Un atvasinātā teorēma sarežģīta funkcija, kura formulējums ir šāds:
Pieņemsim, ka 1) funkcijai $u=\varphi (x)$ ir atvasinājums $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ kādā brīdī $x_0$, 2) funkcijai $y=f(u)$. attiecīgajā punktā $u_0=\varphi (x_0)$ ir atvasinājums $y_(u)"=f"(u)$. Tad kompleksajai funkcijai $y=f\left(\varphi (x) \right)$ minētajā punktā būs arī atvasinājums, kas vienāds ar funkciju $f(u)$ un $\varphi () atvasinājumu reizinājumu x)$:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$
vai īsākā apzīmējumā: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.
Šīs sadaļas piemēros visām funkcijām ir forma $y=f(x)$ (ti, mēs uzskatām tikai viena mainīgā $x$ funkcijas). Attiecīgi visos piemēros atvasinājums $y"$ tiek ņemts attiecībā pret mainīgo $x$. Lai uzsvērtu, ka atvasinājums ņemts attiecībā pret mainīgo $x$, bieži vien $y"_x$ vietā raksta $y"_x$. y"$.
1., 2. un 3. piemēri sniedz detalizētu procesu sarežģītu funkciju atvasinājuma atrašanai. Piemērs Nr. 4 ir paredzēts atvasinājumu tabulas pilnīgākai izpratnei, un ir jēga ar to iepazīties.
Pēc piemērā Nr.1-3 esošā materiāla izpētīšanas vēlams pāriet uz piemēru Nr.5, Nr.6 un Nr.7 patstāvīgu risināšanu. 5., 6. un 7. piemēri satur īsu risinājumu, lai lasītājs varētu pārbaudīt sava rezultāta pareizību.
1. piemērs
Atrodiet funkcijas $y=e^(\cos x)$ atvasinājumu.
Mums jāatrod kompleksās funkcijas $y"$ atvasinājums. Tā kā $y=e^(\cos x)$, tad $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. atrodiet atvasinājumu $ \left(e^(\cos x)\right)"$ izmantojiet formulu #6 no atvasinājumu tabulas. Lai izmantotu formulu Nr.6, jāņem vērā, ka mūsu gadījumā $u=\cos x$. Tālākais risinājums ir banāla izteiksmes $\cos x$, nevis $u$ aizstāšana formulā Nr. 6:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$
Tagad jāatrod izteiksmes $(\cos x)"$ vērtība. Atkal pievēršamies atvasinājumu tabulai, no tās izvēloties formulu Nr. 10. Aizvietojot $u=x$ formulā Nr. 10, mēs iegūstam : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Tagad turpinām vienādību (1.1), papildinot to ar atrasto rezultātu:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$
Tā kā $x"=1$, mēs turpinām vienlīdzību (1.2):
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$
Tātad no vienādības (1.3) mums ir: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Protams, skaidrojumus un starpvienādības parasti izlaiž, atvasinājumu rakstot vienā rindā, kā vienādībā ( 1.3) Tātad ir atrasts kompleksās funkcijas atvasinājums, atliek tikai pierakstīt atbildi.
Atbilde: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
2. piemērs
Atrodiet funkcijas $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ atvasinājumu.
Mums jāaprēķina atvasinājums $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Sākumā mēs atzīmējam, ka konstanti (t.i., skaitli 9) var izņemt no atvasinājuma zīmes:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$
Tagad pievērsīsimies izteiksmei $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Lai atvieglotu vēlamās formulas atlasi no atvasinājumu tabulas, prezentēšu izteiksmi jautājumu šādā formā: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Tagad ir skaidrs, ka ir jāizmanto formula Nr.2, t.i. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Šajā formulā aizstājiet $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ un $\alpha=12$:
Papildinot vienādību (2.1) ar iegūto rezultātu, mēs iegūstam:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$
Šādā situācijā bieži tiek pieļauta kļūda, kad risinātājs pirmajā solī formulas vietā izvēlas formulu $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Lieta tāda, ka pirmajam atvasinājumam jābūt ārējā funkcija. Lai saprastu, kura funkcija būs ārpus izteiksmes $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, iedomājieties, ka jūs uzskaitāt izteiksmes $\arctg^(12)(4\cdot 5^) vērtību. x)$ kādai vērtībai $x$. Vispirms aprēķiniet vērtību $5^x$, pēc tam reiziniet rezultātu ar 4, lai iegūtu $4\cdot 5^x$. Tagad no šī rezultāta ņemam arktangensu, iegūstot $\arctg(4\cdot 5^x)$. Tad mēs paaugstinām iegūto skaitli līdz divpadsmitajai pakāpei, iegūstot $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Pēdējā darbība, t.i. paaugstinot līdz jaudai 12, - un būs ārēja funkcija. Un tieši no tā jāsāk atrast atvasinājumu, kas tika izdarīts vienādībā (2.2).
