ЄН 01 МАТЕМАТИКА
Збірник завдань для позааудиторної самостійної роботи на тему: «Застосування певного інтеграла на вирішення фізичних завдань».
для спеціальності:
100126 Сервіс домашнього та комунального господарства
Вологда 2013
Математика:Збірник завдань для позааудиторної самостійної роботи на тему: «Застосування певного інтегралу для вирішення фізичних завдань» для спеціальності: 100126 Сервіс домашнього та комунального господарства
Дана збірка завдань для позааудиторної самостійної роботи на тему: «Застосування певного інтеграла для вирішення фізичних завдань» є навчально-методичним посібником з організації самостійної позааудиторної роботи студентів.
Містить завдання для самостійної позааудиторної роботи для шести варіантів та критерії оцінки виконання самостійної роботи.
Комплект покликаний допомогти студентам систематизувати та закріпити отримані на аудиторних заняттях з математики теоретичний матеріал, сформувати практичні навички.
Укладач: Є. А. Севальова – викладач математики вищої категорії БОУ СПО ВО «Вологодський будівельний коледж»
2. Самостійна робота.
3. Критерії оцінки.
4. Література.
Пояснювальна записка
Дана робота є навчально-методичним посібником з організації самостійної позааудиторної роботи студентів з дисципліни ЄН 01 «Математика» для спеціальності 100126 Сервіс домашнього та комунального господарства.
Мета методичних вказівок полягає у забезпеченні ефективності самостійної роботи, визначенні її змісту, встановлення вимог до оформлення та результатів самостійної роботи.
Цілями самостійної роботи студентів з дисципліни ЄН 01 «Математика» є:
· Систематизації та закріплення отриманих теоретичних знань та практичних навичок;
· Поглиблення та розширення теоретичних знань;
· Формування умінь використовувати довідкову та додаткову літературу;
· розвиток пізнавальних здібностейта активності студентів, творчої ініціативи, самостійності та самоорганізації;
· активізації навчально-пізнавальної діяльності майбутніх спеціалістів.
Самостійні роботи виконуються індивідуально у вільний від занять час.
Студент зобов'язаний:
- перед виконанням самостійної роботи повторити теоретичний матеріал, пройдений на аудиторних заняттях;
- виконати роботу згідно із завданням;
- за кожною самостійної роботиподати викладачеві звіт у вигляді письмової роботи.
Самостійна робота на тему:
«Застосування певного інтеграла на вирішення фізичних завдань»
Ціль:навчитися застосовувати визначений інтегрална вирішення фізичних завдань.
Теорія.
Обчислення шляху, пройденого точкою.
Шлях, пройдений точкою при нерівномірному русі по прямій зі змінною швидкістю а проміжок часу від до , обчислюється за формулою
…… (1)
приклад 1. 
м/с. Знайти шлях, пройдений точкою за 10 звід початку руху.
Рішення:Відповідно до умови 
, , .
За формулою (1) знаходимо:
Відповідь: .
приклад 2.Швидкість руху точки змінюється згідно із законом 
м/с. Знайти шлях, пройдений точкою за 4 секунду.
Рішення:Відповідно до умови 
, ,
Отже:
Відповідь: .
приклад 3.Швидкість руху точки змінюється згідно із законом 
м/с. Знайти шлях, пройдений точкою від початку руху до її зупинки.
Рішення:
· Швидкість точки дорівнює 0 в момент початку руху та в момент зупинки.
· Визначимо, в який момент часу точка зупиниться, для цього розв'яжемо рівняння: 
Тобто , .
· За формулою (1) знаходимо:
Відповідь: .
Обчислення роботи сили.
Робота, здійснена змінною силою при переміщенні по осі Охматеріальної точки від х = адо х =, знаходиться за формулою:
…… (2)
При вирішенні завдань на обчислення роботи сили часто використовують закон Гука: ……(3), де
Сила ( Н);
х- Абсолютне подовження (стиснення) пружини, викликане силою ( м);
Коефіцієнт пропорційності ( Н/м).
