Пряма може належати та не належати площині. Вона належить площині, якщо хоч дві точки її лежать на площині. На малюнку 93 показано площину Sum (axb).Пряма lналежить площині Sum, оскільки її точки 1 та 2 належать цій площині.
Якщо пряма не належить до площини, вона може бути паралельною їй або перетинати її.
Пряма паралельна площині, якщо вона паралельна іншій прямій, що лежить у цій площині. На малюнку 93 пряма m || Sum, так як вона паралельна прямий l, що належить цій площині.
Пряма може перетинати площину під різними кутами і, зокрема, перпендикулярною їй. Побудова ліній перетину прямої з площиною наведено §61.
Малюнок 93 - Пряма, що належить площині
Крапка по відношенню до площини може бути розташована наступним чином: належати чи не належати їй. Крапка належить площині, якщо вона розташована на прямій, розташованій у цій площині. На малюнку 94 показаний комплексний креслення площини Sum, заданої двома паралельними прямими lі п.У площині розташована лінія m.Точка A лежить у площині Sum, тому що вона лежить на прямій m.Крапка Уне належить площині, оскільки її друга проекція лежить на відповідних проекціях прямий.
Малюнок 94 - Комплексне креслення площини, заданої двома паралельними прямими
Конічна та циліндрична поверхні
До конічних належать поверхні, утворені переміщенням прямолінійної утворювальної lпо криволінійній напрямній m.Особливістю утворення конічної поверхні є те, що при цьому одна точка, що утворює, завжди нерухома. Ця точка є вершиною конічної поверхні (рисунок 95, а).Визначник конічної поверхні включає вершину Sта спрямовуючу m,при цьому l"~S; l"^ m.
До циліндричних відносяться поверхні, утворені прямою твірною /, що переміщається по криволінійній напрямній тпаралельно заданому напрямку S(Малюнок 95, б).Циліндричну поверхню можна розглядати як окремий випадок конічної поверхні з нескінченно віддаленою вершиною. S.
Визначник циліндричної поверхні складається з напрямної тта напрямки S, що утворюють l, у своїй l" || S; l"^m.
Якщо циліндричній поверхні, що утворюють, перпендикулярні площині проекцій, то таку поверхню називають проеціювання.На малюнку 95, впоказана горизонтально проецірующая циліндрична поверхня.
На циліндричній та конічній поверхнях задані точкибудують за допомогою утворюючих, які проходять через них. Лінії на поверхнях, наприклад лінія ана малюнок 95, вабо горизонталі hна малюнку 95, а, б,будуються за допомогою окремих точок, що належать цим лініям.
Малюнок 95 - Конічна та циліндрична поверхні
Торсові поверхні
Торсовою називається поверхня, утворена прямолінійною твірною. l, що стосується при своєму русі у всіх своїх положеннях деякою просторовою кривою т,званою рубом повернення(Малюнок 96). Ребро повернення повністю задає торс і є геометричною частиною визначника поверхні. Алгоритмічною частиною служить вказівка щодо дотворення до ребра повернення.
Конічна поверхня є окремим випадком торсу, у якого ребро повернення твиродилося в крапку S- Вершину конічної поверхні. Циліндрична поверхня - окремий випадок торса, у якого ребро повернення - точка в нескінченності.
Рисунок 96 – Торсова поверхня
Гранні поверхні
До гранних відносяться поверхні, утворені переміщенням прямолінійної твірної. lпо ламаною напрямною m.При цьому якщо одна точка Sутворює нерухома, створюється пірамідальна поверхня (рисунок 97), якщо утворює при переміщенні паралельно заданому напрямку S,то створюється призматична поверхня (рисунок 98).
Елементами гранних поверхонь є: вершина S(у призматичній поверхні вона знаходиться в нескінченності), грань (частина площини, обмежена однією ділянкою спрямовуючої mі крайніми щодо нього положеннями, що утворюють l) та ребро (лінія перетину суміжних граней).
Визначник пірамідальної поверхні включає вершину S,через яку проходять утворюючі та напрямні: l" ~ S; l^ т.
Визначник призматичної поверхні, крім напрямної т,містить напрямок S,якому паралельні всі, хто утворює lповерхні: l||S; l^ т.
Малюнок 97 - Пірамідальна поверхня
Малюнок 98 - Призматична поверхня
Замкнуті грані поверхні, утворені деяким числом (не менше чотирьох) граней, називаються багатогранниками. З числа багатогранників виділяють групу правильних багатогранників, у яких усі грані правильні та конгруентні багатокутники, а багатогранні кути при вершинах опуклі та містять однакове числограней. Наприклад: гексаедр - куб (рисунок 99, а),тетраедр - правильний чотирикутник (малюнок 99, 6) октаедр - багатогранник (малюнок 99, в).Форму різних багатогранників мають кристали.
Малюнок 99 - Багатогранники
Піраміда- багатогранник, в основі якого лежить довільний багатокутник, а бічні грані – трикутники із загальною вершиною S.
На комплексному кресленні піраміда задається проекціями її вершин та ребер з урахуванням їхньої видимості. Видимість ребра визначається за допомогою конкуруючих точок (рисунок 100).
Рисунок 100 – Визначення видимості ребра за допомогою конкуруючих точок
Призма- багатогранник, у якого основа - два однакові і взаємно паралельні багатокутники, а бічні грані - паралелограми. Якщо ребра призми перпендикулярні до площини основи, таку призму називають прямою. Якщо у призми ребра перпендикулярні до будь-якої площини проекцій, то бічну поверхню її називають проецирующей. На малюнку 101 дано комплексне креслення прямої чотирикутної призми з горизонтально проецірующей поверхнею.
Малюнок 101 - Комплексне креслення прямої чотирикутної призми з горизонтально проеціюючою поверхнею
Працюючи з комплексним кресленням багатогранника доводиться будувати з його поверхні лінії, оскільки лінія є сукупність точок, необхідно вміти будувати точки лежить на поверхні.
Будь-яку точку на гранній поверхні можна побудувати за допомогою твірної, що проходить через цю точку. На малюнку 100 у межі ACSпобудована точка Мза допомогою твірної S-5.
Гвинтові поверхні
До гвинтових відносяться поверхні, що створюються при гвинтовому русі прямолінійної твірної. Лінійчасті гвинтові поверхні називають гелікоїдами.
Прямий гелікоїд утворюється рухом прямолінійної утворювальної iпо двох напрямних: гвинтовій лінії тта її осі i; при цьому утворює lперетинає гвинтову вісь під прямим кутом (рисунок 102 а). Прямий гелікоїд використовується при створенні гвинтових сходів, шнеків, а також силових різьбленнях у верстатах.
Похилий гелікоїд утворюється рухом утворюючої по гвинтовій напрямній тта її осі iтак, що утворює lперетинає вісь iпід постійним кутом φ, відмінним від прямого, тобто у будь-якому положенні утворює lпаралельна одній з утворюючих напрямного конуса з кутом при вершині, рівним 2φ (рисунок 102, б).Похилі гелікоїди обмежують поверхні витків різьблення.
Малюнок 102 - Гелікоїди
Поверхні обертання
До поверхонь обертання відносяться поверхні, що утворюються обертанням лінії. l навколо прямої i , що є вісь обертання. Вони можуть бути лінійчастими, наприклад, конус або циліндр обертання, і нелінійчастими або криволінійними, наприклад сфера. Визначник поверхні обертання включає утворює l і вісь i . Кожна точка, що утворює при обертанні, описує коло, площина якого перпендикулярна осі обертання. Такі кола поверхні обертання називаються паралелями. Найбільшу з паралелей називають екватором.Екватор. визначає горизонтальний нарис поверхні, якщо i _|_ П 1 . У цьому випадку паралелями є горизонталі цієї поверхні.
Криві поверхні обертання, що утворюються в результаті перетину поверхні площинами, що проходять через вісь обертання, називаються меридіанами.Усі меридіани однієї поверхні конгруентні. Фронтальний меридіан називають головним меридіаном; він визначає фронтальний нарис поверхні обертання. Профільний меридіан визначає профільний нарис поверхні обертання.
Будувати крапку на криволінійних поверхнях обертання найзручніше за допомогою паралелей поверхні. На малюнку 103 точка Мпобудована на паралелі h4.
Малюнок 103 – Побудова точки на криволінійній поверхні
Поверхні обертання знайшли саме широке застосуванняу техніці. Вони обмежують поверхні більшості машинобудівних деталей.
Конічна поверхня обертання утворюється обертанням прямої iнавколо прямої, що перетинається з нею - осі i(Рисунок 104, а). Крапка Мна поверхні побудована за допомогою утворювальної lта паралелі h.Цю поверхню називають ще конусом обертання чи прямим круговим конусом.
