วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
- แนะนำแนวคิดของเหตุการณ์บางอย่าง เป็นไปไม่ได้ และสุ่ม
- เพื่อสร้างองค์ความรู้และทักษะในการกำหนดประเภทของเหตุการณ์
- พัฒนา: ทักษะการคำนวณ ความสนใจ; ความสามารถในการวิเคราะห์ ให้เหตุผล หาข้อสรุป ทักษะการทำงานเป็นกลุ่ม
ระหว่างเรียน
1) ช่วงเวลาขององค์กร
แบบฝึกหัดเชิงโต้ตอบ: เด็กต้องแก้ตัวอย่างและถอดรหัสคำตามผลลัพธ์ที่แบ่งออกเป็นกลุ่ม (เชื่อถือได้ เป็นไปไม่ได้ และสุ่ม) และกำหนดหัวข้อของบทเรียน
การ์ด 1 ใบ
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 ใบ
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 ใบ
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) การทำให้เป็นจริงของความรู้ที่ศึกษา
เกม "Clap": เลขคู่ - ปรบมือ, เลขคี่ - ยืนขึ้น
งาน: จากชุดตัวเลขที่กำหนด 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... กำหนดคู่และคี่
3) การเรียนรู้หัวข้อใหม่
คุณมีลูกบาศก์บนโต๊ะ ลองมาดูพวกเขากันดีกว่า คุณเห็นอะไร?
ลูกเต๋าใช้ที่ไหน? ยังไง?
งานกลุ่ม.
กำลังดำเนินการทดลอง
คุณสามารถทำนายอะไรได้บ้างเมื่อทอยลูกเต๋า?
การทำนายครั้งแรก: หนึ่งในตัวเลข 1,2,3,4,5 หรือ 6 จะหลุดออกมา
เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่นอนในประสบการณ์ที่กำหนดเรียกว่า แท้จริง.
คำทำนายที่สอง: จะขึ้นเลข 7
คุณคิดว่าเหตุการณ์ที่คาดการณ์ไว้จะเกิดขึ้นหรือไม่?
มันเป็นไปไม่ได้!
เหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นในการทดลองที่กำหนดได้เรียกว่า เป็นไปไม่ได้.
คำทำนายที่สาม: จะขึ้นเลข 1
เหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้นหรือไม่?
เหตุการณ์ที่อาจหรือไม่อาจเกิดขึ้นในประสบการณ์ที่กำหนดเรียกว่า สุ่ม.
4) การรวมวัสดุที่ศึกษา
I. กำหนดประเภทของเหตุการณ์
-พรุ่งนี้หิมะจะเป็นสีแดง
พรุ่งนี้หิมะจะตกหนัก
พรุ่งนี้แม้ว่าจะเป็นเดือนกรกฎาคม แต่หิมะก็ตก
พรุ่งนี้แม้ว่าจะเป็นเดือนกรกฎาคม แต่จะไม่มีหิมะตก
พรุ่งนี้หิมะจะตกและจะมีพายุหิมะ
ครั้งที่สอง เพิ่มคำในประโยคนี้เพื่อให้เหตุการณ์เป็นไปไม่ได้
Kolya ได้รับ A ในประวัติศาสตร์
Sasha ไม่ได้ทำงานเดียวในการทดสอบ
Oksana Mikhailovna (ครูสอนประวัติศาสตร์) จะอธิบายหัวข้อใหม่
สาม. ยกตัวอย่างเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ สุ่ม และบางเหตุการณ์
IV. ทำงานตามตำรา (เป็นกลุ่ม)
อธิบายเหตุการณ์ที่กล่าวถึงในงานด้านล่างว่าบางอย่าง เป็นไปไม่ได้ หรือสุ่ม
ลำดับที่ 959 Petya ตั้งครรภ์จำนวนธรรมชาติ เหตุการณ์มีดังนี้:
ก) คิดเลขคู่;
b) คิดเลขคี่;
ค) เกิดตัวเลขที่ไม่ได้เป็นคู่หรือคี่
d) คิดเลขคู่หรือคี่
ลำดับที่ 960 คุณเปิดตำรานี้ไปยังหน้าใดก็ได้และเลือกคำนามแรกที่เจอ เหตุการณ์มีดังนี้:
ก) มีสระในการสะกดคำที่เลือก
b) ในการสะกดคำที่เลือกจะมีตัวอักษร "o";
c) ไม่มีสระในการสะกดคำที่เลือก
d) มีเครื่องหมายอ่อนในการสะกดคำที่เลือก
แก้ #961, #964.
อภิปรายเกี่ยวกับงานที่แก้ไขแล้ว
5) การสะท้อนกลับ
1. คุณพบเหตุการณ์ใดบ้างในบทเรียน
2. ระบุว่าเหตุการณ์ใดต่อไปนี้เป็นเหตุการณ์ที่แน่นอน ซึ่งเป็นไปไม่ได้ และเหตุการณ์ใดเป็นการสุ่ม:
ก) จะไม่มีวันหยุดฤดูร้อน
b) แซนวิชจะคว่ำด้านเนยลง
c) ปีการศึกษาจะสิ้นสุดลงสักวันหนึ่ง
6) การบ้าน:
มากับสองเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ สุ่มและเป็นไปไม่ได้
วาดหนึ่งในนั้น
ทฤษฎีความน่าจะเป็น เช่นเดียวกับสาขาวิชาคณิตศาสตร์ใดๆ ที่ทำงานด้วยแนวคิดบางอย่าง แนวคิดส่วนใหญ่ของทฤษฎีความน่าจะเป็นถูกกำหนดไว้แล้ว แต่บางแนวคิดก็ถือเป็นหลัก ไม่ได้กำหนดไว้ เช่นเดียวกับในเรขาคณิต จุด เส้น หรือระนาบ แนวคิดหลักของทฤษฎีความน่าจะเป็นคือเหตุการณ์ เหตุการณ์คือสิ่งที่ หลังจากช่วงเวลาหนึ่งสามารถพูดได้เพียงหนึ่งในสอง:
- · ใช่ มันเกิดขึ้น
- · ไม่ มันไม่ได้เกิดขึ้น
ตัวอย่างเช่น ฉันมีตั๋วลอตเตอรี หลังจากการตีพิมพ์ผลการออกรางวัลลอตเตอรี เหตุการณ์ที่ฉันสนใจ - การชนะรางวัลหนึ่งพันรูเบิลเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้น เหตุการณ์ใด ๆ เกิดขึ้นจากการทดสอบ (หรือประสบการณ์) ภายใต้การทดสอบ (หรือประสบการณ์) เข้าใจเงื่อนไขเหล่านั้นอันเป็นผลมาจากเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น การโยนเหรียญคือการทดสอบ และการปรากฏตัวของ "เสื้อคลุมแขน" บนเหรียญนั้นเป็นเหตุการณ์ เหตุการณ์มักจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่: A, B, C, .... เหตุการณ์ในโลกวัตถุสามารถแบ่งออกเป็นสามประเภท - บางอย่าง เป็นไปไม่ได้ และสุ่ม
เหตุการณ์หนึ่งคือเหตุการณ์ที่ทราบล่วงหน้าว่าจะเกิดขึ้น มันเขียนแทนด้วยตัวอักษร W ดังนั้นเมื่อโยนลูกเต๋าธรรมดาไม่เกินหกคะแนนที่เชื่อถือได้การปรากฏตัวของลูกบอลสีขาวเมื่อดึงจากโกศที่มีลูกบอลสีขาวเท่านั้น ฯลฯ
เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือเหตุการณ์ที่ทราบล่วงหน้าว่าจะไม่เกิดขึ้น มันเขียนแทนด้วยตัวอักษร E. ตัวอย่างของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือการดึงเอซมากกว่าสี่ออกจากปกติ สำรับไพ่, ลักษณะของลูกสีแดงจากโกศที่มีลูกสีขาวและสีดำเท่านั้น เป็นต้น