приклад 4.Обчислити роботу сили при стисканні пружини на 0,04 мякщо для стиснення її на 0,01 мпотрібна сила 10 Н.
Рішення:
· Так як х = 0,01 мпри силі = 10 Н
, знаходимо , тобто. 
.
Відповідь:Дж.
Приклад 5.Пружина у спокійному стані має довжину 0,2 м. Сила 50 Нрозтягує пружину на 0,01 м. Яку роботу треба здійснити, щоб розтягнути пружину від 0,22 мдо 0,32 м?
Рішення:
· Так як х = 0,01 при силі = 50 Н, то, підставляючи ці значення рівності (3): , отримаємо:
· Підставивши тепер у цю ж рівність знайдене значення 
, знаходимо , тобто. 
.
· Знаходимо межі інтегрування: м, м.
· Шукану роботу знайдемо за формулою (2):
Завдання 1.6.Знайти графічним способом переміщення та шлях, пройдений за t 1 = 5 с матеріальною точкою, рух якої вздовж осі ОХописується рівнянням х = 6 – 4t + t 2 де всі величини виражені в одиницях СІ.
Рішення.У задачі 1.5 ми знайшли (4) проекцію швидкості на вісь ОХ:
Відповідний цьому виразу графік швидкості зображено малюнку 1.6. Проекція переміщення на вісь ОХдорівнює алгебраїчній сумі площ трикутників АОВі BCD. Оскільки проекція швидкості на першій ділянці від'ємна, то площа трикутника АОВберемо зі знаком мінус; а проекція швидкості на другій ділянці позитивна, то площа трикутника BCDберемо зі знаком плюс:
Оскільки шлях - це довжина траєкторії і не може зменшуватися, то щоб знайти його, складемо площі цих трикутників, вважаючи при цьому позитивною площа не тільки трикутника BCD, але й трикутника АОВ:
Раніше (див. задачу 1.5) ми знайшли цей шлях іншим способом – аналітично.
Завдання 1.7.На рис. 1.7, aзображено графік залежності координати деякого тіла, що рухається прямолінійно вздовж осі ОХвід часу. Криволінійні ділянки графіка є частинами парабол. Побудувати графіки залежності швидкості та прискорення від часу.
Рішення.Щоб побудувати графіки швидкості та прискорення, встановимо за цим графіком (рис. 1.7, а) характер руху тіла у різні проміжки часу.
У проміжку 0 – t 1 графік координати є частиною параболи, гілки якої спрямовані вгору. Отже, у рівнянні
що виражає у загальному вигляді залежність координати хвід часу t, коефіцієнт перед t 2 позитивний, тобто. ах > 0. Оскільки парабола зміщена вправо, це означає, що v 0x < 0, т.е. тело имело начальную скорость, направленную противоположно направлению оси ОХ. В течение промежутка 0 – t 1 модуль швидкості тіла спочатку зменшується до нуля, а потім швидкість змінює напрямок на протилежний і її модуль збільшується до деякого значення v 1 . Графік швидкості на цій ділянці - відрізок прямої, що проходить під деяким кутом до осі t(Рис. 1.7, б), а графік прискорення – відрізок горизонтальної прямої, що лежить вище за осю часу (рис. 1.7, в). Вершина параболи на рис. 1.7, авідповідає значенню v 0x= 0 на рис. 1.7, б.
У проміжку часу t 1 – t 2 тіло рухалося рівномірно зі швидкістю v 1 .
У проміжку t 2 – t 3 графік координати – частина параболи, гілки якої спрямовані вниз. Отже, тут а х < 0, скорость тела убывает до нуля к моменту времени t 3 , а в проміжку часу t 3 – t 4 тіло спочиває. Потім протягом проміжку часу t 4 – t 5 тіло рухається рівномірно зі швидкістю v 2 у зворотний бік. У момент часу t 5 воно досягає точки початку відліку координат та зупиняється.
Враховуючи характер руху тіла, збудуємо відповідні графіки проекцій швидкості та прискорення (рис. 1.7, б, в).
