ความขัดแย้งของเบอร์ทรานด์ รัสเซล การแก้ปัญหาความขัดแย้งเชิงตรรกะ

ช่างตัดผมได้รับคำสั่งในตอนแรกดีใจมากเพราะทหารหลายคนรู้วิธีโกนหนวดโกนคนที่ไม่รู้จักวิธีโกนหนวดแล้วนั่งบนตอไม้และคิดว่า: เขาควรทำอย่างไรกับตัวเอง? ท้ายที่สุด ถ้าเขาโกนหนวด เขาจะฝ่าฝืนคำสั่งของผู้บังคับบัญชาที่จะไม่โกนผู้ที่โกนหนวดเอง ช่างตัดผมได้ตัดสินใจแล้วว่าจะไม่โกนหนวด แต่แล้วความคิดก็ผุดขึ้นมาว่าถ้าเขาไม่โกนหนวด ปรากฏว่าเขาไม่โกนหนวด และตามคำสั่งของผู้บังคับบัญชา เขายังต้องโกนหนวด ...

เกิดอะไรขึ้นกับเขาประวัติศาสตร์เงียบ

แล้วทฤษฎีเซตล่ะ? และนี่คือสิ่งที่: ผู้บัญชาการพยายามกำหนดกลุ่มคนที่ช่างตัดผมต้องโกนหนวดด้วยวิธีนี้:

ผู้ที่ไม่ได้โกนหนวดเท่านั้น

ดูเหมือนว่าชุดปกติจะอธิบายไว้ในคำภาษารัสเซียหลายคำว่าทำไมมันถึงแย่กว่านั้นเช่นชุด

นักเรียนทุกคนในโรงเรียน?

แต่ด้วยชุดนี้ ปัญหาก็เกิดขึ้นทันที ไม่ชัดเจนว่าช่างตัดผมอยู่ในชุดนี้หรือไม่

นี่เป็นอีกเวอร์ชันหนึ่งของความขัดแย้งนี้

มาเรียกคำคุณศัพท์ของภาษารัสเซียกันเถอะ สะท้อนแสงหากมีคุณสมบัติที่กำหนด ตัวอย่างเช่น คำคุณศัพท์ "รัสเซีย" เป็นแบบสะท้อนกลับ และคำคุณศัพท์ "อังกฤษ" ไม่สะท้อนแสง คำคุณศัพท์ "สามพยางค์" เป็นแบบสะท้อนกลับ (คำนี้ประกอบด้วยสามพยางค์) และคำคุณศัพท์ "สี่พยางค์" ไม่ใช่ -reflexive (ประกอบด้วยห้าพยางค์) ดูเหมือนว่าไม่มีอะไรขัดขวางเราจากการกำหนดเซต

คำคุณศัพท์สะท้อนทั้งหมด

แต่ลองพิจารณาคำคุณศัพท์ว่า "ไม่สะท้อน" สะท้อนแสงหรือป่าว?

สามารถระบุได้ว่าคำคุณศัพท์ "ไม่สะท้อน" ไม่สะท้อนและไม่สะท้อน แต่จะอยู่กับคาถาได้อย่างไร:

การยืนยันเป็นจริงหรือการปฏิเสธเป็นจริงหรือไม่?

(คาถานี้เรียกว่ากฎของกลางที่ถูกแยกออกและวิธีการขัดแย้งนั้นตามจริงแล้ว)

ในที่สุด รุ่นที่สามของความขัดแย้ง พิจารณาชุด

ชุดดังกล่าวว่า

เรารวมเฉพาะชุดที่เป็นของตัวเองเท่านั้นในชุด มีชุดที่มีชุดอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ให้

ชุดประกอบด้วยตัวเลข และชุดประกอบด้วยสององค์ประกอบ: ชุดและตัวเลข กลับมาที่กล่องก็พูดได้ดังนี้ บางกล่องก็ใส่กล่องอื่นได้ (ปรากฎว่าแต่ละลำดับของกล่องที่ซ้อนกันนั้นมีองค์ประกอบจำนวนจำกัดเสมอ - มีเหตุผลอย่างลึกซึ้งสำหรับสิ่งนี้)

ชุดที่พิจารณาเป็น "ช่างตัดผม" ชนิดหนึ่ง หากเราคิดว่าเป็นอย่างนั้น เราก็สรุปได้ทันทีว่า ถ้าเราสมมติอย่างนั้น - เราจะได้สิ่งนั้น

เมื่อเผชิญกับความขัดแย้งเหล่านี้ นักทฤษฎีเซตจึงตระหนักว่า คุณไม่สามารถระบุชุดด้วยวลีโดยพลการ. หลังจากนั้นพวกเขาก็เริ่มจัดการกับความขัดแย้งในสองวิธี

วิธีแรกคือวิถีของคันทอร์ซึ่งได้คิดค้น "ทฤษฎีเซตไร้เดียงสา" ซึ่งห้ามการกระทำและการดำเนินการทั้งหมดที่นำไปสู่ความขัดแย้ง แนวคิดคือ: อนุญาตให้ทำงานกับเซตที่ "เกิดขึ้นในธรรมชาติ" ได้ อนุญาตให้ทำงานกับเซตที่ได้รับจากเซตเหล่านี้โดยการดำเนินการตามทฤษฎีเซตที่สมเหตุสมผล ให้ตัวอย่างเช่น

นักเรียนโรงเรียนจำนวนมาก
= ชุดฟังก์ชันต่อเนื่อง

(ชุดเหล่านี้ "พบได้ในธรรมชาติ") จากพวกเขาคุณจะได้รับสหภาพสี่แยก หนึ่งสามารถคูณด้วยชุด: ตามคำจำกัดความ

ชุดของคู่ที่องค์ประกอบแรกมาจากชุดแรกและชุดที่สองมาจากชุดที่สอง ในกรณีของเรา นี่คือชุดของคู่ที่องค์ประกอบแรกเป็นนักเรียนของโรงเรียน และส่วนที่สองคือฟังก์ชันต่อเนื่องบางประเภท

อีกวิธีหนึ่งคือสัจพจน์ วิธีการเอาชนะความขัดแย้งนี้ได้รับการพัฒนาโดย Zermelo และ Frenkel (ระบบสัจพจน์ของ Zermelo–Frenkel), Gödel และ Bernays (ระบบสัจพจน์ของ Godel–Bernays) ตามทฤษฎีนี้ เซตคือสิ่งที่สอดคล้องกับสัจพจน์ดังต่อไปนี้

