С помощью магнитно-чувствительных устройств

Изобретение относится к области измерения параметров вращения вала и может быть использовано в системах автоматического управления. Измеритель построен на базе техники цилиндрических магнитных доменов (ЦМД) и микроэлектроники. Ферромагнитный диск с пленкой одноосного намагничивания содержит два ЦМД, разнесенные на угол 1 , которые с помощью доменопродвигающих структур вращаются коаксиально валу с гловой скоростью д. Жестко с валом связаны детекторы ЦМД Д1 и Д2, разнесенные на угол с. Угловое ускорение определяется по формуле E=C·(1/t 2 -1/t 1), где Е - угловое ускорение вала, С - угловая скорость домена д, t 1 - время продвижения ЦМД1 между детекторами Д1 и Д2, t 2 - время продвижения ЦМД2 между детекторами Д1 и Д2. Значения t 1 и t 2 определяются с помощью генератора импульсов, счетчика импульсов, а операции деления и вычитания с помощью делителя и вычитателя. Высокая точность измерения и быстродействие измерителя достигается за счет малых размеров ЦМД и высокой скорости их продвижения. 1 ил.

Рисунки к патенту РФ 2278389

Предлагаемое изобретение относится к области измерения параметров вращения вала. Изобретение может быть использовано в системах автоматического управления, в АСУ ТП, в технике измерений, в приборах измерения ускорений.

Известен преобразователь углового ускорения вала в код, основанный на использовании фазовращателей [а.св. №994990], описанный в книге В.Г.Домрачева и др. «Схемотехника цифровых преобразователей», М., Энергоиздат, 1987. Суть этого устройства заключается в том, что при вращении вала с помощью генератора импульсов и фазовращателя создаются фазовые сдвиги импульсов, которые подаются на фазовый детектор с управляемым генератором, который управляется сумматором с интегратором, а другой выход фазового детектора через фильтр низкой частоты выдает сигнал, соответствующий угловому ускорению.

Недостатком этого устройства является малая точность, малое быстродействие и большие габариты вследствие большой сложности преобразования и использования фазовращателей (вращающихся трансформаторов и др.).

Известен преобразователь углового ускорения [а.с. 1101740 СССР] с использованием фазовращателей и электрической редукции частоты, благодаря чему погрешность уменьшается. Но по-прежнему велики габариты, погрешность и мало быстродействие. Устройство еще более усложняется.

Наиболее близким по технической сущности к заявленному объекту является преобразователь углового ускорения в код, описанный в книге (В.Г.Домрачева и др. «Схемотехника цифровых преобразователей», М., Энергоиздат, 1987, стр.145).

Суть работы этого устройства заключается в том, что генератор через делитель частоты и формирователь опорного напряжения запитывает фазовращатель, вал которого передает информацию об угловом ускорении. Сигнал с выхода фазовращателя подается на нуль-орган и далее на триггер, с выхода которого на формирователь узких импульсов, на первый накапливающий сумматор и на первый вход регистра формирования выходного сигнала углового ускорения. Сигнал с формирователя узких импульсов подается на второй накапливающий сумматор и информационный вход двоичного суммирующего счетчика, с выхода которого подается на двоичный сумматор, на второй вход которого подается выходной сигнал второго накапливающего сумматора, с выхода двоичного накапливающего сумматора сигнал подается на второй вход регистра выдающего код углового ускорения.

Недостатками этого устройства являются малое быстродействие, связанное с использованием фазы в качестве промежуточного параметра в преобразователе, малая точность, связанная с погрешностью самого фазовращателя, большие габариты и сложность преобразования.

Задачей заявляемого изобретения является создание измерителя углового ускорения вала, позволяющего увеличить точность преобразования, быстродействие, значительно упростить преобразование и уменьшить габариты. Это достигается путем использования скоростных свойств цилиндрических магнитных доменов (ЦМД) и конструктивных особенностей реализации схемных решений.