Tagad mums jāatrod $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Mēs izmantojam atvasinājumu tabulas formulu Nr. 19, aizstājot tajā $u=4\cdot \ln x$:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Nedaudz vienkāršosim iegūto izteiksmi, ņemot vērā $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Vienlīdzība (2.2) tagad kļūs par:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$
Atliek atrast $(4\cdot \ln x)"$. No atvasinājuma zīmes izņemam konstanti (t.i. 4): $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. Lai atrastu $(\ln x)"$, mēs izmantojam formulu Nr. 8, aizstājot to ar $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. Tā kā $x"=1$, tad $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ Iegūto rezultātu aizstājot formulā (2.3), iegūstam:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $
Atgādināšu, ka kompleksās funkcijas atvasinājums visbiežāk ir vienā rindā, kā rakstīts pēdējā vienādībā. Tāpēc, veicot standarta aprēķinus vai testus, nemaz nav nepieciešams krāsot risinājumu tādā pašā detaļā.
Atbilde: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
3. piemērs
Atrodiet $y"$ no funkcijas $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.
Vispirms nedaudz pārveidosim funkciju $y$, izsakot radikāli (sakni) kā pakāpju: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \labais)^(\frac(3)(7))$. Tagad sāksim atrast atvasinājumu. Tā kā $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, tad:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$
Mēs izmantojam formulu Nr. 2 no atvasinājumu tabulas, aizstājot tajā $u=\sin(5\cdot 9^x)$ un $\alpha=\frac(3)(7)$:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Turpinām vienādību (3.1), izmantojot iegūto rezultātu:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$
Tagad mums jāatrod $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Šim nolūkam mēs izmantojam formulu Nr. 9 no atvasinājumu tabulas, aizstājot to ar $u=5\cdot 9^x$:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Papildinot vienādību (3.2) ar iegūto rezultātu, mēs iegūstam:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$
Atliek atrast $(5\cdot 9^x)"$. Vispirms no atvasinājuma zīmes izņemam konstanti (skaitli $5$), t.i., $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. Lai atrastu atvasinājumu $(9^x)"$, mēs izmantojam atvasinājumu tabulas formulu Nr. 5, aizstājot tajā $a=9$ un $u=x$: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Tā kā $x"=1$, tad $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Tagad varam turpināt vienlīdzību (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
Varat atgriezties no pakāpēm pie radikāļiem (t.i., saknēm), ierakstot $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ kā $\ frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^) x)))$. Tad atvasinājums tiks uzrakstīts šādā formā:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$
Atbilde: $y"=\frac(15\cdot \ln 9) (7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.
4. piemērs
Parādiet, ka atvasinājumu tabulas formulas Nr. 3 un Nr. 4 ir šīs tabulas formulas Nr. 2 īpašs gadījums.
Atvasinājumu tabulas formulā Nr.2 ir ierakstīts funkcijas $u^\alpha$ atvasinājums. Formulā #2 aizstājot $\alpha=-1$, mēs iegūstam:
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$
Tā kā $u^(-1)=\frac(1)(u)$ un $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, vienādību (4.1) var pārrakstīt šādi: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Šī ir atvasinājumu tabulas formulas numurs 3.
Atkal pievērsīsimies atvasinājumu tabulas formulai Nr.2. Aizstājiet tajā $\alpha=\frac(1)(2)$:
$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$
Tā kā $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ un $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, tad vienādību (4.2) var pārrakstīt šādi:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
Rezultātā iegūtā vienādība $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ ir atvasinājumu tabulas formula Nr. 4. Kā redzat, atvasinājumu tabulas formulas Nr.3 un Nr.4 ir iegūtas no formulas Nr.2, aizstājot atbilstošo vērtību $\alpha$.
To ir ļoti viegli atcerēties.
Nu, mēs netiksim tālu, mēs nekavējoties apsvērsim apgriezto funkciju. Kura funkcija ir apgriezta eksponenciālā funkcija? Logaritms:
Mūsu gadījumā bāze ir skaitlis:
Šādu logaritmu (tas ir, logaritmu ar bāzi) sauc par “dabisku”, un mēs tam izmantojam īpašu apzīmējumu: tā vietā rakstām.
Kas ir vienāds ar? Protams, .
Arī dabiskā logaritma atvasinājums ir ļoti vienkāršs:
Piemēri:
- Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
- Kāds ir funkcijas atvasinājums?
Atbildes: Eksponents un naturālais logaritms ir funkcijas, kas ir unikāli vienkāršas atvasinājuma ziņā. Eksponenciālajām un logaritmiskajām funkcijām ar jebkuru citu bāzi būs atšķirīgs atvasinājums, ko mēs analizēsim vēlāk, kad būsiet cauri diferencēšanas noteikumiem.
Diferencēšanas noteikumi
Kādi noteikumi? Atkal jauns termins?!...
Diferencēšana ir atvasinājuma atrašanas process.
Tikai un viss. Kāds ir vēl viens vārds šim procesam? Nav proizvodnovanie... Matemātikas diferenciāli sauc par pašu funkcijas pieaugumu pie. Šis termins cēlies no latīņu diferencia — atšķirība. Šeit.