บันทึกสัจพจน์จะทำซ้ำใน "ภาษาของปริมาณ" ต่อไปนี้คือความหมายของปริมาณที่ใช้:
- สำหรับใครก็ได้ ;
- มีอยู่;
- มีอันเดียว ;
- เป็นชุด;
- ชุดของเหล่านั้นและเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไข ;
- ตรรกะ "หรือ";
- ตรรกะ "และ"

1. สัจพจน์ของปริมาตร. ชุดถูกกำหนดโดยองค์ประกอบ: ชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกันมีค่าเท่ากัน

2. รวมสัจธรรม. การรวมกันขององค์ประกอบทั้งหมดของชุดเป็นชุด

3. สัจพจน์ของการเลือก. ทุกชุดและทุกเงื่อนไขมีชุด

เซตย่อยขององค์ประกอบของเซตที่ตรงตามเงื่อนไข

กล่าวอีกนัยหนึ่งเราไม่สามารถนำชุดของจระเข้บินได้ทั้งหมดจากทั่วทุกมุมโลกหรือชุดของชุดที่ไม่มีตัวเอง แต่เราสามารถนำชุดบางชุดเลือก "ชิ้นส่วน" ในนั้นได้ - ชุดของ องค์ประกอบที่ตอบสนองเงื่อนไขบางอย่าง

4. สัจพจน์ขององศา. ชุดของชุดย่อยทั้งหมดของชุดที่กำหนดคือชุด

5. สัจพจน์การทดแทน. อนุญาต เป็นเซต และปล่อยให้ เป็นสูตรตามใจชอบ แล้วถ้าสำหรับแต่ละอย่างมีและมีเอกลักษณ์เฉพาะที่เป็นจริง ก็จะมีชุดของทั้งหมดที่มีอยู่ซึ่งเป็นสิ่งที่เป็นจริง

6. สัจพจน์การระดมทุน. ไม่มีลำดับที่ไม่มีที่สิ้นสุดของชุดที่ซ้อนกัน: แต่ละชุดของชุด

7. สัจพจน์ของอนันต์. มีเซตอนันต์ เช่น ชุดดังกล่าวที่มีขนาดเท่ากับ .

8. สัจพจน์ของการเลือก. อีกความจริงที่ซับซ้อนมาก แต่ก็ชัดเจนมาก - เกี่ยวกับเรื่องนี้ในภายหลัง

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับสัจพจน์ของทฤษฎีเซต โปรดดูที่หนังสือ

ความขัดแย้งที่มีชื่อเสียงที่สุดที่ค้นพบแล้วในศตวรรษของเราก็คือการต่อต้านที่ค้นพบโดยบี. รัสเซลล์ แนวคิดนี้ลอยอยู่ในอากาศ และสิ่งพิมพ์ของมันก็สร้างความประทับใจให้กับลูกระเบิด ความขัดแย้งนี้เกิดขึ้นในวิชาคณิตศาสตร์ ตามที่ D. Hilbert กล่าวว่า "ผลกระทบของภัยพิบัติทั้งมวล" วิธีการเชิงตรรกะที่ง่ายและสำคัญที่สุด ซึ่งเป็นแนวคิดที่ใช้กันทั่วไปและมีประโยชน์มากที่สุด กำลังถูกคุกคาม ปรากฏชัดในทันทีว่าทั้งในทางตรรกศาสตร์และคณิตศาสตร์ ตลอดประวัติศาสตร์อันยาวนานของการดำรงอยู่ของพวกเขา ไม่มีอะไรที่ได้ผลอย่างแน่นอนที่สามารถใช้เป็นพื้นฐานในการกำจัดความเกลียดชัง เห็นได้ชัดว่าจำเป็นต้องมีการออกจากวิธีคิดที่เป็นนิสัย

ความขัดแย้งของรัสเซลในรูปแบบดั้งเดิมนั้นเชื่อมโยงกับแนวคิดของเซตหรือคลาส เราสามารถพูดถึงเซตของอ็อบเจกต์ต่างๆ เช่น เซตของคนทั้งหมดหรือเซตของจำนวนธรรมชาติ องค์ประกอบของชุดแรกจะเป็นบุคคลใดๆ องค์ประกอบของชุดที่สอง - ทุกจำนวนธรรมชาติ นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะพิจารณาชุดตัวเองเป็นวัตถุบางอย่างและพูดถึงชุดของชุด หนึ่งยังสามารถแนะนำแนวคิดเช่นชุดของชุดทั้งหมดหรือชุดของแนวคิดทั้งหมด สำหรับเซตใด ๆ ที่หยิบขึ้นมาโดยพลการ ดูเหมือนว่ามีเหตุผลที่จะถามว่ามันเป็นองค์ประกอบของตัวเองหรือไม่ ชุดที่ไม่มีตัวเองเป็นองค์ประกอบจะเรียกว่าสามัญ ตัวอย่างเช่น ชุดของทุกคนไม่ใช่บุคคล เช่นเดียวกับชุดของอะตอมไม่ใช่อะตอม ชุดที่มีองค์ประกอบที่เหมาะสมจะผิดปกติ ตัวอย่างเช่น ชุดที่รวมชุดทั้งหมดเข้าด้วยกันเป็นชุดและมีตัวมันเองเป็นองค์ประกอบ เห็นได้ชัดว่าทุกชุดมีทั้งแบบธรรมดาและแบบผิดปกติ

พิจารณาชุดของชุดสามัญทั้งหมด เนื่องจากเป็นชุด เราจึงสามารถถามได้ว่าเป็นชุดธรรมดาหรือผิดปกติ อย่างไรก็ตาม คำตอบคือทำให้ท้อใจ ถ้ามันเป็นเรื่องธรรมดา ตามนิยามแล้ว มันจะต้องมีตัวมันเองเป็นองค์ประกอบ เพราะมันประกอบด้วยเซตธรรมดาทั้งหมด แต่นี่หมายความว่ามันเป็นชุดที่ผิดปกติ สมมติฐานที่ว่าเซตของเราเป็นเซตธรรมดาจึงนำไปสู่ความขัดแย้ง จึงไม่ปกติ ในทางกลับกัน มันไม่สามารถผิดปกติได้เช่นกัน: ชุดที่ผิดปกติประกอบด้วยตัวเองเป็นองค์ประกอบ และองค์ประกอบของชุดของเราเป็นเพียงชุดธรรมดาเท่านั้น ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้ข้อสรุปว่าเซตของเซตธรรมดาทั้งหมดไม่สามารถเป็นแบบธรรมดาหรือแบบพิเศษก็ได้