เหตุการณ์สุ่มคือเหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้นหรืออาจไม่เกิดขึ้นจากการทดสอบ เหตุการณ์ A และ B จะเรียกว่าเข้ากันไม่ได้หากเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นไม่รวมถึงความเป็นไปได้ที่เหตุการณ์อื่นจะเกิดขึ้น ดังนั้นการปรากฏตัวของแต้มจำนวนเท่าใดก็ได้เมื่อโยนลูกเต๋า (เหตุการณ์ A) จึงไม่สอดคล้องกับการปรากฏตัวของหมายเลขอื่น (เหตุการณ์ B) การทอยคะแนนเป็นเลขคู่ไม่สามารถใช้ได้กับการทอยเลขคี่ ในทางกลับกัน จำนวนจุดคู่ (เหตุการณ์ A) และจำนวนคะแนนที่หารด้วยสาม (เหตุการณ์ B) จะไม่เข้ากันเพราะการสูญเสียหกจุดหมายถึงการเกิดขึ้นของทั้งเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B ดังนั้นการเกิดขึ้นของหนึ่ง ของพวกเขาไม่ได้ยกเว้นการเกิดขึ้นของอีก. การดำเนินงานสามารถทำได้ในเหตุการณ์ การรวมกันของสองเหตุการณ์ C=AUB เป็นเหตุการณ์ C ที่เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อเหตุการณ์ A และ B เกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เท่านั้น จุดตัดของสองเหตุการณ์ D=A?? B คือเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อทั้งเหตุการณ์ A และ B เกิดขึ้น
โปรดแปลข้อความเป็นภาษาเยอรมันไม่ได้อยู่ในนักแปลออนไลน์
Golden Gate เป็นสัญลักษณ์ของ Kyiv ซึ่งเป็นหนึ่งในตัวอย่างที่เก่าแก่ที่สุดของสถาปัตยกรรมที่คงอยู่มาจนถึงสมัยของเรา ประตูสีทองของ Kyiv ถูกสร้างขึ้นภายใต้เจ้าชาย Yaroslav the Wise ที่มีชื่อเสียงของเคียฟในปี 1164 ในขั้นต้น พวกเขาถูกเรียกว่าทางใต้และเป็นส่วนหนึ่งของระบบป้องกันป้อมปราการของเมือง ซึ่งแทบไม่ต่างจากประตูยามอื่น ๆ ของเมืองเลย ประตูทางใต้ของเมืองฮิลาเรียนรัสเซียแห่งแรกเรียกว่า "ยิ่งใหญ่" ใน "คำเทศนาเกี่ยวกับกฎหมายและพระคุณ" หลังจากสร้างฮายาโซเฟียอันโอ่อ่าตระการตาแล้ว ประตู "ใหญ่" ก็กลายเป็นทางเข้าแผ่นดินหลักสู่เคียฟจากทางตะวันตกเฉียงใต้ ยาโรสลาฟ the Wise ตระหนักถึงความสำคัญของพวกเขาจึงสั่งให้สร้างโบสถ์เล็ก ๆ แห่งการประกาศเหนือประตูเพื่อเป็นการยกย่องศาสนาคริสต์ที่ครอบงำเมืองและรัสเซีย ตั้งแต่เวลานั้นเป็นต้นมา แหล่งประวัติศาสตร์รัสเซียทั้งหมดเริ่มเรียกประตูทิศใต้ของเคียฟว่า Golden Gates ความกว้างของประตู 7.5 ม. ความสูงของทางเดิน 12 ม. และความยาวประมาณ 25 ม.
le sport ce n "est pas seulement des cours de gym. C" est aussi sauter toujours plus haut nager jouer หรือ ballon danser. le sport développé ton corps และ aussi ton cerveau. Quand tu prends l "escalier et non pas l" ผู้รับตำแหน่ง tu fais du sport Quand tu fais une cabane dans un arbre tu fais du sport. Quand tu te bats avec ton frere tu fais du sport. Quand tu cours, parce que tu es en retard a l "ecole, tu fais du sport
1.1. ข้อมูลบางส่วนจาก combinatorics
1.1.1. ที่พัก
พิจารณาแนวคิดที่ง่ายที่สุดที่เกี่ยวข้องกับการเลือกและตำแหน่งของวัตถุบางชุด
การนับจำนวนวิธีในการดำเนินการเหล่านี้มักทำได้เมื่อแก้ปัญหาความน่าจะเป็น
คำนิยาม. ที่พักจาก นองค์ประกอบโดย k (k ≤น) เป็นสับเซตย่อยใดๆ ของ kองค์ประกอบของชุดประกอบด้วย นองค์ประกอบต่างๆ
ตัวอย่าง.ลำดับของตัวเลขต่อไปนี้เป็นการจัดเรียง 2 องค์ประกอบจาก 3 องค์ประกอบของเซต (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32
โปรดทราบว่าตำแหน่งจะแตกต่างกันไปตามลําดับองค์ประกอบและองค์ประกอบ ตำแหน่งที่ 12 และ 21 มีตัวเลขเหมือนกัน แต่ลำดับต่างกัน ดังนั้นตำแหน่งเหล่านี้จึงถือว่าแตกต่างกัน
จำนวนตำแหน่งที่แตกต่างจาก นองค์ประกอบโดย kแสดงและคำนวณโดยสูตร:
,
ที่ไหน น! = 1∙2∙...∙(น - 1)∙น(อ่าน " นแฟกทอเรียล)
จำนวนตัวเลขสองหลักที่ประกอบขึ้นจากหลัก 1, 2, 3 ได้ โดยต้องไม่ซ้ำกันคือ
1.1.2. พีชคณิต
คำนิยาม. พีชคณิตจาก นองค์ประกอบเรียกว่าตำแหน่งดังกล่าวจาก นองค์ประกอบที่แตกต่างกันเพียงในการจัดเรียงขององค์ประกอบ
จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนจาก นองค์ประกอบ พีนคำนวณโดยสูตร: พีน=น!
ตัวอย่าง. 5 คนสามารถเข้าแถวได้กี่วิธี? จำนวนวิธีเท่ากับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ 5 อย่าง นั่นคือ
พี 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
คำนิยาม. ถ้าในหมู่ นองค์ประกอบ kเหมือนกันแล้วการเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งเหล่านี้ นองค์ประกอบเรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยนที่มีการทำซ้ำ
ตัวอย่าง.สมมุติว่าใน 6 เล่ม 2 เล่มเดียวกัน การจัดเรียงหนังสือทั้งหมดบนหิ้งเป็นการเรียงสับเปลี่ยนซ้ำซ้อน
จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่มีการซ้ำซ้อน (จาก นองค์ประกอบ ซึ่ง kเหมือนกัน) คำนวณโดยสูตร: .
ในตัวอย่างของเรา จำนวนวิธีในการจัดเรียงหนังสือบนชั้นวางคือ:
1.1.3. ชุดค่าผสม
คำนิยาม. ชุดค่าผสมจาก นองค์ประกอบโดย kตำแหน่งดังกล่าวเรียกว่า นองค์ประกอบโดย kซึ่งแตกต่างจากกันอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ
จำนวนชุดค่าผสมต่างๆของ นองค์ประกอบโดย kแสดงและคำนวณโดยสูตร: .
ตามคำจำกัดความ 0!=1
ชุดค่าผสมมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1.
2.
3.
4.
ตัวอย่าง.มี 5 ดอกหลากสี สำหรับช่อดอกไม้จะเลือก 3 ดอก จำนวนช่อดอกไม้ที่แตกต่างกัน 3 ดอกจาก 5 ดอก ได้แก่ .