Циліндрична поверхня обертання утворюється обертанням прямої lнавколо паралельної їй осі i(Рисунок 104, б).Цю поверхню називають ще циліндром чи прямим круговим циліндром.
Сфера, що утворюється обертанням кола навколо її діаметра (рисунок 104, в). Точка A на поверхні сфери належить головному меридіану f,крапка У- екватору h,а точка Мпобудована на допоміжній паралелі h".
Малюнок 104 - Освіта поверхонь обертання
Тор утворюється обертанням кола або його дуги навколо осі, що лежить у площині кола. Якщо вісь розташована в межах кола, що утворюється, то такий тор називається закритим (рисунок 105, а). Якщо вісь обертання знаходиться поза колом, такий тор називається відкритим (рисунок 105, б).Відкритий тор називається ще кільцем.
Малюнок 105 – Освіта тора
Поверхні обертання можуть бути утворені іншими кривими другого порядку. Еліпсоїд обертання (рисунок 106, а)утворюється обертанням еліпса навколо однієї з його осей; параболоїд обертання (рисунок 106, б) - обертанням параболи навколо її осі; гіперболоїд обертання однопорожнинний (рисунок 106, в) утворюється обертанням гіперболи навколо уявної осі, а двопорожнинний (рисунок 106, г) – обертанням гіперболи навколо дійсної осі.
Рисунок 106 – Утворення поверхонь обертання кривими другого порядку
У загальному випадку поверхні зображуються не обмеженими у напрямку розповсюдження утворюючих ліній (див. малюнки 97, 98). Для вирішення конкретних завданьта отримання геометричних фігуробмежуються площинами обрізу. Наприклад, щоб отримати круговий циліндр, необхідно обмежити ділянку циліндричної поверхні площинами обрізу (див. малюнок 104, б).В результаті отримаємо його верхню та нижню основи. Якщо площини обрізу перпендикулярні до осі обертання, циліндр буде прямим, якщо ні - циліндр буде похилим.
Щоб отримати круговий конус (див. рис. 104, а), необхідно виконати обріз по вершині та за її межами. Якщо площина обрізу основи циліндра буде перпендикулярна до осі обертання - конус буде прямий, якщо ні - похилий. Якщо обидві площини обрізу не проходять через вершину – конус отримаємо усіченим.
За допомогою площини обрізу можна отримати призму та піраміду. Наприклад, шестигранна піраміда буде прямою, якщо всі її ребра мають однаковий нахил до площини обрізу. В інших випадках вона буде похилою. Якщо вона виконана здопомогою площин обрізу та жодна з них не проходить через вершину – піраміда усічена.
Призму (див. малюнок 101) можна отримати, обмеживши ділянку призматичної поверхні двома площинами обрізу. Якщо площина обрізу перпендикулярна ребрам, наприклад восьмигранної призми, вона пряма, а то й перпендикулярна - похила.
Вибираючи відповідне положення площин обрізу, можна отримувати різні форми геометричних фігур залежно від умов задачі, що розв'язується.
Стереометрія
Взаємне розташування прямих та площин
В просторі
Паралельність прямих та площин
Дві прямі у просторі називаються паралельними якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються.
Пряма та площина називаються паралельними якщо вони не перетинаються.
Дві площини називаються паралельними якщо вони не перетинаються.
Прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються схрещуються .
Ознака паралельності прямої та площини. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна до якої-небудь прямої в цій площині, то вона паралельна й самій площині.
Ознака паралельності площин. Якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим інший площині, то ці площини паралельні.
Ознака схрещуваних прямих. Якщо одна з двох прямих лежить у площині, а інша перетинає цю площину в точці, що не належить першій прямій, дані прямі схрещуються.
Теореми паралельних прямих і паралельних площинах.
1. Дві прямі, паралельні третій прямий, паралельні.
2. Якщо одна з двох паралельних прямих перетинає площину, то інша пряма перетинає цю площину.
3. Через точку поза цією прямою можна провести пряму, паралельну даній, і лише одну.
4. Якщо пряма паралельна кожній з двох площин, що перетинаються, то вона паралельна їх лінії перетину.
5. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою площиною, лінії перетину паралельні.
6. Через точку, що не лежить у даній площині, можна провести площину, паралельну даній, і лише одну.
7. Дві площини, паралельні третій, паралельні між собою.
8. Відрізки паралельних прямих, укладені між паралельними площинами, рівні.
Кути між прямими та площинами
Кутом між прямою та площиноюназивається кут між прямою та її проекцією на площину (кут на рис. 1).
Кутом між схрещуються прямиминазивається кут між прямими, що перетинаються, паралельними відповідно даним схрещується прямим.
Двогранним кутомназивається фігура, утворена двома напівплощинами із загальною прямою. Напівплощини називаються гранями , Пряма - рубом двогранного кута.
Лінійним кутом двогранного кута називається кут між напівпрямими, що належать граням двогранного кута, що виходять з однієї точки на ребері та перпендикулярними ребру (кут на рис. 2).
Градусна (радіанна) міра двогранного кута дорівнює градусній (радіанної) мірі його лінійного кута.
Перпендикулярність прямих та площин
Дві прямі називаються перпендикулярними якщо вони перетинаються під прямим кутом.
Пряма, що перетинає площину, називається перпендикулярною цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої в площині, що проходить через точку перетину даної прямої та площини.
Дві площини називаються перпендикулярними якщо перетинаються, вони утворюють прямі двогранні кути.
Ознака перпендикулярності прямої та площини. Якщо пряма, площина, що перетинає, перпендикулярна двом перетинається прямим у цій площині, то вона перпендикулярна площині.
Ознака перпендикулярності двох площин. Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до іншої площини, то ці площини перпендикулярні.
Теореми про перпендикулярні прямі та площини.
1. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої.
2. Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї ж площини, то вони паралельні.
3. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних площин, то вона перпендикулярна до іншої.
4. Якщо дві площини перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої, то вони паралельні.
Перпендикуляр та похила
Теорема. Якщо з однієї точки поза площиною проведені перпендикуляр та похилі, то:
1) похилі, що мають рівні проекції, рівні;
2) із двох похилих більша та, проекція якої більша;
3) рівні похилі мають рівні проекції;
4) з двох проекцій більша та, що відповідає більшій похилій.
Теорема про три перпендикуляри. Для того щоб пряма, що лежить у площині, була перпендикулярна до похилої, необхідно і достатньо, щоб ця пряма була перпендикулярна до похилої проекції (рис.3).
Теорема про площу ортогональної проекції багатокутника на площину.Площа ортогональної проекції багатокутника на площину дорівнює добутку площі багатокутника на косинус кута між площиною багатокутника та площиною проекції.
Побудова.
1. На площині aпроводимо пряму а.
3. У площині bчерез точку Апроведемо пряму b, паралельну прямий а.
4. Побудовано пряму bпаралельна площині a.
Доведення.За ознакою паралельності прямої та площини пряма bпаралельна площині a, так як вона паралельна прямий а, що належить площині a.
Дослідження.Завдання має безліч рішень, оскільки пряма ау площині aвибирається довільно.
приклад 2.Визначте, на якій відстані від площини знаходиться точка А, якщо пряма АВперетинає площину під кутом 45 º, відстань від точки Адо точки У, Що належить площині, дорівнює см?
Рішення.Зробимо малюнок (рис. 5):
АС– перпендикуляр до площини a, АВ- Похила, кут АВС– кут між прямою АВта площиною a. Трикутник АВС- Прямокутний так як АС- Перпендикуляр. Шукаюча відстань від точки Адо площини – це катет АСпрямокутний трикутник. Знаючи кут і гіпотенузу див знайдемо катет АС:
Відповідь: 3 див.
приклад 3.Визначте, на якій відстані від площини рівнобедреного трикутника знаходиться точка, віддалена від кожної з вершин трикутника на 13 см, якщо основа та висота трикутника дорівнюють 8 см?
Рішення.Зробимо рисунок (рис. 6). Крапка Sвіддалена від точок А, Уі Зна однакову відстань. Значить, похилі SA, SBі SCрівні, SO– загальний перпендикуляр цих похилих. За теоремою про похилих та проекції АТ = ВО = СО.
Крапка Про– центр кола описаного біля трикутника АВС. Знайдемо її радіус:
де НД- основа;
AD- Висота даного рівнобедреного трикутника.
Знаходимо сторони трикутника АВСіз прямокутного трикутника ABDза теоремою Піфагора:
Тепер знаходимо ОВ:
Розглянемо трикутник SOB: SB= 13 см, ОВ= = 5 см. Знаходимо довжину перпендикуляра SOза теоремою Піфагора:
Відповідь: 12 см.
