Послідовне, паралельне та змішане з'єднання резисторів. Значна кількість приймачів, включених в електричний ланцюг (електричні лампи, електронагрівальні прилади та ін), можна розглядати як деякі елементи, що мають певне опір.Ця обставина дає можливість при складанні та вивченні електричних схем замінювати конкретні приймачі резисторами з певними опорами. Розрізняють такі способи з'єднання резисторів(приймачів електричної енергії): послідовне, паралельне та змішане.
Послідовне з'єднання резисторів.
При послідовному з'єднанні
кількох резисторів кінець першого резистора з'єднують з початком другого, кінець другого - з початком третього і т. д. При такому з'єднанні по всіх елементах послідовного ланцюга проходить
той самий струм I.
Послідовне з'єднання приймачів пояснює рис. 25, а.
Замінюючи лампи резисторами з опорами R1, R2 і R3, отримаємо схему, показану на рис. 25, б.
Якщо прийняти, що у джерелі Ro = 0, то для трьох послідовно з'єднаних резисторів згідно з другим законом Кірхгофа можна написати:
E = IR 1 + IR 2 + IR 3 = I(R 1 + R 2 + R 3) = IR ек (19)
де R ек =R 1 + R 2 + R 3.
Отже, еквівалентний опір послідовного ланцюга дорівнює сумі опорів всіх послідовно з'єднаних резисторів.Оскільки напруги на окремих ділянках ланцюга згідно із законом Ома: U 1 =IR 1 ; U 2 = IR 2 , U 3 = IR з і в даному випадку E = U, то для ланцюга, що розглядається
U = U 1 + U 2 + U 3 (20)
Отже, напруга U на затискачах джерела дорівнює сумі напруг кожному з послідовно включених резисторів.
З зазначених формул випливає також, що напруги розподіляються між послідовно з'єднаними резисторами пропорційно їх опорам:
U 1: U 2: U 3 = R 1: R 2: R 3 (21)
тобто чим більший опір будь-якого приймача в послідовному ланцюзі, тим більша прикладена до нього напруга.
Якщо послідовно з'єднуються кілька, наприклад п, резисторів з однаковим опором R1, еквівалентний опір ланцюга Rек буде в п раз більше опору R1, тобто Rек = nR1. Напруга U1 на кожному резисторі в цьому випадку в п раз менше загальної напруги U:
При послідовному з'єднанні приймачів зміна опору одного з них відразу ж тягне за собою зміну напруги інших зв'язаних з ним приймачах. При вимиканні чи обриві електричного ланцюгав одному з приймачів та в інших приймачах припиняється струм. Тому послідовне з'єднання приймачів застосовують рідко - тільки в тому випадку, коли напруга джерела електричної енергії більша за номінальну напругу, на яку розрахований споживач. Наприклад, напруга в електричної мережі, від якої живляться вагони метрополітену, становить 825 В, номінальна напруга електричних ламп, що застосовуються в цих вагонах, 55 В. Тому у вагонах метрополітену електричні лампи включають послідовно по 15 ламп у кожному ланцюзі.
Паралельне з'єднаннярезисторів. При паралельному з'єднаннікількох приймачів вони включаються між двома точками електричного кола, утворюючи паралельні гілки (рис. 26, а). Замінюючи
лампи резисторами з опорами R1, R2, R3 отримаємо схему, показану на рис. 26, б.
При паралельному з'єднанні до всіх резисторів прикладено однакову напругу U. Тому згідно із законом Ома:
I 1 =U/R 1; I 2 =U/R 2; I 3 =U/R 3 .
Струм у нерозгалуженій частині ланцюга згідно з першим законом Кірхгофа I = I 1 +I 2 +I 3 , або
I = U / R 1 + U / R 2 + U / R 3 = U (1/R 1 + 1/R 2 + 1/R 3) = U / R ек (23)
Отже, еквівалентний опір розглянутого ланцюга при паралельному з'єднанні трьох резисторів визначається формулою
1/R ек = 1/R 1 + 1/R 2 + 1/R 3 (24)
Вводячи у формулу (24) замість значень 1/R ек, 1/R 1 , 1/R 2 і 1/R 3 відповідні провідності G ек, G 1 , G 2 і G 3 отримаємо: еквівалентна провідність паралельного ланцюга дорівнює сумі провідностей паралельно з'єднаних резисторів:
G ек = G 1 + G 2 + G 3 (25)
Таким чином, при збільшенні числа резисторів, що паралельно включаються, результуюча провідність електричного ланцюга збільшується, а результуючий опір зменшується.