Завдання 1.8.Нехай графік швидкості має вигляд, зображений на рис. 1.8. Виходячи з цього графіка, намалюйте графік залежності шляху від часу.
Рішення.Розділимо весь аналізований проміжок часу на три ділянки: 1, 2, 3. На ділянці 1 тіло рухається рівноприскорено без початкової швидкості. Формула шляху для цієї ділянки має вигляд
де а- Прискорення тіла.
Прискорення є відношення зміни швидкості до проміжку часу, протягом якого ця зміна відбулася. Воно дорівнює відношенню відрізків.
На ділянці 2 тіло рухається рівномірно зі швидкістю v, придбаної до кінця ділянки 1. Рівномірний рух почався над початковий час, а момент t 1 . До цього моменту тіло вже пройшло шлях. Залежність шляху від часу має для ділянки 2 такий вигляд:
На ділянці 3 – рівномірне рух. Формула шляху для цієї ділянки виглядає так:
де а 1 – прискорення на ділянці 3. Воно вдвічі менше прискорення ана ділянці 1, оскільки ділянка 3 вдвічі довша за ділянку 1.
Зробимо висновки. На ділянці 1 графік шляху має вигляд параболи, ділянці 2 – прямий лінії, дільниці 3 – теж параболи, але перевернутої (з опуклістю, зверненої вгору) (див. рис. 1.9).
Графік шляху не повинен мати зламів, він зображується плавною лінією, тобто параболи сполучаються з прямою лінією. Це пояснюється тим, що тангенс кута нахилу дотичної до осі часу визначає значення швидкості в момент часу. t, тобто. по нахилу дотичних до графіку шляху можна знайти швидкість тіла у той чи інший момент часу. А оскільки графік швидкості безперервний, з цього випливає, що графік шляху немає зламів.
Крім того, вершина перевернутої параболи повинна відповідати моменту часу t 3 . Вершини парабол повинні відповідати моментам 0 та t 3 , тому що в ці моменти швидкість тіла дорівнює нулю і дотичні до графіка шляху повинні бути для цих точок горизонтальними.
Шлях, пройдений тілом за час t 2 , чисельно дорівнює площі фігури ОАБГ, що утворюється графіком швидкості на проміжку Від 2 .
Завдання 1.9.На рис. 1.10 зображено графік залежності проекції швидкості деякого тіла, що рухається прямолінійно вздовж осі ОХвід часу. Побудувати графіки залежності прискорення, координати та шляхи від часу. У початковий момент часу тіло знаходилося у точці х 0 = -3 м. Усі величини задані в одиницях СІ.
Рішення.Щоб збудувати графік залежності прискорення а х(t), визначимо за графіком v х(t) характер руху тіла у різні проміжки часу. Згадаймо, що за визначенням
де проекція швидкості, .
У проміжку часу з:
У цьому ділянці і (знаки однакові), тобто. тіло рухається рівноприскорено.
У проміжку часу з:
тобто. та (знаки проекцій протилежні) – рух рівносповільнений.
На ділянці c проекція швидкості, тобто. рух відбувається у позитивному напрямку осі ОХ.
На ділянці c проекція швидкості – тіло спочиває (і ).
На ділянці з:
І (знаки однакові) – рух рівноприскорений, але т.к. , то тіло рухається проти осі ОХ.
Після шостої секунди тіло рухається рівномірно () проти осі. ОХ. виглядає, як на рис. 1.11, г.
Розглянемо розв'язання наступних завдань.
1. Через ділянку тіла тварини проходить імпульс струму, який змінюється згодом згідно із законом мА. Тривалість імпульсу 01 с. Визначити роботу, яка здійснюється струмом за цей час, якщо опір ділянки дорівнює 20 кОм.
За малий інтервал часу d t, коли струм практично не змінюється, на опорі Rздійснюється робота. За час всього імпульсу буде здійснено роботу
.
Підставляючи отримане вираз значення струму, отримаємо.
2. Швидкість точки дорівнює 
(М/с). Знайти шлях S, пройдений точкою за час t=4с, минуле від початку руху.