приклад 4.Дано паралельні площині aі b. Через точку М, що не належить жодній з них, проведено прямі аі b, які перетинають aу точках А 1 і У 1 , а площина b- У точках А 2 та У 2 . Знайти А 1 У 1 , якщо відомо, що МА 1 = 8 см, А 1 А 2 = 12 см, А 2 У 2 = 25 см.
Рішення.Так як в умові не сказано, як розташована щодо обох площин точка М, то можливі два варіанти: (рис. 7, а) та (рис. 7, б). Розглянемо кожен із них. Дві прямі, що перетинаються аі bзадають площину. Ця площина перетинає дві паралельні площини. aі bпо паралельним прямим А 1 У 1 і А 2 У 2 згідно теореми 5 про паралельні прямі і паралельні площини.
Трикутники МА 1 У 1 і МА 2 У 2 подібні (кути А 2 МВ 2 та А 1 МВ 1 – вертикальні, кути МА 1 У 1 і МА 2 У 2 – внутрішні навхрест лежать при паралельних прямих А 1 У 1 і А 2 У 2 і січній А 1 А 2). З подоби трикутників випливає пропорційність сторін:
Варіант а):
Варіант б):
Відповідь: 10 см та 50 см.
Приклад 5.Через точку Аплощині gпроведено пряму АВ, що утворює з площиною кут a. Через пряму АВпроведена площина r, що утворює з площиною gкут b. Знайти кут між проекцією прямою АВна площину gта площиною r.
Рішення.Зробимо рисунок (рис. 8). З точки Уопустимо перпендикуляр на площину g. Лінійний кут двогранного кута між площинами gі r– це кут Пряма AD DBC, за ознакою перпендикулярності прямої та площини, так як і за ознакою перпендикулярності площин rперпендикулярна площині трикутника DBCтому, що вона проходить через пряму AD. Шуканий кут збудуємо, опустивши перпендикуляр з точки Зна площину r, позначимо його Знайдемо синус цього кута прямокутного трикутника САМ. Введемо допоміжний відрізок а = НД. З трикутника АВС: З трикутника ВМСзнайдемо
Тоді шуканий кут
Відповідь:
Завдання для самостійного рішення
I рівень
1.1. Через точку проведіть пряму перпендикулярну двом заданим прямим, що схрещується.
1.2. Визначте, скільки різних площин можна провести:
1) через три різні точки;
2) через чотири різні точки, жодні три з яких не лежать на одній площині?
1.3. Через вершини трикутника АВС, що лежить в одній з двох паралельних площин, проведені паралельні прямі, що перетинають другу площину в точках А 1 , У 1 , З 1 . Доведіть рівність трикутників АВСі А 1 У 1 З 1 .
1.4. З вершини Апрямокутника ABCDвідновлений перпендикуляр АМдо його площині.
1) доведіть, що трикутники MBCі MDC- Прямокутні;
2) вкажіть серед відрізків MB, MC, MDі MAвідрізок найбільшої та найменшої довжини.
1.5. Грані одного двогранного кута відповідно паралельні граням іншого. Визначте, якою є залежність між величинами цих двогранних кутів.
1.6. Знайдіть величину двогранного кута, якщо відстань від точки, взятої на одній грані, до ребра в 2 рази більше відстанівід точки до площини другої грані.
1.7. З точки, що віддаляється від площини на відстань проведено дві рівні похилі, що утворюють кут 60º. Проекції похилих взаємно перпендикулярні. Знайдіть довжини похилих.
1.8. З вершини Уквадрата ABCDвідновлений перпендикуляр ВЕдо площі квадрата. Кут нахилу площини трикутника АСЕдо площини квадрата дорівнює j, сторона квадрата дорівнює а АСЕ.
II рівень
2.1. Через точку, яка не належить жодній з двох прямих, що схрещуються, проведіть пряму, що перетинає обидві дані прямі.
2.2. Паралельні прямі а, bі зне лежать у одній площині. Через точку Ана прямий апроведено перпендикуляри до прямих bі з, що перетинають їх відповідно у точках Уі З. Доведіть, що пряма НДперпендикулярна прямим bі з.
2.3. Через вершину Апрямокутного трикутника АВСпроведена площина, паралельна НД. Катети трикутника АС= 20 см, НД= 15 см. Проекція одного з катетів на площину дорівнює 12 см. Знайдіть проекцію гіпотенузи.
2.4. В одній із граней двогранного кута, що дорівнює 30º, розташована точка М. Відстань від неї до ребра кута дорівнює 18 см. Знайдіть відстань від проекції точки Мна другу грань до першої грані.
2.5. Кінці відрізка АВналежать граням двогранного кута, що дорівнює 90º. Відстань від точок Аі Удо ребра рівні відповідно АА 1 = 3 см, ВВ 1 = 6 см, відстань між точками на ребері Знайдіть довжину відрізка АВ.
2.6. З точки віддаленої від площини на відстань а, Проведено дві похилі, що утворюють з площиною кути 45º і 30º, а між собою кут – 90º. Знайдіть відстань між основами похилих.
2.7. Сторони трикутника дорівнюють 15 см, 21 см та 24 см. Точка Мвіддалена від площини трикутника на 73 см і знаходиться на однаковій відстані від вершин. Знайдіть цю відстань.
2.8. З центру Прокола, вписаного в трикутник АВС, до площини трикутника відновлено перпендикуляр. ОМ. Знайдіть відстань від точки Мдо сторін трикутника, якщо АВ = ВС = 10 см, АС= 12 см, ОМ= 4 див.
2.9. Відстань від точки Мдо сторін і вершини прямого кута відповідно дорівнюють 4 см, 7 см і 8 см. Знайдіть відстань від точки Мдо площини прямого кута.
2.10. Через основу АВрівнобедреного трикутника АВСпроведено площину під кутом bдо площини трикутника. Вершина Звіддалена від площини на відстань а. Знайдіть площу трикутника АВСякщо підстава АВрівнобедреного трикутника дорівнює його висоті.
III рівень
3.1. Макет прямокутника ABCDзі сторонами аі bперегнутий по діагоналі BDтак, що площини трикутників BADі BCDстали взаємно перпендикулярні. Знайдіть довжину відрізка АС.
3.2. Дві прямокутні трапеції з кутами 60º лежать у перпендикулярних площинах і мають більшу загальну основу. Великі бічні сторони дорівнюють 4 см і 8 см. Знайдіть відстань між вершинами прямих і вершинами тупих кутів трапецій, якщо вершини їх гострих кутів збігаються.
3.3.Заданий куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Знайдіть кут між прямою CD 1 та площиною BDC 1 .
3.4. На ребрі АВкуба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взята точка Р- середина цього ребра. Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через крапки C 1 PDі знайдіть площу цього перерізу, якщо ребро куба дорівнює а.
3.5. Через бік ADпрямокутника ABCDпроведена площина aтак, що діагональ BDстановить із цією площиною кут 30º. Знайдіть кут між площиною прямокутника та площиною a, якщо АВ = а, AD = b. Визначте, за якого співвідношення аі bЗавдання має рішення.
3.6. Знайдіть геометричне місце точок, рівновіддалених від прямих, визначених сторонами трикутника.
Призма. Паралелепіпед
Призмоюназивається багатогранник, дві грані якого – рівні n-кутники (підстави) , що у паралельних площинах, інші n граней – паралелограммы (Бічні грані) . Боковим ребром призми називається сторона бічної грані, яка не належить підставі.
Призма, бічні ребра якої перпендикулярні до площин основ, називається прямий призмою (рис. 1). Якщо бічні ребра не перпендикулярні до площин основ, то призма називається похилій . Правильною призмою називається пряма призма, основи якої – правильні багатокутники.
Висотоюпризми називається відстань між площинами основ. Діагоналлю призми називається відрізок, що з'єднує дві вершини, що не належать до однієї грані. Діагональним перетином називається переріз призми площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать до однієї грані. Перпендикулярним перетином називається переріз призми площиною, перпендикулярною до бокового ребра призми.
Площею бічної поверхні призми називається сума площ усіх бічних граней. Площею повної поверхні називається сума площ усіх граней призми (тобто. сума площ бічних граней та площ основ).
Для довільної призми вірні формули:
де l- Довжина бічного ребра;
H- Висота;
P
Q
S бік
S повний
S осн– площа основ;
V- Обсяг призми.
Для прямої призми вірні формули:
де p– периметр основи;
l- Довжина бічного ребра;
H- Висота.
