วิธีแก้ปัญหาสามารถแบ่งออกเป็นสองส่วนอย่างสะดวก:

1) ก่อนอื่นเราตรวจสอบว่ามีเส้นกำกับแนวตั้งหรือไม่ ตัวส่วนหายไป และเป็นที่แน่ชัดทันทีว่า ณ จุดนี้ ฟังก์ชันจะเกิดความไม่ต่อเนื่องแบบอนันต์ และเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการคือเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟฟังก์ชัน แต่ก่อนที่จะสรุปได้เช่นนี้ จำเป็นต้องหาข้อ จำกัด ด้านเดียว:

ฉันเตือนคุณถึงเทคนิคการคำนวณ ซึ่งฉันได้กล่าวถึงในทำนองเดียวกันในบทความความต่อเนื่องของฟังก์ชัน จุดแตกหัก. ในนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายขีด จำกัด แทนที่จะใช้ "x" ไม่มีอะไรน่าสนใจในตัวเศษ:

แต่ในตัวส่วน จะได้จำนวนลบจำนวนน้อยไม่สิ้นสุด:

มันกำหนดชะตากรรมของขีด จำกัด

ขีด จำกัด ทางซ้ายมือนั้นไม่มีที่สิ้นสุด และโดยหลักการแล้ว มันเป็นไปได้ที่จะผ่านคำตัดสินเกี่ยวกับการมีอยู่ของเส้นกำกับแนวตั้ง แต่การจำกัดด้านเดียวจำเป็นไม่เพียงแต่สำหรับสิ่งนี้เท่านั้น แต่ยังช่วยให้คุณเข้าใจว่ากราฟของฟังก์ชันตั้งอยู่อย่างไรและสร้างอย่างถูกต้อง ดังนั้นเราจึงต้องคำนวณขีด จำกัด ของมือขวาด้วย:

สรุป: ขีดจำกัดด้านเดียวไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งหมายความว่าเส้นตรงเป็นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชันที่

ขีดจำกัดแรกมีจำกัด ซึ่งหมายความว่าจำเป็นต้อง "สนทนาต่อ" และหาขีดจำกัดที่สอง:

ขีด จำกัด ที่สองก็มีขอบเขตเช่นกัน

ดังนั้นเส้นกำกับของเราคือ:

สรุป: เส้นตรงที่กำหนดโดยสมการคือเส้นกำกับแนวนอนของกราฟของฟังก์ชันที่

ในการหาเส้นกำกับแนวนอน คุณสามารถใช้สูตรแบบง่าย:

หากมีขีดจำกัด เส้นนั้นจะเป็นเส้นกำกับแนวนอนของกราฟของฟังก์ชันที่

ง่ายที่จะเห็นว่าตัวเศษและตัวส่วนของฟังก์ชันมีลำดับการเติบโตเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดที่ต้องการจะจำกัด:

ตามเงื่อนไขไม่จำเป็นต้องวาดภาพให้เสร็จ แต่ถ้าการศึกษาฟังก์ชั่นเต็มวงเราก็สร้างร่างบนร่างทันที:

จากขีดจำกัดสามข้อที่พบ ให้พยายามค้นหาว่ากราฟของฟังก์ชันสามารถระบุตำแหน่งได้อย่างไร ค่อนข้างยาก? ค้นหา 5-6-7-8 คะแนนและทำเครื่องหมายบนภาพวาด อย่างไรก็ตาม กราฟของฟังก์ชันนี้สร้างขึ้นโดยใช้การแปลงกราฟของฟังก์ชันพื้นฐาน และผู้อ่านที่ได้ตรวจสอบตัวอย่างที่ 21 ของบทความนี้อย่างถี่ถ้วนแล้วจะเดาได้ง่ายว่าเส้นโค้งนั้นเป็นเส้นโค้งประเภทใด

นี่คือตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ. ฉันขอเตือนคุณว่ากระบวนการนี้แบ่งออกเป็นสองจุดอย่างสะดวก - เส้นกำกับแนวตั้งและเส้นกำกับเฉียง ในสารละลายตัวอย่าง พบเส้นกำกับแนวนอนโดยใช้โครงร่างแบบง่าย

