Введення у матаналіз для чайників. Вища математика для чайників чи з чого почати? Що таке похідна функції

New Page 1

Математичний аналіз для чайників. Урок 1. Безліч.

Поняття множини

Безліч- Це сукупність деяких об'єктів. Які можуть бути множини? По-перше, кінцеві чи нескінченні. Наприклад, безліч сірників у коробці - це кінцева множина, їх можна взяти і порахувати. Кількість піщин на пляжі порахувати набагато важче, але, в принципі, можливо. І ця кількість виражається якимось кінцевим числом. Так що безліч піщинок на пляжі також звичайно. А ось безліч точок прямо це безліч нескінченне. Так як по-перше, пряма сама по собі нескінченна і на ній можна поставити скільки завгодно крапок. Безліч точок відрізка прямої теж нескінченна. Тому що теоретично точка може бути як завгодно маленька. Звичайно, ми фізично не зможемо намалювати точку, розміром, наприклад, меншою за розмір атома, але, з точки зору математики точка не має розміру. Її розмір дорівнює нулю. А що виходить, якщо поділити на нуль якесь число? Правильно, нескінченність. І хоча безліч точок на прямій і на відрізку прагне нескінченності, це не одне й те саме. Безліч - це не кількість чогось там, а сукупність будь-яких об'єктів. І рівними вважаються лише ті множини, які містять абсолютно однакові об'єкти. Якщо в одному множині містить ті ж об'єкти, що й інша множина, але плюс ще один якийсь "лівий" об'єкт, то це вже не рівні множини.

Розглянемо приклад. Нехай у нас є дві множини. Перше - сукупність всіх точок на прямій. Друге – сукупність усіх точок на відрізку прямої. Чому вони не рівні? По-перше, відрізок та пряма можуть навіть не перетинатися. Тоді вони точно не рівні, оскільки містять у собі абсолютно різні точки. Якщо вони перетинаються, то вони мають лише одну спільну точку. Всі інші також різні. А якщо відрізок лежить на прямій? Тоді всі точки відрізка є й точками прямої. Не всі точки прямої є точками відрізка. Так що і в цьому випадку множини не можна вважати рівними (однаковими).

Кожна множина задається правилом, яке однозначно визначає, належить елемент до цієї множини чи ні. Які можуть бути ці правила? Наприклад, якщо безліч кінцеве, можна тупо перерахувати його об'єкти. Можна встановити діапазон. Наприклад, усі цілі числа від 1 до 10. Це буде теж кінцеве безліч, але ми не перераховуємо його елементи, а формулюємо правило. Або нерівність, наприклад, усі числа, більші за 10. Це буде вже нескінченна безліч, оскільки не можна назвати найбільше число - які б число ми не називали, завжди є це число плюс 1.

Як правило, множини позначаються великими літерами латинського алфавіту A, B, C і так далі. Якщо безліч складається з конкретних елементів і хочемо задати його списком цих елементів, ми можемо укласти цей перелік у фігурні дужки, наприклад A=(a, b, c, d). Якщо a є елемент множини A, це записують так: a Î A. Якщо ж a не є елементом множини A, то пишуть a Ï A. Однією з важливих множин є множина N всіх натуральних чисел N=(1,2,3,...,) . Існує також спеціальна, так звана порожня множина, яка не містить жодного елемента. Порожня множина позначається символом Æ .

Визначення 1 (визначення рівності множин). Безліч Аі B рівні, якщо вони складаються з тих самих елементів, тобто, якщо з xÎ A слідує x Î B і назад, з x Î B випливає x Î A.

Формально рівність двох множин записується так:

(А = В) := " x (( x Î A ) Û (x Î B )),

Це означає, що для будь-якого об'єкта x співвідношення xÎ A та xÎ B рівносильні.

Тут " - Квантор загальності (" xчитається як "для кожного x").

Визначення 2 (визначення підмножини). Безліч Ає підмножиною безлічі Уякщо будь-яке хщо належить безлічі А, належить безлічі Ст.Формальне це можна у вигляді виразу:

(A Ì B) := " x((x Î A) Þ (x Î B))

Якщо A Ì B, але A ¹ B, то A – власне підмножина множини Ст.Як приклад можна навести знову ж таки пряму і відрізок. Якщо відрізок лежить на прямій, то багато його точок є підмножиною точок цієї прямої. Або інший приклад. Безліч цілих чисел, які діляться без залишку на 3, є підмножиною безлічі цілих чисел.