Суть изобретения заключается в создании на ферромагнитном диске с пленкой магнитоодноосного ферромагнетика цилиндрических магнитных доменов, которые вращаются вокруг вала со скоростью д, определяемой скоростью вращения вектора внешнего магнитного поля вп, которая существенно выше скорости вала. Микроэлектронные детекторы ЦМД обнаруживают их и позволяют измерять интервалы времени прохождения ЦМД между двумя детекторами. Обратные величины значений этих интервалов определяют значения угловых ускорений по формуле (в соответствии с патентом авторов №2137296 от 10.09.99 г. «Способ измерения углового ускорения вала»):

E=C·(1/t 2 -1/t 1),

где Е - угловое ускорение вала;

С - угловая скорость домена д;

t 1 - время продвижения ЦМД1 между детекторами ЦМД Д1 и Д2;

t 2 - время продвижения ЦМД2 между детекторами ЦМД Д1 и Д2.

Технический результат достигается за счет отсутствия аналоговых преобразователей, простоты устройства, применения техники ЦМД и микроэлектронной технологии.

Возможность осуществления изобретения подтверждается тем, что авторами уже разработаны и защищены авторскими свидетельствами преобразователи угла и скорости, построенные на базе техники ЦМД и микроэлектронной технологии. Доказана возможность измерения угловых перемещений с точностью до одной угловой секунды и линейных до одного микрометра, а также временных интервалов до долей микросекунды. Все это создает возможность простым методом измерять ускорения.

Схема измерителя углового ускорения в код представлена на чертеже.

Она содержит следующие элементы: вал (1), ферромагнитный диск ФД (2), ЦМД1 (3), ЦМД2 (4), детекторы Д1 (5) и Д2 (6), доменно-продвигающие структуры ДПС (7), кронштейны К1 (8) и К2 (9), узел вращающегося магнитного поля УВП (10), генератор Г (11), элемент «задержка» (12), триггеры Т1 (13) и Т2 (14), счетчик импульсов ST (15), делитель (16), регистры RG1 (17) и RG2 (18), вычитатель «- » (19), шина "выход" (20) и шина синхронизации (21).

ЦМД1 (3) и ЦМД2 (4) располагаются на ФД (2), жестко связанном с неподвижной частью измерителя, а детекторы ЦМД Д1 (5) и Д2 (6) на кронштейнах К1 (8) и К2 (9), жестко связанных с валом измерителя. Траектория, по которой перемещаются ЦМД, определяется ДПС (7), которая располагается на концентрической по отношению к валу окружности. Выход детектора D1 (5) соединен с входом 1 счетчика ST (15) и через элемент "Задержка" (12) с входом 1 триггера Т1 (13). Выход детектора D2 (6) подключен к входу 2 триггера Т1 (13) и входу 2 делителя «1/N» (16), вход 1 которого соединен с выходом счетчика ST (15). Выход 1 делителя соединен с входом 1 RG1 (17) и входом 1 вычитателя (19). Вход 2 вычитателя (19) подключен к выходу регистра RG1 (17), а выход 2 через регистр RG2 (18) - к выходной шине (20). Выход 1 вычитателя (19) соединен с входом 1 регистра RG2 (18), с шиной синхронизации (21) и входом 2 триггера Т2 (14). Вход 1 триггера Т2 (14) подключен к выходу 2 делителя (16), а выходы его соединены соответственно 2 с входом 2 RG1 (17), 1 - с входом 3 вычитателя (19). Выход генератора (11) подключен к УВП (10) и ко входу 3 счетчика ST (15), вход 2 которого соединен с выходом триггера Т1 (13).

Измеритель углового ускорения работает следующим образом.

На ферромагнитном диске, жестко связанном с неподвижной частью измерителя, созданы ЦМД1 и ЦМД2, расположенные на окружности концентричной оси вала. Угловое расстояние между ЦМД постоянно и равно углу 1 , a угол между детекторами равен с. После включения устройства, под действием доменно-продвигающих структур, управляемых вращающимся электромагнитным полем (см. книгу В.П.Миловзорова. Электромагнитные устройства автоматики. М., «Высшая школа», 1983 г. стр.239-321), ЦМД перемещаются по окружности относительно вала со скоростью, которая существенно выше максимальной скорости вращения вала. При этом они вращаются относительно детекторов ЦМД, которые жестко связаны с валом.

