Первісна та невизначений інтеграл властивості невизначеного інтеграла. Первісна та інтеграли

ІКТІБ ІТА ЮФУ

КУРС ЛЕКЦІЙ З МАТЕМАТИКИ

Глава 5 Інтегральне обчислення
функції однієї змінної

Лекція 21 Первісна, невизначений інтеграл

План лекції

Первісна і невизначений інтеграл. Властивості невизначеного інтегралу. Табличне інтегрування. Властивість інваріантності формул інтегрування. Підведення під знак диференціалу. Заміна змінної у невизначеному інтегралі. Інтегрування частинами. Розкладання многочленів на множники. Розкладання правильних раціональних дробів на найпростіші. Інтегрування найпростіших та раціональних дробів. Інтегрування тригонометричних функційта деяких ірраціональних виразів.

Поняття первісної та невизначеної інтегралу

Що таке інтеграл? Чи правда, що інтегрування – це дія, зворотна диференціювання. Давайте відповімо на ці та інші питання.

Визначення 1 . Первоподібною для функції називається функція, така що.

Отже, первісна - це функція, похідна від якої дорівнює заданій функції. Зауважимо, що первісна для заданої функції не визначається однозначно. Наприклад, похідна від функції дорівнює функції . Отже, функція є первісною для функції . Але ж похідна від функції також дорівнює функції. Отже, функція також є первісною для функції , як і функція , де - довільна постійна.

Теорема 1 . (Загальний вигляд первинних для заданої функції) Нехай функція є первинною для функції . Тоді будь-яка первісна функції представляється як , де - довільна стала. І навпаки, за будь-якого функція є первісною для функції .

Доведення . Друга частина теореми очевидна, оскільки очевидно, . Тепер достатньо довести, що, якщо похідні двох функцій рівні, ці функції відрізняються на константу. Власне, досить довести, що й похідна від функції (різниці згаданих функцій) дорівнює 0, це похідна від константи. Але це справді так. Візьмемо будь-які дві точки. Різниця значень функції у цих точках за формулою кінцевих прирощень Лагранжа дорівнює похідній у певній проміжній точці, помноженій на різницю аргументів ( ). Але ж похідна скрізь дорівнює 0, отже, і збільшення функції завжди дорівнює 0, тобто функції дорівнює константі. Теорему доведено.

Визначення 2 . Сукупність всіх первісних функції називається невизначеним інтегралом від функції і позначається символом .

Отже, дійсно обчислити невизначений інтеграл – це означає виконання дії, зворотної обчислення похідної. Крім того, з урахуванням теореми 1 справедлива формула для обчислення невизначеного інтеграла , (1) де - одна з первісних для функції, яка називається під ыінтегральною функцією.

Ми вже знаємо, що похідна функція має численні програми. Мова в додатках, звичайно, йдеться про значення похідних в окремих точках, тобто про числа. Зверніть увагу, що невизначений інтеграл є сукупністю функцій. Тому безпосереднє застосування невизначеного інтеграла дуже обмежене. У додатках зустрічаються інші види інтегралів, де результатом є число, а технічно обчислення зводиться до знаходження первинної функції. Тому дуже важливо навчитися обчислювати невизначений інтеграл.

1. Від яких функцій можна обчислити
невизначений інтеграл

Ми знаємо, що можна обчислити похідну будь-якої елементарної функції, використовуючи таблицю похідних основних елементарних функцій та правила обчислення похідних (похідна суми, різниці, твори, приватного, складної функції).

Звідси можна написати таблицю первісних, прочитавши таблицю похідних праворуч наліво. Можна також сформулювати правила, які відповідають правилам обчислення похідної. Із сумою, різницею, винесенням числової множини правила диференціювання та інтегрування ідентичні. А ось із твором, приватним та обчисленням похідної складної функції ситуація складніша. Адже похідна, скажімо, твори не дорівнює «твору похідних». Тому таблиця первісних і правила обчислення первісних неможливо знайти первісну будь-який елементарної функції. Існують так звані «не беруться» інтеграли від елементарних функцій. Наприклад, здавалося б, простий інтеграл не можна в нашому розумінні обчислити, тому що серед елементарних функцій немає функції, похідна якої дорівнює . Первісна для безперервної функції існує завжди, але в даному випадку вона не серед елементарних. Такі функції називаються особливими. Багато хто з них потрібний у додатках, і їх вивчають особливо.