ในทางปฏิบัติ ฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะมักพบบ่อยที่สุด และหลังจากการฝึกอบรมเกี่ยวกับไฮเปอร์โบลา เราจะทำให้งานซับซ้อนขึ้น:

ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

วิธีแก้ปัญหา: หนึ่ง สอง และเสร็จสิ้น:

1) เส้นกำกับแนวตั้งอยู่ที่จุดที่ไม่ต่อเนื่องเป็นอนันต์ ดังนั้นเราต้องตรวจสอบว่าตัวส่วนหายไปหรือไม่ มาแก้สมการกำลังสองกัน:

discriminant เป็นค่าบวก ดังนั้นสมการจึงมีรากจริง 2 ราก และมีงานเพิ่มขึ้นอีกมาก

ในการหาค่าจำกัดด้านเดียวเพิ่มเติม จะสะดวกที่จะแยกตัวประกอบกำลังสองกำลังสอง:

(สำหรับสัญกรณ์ย่อ "ลบ" ถูกนำมาใช้ในวงเล็บเหลี่ยมแรก) เพื่อความปลอดภัยเราจะทำการตรวจสอบทางจิตใจหรือแบบร่างโดยเปิดวงเล็บ

ลองเขียนฟังก์ชันใหม่ในรูปแบบ

ค้นหาข้อ จำกัด ด้านเดียว ณ จุดหนึ่ง:

ขีด จำกัด ฟังก์ชันกราฟเส้นกำกับ

และตรงประเด็น:

ดังนั้น เส้นตรงจึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชันที่กำลังพิจารณา

2) ถ้าคุณดูที่ฟังก์ชัน จะค่อนข้างชัดเจนว่าขีดจำกัดจะจำกัด และเรามีเส้นกำกับแนวนอน ขอแสดงสั้น ๆ :

ดังนั้น เส้นตรง (abscissa) จึงเป็นเส้นกำกับแนวนอนของกราฟของฟังก์ชันนี้

ขีดจำกัดและเส้นกำกับที่พบให้ข้อมูลมากมายเกี่ยวกับกราฟของฟังก์ชัน พยายามจินตนาการถึงภาพวาดโดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงต่อไปนี้:

ร่างกราฟเวอร์ชันของคุณในแบบร่าง

แน่นอน ขีดจำกัดที่พบไม่ได้กำหนดประเภทของกราฟอย่างชัดเจน และคุณอาจทำผิดพลาด แต่แบบฝึกหัดเองจะเป็นประโยชน์อย่างมากในการศึกษาฟังก์ชันทั้งหมด รูปภาพที่ถูกต้องอยู่ท้ายบทเรียน

ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

เหล่านี้เป็นงานสำหรับการตัดสินใจอย่างอิสระ กราฟทั้งสองมีเส้นกำกับแนวนอนอีกครั้ง ซึ่งตรวจพบทันทีโดยคุณลักษณะต่อไปนี้: ในตัวอย่างที่ 4 ตัวส่วนจะเพิ่มขึ้นตามลำดับความสำคัญที่มากกว่าตัวเศษ และในตัวอย่างที่ 5 ตัวเศษและตัวส่วนมีลำดับการเติบโตเท่ากัน ในสารละลายตัวอย่าง ฟังก์ชันแรกจะถูกตรวจสอบการมีอยู่ของเส้นกำกับเฉียงแบบเต็ม และฟังก์ชันที่สอง - จนถึงขีดจำกัด

เส้นกำกับแนวนอนในความประทับใจส่วนตัวของฉันนั้นพบได้บ่อยกว่าเส้นที่ "เอียงอย่างแท้จริง" อย่างเห็นได้ชัด กรณีทั่วไปที่รอคอยมานาน:

ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

วิธีแก้ปัญหา: คลาสสิกของประเภท:

• 1) เนื่องจากตัวส่วนเป็นบวก ฟังก์ชันจึงต่อเนื่องบนเส้นจำนวนทั้งหมด และไม่มีเส้นกำกับแนวตั้ง …ดีไหม? ไม่ใช่คำที่ถูกต้อง - เยี่ยมมาก! รายการ #1 ปิดแล้ว
• 2) ตรวจสอบการมีอยู่ของเส้นกำกับเฉียง:

