Емкостное напряжение отстает от тока по фазе на четверть периода (90 0)

Анализ последовательной RLC -цепи при гармоническом воздействии

На основе второго закона Кирхгофа u = u R +u C +u L или в комплексной

форме

U =U R +U C +U L . С учетом

получим

где - комплексное сопротивление RLC - цепи

Преобразовав, получаем, что ,

где - реактивное сопро­тивление, - полное сопротивление цепи, а - угол сдвига фаз RLC цепи.

Запишем закон Ома в комплексной форме с учетом фазовых соотношений :

. Здесь .

Треугольник сопротивлений в RLC – цепи.

- полное сопротивление RLC - цепи,

угол сдвига фаз RLC - цепи.

Рассмотрим зависимости полного сопротивления Z и угла сдвига фаз φ в последовательной RLC -цепи от частоты. На некоторой частоте ω 0 может выполняться равенство

Рассмотрим напряжения на индуктивности и емкости

;

Варианты графиков U L . U C в RLC – цепи. Графики могут иметь максимумы, а могут и не иметь (это зависит от соотношения величин элементов).

Векторные диаграммы последовательной RLC -цепи

Совокупность нескольких векторов, отображающих токи и напряжения в некоторой цепи, называется векторной диаграммой. Для последовательной RLC – цепи диаграмму строят, откладывая по горизонтали ток, затем также по направлению тока откладывают в масштабе вектор резистивного напряжения, потом из его конца откладывают перпендикулярно вверх вектор индуктивного напряжения и из его конца вниз вектор емкостного.

Вид диаграмм зависит от выбранной частоты по отношению к резонансной.

1) ω<ω 0 , U L < U C

2) ω=ω 0 → U L =U C φ=0

3) ω>ω 0 . U L > U C

Параллельные RLC - цепи

U =I ·Z =I /Y Y – комплексная проводимость, B – реактивная Рассмотрим схему с параллельными RLC - элементами:

Все ее элементы соединены параллельно и находятся под одним и тем же напряжением u(t)=Um▪sin(wt+y u) . Необходимо определить ток в цепи i(t) . На основании 1-го закона Кирхгофа в любой момент времени справедливо соотношение
i(t)=i R (t)+i L (t)+i C (t) .
Отдельные составляющие токов определяются выражениями
Подставив вместо u(t) гармоническую функцию времени и проведя необходимые математические операции, получим

Будем определять искомый ток в виде i(t)=Im▪sin(wt+ y i) .
Перейдем к комплексным мгновенным значениям.

Сокращая на e j w t и учтя, что , получим

или
Выражение в скобках – комплексная проводимость цепи Y
, – резистивная составляющая проводимости,
– реактивная составляющая проводимости. и она может быть равна 0

на какой-то частоте ω 0 , которую называют резонансной.

Закон Ома в комплексной форме для цепи записывается
или

Отсюда следует, что при параллельном соединении ветвей цепи комплексная эквивалентная проводимость равна сумме комплексных проводимостей ветвей:

Проанализируем векторную диаграмму параллельной RLC - цепи

Напряжение взято как опорный вектор, ток в резисторе совпадает по фазе с напряжением, ток в индуктивности отстает на 90 0 , а ток емкостной опережает на 90 0 и меньше (ω<ω 0). Общий ток равен сумме векторов всех токов и он отстает от напряжения по фазе.

Принцип дуальности в электрических цепях

В электрических цепях есть некоторые понятия, которые с одной стороны противоположны друг другу, а с другой стороны взаимосвязаны и дополняют друг друга (из физики: электромагнитное поле - электрическое поле и магнитное поле). Такие понятия, величины называются дуальными .

У дуальных величин формы записи и математические уравнения одинаковы.

Напряжение ток

Контур узел

Закон Кирхгофа 2 закон Кирхгофа

Сопротивление проводимость

U =I ·ZI =U ·Y

Последовательная цепь параллельная цепь

ИИН ИИТ

Формулы, полученные для некоторой цепи можно формально распространить на дуальные величины в дуальной цепи. Дуальные величины ведут себя одинаково в дуальных цепях, а такие же будут вести себя противоположно в тех же условиях.

Пример 2 Здесь Е1- источник постоянной эдс, а j2 – источник переменного тока .

В данном случае мы можем использовать только метод наложения. Составим две схемы замещения, в первой из которых рассчитываются частичные токи от источника постоянной эдс. Поэтому в ней индуктивность заменена перемычкой, а емкость – разрывом. Во второй схеме рассчитываются частичные токи от источника переменного тока и здесь необходимо перевести все токи, напряжения и сопротивления в комплексную форму и записать законы Кирхгофа в комплексной форме.