Знайдемо шлях, пройдений точкою за нескінченно малий проміжок часу. Оскільки протягом цього часу швидкість вважатимуться постійної, то . Інтегруючи, маємо
3. Знайти силу тиску рідини на вертикальну трикутну пластину з основою aта заввишки h, занурену в рідину так, що її вершина лежить на поверхні.
Систему координат розташуємо, як показано на рис. 5.
Розглянемо горизонтальну нескінченно малу смужку завтовшки d x, що знаходиться на довільній глибині x. Приймаючи цю смужку за прямокутник, знайдемо її основу EF. З подоби трикутників ABCі AEFотримуємо
Тоді площа смужки дорівнює
Бо сила Pтиску рідини на майданчик S, глибина занурення якої r, за законом Паскаля дорівнює
де r - щільність рідини, g- прискорення сили тяжіння, то шукана сила тиску на аналізований майданчик d Sобчислюється за формулою
.
Отже, сила тиску Pрідини на майданчик ABC
.
Розв'язати задачі.
5.41 Швидкість руху точки визначається рівнянням 
см/с. Знайти шлях, пройдений точкою за час t=5с, що протік від початку руху.
5.42. Швидкість тіла виражається формулою м/с. Знайти шлях, пройдений тілом за перші три секунди після початку руху.
5.43 Швидкість руху тіла визначається рівнянням 
см/с. Який шлях пройде тіло за третю секунду руху?
5.44 Два тіла починають рухатися одночасно з однієї точки: одне зі швидкістю (м/хв), а інше зі швидкістю (м/хв). На якій відстані вони будуть від 10 хв, якщо рухаються по одній лінії в одному напрямку?
5.45 На тіло масою 5 г, що рухається прямолінійно, діє сила (дин). Знайти відстань, пройдену тілом протягом третьої секунди руху.
5.46 Швидкість точки, що коливається, змінюється за законом 
(См/с). Визначити зміщення точки через 0,1 с після початку руху.
5.47 Яку роботу потрібно здійснити, щоб розтягнути пружину на 0,06 м, якщо сила в 1Н розтягує її на 0,01 м?
5.48 Швидкість точки, що коливається, змінюється за законом 
(М/с). Визначити шлях, пройдений точкою за від початку руху.
5.49 Азот, маса якого 7 г, розширюється при незмінній температурі, що дорівнює 300°К так, що його обсяг збільшується вдвічі. Визначити роботу, яку виконує газ. Універсальна газова постійна 
Дж/кмоль.
5.50 Яку роботу треба здійснити, щоб розтягнути пружину завдовжки 25 см до довжини 35 см, якщо відомо, що коефіцієнт жорсткості пружини дорівнює 400 Н/м?
5.51 Через тіло тварини проходить імпульс струму, який змінюється згодом згідно із законом (мА). Тривалість імпульсу дорівнює 0,1с. Визначити заряд, що протікає через тіло тварини.
5.52 Яка робота здійснюється при розтягуванні м'яза на lмм, якщо відомо, що при навантаженні P 0 м'яз розтягується на l 0 мм? Вважати, що сила, необхідна розтягування м'язів, пропорційна її подовженню.
5.53 Тіло рухається в певному середовищі прямолінійно згідно із законом. Опір середовища пропорційний квадрату швидкості. Знайти роботу, зроблену силою опору середовища при пересуванні тіла від S=0 до S=aметрів.
приклад 1.За заданим законом руху S = 10 + 20t - 5t 2 ([S]= м; [t]= с ) визначити вид руху, початкову швидкість і прискорення точки, час до зупинки.
Рішення
1. Вид руху: рівнозмінний
2. При порівнянні рівнянь очевидно, що
- початковий шлях, пройдений на початок відліку – 10 м;
- початкова швидкість 20 м/с;
- постійне дотичне прискорення a t/2 = 5 м/с; a t= – 10 м/с.
- прискорення негативне, отже, рух уповільнений (рівноуповільнений), прискорення спрямоване у бік, протилежну напрямку швидкості руху.
3. Можна визначити час, при якому швидкість точки дорівнюватиме нулю:
v = S"= 20 – 2 5t; v = 20 – 10t = 0;t= 20/10 = 2 с.