Atvasinot visus šos noteikumus, mēs izmantosim divas funkcijas, piemēram, un. Mums būs nepieciešamas arī formulas to palielinājumam:
Kopumā ir 5 noteikumi.
Konstante tiek izņemta no atvasinājuma zīmes.
Ja - kāds konstants skaitlis (konstante), tad.
Acīmredzot šis noteikums darbojas arī attiecībā uz atšķirību: .
Pierādīsim to. Ļaujiet, vai vieglāk.
Piemēri.
Atrodiet funkciju atvasinājumus:
- punktā;
- punktā;
- punktā;
- punktā.
Risinājumi:
- (atvasinājums visos punktos ir vienāds, jo tā ir lineāra funkcija, atceries?);
Produkta atvasinājums
Šeit viss ir līdzīgi: mēs ieviešam jaunu funkciju un atrodam tās pieaugumu:
Atvasinājums:
Piemēri:
- Atrast funkciju atvasinājumus un;
- Atrodiet funkcijas atvasinājumu punktā.
Risinājumi:
Eksponenciālās funkcijas atvasinājums
Tagad pietiek ar jūsu zināšanām, lai uzzinātu, kā atrast jebkuras eksponenciālas funkcijas atvasinājumu, nevis tikai eksponentu (vai jūs jau esat aizmirsis, kas tas ir?).
Tātad, kur ir kāds skaitlis.
Mēs jau zinām funkcijas atvasinājumu, tāpēc mēģināsim ieviest mūsu funkciju jaunā bāzē:
Lai to izdarītu, mēs izmantojam vienkāršu noteikumu: . Pēc tam:
Nu, izdevās. Tagad mēģiniet atrast atvasinājumu un neaizmirstiet, ka šī funkcija ir sarežģīta.
Vai notika?
Lūk, pārbaudiet sevi:
Formula izrādījās ļoti līdzīga eksponenta atvasinājumam: kā bija, tā paliek, parādījās tikai faktors, kas ir tikai skaitlis, bet ne mainīgais.
Piemēri:
Atrodiet funkciju atvasinājumus:
Atbildes:
Tas ir tikai skaitlis, ko nevar aprēķināt bez kalkulatora, tas ir, nav iespējams to pierakstīt vairāk vienkārša forma. Tāpēc atbildē tas ir atstāts šādā formā.
Ņemiet vērā, ka šeit ir divu funkciju koeficients, tāpēc mēs izmantojam atbilstošu diferenciācijas noteikumu:
Šajā piemērā divu funkciju reizinājums:
Logaritmiskās funkcijas atvasinājums
Šeit tas ir līdzīgi: jūs jau zināt naturālā logaritma atvasinājumu:
Tāpēc, lai atrastu patvaļīgu no logaritma ar citu bāzi, piemēram:
Mums šis logaritms jānoved uz bāzi. Kā mainīt logaritma bāzi? Es ceru, ka atceraties šo formulu:
Tikai tagad tā vietā mēs rakstīsim:
Saucējs izrādījās tikai konstante (konstants skaitlis, bez mainīgā). Atvasinājums ir ļoti vienkāršs:
Eksponenta un logaritmisko funkciju atvasinājumi eksāmenā gandrīz nekad netiek atrasti, taču tos zināt nebūs lieki.
Sarežģītas funkcijas atvasinājums.
Kas ir "sarežģīta funkcija"? Nē, tas nav logaritms un loka tangenss. Šīs funkcijas var būt grūti saprotamas (lai gan, ja logaritms jums šķiet grūts, izlasiet tēmu "Logaritmi" un viss izdosies), taču matemātikas ziņā vārds "sarežģīts" nenozīmē "grūti".
Iedomājieties mazu konveijeru: divi cilvēki sēž un veic darbības ar dažiem priekšmetiem. Piemēram, pirmais šokolādes tāfelīti ietin iesaiņojumā, bet otrais sasien ar lenti. Izrādās tāds salikts objekts: šokolādes tāfelīte ietīta un pārsieta ar lentīti. Lai ēst šokolādes tāfelīti, jums ir jāveic pretējās darbības apgrieztā secībā.
Izveidosim līdzīgu matemātisko cauruļvadu: vispirms atradīsim skaitļa kosinusu, un tad iegūto skaitli kvadrātā. Tātad, viņi dod mums skaitli (šokolāde), es atrodu tā kosinusu (iesaiņojums), un tad jūs kvadrātā to, ko es saņēmu (piesiet to ar lenti). Kas notika? Funkcija. Šis ir sarežģītas funkcijas piemērs: kad, lai atrastu tās vērtību, mēs veicam pirmo darbību tieši ar mainīgo, bet pēc tam otru darbību ar to, kas notika pirmās darbības rezultātā.
Citiem vārdiem sakot, Sarežģīta funkcija ir funkcija, kuras arguments ir cita funkcija.: .
Mūsu piemēram, .
Mēs varam veikt tās pašas darbības apgrieztā secībā: vispirms jūs kvadrātā, un tad es meklēju iegūtā skaitļa kosinusu:. Ir viegli uzminēt, ka rezultāts gandrīz vienmēr būs atšķirīgs. Sarežģītu funkciju svarīga iezīme: mainoties darbību secībai, mainās funkcija.