Когда первый ЦМД1 проходит возле детектора Д1, последний вырабатывает импульс тока, который сбрасывает счетчик ST (15) в нулевое состояние и далее, через элемент «задержка» (12) на вход 1 триггера Т1 (13), выход которого воздействует на вход 2 счетчика ST (15), открывая через его вход 3 следование импульсов генератора в счетчик. Начинается счет импульсов, определяющих время t 1 прохождения ЦМД между детекторами.

Продолжая движение, ЦМД1 достигает второй детектор Д2, который выдает импульс тока. Этот импульс подается на вход 2 триггера Т1 (13) и прекращает подачу импульсов генератора Г (11) в пересчетную схему. Количество импульсов, подсчитанных счетчиком ST (15), определяет время t 1 . Импульс от Д2 воздействует на делитель (16), открывая вход сигнала (t 1) с выхода счетчика на делитель.

Делитель осуществляет операцию деления 1/N (где N=t 1) и выдает результат на вход 1 регистра RG1 (17) и на вход 1 вычитателя (19). Выход 2 делителя (16) воздействует на счетный вход 1 триггера Т2 (14), выход 2 которого воздействует на вход 2 регистра RG1 (17), и он выдает информацию (1/t 1) на вход 2 вычитателя (19). Далее, когда ЦМД2 достигает детектора Д1, то появляется импульс на его выходе. После этого осуществляется переработка сигнала аналогично сигналу от ЦМД1. В результате появляется сигнал на втором входе в виде кода N2 (N2=1/t 2) вычитателя и осуществляется операция вычитания, по окончании которой код соответствующий ускорению подается на выходной регистр, а сигнал со второго выхода вычитателя разрешает выдачу информации об угловом ускорении на выходную шину, переводит триггер Т2 (14) в исходное положение и выдает сигнал синхронизации (21).

Таким образом одновременно с сигналом синхронизации на шине (20) выставляется значение углового ускорения, вычисленного по вышеприведенной формуле.

Источники информации

а) В.П.Миловзоров. Электромагнитные устройства автоматики. М., «Высшая школа», 1983 г., стр.293-321.

б) Bobeck A.H. Properties and device applications of magnetic domains iorthoferrities //Bell System Techn.J. - 1967 - 46 №10 - р.1901-1925.

в) В.С.Подлипенский, В.H.Петренко. Электромагнитные и электромашинные устройства автоматики. Киев. Головное издательство издательского объединения «Вища школа». 1987. стр.209-227.

г) Т.О"Делл. Ферромагнитодинамика. Динамика ЦМД, доменов и доменных стенок. М., «Мир». 1983.

д) Г.И.Катенко. Магниторезисторы изд. «Энергия», Ленинградское отделение, 1972.

е) В.Г.Барьяхтар, Ю.И.Горобец. Цилиндрические магнитные домены и их решетки. Киев, «Наукова думка», 1988 г.

ФОРМУЛА ИЗОБРЕТЕНИЯ

Измеритель углового ускорения вала, содержащий вал, генератор, первый триггер, первый регистр, делитель частоты, отличающийся тем, что в него введены магнитоодноосный ферромагнитный диск, жестко связанный с неподвижной частью измерителя, узел вращающегося магнитного поля, доменопродвигающая структура на ферромагнитном диске, которая расположена на концентрической окружности по отношению к валу, первый и второй цилиндрические магнитные домены, расположенные на траектории доменопродвигающей структуры, первый и второй детекторы цилиндрических магнитных доменов на кронштейнах, жестко связанных с валом, счетчик импульсов, второй триггер, второй регистр, вычитатель, шина «выход», шина синхронизации и элемент «задержка», вход которого соединен с первым детектором цилиндрических магнитных доменов и первым входом счетчика импульсов, а выход - с первым входом первого триггера, второй вход которого подключен ко второму детектору ЦМД и второму входу делителя, первый вход которого соединен с выходом счетчика, а первый выход - с первым входом вычитателя и через первый регистр - с вторым входом вычитателя, второй выход которого подключен к второму входу второго регистра, выход которого соединен с шиной «выход», а первый вход - с первым выходом вычитателя, с шиной синхронизации и со вторым входом второго триггера, второй и первый выходы которого подключены соответственно ко второму входу первого регистра и третьему входу вычитателя, а первый вход - ко второму выходу делителя, причем выход генератора соединен с узлом вращающегося магнитного поля и с третьим входом счетчика, второй вход которого подключен к выходу первого триггера.