ขีด จำกัด ที่สองยังมีขอบเขตจำกัด ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันที่กำลังพิจารณาจึงมีเส้นกำกับเฉียง:

ดังนั้น ที่ กราฟของฟังก์ชันจึงอยู่ใกล้กับเส้นตรงเป็นอนันต์

โปรดทราบว่ามันตัดเส้นกำกับเฉียงที่จุดกำเนิด และจุดตัดดังกล่าวค่อนข้างยอมรับได้ - เป็นสิ่งสำคัญที่ "ทุกอย่างเป็นปกติ" ที่อนันต์ (อันที่จริง การอภิปรายของเส้นกำกับปรากฏขึ้น)

ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

วิธีแก้ปัญหา: ไม่มีอะไรให้แสดงความคิดเห็นมากนัก ดังนั้นฉันจะร่างตัวอย่างคร่าวๆ ของวิธีแก้ปัญหาขั้นสุดท้าย:

1) เส้นกำกับแนวตั้ง มาสำรวจประเด็นกัน

เส้นตรงคือเส้นกำกับแนวดิ่งสำหรับพล็อตที่

2) เส้นกำกับเฉียง:

เส้นตรงคือเส้นกำกับเฉียงของโครงที่

ขีดจำกัดและเส้นกำกับด้านเดียวที่พบช่วยให้เราสามารถสันนิษฐานได้ว่ากราฟของฟังก์ชันนี้เป็นอย่างไร

ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ เพื่อความสะดวกในการคำนวณขีดจำกัด คุณสามารถหารตัวเศษด้วยเทอมตัวส่วนตามเทอมได้ และอีกครั้งเมื่อวิเคราะห์ผลลัพธ์ ลองวาดกราฟของฟังก์ชันนี้

เห็นได้ชัดว่าเจ้าของเส้นกำกับเฉียง "ของจริง" คือกราฟของฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะที่มีระดับสูงสุดของตัวเศษมากกว่าระดับสูงสุดของตัวส่วน ถ้ามากกว่านั้น - จะไม่มีเส้นกำกับเฉียง (เช่น)

แต่ปาฏิหาริย์อื่นๆ ก็เกิดขึ้นในชีวิตเช่นกัน

กราฟของฟังก์ชันสามารถมีเส้นกำกับได้กี่เส้น

ไม่มี หนึ่ง สอง สาม... หรือจำนวนอนันต์ เราจะไม่ไปไกลสำหรับตัวอย่าง เราจะเรียกคืนฟังก์ชันพื้นฐาน พาราโบลา คิวบิกพาราโบลา ไซนัสอยด์ไม่มีเส้นกำกับเลย กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึมมีเส้นกำกับเส้นเดียว อาร์คแทนเจนต์, อาร์คโคแทนเจนต์มีสองตัว และแทนเจนต์ โคแทนเจนต์มีจำนวนอนันต์ ไม่ใช่เรื่องแปลกที่กราฟจะมีเส้นกำกับทั้งแนวนอนและแนวตั้ง อติพจน์จะรักคุณเสมอ

การหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชันหมายความว่าอย่างไร

ซึ่งหมายถึงการหาสมการและวาดเส้นตรงหากเงื่อนไขของปัญหาต้องการ กระบวนการนี้เกี่ยวข้องกับการค้นหาขีดจำกัดของฟังก์ชัน

เส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชัน

ตามกฎแล้วเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟอยู่ที่จุดที่ไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน ง่ายมาก: หาก ณ จุดหนึ่ง ฟังก์ชันประสบกับการแตกแบบอนันต์ เส้นตรงที่กำหนดโดยสมการจะเป็นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟ

หมายเหตุ: โปรดทราบว่าสัญกรณ์นี้ใช้เพื่ออ้างถึงสองแนวคิดที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ประเด็นมีนัยหรือสมการของเส้นตรง - ขึ้นอยู่กับบริบท