Otrais piemērs: (tas pats). .
Pēdējā darbība, ko veiksim, tiks saukta "ārēja" funkcija, un darbība, kas veikta vispirms - attiecīgi "iekšējā" funkcija(tie ir neoficiāli nosaukumi, es tos izmantoju tikai, lai izskaidrotu materiālu vienkāršā valodā).
Mēģiniet pats noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura ir iekšēja:
Atbildes: Iekšējo un ārējo funkciju atdalīšana ir ļoti līdzīga mainīgo lielumu maiņai: piemēram, funkcijā
- Kādu darbību mēs veiksim vispirms? Vispirms mēs aprēķinām sinusu, un tikai tad mēs to paaugstinām kubā. Tātad tā ir iekšēja funkcija, nevis ārēja.
Un sākotnējā funkcija ir to sastāvs: . - Iekšējais: ; ārējais: .
Pārbaude:. - Iekšējais: ; ārējais: .
Pārbaude:. - Iekšējais: ; ārējais: .
Pārbaude:. - Iekšējais: ; ārējais: .
Pārbaude:.
mainām mainīgos un iegūstam funkciju.
Nu, tagad mēs izvilksim savu šokolādi - meklējiet atvasinājumu. Procedūra vienmēr ir apgriezta: vispirms meklējam ārējās funkcijas atvasinājumu, tad rezultātu reizinim ar iekšējās funkcijas atvasinājumu. Sākotnējā piemērā tas izskatās šādi:
Vēl viens piemērs:
Tātad, beidzot formulēsim oficiālo noteikumu:
Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:
Šķiet, ka tas ir vienkārši, vai ne?
Pārbaudīsim ar piemēriem:
Risinājumi:
1) Iekšējā: ;
Ārējais: ;
2) Iekšējais: ;
(tikai tagad nemēģini griezt! No zem kosinusa nekas netiek izņemts, atceries?)
3) Iekšējais: ;
Ārējais: ;
Uzreiz ir skaidrs, ka šeit ir trīs līmeņu kompleksa funkcija: galu galā šī jau ir sarežģīta funkcija pati par sevi, un mēs joprojām no tās izvelkam sakni, tas ir, mēs veicam trešo darbību (ieliekam šokolādi iesaiņojumā). un ar lenti portfelī). Bet nav pamata baidīties: vienalga, mēs šo funkciju “izpakosim” tādā pašā secībā kā parasti: no beigām.
Tas ir, vispirms mēs atšķiram sakni, tad kosinusu un tikai tad izteiksmi iekavās. Un tad mēs to visu reizinām.
Šādos gadījumos ir ērti numurēt darbības. Tas ir, iedomāsimies, ko mēs zinām. Kādā secībā mēs veiksim darbības, lai aprēķinātu šīs izteiksmes vērtību? Apskatīsim piemēru:
Jo vēlāk darbība tiks veikta, jo "ārēja" būs atbilstošā funkcija. Darbību secība - tāpat kā iepriekš:
Šeit ligzdošana parasti ir 4 līmeņu. Noteiksim darbības virzienu.
1. Radikāla izteiksme. .
2. Sakne. .
3. Sinuss. .
4. Kvadrāts. .
5. Saliekot visu kopā:
ATvasinājums. ĪSUMĀ PAR GALVENO
Funkcijas atvasinājums- funkcijas pieauguma attiecība pret argumenta pieaugumu ar bezgalīgi mazu argumenta pieaugumu:
Pamata atvasinājumi:
Diferencēšanas noteikumi:
Konstante tiek izņemta no atvasinājuma zīmes:
Summas atvasinājums:
Produkta atvasinājums:
Koeficienta atvasinājums:
Sarežģītas funkcijas atvasinājums:
Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:
- Mēs definējam "iekšējo" funkciju, atrodam tās atvasinājumu.
- Mēs definējam "ārējo" funkciju, atrodam tās atvasinājumu.
- Mēs reizinām pirmā un otrā punkta rezultātus.
Ja sekojam definīcijai, tad funkcijas atvasinājums punktā ir funkcijas Δ pieauguma koeficienta robeža. y līdz argumenta Δ pieaugumam x:
Šķiet, ka viss ir skaidrs. Bet mēģiniet aprēķināt pēc šīs formulas, teiksim, funkcijas atvasinājumu f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grēks x. Ja visu darīsi pēc definīcijas, tad pēc pāris lappušu aprēķiniem vienkārši aizmigsi. Tāpēc ir vienkāršāki un efektīvāki veidi.
Sākumā mēs atzīmējam, ka tā sauktās elementārās funkcijas var atšķirt no visas funkciju daudzveidības. Tās ir samērā vienkāršas izteiksmes, kuru atvasinājumi jau sen ir aprēķināti un ievadīti tabulā. Šādas funkcijas kopā ar to atvasinājumiem ir pietiekami viegli atcerēties.