З наведених формул випливає, що струми розподіляються між паралельними гілками обернено пропорційно їх електричним опорам або прямо пропорційно їх провідності. Наприклад, при трьох гілках
I 1: I 2: I 3 = 1/R 1: 1/R 2: 1/R 3 = G 1 + G 2 + G 3 (26)
У цьому відношенні має місце повна аналогія між розподілом струмів окремими гілками і розподілом потоків води по трубах.
Наведені формули дозволяють визначити еквівалентний опір ланцюга для різних конкретних випадків. Наприклад, при двох паралельно включених резисторах результуючий опір ланцюга
R ек = R 1 R 2 / (R 1 + R 2)
при трьох паралельно включених резисторах
R ек =R 1 R 2 R 3 /(R 1 R 2 +R 2 R 3 +R 1 R 3)
При паралельному з'єднанні кількох, наприклад n, резисторів з однаковим опором R1 результуючий опір ланцюга Rек буде n разів менше опору R1, тобто.
R ек = R1/n(27)
Що проходить по кожній гілки струм I1, у цьому випадку буде в п раз менше загального струму:
I1 = I/n (28)
При паралельному з'єднанні приймачів, вони перебувають під тим самим напругою, і режим роботи кожного їх залежить від інших. Це означає, що струм, що проходить по якомусь із приймачів, не буде істотно впливати на інші приймачі. При будь-якому виключенні або виході з ладу будь-якого приймача інші приймачі залишаються включними.
ченими. Тому паралельне з'єднання має суттєві переваги перед послідовним, внаслідок чого воно набуло найбільш широкого поширення. Зокрема, електричні лампи та двигуни, призначені для роботи при певному (номінальному) напрузі, завжди включають паралельно.
На електровозах постійного струмута деяких тепловозах тягові двигунив процесі регулювання швидкості руху потрібно включати під різні напруги, тому вони в процесі розгону перемикаються з послідовного з'єднання на паралельне.
Змішане з'єднання резисторів. Змішаним з'єднаннямназивається таке з'єднання, у якому частина резисторів включається послідовно, а частина - паралельно. Наприклад, у схемі рис. 27 а є два послідовно включених резистора опорами R1 і R2, паралельно ним включений резистор опором Rз, а резистор опором R4 включений послідовно з групою резисторів опорами R1, R2 і R3.
Еквівалентний опір ланцюга при змішаному з'єднанні зазвичай визначають методом перетворення, при якому складний ланцюг послідовними етапами перетворюють на найпростіший. Наприклад, для схеми рис. 27 а спочатку визначають еквівалентний опір R12 послідовно включених резисторів з опорами R1 і R2: R12 = R1 + R2. У цьому схема рис. 27 а замінюється еквівалентною схемою рис. 27, б. Потім визначають еквівалентний опір R123 паралельно включених опорів і R3 за формулою
R 123 =R 12 R 3 /(R 12 +R 3)=(R 1 +R 2)R 3 /(R 1 +R 2 +R 3).
У цьому схема рис. 27 б замінюється еквівалентною схемою рис. 27, ст. Після цього знаходять еквівалентний опір всього ланцюга підсумовуванням опору R123 і послідовно включеного з ним опору R4:
R ек = R 123 + R 4 = (R 1 + R 2) R 3 / (R 1 + R 2 + R 3) + R 4
Послідовне, паралельне та змішане з'єднання широко застосовують для зміни опору пускових реостатів при пуску е. п. с. постійного струму.
Паралельним з'єднанням опорів називається таке з'єднання, коли початки опорів з'єднані в одну загальну точку, а кінці - в іншу.
Для паралельного з'єднання опорів характерні такі властивості:
Напруги на затискачах всіх опорів однакові:
U 1 = U 2 = U 3 = U;
Провідність усіх паралельно з'єднаних опорів дорівнює сумі провідностей окремих опорів:
1/R = 1/R 1 + 1/R 2 + 1/R 3 = R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 /R 1 R 2 R 3 ,
де R - еквівалентний (рівнодіючий) опір трьох опорів (у даному випадку R 1 , R 2 і R 3).
Щоб отримати опір такого ланцюга, треба перевернути дріб, що визначає величину його провідності. Отже, опір паралельного розгалуження із трьох резисторів:
R = R 1 R 2 R 3 /R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 .
Еквівалентним опором називається такий опір, яким можна замінити кілька опорів (включених паралельно або послідовно), не змінюючи величини струму в ланцюзі.