I 1E1 I R2E1 C i 1 j2 i R2 j2 ic j2 L I 3E1 i2 = j2 i 3 j2

I 1 E 1 =E1/(R1+R2)=I 2 E 1 =I 3 E 1 . Тут надо составлять уравнения по МКТ в комплексной форме. Например, по 1 закону

I 1 J 2 + I R 2 J 2 + I CJ 2 –J 2 =0, - I CJ 2 - I R 2 J 2 + I 3 J 2 =0.

Можно использовать и общую проводимость относительно источника тока. , , , . Аналогично остальные токи

В итоге получается, что i 1 =I 1 E 1 +i 1 j 2 , i R 2 =I R 2 E 1 – i R 2 j 2 , ic=i cj 2 ,

i 3 =I 3 E 1 – i 3 j 2 , i 2 =j 2 .

2.1.1. Включить ЭВМ и запустить предложенную преподавателем программу.

2.1.2. Смоделировать на наборном поле программы электрическую цепь. Параметры элементов установить по указанию преподавателя.

Примечание. - сопротивление не идеальной катушки индуктивности.

2.1.3. Запустить программу на выполнение в режиме расчёта динамических (установившихся) процессов в цепях переменного тока.

2.1.4. Снять и записать в протокол значение тока, потенциалы всех неявных узлов цепи, мощностей, вырабатываемых и рассеиваемых на всех элементах цепи.

2.2. Исследование электрической цепи с параллельным соединением RLC элементов

2.2.1. Смоделировать на наборном поле программы электрическую цепь.

2.2.2. Запустить программу на выполнение в режиме расчёта динамических (установившихся) процессов в цепях переменного тока.

2.2.3. Снять и записать в протокол значения токов, протекающих по всем элементам цепи и мощностей, рассеиваемых на всех элементах цепи.

2.3. Исследование смешанного соединения R, L, C элементов

2.3.1. Смоделировать электрическую цепь.

2.3.2. Запустить программу на выполнение в режиме расчёта динамических (установившихся) процессов в цепях переменного тока.

2.3.3. Снять и записать в протокол значения токов, протекающих по всем элементам цепи, напряжений на всех узлах цепи и мощностей, вырабатываемых и рассеиваемых на всех элементах цепи.

2.3.4. Повторить испытания по п. 2.3.3 для второй схемы.

Обработка данных

3.1. По данным пп. 2.1.3, 2.2.3 и 2.3.3 построить топографические диаграммы напряжений, векторные диаграммы токов. Выделить активную и реактивную составляющие напряжения на индуктивности.

3.2. Показать справедливость применения законов Ома и Кирхгофа для расчёта цепей переменного тока.

3.3. Построить треугольники токов, напряжений и мощностей для последовательного и параллельного соединений.

3.4. Сделать выводы по работе.

Вопросы для самопроверки

1. Дать определение последовательного, параллельного и смешанного соединений цепи.

2. Дать определение основных характеристик переменного тока.

3. Записать математическую модель R, L, C – элементов в цепях переменного тока.

4. Дать определение векторной и топографической векторной диаграмм.

5. Как рассчитывается баланс мощностей в цепях переменного тока.

6. Что такое треугольники токов, напряжений и мощностей, как и для чего они строятся.

Лабораторная работа 3

Исследование индуктивно связанных цепей

Цель работы:

виртуально: исследование цепей с согласным и встречным соединением индуктивностей, исследование передачи мощности в индуктивно связанных цепях;

аналитически: построение векторных и топографических диаграмм, анализ исследуемых цепей.

Основы теории

При изучении теории обратить внимание на следующее.

Переменный синусоидальный ток может быть описан гармонической функцией или вектором, вращающимся на комплексной плоскости .

Для всех линейных элементов цепи (в том числе для элементов со взаимной индуктивностью) справедлив закон Ома в комплексной форма записи: , , , . Множители при токе называются, соответственно, активным, индуктивным и ёмкостным сопротивлениями, записанными в комплексном виде. В общем виде комплексное сопротивление записывается единой буквой Z : , , , . В цепях с последовательным соединением элементов сопротивления складываются в комплексном виде. Величины, обратные комплексным сопротивлениям, называются соответствующими комплексными проводимостями. В цепях с параллельным соединениям элементов складываются проводимости.