ดังนั้น เพื่อสร้างการมีอยู่ของเส้นกำกับแนวดิ่ง ณ จุดหนึ่ง ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงว่าอย่างน้อยหนึ่งขีดจำกัดด้านเดียวนั้นไม่มีที่สิ้นสุด ส่วนใหญ่มักจะเป็นจุดที่ตัวส่วนของฟังก์ชันมีค่าเท่ากับศูนย์ อันที่จริง เราได้พบเส้นกำกับแนวตั้งแล้วในตัวอย่างสุดท้ายของบทเรียนเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชัน แต่ในหลายกรณี มีข้อ จำกัด ด้านเดียวและถ้ามันไม่มีที่สิ้นสุดแล้วอีกครั้ง - รักและชอบเส้นกำกับแนวตั้ง ภาพประกอบที่ง่ายที่สุด: และแกน y

ข้อเท็จจริงที่เห็นได้ชัดก็มาจากด้านบนเช่นกัน: หากฟังก์ชันเปิดอย่างต่อเนื่อง จะไม่มีเส้นกำกับแนวตั้ง ด้วยเหตุผลบางอย่างพาราโบลาก็เข้ามาในหัว อันที่จริงคุณสามารถ "ติด" เส้นตรงที่นี่ได้ที่ไหน? ... ใช่ ... ฉันเข้าใจ ... สาวกของลุงฟรอยด์พากันตีโพยตีพาย =)

คำสั่ง converse โดยทั่วไปไม่เป็นความจริง: ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันไม่ได้กำหนดไว้บนเส้นจริงทั้งหมด แต่ขาดเส้นกำกับโดยสิ้นเชิง

เส้นกำกับเฉียงของกราฟของฟังก์ชัน

เส้นกำกับแบบเอียง (ในกรณีพิเศษ - แนวนอน) สามารถวาดได้หากอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะ "บวกอินฟินิตี้" หรือ "ลบอนันต์" ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันต้องมีเส้นกำกับเฉียงไม่เกิน 2 เส้น ตัวอย่างเช่น กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีเส้นกำกับแนวนอนเส้นเดียวที่ และกราฟของอาร์กแทนเจนต์ที่ มีเส้นกำกับสองเส้นและเส้นกำกับต่างกัน

เมื่อกราฟที่นี่และที่นั่นเข้าใกล้เส้นกำกับเฉียงเท่านั้น เป็นเรื่องปกติที่จะรวม “อินฟินิตี้” ไว้ใต้รายการเดียว ตัวอย่างเช่น ... คุณเดาถูก: .

- (จากภาษากรีกเป็นส่วนเชิงลบและอาการประจวบกัน). เส้นตรงที่เข้าใกล้เส้นโค้งอย่างต่อเนื่องและมาบรรจบที่อนันต์เท่านั้น พจนานุกรมคำต่างประเทศรวมอยู่ในภาษารัสเซีย Chudinov A.N. , 1910. ASYMPTOE จาก ... ... พจนานุกรมคำต่างประเทศของภาษารัสเซีย

ASYMPTOTE- (จากภาษากรีก asymptotos ที่ไม่บังเอิญ) เป็นเส้นตรงที่สาขาอนันต์ของเส้นโค้งเข้าใกล้อย่างไม่มีกำหนด ตัวอย่างเช่น เส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา ... สารานุกรมสมัยใหม่

ASYMPTOTE- (จากภาษากรีก asymptotos ไม่ตรงกัน) เส้นโค้งที่มีกิ่งก้านอนันต์เป็นเส้นตรงที่สาขานี้เข้าใกล้อย่างไม่มีกำหนด ตัวอย่างเช่น เส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

เส้นกำกับ- เป็นเส้นตรงที่ค่อย ๆ เข้าใกล้โดยโค้ง asymptote เส้นตรงเข้าหา (ไม่เคยไปถึงมัน) โดยเส้นโค้งที่มีกิ่งก้านอนันต์ของฟังก์ชันบางอย่างเมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนดหรือ ... คู่มือนักแปลทางเทคนิค

เส้นกำกับ- (จากภาษากรีก asymptotos ไม่ตรงกัน) เส้นตรงที่กิ่งของเส้นโค้งอนันต์เข้าใกล้อย่างไม่มีกำหนด เช่น เส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา … พจนานุกรมสารานุกรมภาพประกอบ