Elementāro funkciju atvasinājumi
Elementārās funkcijas ir visas zemāk uzskaitītās. Šo funkciju atvasinājumi ir jāzina no galvas. Turklāt tos nav grūti iegaumēt – tāpēc tie ir elementāri.
Tātad elementāro funkciju atvasinājumi:
| Vārds | Funkcija | Atvasinājums |
| Pastāvīgi | f(x) = C, C ∈ R | 0 (jā, jā, nulle!) |
| Pakāpe ar racionālo eksponentu | f(x) = x n | n · x n − 1 |
| Sinus | f(x) = grēks x | cos x |
| Kosinuss | f(x) = cos x | − grēks x(mīnus sinuss) |
| Pieskares | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| Kotangenss | f(x) = ctg x | − 1/sin2 x |
| naturālais logaritms | f(x) = žurnāls x | 1/x |
| Patvaļīgs logaritms | f(x) = žurnāls a x | 1/(x ln a) |
| Eksponenciālā funkcija | f(x) = e x | e x(nekas nemainījās) |
Ja elementāru funkciju reizina ar patvaļīgu konstanti, tad arī jaunās funkcijas atvasinājumu var viegli aprēķināt:
(C · f)’ = C · f ’.
Kopumā konstantes var izņemt no atvasinājuma zīmes. Piemēram:
(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Acīmredzot elementāras funkcijas var pievienot viena otrai, reizināt, dalīt un daudz ko citu. Tā parādīsies jaunas funkcijas, kas vairs nav ļoti elementāras, bet arī diferencējamas pēc noteiktiem noteikumiem. Šie noteikumi ir apspriesti tālāk.
Summas un starpības atvasinājums
Ļaujiet funkcijām f(x) un g(x), kuru atvasinājumi mums ir zināmi. Piemēram, varat izmantot iepriekš aprakstītās elementārās funkcijas. Tad jūs varat atrast šo funkciju summas un starpības atvasinājumu:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Tātad divu funkciju summas (starpības) atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu (starpību). Var būt vairāk terminu. Piemēram, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Stingri sakot, algebrā nav jēdziena "atņemšana". Pastāv jēdziens "negatīvs elements". Tāpēc atšķirība f − g var pārrakstīt kā summu f+ (-1) g, un tad paliek tikai viena formula - summas atvasinājums.
f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Funkcija f(x) ir divu elementāru funkciju summa, tātad:
f ’(x) = (x 2+ grēks x)’ = (x 2)' + (grēks x)’ = 2x+ cosx;
Mēs līdzīgi strīdamies par funkciju g(x). Tikai jau ir trīs termini (no algebras viedokļa):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Atbilde:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Produkta atvasinājums
Matemātika ir loģiska zinātne, tāpēc daudzi cilvēki uzskata, ka, ja summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu, tad produkta atvasinājums streikot"\u003e vienāds ar atvasinājumu reizinājumu. Bet vīģes jums! Produkta atvasinājumu aprēķina pēc pavisam citas formulas. Proti:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Formula ir vienkārša, bet bieži tiek aizmirsta. Un ne tikai skolēni, bet arī studenti. Rezultāts ir nepareizi atrisinātas problēmas.
Uzdevums. Atrodiet funkciju atvasinājumus: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x– 7) · e x .
Funkcija f(x) ir divu elementāru funkciju reizinājums, tāpēc viss ir vienkārši:
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) cos x + x 3 (maks x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-sin x) = x 2 (3 cos x − x grēks x)
Funkcija g(x) pirmais reizinātājs ir nedaudz sarežģītāks, taču vispārējā shēma no tā nemainās. Acīmredzot pirmais funkcijas reizinātājs g(x) ir polinoms, un tā atvasinājums ir summas atvasinājums. Mums ir:
g ’(x) = ((x 2 + 7x– 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x– 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .
Atbilde:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x grēks x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e
x
.
Ņemiet vērā, ka pēdējā darbībā atvasinājums tiek faktorizēts. Formāli tas nav nepieciešams, taču lielākā daļa atvasinājumu netiek aprēķināti atsevišķi, bet gan, lai izpētītu funkciju. Tas nozīmē, ka tālāk atvasinājums tiks pielīdzināts nullei, tiks noskaidrotas tā zīmes utt. Šādā gadījumā labāk ir, ja izteiksme ir sadalīta faktoros.
Ja ir divas funkcijas f(x) un g(x), un g(x) ≠ 0 uz mums interesējošās kopas, mēs varam definēt jaunu funkciju h(x) = f(x)/g(x). Šādai funkcijai varat atrast arī atvasinājumu:
Nav vājš, vai ne? No kurienes radās mīnuss? Kāpēc g 2? Bet šādi! Šī ir viena no vissarežģītākajām formulām - bez pudeles to nevar izdomāt. Tāpēc labāk to pētīt konkrēti piemēri.