– угловое ускорение, выраженное через обороты, число оборотов можно представить в виде n к = n 0 + e" t и тогда

http://pandia.ru/text/80/153/images/image553.gif" width="201" height="37 src=">

что соответствует

n1 = 2 × 60 = 120 об/мин.

Теперь находим при этой скорости вращения маховика скорость точек на его ободе:

http://pandia.ru/text/80/153/images/image555.gif" width="236" height="20 src=">

Задача 45. Вал, вращающийся равноускоренно из состояния покоя, в первые 12 с совершает 95,5 оборота. С каким угловым ускорением вращается вал и какую угловую скорость он приоб­ретает?

Решение.

1. Угловое перемещение за время t =12 с равноускоренного движения составляет

http://pandia.ru/text/80/153/images/image557.gif" width="197" height="39 src=">

3. К концу 12-й секунды вал приобретает угловую скорость:

http://pandia.ru/text/80/153/images/image559.gif" width="180" height="37 src=">

Задача 46. Колесо, вращающееся с частотой 1500 об/мин, при торможении начинает вращаться равнозамедленно и через 30 с останавливается. Определить угловое ускорение и число оборотов колеса с момента начала торможения до остановки.

Решение.

1. Выразим начальную угловую скорость в рад/с:

http://pandia.ru/text/80/153/images/image561.gif" width="208" height="37 src=">

2. Определим число оборотов в виде

http://pandia.ru/text/80/153/images/image563.gif" width="263" height="36 src=">

Задача 47. Вращение вала в течение первых 20с проис­ходит согласно уравнению j = 0,8 t3.

Определить угловую скорость вала в конце 20-й секунды; угло­вое ускорение в начале движения, в конце 10-й и 20-й секунд; сколько всего оборотов делает вал за 20 с.

Решение.

1. Определим число оборотов вала за 20с. Для этого пред­варительно найдем угол поворота за t = 20 с:

http://pandia.ru/text/80/153/images/image565.gif" width="199" height="37 src=">

2. Определим уравнение угловой скорости вала:

http://pandia.ru/text/80/153/images/image567.gif" width="195" height="23 src=">

Если выразить эту угловую скорость в об/мин, то

http://pandia.ru/text/80/153/images/image569.gif" width="132" height="37 src=">

5. Найдем угловое ускорение в начале движения (t 0= 0), в конце 10- й (t1 = 10 с) и 20-й секунд (t2 = 20 с):

http://pandia.ru/text/80/153/images/image571.gif" width="187" height="23 src=">

Глава 5. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

§ 20. Абсолютное движение и его составляющие

В предыдущих главах мы рассматривали движение точки и тела относительно системы отсчета, связанной с Землей, которую условно считали неподвижной. Движение относительно этой «неподвижной» системы координат принято называть абсо­лютным. Но иногда приходится рассматривать движение точки относительно системы, связанной с телом, которое само движется относительно Земли или тел, неподвижно скрепленных с ней (стены здания, рельсы, машины и т. п.). В этом случае абсолютное движение точки удобно представить себе как сложное движение, состоящее из двух (или более) независимых движений.

Получить полный текст

Движение точки относительно подвижной системы отсчета называют относительным, а движение точки вместе с подвижной системой отсчета относительно неподвижной системы отсчета называют переносным.

Для примера рассмотрим движение поднимаемого при помощи крана груза в условиях, когда стрела крана одновременно пово­рачивается вокруг своей оси. Движущейся системой отсчета в этом случае является стрела крана. Относительно нее груз движется прямолинейно вверх – это относительное движение. Одновремен­но вместе со стрелой груз совершает движение по дуге окружно­сти относительно «неподвижной» Земли – это переносное движе­ние груза.

Наблюдатель, стоящий на Земле, видит абсолютное движение груза, складывающееся из двух происходящих одновременно дви­жений.