1.2. เหตุการณ์สุ่ม
1.2.1. พัฒนาการ
ความรู้ความเป็นจริงใน วิทยาศาสตร์ธรรมชาติเกิดขึ้นจากการทดสอบ (การทดลอง การสังเกต ประสบการณ์)
ทดสอบ
หรือประสบการณ์คือการดำเนินการตามเงื่อนไขเฉพาะบางอย่างที่สามารถทำซ้ำได้เป็นจำนวนมากโดยพลการ
สุ่ม
เรียกว่าเหตุการณ์ที่อาจหรืออาจจะไม่เกิดขึ้นจากการทดสอบบางอย่าง (ประสบการณ์)
ดังนั้นเหตุการณ์นี้จึงถือเป็นผลการทดสอบ
ตัวอย่าง.การโยนเหรียญคือการทดสอบ การปรากฏตัวของนกอินทรีเมื่อถูกโยนเป็นเหตุการณ์
เหตุการณ์ที่เราสังเกตเห็นแตกต่างกันไปตามระดับของความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นและในธรรมชาติของความสัมพันธ์
งานนี้มีชื่อว่า แท้จริง
ถ้าแน่ใจว่าเกิดขึ้นจากการทดสอบ
ตัวอย่าง.นักเรียนที่ได้รับคะแนนบวกหรือลบในการสอบเป็นเหตุการณ์บางอย่างหากการสอบดำเนินไปตามกฎปกติ
งานนี้มีชื่อว่า เป็นไปไม่ได้
หากไม่สามารถเกิดขึ้นได้จากการทดสอบนี้
ตัวอย่าง.การแยกลูกบอลสีขาวออกจากโกศที่มีลูกบอลสีเท่านั้น (ไม่ใช่สีขาว) เป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ โปรดทราบว่าภายใต้เงื่อนไขอื่นๆ ของการทดลอง จะไม่ยกเว้นลักษณะที่ปรากฏของลูกบอลสีขาว ดังนั้นเหตุการณ์นี้จึงเป็นไปไม่ได้ในเงื่อนไขของประสบการณ์ของเราเท่านั้น
นอกจากนี้ เหตุการณ์สุ่มจะแสดงด้วยภาษาละติน . ขนาดใหญ่ ตัวอักษร A,B,C... เหตุการณ์ที่แน่นอนจะแสดงด้วยตัวอักษร Ω เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้โดย Ø
สองเหตุการณ์ขึ้นไปเรียกว่า เป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน
ในการทดสอบที่กำหนด หากมีเหตุผลที่เชื่อได้ว่าไม่มีเหตุการณ์ใดที่มีโอกาสเกิดขึ้นมากกว่าหรือน้อยกว่าเหตุการณ์อื่นๆ
ตัวอย่าง.ด้วยการโยนลูกเต๋าหนึ่งครั้ง การปรากฏตัวของ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 แต้มเป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกัน สันนิษฐานว่าแม่พิมพ์ทำจากวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกันและมีรูปร่างปกติ
ทั้งสองเหตุการณ์เรียกว่า เข้ากันไม่ได้
ในการพิจารณาคดีที่กำหนด ถ้าการเกิดขึ้นของหนึ่งในนั้น ไม่รวมการเกิดขึ้นของอีกกรณีหนึ่ง และ ข้อต่อ
มิฉะนั้น.
ตัวอย่าง.กล่องประกอบด้วยชิ้นส่วนมาตรฐานและไม่ได้มาตรฐาน ลองมาดูรายละเอียดกัน การปรากฏตัวของชิ้นส่วนมาตรฐานไม่รวมรูปลักษณ์ของชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐาน เหตุการณ์เหล่านี้เข้ากันไม่ได้
หลายเหตุการณ์รูปแบบ งานเต็มกลุ่ม
ในการทดสอบนี้ หากเป็นผลมาจากการทดสอบนี้ อย่างน้อยต้องมีหนึ่งในการทดสอบนี้เกิดขึ้น
ตัวอย่าง.เหตุการณ์จากตัวอย่างสร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ที่เท่าเทียมกันและเป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน
เหตุการณ์ที่ไม่ปะติดปะต่อกันสองเหตุการณ์ที่สร้างกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ในการทดลองที่กำหนดเรียกว่า เหตุการณ์ตรงกันข้าม.
หากหนึ่งในนั้นเขียนแทนด้วย อาแล้วอีกอันมักจะเขียนแทนด้วย (อ่านว่า “ไม่ อา»).
ตัวอย่าง.การตีและหายไปด้วยการยิงครั้งเดียวที่เป้าหมายเป็นเหตุการณ์ที่ตรงกันข้าม
1.2.2. ความหมายคลาสสิกของความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
เป็นการวัดเชิงตัวเลขของความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้น
เหตุการณ์ แต่เรียกว่า ดี
เหตุการณ์ ที่หากเกิดเหตุการณ์ใดขึ้น แต่, เหตุการณ์เกิดขึ้น ที่.
พัฒนาการ แต่ 1 , แต่ 2 , ..., แต่นรูปร่าง แผนภูมิกรณี
, ถ้าพวกเขา:
1) เป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน
2) เข้ากันไม่ได้แบบคู่;
3) สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์
ในรูปแบบของกรณี (และเฉพาะในรูปแบบนี้) คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นเกิดขึ้น พี(อา) พัฒนาการ แต่. ในที่นี้ แต่ละเหตุการณ์ที่อยู่ในกลุ่มที่สมบูรณ์ที่เลือกของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้และเป็นคู่ที่เป็นไปได้เท่ากันจะเรียกว่าเคส
ถ้า นคือจำนวนทุกกรณีในโครงการ และ ม- จำนวนคดีที่เอื้ออำนวยต่องาน แต่, แล้ว ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
แต่ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน:
คุณสมบัติต่อไปนี้ตามมาจากคำจำกัดความของความน่าจะเป็น:
1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งเท่ากับหนึ่ง
แท้จริงแล้ว หากเหตุการณ์ใดเกิดขึ้นแน่นอน ทุกสิ่งที่เกิดขึ้นในแผนของเหตุการณ์นั้นย่อมเป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์นั้น ในกรณีนี้ ม = นและด้วยเหตุนี้ 
2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์
อันที่จริงแล้ว หากเหตุการณ์นั้นเป็นไปไม่ได้ ก็ไม่มีคดีใดจากแผนของคดีใดที่เอื้ออำนวยต่อเหตุการณ์นั้น นั่นเป็นเหตุผลที่ ม=0 และดังนั้น 
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มคือจำนวนบวกระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง
อันที่จริง เหตุการณ์สุ่มได้รับการสนับสนุนเพียงเศษเสี้ยวของจำนวนคดีทั้งหมดในรูปแบบของคดี ดังนั้น 0<ม<นซึ่งหมายความว่า 0<ม/น<1 и, следовательно, 0 < พี(เอ) < 1.
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ ก็เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน
0 ≤ พี(ก) ≤ 1.
ปัจจุบัน คุณสมบัติของความน่าจะเป็นถูกกำหนดไว้ในรูปแบบของสัจพจน์ที่กำหนดโดย A.N. โคลโมโกรอฟ
ข้อดีหลักประการหนึ่งของคำจำกัดความความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกคือความสามารถในการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยตรง กล่าวคือ โดยไม่ต้องอาศัยการทดลองซึ่งถูกแทนที่ด้วยการใช้เหตุผลเชิงตรรกะ
ปัญหาการคำนวณความน่าจะเป็นโดยตรง
งาน 1.1. ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มเป็นจำนวนคู่ (เหตุการณ์ A) ในลูกเต๋าหนึ่งม้วนเป็นเท่าใด
วิธีการแก้. พิจารณาเหตุการณ์ แต่ผม- ลาออก ผมคะแนน, ผม= 1, 2, …, 6 เห็นได้ชัดว่าเหตุการณ์เหล่านี้เป็นรูปแบบของคดี แล้วจำนวนคดีทั้งหมด น= 6. กรณีที่ชื่นชอบจำนวนคู่ของคะแนน แต่ 2 , แต่ 4 , แต่ 6 คือ ม= 3. แล้ว 
.
งาน 1.2. โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 5 ลูกและลูกบอลสีดำ 10 ลูก ผสมลูกบอลให้ละเอียดแล้วสุ่มหยิบออกมา 1 ลูก ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลถูกดึงออกมาเป็นสีขาวเป็นเท่าไหร่?
วิธีการแก้. มีทั้งหมด 15 คดี ซึ่งเป็นรูปแบบของคดี และเหตุการณ์ที่คาดไว้ แต่- การปรากฏตัวของลูกบอลสีขาวเป็นที่ชื่นชอบโดย 5 คนดังนั้น 
.
งาน 1.3. เด็กเล่นกับตัวอักษรหกตัว: A, A, E, K, P, T ค้นหาความน่าจะเป็นที่เขาสุ่มเพิ่มคำว่า CARRIAGE (เหตุการณ์ A)
วิธีการแก้. การตัดสินใจมีความซับซ้อนโดยข้อเท็จจริงที่ว่าในตัวอักษรมีตัวอักษรเดียวกัน - สองตัว "A" ดังนั้น จำนวนกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการทดลองนี้จึงเท่ากับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่มีการซ้ำกัน 6 ตัวอักษร:
.
กรณีเหล่านี้เป็นไปได้เท่าเทียมกัน ไม่เข้ากันเป็นคู่ และสร้างกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ กล่าวคือ สร้างแผนภาพกรณี โอกาสเดียวเท่านั้นที่เอื้ออำนวยต่องาน แต่. นั่นเป็นเหตุผลที่
.
