sakot, katram maršruta “metram” nosaka attiecību ∆x/∆y.
Šis grafiks būs vizuāls atvasinājums konkrētam ceļam un objektīvi aprakstīs tā izmaiņas katrā interesējošajā intervālā. To ir ļoti viegli pārbaudīt, ∆x/∆y vērtība nav nekas cits kā diferenciālis, kas ņemts noteiktai x un y vērtībai. Piemērosim diferenciāciju nevis noteiktām koordinātām, bet gan funkcijai kopumā:
Atvasinātās un trigonometriskās funkcijas
Trigonometriskās funkcijas ir nesaraujami saistītas ar atvasinājumu. To var saprast no nākamā zīmējuma. Koordinātu ass attēlā redzama funkcija Y = f (x) - zilā līkne.
K (x0; f (x0)) ir patvaļīgs punkts, x0 + ∆x ir pieaugums pa OX asi, un f (x0 + ∆x) ir pieaugums pa OY asi kādā punktā L.
Novelciet līniju caur punktiem K un L un izveidojiet taisnleņķa trīsstūri KLN. Ja jūs garīgi pārvietojat segmentu LN pa grafiku Y = f (x), tad punkti L un N tiecas uz vērtībām K (x0; f (x0)). Sauksim šo punktu par grafa nosacīto sākumu – robežu, bet, ja funkcija ir bezgalīga, vismaz vienā no intervāliem – arī šī aspirācija būs bezgalīga, un tās robežvērtība ir tuvu 0.
Šīs aspirācijas būtību var raksturot ar izvēlētā punkta pieskari y = kx + b vai ar sākotnējās funkcijas dy atvasinājuma grafiku - zaļo taisni.
Bet kur šeit ir trigonometrija ?! Ir ļoti vienkārši apsvērt taisnleņķa trīsstūri KLN. Diferenciāļa vērtība konkrētam punktam K ir leņķa α vai ∠K tangenss:
Tādējādi ir iespējams aprakstīt atvasinājuma ģeometrisko nozīmi un saistību ar trigonometriskajām funkcijām.
Trigonometrisko funkciju atvasinātās formulas
Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta pārvērtības, nosakot atvasinājumu, ir jāiegaumē.
Pēdējās divas formulas nav kļūda, fakts ir tāds, ka pastāv atšķirība starp vienkārša argumenta atvasinājuma un funkcijas definēšanu tādā pašā statusā.
Apsveriet salīdzinošu tabulu ar formulām sinis, kosinusa, tangensa un kotangensa atvasinājumiem:
Tiek atvasinātas arī formulas arcsīna, arkosīna, arktangenta un arkotangenta atvasinājumiem, lai gan tās tiek izmantotas ārkārtīgi reti:
Jāatzīmē, ka ar iepriekšminētajām formulām viennozīmīgi nepietiek veiksmīgam risinājumam. tipiski uzdevumi LIETOŠANA, kas tiks demonstrēta risinot gadījuma izpēte meklēt trigonometriskās izteiksmes atvasinājumu.
Vingrinājums: jāatrod funkcijas atvasinājums un jāatrod tā vērtība π/4:
Risinājums: Lai atrastu y', jums jāatceras pamatformulas sākotnējās funkcijas pārvēršanai atvasinājumā, t.
Visbiežāk uzdotie jautājumi
Vai ir iespējams uztaisīt zīmogu uz dokumenta pēc sniegtā parauga? Atbilde Jā, tas ir iespējams. Nosūtiet skenētu kopiju vai fotoattēlu uz mūsu e-pasta adresi laba kvalitāte un mēs izveidosim nepieciešamo dublikātu.
Kādus maksājumu veidus jūs pieņemat?
Atbilde Samaksāt par dokumentu var brīdī, kad to saņem kurjers, pēc aizpildīšanas pareizības un diploma kvalitātes pārbaudes. To var izdarīt arī pasta uzņēmumu birojā, kas piedāvā skaidras naudas piegādes pakalpojumus.
Visi dokumentu piegādes un apmaksas noteikumi ir aprakstīti sadaļā "Maksājums un piegāde". Esam gatavi uzklausīt arī jūsu ieteikumus par dokumenta piegādes un apmaksas noteikumiem.
Vai varu būt drošs, ka pēc pasūtījuma veikšanas nepazudīsi ar manu naudu? Atbilde Mums ir diezgan ilga pieredze diplomu izgatavošanas jomā. Mums ir vairākas vietnes, kuras tiek pastāvīgi atjauninātas. Mūsu speciālisti strādā dažādās valsts daļās, dienā noformējot vairāk nekā 10 dokumentus. Gadu gaitā mūsu dokumenti ir palīdzējuši daudziem cilvēkiem atrisināt nodarbinātības problēmas vai pāriet uz labāk apmaksātu darbu. Mēs esam izpelnījušies klientu uzticību un atzinību, tāpēc mums nav nekāda iemesla to darīt. Turklāt to vienkārši nav iespējams izdarīt fiziski: jūs maksājat par savu pasūtījumu brīdī, kad to saņemat savās rokās, priekšapmaksas nav.