ASYMPTOTE- เพศหญิง geom. เส้นตรงที่เข้าใกล้เส้นโค้งเสมอ (ไฮเปอร์โบลา) แต่ไม่เคยบรรจบกับมัน ตัวอย่างเพื่ออธิบายสิ่งนี้: หากจำนวนใดถูกหารด้วยครึ่งหนึ่ง ตัวเลขนั้นจะลดลงจนเหลืออนันต์ แต่จะไม่มีวันกลายเป็นศูนย์ ... ... พจนานุกรมอธิบายของดาห์ล

เส้นกำกับ- คำนามจำนวนคำพ้องความหมาย: 1 บรรทัด (182) พจนานุกรมคำพ้องความหมาย ASIS ว.น. ทริชิน. 2556 ... พจนานุกรมคำพ้องความหมาย

เส้นกำกับ- (จากคำภาษากรีก: a, sun, piptw) ไม่ตรงกัน โดย asymptote หมายถึงเส้นดังกล่าวซึ่งต่อเนื่องไปเรื่อย ๆ เข้าใกล้เส้นโค้งที่กำหนดหรือบางส่วนของมันเพื่อให้ระยะห่างระหว่างเส้นทั่วไปน้อยลง ... ...

เส้นกำกับพื้นผิว คือ เส้นตรงที่ตัดกับพื้นผิวอย่างน้อย 2 จุดที่อนันต์... สารานุกรมของ Brockhaus และ Efron

ASYMPTOTE- (asymptote) ค่าที่ฟังก์ชันนี้มีแนวโน้มเมื่ออาร์กิวเมนต์ (อาร์กิวเมนต์) เปลี่ยนแปลง แต่ไปไม่ถึงด้วยค่าสุดท้ายของอาร์กิวเมนต์ ตัวอย่างเช่น หากต้นทุนรวมของผลลัพธ์ x ถูกกำหนดโดยฟังก์ชัน TC=a+bx โดยที่ a และ b เป็นค่าคงที่... พจนานุกรมเศรษฐกิจ

เส้นกำกับ- เส้นตรงซึ่งมีแนวโน้ม (ไม่เคยไปถึงมัน) มีกิ่งก้านสาขาอนันต์ของเส้นโค้งของฟังก์ชันบางอย่าง เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างไม่มีกำหนด ตัวอย่างเช่น ในฟังก์ชัน: y = c + 1/x ค่าของ y เข้าใกล้ด้วย ... ... พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์

1. แนวคิดของ asymptotes

ขั้นตอนสำคัญประการหนึ่งในการสร้างกราฟของฟังก์ชันคือการค้นหาเส้นกำกับ เราพบกับเส้นกำกับมากกว่าหนึ่งครั้ง: เมื่อวางแผนฟังก์ชัน , y=tgx, y=ctgx. เราได้กำหนดให้เป็นเส้นที่กราฟของฟังก์ชัน "มีแนวโน้ม" แต่ไม่เคยตัดกัน ถึงเวลาที่จะให้คำจำกัดความที่ชัดเจนของเส้นกำกับ

เส้นกำกับมีสามประเภท: แนวตั้ง แนวนอน และเฉียง ในภาพวาด เส้นกำกับมักจะแสดงด้วยเส้นประ

พิจารณากราฟฟังก์ชันที่มีการพล็อตแบบเทียมต่อไปนี้ (รูปที่ 16.1) ในตัวอย่างที่มองเห็นเส้นกำกับทุกประเภทได้ชัดเจน:

เราให้คำจำกัดความสำหรับเส้นกำกับแต่ละประเภท:

1. ตรง x=aเรียกว่า เส้นกำกับแนวตั้ง ฟังก์ชัน ถ้า .

2. โดยตรง y=sเรียกว่า เส้นกำกับแนวนอน ฟังก์ชัน ถ้า .

3. ตรง y=kx+bเรียกว่า เส้นกำกับเฉียง ฟังก์ชัน ถ้า .