Примітка.Якщо при рівнозмінному русі швидкість зростає, отже, прискорення – позитивна величина, графік шляху – увігнута парабола. При гальмуванні швидкість падає, прискорення (уповільнення) – негативна величина, графік шляху – опукла парабола (рис. 10.4).
приклад 2.Крапка рухається по жолобу з точки Ав точку D(Рис. 10.5).
Як зміняться дотичне та нормальне прискорення при проходженні точки через Уі З?
Рішення
1. Розглянемо ділянку АВ.Дотичне прискорення дорівнює нулю (v = const).
Нормальне прискорення (а п = v 2 /r)при переході через точку Узбільшується в 2 рази, воно змінює напрямок, тому що центр дуги АВне збігається із центром дуги ЗС.
2. На ділянці НД:
Дотичне прискорення дорівнює нулю: a t = 0;
Нормальне прискорення під час переходу через точку Ззмінюється: до точки Зрух обертальний, після точки З рух стає прямолінійним, нормальна напруга на прямолінійній ділянці дорівнює нулю.
3. На ділянці CDповне прискорення дорівнює нулю.
приклад 3.За заданим графіком швидкості знайти шлях, пройдений за час руху (рис. 10.6).
Рішення
1. За графіком слід розглянути три ділянки руху. Перша ділянка - розгін зі стану спокою (рівноприскорений рух).
Друга ділянка - рівномірний рух:v = 8 м/с; a 2 = 0.
Третя ділянка – гальмування до зупинки (рівноуповільнений рух).
2. Шлях, пройдений за час руху, дорівнюватиме:
приклад 4.Тіло, що мало початкову швидкість 36 км/год, пройшло 50 м до зупинки. Вважаючи рух рівноуповільненим, визначити час гальмування.
Рішення
1. Записуємо рівняння швидкості рівномірного руху:
v = v про + at = 0.
Визначаємо початкову швидкість м/с: v про= 36 * 1000/3600 = 10 м / с.
Виразимо прискорення (уповільнення) із рівняння швидкості: a = - v 0 /t
2. Записуємо рівняння шляху: S = v o t/2 + at 2/2. Після підстановки отримаємо: S = v o t/2
3. Визначаємо час до повної зупинки (час гальмування):
Приклад 5.Крапка рухається прямолінійно згідно з рівнянням s = 20t - 5t 2 (s -м, t- с). Побудувати графіки відстаней, швидкості та прискорення для перших 4 з руху. Визначити шлях, пройдений точкою за 4 с, та описати рух точки.
Рішення
1. Крапка рухається прямолінійно за рівнянням s = 20t - 5t 2отже, швидкість точки u = ds/d/t = 20 - 10tта прискорення a = a t = dv/dt =-10 м/с 2 . Значить, рух точки рівнозмінний (a = a t = - 10 м/c 2 = const) із початковою швидкістю v 0= 20 м/с.
2. Складемо залежність числових значень sі vдля перших 4 з руху
3. За наведеними числовим значеннямзбудуємо графіки відстаней (рис. а), Швидкості (рис. б) та прискорення (рис. в), вибравши масштаби для зображення по осях ординат відстаней s,швидкості vта прискорення а, і навіть однаковий всім графіків масштаб часу по осі абсцис. Наприклад, якщо відстань s = 5 м зображати на графіці довжиною відрізка l s = 10 мм, то 5м = μ s *10 мм, де коефіцієнт пропорційності μ s є масштаб по осі Os: μ s = 5/10 = 0,5 м/мм (0,5 м за 1 мм); якщо модуль швидкості v= 10 м/с зображати на графіку завдовжки l v=10 мм, то 10 м/c = μ v * 10 мм та масштаб по осі Ovμ v = 1 м/(с-мм) (1 м/с 1 мм); якщо модуль прискорення а= 10 м/с 2 зображувати відрізком la = 10 мм, то, аналогічно попередньому, масштаб по осі Оаμ a = 1 м/(з 2-мм) (1 м/с 2 в 1 мм); і, нарешті, зображуючи проміжок часу Δt= 1 з відрізком μ t = 10 мм, отримаємо на всіх графіках масштаб по осях Ot μ t= 0,1 с/мм (0,1 з 1 мм).