ดังนั้น เซตของเซตทั้งหมดที่ไม่ใช่อิลิเมนต์ที่เหมาะสมจึงเป็นอิลิเมนต์ที่เหมาะสมก็ต่อเมื่อมันไม่ใช่อิลิเมนต์ดังกล่าว นี่เป็นความขัดแย้งที่ชัดเจน

ความขัดแย้งบอกว่าชุดดังกล่าวไม่มีอยู่จริง แต่ทำไมมันถึงอยู่ไม่ได้? ท้ายที่สุด มันประกอบด้วยวัตถุที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดไว้อย่างดี และเงื่อนไขนั้นดูเหมือนจะไม่พิเศษหรือคลุมเครืออย่างใด หากชุดที่กำหนดอย่างเรียบง่ายและชัดเจนไม่สามารถมีอยู่จริง แล้วอะไรคือความแตกต่างระหว่างชุดที่เป็นไปได้และชุดที่เป็นไปไม่ได้ บทสรุปเกี่ยวกับการไม่มีอยู่จริงของฉากที่พิจารณาแล้วฟังดูคาดไม่ถึงและก่อให้เกิดความวิตกกังวล เขาทำให้เรา แนวคิดทั่วไปวางไม่เป็นระเบียบและโกลาหล และไม่มีการรับประกันว่าจะไม่สามารถสร้างความขัดแย้งใหม่ๆ ขึ้นมาได้

ความขัดแย้งของรัสเซลมีความโดดเด่นในเรื่องทั่วไปที่รุนแรง สำหรับการก่อสร้างนั้น ไม่จำเป็นต้องใช้แนวคิดทางเทคนิคที่ซับซ้อน เช่นในกรณีของความขัดแย้งอื่นๆ แนวคิดของ "เซต" และ "องค์ประกอบของเซต" ก็เพียงพอแล้ว แต่ความเรียบง่ายนี้พูดถึงธรรมชาติพื้นฐานของมัน มันสัมผัสที่รากฐานที่ลึกที่สุดของการให้เหตุผลของเราเกี่ยวกับฉาก เนื่องจากมันไม่ได้พูดถึงกรณีพิเศษบางอย่าง แต่เกี่ยวกับฉากโดยทั่วไป

ความขัดแย้งของรัสเซลไม่ใช่ทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะ มันใช้แนวคิดของเซตแต่ไม่ได้สัมผัสกับคุณสมบัติพิเศษใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์โดยเฉพาะ สิ่งนี้จะเห็นได้ชัดเจนเมื่อมีการสร้างความขัดแย้งขึ้นใหม่ในแง่ตรรกะล้วนๆ

ในทุกคุณสมบัติ มีความเป็นไปได้ทั้งหมดที่จะถามว่ามันใช้ได้กับตัวมันเองหรือไม่ ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติของความร้อนนั้นใช้ไม่ได้กับตัวมันเอง เนื่องจากตัวมันไม่ร้อน คุณสมบัติของความเป็นรูปธรรมไม่ได้หมายถึงตัวมันเองด้วย เพราะมันเป็นคุณสมบัติที่เป็นนามธรรม แต่คุณสมบัติของการเป็นนามธรรม เป็นนามธรรม ใช้ได้กับตนเอง ให้เราเรียกคุณสมบัติเหล่านี้ว่าใช้ไม่ได้กับตัวเองว่าใช้ไม่ได้ คุณสมบัติของการไม่สามารถใช้ได้กับตัวเองหรือไม่? ปรากฎว่าการไม่มีผลบังคับใช้จะใช้ไม่ได้ก็ต่อเมื่อไม่เป็นเช่นนั้น แน่นอนว่านี่เป็นความขัดแย้ง แบบจำลองเชิงตรรกะของรัสเซลล์รุ่นที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัตินั้นขัดแย้งกันพอๆ กับเวอร์ชันที่เกี่ยวข้องกับเซตทางคณิตศาสตร์

บี. รัสเซลล์ยังเสนอข้อขัดแย้งที่เขาค้นพบในเวอร์ชันยอดนิยมต่อไปนี้ด้วย “ช่างตัดผมจะโกนคนเหล่านั้นทั้งหมดและเฉพาะชาวเมืองที่ไม่โกนหนวดเท่านั้น ใครเป็นคนโกนหนวด" ความขัดแย้งของช่างตัดผมอยู่ในความจริงที่ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะตอบคำถามนี้

เพื่อให้เข้าใจสถานการณ์ เราจะแบ่งชาวเมืองออกเป็นสามกลุ่ม รายละเอียดนี้แสดงในรูปด้านซ้าย: ผู้ที่โกนหนวดอยู่ด้านบน ผู้ที่โกน - จากด้านล่าง; พวกที่ไม่โกนเลย (พระ เด็ก ผู้หญิง...) อยู่นอกวงรี

พิจารณาการกระทำของเงื่อนไข (1) ก่อน ให้ช่างตัดผมโกนทุกคนที่ไม่ได้โกนหนวดนั่นคือครึ่งล่างทั้งหมดของวงรี (การฟักเป็นตัวบ่งบอกถึงลูกค้าของช่างตัดผม) แต่เงื่อนไข (1) ทำให้เขาโกนหนวดได้ และคนที่โกนหนวดคือตัวเขาเอง เงื่อนไข (1) อนุญาตให้เขาวางตำแหน่งตัวเองในครึ่งบนของวงรีซึ่งชาวบ้านโกนหนวดและโกนหนวดที่นั่น นี้จะแสดงในภาพกลาง

หากใช้เงื่อนไข (2) และช่างตัดผมโกนเฉพาะผู้ที่ไม่ได้โกนหนวดเอง หมายความว่าเขาโกนส่วนหนึ่งของครึ่งล่างของวงรีและไม่โกนหนวด นั่นคือ เขาไม่ได้อยู่ในครึ่งบนของ วงรี แต่ชาวครึ่งล่างอาจไม่ได้โกนหนวดโดยช่างตัดผม แต่ให้คนอื่นโกน และช่างตัดผมสามารถอยู่ในหมู่คนเหล่านี้ได้ (รูปขวา) ดังนั้นช่างตัดผมจึงสามารถโกนเพื่อนของเขาได้ และช่างตัดผมจะโกนส่วนที่แรเงาของวงรีครึ่งล่าง