ในทางเรขาคณิต คำจำกัดความของเส้นกำกับเฉียงหมายความว่าเมื่อ →∞ กราฟของฟังก์ชันเข้าใกล้เส้นตรงโดยพลการ y=kx+b, เช่น. พวกเขาเกือบจะเหมือนกัน ความแตกต่างของนิพจน์ที่เกือบจะเหมือนกันมักจะเป็นศูนย์

โปรดทราบว่าเส้นกำกับแนวนอนและแนวเฉียงจะพิจารณาภายใต้เงื่อนไขเท่านั้น →∞ บางครั้งจะแยกความแตกต่างออกเป็นเส้นกำกับแนวนอนและแนวเฉียงเป็น →+∞ และ →-∞

1. อัลกอริธึมการค้นหา Asymptote

อัลกอริทึมต่อไปนี้สามารถใช้เพื่อค้นหาเส้นกำกับ:

อาจมีเส้นกำกับแนวตั้งหนึ่งเส้น หลายเส้นหรือไม่มีเลยก็ได้

• ถ้า c เป็นตัวเลข ดังนั้น y=sเป็นเส้นกำกับแนวนอน
• ถ้า c เป็นอนันต์ จะไม่มีเส้นกำกับแนวนอน

หากฟังก์ชันเป็นอัตราส่วนของพหุนามสองพหุนาม ถ้าฟังก์ชันมีเส้นกำกับแนวนอน เราจะไม่มองหาเส้นกำกับเฉียง - พวกมันไม่มีอยู่จริง

ลองพิจารณาตัวอย่างการหาเส้นกำกับของฟังก์ชัน:

ตัวอย่าง 16.1หาเส้นกำกับของเส้นโค้ง

วิธีการแก้ X-1≠0; X≠1.

มาเช็คกันว่าไลน์คือ x= 1 เส้นกำกับแนวตั้ง ในการทำเช่นนี้เราคำนวณขีด จำกัด ของฟังก์ชันที่จุด x= 1: .

x= 1 - เส้นกำกับแนวตั้ง

กับ= .

กับ= = . เพราะ กับ=2 (ตัวเลข) จากนั้น y=2เป็นเส้นกำกับแนวนอน

เนื่องจากฟังก์ชันนี้เป็นอัตราส่วนของพหุนาม เมื่อมีเส้นกำกับแนวนอน เราขอยืนยันว่าไม่มีเส้นกำกับเฉียง

x= 1 และเส้นกำกับแนวนอน y=2.เพื่อความชัดเจน กราฟของฟังก์ชันนี้จะแสดงในรูปที่ 16.2.

ตัวอย่าง 16.2. หาเส้นกำกับของเส้นโค้ง

วิธีการแก้. 1. ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน: X-2≠0; X≠2.

มาเช็คกันว่าไลน์คือ x= 2 เส้นกำกับแนวตั้ง ในการทำเช่นนี้เราคำนวณขีด จำกัด ของฟังก์ชันที่จุด x= 2: .

เราได้รับสิ่งนั้น ดังนั้น x= 2 - เส้นกำกับแนวตั้ง

2. ในการค้นหาเส้นกำกับแนวนอน เราพบ: กับ= .

เนื่องจากมีความไม่แน่นอนในขีดจำกัด เราจึงใช้กฎ L'Hopital: กับ= = . เพราะ กับเป็นอนันต์ จึงไม่มีเส้นกำกับแนวนอน

3. ในการค้นหาเส้นกำกับเฉียง เราพบ:

เรามีความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม เราใช้กฎ L'Hopital: = =1 ขตามสูตร: .

ข= = =

เข้าใจแล้ว ข= 2. แล้ว y=kx+b –เส้นกำกับเฉียง ในกรณีของเราดูเหมือนว่า: y=x+2.

ข้าว. 16.3

ดังนั้น ฟังก์ชันนี้มีเส้นกำกับแนวตั้ง x= 2 และเส้นกำกับเฉียง y=x+2.เพื่อความชัดเจน กราฟของฟังก์ชันจะแสดงในรูปที่ 16.3.