งาน 1.4. Tanya และ Vanya ตกลงที่จะเฉลิมฉลองปีใหม่ในบริษัทที่มีผู้เข้าร่วม 10 คน ทั้งสองอยากนั่งใกล้กันจริงๆ ความน่าจะเป็นที่ความปรารถนาของพวกเขาจะเป็นจริงเป็นเท่าใดหากเป็นธรรมเนียมที่จะต้องแจกจ่ายสถานที่ในหมู่เพื่อนของพวกเขาด้วยการจับฉลาก
วิธีการแก้. แสดงโดย แต่เหตุการณ์ "เติมเต็มความปรารถนาของทันย่าและวันยา" 10 คนนั่งโต๊ะ 10 คนได้! วิธีทางที่แตกต่าง. กี่ตัวก็ได้ น= 10! วิธีที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันสำหรับ Tanya และ Vanya? Tanya และ Vanya นั่งเคียงข้างกันสามารถรับได้ 20 ตำแหน่ง ในขณะเดียวกันเพื่อนของพวกเขาแปดคนสามารถนั่งที่โต๊ะ 8! วิธีต่างๆ ดังนั้น ม= 20∙8!. เพราะเหตุนี้, 
.
งาน 1.5. กลุ่มผู้หญิง 5 คนและผู้ชาย 20 คนเลือกตัวแทนสามคน สมมติว่าของขวัญแต่ละชิ้นมีโอกาสเลือกเท่ากัน ให้หาความน่าจะเป็นที่จะเลือกผู้หญิงสองคนและผู้ชายหนึ่งคน
วิธีการแก้. จำนวนรวมของผลลัพธ์ที่มีแนวโน้มเท่ากันของการทดสอบเท่ากับจำนวนวิธีที่สามารถเลือกผู้แทนสามคนจาก 25 คน กล่าวคือ . ให้เราคำนวณจำนวนกรณีที่ดีเช่น จำนวนครั้งที่เกิดเหตุการณ์ที่น่าสนใจ ตัวแทนชายสามารถเลือกได้ยี่สิบวิธี ในเวลาเดียวกัน ตัวแทนที่เหลืออีกสองคนจะต้องเป็นผู้หญิง และคุณสามารถเลือกผู้หญิงสองคนจากห้าคนได้ เพราะเหตุนี้, . นั่นเป็นเหตุผลที่
.
ปัญหา 1.6สี่ลูกจะสุ่มกระจายไปทั่วสี่หลุม โดยแต่ละลูกจะตกหลุมหนึ่งหรืออีกหลุมหนึ่งโดยมีความน่าจะเป็นเท่ากันและเป็นอิสระจากลูกอื่นๆ (ไม่มีอุปสรรคในการรับลูกบอลหลายลูกลงในหลุมเดียวกัน) ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะมีลูกบอลสามลูกในหลุมหนึ่ง หนึ่ง - ในอีกสองหลุม และไม่มีลูกบอลในอีกสองหลุม
วิธีการแก้. จำนวนคดีทั้งหมด น=4 4 . จำนวนวิธีเลือกหนึ่งหลุม โดยจะมีสามลูก . จำนวนวิธีที่คุณสามารถเลือกหลุมที่จะมีหนึ่งลูก, . จำนวนวิธีที่คุณสามารถเลือกสามลูกจากสี่ลูกเพื่อวางลงในหลุมแรก . จำนวนคดีอันเป็นมงคลทั้งหมด ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์: 
ปัญหา 1.7ในกล่องมีลูกบอลที่เหมือนกัน 10 ลูก โดยมีหมายเลข 1, 2, ..., 10 สุ่มจับลูกบอลหกลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในบรรดาลูกบอลที่สกัดออกมาจะมี: ก) ลูกหมายเลข 1; b) ลูก # 1 และ # 2
วิธีการแก้. ก) จำนวนรวมของผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้ของการทดสอบเท่ากับจำนวนวิธีที่สามารถดึงลูกบอลหกลูกออกจากสิบ นั่นคือ
มาดูจำนวนผลลัพธ์ที่เหมาะกับเหตุการณ์ที่เราสนใจกัน: ในบรรดาหกลูกที่เลือกไว้มีลูกบอลหมายเลข 1 และด้วยเหตุนี้ ลูกบอลห้าลูกที่เหลือจึงมีตัวเลขต่างกัน จำนวนผลลัพธ์ดังกล่าวจะเท่ากับจำนวนวิธีที่สามารถเลือกบอลได้ห้าลูกจากอีกเก้าลูกที่เหลือ กล่าวคือ
ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่เอื้อต่อเหตุการณ์ที่พิจารณากับจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมด:
ข) จำนวนผลลัพธ์ที่เอื้ออำนวยต่อเหตุการณ์ที่เราสนใจ (ในบรรดาลูกบอลที่เลือกมีลูกบอลหมายเลข 1 และหมายเลข 2 ดังนั้นสี่ลูกจึงมีตัวเลขต่างกัน) เท่ากับจำนวนวิธีที่จะได้ลูกบอลสี่ลูก สกัดจากแปดที่เหลือคือ ความน่าจะเป็นที่ต้องการ 
1.2.3. ความน่าจะเป็นทางสถิติ
คำจำกัดความทางสถิติของความน่าจะเป็นจะใช้เมื่อผลลัพธ์ของการทดสอบมีความเป็นไปได้ไม่เท่ากัน
ความถี่เหตุการณ์สัมพัทธ์
แต่ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน:
,
ที่ไหน มคือจำนวนการทดลองที่เหตุการณ์ แต่มาแล้วจ้า นคือจำนวนการทดสอบทั้งหมดที่ทำ
J. Bernoulli พิสูจน์ว่าด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัด ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์จะแตกต่างไปจากจำนวนคงที่โดยพลการตามอำเภอใจ ปรากฎว่าจำนวนคงที่นี้คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ดังนั้น ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ที่มีการทดลองจำนวนมากเพียงพอจึงเรียกว่าความน่าจะเป็นทางสถิติ ตรงกันข้ามกับความน่าจะเป็นที่นำมาใช้ก่อนหน้านี้
ตัวอย่าง 1.8. คุณจะประมาณจำนวนปลาในทะเลสาบได้อย่างไร?
ปล่อยในทะเลสาบ Xปลา. เราโยนเครือข่ายและสมมติว่าเราพบในนั้น นปลา. เราทำเครื่องหมายแต่ละอันแล้วปล่อยกลับ สองสามวันต่อมา ในสภาพอากาศเดียวกันและในที่เดียวกัน เราก็โยนตาข่ายเดียวกัน สมมติว่าเราพบปลาอยู่ในนั้น kติดฉลาก ให้เหตุการณ์ แต่- "ปลาที่จับได้มีป้าย" แล้วโดยนิยามความถี่สัมพัทธ์
แต่ถ้าอยู่ในทะเลสาบ Xปลาเราก็ปล่อย นติดป้ายแล้ว.
เพราะ R * (แต่) » R(แต่), แล้ว .
1.2.4. การดำเนินการเกี่ยวกับเหตุการณ์ ทฤษฎีบทเพิ่มเติม
ผลรวมหรือการรวมกันของหลายเหตุการณ์เป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์เหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ (ในการทดสอบเดียวกัน)
ซำ แต่ 1 + แต่ 2 + … + แต่นแสดงเช่นนี้: 
หรือ 
.
ตัวอย่าง. ลูกเต๋าสองลูกถูกโยน ให้เหตุการณ์ แต่ประกอบด้วยการทอย 4 แต้ม ต่อ 1 ลูกเต๋า และเหตุการณ์ ที่- ในการทอย 5 แต้มบนลูกเต๋าอื่น พัฒนาการ แต่และ ที่ข้อต่อ ดังนั้นเหตุการณ์ แต่ +ที่ประกอบด้วยการทอย 4 แต้มในการดายแรก หรือ 5 แต้มในการดายครั้งที่สอง หรือ 4 แต้มในการไดัครั้งแรก และ 5 แต้มในการไดัครั้งที่สอง
ตัวอย่าง.เหตุการณ์ แต่– ชนะ 1 เงินกู้เหตุการณ์ ที่- ชนะ 2 สินเชื่อ แล้วเหตุการณ์ A+B- ชนะอย่างน้อยหนึ่งเงินกู้ (อาจสองครั้งในครั้งเดียว)
งานหรือจุดตัดของหลายเหตุการณ์เป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยการเกิดขึ้นร่วมกันของเหตุการณ์ทั้งหมดนี้ (ในการทดสอบเดียวกัน)
ทำงาน ที่เหตุการณ์ แต่ 1 , แต่ 2 , …, แต่นแสดงเช่นนี้:
.