Паралелепіпедомназивається призма, основою якої є паралелограм. Паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні до основ, називається прямим (Рис. 2). Якщо бічні ребра не перпендикулярні основам, то паралелепіпед називається похилим . Прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник, називається прямокутним. Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.
Грані паралелепіпеда, що не мають спільних вершин, називаються протилежними . Довжини ребер, що виходять з однієї вершини, називаються вимірами паралелепіпеда. Оскільки паралелепіпед – це призма, основні його елементи визначаються аналогічно тому, як вони визначені для призм.
Теореми.
1. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.
2. У прямокутному паралелепіпеді квадрат довжини діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів:
3. Усі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні між собою.
Для довільного паралелепіпеда вірні формули:
де l- Довжина бічного ребра;
H- Висота;
P- Періметр перпендикулярного перерізу;
Q- Площа перпендикулярного перерізу;
S бік- Площа бічної поверхні;
S повний- Площа повної поверхні;
S осн– площа основ;
V- Обсяг призми.
Для прямого паралелепіпеда вірні формули:
де p– периметр основи;
l- Довжина бічного ребра;
H- Висота прямого паралелепіпеда.
Для прямокутного паралелепіпеда вірні формули:
де p– периметр основи;
H- Висота;
d– діагональ;
a, b, c- Виміри паралелепіпеда.
Для куба вірні формули:
де a- Довжина ребра;
d- Діагональ куба.
приклад 1.Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 33 дм, а його виміри відносяться, як 2: 6: 9. Знайти виміри паралелепіпеда.
Рішення.Для знаходження вимірів паралелепіпеда скористаємося формулою (3), тобто. тим фактом, що квадрат гіпотенузи прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його вимірів. Позначимо через kкоефіцієнт пропорційності. Тоді виміри паралелепіпеда дорівнюватимуть 2 k, 6kта 9 k. Запишемо формулу (3) для даних завдання:
Вирішуючи це рівняння щодо k, Отримаємо:
Отже, вимірювання паралелепіпеда дорівнюють 6 дм, 18 дм і 27 дм.
Відповідь: 6 дм, 18 дм, 27 дм.
приклад 2.Знайти об'єм похилої трикутної призми, основою якої є рівносторонній трикутник зі стороною 8 см, якщо бічне ребро дорівнює стороні основи і нахилено під кутом 60º до основи.
Рішення . Зробимо рисунок (рис. 3).
Для того, щоб знайти обсяг похилої призми необхідно знати площу її основи та висоту. Площа підстави цієї призми – це площа рівностороннього трикутника зі стороною 8 см. Обчислимо її:
Висотою призми є відстань між її основами. З вершини А 1 верхньої основи опустимо перпендикуляр на площину нижньої основи А 1 D. Його довжина і буде заввишки призми. Розглянемо D А 1 АD: так як це кут нахилу бокового ребра А 1 Адо площини основи, А 1 А= 8 см. З цього трикутника знаходимо А 1 D:
Тепер обчислюємо обсяг за формулою (1):
Відповідь: 192 см 3 .
приклад 3.Бокове ребро правильної шестикутної призми дорівнює 14 см. Площа найбільшого діагонального перерізу дорівнює 168 см 2 . Знайти площу повної поверхні призми.
Рішення.Зробимо малюнок (рис. 4)
Найбільший діагональний переріз – прямокутник AA 1 DD 1 , оскільки діагональ ADправильного шестикутника ABCDEFє найбільшою. Для того, щоб обчислити площу бічної поверхні призми, необхідно знати бік основи та довжину бічного ребра.
Знаючи площу діагонального перерізу (прямокутника), знайдемо діагональ основи.
Оскільки , то
Бо те АВ= 6 див.
Тоді периметр основи дорівнює:
Знайдемо площу бічної поверхні призми:
Площа правильного шестикутника зі стороною 6 см дорівнює:
Знаходимо площу повної поверхні призми:
Відповідь:
приклад 4.Підставою прямого паралелепіпеда служить ромб. Площі діагональних перерізів 300 см 2 та 875 см 2 . Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда.
Рішення.Зробимо рисунок (рис. 5).
Позначимо бік ромба через а, діагоналі ромба d 1 і d 2 , висоту паралелепіпеда h. Щоб знайти площу бічної поверхні прямого паралелепіпеда необхідно периметр основи помножити на висоту: (формула (2)). Периметр основи р = АВ + НД + CD + DA = 4AB = 4a, так як ABCD- Ромб. Н = АА 1 = h. Т.о. Необхідно знайти аі h.
Розглянемо діагональні перерізи. АА 1 СС 1 – прямокутник, одна сторона якого діагональ ромба АС = d 1 , друга – бічне ребро АА 1 = hтоді
Аналогічно для перерізу ВВ 1 DD 1 отримаємо:
Використовуючи властивість паралелограма така, що сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх його сторін, отримаємо рівність.
З перших двох рівностей висловимо і підставимо третє. Отримаємо: то
1.3. У похилій трикутній призмі проведено переріз перпендикулярне бічному ребру, що дорівнює 12 см. В отриманому трикутнику дві сторони з довжинами см і 8 см утворюють кут 45°. Знайдіть площу бічної поверхні призми.
1.4. Підставою прямого паралелепіпеда є ромб зі стороною 4 см і гострим кутом 60 °. Знайдіть діагоналі паралелепіпеда, якщо довжина бічного ребра 10 см.
1.5. Підставою прямого паралелепіпеда є квадрат з діагоналлю, що дорівнює див. Бокове ребро паралелепіпеда 5 см. Знайдіть площу повної поверхні паралелепіпеда.
1.6. Підставою похилого паралелепіпеда є прямокутник зі сторонами 3 см і 4 см. Бокове ребро рівне см нахилено до площини основи під кутом 60°. Знайдіть обсяг паралелепіпеда.
1.7. Обчисліть площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, якщо два ребра і діагональ, що виходять з однієї вершини, дорівнюють відповідно 11 см, см і 13 см.
1.8. Визначте вагу кам'яної колони, що має форму прямокутного паралелепіпеда, з розмірами 0,3 м, 0,3 м і 2,5 м, якщо питома вага матеріалу дорівнює 2,2 г/см 3 .
1.9. Знайдіть площу діагонального перерізу куба, якщо діагональ його грані дорівнює дм.
1.10. Знайдіть об'єм куба, якщо відстань між двома його вершинами, що не лежать в одній грані, дорівнює див.
II рівень
2.1. Підставою похилої призми є рівносторонній трикутник зі стороною див. Знайдіть площу перерізу призми, що проходить через бічне ребро та висоту призми, якщо відомо, що одна з вершин верхньої основи проектується на середину сторони нижньої основи.
2.2. Підставою похилої призми є рівносторонній трикутник ABC зі стороною 3 см. Вершина A 1 проектується в центр трикутника ABC. Ребро AA 1 складає з площиною основи кут 45°. Знайдіть площу бічної поверхні призми.
2.3. Обчисліть об'єм похилої трикутної призми, якщо сторони основи 7 см, 5 см і 8 см, а висота призми дорівнює меншій висоті трикутника-основи.
2.4. Діагональ правильної чотирикутної призми нахилена до бічної грані під кутом 30°. Знайдіть кут нахилу до площини основи.
2.5. Підставою прямої призми є рівнобедрена трапеція, основи якої дорівнюють 4 см і 14 см, а діагональ – 15 см. Дві бічні грані призми – квадрати. Знайдіть площу повної поверхні призми.
2.6. Діагоналі правильної шестикутної призми дорівнюють 19см і 21 см. Знайдіть її об'єм.
2.7. Знайдіть вимірювання прямокутного паралелепіпеда, у якого діагональ дорівнює 8 дм, і вона утворює з бічними гранями кути 30° та 40°.
2.8. Діагоналі основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 34 см і 38 см, а площі бічних граней 800 см 2 і 1200 см 2 . Знайдіть обсяг паралелепіпеда.
2.9. Визначте об'єм прямокутного паралелепіпеда, в якому діагоналі бічних граней, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 4 см і 5 см і утворюють кут 60°.
2.10. Знайдіть об'єм куба, якщо відстань від його діагоналі до ребра, що не перетинається з нею, дорівнює мм.
III рівень
3.1. У правильній трикутній призмі проведено перетин через бік основи та середину протилежного бічного ребра. Площа основи 18 см 2 а діагональ бічної грані нахилена до основи під кутом 60°. Знайдіть площу перерізу.
3.2. В основі призми лежить квадрат ABCD, всі вершини якого рівновіддалені від вершини A 1 верхньої основи. Кут між бічним ребром і площиною основи дорівнює 60 °. Сторона основи 12 см. Побудуйте переріз призми площиною, проходячи через вершину C, перпендикулярно до ребра AA 1 і знайти його площу.