Uzdevums. Atrodiet funkciju atvasinājumus:
Katras daļas skaitītājā un saucējā ir elementāras funkcijas, tāpēc mums ir nepieciešama tikai koeficienta atvasinājuma formula:
Pēc tradīcijas mēs skaitītāju iedalām faktoros - tas ievērojami vienkāršos atbildi:
Sarežģīta funkcija ne vienmēr ir puskilometra gara formula. Piemēram, pietiek ar funkciju f(x) = grēks x un aizstājiet mainīgo x, teiksim, uz x 2+ln x. Izrādās f(x) = grēks ( x 2+ln x) ir sarežģīta funkcija. Viņai ir arī atvasinājums, taču tas nedarbosies, lai to atrastu saskaņā ar iepriekš apspriestajiem noteikumiem.
Kā būt? Šādos gadījumos palīdz mainīgā aizstāšana un sarežģītas funkcijas atvasinājuma formula:
f ’(x) = f ’(t) · t', ja x tiek aizstāts ar t(x).
Parasti situācija ar šīs formulas izpratni ir vēl bēdīgāka nekā ar koeficienta atvasinājumu. Tāpēc arī labāk to skaidrot ar konkrētiem piemēriem, ar Detalizēts apraksts katrā solī.
Uzdevums. Atrodiet funkciju atvasinājumus: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grēks ( x 2+ln x)
Ņemiet vērā, ka, ja funkcijā f(x) 2. izteiksmes vietā x+3 būs viegli x, tad iegūstam elementāru funkciju f(x) = e x. Tāpēc mēs veicam aizstāšanu: pieņemsim 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Mēs meklējam sarežģītas funkcijas atvasinājumu pēc formulas:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
Un tagad - uzmanību! Apgrieztās aizstāšanas veikšana: t = 2x+ 3. Mēs iegūstam:
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3
Tagad apskatīsim funkciju g(x). Acīmredzot ir jānomaina. x 2+ln x = t. Mums ir:
g ’(x) = g ’(t) · t' = (grēks t)’ · t' = cos t · t ’
Apgrieztā nomaiņa: t = x 2+ln x. Pēc tam:
g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).
Tas ir viss! Kā redzams no pēdējās izteiksmes, visa problēma ir samazināta līdz summas atvasinājuma aprēķināšanai.
Atbilde:
f ’(x) = 2 e
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ln x).
Ļoti bieži savās nodarbībās termina “atvasinājums” vietā lietoju vārdu “insults”. Piemēram, summas gājiens ir vienāds ar sitienu summu. Vai tas ir skaidrāk? Nu tas ir labi.
Tādējādi atvasinājuma aprēķins ir saistīts ar atbrīvošanos no šiem tiešiem sitieniem saskaņā ar iepriekš apspriestajiem noteikumiem. Kā pēdējo piemēru atgriezīsimies pie atvasinātā jaudas ar racionālu eksponentu:
(x n)’ = n · x n − 1
Tikai daži to zina lomā n var būt daļskaitlis. Piemēram, sakne ir x 0,5 . Bet ko darīt, ja zem saknes ir kaut kas iedomāts? Atkal izrādīsies sarežģīta funkcija - viņiem patīk uzdot šādas konstrukcijas kontroles darbs un eksāmeniem.
Uzdevums. Atrodiet funkcijas atvasinājumu:
Vispirms pārrakstīsim sakni kā pakāpju ar racionālu eksponentu:
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Tagad mēs veicam aizstāšanu: ļaujiet x 2 + 8x − 7 = t. Mēs atrodam atvasinājumu pēc formulas:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)” t' = 0,5 t−0,5 t ’.
Mēs veicam apgrieztu aizstāšanu: t = x 2 + 8x− 7. Mums ir:
f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x– 7) –0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Visbeidzot, atpakaļ pie saknēm:
Ja g(x) un f(u) ir to argumentu diferencējamas funkcijas, attiecīgi, punktos x un u= g(x), tad arī kompleksā funkcija ir diferencējama punktā x un tiek atrasts pēc formulas
Tipiska kļūda, risinot problēmas ar atvasinājumiem, ir automātiska vienkāršu funkciju diferencēšanas noteikumu pārnešana uz sarežģītām funkcijām. Mēs iemācīsimies izvairīties no šīs kļūdas.
2. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Nepareizs lēmums: aprēķiniet katra vārda naturālo logaritmu iekavās un atrodiet atvasinājumu summu:
Pareizais lēmums: atkal nosakām, kur ir "ābols" un kur "maltā gaļa". Šeit izteiksmes dabiskais logaritms iekavās ir "ābols", tas ir, funkcija starpposma argumentā u, un izteiciens iekavās ir "malta gaļa", tas ir, starpposma arguments u pēc neatkarīga mainīgā x.