ตัวอย่าง.พัฒนาการ แต่และ ที่ประกอบด้วยความสำเร็จในการผ่านรอบ I และ II ตามลำดับ เมื่อเข้าศึกษาในสถาบัน แล้วเหตุการณ์ แต่×Bประกอบด้วยความสำเร็จของทั้งสองรอบ
แนวคิดของผลรวมและผลิตภัณฑ์ของเหตุการณ์มีการตีความทางเรขาคณิตที่ชัดเจน ให้เหตุการณ์ แต่มีการตีจุดในพื้นที่ แต่และเหตุการณ์ ที่- ตีจุดในพื้นที่ ที่. แล้วเหตุการณ์ A+Bมีการกระทบจุดในสหภาพของพื้นที่เหล่านี้ (รูปที่ 2.1) และเหตุการณ์ แต่ที่มีจุดตัดที่จุดตัดของพื้นที่เหล่านี้ (รูปที่ 2.2)
ข้าว. 2.1 รูปที่ 2.2
ทฤษฎีบท. ถ้าเหตุการณ์ ฉัน(ผม = 1, 2, …, น) เข้ากันไม่ได้แบบคู่ ดังนั้นความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้: 
.
อนุญาต แต่และ Ā
– เหตุการณ์ที่ตรงกันข้าม กล่าวคือ A + a= Ω โดยที่ Ω เป็นเหตุการณ์หนึ่ง จากทฤษฎีบทการบวก จะได้ว่า
P(Ω) = R(แต่) + R(Ā
) = 1 ดังนั้น
R(Ā
) = 1 – R(แต่).
ถ้าเหตุการณ์ แต่ 1 และ แต่ 2 เป็นข้อต่อ ดังนั้นความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ร่วมสองเหตุการณ์จะเท่ากับ:
R(แต่ 1 + แต่ 2) = R(แต่ 1) + R(แต่ 2) – พี( แต่ 1× แต่ 2).
ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็นทำให้สามารถเปลี่ยนจากการคำนวณความน่าจะเป็นโดยตรงไปสู่การพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ซับซ้อน
งาน 1.8. มือปืนยิงหนึ่งนัดไปที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นในการเคาะออก 10 คะแนน (เหตุการณ์ แต่), 9 คะแนน (เหตุการณ์ ที่) และ 8 คะแนน (เหตุการณ์ จาก) เท่ากับ 0.11 ตามลำดับ; 0.23; 0.17. จงหาความน่าจะเป็นที่การยิงนัดเดียวผู้ยิงได้คะแนนน้อยกว่า 8 คะแนน (เหตุการณ์ ดี).
วิธีการแก้. มาต่อกันที่เหตุการณ์ตรงกันข้าม - ยิงนัดเดียวคนยิงจะน็อคอย่างน้อย 8 แต้ม เหตุการณ์จะเกิดขึ้นถ้า แต่หรือ ที่, หรือ จาก, เช่น. . ตั้งแต่เกิดเหตุการณ์ A, B, จากเป็นคู่ที่ไม่สอดคล้องกัน ดังนั้นโดยทฤษฎีบทการบวก
, ที่ไหน .
งาน 1.9. จากทีมงานของกองพลน้อยซึ่งประกอบด้วยชาย 6 คนและหญิง 4 คน ได้รับคัดเลือกให้เข้าร่วมการประชุมสหภาพแรงงาน 2 คน ความน่าจะเป็นที่ผู้หญิงอย่างน้อยหนึ่งคนในกลุ่มคนที่ถูกเลือกเป็นเท่าใด (เหตุการณ์ แต่).
วิธีการแก้. หากมีเหตุการณ์เกิดขึ้น แต่เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ต่อไปนี้จะเกิดขึ้นอย่างใดอย่างหนึ่ง: ที่- "ชายและหญิงได้รับเลือก"; จาก“ผู้หญิงสองคนถูกเลือกแล้ว” ดังนั้น เราสามารถเขียนได้ว่า A=B+C. หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ที่และ จาก. สามารถเลือกคนสองคนใน 10 คนได้หลายวิธี ผู้หญิงสองคนจาก 4 คนสามารถเลือกได้หลายวิธี ชายและหญิงสามารถเลือกได้ 6×4 วิธี แล้ว . ตั้งแต่เกิดเหตุการณ์ ที่และ จากไม่สอดคล้องกัน ดังนั้นโดยการเพิ่มทฤษฎีบท
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
ปัญหา 1.10.มีหนังสือเรียน 15 เล่มที่จัดเรียงแบบสุ่มบนหิ้งในห้องสมุด โดยห้าเล่มถูกผูกไว้ บรรณารักษ์สุ่มหยิบตำราสามเล่ม จงหาความน่าจะเป็นที่จะผูกตำราเรียนอย่างน้อยหนึ่งเล่ม (เหตุการณ์ แต่).
วิธีการแก้. วิธีแรก. ข้อกำหนด - อย่างน้อยหนึ่งในสามตำราที่ถูกผูกไว้ - จะถูกเติมเต็มหากเกิดเหตุการณ์ที่ไม่เข้ากันสามเหตุการณ์ต่อไปนี้: ที่- หนังสือเรียนแบบผูกมัด 1 เล่ม จาก- ตำราสองเล่มที่ถูกผูกไว้ ดี- ตำราสามเล่มที่ถูกผูกไว้
งานอีเวนท์ที่เราสนใจ แต่สามารถแสดงเป็นผลรวมของเหตุการณ์: A=B+C+D. โดยทฤษฎีบทบวก
P(A) = P(B) + P(C) + P(D) (2.1)
หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B, Cและ ดี(ดูรูปแบบการรวม): 
แสดงถึงความน่าจะเป็นเหล่านี้ในความเท่าเทียมกัน (2.1) ในที่สุดเราก็ได้
พี(เอ)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
วิธีที่สอง เหตุการณ์ แต่(อย่างน้อยหนึ่งในสามตำราที่นำมามีผลผูกพัน) และ Ā
(ไม่มีตำราใดที่มีผลผูกพัน) จึงตรงกันข้าม พี(เอ) + พี(Ā .)) = 1 (ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้ามสองเหตุการณ์เท่ากับ 1) จากที่นี่ พี(อา) = 1 – ป(ก).ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น Ā
(ไม่มีการผูกตำราเรียนใด ๆ )
ความน่าจะเป็นที่ต้องการ
พี(อา) = 1 – พี(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.
1.2.5. ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข พี(บี/แต่) คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B ซึ่งคำนวณจากการสันนิษฐานว่าเหตุการณ์ A ได้เกิดขึ้นแล้ว
ทฤษฎีบท. ความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นร่วมกันของสองเหตุการณ์นั้นเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของหนึ่งในนั้นโดยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่ง ซึ่งคำนวณจากการสันนิษฐานว่าเหตุการณ์แรกได้เกิดขึ้นแล้ว:
พี(อา∙B) = P(A)∙P( ที่/แต่). (2.2)
เหตุการณ์สองเหตุการณ์เรียกว่าเป็นอิสระหากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์อื่นเช่น
P(A) = P(A/B) หรือ พี(บี) = พี(บี/แต่). (2.3)
ถ้าเหตุการณ์ แต่และ ที่เป็นอิสระ จากนั้นสูตร (2.2) และ (2.3) หมายความว่า
พี(อา∙B) = P(A)∙พี(บี). (2.4)
ข้อความสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ หากความเท่าเทียมกัน (2.4) เกิดขึ้นสองเหตุการณ์ เหตุการณ์เหล่านี้จะเป็นอิสระ แน่นอน สูตร (2.4) และ (2.2) หมายถึง
พี(อา∙B) = P(A)∙พี(บี) = พี(อา) × พี(บี/แต่), ที่ไหน พี(อา) = พี(บี/แต่).
สูตร (2.2) สามารถสรุปได้ในกรณีของเหตุการณ์จำนวน จำกัด แต่ 1 , แต่ 2 ,…,หนึ่ง:
พี(อา 1 ∙แต่ 2 ∙…∙หนึ่ง)=พี(อา 1)∙พี(อา 2 /แต่ 1)∙พี(อา 3 /แต่ 1 แต่ 2)∙…∙กระทะ/แต่ 1 แต่ 2 …หนึ่ง -1).