Зауваження.Порожня множина є підмножиною будь-якої множини.

Операції над множинами

Над безліччю можливі такі операції:

Об'єднання.Суть цієї операції полягає в тому, щоб дві множини об'єднати в одну, що містить елементи кожної з множин, що об'єднуються. Формально це виглядає так:

C=AÈ B: = {x:x Î A або xÎ B}

приклад. Вирішимо нерівність | 2 x+ 3 | > 7.

З нього випливає або нерівність 2x+3 >7, для 2x+3≥0 тоді x>2

або нерівність 2x+3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.

Безліч рішень даної нерівності є об'єднання множин (-∞,-5) È (2, ∞).

Давайте перевіримо. Порахуємо значення вираз | 2 x+ 3 | для кількох точок, що лежать і не лежать у даному діапазоні:

x	\| 2 x+ 3 \|
-10	17
-6	9
-5	7
-4	5
-2	1
0	3
1	5
2	7
3	9
5	13

Як бачимо, все вирішено правильно (червоним позначені прикордонні діапазони).

Перетин.Перетином називається операція створення нової множини з двох, що містять елементи, які входять в обидва ці множини. Щоб зобразити це наочно, давайте уявімо, що у нас є дві множини точок на площині, а саме фігура A і фігура B. Їх перетин позначає фігуру C - це і є результат операції перетину множин:

Формально операція перетину множин записується так:

C=A Ç B:= (x: x Î A і x Î B )

приклад.Нехай у нас є безліч C=A Ç B = {5,6,7}

Віднімання.Віднімання множин - це виняток з віднімається безлічі тих елементах, які містяться у віднімається і відчитувачі:

Формально віднімання множини записується так:

A\B: ={x:x Î A та xÏ B}

приклад.Нехай у нас є безліч A = (1,2,3,4,5,6,7), B = (5,6,7,8,9,10).Тоді C = A \ B = { 1,2,3,4}

Доповнення.Доповнення - це унарна операція (операція над двома, а над одним безліччю). Ця операція є результатом віднімання даної множини з повної універсальної множини (множини, яка включає в себе всі інші множини).

A : = (x:x Î U та x Ï A) = U \ A

Графічно це можна зобразити у вигляді:

Симетрична різниця.На відміну від звичайної різниці при симетричній різниці множин елементи залишаються тільки ті, що присутні або в одному або іншому множині. Або, говорячи простою мовою, з двох множин створюється, але з неї виключаються ті елементи, які є і в тій і в іншій множині:

Математично це можна виразити так:

A D B:= (A\B) È ( B\A) = (A È B) \ (A Ç B)

Властивості операцій над множинами.

З визначень об'єднання та перетину множин випливає, що операції перетину та об'єднання мають такі властивості:

Комутативність.

A È B=BÈ A
AÇ B=BÇ A

Асоціативність.

(A È B) È C=AÈ ( B È C)
(A Ç B) Ç C=AÇ ( B Ç C)

У категорії Математичний аналіз зібрані безкоштовні онлайн відео уроки на цю тему. Математичний аналіз – це сукупність розділів математики, які займаються вивченням функцій та їх узагальнень методами диференціального та інтегрального обчислення. Сюди відносяться: функціональний аналіз, включаючи теорію інтеграла Лебега, комплексний аналіз (ТФКП), що вивчає функції, задані на комплексній площині, теорія рядів та багатовимірних інтегралів, нестандартний аналіз, що вивчає нескінченно малі та нескінченно великі числа, векторний аналіз, а також варіаційне обчислення. Вивчення математичного аналізу з відео уроків буде корисно як початківців, так досвідчених математиків. Відеоуроки з рубрики Математичний аналіз Ви можете дивитися безкоштовно у будь-який зручний час. До деяких відео уроків з математичного аналізу додано додаткові матеріали, які можна завантажити. Приємного навчання!

Усього матеріалів: 12
Показано матеріалів: 1-10

Що таке похідна функції

Хочете дізнатися, що таке похідна функції математики? Ти звичайно багато разів чув про похідну і навіть, напевно, брав цю похідну в школі, зовсім не розуміючи сенсу своїх дій. У цьому відео я не навчатиму тебе формул, а поясню сенс похідної на пальцях так, щоб навіть круглому чайнику було зрозуміло. Але спочатку тобі краще подивитися моє попереднє відео, де я також доступно розповідаю про функції. У цьому відеоуроці ми просто, зрозуміло і наочних прикладах життя...