Сложным также является движение человека по движущейся лестнице эскалатора: движение человека по отношению к ступеням является относительным, а перемещение его вместе со ступенями относительно неподвижных стен тоннеля является переносным. Абсолютным будет движение человека относительно неподвижных стен.

Таким образом, абсолютное движение точки – совокупность двух движений: относительного и переносного. При этом разли­чают абсолютную, относительную и переносную траектории и соответственно такие же скорости и ускорения точки.

§21. Сложение скоростей и ускорений точки
в сложном движении

В ряде случаев по заданным относительному и переносному движениям определяют абсолютное движение точки. Иногда зада­ны абсолютное и одно из составляющих движений, а необходимо определить другое составляющее движение.

Рассмотрим, как определяют абсолютное движение точки (т. е. абсолютные перемещения, скорость и ускорение), если ее отно­сительное и переносное движения прямолинейны и направлены под углом друг к другу. Пусть груз М движется вниз по наклонной плоскости и за промежуток времени D t перемещается относительно нее на D Sотн (рис. 72).

/text/categ/nauka.php" class="myButtonNauka">Получить полный текст

http://pandia.ru/text/80/153/images/image574.jpg" width="268" height="83 src=">

Поделим каждый член уравнения (37) на время D t , в течение которого происходило движение, и устремляя D t ® 0, получим выражение:

http://pandia.ru/text/80/153/images/image576.gif" width="101" height="24 src=">. (38)

Следовательно, в случае, если относительное и переносное движения прямолинейны, абсолютная скорость точки в каждый момент времени определяется как геометрическая сумма относи­тельной и переносной скоростей. Графически абсолютная скорость точки может быть определена по правилу параллелограмма или треугольника (рис. 74, а и б).

http://pandia.ru/text/80/153/images/image578.gif" width="251" height="31 src=">

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ

Кинематика вращения тела вокруг неподвижной оси

1. Краткие сведения из теории

Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид

Отсчет угла ведется от выбранного начала. При этом углам, отложенным в направлении движения часовой стрелки, придается знак “минус”, а углам противоположного направления – знак “плюс”.

Угол поворота выражается в радианах. Иногда угол поворота определяется числом оборотов N . Зависимость между и N следующая .

Угловая скорость тела:

Знак производной дает возможность установить происходит ли вращение тела в положительном направлении отсчета угла поворота (знак “плюс”) или в обратную сторону (знак “минус”). Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду (или 1/с).

Иногда угловую скорость характеризуют числом оборотов в минуту и обозначают буквой n . Зависимость между и n имеет вид

Угловое ускорение тела:

(42)

Знак производной дает возможность установить является ли вращение тела в данный момент времени ускоренным или замедленным. Если знаки и одинаковы, тело вращается ускоренно, а если их знаки различны – замедленно. Единица измерения углового ускорения – радиан на секунду в квадрате (или 1/с 2 ).

Траекториями точек тела, не лежащих на оси вращения, являются окружности с центрами на оси вращения и радиусами, равными кратчайшему расстоянию от этих точек до оси вращения.

Модуль скорости любой точки тела, находящейся на расстоянии h от оси вращения (рис. 18), определяется по формуле

. (43)

Направлена скорость точки по касательной к описываемой точкой окружности в сторону движения.

Ускорение любой точки тела состоит из двух составляющих – вращательного и осестремительного ускорений:

Модуль вращательного ускорения точки определяется по формуле

Рис. 18

Вращательное ускорение направлено по касательной к описываемой точкой окружности в ту же сторону, что и его скорость, если вращение тела ускоренное (рис. 18, а) и в сторону, противоположную скорости, если вращение замедленное (рис.18, б).

Модуль осестремительного ускорения определяется по формуле

Осестремительное ускорение всегда направлено по радиусу окружности от точки к центру окружности (рис. 18).

Модуль полного ускорения точки определяется по формуле

(46)

2. Основные типы задач кинематики вращения тела вокруг оси

В зависимости от того, что задано в условии задачи и что требуется определить, различают следующие два основных типа задач.

1. Исследуется движение тела в целом. В этих задачах вначале нужно получить законы (40)–(42) и, используя связь между ними, определить требуемую величину (см. примеры 17 и 18).