Vai es varu pasūtīt diplomu jebkurā augstskolā? Atbilde Vispār jā. Mēs šajā jomā strādājam gandrīz 12 gadus. Šajā laikā ir izveidojusies gandrīz pilnīga gandrīz visu valsts augstskolu izdoto dokumentu datubāze par dažādiem izdošanas gadiem. Viss, kas Jums nepieciešams, ir izvēlēties augstskolu, specialitāti, dokumentu un aizpildīt pasūtījuma veidlapu.
Kā rīkoties, ja dokumentā atrodu drukas un kļūdas?
Atbilde Saņemot dokumentu no mūsu kurjera vai pasta uzņēmuma, iesakām rūpīgi pārbaudīt visas detaļas. Ja tiek konstatēta drukas kļūda, kļūda vai neprecizitāte, Jums ir tiesības neizņemt diplomu, un konstatētie trūkumi Jums jānorāda personīgi kurjeram vai rakstiski, nosūtot e-pastu.
Tiklīdz iespējams, labosim dokumentu un nosūtīsim atkārtoti uz norādīto adresi. Protams, piegādi apmaksās mūsu uzņēmums.
Lai izvairītos no šādiem pārpratumiem, pirms sākotnējās veidlapas aizpildīšanas nosūtām uz klienta pastu topošā dokumenta maketu pārbaudei un galīgās versijas apstiprināšanai. Pirms dokumenta nosūtīšanas ar kurjeru vai pastu mēs arī uzņemam papildu fotoattēlu un video (arī ultravioletajā gaismā), lai jums būtu vizuāls priekšstats par to, ko jūs galu galā iegūsit.
Kas jādara, lai pasūtītu diplomu savā uzņēmumā?
Atbilde Lai pasūtītu dokumentu (sertifikātu, diplomu, akadēmisko sertifikātu u.c.), ir jāaizpilda tiešsaistes pasūtījuma veidlapa mūsu mājaslapā vai jānorāda savs e-pasts, lai mēs jums nosūtītu anketas veidlapu, kas jāaizpilda un jānosūta. atpakaļ pie mums.
Ja nezināt, ko norādīt kādā pasūtījuma veidlapas/anketas laukā, atstājiet tos tukšus. Tāpēc visu trūkstošo informāciju noskaidrosim pa tālruni.
Jaunākās atsauksmes
Torywild:
Es nolēmu iegādāties diplomu no jūsu uzņēmuma, kad pārcēlos uz citu pilsētu, bet es nevarēju atrast savu diplomu starp manām lietām. Bez viņa es nebūtu pieņemts labi atalgotam darbam. Jūsu konsultants man apliecināja, ka šī informācija netiek izpausta, un neviens neatšķirs dokumentu no oriģināla. Šaubas nepameta, bet man bija jāizmanto iespēja. Man patika, ka nebija jāveic priekšapmaksa. Vispār diplomu saņēmu laicīgi un netiku apmānīts. Paldies!
Oksana Ivanovna:
Kad man nozaga diplomu, es biju šausmīgi sarūgtināts. Galu galā mani tajā laikā tikko atlaida un tagad atrodu labu darbu bez diploma augstākā izglītība gandrīz neiespējami. Par laimi, kaimiņš ieteica sazināties ar jūsu organizāciju. Sākumā biju skeptisks, bet nolēmu riskēt. Piezvanīju uzņēmuma vadītājai un izskaidroju savu situāciju. Un man ir paveicies! Viņi visu izdarīja nekavējoties, un, pats galvenais, viņi apsolīja neizpaust manu noslēpumu. Biju nobažījies, vai vēlāk neparādīsies fakts par manu diploma iegādi.
Maša Kutenkova:
Paldies par jūsu darbu! 1991. gadā pasūtīja diplomu. Kad viņi sāka kārtot dokumentus, izrādījās, ka ir maz pieredzes, un ir nepieciešams arī papīrs, kas apliecina izglītību. Man tā nebija, un priekšnieks to zināja, un viņa pati ieteica jūsu uzņēmumu (redziet, es esmu darbinieks, nekas tamlīdzīgs). Uz dokumenta viņa man norādīja detaļas - tur ir teikts, kādos gados tiek lietota tinte vai tinte, paraksta biezums utt. Paldies par rūpību un kvalitāti!