3.3. Підставою прямої призми є рівнобедрена трапеція. Площа діагонального перерізу та площі паралельних бічних граней відповідно дорівнюють 320 см 2 , 176 см 2 та 336 см 2 . Знайдіть площу бічної поверхні призми.
3.4. Площа основи прямої трикутної призми дорівнює 9см 2 площі бічних граней 18 см 2 , 20 см 2 і 34 см 2 . Знайдіть обсяг призми.
3.5. Знайдіть діагоналі прямокутного паралелепіпеда, знаючи, що діагоналі його граней дорівнюють 11 см, 19 см і 20 см.
3.6. Кути, утворені діагоналлю основи прямокутного паралелепіпеда зі стороною основи та діагоналлю паралелепіпеда, рівні відповідно a та b. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда, якщо його діагональ дорівнює d.
3.7. Площа того перерізу куба, який є правильним шестикутником, дорівнює см 2 . Знайдіть площу поверхні куба.
Пряма належить площині, якщо має дві спільні точки або одну загальну точку і паралельна будь-якій прямій, що лежить у площині. Нехай площину на кресленні задана двома прямими, що перетинаються. У цій площині потрібно побудувати дві прямі m і n відповідно до цих умов ( Г(а b)) (рис. 4.5).
Розв'язання. 1. Довільно проводимо m 2 , оскільки пряма належить площині, відзначаємо проекції точок перетину її з прямими аі bі визначаємо їх горизонтальні проекції, через 11 і 21 проводимо m1.
2. Через точку До площини проводимо n 2 m 2 і n 1 m 1 .
Пряма паралельна площиніякщо вона паралельна будь-якій прямій, що лежить у площині.
Перетин прямої та площини.Можливі три випадки розташування прямої та площини щодо площин проекцій. Залежно від цього визначається точка перетину прямої та площини.
Перший випадок
- Пряма і площина - проецірующего положення. У цьому випадку точка перетину на кресленні є (обидві її проекції), її потрібно лише позначити.
П р і м е р. На кресленні задана площина слідами Σ ( h 0 f 0)- горизонтально проецірующего положення - і пряма l– фронтально проецірующего становища. Визначити точку їхнього перетину (рис. 4.6).
Крапка перетину на кресленні вже є – К(К 1 К 2).
Другий випадок– або пряма, чи площина – проецірующего становища. У цьому випадку на одній із площин проекцій проекція точки перетину вже є, її потрібно позначити, а на другій площині проекцій – знайти за належністю.
Приміри. На рис. 4.7 а зображена площина слідами фронтально проецірующего положення і пряма l- Загального становища. Проекція точки перетину До 2 на кресленні вже є, а проекцію До 1 необхідно знайти за належністю точки До прямої l. на
Рис. 4.7, б площина загального становища, а пряма m – фронтально проецирующего, тоді До 2 вже є (збігається з m 2), а До 1 необхідно визначити з умови належності точки До площині. Для цього через До проводять
пряму ( h- Горизонталь), що лежить у площині.
Третій випадок- І пряма, і площина - загального стану. У цьому випадку для визначення точки перетину прямої та площини необхідно скористатися так званим посередником – площиною, що проеціює. Для цього через пряму проводять допоміжну площу. Ця площина перетинає задану площину лінією. Якщо ця лінія перетинає задану пряму, тобто точка перетину прямої та площини.
Приміри. На рис. 4.8 представлені площину трикутником АВС – загального положення – та пряма l- Загального становища. Щоб визначити точку перетину К, необхідно через lпровести фронтально проецірующую площину Σ, побудувати в трикутнику лінію перетину Δ і Σ (на кресленні це відрізок 1,2), визначити До 1 і за належністю – До 2 . Потім визначається видимість прямої lпо відношенню до трикутника по конкуруючих точках. На П 1 конкуруючими точками взяті точки 3 і 4. Видно на П 1 проекція точки 4, так як у неї координата Z більше, ніж у точки 3, отже, проекція l 1від цієї точки до К1 буде невидима.
На П 2 конкуруючими точками взяті точка 1, що належить АВ, і точка 5, що належить l. Очевидною буде точка 1, так як у неї координата Y більша, ніж у точки 5, і отже, проекція прямої l 2до К 2 невидима.
Розташування
Ознака:якщо пряма, що не лежить у даній площині, паралельна до якої-небудь прямої, що лежить у цій площині, то вона паралельна даній площині.
1. якщо площина проходить через дану пряму, паралельну до іншої площини, і перетинає цю площину, то лінія перетину площин паралельна даній прямій.
2. якщо одна з 2х прямих паралельна даній, то інша пряма або паралельна даній площині, або лежить у цій площині.
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПЛОЩИН. ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПЛОЩИН
Розташування
1. площини мають хоча б загальну точку, тобто. перетинаються прямою
2. площини не перетинаються, тобто. не мають ні 1 загальної точки, в цьому випадку вони зв паралельними.
ознака
якщо 2 перетинаються прямі площини 1 відповідно паралельні 2 прямим інший площині, то ці площини паралельні.
Св-во
1. якщо 2 паралельні площини перетнуті 3, то лінії їх перетину паралельні
2. відрізки паралельних прямих, укладені між паралельними площинами, рівні.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМІЙ І ПЛОЩИНІ. ОЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТІ ПРЯМОГО І ПЛОЩИНИ.
Прямі зв перпендіулярними, якщо вони перетинаються під<90.
Лемма:якщо 1 з 2 паралельних прямих перпендикулярна до 3й прямої, то й інша пряма перпендикулярна до цієї прямої.
Пряма назва перпендикулярна до площини,якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої у цій площині.
Теорема:якщо 1 їхня 2х паралельних прямих перпендикулярна до площини, то й інша пряма перпендикулярна до цієї площини.
Теорема:якщо 2 прямі перпендикулярні до площини, всі вони паралельні.
Ознака
Якщо пряма перпендикулярна до 2м прямим, що перетинається, лежать у площині, то вона перпендикулярна до цієї площини.
ПЕРПЕНДИКУЛЯР І НАКЛОННА
Побудуємо площину і т.а., що не належить площині. Їх т.а проведемо пряму, перпендик площині. Точку перетину прямий з площиною позначить Н. Відрізок АН - перпендикуляр, проведений з т. А до площини. Т.Н - основа перпендикуляра. Візьмемо в площині т.м, що не збігається з Н. Відрізок АМ - похила, проведена з т. А до площини. М - основа похилої. Відрізок МН – проекція похилої площину. Перпендикуляр АН – відстань від т. до площині. Будь-яка відстань – це частина перпендикуляра.
Теорема про 3 перпендикуляри:
Пряма, проведена в площині через основу похилої перпендикулярно до її проекції на цю площину, перпендикулярна до самої похилої.
КУТ МІЖ ПРЯМИЙ І ПЛОЩИНОЮ
Кутом між прямою іплощиною зв кут між цією прямою і її проекцією на площині.
ДВОГРАНИЙ КУТ. КУТ між площинами
Двогранним кутомназва фігура, утворена прямою і 2 напівплощинами із загальною межею а, не належить однієї площини.
Кордон а – ребро двогранного кута.Напівплощини – грані двогран кута.Для того щоб виміряти двогранний кут. Потрібно збудувати всередині нього лінійний кут. Відзначимо на ребрі двогран кута якусь точку і в кожній грані з цієї точки проведемо промінь, перпендикулярно до ребра. Утворений цими променями кут зв лінійним голом двогран кута.Їх усередині двогран кута може бути дуже багато. Усі вони мають однакову величину.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ДВОХ ПЛОЩИН
Дві перетинаються площини зв перпендикулярними,якщо кут між ними дорівнює 90.
Ознака:
Якщо 1 із 2х площин проходить через пряму, перпендикулярну до іншої площини, то такі площини перпендикулярні.
Багатогранники
Багатогранник- Поверхня, складена з багатокутників і обмежує деяке геометричне тіло. Грані– багатокутники, у тому числі складені багатогранники. Ребра- Сторони граней. Вершини- Кінці ребер. Діагоналлю багатогранниказв відрізок, що з'єднує 2 вершини, що не належать 1 грані. Площина, по обидва боки від якої є точки багатогранника, зв . січною площиною.Загальна частина багатогранника і січної площі зв перетином багатогранника.Багатогранники бувають опуклі та увігнуті. Багатогранник зв опуклимякщо він розташований по одну сторону від площини кожної його грані (тетраедр, паралепіпед, октаедр). У опуклому багатограннику сума всіх плоских кутів при кожній його вершині менше 360.
