Ємнісне напруження відстає від струму по фазі на чверть періоду (90 0)

Аналіз послідовноїRLC -ланцюги при гармонійному впливі

На основі другого закону Кірхгофа u = u R +u C +u Lабо в комплексній

формі

U=U R+ U C + U L. З урахуванням

отримаємо

де - комплексний опір RLC- ланцюги

Перетворивши, отримуємо, що ,

де - реактивний опір, - повний опір ланцюга, а - кут зсуву фаз RLCланцюги.

Запишемо закон Ома в комплексній формі з урахуванням фазових співвідношень:

. Тут .

Трикутник опорів в RLC- Ланцюги.

- Повний опір RLC- ланцюги,

кут зсуву фаз RLC- Ланцюги.

Розглянемо залежності повного опору Zі кута зсуву фаз φ у послідовній RLC-ланцюги від частоти. На деякій частоті ω 0 може виконуватись рівність

Розглянемо напруги на індуктивності та ємності

;

Варіанти графіків U L . U Cв RLC- Ланцюги. Графіки можуть мати максимуми, а можуть і не мати (залежить від співвідношення величин елементів).

Векторні діаграми послідовноїRLC -ланцюги

Сукупність кількох векторів, що відображають струми та напруги в деякому ланцюзі, називається векторною діаграмою. Для послідовної RLC – ланцюги діаграму будують, відкладаючи по горизонталі струм, потім також за напрямом струму відкладають у масштабі вектор резистивної напруги, потім з його кінця перпендикулярно відкладають вгору вектор індуктивної напруги і з його кінця вниз вектор ємнісного.

Вигляд діаграм залежить від вибраної частоти по відношенню до резонансної.

1) ω<ω 0 , U L< U C

2) ω=ω 0 → U L =U Cφ=0

3) ω>ω 0 . U L > U C

Паралельні RLC - ланцюги

U=I· Z=I/Y Y - Комплексна провідність, B– реактивна Розглянемо схему із паралельними RLC- Елементами:

Усі її елементи з'єднані паралельно і знаходяться під однією і тією ж напругою u(t)=Um▪sin(wt+y u). Необхідно визначити струм у ланцюгу i(t). На підставі 1-го закону Кірхгофа у будь-який момент часу справедливе співвідношення
i(t)=i R(t)+i L(t)+i C(t) .
Окремі складові струмів визначаються виразами
Підставивши замість u(t)гармонійну функцію часу та провівши необхідні математичні операції, отримаємо

Визначатимемо шуканий струм у вигляді i(t)=Im▪sin(wt+ y i).
Перейдемо до комплексних миттєвих значень.

Скорочуючи на e j w tі врахувавши, що , отримаємо

або
Вираз у дужках – комплексна провідність ланцюга Y
, - резистивна складова провідності,
- Реактивна складова провідності. і вона може дорівнювати 0

на якійсь частоті 0, яку називають резонансною.

Закон Ома у комплексній формі для ланцюга записується
або

Звідси випливає, що при паралельному з'єднанні гілок ланцюга комплексна еквівалентна провідність дорівнює сумі комплексних провідностей гілок:

Проаналізуємо векторну діаграму паралельної RLC - ланцюги

Напруга взята як опорний вектор, струм у резисторі збігається по фазі з напругою, струм в індуктивності відстає на 90 0 а струм ємнісної випереджає на 90 0 і менше (ω<ω 0). Общий ток равен сумме векторов всех токов и он отстает от напряжения по фазе.

Принцип дуальності в електричних ланцюгах

В електричних ланцюгах є деякі поняття, які з одного боку протилежні один одному, а з іншого боку взаємопов'язані та доповнюють одне одного (з фізики: електромагнітне поле – електричне поле та магнітне поле). Такі поняття, величини називаються дуальними.

У дуальних величин форми записи та математичні рівняння однакові.

Напруга струм

Контур вузол

Закон Кірхгофа 2 закон Кірхгофа

Опір провідність

U=I· ZI=U· Y

Послідовний ланцюг паралельний ланцюг

ІІН ІІТ

Формули, отримані для деякого ланцюга, можна формально поширити на дуальні величини в дуальному ланцюгу. Дуальні величини поводяться однаково в дуальних ланцюгах, а такі поводитимуться протилежно в тих же умовах.

приклад 2 Тут Е1 - джерело постійної ЕДС, а j2 - джерело змінного струму .

У разі ми можемо використовувати лише метод накладання. Складемо дві схеми заміщення, у першій з яких розраховуються часткові струми джерела постійної ЭДС. Тому в ній індуктивність замінена перемичкою, а ємність розривом. У другій схемі розраховуються часткові струми від джерела змінного струму і тут необхідно перевести всі струми, напруги та опори у комплексну форму та записати закони Кірхгофа у комплексній формі.