4. З розгляду графіків випливає, що протягом часу від 0 до 2 з точка рухається рівногайно (швидкість) vта прискорення протягом цього проміжку часу мають різні знаки, отже, їх вектори спрямовані в протилежні сторони); у період часу від 2 до 4 з точка рухається рівноприскорено (швидкість vта прискорення мають однакові знаки, тобто їх вектори спрямовані в один бік).
За 4 с точка пройшла шлях s o _ 4 = 40 м. Розпочавши рух зі швидкістю v 0 = 20 м/с, точка по прямій пройшла 20 м, а потім повернулася у вихідне положення, маючи ту саму швидкість, але спрямовану у протилежний бік.
Якщо умовно прийняти прискорення вільного падіння g = 10 мс 2 і знехтувати опором повітря, можна сказати, що графіки описують рух точки, кинутої вертикально вгору зі швидкістю а 0 = 20 м/с.
Приклад 6.Крапка рухається траєкторією, зображеною на рис. 1.44 а відповідно до рівняння s = 0,2t 4 (s- у метрах, t- У секундах). Визначити швидкість та прискорення точки у положеннях 1 та 2.
Рішення
Час, необхідний для переміщення точки з положення 0 (початку відліку) в положення 1, визначимо з рівняння руху, підставивши приватні значення відстані та часу:
Рівняння зміни швидкості
Швидкість точки у положенні 1
Щодо прискорення точки в положенні 1
Нормальне прискорення точки прямолінійному ділянці траєкторії дорівнює нулю. Швидкість та прискорення точки наприкінці цієї ділянки траєкторії показано на рис.1.44, б.
Визначимо швидкість та прискорення точки на початку криволінійної ділянки траєкторії. Очевидно, що v 1= 11,5 м/с, а t1 = 14,2 м/с2.
Нормальне прискорення точки на початку криволінійної ділянки
Швидкість та прискорення на початку криволінійної ділянки показано на рис. 1.44, в(вектори a t 1і a a 1зображені без дотримання масштабу).
Становище 2 точки, що рухається, визначається пройденим шляхом, що складається з прямолінійної ділянки 0 - 1 і дуги кола 1 - 2, відповідного центрального кута 90°:
Час, необхідне для переміщення точки з положення 0 положення2,
Швидкість точки в положенні 2
Дотичне прискорення точки в положенні 2
Нормальне прискорення точки у положенні 2
Прискорення точки у положенні 2
Швидкість та прискорення точки у положенні 2 показано на рис. 1.44, в(вектори atД і а Пгзображені без дотримання масштабу).
Приклад 7.Крапка рухається заданою траєкторією (рис. 1.45, а)згідно з рівнянням s = 5t 3(s - у метрах, t - У секундах). Визначити прискорення точки та кут α між прискоренням та швидкістю в момент t 1коли швидкість точки v 1 = 135 м/с.
Рішення
Рівняння зміни швидкості
Час t 1визначимо із рівняння зміни швидкості, підставивши приватні значення швидкості та часу:
Визначимо положення точки на траєкторії в момент 3:
Дуга кола довжиною 135 м відповідає центральному куту.
Зрівняння зміни дотичного прискорення
Щодо прискорення точки в момент t t
Нормальне прискорення крапки в момент t t
Прискорення крапки в момент t x
Швидкість та прискорення точки в момент часу t 1 показано на рис. 1.45 б.
Як видно із рис. 1.45 б
Приклад 8.У шахту глибиною H = 3000 м із поверхні землі без початкової швидкості кинуто предмет. Визначити, через скільки секунд звук, що виникає в момент удару предмета об дно шахти, досягне поверхні землі. Швидкість звуку 333 м/сек.
Рішення
Рівняння руху вільно падаючого тіла
Час, необхідне переміщення предмета від поверхні землі до дна шахти, визначимо з рівняння руху.