คำถามทดสอบ:

บรรยาย 17

ในการบรรยายนี้ เราจะสรุปเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้ทั้งหมด เป้าหมายสูงสุดของการเดินทางอันยาวไกลของเราคือสามารถตรวจสอบฟังก์ชันที่ได้รับการวิเคราะห์และสร้างกราฟได้ ส่วนสำคัญของการศึกษาของเราคือการศึกษาฟังก์ชันสำหรับ extrema การกำหนดช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจ ความนูนและความเว้าของกราฟ การค้นหาจุดเปลี่ยนเว้า เส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

โดยคำนึงถึงทุกแง่มุมข้างต้น เราขอนำเสนอ แบบแผนสำหรับการศึกษาฟังก์ชันและการวางแผน .

1. ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

2. ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับคี่คู่:

ถ้า แล้วฟังก์ชันจะเป็นคู่ (กราฟของฟังก์ชันคู่จะสมมาตรเทียบกับแกน OU);

ถ้า ฟังก์ชันจะเป็นเลขคี่ (กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับแหล่งกำเนิด)

มิฉะนั้น ฟังก์ชันจะไม่ใช่เลขคู่หรือคี่

3. ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับคาบ (ในฟังก์ชันที่เราศึกษา ฟังก์ชันตรีโกณมิติเท่านั้นที่สามารถเป็นคาบได้)

4. ค้นหาจุดตัดของกราฟของฟังก์ชันด้วยแกนพิกัด:

· โอ้: ที่=0 (เราแก้สมการได้ก็ต่อเมื่อเราสามารถใช้วิธีที่เรารู้จัก);

· OU: X=0.

5. ค้นหาอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันและจุดวิกฤตของชนิดที่หนึ่ง

6. ค้นหาช่วงความซ้ำซากจำเจและสุดขั้วของฟังก์ชัน

7. ค้นหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันและจุดวิกฤตของประเภทที่สอง

8. หาช่วงความนูน-เว้าของกราฟฟังก์ชันและจุดเปลี่ยนเว้า

9. ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

10. สร้างกราฟฟังก์ชัน เมื่อสร้างให้พิจารณา กรณีของตำแหน่งที่เป็นไปได้ของกราฟใกล้กับเส้นกำกับ :

11. หากจำเป็น ให้เลือกจุดควบคุมเพื่อการก่อสร้างที่แม่นยำยิ่งขึ้น

พิจารณาโครงร่างการศึกษาฟังก์ชันและสร้างกราฟบน ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม:

ตัวอย่าง 17.1. พล็อตฟังก์ชัน

วิธีการแก้. 1. ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดบนเส้นจำนวนทั้งหมด ยกเว้น for X=3, เพราะ ณ จุดนี้ตัวส่วนไปที่ศูนย์

2. เพื่อกำหนดความสม่ำเสมอและความแปลกประหลาดของฟังก์ชัน เราพบ:

เราเห็นว่า และ ดังนั้น ฟังก์ชันไม่เป็นเลขคู่หรือคี่

3. ฟังก์ชั่นไม่เป็นระยะ

4. ค้นหาจุดตัดด้วยแกนพิกัด การหาจุดตัดกับแกน โอ้ยอมรับ ที่=0. เราจะได้สมการ: . ดังนั้น จุด (0; 0) คือจุดตัดกับแกนพิกัด

5. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตามกฎการแยกส่วน: = = = = .

ในการหาจุดวิกฤต เราจะหาจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าเท่ากับ 0 หรือไม่มีอยู่จริง

ถ้า =0 ดังนั้น . ผลคูณจะเป็น 0 เมื่อปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็น 0: หรือ

X-3) 2 เท่ากับ 0 นั่นคือ ไม่มีอยู่ที่ X=3.

ดังนั้น ฟังก์ชันนี้มีจุดวิกฤตสามจุดในประเภทแรก: ; ; .