I 1E1 I R2E1 C i 1 j2 i R2 j2 ic j2 L I 3E1 i2 = j2 i 3 j2

I 1 E 1 =E1/(R1+R2)=I 2 E 1 =I 3 E 1 . Тут треба складати рівняння МКТ в комплексній формі. Наприклад, за 1 законом

I 1 J 2 + I R 2 J 2 + I CJ 2 -J 2 = 0, - I CJ 2 - I R 2 J 2 + I 3 J 2 =0.

Можна використовувати загальну провідність щодо джерела струму. , , , . Аналогічно інші струми

У результаті виходить, що i 1 = I 1 E 1 +i 1 j 2 i R 2 = I R 2 E 1 - i R 2 j 2 , ic = i cj 2 ,

i 3 =I 3 E 1 – i 3 j 2 , i 2 =j 2 .

2.1.1. Включити ЕОМ та запустити запропоновану викладачем програму.

2.1.2. Змоделювати на наборному полі програми електричний ланцюг. Параметри елементів встановити за вказівкою викладача.

Примітка. - Опір не ідеальної котушки індуктивності.

2.1.3. Запустити програму виконання в режимі розрахунку динамічних (усталених) процесів у ланцюгах змінного струму.

2.1.4. Зняти та записати в протокол значення струму, потенціали всіх неявних вузлів ланцюга, потужностей, що виробляються та розсіюються на всіх елементах ланцюга.

2.2. Дослідження електричного ланцюгаз паралельним з'єднанням RLC елементів

2.2.1. Змоделювати на наборному полі програми електричний ланцюг.

2.2.2. Запустити програму виконання в режимі розрахунку динамічних (усталених) процесів у ланцюгах змінного струму.

2.2.3. Зняти та записати в протокол значення струмів, що протікають по всіх елементах ланцюга та потужностей, що розсіюються на всіх елементах ланцюга.

2.3. Дослідження змішаної сполуки R, L, Cелементів

2.3.1. Змоделювати електричний ланцюг.

2.3.2. Запустити програму виконання в режимі розрахунку динамічних (усталених) процесів у ланцюгах змінного струму.

2.3.3. Зняти і записати в протокол значення струмів, що протікають по всіх елементах ланцюга, напруги на всіх вузлах ланцюга і потужностей, що виробляються і розсіюються на всіх елементах ланцюга.

2.3.4. Повторити випробування п. 2.3.3 для другої схеми.

Обробка даних

3.1. За даними пп. 2.1.3, 2.2.3 та 2.3.3 побудувати топографічні діаграми напруг, векторні діаграми струмів. Виділити активну та реактивну складові напруги на індуктивності.

3.2. Показати справедливість застосування законів Ома та Кірхгофа для розрахунку ланцюгів змінного струму.

3.3. Побудувати трикутники струмів, напруг та потужностей для послідовного та паралельного з'єднань.

3.4. Зробити висновки щодо роботи.

Запитання для самоперевірки

1. Дати визначення послідовного, паралельного та змішаного з'єднань ланцюга.

2. Дати визначення основних параметрів змінного струму.

3. Записати математичну модель R, L, C– елементів у ланцюгах змінного струму.

4. Дати визначення векторної та топографічної векторної діаграм.

5. Як розраховується баланс потужностей ланцюгах змінного струму.

6. Що таке трикутники струмів, напруг та потужностей, як і для чого вони будуються.

Лабораторна робота 3

Дослідження індуктивно зв'язаних ланцюгів

Мета роботи:

віртуально:дослідження ланцюгів з приголосною та зустрічною сполукою індуктивностей, дослідження передачі потужності в індуктивно зв'язаних ланцюгах;

аналітично:побудова векторних та топографічних діаграм, аналіз досліджуваних кіл.

Основи теорії

При вивченні теорії звернути увагу на таке.

Змінний синусоїдальний струм може бути описаний гармонічною функцією або вектором, що обертається на комплексній площині.

Для всіх лінійних елементів ланцюга (у тому числі для елементів із взаємною індуктивністю) справедливий закон Ома в комплексній формі запису: , , , . Множники при струмі називаються відповідно активним, індуктивним і ємнісним опорами, записаними в комплексному вигляді. У загальному вигляді комплексний опір записується єдиною літерою Z: , , , . У ланцюгах з послідовним з'єднаннямелементів опору складаються у комплексному вигляді. Величини, обернені до комплексних опорів, називаються відповідними комплексними провідностями. У ланцюгах з паралельним з'єднанням елементів складаються провідності.