งาน 1.11. จากโกศที่บรรจุลูกบอลสีขาว 5 ลูกและสีดำ 10 ลูก ให้จับสลากสองลูกติดต่อกัน หาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสองเป็นสีขาว (เหตุการณ์ แต่).
วิธีการแก้. พิจารณาเหตุการณ์: ที่- ลูกบอลแรกที่ดึงออกมาเป็นสีขาว จาก– ลูกบอลที่สุ่มจับลูกที่สองเป็นสีขาว แล้ว A = BC.
ประสบการณ์สามารถทำได้สองวิธี:
1) ด้วยการคืน: หลังจากกำหนดสีแล้วลูกบอลที่ดึงออกมาจะถูกส่งกลับไปยังโกศ ในกรณีนี้ เหตุการณ์ ที่และ จากเป็นอิสระ:
P(A) = P(B .))∙พี(ค) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) ไม่มีการเปลี่ยน: วางลูกบอลที่ดึงออกมา ในกรณีนี้ เหตุการณ์ ที่และ จากขึ้นอยู่กับ:
P(A) = P(B .))∙พี(ค/ที่).
สำหรับงานอีเว้นท์ ที่เงื่อนไขเหมือนกันและสำหรับ จากสถานการณ์มีการเปลี่ยนแปลง เกิดขึ้น ที่จึงมีลูกบอลเหลืออยู่ 14 ลูกในโกศ โดย 4 ลูกเป็นสีขาว
ดังนั้น, .
งาน 1.12. ในบรรดาหลอดไฟ 50 ดวง มี 3 หลอดที่ไม่ได้มาตรฐาน ค้นหาความน่าจะเป็นที่หลอดไฟสองหลอดถ่ายพร้อมกันไม่ได้มาตรฐาน
วิธีการแก้. พิจารณาเหตุการณ์: แต่- หลอดแรกไม่ได้มาตรฐาน ที่- หลอดไฟที่สองไม่ได้มาตรฐาน จาก- หลอดไฟทั้งสองไม่ได้มาตรฐาน เป็นที่ชัดเจนว่า C = A∙ที่. เหตุการณ์ แต่โปรดปราน 3 กรณีจาก 50 ที่เป็นไปได้เช่น พี(อา) = 3/50. ถ้าเหตุการณ์ แต่ได้เกิดขึ้นแล้ว เหตุการณ์ ที่ชอบสองกรณีจาก 49 ที่เป็นไปได้คือ พี(บี/แต่) = 2/49. เพราะเหตุนี้,
.
งาน 1.13. นักกีฬาสองคนยิงเป้าหมายเดียวกันอย่างอิสระ ความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายของนักกีฬาคนแรกคือ 0.7 และคนที่สองคือ 0.8 ความน่าจะเป็นที่เป้าหมายจะถูกโจมตีคืออะไร?
วิธีการแก้. เป้าหมายจะถูกโจมตีหากผู้ยิงคนแรกหรือคนที่สอง หรือทั้งคู่ตี นั่นคือ เหตุการณ์จะเกิดขึ้น A+B, ที่เหตุการณ์ แต่ประกอบด้วยการตีเป้าหมายโดยนักกีฬาคนแรกและเหตุการณ์ ที่- ที่สอง. แล้ว
พี(อา+ที่)=พี(อา)+พี(บี)–พี(อา∙ที่)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
ปัญหา 1.14มีหนังสือเรียนหกเล่มเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นในห้องอ่านหนังสือ ซึ่งสามเล่มถูกผูกไว้ บรรณารักษ์หยิบหนังสือเรียนสองเล่มโดยสุ่ม หาความน่าจะเป็นที่จะผูกหนังสือเรียนสองเล่ม
วิธีการแก้. มาแนะนำสัญกรณ์เหตุการณ์ : อา– ตำราเรียนเล่มแรกที่มีผลผูกพัน ที่- เล่มที่สองถูกผูกไว้ ความน่าจะเป็นที่ตำราเล่มแรกมีผลผูกพัน
พี(อา) = 3/6 = 1/2.
ความน่าจะเป็นที่หนังสือเรียนเล่มที่สองถูกผูกมัด เนื่องจากหนังสือเล่มแรกที่ถูกจับคือ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ ที่, นี่คือ: พี(บี/แต่) = 2/5.
ความน่าจะเป็นที่ต้องการที่ตำราทั้งสองเล่มมีผลผูกพันตามทฤษฎีบทการคูณสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์มีค่าเท่ากับ
พี(เอบี) = พี(อา) ∙ พี(บี/แต่)= 1/2 ∙ 2/5 = 0.2
ปัญหา 1.15ทางร้านมีพนักงานชาย 7 คน หญิง 3 คน สุ่มสามคนตามจำนวนบุคลากร หาความน่าจะเป็นที่ผู้ถูกเลือกทั้งหมดเป็นผู้ชาย
วิธีการแก้. มาแนะนำสัญกรณ์ของเหตุการณ์: อา- เลือกชายก่อน ที่- ชายคนที่สองที่ถูกเลือก จาก -ชายคนที่สามที่ถูกเลือก ความน่าจะเป็นที่ผู้ชายจะถูกเลือกก่อน พี(อา) = 7/10.
ความน่าจะเป็นที่ผู้ชายจะถูกเลือกเป็นอันดับสอง โดยมีเงื่อนไขว่าผู้ชายถูกเลือกไว้ก่อนแล้ว นั่นคือ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ ที่ต่อไป : ป(B/A) = 6/9 = 2/3.
ความน่าจะเป็นที่ผู้ชายจะถูกเลือกเป็นอันดับสาม โดยมีเงื่อนไขว่าเลือกชายสองคนแล้ว นั่นคือ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ จากเป็น: พี(ค/AB) = 5/8.
ความน่าจะเป็นที่ต้องการที่ผู้ถูกเลือกทั้งสามคนเป็นผู้ชาย P(ABC) = P(A .)) พี(บี/แต่) พี(ค/AB) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24
1.2.6. สูตรความน่าจะเป็นรวมและสูตรเบย์
อนุญาต บี 1 , บี 2 ,…, บีนเป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ (สมมติฐาน) และ แต่- เหตุการณ์ที่สามารถเกิดขึ้นได้ร่วมกับหนึ่งในนั้นเท่านั้น
แจ้งให้เราทราบด้วย Р(บี ไอ) และ พี(อา/บีไอ) (ผม = 1, 2, …, น).
ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ สูตรจะถูกต้อง: 
(2.5)
(2.6)
สูตร (2.5) เรียกว่า สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด
. มันคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่(ความน่าจะเป็นเต็ม)
สูตร (2.6) เรียกว่า สูตรเบย์
. ช่วยให้คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของสมมติฐานใหม่หากเหตุการณ์ แต่เกิดขึ้น.
เมื่อรวบรวมตัวอย่าง จะสะดวกที่จะพิจารณาว่าสมมติฐานนั้นเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์
งาน 1.16. ตะกร้าบรรจุแอปเปิ้ลจากต้นไม้สี่ต้นที่มีความหลากหลายเหมือนกัน จากอันแรก - 15% ของแอปเปิ้ลทั้งหมด จากอันที่สอง - 35% จากอันที่สาม - 20% จากอันที่สี่ - 30% แอปเปิ้ลสุกตามลำดับ 99%, 97%, 98%, 95%
ก) ความน่าจะเป็นที่แอปเปิลที่สุ่มเลือกจะสุกเป็นเท่าใด แต่).
b) หากผลแอปเปิลแบบสุ่มผลสุก ให้คำนวณความน่าจะเป็นที่จะมาจากต้นแรก
วิธีการแก้. ก) เรามี 4 สมมติฐาน:
B 1 - สุ่มแอปเปิ้ลที่สุ่มมาจากต้นไม้ต้นที่ 1
B 2 - สุ่มจับแอปเปิ้ลจากต้นที่ 2
B 3 - สุ่มจับแอปเปิ้ลจากต้นที่ 3
B 4 - สุ่มจับแอปเปิ้ลจากต้นที่ 4
ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไข: พี(บี 1) = 0,15; พี(บี 2) = 0,35; พี(บี 3) = 0,2; พี(บี 4) = 0,3.