Щоб визначити еквівалентний опір при паралельному з'єднанні, потрібно скласти провідності всіх окремих ділянок, тобто. знайти загальну провідність. Величина, обернена до загальної провідності, і є загальним опором.
При паралельному з'єднанні еквівалентна провідність дорівнює сумі провідностей окремих гілок, отже, еквівалентний опір у цьому випадку завжди менший за найменший з паралельно включених опорів.
На практиці можуть бути випадки, коли ланцюг складається з більш ніж трьох паралельних гілок. Усі отримані співвідношення залишаються справедливими й у ланцюгів, які з будь-якого числа паралельно з'єднаних резисторів.
Знайдемо еквівалентний опір двох паралельно включених опорів R 1 та R 2 (Див. рис.). Провідність першої гілки дорівнює 1/R 1 , провідність другої гілки - 1/R 2 . Загальна провідність:
1/R = 1/R 1 + 1/R 2 .
Приведемо до спільного знаменника:
1/R = R 2 + R 1 /R 1 R 2 ,
звідси еквівалентний опір
R = R 1 R 2 /R 1 + R 2 .
Ця формула служить для розрахунків загального опору ланцюга, що складається з двох паралельно включених опорів.
Таким чином, еквівалентний опір двох паралельно включених опорів дорівнює добутку цих опорів, поділеному на їхню суму.
При паралельному з'єднанні n рівних опорів R 1 еквівалентний опір їх буде в n разів менше, тобто.
R = R1/n.
На схемі, зображеній на останньому малюнку, включено п'ять опорів R 1 по 30 Ом кожне. Отже, загальний опір R буде
R = R 1 /5 = 30/5 = 6 Ом.
Можна сказати, що сума струмів, що підходять до вузлової точки А (на першому малюнку), дорівнює сумі струмів, що від неї відходять:
I = I 1 + I 2 + I 3 .
Розглянемо, як відбувається розгалуження струму в ланцюгах із опорами R 1 та R 2 (Другий малюнок). Оскільки напруга на затискачах цих опорів однакова, то
U = I 1 R 1 і U = I 2 R 2 .
Ліві частини цих рівностей однакові, отже, рівні та праві частини:
I 1 R 1 = I 2 R 2
або
I 1 /I 2 = R 2 /R 1 ,
Тобто. струм при паралельному з'єднанні опорів розгалужується обернено пропорційно опорам гілок (або прямо пропорційно до їх провідностей). Чим більший опір гілки, тим менший струм у ній, і навпаки.
Таким чином, з декількох однакових резисторів можна отримати загальний резистор з великою потужністюрозсіювання.
При паралельному з'єднанні неоднакових резисторів у найбільш високоомному резистори виділяється найбільша потужність.
Приклад 1. Є два опори, включених паралельно. Опір R 1 = 25 Ом, а R 2 = 50 Ом. Визначити загальний опір ланцюга R заг.
Рішення. R заг = R 1 R 2 / R 1 + R 2 = 25 . 50 / 25 + 50 ≈ 16, 6 Ом.
Приклад 2. У ламповому підсилювачі є три лампи, нитки напруження яких включені паралельно. Струм розжарення першої лампи I 1 = 1 ампер, другий I 2 = 1, 5 ампера та третьої I 3 = 2, 5 ампера. Визначити загальний струмланцюга розжарювання ламп підсилювача I заг.
Рішення. I заг = I 1 + I 2 + I 3 = 1+1, 5+2, 5 = 5 ампер.
Паралельне з'єднання резистори часто зустрічається в радіотехнічній апаратурі. Два або більше резисторів включається паралельно в тих випадках, коли струм у ланцюгу занадто великий і може викликати надмірне нагрівання резистора.
Прикладом паралельного з'єднання споживачів електричної енергії може бути включення електричних ламп звичайної освітлювальної мережі, які з'єднуються паралельно. Гідність паралельного з'єднання споживачів у тому, що виключення однієї з них впливає працювати інших.
1. При послідовному з'єднанніпровідників
1. Сила струму у всіх провідниках однакова:
I 1 = I 2 = I
2. Загальна напруга U на обох провідниках дорівнює сумі напруг U 1 та U 2 на кожному провіднику:
U = U 1 + U 2
3. За законом Ома, напруги U 1 та U 2 на провідниках рівні U 1 = IR 1 , U 2 = IR 2 а загальна напруга U = IRде R – електричний опірвсього ланцюга, тоді IR= IR 1 + IR 2. Звідси випливає
R= R 1 + R 2
При послідовному з'єднанні повний опір ланцюга дорівнює сумі опорів окремих провідників.