Для цепей переменного тока справедливы законы Кирхгофа в комплексной форме записи , . Сущностное отличие законов Кирхгофа для цепей постоянного тока от законов Кирхгофа для цепей постоянного тока заключается в том, что для цепей постоянного тока справедливо арифметическое сложение величин, а для цепей переменного тока – геометрическое (векторное) сложение величин.

Два участка электрической цепи называются индуктивно – связанными, если имеют общее магнитное поле. То есть каждый из участков цепи находится в магнитном поле, созданном током, протекающим по другому участку. В теории электрических цепей параметром, характеризующим способность элемента создавать магнитное поле, является индуктивность указанного элемента L . Соответственно, параметром взаимной связи элементов является взаимная индуктивность M , определяемая через коэффициент связи двух индуктивных элементов k: .

Мгновенное значение мощности в цепях синусоидального тока рассчитывают аналогично расчёту мгновенного значения мощности в цепях постоянного тока .

В комплексном виде скалярная мощность определяется по формуле , где - сопряжённое значение тока, Р – активная мощность, Q – реактивная мощность.

Для наглядного изображения полученных величин тока и напряжения используют векторные и топографические векторные диаграммы на комплексной плоскости. Векторная диаграмма строится из начала координат и показывает только величину и фазу исследуемой величины. Топографическая векторная диаграмма это векторная диаграмма цепи, построенная с учётом топологии цепи. Каждому узлу цепи соответствует своя точка на топографической векторной диаграмме.

Виртуальные исследования

Главная > Книги > Электроника

2.8. Параллельное соединение R, L, С

Если к зажимам электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных элементов R, L, С (рисунок 2.18), приложено гармоническое напряжение u = Umcosωt , то гармонический ток, проходящий через эту цепь, равен алгебраической сумме гармонических токов в параллельных ветвях (первый закон Кирхгофа): i = iR + iL + iC .

Ток iR в сопротивлении R совпадает по фазе с напряжением и , ток iL в индуктивности L отстает, а ток iC в емкости С опережает напряжение на π /2 (рисунок 2.19).

Следовательно, суммарный ток i в цепи равен

(2.20)

Уравнение (2.20) представляет собой тригонометрическую форму записи первого закона Кирхгофа для мгновенных значений токов. Входящая в него величина называется реактивной проводимостью цепи , которая в зависимости от знака может иметь индуктивный (b > 0) или емкостный (b < 0) характер. В отличие от реактивной проводимости b активная проводимость g = l/R всегда положительна.

Для нахождения Im и φ воспользуемся векторной диаграммой, соответствующей уравнению (2.20) (рисунок 2.20, а и б). Прямоугольный треугольник с катетами IR и и гипотенузой I называется треугольником токов. Треугольник токов построен на рисунке 2.20, а для b >0 , а на рисунке 2.20, б − для b < 0 .

Из треугольника токов следует, что или I = yU; Im=yUm

Здесь (2.21)

полная проводимость рассматриваемой параллельной цепи.

Активная, реактивная и полная проводимости относятся к числу основных понятий, применяемых в теории электрических цепей.

Угол фазового сдвига тока i относительно напряжения и равен:

. (2.22)

Если задано напряжение и = Umcos(ωt + y) на зажимах цепи с параллельно соединенными R, L и С , то ток определяется по формуле

i = yUmcos(ωt + y - φ ) .

Угол φ , как и в предыдущем случае, отсчитывается на временной диаграмме ωt от напряжения к току, а на векторной диаграмме - от тока к напряжению; он является острым или прямым углом

|φ | .

Угол φ положителен при индуктивном характере цепи, т.е. при b > 0 ; при этом ток отстает по.фазе от напряжения. Угол φ отрицателен при емкостном характере цепи, т.е. при b < 0 ; при этом ток опережает по фазе напряжение. Ток совпадает с напряжением по фазе при b = bR - bC = 0 , т.е. при равенстве индуктивной и емкостной проводимостей. Такой режим работы электрической цепи называется резонансом токов.

Из (2.21) и (2.22) следует, что активная и реактивная проводимости цепи связаны с полной проводимостью формулами:

g = ycosφ ; b = уsinφ . (2.23)

Умножив правые и левые части выражений (2.23) на действующее значение напряжения U , получим действующие значения токов в ветвях с активной и реактивной проводимостями изображаемые катетами треугольника токов и называемые активной и реактивной составляющими тока:

Ia = gU = ycosφ U = Icosφ ;

Ip = bU = ysinφ U = Isinφ .

Как видно из треугольников токов и уравнений (2.24), активная и реактивная составляющие тока связаны с действующим значением суммарного тока формулой

.