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์แบบมีเงื่อนไข แต่:
พี(อา/บี 1) = 0,99; พี(อา/บี 2) = 0,97; พี(อา/บี 3) = 0,98; พี(อา/บี 4) = 0,95.
ความน่าจะเป็นที่แอปเปิ้ลที่ถูกสุ่มเลือกจะสุกหาได้จากสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด:
พี(อา)=พี(บี 1)∙พี(อา/บี 1)+พี(บี 2)∙พี(อา/บี 2)+พี(บี 3)∙พี(อา/บี 3)+พี(บี 4)∙พี(อา/บี 4)=0,969.
b) สูตร Bayes สำหรับกรณีของเรามีรูปแบบ: 
.
ปัญหา 1.17.โยนลูกบอลสีขาวลงในโกศที่มีลูกบอลสองลูก หลังจากนั้นจะสุ่มจับลูกบอลหนึ่งลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่สุ่มจับออกมาจะเป็นสีขาว หากสมมติฐานที่เป็นไปได้ทั้งหมดเกี่ยวกับองค์ประกอบเริ่มต้นของลูกบอล (ตามสี) เป็นไปได้เท่ากัน
วิธีการแก้. แสดงโดย แต่เหตุการณ์ - จับลูกบอลสีขาว สมมติฐานต่อไปนี้ (สมมติฐาน) เกี่ยวกับองค์ประกอบเริ่มต้นของลูกบอลเป็นไปได้: B1ไม่มีลูกบอลสีขาว ใน2- ลูกบอลสีขาวหนึ่งลูก AT3- สองลูกสีขาว
เนื่องจากมีสมมติฐานทั้งหมดสามข้อ และผลรวมของความน่าจะเป็นของสมมติฐานคือ 1 (เนื่องจากสร้างกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์) ความน่าจะเป็นของแต่ละสมมติฐานคือ 1/3 กล่าวคือ
พี(บี 1) = พี(บี 2)= P(B 3) = 1/3.
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่จะดึงลูกบอลสีขาว เนื่องจากไม่มีลูกบอลสีขาวในโกศในตอนแรก พี(อา/บี 1)=1/3. ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่จะดึงลูกบอลสีขาว โดยที่โกศเดิมมีลูกบอลสีขาวอยู่หนึ่งลูก พี(อา/บี 2)=2/3. ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่จะหยิบลูกบอลสีขาวขึ้นมา โดยที่โกศนั้นมีลูกบอลสีขาวอยู่สองลูก พี(อา/บี 3)=3/ 3=1.
ความน่าจะเป็นที่ต้องการที่จะดึงลูกบอลสีขาวนั้นพบได้จากสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด:
R(แต่)=พี(บี 1)∙พี(อา/บี 1)+พี(บี 2)∙พี(อา/บี 2)+พี(บี 3)∙พี(อา/บี 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
งาน 1.18. เครื่องจักรสองเครื่องผลิตชิ้นส่วนเดียวกันที่ป้อนเข้ากับสายพานลำเลียงทั่วไป ประสิทธิภาพของเครื่องแรกเป็นสองเท่าของวินาที เครื่องแรกผลิตชิ้นส่วนที่มีคุณภาพดีเยี่ยมโดยเฉลี่ย 60% และเครื่องที่สอง - 84% ชิ้นส่วนที่สุ่มจากสายการประกอบกลับกลายเป็นว่ามีคุณภาพดีเยี่ยม จงหาความน่าจะเป็นที่สินค้าชิ้นนี้ถูกผลิตโดยเครื่องแรก
วิธีการแก้. แสดงโดย แต่งานนี้เป็นสินค้าคุณภาพเยี่ยม สามารถตั้งสมมติฐานได้สองแบบ: B1- ชิ้นส่วนผลิตโดยเครื่องแรกและ (เนื่องจากเครื่องแรกผลิตชิ้นส่วนได้มากเป็นสองเท่าของชิ้นส่วนที่สอง) พี(อา/บี 1) = 2/3; บี 2 - ชิ้นส่วนถูกผลิตโดยเครื่องที่สองและ พี(บี 2) = 1/3.
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่ชิ้นส่วนจะมีคุณภาพดีเยี่ยมหากผลิตโดยเครื่องแรก พี(อา/บี 1)=0,6.
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่ชิ้นส่วนจะมีคุณภาพดีเยี่ยมหากผลิตโดยเครื่องที่สอง พี(อา/บี 1)=0,84.
ความน่าจะเป็นที่ส่วนที่สุ่มเลือกจะมีคุณภาพดีตามสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด เท่ากับ
พี(อา)=พี(บี 1) ∙พี(อา/บี 1)+พี(บี 2) ∙พี(อา/บี 2)=2/3 0.6+1/3 0.84 = 0.68
ความน่าจะเป็นที่ต้องการที่ชิ้นส่วนที่ยอดเยี่ยมถูกผลิตขึ้นโดยหุ่นยนต์ตัวแรกตามสูตรเบย์จะเท่ากับ
งาน 1.19. มีสามชุด ชุดละ 20 ส่วน จำนวนชิ้นส่วนมาตรฐานในชุดแรก ชุดที่สอง และชุดที่สามคือ 20, 15 และ 10 ตามลำดับ ส่วนที่กลายเป็นมาตรฐานได้รับการสุ่มแยกจากชุดที่เลือก ชิ้นส่วนจะถูกส่งกลับไปยังแบทช์และชิ้นส่วนจะถูกสุ่มออกจากแบทช์เดียวกันเป็นครั้งที่สอง ซึ่งกลายเป็นมาตรฐานเช่นกัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนต่างๆ ถูกนำมาจากชุดที่สาม
วิธีการแก้. แสดงโดย แต่เหตุการณ์ - ในการทดสอบแต่ละครั้ง (พร้อมผลตอบแทน) จะมีการดึงส่วนมาตรฐาน สามารถตั้งสมมติฐานได้สามข้อ: บี 1 - ชิ้นส่วนจะถูกลบออกจากชุดแรก ที่ 2
– ชิ้นส่วนนำมาจากชุดที่สอง ที่ 3 - ชิ้นส่วนจะถูกลบออกจากชุดที่สาม
รายละเอียดถูกนำมาแบบสุ่มจากชุดที่ถ่าย ดังนั้นความน่าจะเป็นของสมมติฐานจึงเหมือนกัน: พี(บี 1) = พี(บี 2) = พี(บี 3) = 1/3.
หาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข พี(อา/บี 1) กล่าวคือ ความน่าจะเป็นที่จะดึงชิ้นส่วนมาตรฐานสองส่วนติดต่อกันจากชุดแรก เหตุการณ์นี้มีความน่าเชื่อถือเพราะ ในชุดแรกทุกชิ้นเป็นมาตรฐานดังนั้น พี(อา/บี 1) = 1.
หาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข พี(อา/บี 2) กล่าวคือ ความน่าจะเป็นที่ส่วนมาตรฐานสองส่วนจะถูกแยกตามลำดับ (พร้อมส่งคืน) จากชุดที่สอง: พี(อา/บี 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
หาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข พี(อา/บี 3) กล่าวคือ ความน่าจะเป็นที่ส่วนมาตรฐานสองส่วนจะถูกลบออก (พร้อมส่งคืน) จากชุดที่สามอย่างต่อเนื่อง: พี(อา/บี 3) = 10/20 10/20 = 1/4
ความน่าจะเป็นที่ต้องการที่ส่วนมาตรฐานที่แยกออกมาทั้งสองส่วนนั้นนำมาจากชุดที่สาม ตามสูตรเบย์ เท่ากับ 
1.2.7. สอบใหม่
หากมีการทดสอบหลายครั้ง และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่ในการทดลองแต่ละครั้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการทดลองอื่น ๆ ดังนั้นการทดลองดังกล่าวจึงเรียกว่า เป็นอิสระเกี่ยวกับเหตุการณ์ A.ในการพิจารณาคดีอิสระต่างๆ เหตุการณ์ แต่อาจมีความน่าจะเป็นต่างกันหรือความน่าจะเป็นเท่ากัน เราจะพิจารณาเพิ่มเติมเฉพาะการทดลองอิสระดังกล่าวซึ่งเหตุการณ์ แต่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน
ปล่อยให้มันผลิต พีการพิจารณาคดีอย่างอิสระ ซึ่งแต่ละเหตุการณ์มีเหตุการณ์ แต่อาจปรากฏหรือไม่ปรากฏก็ได้ สมมุติว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่ในการทดสอบแต่ละครั้งจะเท่ากัน กล่าวคือ เท่ากับ ร.ดังนั้น ความน่าจะเป็นของการไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์ แต่ในการทดสอบแต่ละครั้งจะคงที่และเท่ากับ 1– ร.แบบแผนความน่าจะเป็นดังกล่าวเรียกว่า โครงการเบอร์นูลลี. ให้เรากำหนดหน้าที่ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่ พีทดลองงานเบอร์นูลลี แต่จะเป็นจริงอย่างแน่นอน kครั้งหนึ่ง ( k- จำนวนความสำเร็จ) และดังนั้นจึงไม่เป็นที่รู้จัก ป-ครั้งหนึ่ง. เน้นย้ำว่าไม่จำเป็นว่าเหตุการณ์ แต่ซ้ำแล้วซ้ำเล่า kครั้งในลำดับที่แน่นอน แสดงถึงความน่าจะเป็นที่ต้องการ R p (k).