Цей результат справедливий для будь-якої кількості послідовно з'єднаних провідників.
2. При паралельному з'єднанніпровідників
1. Напруги U 1 та U 2 на обох провідниках однакові
U 1 = U 2 = U
2. Сума струмів I 1 + I 2 , протікають по обидва провідники, дорівнює струму в нерозгалуженому ланцюгу:
I = I 1 + I 2
Цей результат випливає з того, що в точках розгалуження струмів (вузли Aі B) у ланцюзі постійного струму що неспроможні накопичуватися заряди. Наприклад, до вузла Aза час Δ tпідтікає заряд IΔ tа втікає від вузла за той же час заряд I 1 Δ t + I 2 Δ t. Отже, I = I 1 + I 2 .
3. Записуючи на підставі закону Ома
де R- Електричний опір всього ланцюга, отримаємо
При паралельному з'єднанні провідників величина, обернена до загального опору ланцюга, дорівнює сумі величин, обернених опорам паралельно включених провідників.
Цей результат є справедливим для будь-якого числа паралельно включених провідників.
Формули для послідовного та паралельного з'єднання провідників дозволяють у багатьох випадках розраховувати опір складного ланцюга, що складається з багатьох резисторів. На малюнку наведено приклад такого складного ланцюга та вказано послідовність обчислень. Опір всіх провідників вказано в омах (Ом).
На практиці одного джерела струму в ланцюзі буває недостатньо, і тоді джерела струму теж з'єднують між собою для живлення ланцюга. З'єднання джерел батареї може бути послідовним і паралельним.
При послідовному з'єднанні два сусідні джерела з'єднуються різними полюсами.
Тобто, для послідовного з'єднання акумуляторів до "плюсу" електричної схемипідключають позитивну клему першого акумулятора. До його негативної клеми підключають позитивну клему другого акумулятора і т.д. Негативну клему останнього акумулятора підключають до мінуса електричної схеми.
Акумуляторна батарея, що вийшла при послідовному з'єднанні, має ту ж ємність, що й у одиночного акумулятора, а напруга такої акумуляторної батареї дорівнює сумі напруг входять в неї акумуляторів. Тобто. якщо акумулятори мають однакову напругу, то напруга батареї дорівнює напруги одного акумулятора, помноженого на кількість акумуляторів в акумуляторній батареї.
1. ЕРС батареї дорівнює сумі ЕРС окремих джерелε= ε 1 + ε 2 + ε 3
2 . Загальний опір батареї джерел дорівнює сумі внутрішніх опорів окремих джерел r батареї = r 1 + r 2 + r 3
Якщо батарею з'єднані n однакових джерел, то ЕРС батареї ε= nε 1, а опір r батареї = nr 1
3.
При паралельному з'єднанні з'єднують між собою всі позитивні і всі негативні полюси двох абоn джерел.
Тобто, при паралельному з'єднанні, акумулятори з'єднують так, щоб позитивні клеми всіх акумуляторів були підключені до однієї точки електричної схеми (плюсу), а негативні клеми всіх акумуляторів були підключені до іншої точки схеми (мінусу).
Паралельно з'єднують лише джерелаз однакової ЕРС. Акумуляторна батарея, що вийшла при паралельному з'єднанні, має ту ж напругу, що й у одиночного акумулятора, а ємність такої акумуляторної батареї дорівнює сумі ємностей входять в неї акумуляторів. Тобто. якщо акумулятори мають однакові ємності, ємність акумуляторної батареї дорівнює ємності одного акумулятора, помноженої на кількість акумуляторів в батареї.
1. ЕРС батареї однакових джерел дорівнює ЕРС одного джерела.ε= ε 1 = ε 2 = ε 3
2.
Опір батареї менше, ніж опір одного джерела r батареї = r 1 /n
3.
Сила струму в такому ланцюгу за законом Ома
Електрична енергія, накопичена в акумуляторній батареї, дорівнює сумі енергій окремих акумуляторів (твору енергій окремих акумуляторів, якщо акумулятори однакові), незалежно від того, як з'єднані акумулятори - паралельно або послідовно.
Внутрішній опір акумуляторів, виготовлених за однією технологією, приблизно обернено пропорційно ємності акумулятора. Тому при паралельному з'єднанні ємність акумуляторної батареї дорівнює сумі ємностей входять в неї акумуляторів, тобто збільшується, то внутрішній опір зменшується.