แต่ถ้าใช้ทั้งสองเงื่อนไข (1) และ (2) ช่างตัดผมจะไม่อยู่ในวงรี เขาไม่โกนหนวดเลย และไม่มีความขัดแย้งที่นี่ พระองค์จึงเป็นทั้งภิกษุหรือหุ่นยนต์หรือเด็กหรือผู้หญิงหรือไม่ใช่ชาวเมือง ... และถ้าไม่มีใครอยู่ในเมืองยกเว้นผู้ชายที่โกนหนวดและด้วยเหตุนี้ การปรากฏตัวของวงรีว่างเปล่าดังนั้นช่างตัดผมที่ตรงตามเงื่อนไข (1) และ (2) ก็ไม่มีอยู่จริง มันเป็นเรื่องไร้สาระที่จะถามในกรณีนี้ว่าใครเป็นคนโกนเขา ช่างตัดผมหลายคนว่างเปล่า

และที่นี่เราจะสังเกตเห็นว่าคำถามที่ถามว่า "ใครเป็นคนโกนหนวด" นั้นไม่ถูกต้องตั้งแต่แรก เหมือนกับคำถามคลาสสิก: "ทำไมคุณถึงทุบตีพ่อของคุณ" ก่อนที่จะถามว่าใครเป็นคนโกนหนวด เราต้องได้รับข้อตกลงว่ามีคนโกนหนวดเขาเสียก่อน

อาร์กิวเมนต์เกี่ยวกับช่างทำผมสามารถเรียกได้ว่าเป็นความขัดแย้งหลอก ในหลักสูตรนี้ มันคล้ายกับความขัดแย้งของรัสเซลอย่างเคร่งครัด และนี่คือสิ่งที่ทำให้มันน่าสนใจ แต่ก็ยังไม่ใช่ความขัดแย้งที่แท้จริง

อีกตัวอย่างหนึ่งของ pseudo-paradox เดียวกันคืออาร์กิวเมนต์แคตตาล็อกที่รู้จักกันดี

ห้องสมุดบางแห่งตัดสินใจที่จะรวบรวมแคตตาล็อกบรรณานุกรมที่จะรวมทั้งหมดเหล่านั้นและเฉพาะแคตตาล็อกบรรณานุกรมที่ไม่มีการอ้างอิงถึงตัวเอง ไดเร็กทอรีดังกล่าวควรมีลิงค์ไปยังตัวเองหรือไม่? เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าแนวคิดในการสร้างแคตตาล็อกดังกล่าวไม่สามารถทำได้ มันไม่มีอยู่จริง เพราะมันต้องมีการอ้างอิงถึงตัวเองพร้อมๆ กัน และไม่รวม เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าการทำรายการไดเร็กทอรีทั้งหมดที่ไม่มีการอ้างอิงถึงตัวเองนั้นถือได้ว่าเป็นกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุดและไม่มีวันสิ้นสุด

สมมติว่า ณ จุดหนึ่งไดเร็กทอรีถูกคอมไพล์แล้ว เช่น K1 ซึ่งรวมถึงไดเร็กทอรีอื่นๆ ทั้งหมดที่ไม่มีการอ้างอิงถึงตัวเอง ด้วยการสร้าง K1 ไดเร็กทอรีอื่นปรากฏขึ้นโดยไม่มีการอ้างอิงถึงตัวเอง เนื่องจากเป้าหมายคือการสร้างแค็ตตาล็อกที่สมบูรณ์ของไดเร็กทอรีทั้งหมดที่ไม่ได้กล่าวถึงตัวเอง จึงเห็นได้ชัดว่า K1 ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา เขาไม่ได้กล่าวถึงหนึ่งในไดเร็กทอรีเหล่านั้น - ตัวเขาเอง รวมถึงการกล่าวถึงตัวเองใน K1 เราได้รับแคตตาล็อก K2 มันกล่าวถึง K1 แต่ไม่ใช่ K2 เอง เพิ่มการกล่าวถึง K2 เราจะได้ K3 ซึ่งไม่สมบูรณ์อีกครั้งเนื่องจากไม่ได้พูดถึงตัวเอง และอื่นๆ อย่างไม่สิ้นสุด

มากที่สุด ทั่วไปรูปแบบความขัดแย้ง เบอร์ทรานด์ รัสเซลดูเหมือนว่า:

ให้ M เป็นเซตของเซตทั้งหมดที่ไม่มีตัวเองเป็นองค์ประกอบ คำถาม: M มีตัวเองเป็นองค์ประกอบหรือไม่?

หากคำตอบคือ "ใช่" ตามคำจำกัดความของ M จะต้องไม่ใช่องค์ประกอบของ M และเรามีความขัดแย้งกัน

หากคำตอบคือ "ไม่" - ตามคำจำกัดความของ M จะต้องเป็นองค์ประกอบของ M - เป็นความขัดแย้งอีกครั้ง ...

“สาระสำคัญของความขัดแย้งคืออะไร? ชั้นเรียนบางครั้งและบางครั้งก็ไม่ได้เป็นสมาชิกของตัวเอง " ระดับตัวอย่างเช่น ช้อนชาไม่ใช่ช้อนชาอีกชนิดหนึ่ง แต่ประเภทของสิ่งที่ไม่ใช่ช้อนชาคือบางสิ่งที่ไม่ใช่ช้อนชา"

ความขัดแย้งของรัสเซลเกี่ยวข้องกับการใช้แนวคิดของคลาสของคลาสที่เหมาะสมทั้งหมด "Own" คือคลาสที่ไม่มีตัวเองเป็นสมาชิก "ไม่เหมาะสม" เป็นคลาสที่ควรมีตัวเองเป็นสมาชิก สันนิษฐานว่าเป็นคลาสของทุกคลาส เกี่ยวกับคลาสของคลาสที่เหมาะสมทั้งหมด ("คลาสรัสเซลล์") มีคำถามเกิดขึ้น: มันคืออะไร - เหมาะสมหรือไม่เหมาะสม? หากเราคิดว่าเป็นของตัวเอง ก็ควรกำหนดให้กับคลาสที่ไม่ใช่ของตัวเอง และในทางกลับกัน