Для ланцюгів змінного струму справедливі закони Кірхгофа в комплексній формі запису. Сутнісна відмінність законів Кірхгофа для ланцюгів постійного струму від законів Кірхгофа для ланцюгів постійного струму полягає в тому, що для ланцюгів постійного струму справедливо арифметичне складання величин, а для ланцюгів змінного струму - геометричне (векторне) складання величин.

Дві ділянки електричного кола називаються індуктивно - пов'язаними, якщо мають загальне магнітне поле. Тобто кожна з ділянок ланцюга знаходиться в магнітному полі, створеному струмом, що протікає по іншій ділянці. Теоретично електричних ланцюгів параметром, що характеризує здатність елемента створювати магнітне поле, є індуктивність зазначеного елемента L. Відповідно, параметром взаємного зв'язку елементів є взаємна індуктивність M, що визначається через коефіцієнт зв'язку двох індуктивних елементів k: .

Миттєве значення потужності в ланцюгах синусоїдального струму розраховують аналогічно до розрахунку миттєвого значення потужності в ланцюгах постійного струму.

У комплексному вигляді скалярна потужність визначається за формулою , де - сполучене значення струму, Р- Активна потужність, Q- Реактивна потужність.

Для наочного зображення отриманих величин струму та напруги використовують векторні та топографічні векторні діаграми на комплексній площині. Векторна діаграма будується з початку координат і показує лише величину та фазу досліджуваної величини. Топографічна векторна діаграма - це векторна діаграма ланцюга, побудована з урахуванням топології ланцюга. Кожному вузлу ланцюга відповідає своя точка на топографічній векторній діаграмі.

Віртуальні дослідження

Головна > Книги > Електроніка

2.8. Паралельне з'єднання R, L, С

Якщо до затискачів електричного ланцюга, що складається з паралельно з'єднаних елементів R, L, С(рисунок 2.18), додана гармонійна напруга u = Umcosωt, то гармонійний струм, що проходить через цей ланцюг, дорівнює сумі алгебри гармонійних струмів в паралельних гілках (перший закон Кірхгофа): i = iR + iL + iC.

Струм iRу опорі Rзбігається по фазі з напругою і, струм iLв індуктивності Lвідстає, а струм iCу ємності Звипереджає напругу на π /2 (рисунок 2.19).

Отже, сумарний струм iу ланцюзі дорівнює

(2.20)

Рівняння (2.20) є тригонометричною формою запису першого закону Кірхгофа для миттєвих значень струмів. Вхідна величина називається реактивною провідністю ланцюга , яка в залежності від знака може мати індуктивний (b > 0)або ємнісний (b< 0) характер. На відміну від реактивної провідності bактивна провідність g = l/Rзавжди позитивна.

Для знаходження Imта φ скористаємося векторною діаграмою, що відповідає рівнянню (2.20) (рисунок 2.20, а та б). Прямокутний трикутник із катетами IRі та гіпотенузою Iназивається трикутником струмів. Трикутник струмів побудований малюнку 2.20, адля b >0, а малюнку 2.20, б− для b< 0 .

З трикутника струмів випливає, що або I = yU; Im=yUm

Тут (2.21)

повна провідність аналізованого паралельного ланцюга.

Активна, реактивна і повна провідності належать до основних понять, що застосовуються в теорії електричних кіл.

Кут фазового зсуву струму iщодо напруги і дорівнює:

. (2.22)

Якщо встановлено напругу і = Umcos(ωt + y)на затискачах ланцюга з паралельно з'єднаними R, Lі Зто струм визначається за формулою

i = yUmcos(ωt + y - φ).

Кут φ, як і в попередньому випадку, відраховується на часовій діаграмі ωtвід напруги до струму, але в векторної діаграмі - від струму до напруги; він є гострим або прямим кутом

|φ | .

Кут φ позитивний за індуктивного характеру ланцюга, тобто. при b > 0; при цьому струм відстає по фазі від напруги. Кут φ від'ємний при ємнісному характері ланцюга, тобто. при b< 0 ; при цьому струм випереджає напругу по фазі. Струм збігається з напругою по фазі при b = bR - bC = 0, тобто. при рівності індуктивної та ємнісної провідностей. Такий режим роботи електричного кола називається резонансом струмів.

З (2.21) і (2.22) випливає, що активна та реактивна провідності ланцюга пов'язані з повною провідністю формулами:

g = ycosφ; b = уsinφ. (2.23)

Помноживши праві та ліві частини виразів (2.23) на чинне значення напруги U, Отримаємо діючі значення струмів у гілках з активною та реактивною провідностями зображувані катетами трикутника струмів і звані активною та реактивною складовими струму:

Ia = gU = ycosφ U = Icosφ;

Ip = bU = ysinφ U = Isinφ.