ตัวอย่างเช่น สัญลักษณ์ R 5 (3) หมายถึง ความน่าจะเป็นที่ในการทดลองห้าครั้ง เหตุการณ์จะปรากฏขึ้น 3 ครั้งพอดี ดังนั้นจึงไม่เกิด 2 ครั้ง
ปัญหาสามารถแก้ไขได้โดยใช้สิ่งที่เรียกว่า สูตรเบอร์นูลลีซึ่งดูเหมือนว่า: 
.
ปัญหา 1.20.ความน่าจะเป็นที่การใช้ไฟฟ้าในหนึ่งวันจะไม่เกินบรรทัดฐานที่กำหนดไว้เท่ากับ R=0.75. จงหาความน่าจะเป็นที่ในอีก 6 วันข้างหน้า ปริมาณการใช้ไฟฟ้าเป็นเวลา 4 วันจะไม่เกินค่าปกติ
วิธีการแก้.ความน่าจะเป็นของการใช้ไฟฟ้าตามปกติในแต่ละ 6 วันจะคงที่และเท่ากับ R=0.75. ดังนั้นความน่าจะเป็นของการใช้ไฟฟ้าเกินทุกวันจึงคงที่และเท่ากับ q= 1–R=1–0,75=0,25.
ความน่าจะเป็นที่ต้องการตามสูตรเบอร์นูลลีเท่ากับ
.
งาน1.21. ผู้เล่นหมากรุกเท่ากันสองคนเล่นหมากรุก ข้อใดมีแนวโน้มมากกว่า: ที่จะชนะสองเกมจากสี่หรือสามเกมจากหกเกม (ไม่นับผลเสมอกัน)?
วิธีการแก้. ผู้เล่นหมากรุกเท่ากัน ดังนั้นโอกาสในการชนะ R= 1/2 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะแพ้ qก็เท่ากับ 1/2 เพราะ ในทุกเกมความน่าจะเป็นที่จะชนะจะคงที่และไม่สำคัญว่าจะชนะเกมในลำดับใด จากนั้นใช้สูตรเบอร์นูลลี
ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะชนะสองเกมจากสี่เกม:
ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะชนะสามในหกเกม:
เพราะ พี 4 (2) > พี 6 (3) มีแนวโน้มที่จะชนะสองเกมจากสี่เกมมากกว่าสามในหกเกม
อย่างไรก็ตาม จะเห็นว่าการใช้สูตรเบอร์นูลลีสำหรับค่าขนาดใหญ่ นมันค่อนข้างยากเนื่องจากสูตรต้องการประสิทธิภาพของการดำเนินการเป็นจำนวนมากและข้อผิดพลาดจึงสะสมในกระบวนการคำนวณ ส่งผลให้ผลลัพธ์สุดท้ายอาจแตกต่างไปจากจริงอย่างมาก
ในการแก้ปัญหานี้ มีทฤษฎีบทจำกัดจำนวนหนึ่งที่ใช้สำหรับกรณีที่มีการทดลองจำนวนมาก
1. ทฤษฎีบทปัวซอง
เมื่อทำการทดสอบจำนวนมากตามโครงการ Bernoulli (ด้วย น=> ∞) และมีผลดีจำนวนเล็กน้อย k(สมมติว่าความน่าจะเป็นของความสำเร็จ พีเล็ก) สูตรเบอร์นูลลีเข้าใกล้สูตรปัวซอง 
.
ตัวอย่าง 1.22ความน่าจะเป็นของการแต่งงานในการผลิตหน่วยการผลิตโดยองค์กรเท่ากับ พี=0.001. ความน่าจะเป็นที่ในการผลิตผลิตภัณฑ์ 5,000 หน่วยจะมีข้อบกพร่องน้อยกว่า 4 รายการเป็นเท่าใด (เหตุการณ์ แต่ วิธีการแก้. เพราะ นมีขนาดใหญ่ เราใช้ทฤษฎีบท Laplace ในพื้นที่: 
คำนวณ x:
การทำงาน 
เป็นคู่ ดังนั้น φ(–1.67) = φ(1.67)
จากตารางภาคผนวก ก.1 เราพบ φ(1.67) = 0.0989
ความน่าจะเป็นที่ต้องการ พี 2400 (1400) = 0,0989.
3. ทฤษฎีบทปริพันธ์ลาปลาซ
ถ้าความน่าจะเป็น Rการเกิดเหตุการณ์ อาในการทดลองแต่ละครั้งตามโครงการ Bernoulli จะคงที่และแตกต่างจากศูนย์และหนึ่ง จากนั้นจะมีการทดลองจำนวนมาก น, ความน่าจะเป็น R p (k 1 , k 2) เหตุการณ์ที่เกิดขึ้น อาในการทดลองเหล่านี้ k 1 ถึง kประมาณ 2 เท่า เท่ากัน
อาร์พี(k 1 , k 2) = Φ ( เอ็กซ์"") – Φ ( เอ็กซ์"), ที่ไหน 
คือฟังก์ชันลาปลาซ
อินทิกรัลที่แน่นอนในฟังก์ชัน Laplace ไม่ได้ถูกคำนวณในคลาสของฟังก์ชันการวิเคราะห์ ดังนั้นจึงใช้ตารางที่ 1 ในการคำนวณ ข้อ 2 ให้ไว้ในภาคผนวก
ตัวอย่าง 1.24ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในแต่ละการทดลองอิสระ 100 ครั้งมีค่าคงที่และเท่ากับ พี= 0.8. ค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น: ก) อย่างน้อย 75 ครั้งและมากที่สุด 90 ครั้ง; b) อย่างน้อย 75 ครั้ง; ค) ไม่เกิน 74 ครั้ง
วิธีการแก้. ลองใช้ทฤษฎีบทอินทิกรัลของ Laplace:
อาร์พี(k 1 , k 2) = Φ ( เอ็กซ์"") – Φ( เอ็กซ์") โดยที่ Ф( x) เป็นฟังก์ชัน Laplace
ก) ตามเงื่อนไข น = 100, พี = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. คำนวณ เอ็กซ์""และ เอ็กซ์" :
เมื่อพิจารณาว่าฟังก์ชัน Laplace เป็นเลขคี่ กล่าวคือ เอฟ(- x) = – F( x), เราได้รับ
พี 100 (75; 90) \u003d F (2.5) - F (-1.25) \u003d F (2.5) + F (1.25)
ตามตาราง หน้า2. ค้นหาแอปพลิเคชัน:
ฉ(2.5) = 0.4938; Ф(1.25) = 0.3944
ความน่าจะเป็นที่ต้องการ
พี 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
ข) ข้อกำหนดให้เหตุการณ์เกิดขึ้นอย่างน้อย 75 ครั้ง หมายความว่าจำนวนครั้งของเหตุการณ์สามารถเท่ากับ 75 หรือ 76, ... หรือ 100 ดังนั้นในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณาควรยอมรับ k 1 = 75, k 2 = 100 แล้ว 
.
ตามตาราง หน้า2. แอปพลิเคชันเราพบ Ф (1.25) = 0.3944; เอฟ(5) = 0.5.
ความน่าจะเป็นที่ต้องการ
พี 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
ค) เหตุการณ์ - " แต่ปรากฏตัวอย่างน้อย 75 ครั้ง" และ " แต่ปรากฏไม่เกิน 74 ครั้ง” ตรงกันข้าม ดังนั้นผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้คือ 1 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการ
พี 100 (0;74) = 1 – พี 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.