Отже, на відміну обчислення похідної функції, від нас не вимагається вміння обчислити невизначений інтеграл від будь-якої елементарної функції. Ми вивчимо певні типи елементарних функцій, яких повинні навчитися обчислювати невизначені інтеграли.

Таблиця найпростіших невизначених інтегралів

Згадаймо таблицю похідних основних елементарних функцій:

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)	11)	12)

Багато в чому вона породжує таблицю найпростіших невизначених інтегралів. Тут є інші інтеграли. Усі вони можуть бути перевірені обчисленням похідної від правих частин.

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)

	|	наступна лекція ==>
	|

Функція F(x ) називається первісної для функції f(x) на заданому проміжку, якщо для всіх x з цього проміжку виконується рівність

F"(x ) = f(x ) .

Наприклад, функція F(x) = х 2 f(x ) = 2х , так як

F"(x) = (х 2 )" = 2x = f(x). ◄

Основна властивість первісної

Якщо F(x) - Первісна для функції f(x) на заданому проміжку, то функція f(x) має нескінченно багато первісних, і всі ці первісні можна записати у вигляді F(x) + С, де З - Довільна постійна.

Наприклад. Функція F(x) = х 2 + 1 є первісною для функції f(x ) = 2х , так як F"(x) = (х 2 + 1 )" = 2 x = f(x); функція F(x) = х 2 - 1 є первісною для функції f(x ) = 2х , так як F"(x) = (х 2 - 1)" = 2x = f(x) ; функція F(x) = х 2 - 3 є первісною для функції f(x) = 2х , так як F"(x) = (х 2 - 3)" = 2 x = f(x); будь-яка функція F(x) = х 2 + З , де З - довільна постійна, і тільки така функція, є першорядною для функції f(x) = 2х . ◄

Правила обчислення первісних

1. Якщо F(x) - Первісна для f(x) , а G(x) - Первісна для g(x) , то F(x) + G(x) - Первісна для f(x) + g(x) . Іншими словами, первісна сума дорівнює сумі первісних .
2. Якщо F(x) - Первісна для f(x) , і k - Постійна, то k · F(x) - Первісна для k · f(x) . Іншими словами, постійний множник можна виносити за знак похідної .
3. Якщо F(x) - Первісна для f(x) , і k,b- Постійні, причому k ≠ 0 , то 1 / k · F ( k x + b ) - Первісна для f(k x + b) .

Невизначений інтеграл

Не певним інтегралом від функції f(x) називається вираз F(x) + С, тобто сукупність всіх первісних даної функції f(x) . Позначається невизначений інтеграл так:

∫ f(x) dx = F(x) + С ,

f(x)- називають підінтегральною функцією ;

f(x) dx- називають підінтегральним виразом ;

x - називають змінної інтегрування ;

F(x) - Одна з первісних функції f(x) ;

З - Довільна постійна.

Наприклад, ∫ 2 x dx =х 2 + З , ∫ cosx dx = sin х + З і так далі. ◄

Слово "інтеграл" походить від латинського слова integer що означає "відновлений". Вважаючи невизначений інтеграл від 2 x, ми ніби відновлюємо функцію х 2 , похідна якої дорівнює 2 x. Відновлення функції з її похідної, чи, те саме, відшукання невизначеного інтеграла з цієї підинтегральної функції, називається інтегруванням цієї функції. Інтегрування є операцією, зворотну диференціюванню. Для того щоб перевірити, чи правильно виконано інтегрування, достатньо продиференціювати результат і отримати при цьому підінтегральну функцію.

Основні властивості невизначеного інтегралу

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

2. Постійний множник підінтегрального виразу можна виносити за знак інтегралу:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

3. Інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів від цих функцій:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Якщо k,b- Постійні, причому k ≠ 0 , то

∫ f ( k x + b) dx = 1 / k · F ( k x + b ) + З .

Таблиця первісних та невизначених інтегралів

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + С
I.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
ІІ.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
ІІІ.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
V.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |sin x|+C$$
ХІХ.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
Первинні та невизначені інтеграли, наведені в цій таблиці, прийнято називати табличними первісними і табличними інтегралами .