Введення у аналіз. Потужність множин

Онлайн урок «Вступ до аналізу. Потужність множин» присвячений питанню такого поняття як потужність множин. Це питання стосується кількісної характеристики множин. Якщо безліч звичайно, можна говорити про кількість його елементів. Але як бути з нескінченними множинами? Адже в цьому випадку не буде поняття більше чи менше. Для вирішення цього завдання вводиться таке поняття, як потужність. Потужність - це інструмент кількісного порівняння нескінченних множин. У цьому занятті дається...

Межа функції у точці - визначення, приклади

У цьому онлайн уроці розповідається про таке поняття як межа функції у точці – визначення, приклади. Більшість елементів дослідження функцій спираються на поняття межі функції. Тут буде розглянуто межу функції в точці на простому прикладі, після чого буде дано строго визначення межі функції в точці з докладною ілюстрацією на графіці для кращого засвоєння матеріалу. На даному занятті також розглядаються інші приклади і сформульовано суворе визначення односторонніх...

Збіжність статечних рядів - приклад як знайти область збіжності, дослідження

У цьому відео уроці розповідається про таке поняття як збіжність статечних рядів, як знайти область збіжності, дослідження. Ступіньовий ряд - це окремий випадок функціонального ряду, коли його членами є статечні функції аргументу x. Область збіжності є всі значення змінної x, у яких відповідні числові ряди сходяться. Для дослідження можна використовувати ознаку Даламбера і за допомогою нього показати, що статечний ряд сходиться або розходиться, і при...

Що таке первісна

У цьому відео я розповім тобі про первісну, яка є близькою родичкою похідною. Насправді ти про неї і так уже майже все знаєш, якщо подивився мої попередні відео, і нам залишилося лише розставити крапки над i. Первісна - це «батьківська» функція для похідної. Знайти первісну - це означає відповісти на запитання: а чия дитина? Якщо відома донька, то ми маємо знайти маму. Раніше ми навпаки шукали доньку по заданій мамі. Зараз ми робимо зворотній перехід - від...

Геометричний зміст похідної

У цьому відео я розповім про геометричне значення похідної. Ти дізнаєшся, що геометричний зміст похідної полягає в тому, що похідна та кут нахилу дотичної - це майже одне й те саме. Я говорю «майже» тому що похідна дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної. Можна вважати, що похідна та нахил дотичної – вони тісно пов'язані. Якщо кут нахилу великий, те й похідна велика, а функція у цій точці різко зростає. Якщо кут нахилу маленький, то й похідна...

Що таке функція в математиці

Хочете дізнатися, що таке функція математики? У цьому відеоуроці ми просто і зрозуміло, з використанням графічних ілюстрацій і на наочних життєвих прикладах розповімо, що таке функція, що таке її аргумент, які бувають функції (зростаючі, спадні, змішані), як можна задати функцію (за допомогою графіка, таблиці, формули). Ви побачите, що залежність, яка показує, як одна величина пов'язана з іншою величиною, називається функцією. Будь-яка функція - це зв'язок між величинами...

Межа функції на нескінченності - визначення, приклади

Урок "Межа функції на нескінченності - визначення, приклади" присвячений питанню про те, що таке межі на нескінченності. Більшість елементарних функцій визначено скільки завгодно великого значення аргументу. І тут важливо знати поведінка функції на нескінченності. Один із елементів дослідження такої поведінки є знаходження межі функції на нескінченності. Хоча нескінченність не є числом, і їй не відповідає жодна точка на числовій прямій, визначення межі на...

Межі завдають всім студентам, які вивчають математику, чимало клопоту. Щоб вирішити межу, часом доводиться застосовувати масу хитрощів і вибирати з багатьох способів розв'язання саме той, який підійде для конкретного прикладу.

У цій статті ми не допоможемо вам зрозуміти межі своїх можливостей чи осягнути межі контролю, але постараємося відповісти на запитання: як зрозуміти межі у вищій математиці? Розуміння приходить з досвідом, тому зараз наведемо кілька докладних прикладів вирішення меж з поясненнями.