2. Требуется определить скорости и ускорения отдельных точек тела. Для решения задач этого типа вначале надо установить кинематические характеристики движения всего тела в целом, т.е. найти , и . После чего по формулам (43), (44), (45), (46) определить скорости и ускорения точек тела (см. пример 19).

Пример 17. Пропеллер самолета, делающий 1200 об /мин , после выключения двигателя останавливается через 8 с. Сколько оборотов сделал пропеллер за это время, если считать его вращение равнозамедленным?

Решение:

Вначале получим законы вращения пропеллера (40), (41) и (42). По условию задачи пропеллер вращается равнозамедленно , из этого следует, что

Поэтому

(48)

Начальной угловой скоростью при замедленном вращении будет та, которую пропеллер имел до выключения двигателя. Следовательно, . В момент остановки при t 1 = 8 сек. угловая скорость тела . Подставляя эти значения в уравнение (47), получим

Отсюда

Если обозначить число сделанных пропеллером за время t 1 оборотов через N 1 , то угол поворота за то же время будет равен

Подставляя найденные значения и в уравнение (48), получим

Отсюда оборотов.

Пример 18. Найти закон вращения тела вокруг оси, если известны следующие данные: угловая скорость изменяется пропорционально t 2 , начальный угол поворота рад, для заданного момента времени t 1 = 3 с угловое ускорение 1/с 2 .

Решение:

По условию задачи модуль угловой скорости изменяется пропорционально t 2 . Обозначая неизвестный коэффициент пропорциональности буквой k , имеем

Найдем , беря производные по времени от обеих частей равенства (49),

Определим коэффициент k из условия, что при t 1 = 3 сек. угловое ускорение 1/с 2 : или

Подставляя значение k в уравнение (49), получим

Учитывая, что , будем иметь

Умножая обе части этого уравнения на dt и интегрируя, находим

В начальный момент при t = 0, = 2 рад, следовательно, c = 2.

Таким образом, радиан.

Пример 19. В период разгона ротор электродвигателя вращается по закону , где t в сек, в рад.

Определить в конце 4-й секунды линейную скорость, вращательное, осестремительное и полное ускорения точки, лежащей на ободе ротора, если диаметр ротора D = 40 см .

Решение:

По заданному уравнению вращения ротора находим его угловую скорость и угловое ускорение , .

Подставляя значение t 1 = 4 сек в выражение для и , найдем

1/с,

1/с2 .

Определим модули линейной скорости, вращательного и осестремительного ускорений в этот же момент времени по формулам (43), (44) и (45)

Модуль полного ускорения точки обода ротора определим по формуле (46)

3. Определение скоростей и ускорений в случаях, когда вращающееся тело входит в состав различных механизмов

Рассмотрим механизмы с поступательным и вращательным движением звеньев. Решение задачи начинают с определения скоростей точек того звена, для которого движение задано. Затем рассматривают звено, которое присоединено к первому звену и т.д. В результате определяют скорости точек всех звеньев механизма. В такой же последовательности определяют и ускорения точек.

Передача вращения от одного вращающегося тела, называемого ведущим, к другому, называемому ведомым, может осуществляться при помощи фрикционной или зубчатой передачи (рис. 19).

Рис. 19

Во фрикционной передаче вращение передается вследствие действия силы трения в месте контакта соприкасающихся колес, в зубчатой передаче – от зацепления зубьев. Оси вращения ведущего и ведомого колес могут быть параллельными (рис. 19, а, б) или пересекаться (рис. 19, в). В рассмотренных случаях линейные скорости точек А соприкасания колес одинаковы, их модули определяются так:

. (50)

Отсюда. (51)

То есть угловые скорости колес фрикционной или зубчатой передачи обратно пропорциональны радиусам колес.

При преобразовании вращательного движения в поступательное (или наоборот) часто используют зацепление зубчатого колеса с зубчатой рейкой (рис. 20). Для этой передачи выполняется условие: .

Кроме фрикционной и зубчатой передач, существует передача вращения при помощи гибкой связи (ремня, троса, цепи) (рис. 21).