ПРИЗМА
Багатогранник, складений з 2х рівних багатокутників, розташованих у паралельних площинах і п - паралелограмів зв призмою.
Багатокутники А1А2..А(п) та В1В2..В(п) – підстави призми. А1А2В2В1…- паралелограми, А(п)А1В1В(п) - бічні грані.Відрізки А1В1, А2В2. А(п)В(п) – бічні ребра.Залежно від багатокутника, що лежить в основі призми, призма зв п-кутової.Перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї основи до площини іншої основи зв заввишки.Якщо бічні ребра призми перпендикулярні до основи, то призма - Пряма, а якщо не перпендикулярні – то похила.Висота прямої призми дорівнює довжині її бічного ребра. Пряма призманаз правильноїякщо її основа – правильні багатокутники, всі бічні грані – рівні прямокутники.
ПАРАЛЕПІПЕД
АВСД//А1В1С1Д1, АА1//ВВ1//СС1//ДД1, АА1=ВВ1=СС1=ДД1 (по св-ву паралельних площин)
Паралепіпед складається з 6 паралелограмів. Паралелограми зв гранями.АВСД і А1В1С1Д1 – підстави, інші грані зв бічними.Крапки А В С Д А1 В1 С1 Д1 – вершини.Відрізки, що з'єднують вершини ребра.АА1, ВВ1, СС1, ДД1 - бічні ребра.
Діагоналлю паралепіпеда –зв відрізок, що з'єднує 2 вершини, що не належать 1 грані.
Св-ва
1. протилежні грані паралепіпеда паралельні та рівні. 2. Діагоналі паралепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.
ПІРАМІДА
Розглянемо багатокутник А1А2..А(п), точку Р, яка не лежить у площині цього багатокутника. З'єднаємо точку Р з вершинами багатокутника і отримаємо п трикутників: РА1А2, РА2А3….РА(п)А1.
Багатогранник, складений з п-кутника та п-трикутників зв пірамідою.Багатокутник - основа.Трикутники – бічні грані.Р – вершина піраміди.Відрізки А1Р, А2Р..А(п)Р – бічні ребра.Залежно від багатокутника, що лежить в основі, піраміда зв п-вугільний. Висотою пірамідизв перпендикуляр, проведений з вершини до площини основи. Піраміда називається правильноюякщо в її основі лежить правильний багатокутник і висота потрапляє в центр основи. Апофема- Висота бічної грані правильної піраміди.
УСЕЧЕНА ПІРАМІДА
Розглянемо піраміду РА1А2А3А(п). проведемо січні площини, паралельні підставі. Ця площина ділить нашу піраміду на 2 частини: верхня – піраміда, подібна до цієї, нижня – усічена піраміда. Бічна поверхня складається із трапеції. Бічні ребра з'єднують вершини основ.
Теорема:площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку напівсуми периметрів підстав на апофему.
ПРАВИЛЬНІ МНОГОГРАНИКИ
Випуклий багатогранник називається правильним, якщо його межі – рівні правильні багатокутники й у кожній його вершині сходиться одне й теж число ребер. Прикладом правильного багатогранника явл куб. Усі його грані- ровні квадрати, і в кожній вершині сходиться 3 ребра.
Правильний тетраедрскладено їх 4 рівносторонні трикутники. Кожна вершина – вершина трьох трикутників. Сума плоских кутів при кожній вершині 180.
Правильний октаедрсклад з 8 рівносторонник трикутників. Кожна вершина – вершина 4 трикутників. Сума плоских кутів при кожній вершині = 240
Правильний ікосаедрсклад з 20 рівносторонніх трикутників. Кожна вершина – 5 трикутник. Сума плоских кутів при кожній вершині 300.
Кубсклад з 6 квадратів. Кожна вершина – вершина трьох квадратів. Сума плоских кутів за кожної вершині =270.
Правильний додекаедрсклад з 12 правильних п'ятикутників. Кожна вершина – вершина 3 правильних п'ятикутників. Сума плоских кутів за кожної вершини =324.
Інших видів правильних багатогранників немає.
ЦИЛІНДР
Тіло, обмежене циліндричною поверхнею і двома колами з межами L і L1 зв циліндром.Кола L і L1 зв основами циліндра.Відрізки ММ1, АА1 – утворюють.Утворюють склад циліндричну або бічну поверхню циліндра. Пряма, з'єднує центри основ О і О1 зв віссю циліндра.Довжина утворює – висота циліндра.Радіус основи (r) -радіус циліндра.
Переріз циліндра
Осьовепроходить через вісь та діаметр основи
Перпендикулярне до осі
Циліндр – це тіло обертання. Він виходить обертанням прямокутника навколо однієї зі сторін.
Конус
Розглянемо коло (о;r) і пряму ОР перпендикулярну до площини цього кола. Через кожну точку кола L і т.р. проведемо відрізки, їх нескінченно багато. Вони утворюють конічну поверхню і зв утворюючими.
Р- вершина, ОР – вісь конічної поверхні.
Тіло, обмежене конічною поверхнею та навколо з кордоном L зв конусом. Коло –основа конуса. Вершина конічної поверхні - Вершина конуса.Утворюють конічну поверхню утворюють конуса.Конічна поверхня – збоку поверхня конуса.РВ – вісь конуса.Відстань від Р до О – висота конусу.Конус – це тіло обертання. Він виходить обертанням прямокутника трикутника навколо катета.
Перетин конуса
Осьовий переріз
Переріз перпендикулярний до осі
СФЕРА І КУЛЯ
Сфероюназва поверхню, що складається з усіх точок простору, розташованих на даній відстані від даної точки. Ця точка – центр сфери.Даною відстань – радіус сфери.
Відрізок, що з'єднує 2 точки сфери і проходить через її центр зв діаметром сфери.
Тіло, обмежене сферою зв кулею.Центр, радіус і діаметр сфери зв центром, радіусом та діаметром кулі.
Сфера і куля – це тіла обертання. Сферавиходить обертанням півкола навколо діаметра, а кулявиходить обертанням півкола навколо діаметра.
у прямокутній системі координат рівняння сфери радіусу R з центром С(х(0), у(0), Z(0) має вигляд (х-х(0))(2)+(у-у(0))(2 )+(z-z(0))(2)= R(2)
Виносний елемент.
виносний елемент.
- а) не мати спільних точок;
Теорема.
Позначення розрізів
У ГОСТ 2.305-2008 передбачені такі вимоги до позначення розрізу:
1. Положення січної площини вказують на кресленні лінією перерізу.
2. Для лінії перерізу повинна застосовуватися розімкнена лінія (товщина від S до 1,5 S довжина лінії 8-20 мм).
3. При складному розрізі штрихи проводять також біля місць перетину площин між собою.
4. На початковому та кінцевому штрихах слід ставити стрілки, що вказують напрямок погляду, стрілки повинні наноситися на відстані 2-3 мм від зовнішнього кінця штриха.
5. Розміри стрілок повинні відповідати наведеним на малюнку 14.
6. Початковий та кінцевий штрихи не повинні перетинати контур відповідного зображення.
7. У початку і кінця лінії перерізу, а при необхідності і у місць перетину площин, що січуть, ставлять одну і ту ж прописну букву російського алфавіту. Літери наносять біля стрілок, що вказують напрям погляду, та в місцях перетину з боку зовнішнього кута (рис. 24).
Рисунок 24 - Приклади позначення розрізу
8. Розріз має бути позначений написом на кшталт «А-А» (завжди двома літерами через тире).
9. Коли січна площина збігається з площиною симетрії предмета в цілому, а відповідні зображення розташовані на тому самому аркуші в безпосередньому проекційному зв'язку і не розділені якими-небудь іншими зображеннями, для горизонтальних, фронтальних та профільних розрізів не відзначають положення сіючої площини, і розріз написом не супроводжують.
10. Фронтальним та профільним розрізам, як правило, надають положення, що відповідає прийнятому для даного предмета на головному зображенні креслення.
11. Горизонтальні, фронтальні та профільні розрізи можуть бути розташовані на місці відповідних основних видів.
12. Допускається розташовувати розріз на будь-якому місці поля креслення, а також з поворотом з додаванням умовного графічного позначення – значка «Повернуто» (рис. 25).
Малюнок 25 - Умовне графічне позначення – значок «Повернуто»
Позначення перерізів подібнепозначення розрізів і складається з слідів січної площини і стрілки, що вказує напрям погляду, а також літери, що проставляється із зовнішнього боку стрілки (рисунок1в, рисунок3). Винесений переріз не написують і січну площину не показують, якщо лінія перерізу збігається з віссю симетрії перерізу, а сам переріз розташований на продовженні сліду січої площини або в розриві між частинами виду. Для симетричного накладеного перерізу січну площину також не показують. Якщо перетин несиметричний і розташований у розриві або накладений (рисунок 2 б), лінію перерізу проводять зі стрілками, але літерами не позначають.