Pēc tam (izmantojot formulu 14 no atvasinājumu tabulas)
Daudzās reālajās problēmās izteiksme ar logaritmu ir nedaudz sarežģītāka, tāpēc ir mācība
3. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Nepareizs lēmums:
Pareizs lēmums. Vēlreiz nosakām, kur "ābols" un kur "maltā gaļa". Šeit izteiksmes kosinuss iekavās (atvasinājumu tabulā 7. formula) ir "ābols", tas tiek pagatavots 1. režīmā, ietekmējot tikai to, un izteiksme iekavās (pakāpes atvasinājums - skaitlis 3 atvasinājumu tabula) ir "malta gaļa", tā tiek pagatavota 2. režīmā, ietekmējot tikai to. Un kā vienmēr, mēs savienojam divus atvasinājumus ar produkta zīmi. Rezultāts:
Sarežģītas logaritmiskās funkcijas atvasinājums ir bieži sastopams uzdevums testos, tāpēc mēs ļoti iesakām apmeklēt nodarbību "Logaritmiskās funkcijas atvasinājums".
Pirmie piemēri bija paredzēti sarežģītām funkcijām, kurās neatkarīgā mainīgā starpposma arguments bija vienkārša funkcija. Taču praktiskajos uzdevumos bieži vien ir jāatrod kompleksas funkcijas atvasinājums, kur starparguments vai nu pati par sevi ir sarežģīta funkcija, vai arī satur šādu funkciju. Ko darīt šādos gadījumos? Atrodiet šādu funkciju atvasinājumus, izmantojot tabulas un diferenciācijas noteikumus. Kad tiek atrasts starpposma argumenta atvasinājums, tas vienkārši tiek aizstāts pareizajā formulas vietā. Zemāk ir divi piemēri, kā tas tiek darīts.
Turklāt ir noderīgi zināt sekojošo. Ja sarežģītu funkciju var attēlot kā trīs funkciju ķēdi
tad tā atvasinājums ir jāatrod kā katras šīs funkcijas atvasinājumu reizinājums:
Daudziem mājasdarbu uzdevumiem var būt nepieciešams atvērt apmācības jaunos logos. Darbības ar spējām un saknēm un Darbības ar daļskaitļiem .
4. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Mēs piemērojam sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu, neaizmirstot, ka iegūtajā atvasinājumu produktā starparguments attiecībā uz neatkarīgo mainīgo x nemainās:
Mēs sagatavojam produkta otro koeficientu un piemērojam summas diferencēšanas noteikumu:
Otrais termins ir sakne, tātad
Tādējādi tika iegūts, ka starparguments, kas ir summa, kā vienu no terminiem satur kompleksu funkciju: kāpināšana ir sarežģīta funkcija, un tas, kas tiek izvirzīts pakāpē, ir starparguments ar neatkarīgu mainīgo. x.
Tāpēc mēs atkal piemērojam sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu:
Pirmā faktora pakāpi mēs pārveidojam par sakni, un, diferencējot otro faktoru, neaizmirstam, ka konstantes atvasinājums ir vienāds ar nulli:
Tagad mēs varam atrast atvasinājumu starpposma argumentam, kas nepieciešams, lai aprēķinātu sarežģītās funkcijas atvasinājumu, kas nepieciešams uzdevuma nosacījumā y:
5. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Pirmkārt, mēs izmantojam summas diferencēšanas noteikumu:
Iegūstiet divu sarežģītu funkciju atvasinājumu summu. Atrodi pirmo:
Šeit sinusa paaugstināšana līdz pakāpei ir sarežģīta funkcija, un pats sinuss ir starparguments neatkarīgajā mainīgajā. x. Tāpēc mēs izmantojam sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu izņemot reizinātāju no iekavām :
Tagad mēs atrodam otro terminu no tiem, kas veido funkcijas atvasinājumu y:
Šeit kosinusa paaugstināšana līdz pakāpei ir sarežģīta funkcija f, un pats kosinuss ir starparguments attiecībā uz neatkarīgo mainīgo x. Atkal mēs izmantojam sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu:
Rezultāts ir nepieciešamais atvasinājums:
Dažu sarežģītu funkciju atvasinājumu tabula
Sarežģītām funkcijām, pamatojoties uz sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu, vienkāršas funkcijas atvasinājuma formula iegūst citu formu.
| 1. Sarežģītas jaudas funkcijas atvasinājums, kur u x |  |
| 2. Izteiksmes saknes atvasinājums | |
| 3. Eksponenciālās funkcijas atvasinājums |  |
| 4. Eksponenciālās funkcijas īpašs gadījums | |
| 5. Logaritmiskās funkcijas atvasinājums ar patvaļīgu pozitīvu bāzi a |  |
| 6. Sarežģītas logaritmiskās funkcijas atvasinājums, kur u ir argumenta diferencējama funkcija x | |
| 7. Sinusa atvasinājums |  |
| 8.Kosinusa atvasinājums |  |
| 9. Pieskares atvasinājums |  |
| 10.Kotangensa atvasinājums |  |
| 11.Arksīna atvasinājums |  |
| 12.Arka kosinusa atvasinājums |  |
| 13. Loka tangensa atvasinājums |  |
| 14. Apgrieztās tangensas atvasinājums |  |
Pēc iepriekšējas artilērijas sagatavošanas piemēri ar 3-4-5 funkciju pielikumiem būs mazāk biedējoši. Varbūt kādam šķitīs sarežģīti sekojošie divi piemēri, bet, ja tos saprot (kāds cieš), tad gandrīz viss pārējais diferenciālrēķinos liksies kā bērnu joks.
2. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Kā jau minēts, meklējot sarežģītas funkcijas atvasinājumu, pirmkārt, tas ir nepieciešams pa labi SAPRAST IEGULDĪJUMUS. Gadījumos, kad rodas šaubas, es atgādinu kādu noderīgu triku: mēs, piemēram, ņemam eksperimentālo vērtību "x" un mēģinām (garīgi vai uz melnraksta) aizstāt šo vērtību ar "briesmīgo izteiksmi".
1) Vispirms mums ir jāaprēķina izteiksme, tāpēc summa ir dziļākā ligzdošana.
2) Tad jums jāaprēķina logaritms:
4) Pēc tam sagrieziet kosinusu kubā:
5) Piektajā solī atšķirība:
6) Un visbeidzot, visattālākā funkcija ir kvadrātsakne: 
Sarežģīta funkciju diferenciācijas formula 
tiek piemēroti apgrieztā secībā, sākot no attālākās funkcijas līdz iekšējai. Mēs nolemjam:
Šķiet, ka bez kļūdām:
1) Ņemam kvadrātsaknes atvasinājumu.
2) Mēs ņemam starpības atvasinājumu, izmantojot noteikumu 
3) Trīskārša atvasinājums ir vienāds ar nulli. Otrajā termiņā mēs ņemam pakāpes atvasinājumu (kubu).
4) Ņemam kosinusa atvasinājumu.
6) Un visbeidzot mēs ņemam dziļākās ligzdošanas atvasinājumu.
Tas var šķist pārāk grūti, taču šis nav brutālākais piemērs. Ņemiet, piemēram, Kuzņecova kolekciju, un jūs novērtēsiet visu analizētā atvasinājuma šarmu un vienkāršību. Es pamanīju, ka viņiem patīk eksāmenā dot līdzīgu lietu, lai pārbaudītu, vai students saprot, kā atrast sarežģītas funkcijas atvasinājumu, vai nesaprot.
Nākamais piemērs priekš neatkarīgs lēmums.
3. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Padoms: Vispirms piemērojam linearitātes noteikumus un produkta diferenciācijas likumu
Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.
Ir pienācis laiks pāriet uz kaut ko kompaktāku un skaistāku.
Nereti gadās situācija, kad piemērā ir dots nevis divu, bet trīs funkciju reizinājums. Kā atrast trīs faktoru reizinājuma atvasinājumu?
4. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu 
Pirmkārt, mēs skatāmies, bet vai ir iespējams trīs funkciju reizinājumu pārvērst par divu funkciju reizinājumu? Piemēram, ja produktā būtu divi polinomi, tad mēs varētu atvērt iekavas. Bet šajā piemērā visas funkcijas ir atšķirīgas: pakāpe, eksponents un logaritms.
Šādos gadījumos tas ir nepieciešams secīgi piemērot produktu diferenciācijas noteikumu 
divreiz
Viltība ir tāda, ka "y" mēs apzīmējam divu funkciju reizinājumu: , un "ve" - logaritms:. Kāpēc to var izdarīt? Vai tas ir 
- tas nav divu faktoru rezultāts un noteikums nedarbojas?! Nav nekā sarežģīta:
Tagad atliek šo noteikumu piemērot otrreiz iekavās:
Jūs joprojām varat izvirtīties un kaut ko izņemt no iekavām, bet šajā gadījumā labāk atstāt atbildi šādā formā - tā būs vieglāk pārbaudīt.
Iepriekš minēto piemēru var atrisināt otrajā veidā:
Abi risinājumi ir absolūti līdzvērtīgi.
5. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Šis ir piemērs neatkarīgam risinājumam, paraugā tas tiek atrisināts pirmajā veidā.
Apsveriet līdzīgus piemērus ar daļskaitļiem.
6. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu 
Šeit jūs varat doties vairākos veidos:
Vai arī šādi:
Bet risinājumu var uzrakstīt kompaktāk, ja, pirmkārt, izmantojam koeficienta diferenciācijas likumu 
, ņemot visu skaitītāju:
Principā piemērs ir atrisināts, un, ja tas tiek atstāts šādā formā, tā nebūs kļūda. Bet, ja jums ir laiks, vienmēr ir ieteicams pārbaudīt melnrakstu, bet vai ir iespējams vienkāršot atbildi?
Skaitītāja izteiksmi apvienojam līdz kopsaucējam un atbrīvojamies no trīsstāvu daļskaitļa:
Papildu vienkāršojumu trūkums ir tāds, ka pastāv risks kļūdīties nevis meklējot atvasinājumu, bet gan veicot banālas skolas transformācijas. No otras puses, skolotāji bieži noraida uzdevumu un lūdz "atvest pie prāta" atvasinājumu.
Vienkāršāks piemērs risinājumam, ko dari pats:
7. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Mēs turpinām apgūt atvasinājuma atrašanas paņēmienus, un tagad mēs apsvērsim tipisku gadījumu, kad diferenciācijai tiek piedāvāts "briesmīgs" logaritms