Разделив стороны треугольника токов на U , получим прямоугольный треугольник проводимостей, подобный треугольнику напряжений (рисунок 2.21, а, б ).

Треугольник проводимостей служит геометрической интерпретацией уравнений (2.21) и (2.22); активная проводимость g откладывается по горизонтальной оси вправо, а реактивная проводимость b в зависимости от ее знака откладывается вниз (b > 0) или вверх (b < 0) .

Угол φ в треугольнике проводимостей отсчитывается, от гипотенузы у к катету g , что соответствует отсчету φ в треугольнике токов от I = yU к Ia = gU .

Для характеристики конденсаторов, представляемых цепью с емкостной и активной проводимостями, применяется понятие добротность конденсатора QC = b/g = ωCR , которое равнозначно тангенсу угла |φ | конденсатора. Обратная величина называется тангенсом угла диэлектрических потерь конденсатора tgδ = l/QC (угол диэлектрических потерь δ дополняет угол |φ | до 90°).

Чем больше сопротивление R , тем больше (при прочих равных условиях) добротность конденсатора и тем меньше угол потерь.

Добротность конденсаторов для разных частот и диэлектриков колеблется в широких пределах, примерно от 100 до 5000. Слюдяные конденсаторы обладают большей добротностью, чем керамические. Добротность конденсаторов, применяемых в высокочастотной технике, примерно в 10 раз превышает добротность индуктивных катушек.

Рассмотрим параллельное соединение разнородных элементов
R, L, C.

Рис.2.20. Схема параллельного соединения элементов R, L, C

Пусть на вход цепи подано напряжение u = U m sin(wt+j u), тогда по первому закону Кирхгофа:

Комплексное изображение входного напряжения:

Для определения комплекса общего тока найдем его составляющие:

тогда комплекс общего тока:

. 54(2.44)

Построим векторную диаграмму для параллельного соединения (рис.2.21).

Пусть φ u < 0, φ u - φ I = j > 0, j - опережающий, характер нагрузки активно-индуктивный.

Выражение в круглых скобках (2.44) имеет размерность 1/Ом или См (симменс) и носит название комплексной проводимости цепи:

где y – модуль комплексной проводимости, а j – угол сдвига фаз между током и напряжением.

Рис.2.21. Векторная диаграмма для параллельного соединения разнородных элементов

Комплексная амплитуда общего тока:

Её модуль:

Мгновенное значение общего тока:

i = I m sin(wt + φ u – j).

Проводимости

Под комплексной проводимостью любой цепи понимается величина обратная ее полному комплексному сопротивлению:

где g – активная проводимость данной цепи;

b – результирующая реактивная проводимость.

где b L и b C – индуктивная и емкостная проводимости соответственно.

Понятие проводимости приобретает особый смысл в том случае, если ветвь содержит активные и реактивные элементы. На ветви, изображенной на рис.2.22, определим ее активную и реактивную проводимости:

Рис.2.22. Участок цепи с активно-индуктивным сопротивлением

Из векторной диаграммы (рис.2.21) можно выделить треугольник токов:

Рис.2.23. Векторный треугольник токов

Разделив стороны векторного треугольника токов на вектор напряжения, получим скалярный треугольник проводимостей.

Рис.2.24. Скалярный треугольник проводимостей

Резонанс токов

Резонансный режим, возникающий при параллельном соединении R, L, C, называется резонансом токов. В отличие от рассмотренного ранее режима резонанса напряжений, данный режим не столь однозначен.

Рис.2.25. Цепь с параллельным соединением
разнородных приемников

В цепи (рис.2.25) режим резонанса токов возникает при условии равенства нулю результирующей реактивной проводимости этой цепи:

b = b 1 + b 2 = 0. 60(2.50)

Реактивные проводимости ветвей:

Подставим выражения b 1 и b 2 в (2.50):

и после преобразования получим резонансную частоту :

Структура полученного уравнения показывает, что существует четыре варианта частоты :

1. Если R 1 = R 2 ¹ r, то = w 0

2. Если R 1 = R 2 = r, то = w 0 – с физической точки зрения это означает, что входное сопротивление данного контура равно ее волновому, которое не зависит от частоты, значит, резонанс будет иметь место при любой частоте. Для доказательства этого положения определим входное сопротивление цепи:

3. Если под корнем получилось отрицательное число, значит, резонансной частоты не существует для данных параметров R 1 , R 2 , r, L, C.

4. Если под корнем положительное число, то получаем - единственную резонансную частоту.