Перетин допускається розташовувати з поворотом, забезпечуючи напис над перетином словом «повернуто». Для декількох однакових перерізів, що відносяться до одного предмета, лінії перерізів позначають однією і тією ж літерою і викреслюють один переріз. У випадках, якщо перетин виходить з окремих частин, слід застосовувати розрізи.
Пряма загального стану
Прямою загального положення (рис.2.2) називають пряму, не паралельну жодній з даних площин проекцій. Будь-який відрізок такий прямий проектується у цій системі площин проекцій спотворено. Спотворено проектуються і кути нахилу цієї прямої до площин проекцій.
Рис. 2.2.
Прямі приватного становища
До прямих приватного положення відносяться прямі, паралельні до однієї або двох площин проекцій.
Будь-яку лінію (пряму чи криву), паралельну площині проекцій, називають лінією рівня. В інженерній графіці розрізняють три основні лінії рівня: горизонталь, фронталь та профільну лінії.
Рис. 2.3-а
Горизонталлю називають будь-яку лінію, паралельну горизонтальній площині проекцій (рис.2.З-а). Фронтальна проекція горизонталі завжди перпендикулярна до ліній зв'язку. Будь-який відрізок горизонталі на горизонтальну площину проекцій проектується справжню величину. У справжню величину проектується на цю площину та кут нахилу горизонталі (прямий) до передньої площини проекцій. Як приклад на рис.2.З-а дано наочне зображення і комплексне креслення горизонталі h, нахиленою до площини П 2 під кутом b . 
Рис. 2.3-б
Фронталлю називають лінію, паралельну фронтальній площині проекцій (рис.2.3-б). Горизонтальна проекція фронталі завжди перпендикулярна до ліній зв'язку. Будь-який відрізок фронталі на фронтальну площину проекцій проектується справжню величину. У справжню величину проектується на цю площину та кут нахилу фронталі (прямий) до горизонтальної площини проекцій (кут a). 
Рис. 2.3-в
Профільною лінією називають лінію, паралельну профільній площині проекцій (рис.2.З-в). Горизонтальна та фронтальна проекції профільної лінії паралельні лініям зв'язку цих проекцій. Будь-який відрізок профільної лінії (прямий) проектується на профільну площину справжню величину. На цю ж площину проектуються в справжню величину та кути нахилу профільної прямої до площин проекцій. П 1 і П 2 . При заданні профільної прямої на комплексному кресленні потрібно обов'язково вказати дві точки цієї прямої.
Прямі рівні, паралельні двом площин проекцій, будуть перпендикулярні третій площині проекцій. Такі прямі називають проецірующими. Розрізняють три основні проецірующие прямі: горизонтально, фронтально і профільно прямі, що проеціюють. 
Рис. 2.3-г 
Рис. 2.3-д 
Рис. 2.3-те
Горизонтально проеціюючу пряму (рис.2.З-г) називають пряму, перпендикулярну площині П 1 . Будь-який відрізок цієї прямої проектується на площину П П 1 - у крапку.
Фронтально проеціюючу пряму (рис.2.З-д) називають пряму, перпендикулярну площині П 2 . Будь-який відрізок цієї прямої проектується на площину П 1 без спотворення, а на площину П 2 - у крапку.
Профільно проецирующей прямий (рис.2.З-е) називають пряму, перпендикулярну площині П 3, тобто. пряму, паралельну площинам проекцій П 1 і П 2 . Будь-який відрізок цієї прямої проектується на площині П 1 і П 2 без спотворення, а на площину П 3 - у крапку.
Головні лінії у площині
Серед прямих ліній, що належать площині, особливе місце займають прямі, що займають приватне становище у просторі:
1. Горизонталі h - прямі, що у даній площині і паралельні горизонтальної площині проекцій (h//П1)(рис.6.4).
Малюнок 6.4 Горизонталь
2. Фронталі f - прямі, розташовані в площині та паралельні фронтальній площині проекцій (f//П2) (рис.6.5).
Малюнок 6.5 Фронталь
3. Профільні прямі р - прямі, що знаходяться в даній площині та паралельні профільній площині проекцій (р//П3) (рис.6.6). Слід зазначити, що сліди площини можна також віднести до головним лініям. Горизонтальний слід – це горизонталь площини, фронтальний – фронталь та профільний – профільна лінія площини.
Малюнок 6.6 Профіль прямий
4. Лінія найбільшого ската та її горизонтальна площина утворюють лінійний кут j , яким вимірюється двогранний кут, складений даною площиною та горизонтальною площиною проекцій (рис.6.7). Очевидно, якщо пряма немає двох загальних точок з площиною, вона або паралельна площині, або перетинає її.
Рисунок 6.7 Лінія найбільшого схилу
Кінематичний спосіб утворення поверхонь. Завдання поверхні на кресленні.
В інженерній графіці поверхню розглядають як безліч послідовних положень лінії, що переміщається у просторі за певним законом. У процесі утворення поверхні лінія 1 може залишатися незмінною або змінювати форму.
Для наочності зображення поверхні комплексному кресленні закон переміщення доцільно задавати графічно як сімейства ліній (а, b, з). Закон переміщення лінії 1 може бути заданий двома (а та b) або однією (а) лінією та додатковими умовами, що уточнюють закон переміщення 1.
Лінія 1, що переміщається, називається утворюючою, нерухомі лінії a, b, c - напрямними.
Процес утворення поверхні розглянемо з прикладу, наведеному на рис.3.1.
Тут як утворююча взята пряма 1. Закон переміщення твірної заданої направляючої а і прямої b. При цьому мається на увазі, що утворююча 1 ковзає по напрямній а весь час залишаючись паралельною прямою b.
Такий спосіб утворення поверхонь називають кінематичним. З його допомогою можна утворювати та задавати на кресленні різні поверхні. Зокрема, на рис.3.1 зображено загальний випадок циліндричної поверхні.
Рис. 3.1.
Іншим способом утворення поверхні та її зображення на кресленні є завдання поверхні безліччю точок або ліній, що належать їй. При цьому точки та лінії вибирають так, щоб вони давали можливість з достатнім ступенем точності визначати форму поверхні та вирішувати на ній різні завдання.
Багато точок або ліній, що визначають поверхню, називають її каркасом.
Залежно від того, чим задається каркас поверхні, крапками або лініями, каркаси поділяють на точкові та лінійні.
На рис.3.2 показаний каркас поверхні, що складається з двох ортогонально розташованих сімейств ліній a1, a2, a3, ..., an та b1, b2, b3, ..., bn.
Рис. 3.2.
Конічні перерізи.
КОНІЧНІ ПЕРЕЧЕННЯ,плоскі криві, що виходять перетином прямого кругового конуса площиною, що не проходить через його вершину (рис. 1). З точки зору аналітичної геометрії конічний переріз є геометричним місцем точок, що задовольняють рівняння другого порядку. За винятком вироджених випадків, що розглядаються в останньому розділі, конічними перерізами є еліпси, гіперболи або параболи.
Конічні перерізи часто зустрічаються в природі та техніці. Наприклад, орбіти планет, що обертаються навколо Сонця, мають форму еліпсів. Окружність є окремий випадок еліпса, у якого велика вісь дорівнює малій. Параболічне дзеркало має ту властивість, що всі падаючі промені, паралельні його осі, сходяться в одній точці (фокусі). Це використовується в більшості телескопів-рефлекторів, де застосовуються параболічні дзеркала, а також в антенах радарів та спеціальних мікрофонах із параболічними відбивачами. Від джерела світла, вміщеного у фокусі параболічного відбивача, виходить пучок паралельних променів. Тому у потужних прожекторах та автомобільних фарах використовуються параболічні дзеркала. Гіпербола є графіком багатьох важливих фізичних співвідношень, наприклад, закону Бойля (що зв'язує тиск і обсяг ідеального газу) та закону Ома, що задає електричний струм як функцію опору при постійній напрузі.
РАННЯ ІСТОРІЯ
Відкривачем конічних перерізів імовірно вважається Менехм (4 ст. до н.е.), учень Платона та вчитель Олександра Македонського. Менехм використовував параболу та рівнобочну гіперболу для вирішення задачі про подвоєння куба.