รัสเซลนำเสนอความขัดแย้งนี้ผ่านสิ่งที่เรียกว่า "ช่างตัดผม" ในลักษณะกึ่งล้อเล่นใน An Introduction to the Philosophy of Mathematics (1919) ช่างตัดผมประจำหมู่บ้านต้องโกนหนวดทั้งหมดและเฉพาะชาวเมืองที่ไม่โกนหนวดเท่านั้น เขาควรโกนหนวดไหม? ถ้าเขาโกนเอง เขาก็โกนเอง และไม่มีสิทธิ์โกนเอง แต่ถ้าเขาไม่โกนหนวดก็มีสิทธิ์โกนหนวด ด้วยวิธีนี้ เรายังสามารถแสดงให้เห็นถึงความขัดแย้งของ "เซตของเซตทั้งหมดที่ไม่ใช่องค์ประกอบที่เหมาะสม" ควรสังเกตว่า "ช่างตัดผม" ไม่ใช่ "ความขัดแย้งที่บริสุทธิ์" เพราะมันตามมาเท่านั้นที่ช่างทำผมดังกล่าวไม่สามารถมีอยู่ได้เลยนั่นคือ "โดยหลักการแล้วไม่พบคำจำกัดความที่ชัดเจนและสม่ำเสมอสำหรับชุดนี้ที่มีองค์ประกอบ กำหนดไว้เฉพาะในแง่ของจำนวนทั้งสิ้นนี้ เช่นเดียวกับองค์ประกอบที่รวมหรือบอกเป็นนัยถึงจำนวนทั้งสิ้นนี้ ความขัดแย้งถูกกำจัดโดยข้อสรุปที่ว่าหากสถานที่บางแห่งก่อให้เกิดความขัดแย้งก็ผิด

แอนติโนมีของรัสเซลมีบทบาทสำคัญในการพัฒนารากฐานของคณิตศาสตร์ มันทำลายรากฐานของทฤษฎีเซต ตรรกะใหม่เอง กลายเป็นหายนะที่แท้จริง และการล่มสลายของความหวังของผู้ที่จัดการกับปัญหาของการพิสูจน์คณิตศาสตร์และตรรกะในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 19-20

รัสเซลล์ในปี 1903 ไม่ยอมรับอย่างเปิดเผยว่าเขาได้ค้นพบวิธีแก้ปัญหาความขัดแย้ง ใน "คำนำ" ถึง "หลักคณิตศาสตร์" เขาตั้งข้อสังเกตว่าเหตุผลเดียวสำหรับการเผยแพร่งานที่มีคำถามที่ยังไม่ได้แก้ไขจำนวนหนึ่งก็คือการศึกษานี้ทำให้สามารถเจาะลึกเข้าไปในธรรมชาติของชั้นเรียนได้ รัสเซลล์เสนอทฤษฎีประเภทอย่างง่ายเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ใน "ภาคผนวก ข" สำหรับบทความนี้ ในอนาคตเขาได้ข้อสรุปว่าทฤษฎีนี้พัฒนาเป็นระบบที่ทำให้สามารถขจัดความขัดแย้งได้

Kolesnikov A. S. , ปรัชญาของ Bertrand Russell, L. , สำนักพิมพ์ มหาวิทยาลัยเลนินกราด, 1991, น. 84-85.

ชุดทั้งหมดที่ไม่มีตัวเองเป็นองค์ประกอบ มันมีตัวเองเป็นองค์ประกอบหรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้น ตามนิยามแล้ว ไม่ควรเป็นองค์ประกอบ - ความขัดแย้ง ถ้าไม่ใช่ - ตามนิยามแล้ว มันจะต้องเป็นองค์ประกอบ - เป็นความขัดแย้งอีกครั้ง

ความขัดแย้งในความขัดแย้งของรัสเซลเกิดจากการใช้เหตุผลของแนวคิดที่ขัดแย้งกันภายใน ชุดทุกชุดและแนวคิดเกี่ยวกับความเป็นไปได้ของการประยุกต์ใช้กฎของตรรกะคลาสสิกอย่างไม่จำกัดเมื่อทำงานกับเซต มีการเสนอวิธีการหลายวิธีเพื่อเอาชนะความขัดแย้งนี้ ที่มีชื่อเสียงที่สุดคือการนำเสนอการสร้างรูปแบบที่สอดคล้องกันสำหรับทฤษฎีเซต ซึ่งสัมพันธ์กับวิธีการดำเนินการกับเซตที่ "จำเป็นจริงๆ" (ในแง่หนึ่ง) ทั้งหมดจะเป็นที่ยอมรับได้ ภายในกรอบของการทำให้เป็นทางการดังกล่าว ถ้อยแถลงเกี่ยวกับการดำรงอยู่ ชุดทุกชุดจะลดไม่ได้

แท้จริงแล้ว เซตของเซตทั้งหมดนั้นมีอยู่จริง จากนั้น ตามสัจพจน์การเลือก จะต้องมีชุดที่มีองค์ประกอบเป็นชุดเหล่านั้นและชุดที่ไม่มีองค์ประกอบเป็นองค์ประกอบเท่านั้น อย่างไรก็ตาม สมมติฐานของการมีอยู่ของฉากนำไปสู่ความขัดแย้งของรัสเซล ดังนั้น เมื่อพิจารณาถึงความสอดคล้องของทฤษฎี ข้อความเกี่ยวกับการมีอยู่ของเซตจึงไม่สามารถหาได้ในทฤษฎีนี้ ซึ่งจำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

ในระหว่างการดำเนินการตามโปรแกรมที่อธิบายไว้ของ "การออม" ทฤษฎีเซต ได้มีการเสนอสัจพจน์ที่เป็นไปได้หลายประการ (ทฤษฎี Zermelo-Fraenkel ZF, ทฤษฎี Neumann-Bernays-Gödel NBG เป็นต้น) แต่ไม่มีข้อพิสูจน์ มีการค้นพบทฤษฎีใด ๆ เหล่านี้จนถึงความสอดคล้อง นอกจากนี้ ตามที่ Gödel แสดงให้เห็นโดยการพัฒนาทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์จำนวนหนึ่ง การพิสูจน์ดังกล่าวไม่สามารถมีอยู่ได้ (ในแง่หนึ่ง)

ปฏิกิริยาอื่นต่อการค้นพบ ความขัดแย้งของรัสเซลสัญชาตญาณของ L.E. Ya. Brouwer ปรากฏขึ้น

ตัวเลือกถ้อยคำ

มีสูตรที่เป็นที่นิยมมากมายของความขัดแย้งนี้ หนึ่งในนั้นมักจะเรียกว่าความขัดแย้งของช่างตัดผมและมีลักษณะดังนี้:

ช่างตัดผมหมู่บ้านหนึ่งได้รับคำสั่ง “โกนใครไม่โกนเอง และอย่าโกนใครที่โกนหนวดเอง”. เขาควรจัดการกับตัวเองอย่างไร?