Як видно з трикутників струмів та рівнянь (2.24), активна та реактивна складові струму пов'язані з діючим значенням сумарного струму формулою

.

Розділивши сторони трикутника струмів на U, Отримаємо прямокутний трикутник провідностей, подібний до трикутника напруг (рисунок 2.21, а, б).

Трикутник провідностей служить геометричною інтерпретацією рівнянь (2.21) та (2.22); активна провідність gвідкладається по горизонтальній осі вправо, а реактивна провідність bзалежно від її знака відкладається вниз (b > 0)або вгору (b< 0) .

Кут у трикутнику провідностей відраховується, від гіпотенузи до катета gщо відповідає відліку φ у трикутнику струмів від I = yUдо Ia = gU.

Для характеристики конденсаторів, що представляють ланцюгом з ємнісною та активною провідностями, застосовується поняття добротність конденсатора QC = b/g = ωCR, Яке рівнозначно тангенсу кута |φ | конденсатора. Зворотна величина називається тангенсом кута діелектричних втрат конденсатора. tgδ = l/QC(Кут діелектричних втрат δ доповнює кут |φ | до 90 °).

Чим більший опір R, тим більше (за інших рівних умов) добротність конденсатора і тим менше кут втрат.

Добротність конденсаторів для різних частот і діелектриків коливається в широких межах, приблизно від 100 до 5000. Слюдяні конденсатори мають більшу добротність, ніж керамічні. Добротність конденсаторів, що застосовуються у високочастотній техніці, приблизно в 10 разів перевищує добротність індуктивних котушок.

Розглянемо паралельне з'єднання різноманітних елементів
R, L, C.

Рис.2.20. Схема паралельного з'єднання елементів R, L, C

Нехай на вхід ланцюга подано напругу u = U m sin(wt+j u),тоді за першим законом Кірхгофа:

Комплексне зображення вхідної напруги:

Для визначення комплексу загального струмузнайдемо його складові:

тоді комплекс загального струму:

. 54(2.44)

Побудуємо векторну діаграму для паралельного з'єднання (рис.2.21).

Нехай φ u< 0, φ u - φ I = j >0, j- Випереджальний, характер навантаження активно-індуктивний.

Вираз у круглих дужках (2.44) має розмірність 1/Ом або См (симменс) і має назву комплексної провідності ланцюга:

де y- модуль комплексної провідності, а j- Кут зсуву фаз між струмом і напругою.

Рис.2.21. Векторна діаграма для паралельного з'єднання різнорідних елементів

Комплексна амплітуда загального струму:

Її модуль:

Миттєве значення загального струму:

i = I m sin (wt + φ u - j).

Провідності

Під комплексною провідністю будь-якого ланцюга розуміється величина, зворотна її повному комплексному опору:

де g- Активна провідність даного ланцюга;

b– результуюча реактивна провідність.

де b Lі b C- Індуктивна та ємнісна провідності відповідно.

Поняття провідності набуває особливого сенсу в тому випадку, якщо гілка містить активні та реактивні елементи. На гілки, зображеній на рис.2.22, визначимо її активну та реактивну провідності:

Рис.2.22. Ділянка ланцюга з активно-індуктивним опором

З векторної діаграми(рис.2.21) можна виділити трикутник струмів:

Рис.2.23. Вектор трикутник струмів

Розділивши сторони векторного трикутника струмів на вектор напруги, отримаємо скалярний трикутник провідностей.

Рис.2.24. Скалярний трикутник провідностей

Резонанс струмів

Резонансний режим, що виникає при паралельному з'єднанні R, L, C,називається резонансом струмів. На відміну від розглянутого раніше режиму резонансу напруги, даний режим не настільки однозначний.

Рис.2.25. Ланцюг з паралельним з'єднанням
різнорідних приймачів

У ланцюзі (рис.2.25) режим резонансу струмів виникає за умови рівності нулю результуючої реактивної провідності цього кола:

b = b 1 + b 2 = 0. 60(2.50)

Реактивні провідності гілок:

Підставимо вирази b 1і b 2в (2.50):

і після перетворення отримаємо резонансну частоту:

Структура отриманого рівняння показує, що існує чотири варіанти частоти:

1. Якщо R 1 = R 2 r,то = w 0

2. Якщо R 1 = R 2 = r,то = w 0– з фізичної точки зору це означає, що вхідний опір даного контуру дорівнює її хвильовому, який не залежить від частоти, отже, резонанс матиме місце за будь-якої частоти. Для доказу цього положення визначимо вхідний опір ланцюга:

3. Якщо під коренем вийшло негативне число, отже, резонансної частоти немає для даних параметрів R 1 , R 2 , r, L, C.

4. Якщо під коренем позитивне число, то отримуємо – єдину резонансну частоту.