Визначений інтеграл

Нехай на проміжку [a; b] задана безперервна функція y = f(x) тоді певним інтегралом від a до b функції f(x) називається прирощення первісної F(x) цієї функції, тобто

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Числа aі bназиваються відповідно нижнім і верхнім межами інтегрування.

Основні правила обчислення певного інтегралу

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) де k - Постійна;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x) dx \);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), де f(x) - парна функція;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), де f(x) - Непарна функція.

Зауваження . У всіх випадках передбачається, що підінтегральні функції, що інтегруються на числових проміжках, межами яких є межі інтегрування.

Геометричний та фізичний зміст певного інтегралу

Геометричний зміст певного інтегралу	Фізичний зміст певного інтегралу
Площа Sкриволінійної трапеції (фігура, обмежена графіком безперервної позитивної на проміжку [a; b] функції f(x) , віссю Ox та прямими x=a , x=b ) обчислюється за формулою $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Шлях s, який подолала матеріальна точка, рухаючись прямолінійно зі швидкістю, що змінюється за законом v(t) , за проміжок часу a ; b] , то площа фігури, обмеженою графіками цих функцій та прямими x = a , x = b , обчислюється за формулою $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Наприклад. Обчислимо площу фігури, обмеженою лініями y = x 2 і y = 2- x . Зобразимо схематично графіки даних функцій і виділимо іншим кольором фігуру, площу якої потрібно знайти. Для знаходження меж інтегрування розв'яжемо рівняння: x 2 = 2- x ; x 2 + x - 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Об'єм тіла обертання

	Якщо тіло отримано внаслідок обертання біля осі Ox криволінійної трапеції, обмеженої графіком безперервної та невід'ємної на проміжку [a; b] функції y = f(x) та прямими x = aі x = b , то його називають тілом обертання . Обсяг тіла обертання обчислюється за формулою $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Якщо тіло обертання отримано внаслідок обертання фігури, обмеженої зверху та знизу графіками функцій y = f(x) і y = g(x) відповідно, то $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Наприклад. Обчислимо об'єм конуса з радіусом r та заввишки h . Розташуємо конус у прямокутній системі координат так, щоб його вісь збігалася з віссю Ox , А центр основи розташовувався на початку координат. Обертання утворює ABвизначає конус. Оскільки рівняння AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
і для обсягу конуса маємо $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄

Визначення первісної.

Первоподібною функцією f(x) на проміжку (a; b) називається така функція F(x) , що виконується рівність для будь-якого х із заданого проміжку.

Якщо взяти до уваги той факт, що похідна від константи С дорівнює нулю, то справедлива рівність . Таким чином, функція f(x) має безліч первісних F(x)+C для довільної константи З, причому ці первісні відрізняються один від одного на довільну постійну величину.

Визначення невизначеного інтегралу.

Все безліч первісних функцій f(x) називається невизначеним інтегралом цієї функції і позначається .

Вираз називають підінтегральним виразом, а f(x) - підінтегральною функцією. Подинтегральное вираз є диференціал функції f(x) .

Дія знаходження невідомої функції за заданим її диференціалом називається невизначенимінтегруванням, тому що результатом інтегрування є не одна функція F(x), а безліч її первісних F(x)+C.

На основі властивостей похідної можна сформулювати та довести властивості невизначеного інтегралу(Властивості первісної).

Проміжні рівності першої та другої властивостей невизначеного інтеграла наведені для пояснення.

Для доказу третьої та четвертої властивостей достатньо знайти похідні від правих частин рівностей:

Ці похідні рівні підінтегральним функцій, що є доказом з першої якості. Воно ж використовується в останніх переходах.

Таким чином, завдання інтегрування є зворотним завданням диференціювання, причому між цими завданнями дуже тісний зв'язок:

• перше властивість дозволяє проводити перевірку інтегрування. Щоб перевірити правильність виконаного інтегрування, достатньо обчислити похідну отриманого результату. Якщо отримана результаті диференціювання функція виявиться рівної підінтегральної функції, це означатиме, що інтегрування проведено правильно;
• друга властивість невизначеного інтеграла дозволяє за відомим диференціалом функції знайти її первісну. У цьому властивості засноване безпосереднє обчислення невизначених інтегралів.