Поняття межі математики

Перше питання: що це взагалі за межу та межу чого? Можна говорити про межі числових послідовностей та функцій. Нас цікавить поняття межі функції, оскільки саме з ними найчастіше стикаються студенти. Але спочатку - загальне визначення межі:

Припустимо, є певна змінна величина. Якщо ця величина у процесі зміни необмежено наближається до певного числа a , то a - Межа цієї величини.

Для певної в інтервалі функції f(x)=y межею називається таке число A , якого прагне функція при х , що прагне до певної точки а . Крапка а належить інтервалу, у якому визначено функція.

Звучить громіздко, але записується дуже просто:

Lim- від англійської limit- Межа.

Існує також геометричне пояснення визначення межі, але тут ми не лізтимемо в теорію, оскільки нас більше цікавить практична, ніж теоретична сторона питання. Коли ми говоримо, що х прагне якогось значення, це означає, що змінна не приймає значення числа, але нескінченно близько до нього наближається.

Наведемо конкретний приклад. Завдання – знайти межу.

Щоб вирішити такий приклад, підставимо значення x=3 у функцію. Отримаємо:

До речі, якщо вас цікавлять базові операції над матрицями, читайте окрему статтю на цю тему.

У прикладах х може прагнути будь-якого значення. Це може бути будь-яке число чи нескінченність. Ось приклад, коли х прагне нескінченності:

Інтуїтивно зрозуміло, що чим більше число у знаменнику, тим менше значення прийматиме функція. Так, за необмеженого зростання х значення 1/х буде зменшуватись і наближатися до нуля.

Як бачимо, щоб вирішити межу, потрібно просто підставити на функцію значення, якого прагнути х . Однак це найпростіший випадок. Часто перебування межі негаразд очевидне. У межах зустрічаються невизначеності типу 0/0 або нескінченність/нескінченність . Що робити у таких випадках? Вдаватися до хитрощів!

Невизначеності в межах

Невизначеність виду нескінченність/нескінченність

Нехай є межа:

Якщо спробуємо у функцію підставити нескінченність, то отримаємо нескінченність як і чисельнику, і у знаменнику. Взагалі варто сказати, що у вирішенні таких невизначеностей є певний елемент мистецтва: треба помітити, як можна перетворити функцію в такий спосіб, щоб невизначеність пішла. У нашому випадку розділимо чисельник і знаменник на х у старшому ступені. Що вийде?

З уже розглянутого вище прикладу ми знаємо, що члени, які містять у знаменнику х, прагнутимуть нуля. Тоді рішення межі:

Для розкриття невизначеностей типу нескінченність/нескінченністьділимо чисельник і знаменник на ху найвищому ступені.

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на будь-який вид роботи

Ще один вид невизначеностей: 0/0

Як завжди, підстановка у функцію значення х=-1 дає 0 у чисельнику та знаменнику. Подивіться трохи уважніше і Ви помітите, що у чисельнику у нас квадратне рівняння. Знайдемо коріння та запишемо:

Скоротимо та отримаємо:

Отже, якщо ви стикаєтеся з невизначеністю типу 0/0 - Розкладайте чисельник і знаменник на множники.

Щоб Вам було простіше вирішувати приклади, наведемо таблицю за межами деяких функцій:

Правило Лопіталя в межах

Ще один потужний спосіб дозволяє усунути невизначеності обох типів. У чому полягає суть методу?

Якщо межі є невизначеність, беремо похідну від чисельника і знаменника до того часу, поки невизначеність не зникне.

Наочно правило Лопіталя виглядає так:

Важливий момент : межа, в якій замість чисельника та знаменника стоять похідні від чисельника та знаменника, має існувати.

А тепер – реальний приклад:

В наявності типова невизначеність 0/0 . Візьмемо похідні від чисельника та знаменника:

Вуаля, невизначеність усунена швидко та елегантно.

Сподіваємося, що Ви зможете з користю застосувати цю інформацію на практиці та знайти відповідь на питання "як вирішувати межі у вищій математиці". Якщо потрібно визначити межу послідовності або межу функції в точці, а часу на цю роботу немає від слова «зовсім», зверніться до професійного студентського сервісу за швидким і докладним рішенням.

Для тих, хто хоче навчитися знаходити межі в цій статті, ми розповімо про це. Не заглиблюватимемося в теорію, зазвичай її дають на лекціях викладачі. Так що "нудна теорія" має бути у Вас законспектована у зошитах. Якщо цього немає, то можна почитати підручники взяті в бібліотеці навчального закладу або на інших інтернет-ресурсах.