LenOK:
Izlasījis stāstus par kaunpilnajām darbinieku atlaišanām, kuru diplomi drukāti uz krāsu printera, devos pieteikties augstskolā. Ak, nav budžeta, nav arī naudas, lai mācītos un apmaksātu sesijas, nācās riskēt. Lai gan ļoti priecājos, ka iepazinu jūsu uzņēmumu. Lai gan es netiku pieņemts darbā ar jūsu diplomu, praktiskā bloka neveiksmes dēļ tā nav jūsu vaina. Tiklīdz es atradīšu jaunu vietu - nekavējoties pie jums, bez kavēšanās!
Džerijs Terijs:
Skatoties ar kādu mulsumu mans kolēģis izlidoja no darba pēc viltotā diploma, bija bail sekot viņa piemēram. Ja nebūtu krusttēva, kurš pasūtīja no tevis, es nebūtu riskējis. Viņa man apliecināja, ka šeit viss norit gludi un mans vārds būs visur, kur vajadzēs. Man bija 4 dienas visam. Paldies par ātrumu - mēs to izdarījām 3, kā arī paspējām rūpīgi izpētīt dokumentu viltošanas veidus, taču jūsu veidlapa neatbilst viltojumam, kas nozīmē, ka tā derēs oriģinālam.
Endrjū:
Es nekad nebūtu domājis, ka man būs jāpērk diploms. Pēc skolas viņas meita aizbrauca uz Poliju strādāt, kad pēc 5 gadiem atgriezās, gribēja dabūt darbu kā modes dizainere vietējā modes namā. Bez diploma viņu neviens negribēja ņemt līdzi uz darbu. Viņš saprata, ka, ja viņš neiegūs šo darbu, viņš atkal aizies. Vakaru sērfoju internetā, un no rīta jau biju birojā ar meitas dokumentiem. Pēc nedēļas viņš paņēma līdzi viņas diplomu, un viņa beidzot palika strādāt savā pilsētā vēlamajā amatā. Jums nav ne jausmas, cik es esmu pateicīgs!
x kotangences atvasinājums attiecībā pret x ir mīnus viens dalīts ar sinusu kvadrātā x:
(ctgx)′ =.
Kotangensa atvasinājuma formulas atvasināšana
Lai iegūtu kotangensa atvasinājuma formulu, mēs izmantosim šādus matemātiskos faktus:
1)
Kotangensa izteiksme kosinusa un sinusa izteiksmē:
(1)
;
2)
Kosinusa atvasinājuma vērtība:
(2)
;
3)
Sinusa atvasinājuma vērtība:
(3)
;
4)
Koeficienta atvasinājuma formula:
(4)
;
5)
Trigonometriskā formula:
(5)
.
Mēs piemērojam šīs formulas un noteikumus kotangensa atvasinājumam.
.
Tādējādi mēs esam ieguvuši kotangensa atvasinājuma formulu.
Daļas (4) atvasinājuma formula ir derīga tām mainīgā x vērtībām, kurām ir funkciju atvasinājumi un kurām daļskaitļa saucējs nepazūd:
.
Mūsu gadījumā
, . Tā kā kosinusa un sinusa atvasinājumi ir definēti visām mainīgā x vērtībām, tad kotangentes atvasinājuma formula ir derīga visiem x, izņemot punktus, kur sinusa ir nulle. Tas ir, izņemot punktus
,
kur ir vesels skaitlis.
Pati funkcija y = ctg x definēts visiem x, izņemot punktus
.
Tāpēc kotangences atvasinājums ir definēts visā kotangences funkcijas definīcijas jomā.
Augstāku pasūtījumu atvasinājumi
Vienkārša formula kotangences y = n-tajam atvasinājumam ctg x, Nē. Taču augstākas kārtas atvasinājumu aprēķinus var vienkāršot. Procesu var samazināt līdz polinomu diferenciācija.
Lai to izdarītu, mēs izsakām kotangensa atvasinājumu pašas kotangensas izteiksmē:
.
Tātad mēs atradām:
(6)
.
Atradīsim (6) vienādojuma kreisās un labās daļas atvasinājumus un pielietosim kompleksas funkcijas diferenciācijas likumu . Mēs saņemam otrās kārtas atvasinājums:
.
Aizstājējs (6):
(7)
.
Atrodiet trešās kārtas atvasinājumu. Lai to izdarītu, mēs diferencējam vienādojumu (7), piemērojam diferenciācijas noteikumu sarežģīta funkcija un izmantojiet izteiksmi (6) pirmajam atvasinājumam:
.
Līdzīgā veidā mēs atrodam ceturtās un piektās kārtas atvasinājumi:
;
.
Kopumā n-tās kārtas atvasinājums, kotangences funkcijas mainīgajā x , var attēlot kā polinomu kotangentes pakāpēs:
.
Šī polinoma koeficienti ir saistīti ar rekursīvo attiecību:
,
kur
;
;
.
Vispārējā formula
Attēlosim diferenciācijas procesu ar vienu formulu. Šim nolūkam mēs to atzīmējam
.
Tad kotangensa n-tajam atvasinājumam ir šāda forma:
,
kur .