Рис. 20 Рис. 21

Так как модули скоростей всех точек ремня одинаковы и ремень не скользит по поверхностям шкивов, то соотношения (50) и (51) относятся и к ременной передаче.

Пример 20. В механизме домкрата при вращении рукоятки ОА шестерни 1, 2, 3, 4, 5 приводят в движение зубчатую рейку ВС домкрата (рис. 22).

Определить скорость рейки, если рукоятка ОА делает 30 оборотов в минуту (n = 30 об /мин). Числа зубцов шестерен: z 1 = 6,z 2 = 24,z 3 = 8,z 4 = 32; радиус пятой шестерни r 5 = 4 см .

Рис. 22

Решение:

Так как рукоятка ОА жестко соединена с шестерней 1, то последняя делает тоже 30 об /мин или

Модули скоростей точек соприкасания зубчатых колес 1 и 2 одинаковы для точек обоих колес и определяются по формуле (50)

Отсюда (см. также (51)).

Так как числа зубьев пропорциональны радиусам колес, то .

Отсюда

Шестерни 2 и 3 жестко соединены между собой, поэтому

Для находящихся в зацеплении колес 3 и 4 на основании (51) можно записать

Отсюда

Шестерни 4 и 5 жестко соединены между собой, поэтому

Модули скоростей точек соприкосновения зубчатой рейки ВС и шестерни 5 одинаковы, поэтому

или

Пример 21. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R 2 и r 2 иколесо 3 радиуса R 3 , скрепленное с валом радиуса r 3 , находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис.23). Рейка движется по закону

Дано: R 2 =6 см, r 2 =4 см, R 3 =8 см, r 3 =3 см, (S - в сантиметрах, t - в секундах),А - точка обода колеса 3, t 1 =3 с. Определить: , , , в момент времени t = t 1 .

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 6). Ее положение через промежуток времени Dr зададим углом Dj. Элементарные (бесконечно малые) повороты можно рассматривать как векторы (они обозначаются или ). Модуль вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого винта (рис. 6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор (рис. 7). Размерность угловой скорости , а ее единица - радиан в секунду (рад/с).

Рис. 6 Рис. 7

Линейная скорость точки (см. рис. 6)

.

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение:

При этом модуль векторного произведения, по определению, равен еаКяп(шК) а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к R.

Если w =const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т - временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е поворачивается на угол 2p. Так как промежутку времени Dt = Т соответствует Dj = 2p, то w = 2p/Т,откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении пс окоужности, в единицу времени называется частотой вращения:

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлю вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис. 8), при замедлен ном - противонаправлен ему (рис. 9).

Рис. 8 Рис. 9

Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение а t , нормальное ускорение а n) и угловыми величинами (угол поворота j, угловая скорость w, угловое ускорение e) выражается следующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности (e-const)

где w 0 - начальная угловая скорость.

Задачи

1.1.Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s=A+Bt+Ct 2 +Dt 3 (С=0,1 м/с 2 , D=0,03 м/с 3). Определить: 1) время после начала движения, через которое ускорение а тела будет равно 2 м/с 2 ;

2) среднее ускорение <а> тела за этот промежуток времени.

1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол, под которым тело брошено к горизонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности его полета.

1.3.Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением w= 2At + 5Bt 4 (А = 2 рад/с 2 и В = 1 рад/с 5). Определить полное ускорение точек обода колеса через t = 1 с после начала вращения и число оборотов, сделанных колесом за это время. [а=8,5 м/с 2 ; N = 0,48]

1.4.Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом г=4 м, задается уравнением a n =A+Bt+Ct 2 (A = 1 м/с 2 , B = 6 м/с 2 , С = 3 м/с 2). Определить: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t 1 =5 с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t 2 =1 с.

1.5.Частота вращения колеса при равнозамедленном движении за t = 1 мин уменьшилась от 300 до 180 мин -1 . Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время.

1.6.Диск радиусом R=10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением j=A+3t+Ct 2 +Dt 3 (B = 1 рад/с, С = 1 рад/с 2 , D = 1 рад/с 3). Определить для точек на ободе колеса к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение %; 2) нормальное ускорение а n ; 3) полное ускорение а.