6. บนแกนจริง เราทำเครื่องหมายจุดวิกฤตของประเภทแรก และทำเครื่องหมายจุดด้วยจุดที่เจาะเพราะ มันไม่ได้กำหนดฟังก์ชัน

จัดเรียงเครื่องหมายของอนุพันธ์ = ในแต่ละช่วง:

t.min

t.max

ในช่วงเวลาที่ ฟังก์ชันเดิมเพิ่มขึ้น (at (-∞;0] ) โดยที่ - ลดลง (at )

Dot X=0 คือจุดสูงสุดของฟังก์ชัน ในการหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน ให้หาค่าของฟังก์ชันที่จุด 0:

Dot X=6 คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน ในการหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน ให้หาค่าของฟังก์ชันที่จุดที่ 6:

ผลการวิจัยสามารถป้อนลงในตารางได้ จำนวนแถวในตารางคงที่และเท่ากับสี่ และจำนวนคอลัมน์ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันที่ศึกษา ในเซลล์ของแถวแรก ช่วงเวลาที่จุดวิกฤตแบ่งโดเมนของการกำหนดฟังก์ชันจะถูกป้อนตามลำดับ รวมถึงจุดวิกฤตด้วย เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการสร้างจุดที่ไม่ได้อยู่ในพื้นที่คำจำกัดความ จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะรวมจุดเหล่านี้ในตาราง

แถวที่สองของตารางประกอบด้วยสัญญาณของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงที่พิจารณาและค่าของอนุพันธ์ที่จุดวิกฤต ตามสัญญาณของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้น ลดลง และสุดขีดของฟังก์ชันจะถูกทำเครื่องหมายในบรรทัดที่สาม

บรรทัดสุดท้ายใช้เพื่อแสดงค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน

X	(-∞;0)		(0;3)		(3;6)		(6;+ ∞)
	+		-		-		+
เอฟ(x)
ข้อสรุป		max				นาที

7. ค้นหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเป็นอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับแรก: = =

นำออกมาเป็นตัวเศษ X-3 นอกวงเล็บและทำการลด:

เรานำเสนอในตัวเศษเช่นเงื่อนไข: .

ให้เราหาจุดวิกฤตของประเภทที่สอง: จุดที่อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่

0 ถ้า =0 เศษส่วนนี้ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ ดังนั้นจึงไม่มีจุดที่อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันมีค่าเท่ากับศูนย์

ไม่มีอยู่ถ้าตัวส่วน ( X-3) 3 คือ 0, เช่น ไม่มีอยู่ที่ X=3. :โอ้ , OU, จุดกำเนิด หน่วยวัดสำหรับแต่ละแกน

ก่อนวางแผนฟังก์ชัน คุณต้อง:

วาดเส้นกำกับด้วยเส้นประ

ทำเครื่องหมายจุดตัดด้วยแกนพิกัด

ข้าว. 17.1

ทำเครื่องหมายสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน และขอแนะนำให้กำหนดฟังก์ชันสูงสุดและต่ำสุดโดยตรงบนภาพวาดด้วยส่วนโค้ง: k หรือ ;

· ใช้ข้อมูลที่ได้รับในช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้น การลดลง การนูนและความเว้า ให้สร้างกราฟของฟังก์ชัน กิ่งก้านของกราฟควร "มีแนวโน้ม" ไปที่เส้นกำกับ แต่อย่าข้ามเส้นเหล่านี้

ตรวจสอบว่ากราฟของฟังก์ชันสอดคล้องกับการศึกษาหรือไม่ หากฟังก์ชันเป็นเลขคู่หรือคี่ แสดงว่ามีการสังเกตสมมาตรหรือไม่ ไม่ว่าจะเป็นระยะการเพิ่มขึ้นและการลดลงตามทฤษฎี ความนูนและความเว้า จุดเปลี่ยนเว้า

11. เพื่อการก่อสร้างที่แม่นยำยิ่งขึ้น คุณสามารถเลือกจุดควบคุมได้หลายจุด ตัวอย่างเช่น ลองหาค่าฟังก์ชันที่จุด -2 และ 7:

เราปรับกราฟโดยคำนึงถึงจุดควบคุม

คำถามทดสอบ:

1. อัลกอริทึมสำหรับการพล็อตกราฟฟังก์ชันคืออะไร?
2. ฟังก์ชันมีปลายสุดที่จุดที่ไม่ได้อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความได้หรือไม่

บทที่ 3 3. แคลคูลัสเชิงบูรณาการของฟังก์ชัน