Трактати про конічні перерізи, написані Аристеєм та Евклідом наприкінці 4 ст. до н.е., були втрачені, але матеріали з них увійшли до знаменитих конічних перерізів Аполлонія Пергського (бл. 260–170 до н.е.), які збереглися до нашого часу. Аполлоній відмовився від вимоги перпендикулярності сіючої площини утворюючої конуса і, варіюючи кут її нахилу, отримав конічні перерізи з одного кругового конуса, прямого або похилого. Аполлонію ми завдячуємо і сучасними назвами кривих – еліпс, парабола та гіпербола.
У своїх побудовах Аполлоній використовував двопорожнинний круговий конус (як на рис. 1), тому вперше стало ясно, що гіпербола – крива з двома гілками. З часів Аполлонія конічні перерізи поділяються на три типи залежно від нахилу сіючої площини до конуса, що утворює. Еліпс (рис. 1,а) утворюється, коли січна площина перетинає всі конуса, що утворюють, в точках однієї його порожнини; парабола (рис. 1,б) – коли січна площина паралельна одній із дотичних площин конуса; гіпербола (рис. 1, в) – коли січна площина перетинає обидві порожнини конуса.
ПОБУДУВАННЯ КОНІЧНИХ ПЕРЕКЛАВ
Вивчаючи конічні перерізи як перетину площин і конусів, давньогрецькі математики розглядали їх як траєкторії точок на площині. Було встановлено, що еліпс можна визначити як геометричне місце точок, сума відстаней від яких до двох заданих точок постійна; параболу – як геометричне місце точок, рівновіддалених від заданої точки та заданої прямої; гіперболу – як геометричне місце точок, різниця відстаней яких до двох заданих точок постійна.
Ці визначення конічних перерізів як плоских кривих нагадують і спосіб їх побудови за допомогою натягнутої нитки.
Еліпс.
Якщо кінці нитки заданої довжини закріплені в точках F1 і F2 (рис. 2), то крива, що описується вістрям олівця, що ковзає по туго натягнутій нитці, має форму еліпса. Точки F1 та F2 називаються фокусами еліпса, а відрізки V1V2 та v1v2 між точками перетину еліпса з осями координат – більшою та малою осями. Якщо точки F1 і F2 збігаються, то еліпс перетворюється на коло.
Рис. 2 Еліпсіс
Гіперболу.
При побудові гіперболи точка P, вістря олівця, фіксується на нитці, яка вільно ковзає по шпеньках, встановлених у точках F1 та F2, як показано на рис. 3,а. Відстань підібрано так, що відрізок PF2 перевищує по довжині відрізок PF1 на фіксовану величину, меншу за відстань F1F2. При цьому один кінець нитки проходить під шпеньком F1 і обидва кінці нитки проходять поверх шпенька F2. (Вістря олівця не повинно ковзати по нитці, тому його потрібно закріпити, зробивши на нитці маленьку петлю і простягнувши в неї вістря.) Одну гілку гіперболи (PV1Q) ми викреслюємо, стежачи за тим, щоб нитка залишалася весь час натягнутою, і потягуючи обидва кінці нитки вниз за точку F2, а коли точка P виявиться нижчою за відрізок F1F2, притримуючи нитку за обидва кінці і обережно потравлюючи (тобто відпускаючи) її. Другу галузь гіперболи (P?V2Q?) ми викреслюємо, попередньо помінявши ролями шпеньки F1 і F2.
Рис. 3 гіперболи
Гілки гіперболи наближаються до двох прямих, які перетинаються між гілками. Ці прямі, звані асимптотами гіперболи, будуються, як показано на рис. 3,б. Кутові коефіцієнти цих прямих дорівнюють ± (v1v2)/(V1V2), де v1v2 – відрізок бісектриси кута між асимптотами, перпендикулярним до відрізку F1F2; відрізок v1v2 називається сполученою віссю гіперболи, а відрізок V1V2 – її поперечною віссю. Таким чином, асимптоти є діагоналями прямокутника зі сторонами, що проходять через чотири точки v1, v2, V1, V2 паралельно до осей. Щоб побудувати цей прямокутник, необхідно вказати розташування точок v1 і v2. Вони знаходяться на однаковій відстані, що дорівнює
від точки перетину осей O. Ця формула передбачає побудову прямокутного трикутника з катетами Ov1 і V2O та гіпотенузою F2O.
Якщо асимптоти гіперболи взаємно перпендикулярні, то гіпербола називається рівнобічною. Дві гіперболи, що мають загальні асимптоти, але з переставленими поперечною та сполученою осями, називаються взаємно сполученими.
Парабола.
Фокуси еліпса та гіперболи були відомі ще Аполлонію, але фокус параболи, мабуть, вперше встановив Папп (2-я пол. 3 ст.), Який визначив цю криву як геометричне місце точок, рівновіддалених від заданої точки (фокусу) і заданої прямої, яка називається директрисою. Побудова параболи за допомогою натягнутої нитки, заснована на визначенні Паппа, була запропонована Ісидором Мілетським (6 ст). Розташуємо лінійку так, щоб її край збігся з директрисою LLв (рис. 4), і прикладемо до цього краю катет AC креслярського трикутника ABC. Закріпимо один кінець нитки довжиною AB у вершині B трикутника, а інший – у фокусі параболи F. Натягнувши вістрям олівця нитку, притиснемо вістря у змінній точці P до вільного катета AB креслярського трикутника. У міру того, як трикутник буде переміщатися вздовж лінійки, точка P буде описувати дугу параболи з фокусом F і директрисою LLу, так як загальна довжина нитки дорівнює AB, відрізок нитки прилягає до вільного катету трикутника, і тому залишок відрізок нитки PF, що залишився, повинен бути равен частини катета AB, тобто. PA. Точка перетину V параболи з віссю називається вершиною параболи, пряма, що проходить через F і V - віссю параболи. Якщо через фокус провести пряму, перпендикулярну до осі, то відрізок цієї прямої, що відсікається параболою, називається фокальним параметром. Для еліпса та гіперболи фокальний параметр визначається аналогічно.
ВІДПОВІДІ НА КВИТКИ: № 1 (не повністю), 2 (не повністю), 3 (не повністю), 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 (не повністю), 16, 17, 18, 20, 21 , 22, 23, 26,
Виносний елемент.
При виконанні креслень у деяких випадках виникає необхідність у побудові додаткового окремого зображення будь-якої частини предмета, що вимагає пояснень щодо форми, розмірів або інших даних. Таке зображення називається виносний елемент.Його виконують зазвичай збільшеним. Виносний елемент може бути викладений як вид або розріз.
При побудові виносного елемента відповідне місце основного зображення відзначають замкненою суцільною тонкою лінією, зазвичай овалом або колом, і позначають великою літерою російського алфавіту на полиці-виноски. У виносного елемента робиться запис типу А (5: 1). На рис. 191 наведено приклад виконання виносного елемента. Його мають у своєму розпорядженні можливо ближче до відповідного місця на зображенні предмета.
1. Метод прямокутного (ортогонального) проектування. Основні інваріантні властивості прямокутного проектування. Епюр Монжа.
Ортогональне (прямокутне) проектування є окремим випадком проектування паралельного, коли всі проецірующие промені перпендикулярні площині проекцій. Ортогональним проекціям притаманні всі властивості паралельних проекцій, але при прямокутному проектуванні проекція відрізка, якщо він не паралельний площині проекцій, завжди менший від самого відрізка (рис. 58). Це тим, що сам відрізок у просторі є гіпотенузою прямокутного трикутника, яке проекція - катетом: А "В" = ABcos a.
При прямокутному проектуванні прямий кут проектується в натуральну величину, коли обидві сторони його паралельні площині проекцій, і тоді, коли одна з його сторін паралельна площині проекцій, а друга сторона не перпендикулярна цій площині проекцій.
Взаємне розташування прямої та площини.
Пряма та площина у просторі можуть:
- а) не мати спільних точок;
- б) мати рівно одну загальну точку;
- в) мати хоча б дві спільні точки.
На рис. 30 зображено всі ці можливості.
У разі а) пряма b паралельна площині: b | .
У разі б) пряма l перетинає площину в одній точці; l = О.
У разі в) пряма а належить площині: а або а.
Теорема.Якщо пряма b паралельна хоча б однієї прямої а, що належить площині, то пряма паралельна площині.
Припустимо, що пряма m перетинає площину в точці Q. Якщо m перпендикулярна до кожної прямої площини , що проходить через точку Q, то пряма m називається перпендикулярною до площини .
Трамвайні рейки ілюструють приналежність прямих площин землі. Лінії електропередачі паралельні площині землі, а стовбури дерев можуть бути прикладами прямих, що перетинають поверхню землі, деякі перпендикулярні площині землі, інші - не перпендикулярні (похилі).