Отже, поняття межі досить важливо у вивченні курсу вищої математики, особливо коли ви зіткнетеся з інтегральним обчисленням та зрозумієте зв'язок між межею та інтегралом. У цьому матеріалі будуть розглянуті прості приклади, а також способи їх вирішення.

Приклади рішень

Приклад 1
Обчислити а) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; б)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $
Рішення
а) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ б)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Нам часто надсилають ці межі із проханням допомогти вирішити. Ми вирішили їх виділити окремим прикладом і пояснити, що ці межі необхідно просто запам'ятати, як правило. Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача!
Відповідь
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( б))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Що робити з невизначеністю виду: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Приклад 3
Вирішити $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $
Рішення
Як завжди починаємо з підстановки значення $ x $ у вираз, що стоїть під знаком межі. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Що тепер далі? Що ж має вийти у результаті? Оскільки це невизначеність, це ще відповідь і продовжуємо обчислення. Так як у чисельники у нас багаточлен, то розкладемо його на множники, допомогою знайомої всім формули ще зі шкільної лави $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Згадали? Чудово! Тепер вперед і з піснею застосовувати її :) Отримуємо, що чисельник $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Продовжуємо вирішувати враховуючи вищенаведене перетворення: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$
Відповідь
$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Спрямуємо межу останніх двох прикладах до нескінченності і розглянемо невизначеність: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Приклад 5
Обчислити $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $
Рішення
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Що ж робити? Як бути? Не варто панікувати, бо неможливе – можливо. Потрібно винести за дужки і в чисельнику і в знаменнику ікс, а потім скоротити його. Після цього межу спробувати обчислити. Пробуємо... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Використовуючи визначення з прикладу 2 і підставляючи місце х нескінченність отримуємо: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
Відповідь
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Алгоритм обчислення лімітів

Отже, давайте коротко підіб'ємо підсумок розібраним прикладам і складемо алгоритм розв'язання меж:

Підставити точку х вираз, наступне після знака межі. Якщо виходить певна кількість, або нескінченність, то межа вирішена повністю. В іншому випадку маємо невизначеність: "нуль ділити на нуль" або "нескінченність ділити на нескінченність" і переходимо до наступних пунктів інструкції.
Щоб усунути невизначеність "нуль ділити на нуль", потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники. Скоротити такі. Підставити точку х у вираз, що стоїть під знаком межі.
Якщо невизначеність "нескінченність ділити на нескінченність", тоді виносимо і в чисельнику, і в знаменнику x найбільшою мірою. Скорочуємо ікси. Підставляємо значення ікса з-під межі в вираз, що залишився.

У цій статті Ви ознайомилися з основами вирішення меж, які часто використовуються в курсі Математичного аналізу. Звичайно ж це не всі типи завдань, що пропонуються екзаменаторами, а найпростіші межі. У наступних статтях поговоримо про інші типи завдань, але спершу необхідно засвоїти цей урок, щоб рухатися далі. Обговоримо, що робити, якщо є коріння, міри, вивчимо нескінченно малі еквівалентні функції, чудові межі, правило Лопіталя.

Якщо Вам не вдається самостійно вирішити межі, то не панікуйте. Ми завжди раді допомогти!

Всі книги можна скачати безкоштовно та без реєстрації.

Теорія.

NEW. Натанзон С.М. Стислий курс математичного аналізу. 2004 рік. 98 стор. djvu. 1.2 Мб.
Ця публікація є коротким записом прочитаного автором курсу лекцій для студентів 1 курсу Незалежного Московського університету у 1997-1998 та 2002-2003 навчальних роках.

завантажити

NEW. Є.Б. Бороніна. Математичний аналіз. Конспект лекцій. 2007 рік. 160 стор pdf. 2.1 Мб.
Ця книга написана для студентів технічних вузів, які бажають підготуватися до іспиту математичного аналізу. Зміст цієї книги повністю відповідає програмі з курсу «Математичний аналіз», іспит яким передбачені більшості вищих навчальних закладів Росії. Програма допомагає швидко і без зайвих труднощів знайти необхідну відповідь на запитання.
Запитання складено автором на основі особистого досвіду з урахуванням вимог викладачів.