อีกทางเลือกหนึ่ง:

ประเทศหนึ่งออกกฤษฎีกา: "นายกเทศมนตรีของทุกเมืองไม่ควรอยู่ในเมืองของตนเอง แต่อยู่ในเมืองพิเศษของนายกเทศมนตรี". นายกเทศมนตรีเมืองนายกเทศมนตรีควรอาศัยอยู่ที่ไหน?

และอีกหนึ่ง:

ห้องสมุดบางแห่งตัดสินใจที่จะรวบรวมแคตตาล็อกบรรณานุกรมที่จะรวมทั้งหมดเหล่านั้นและเฉพาะแคตตาล็อกบรรณานุกรมที่ไม่มีการอ้างอิงถึงตัวเอง ไดเร็กทอรีดังกล่าวควรมีลิงค์ไปยังตัวเองหรือไม่?

ดูสิ่งนี้ด้วย

วรรณกรรม

• Courant R, Robbins G.คณิตศาสตร์คืออะไร? - ช. II, § 4.5
• Miroshnichenko P. N.อะไรที่ทำลายความขัดแย้งของรัสเซลในระบบของเฟรจ? // ตรรกะสมัยใหม่: ปัญหาของทฤษฎี ประวัติศาสตร์ และการประยุกต์ใช้ทางวิทยาศาสตร์ - SPb., 2000. - ส. 512-514.
• Katrechko S. L.ความขัดแย้งของช่างตัดผมของรัสเซลและวิภาษวิธีของเพลโต - อริสโตเติล // ตรรกะสมัยใหม่: ปัญหาของทฤษฎี ประวัติศาสตร์และการประยุกต์ในวิทยาศาสตร์ - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก 2545 - ส. 239-242
• มาร์ติน การ์ดเนอร์ลองเดาสิ! = อ่า! เก็ทชา ความขัดแย้งเพื่อไขปริศนาและความสุข - M.: Mir, 1984. - S. 22-23. - 213 น.

หมายเหตุ

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010 .

ดูว่า "Russell Paradox" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:

- (กรีก paradoxos ที่ไม่คาดคิด, แปลก) ในความหมายกว้าง: ข้อความที่ขัดแย้งอย่างมากกับความเห็นที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปและเป็นที่ยอมรับการปฏิเสธสิ่งที่ดูเหมือนจะ "ถูกต้องอย่างไม่ต้องสงสัย"; ในความหมายที่แคบกว่า สองประโยคที่ตรงกันข้าม สำหรับ ... ... สารานุกรมปรัชญา

ความขัดแย้งของรัสเซล ซึ่งเป็นกลุ่มต่อต้านทฤษฎีเซตซึ่งค้นพบในปี 1903 โดยเบอร์ทรานด์ รัสเซลล์ และต่อมาค้นพบอีกครั้งโดยอิสระโดยอี. เซอร์เมโล แสดงให้เห็นถึงความไม่สมบูรณ์ของภาษาของทฤษฎีเซตที่ไร้เดียงสาของจี. คันทอร์ และไม่ใช่ความไม่สอดคล้องกัน Antinomy ... ... Wikipedia

ความขัดแย้ง- PARADOX (จากภาษากรีก para ภายนอกและความคิดเห็น doxa) 1) ในความหมายที่กว้าง (ไม่ใช่ตรรกะ) ทุกสิ่งที่ขัดแย้งทางเดียวหรืออีกทางหนึ่ง (แตกต่าง) จากความคิดเห็นที่ยอมรับโดยทั่วไป ยืนยันโดยประเพณี กฎหมาย กฎเกณฑ์ บรรทัดฐานหรือสามัญสำนึก ... ... สารานุกรมญาณวิทยาและปรัชญาวิทยาศาสตร์

ตำแหน่งซึ่งในตอนแรกยังไม่ชัดเจน อย่างไรก็ตาม ตรงกันข้ามกับความคาดหวัง เป็นการแสดงออกถึงความจริง ในตรรกะโบราณ ความขัดแย้งคือข้อความที่มีความคลุมเครือหมายถึงความถูกต้องหรือความไม่ถูกต้องเป็นหลัก ที่… … สารานุกรมปรัชญา

- (ความขัดแย้งของชั้นเรียนของชั้นเรียนที่มีรากฐานมาอย่างดีทั้งหมด) ความขัดแย้งในทฤษฎีเซต ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของความขัดแย้งของบุราลี ฟอร์ติ ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย ดี. มิริมานอฟ สารบัญ 1 ถ้อยคำ ... Wikipedia

แสดงให้เห็นว่าสมมติฐานของการมีอยู่ของเซตของจำนวนลำดับทั้งหมดนำไปสู่ความขัดแย้ง และด้วยเหตุนี้ ทฤษฎีของเซต ซึ่งในการก่อสร้างของเซตดังกล่าวเป็นไปได้ จึงมีความขัดแย้ง สารบัญ 1 ถ้อยคำ 2 ประวัติ ... Wikipedia

- (จากความขัดแย้งของกรีกที่ไม่คาดคิด, แปลกประหลาด) การตัดสินที่ไม่คาดคิด, ผิดปกติ (อย่างน้อยในรูปแบบ) (คำสั่ง, ประโยค) ขัดแย้งอย่างรวดเร็วกับความคิดเห็นดั้งเดิมที่ยอมรับโดยทั่วไปในประเด็นนี้ ในแง่นี้ฉายา "ขัดแย้ง" ... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

ความขัดแย้งของต้นเสียงเป็นความขัดแย้งของทฤษฎีเซตซึ่งแสดงให้เห็นว่าสมมติฐานของการมีอยู่ของเซตของเซตทั้งหมดนำไปสู่ความขัดแย้งและด้วยเหตุนี้ทฤษฎีจึงไม่สอดคล้องกันในการสร้างเซตดังกล่าว ... ... Wikipedia

คำนี้มีความหมายอื่น ดู Paradox (ความหมาย) โรเบิร์ต บอยล์. แบบแผนของการพิสูจน์ว่าเครื่องเคลื่อนไหวถาวรไม่มีอยู่จริง Paradox ... Wikipedia

หนังสือ

• การล่มสลายของแนวคิดอภิปรัชญาเกี่ยวกับความเป็นสากลของหัวข้อในตรรกะ การโต้เถียง Frege-Schroeder, B. V. Biryukov หนังสือเล่มนี้กล่าวถึงประวัติศาสตร์อันน่าทึ่งของตรรกะทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับแนวคิด "การให้เหตุผลของจักรวาล" - หัวข้อในตรรกะ ความขัดแย้งทางความคิดเห็นระหว่าง 2...