Розглянемо приклад.

приклад.

Знайти первісну функцію , значення якої дорівнює одиниці при х = 1 .

Рішення.

Ми знаємо з диференціального обчислення, що (Досить заглянути в таблицю похідних основних елементарних функцій). Таким чином, . За другою властивістю . Тобто, маємо безліч первісних. При х = 1 отримаємо значення. За умовою, це значення має дорівнювати одиниці, отже, С = 1 . Шукана первісна набуде вигляду.

приклад.

Знайти невизначений інтеграл та результат перевірити диференціюванням.

Рішення.

За формулою синуса подвійного кута із тригонометрії тому

З таблиці похідних для тригонометричних функцій маємо

Тобто,

За третьою властивістю невизначеного інтегралу можемо записати

Звертаючись до другої властивості, отримаємо .

Отже,

Перевірка.

Для перевірки результату продиференціюємо отриманий вираз:

Через війну отримали подинтегральную функцію, отже, інтегрування виконано правильно. В останньому переході було використано формулу синуса подвійного кута.

Якщо таблицю похідних основних елементарних функцій переписати як диференціалів, то з неї за другим властивості невизначеного інтеграла можна скласти таблицю первообразных.

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Ми починаємо вивчати інтеграли, які широко використовуються у багатьох галузях техніки. Вивчення розпочнемо з невизначеного інтегралу.

Первісна і невизначений інтеграл

Основне завдання диференціального обчислення є диференціювання даних функцій, іншими словами, завдання знаходження швидкості зміни цієї функції. Численні питання науки і техніки призводять до постановки зворотного завдання: за заданою функцією f(x) відновити таку функцію F(x), для якої f(x) була б похідною: F¢(x) = f(x).

Визначення. Функція F(x) називається первісною для f(x), якщо

F ¢ (x) = f(x) або dF(x) = f(x) dx.

Приклади. 1) f(x) = 3x2, F(x) = x3;

2) f(x) = cosx, F(x) = sinx.

Легко бачити, що ця функція f (x) = 3x 2 відповідає не одна первісна, а безліч: х 3 ; х 3+1; х 3 - 1; х 3+5; х 3 – 100; х 3+С.

Справді, (х 3)¢ = 3x 2; (x 3 + 1) ¢ = 3x 2; (x 3 - 1) ¢ = 3x 2; . . . . (x 3 + С) = 3x 2 .

Взагалі, якщо F(x) - первісна дана функція f(x), то першорядною функцією буде і функція F(x) + c, "СÎR, тому що:

¢ = F¢(x) = f(x).

Чи вичерпується безліч всіх первісних f(x) виразами виду F(x) + C чи є первісні цієї функції, що не вийшло з F(x) + C ні при якому значенні C? Виявляється, правильне твердження: ніяких інших первісних функцій f(x) немає. Іншими словами, якщо F 1 (x) і F 2 (x) - дві первісні для f (x), то F 1 (x) = F 2 (x) + С,

де С – деяка стала.

Справді, т.к. F 1 (x) і F 2 (x) - первісні для f (x), то

Розглянемо різницю за всіх х.

Нехай х 0 - якесь фіксоване значення аргументу,

х – довільне інше значення.

За формулою Лагранжа

де - деяке число між х0 і х. Так як:

У будь-якої функції f (x) є первісна?

Теорема.Якщо функція f (x) безперервна на якомусь проміжку, вона має на ньому первісну (без доказу).

Визначення.Якщо F(x) - якась первісна для f(x), то вираз F(x) + С, де С - довільна постійна, називається невизначеним інтегралом і позначається: , при цьому f(x) називається підінтегральною функцією, а вираз f(x) dx - підінтегральним виразом:

Дія знаходження невизначеного інтеграла, інакше, знаходження всіх первісних від цієї функції називається інтегруваннямцієї функції. Очевидно, що операції диференціювання та інтегрування взаємно обернені.

Додавання та віднімання, зведення в ступінь і вилучення кореня, множення та поділ дають приклади взаємозворотних математичних операцій.