เพื่อให้เข้าใจถึงความไม่สอดคล้องกันของ "ความขัดแย้ง" ของช่างตัดผม คุณสามารถใช้ตัวอย่างสำหรับสิ่งนี้ ร่างกายมนุษย์ที่มีชีวิต ลองนึกภาพว่าอวัยวะแต่ละส่วนในร่างกายมนุษย์ และแขนขาแต่ละส่วน ในเวลาเดียวกันเป็นชุดทั่วไปของชุดทั้งหมด และแยกกัน แต่ละอวัยวะของร่างกายมนุษย์นี้ และแต่ละส่วนของแขนขา เป็นสับเซตของกันและกัน ในกรณีนี้ หากเป็นดังที่อธิบายข้างต้นขณะนำเสนอ เป็นที่ชัดเจนว่าช่างตัดผมจาก "ความขัดแย้ง" ของช่างตัดผมนั้นเชื่อมโยงกับโลกปัจจุบันทั้งโลกที่เขาอาศัยอยู่ด้วยกัน ด้วยกัน และในขณะเดียวกัน ก็ไม่สามารถแยกออกจากกันได้โดยสิ้นเชิง แบบเดียวกับที่อวัยวะทั้งหมดของมนุษย์ที่มีชีวิตและแขนขาใด ๆ ของร่างกายมนุษย์ไม่สามารถแยกออกจากกัน เพื่อที่จะได้รับชีวิต ร่างกายมนุษย์สามารถดำรงอยู่ในเวลาเดียวกันเช่นสิ่งมีชีวิตและสิ่งมีชีวิตที่ทำงานได้อย่างสมบูรณ์โดยอาศัยกฎวิทยาศาสตร์ที่มีอยู่และเมื่อมันอาศัยอยู่ในโลกสากลนี้ช่างตัดผมคนนี้มีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับโลกสากลนี้ในโครงสร้างเดียวกับที่มีอยู่ . และเขาก็เป็นช่างตัดผมคนนี้พร้อมๆ กัน ก่อตัวเป็นเซตย่อย โดยมีฉากมากมายอยู่ทั่วโลกของจักรวาล โดยพื้นฐานแล้วช่างตัดผมคนนี้มีโอกาสที่จะมีประสิทธิภาพอยู่เสมอโดยที่เขาไม่สามารถออกไปได้ในบางจุดจากนั้น ท้องที่ ที่ซึ่งตนอยู่พร้อม ๆ กัน ไปอยู่ถิ่นอื่น และมีเวลาอยู่ในท้องที่นี้ ที่ไปพร้อม ๆ กัน โกนอยู่ในท้องที่นั้น อย่างเขา โกนเองไม่ได้ ตัวเองช่างตัดผม ยิ่งกว่านั้น การจากไปในท้องที่นี้โดยทางอ้อม ก็เป็นการกระทำของเขาไปพร้อม ๆ กัน และนำเขาไปสู่ความจริงที่ว่า เขาเป็นช่างตัดผมอย่างเขาในขณะที่ตัวเขาเองกำลังโกนหนวดอยู่ และในขณะเดียวกันก็ตั้งอยู่ในท้องที่นี้ด้วย ซึ่งเขามาพร้อม ๆ กัน ซึ่งช่างตัดผมอีกคนหนึ่ง ช่างตัดผมคนนี้ที่มาที่นั่นเองก็สามารถโกนหนวดได้พร้อมๆ กัน แต่เนื่องจากเครื่องมือที่ช่างตัดผมคนนี้จำเป็นต้องโกนนั้นต่างจากมือของเขาเอง จึงไม่หยุดที่จะเป็นเครื่องมือของเขาต่อไป และนำไปสู่ความจริงที่ว่าเขาในเวลาเดียวกันและเริ่มที่จะเป็นเช่นนี้ โกนช่างตัดผม. ดังนั้นนี่หมายความว่าช่างตัดผมคนนี้หากเขาไม่โกนตัวเองพร้อม ๆ กันด้วยมือของเขาเองเขาก็สามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือของคนอื่นที่มีอยู่วิธีการใด ๆ ที่ตัวเองมีเครื่องมือซึ่งหมายถึง เขาจะโกนตัวเองด้วยวิธีนี้ เพราะเขามีความผูกพันกับช่างตัดผมอีกคนที่มาหาเขาจากอีกท้องที่หนึ่งโดยโลกสากลที่พวกเขาอาศัยอยู่กับเขา !!! ในทำนองเดียวกัน "ความขัดแย้ง" ของทฤษฎีบทของโกเดลที่เกี่ยวกับความไม่สมบูรณ์ของเซตของเซตทั้งหมดก็ถูกเปิดเผย!!! ดังนั้น "ความขัดแย้ง" ของช่างตัดผมนี้จึงมีความคล้ายคลึงกันในสาระสำคัญกับสถานการณ์โดยพื้นฐานแล้วคนสองคนที่พบกันเพื่อทำซุปซึ่งทั้งคู่ต้องการร่วมกัน แต่ในเวลาเดียวกันจากที่หนึ่ง สำหรับสิ่งนี้มีผลิตภัณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการปรุงอาหารเกือบทั้งหมดยกเว้นน้ำ แต่ในขณะเดียวกันก็ไม่มีความจุที่จำเป็นสำหรับการทำซุปนี้และเตาที่สามารถผลิตน้ำซุปได้ ในขณะที่อีกคนหนึ่งในสองคนนี้ อีกคน ในเวลาเดียวกัน ตรงกันข้าม มีทั้งน้ำ เตา และภาชนะที่จำเป็นในการปรุงซุปนี้ แต่ในขณะเดียวกันเขาก็ไม่มี มีผลิตภัณฑ์ที่เหลือที่จำเป็นสำหรับการทำซุปนี้ แล้วคนที่สองก็ให้น้ำ เตา และภาชนะที่เขามีพร้อมๆ กันแก่คนแรก ซึ่งจำเป็นสำหรับทำซุปนี้ และคนแรกนี้ให้คนที่สองนี้พร้อม ๆ กัน ส่วนที่เหลือจำเป็นสำหรับทำอาหารนี้ ซุป ผลิตภัณฑ์ซุป และด้วยเหตุนี้พวกเขาจึงสามารถปรุงซุปที่พวกเขาทั้งสองต้องการซึ่งพวกเขาร่วมกันและในขณะเดียวกันก็ใช้เป็นอาหารของพวกเขา .. นอกจากนี้ยังมีวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้องรุ่นที่สองซึ่งเป็นเบาะแสสำหรับ "ความขัดแย้งของช่างตัดผม" ซึ่งช่างตัดผมคนนี้จะสามารถโกนหนวดด้วยมือของเขาเองได้โดยไม่ละเมิดคำสั่งที่ให้ไว้ ถึงเขาโดยนายกเทศมนตรีของเมือง! นี่คือเงื่อนงำฉบับที่ 2 ของ "barber's paradox" คือ ช่างตัดผมจะโกนหนวดเอง โกนเอง หรือไม่โกนหนวด เมื่อไม่โกนหนวด เพราะเขาไม่สามารถโกนและไม่โกนหนวดในทันที ตัวคุณเอง. ด้วยเหตุนี้ เพื่อที่จะสามารถเริ่มโกนหนวดได้เอง ไม่จำเป็นต้องเป็นคำพูดแต่เป็นการกระทำ เริ่มโกนหนวดได้จริง และยังไม่ได้เริ่มโกนหนวดตามความเป็นจริง หมายถึง ไม่โกนเอง ตัวเองในขณะนี้และด้วยเหตุนี้จึงสามารถเริ่มโกนหนวดได้โดยไม่ละเมิดคำสั่งแรกที่นายกเทศมนตรีของเมืองมอบให้เขา (เพื่อโกนหนวดทั้งหมดและเฉพาะผู้ที่ไม่โกนหนวด) สิ่งนี้พิสูจน์ให้เห็นถึงความเป็นไปได้ในการเริ่มต้นการโกนหนวดจริง ๆ ช่างตัดผมคนนี้เพราะเขาสามารถเริ่มโกนหนวดได้ในความเป็นจริงและจุดเริ่มต้นของการโกนหนวดในความเป็นจริงจะเริ่มขึ้นในช่วงเวลาที่เขาสามารถโกนหนวดเคราได้เท่านั้น กล้องจุลทรรศน์ ส่วนหนึ่งของขนจำนวนมากบนนั้นเพื่อเริ่มโกนหนวดซึ่งในความเป็นจริงเขาจะไม่ละเมิดคำสั่งแรกที่นายกเทศมนตรีของเมืองมอบให้เขา (เพื่อโกนหนวดทั้งหมดและเฉพาะผู้ที่ไม่โกนหนวดเท่านั้น ) เพียงเพื่อที่จะเป็นช่างตัดผมที่โกนหนวดเขาไม่สามารถทันที แต่เพียงในขณะที่โกนหนวดอย่างน้อยส่วนเล็ก ๆ ของขนบนเคราของเขาและละเมิดคำสั่งที่สองที่นายกเทศมนตรีของ เมือง (ไม่ใช่การโกนทุกคนที่โกนหนวด) ดังนั้นเขาจึงไม่สามารถเริ่มโกนหนวดด้วยความพยายามของเขาเองได้เพราะมันถูกต้องตามหลักเหตุผล: ทุกครั้งที่ใหม่ถือว่าการไม่รู้เป็นช่างตัดผมสำหรับตัวเองบางทีเขาอาจจะเขา สามารถ, ทุกเวลาในอนาคตใหม่, สามารถ, และสามารถ, โกนตัวเอง, และเริ่มต้นด้วยตัวเอง โกนเองหรือไม่สามารถทำได้และไม่สามารถทำเช่นนี้ได้และช่างตัดผมที่ไม่รู้จักตัวเองอย่างสมบูรณ์ล่วงหน้าถึงความสามารถของตัวเองทั้งในความสามารถในการโกนหนวดและในทางกลับกันไม่ใช่ในความสามารถ โกนตัวเองไม่สามารถพิจารณาด้วยเหตุนี้ล่วงหน้าโดยช่างตัดผมคนนั้นซึ่งเป็นที่รู้กันว่าเขาโกนหนวดเองและบางทีเขาอาจจะโกนหนวดได้! เมื่อช่างตัดผมที่ "ไม่รู้ตัวเอง" คนนี้โกนขนบนเคราของเขาอย่างน้อยหนึ่งส่วนเล็ก ๆ อย่างน้อยหนึ่งส่วนเขาจะสามารถเข้าใจตัวเองได้ในขณะนั้นว่าเขายังสามารถโกนหนวดได้ แต่จะไม่ละเมิด บัดนี้ คำสั่งที่สองที่นายกเทศมนตรีเมืองให้ไว้แก่เขา (ไม่ใช่เพื่อโกนทุกคนที่โกนหนวด) เนื่องจากเขาไม่รู้จักตัวเองและไม่เคยรู้ล่วงหน้าเขาจะสามารถโกนหนวดได้เสมอ ในอนาคตหรือไม่เขาจะสามารถทำเช่นนี้ได้และความไม่รู้ถึงความเป็นไปได้ในอนาคตของเขาเองและทำให้เขาเป็นช่างตัดผมซึ่งไม่ได้ละเมิดคำสั่งที่สองของนายกเทศมนตรีซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเขาไม่ควรโกนหนวด ทุกคนที่โกนหนวดและดังนั้นจึงเข้าใจตัวเองว่าเขาเริ่มโกนหนวดในเวลานั้นเขาเพียงแค่ปฏิบัติตามกฎข้อที่สองนี้ซึ่งห้ามไม่ให้เขาโกนหนวดทุกคนที่โกนหนวดจะหยุดครู่หนึ่งในการโกนหนวดของเขาเอง และเลิกโกนหนวดเสียแล้วรู้ทันทีว่าต้องเริ่มทำมโนแรกที่เขามอบให้อีก ม. คำสั่ง คือ คำสั่งเกี่ยวกับภาระของเขาที่จะโกนทั้งหมดเหล่านั้นและเฉพาะผู้ที่ไม่โกนหนวดเท่านั้นที่จะพยายามเริ่มต้นเพื่อไม่ให้ละเมิดให้โกนตัวเองอีกครั้งแล้ววงจรของเขาในตอนนั้น หยุดการโกนหนวดของเขาเอง จากนั้นอีกครั้งจุดเริ่มต้นของการโกนหนวดจะดำเนินต่อไปจนกว่าเขาจะโกนเคราทั้งหมดของเขาจนหมด ดังนั้นเขาจะสามารถโกนเคราทั้งหมดด้วยมือของเขาเองได้โดยไม่ละเมิดคำสั่งที่นายกเทศมนตรีกำหนดให้กับเขา ของเมือง! !! นี้เป็นอีกเวอร์ชั่นหนึ่งของการแก้ปัญหา "paradox of the barber" !!!