Vaizdo pamokoje „Dviejų tiesių lygiagretumo ženklai“ pateikiamos teoremos, apibūdinančios ženklus, reiškiančius lygiagrečias tieses. Tuo pačiu vaizdo įraše aprašoma 1) tiesių lygiagretumo teorema, kurioje sekantas sukuria lygius kampus, 2) ženklas, reiškiantis dviejų tiesių lygiagretumą - esant vienodai suformuotais atitinkamais kampais, 3) ženklas. tai reiškia dviejų tiesių lygiagretumą tuo atveju, kai joms susikertant vienapusiai kampai sudaro 180°. Šios video pamokos tikslas – supažindinti mokinius su dviejų tiesių lygiagretumą reiškiančiais ženklais, kurių žinios būtinos sprendžiant daugelį praktinių uždavinių, vaizdžiai pateikti šių teoremų įrodymą, formuoti geometrinių teiginių įrodinėjimo įgūdžius.
Vaizdo pamokos pranašumai yra susiję su tuo, kad naudojant animaciją, balso nurodymus, galimybę paryškinti spalvomis, ji užtikrina aukštą matomumą, gali pakeisti standartinio bloko tiekimą. naujas mokomoji medžiaga mokytojas.
Vaizdo pamoka prasideda vardo rodymu ekrane. Prieš apibūdindami tiesių lygiagretumo požymius, mokiniai supažindinami su sekanto sąvoka. Sekantas apibrėžiamas kaip linija, kuri kerta kitas linijas. Ekrane rodomos dvi tiesės a ir b, kurios kerta liniją c. Sukonstruota linija c paryškinta mėlyna spalva, pabrėžiant, kad tai yra duotųjų eilučių a ir b sekantas. Norint atsižvelgti į linijų lygiagretumo požymius, reikia geriau susipažinti su linijų susikirtimo sritimi. Sekantas susikirtimo su tiesiomis linijomis taškuose sudaro 8 kampus ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, analizuojant santykius, iš kurių galima išvesti ženklus šių linijų lygiagretumo. Pažymima, kad kampai ∠3 ir ∠5, taip pat ∠2 ir ∠4 vadinami skersiniais. Išsamus paaiškinimas pateikiamas animacijos pagalba, kaip išdėstyti kryžminiai kampai, kaip kampai, esantys tarp lygiagrečių linijų ir besiribojančių su linijomis, esančiomis skersai. Tada pateikiama vienpusių kampų sąvoka, kuri apima poras ∠4 ir ∠5, taip pat ∠3 ir ∠6. Taip pat nurodytos atitinkamų kampų poros, kurių sukonstruotame vaizde yra 4 poros - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7.
Kitoje vaizdo pamokos dalyje nagrinėjami trys bet kurių dviejų eilučių lygiagretumo požymiai. Rodomas pirmasis aprašymas. Teorema teigia, kad jei sekanto suformuoti kryžminio gulėjimo kampai yra lygūs, duotosios tiesės bus lygiagrečios. Prie teiginio pridedamas brėžinys, kuriame pavaizduotos dvi tiesės a ir b bei sekantė AB. Pažymima, kad skersai suformuoti gulėjimo kampai ∠1 ir ∠2 yra lygūs vienas kitam. Šis teiginys reikalauja įrodymų.
Lengviausiai įrodomas konkretus atvejis, kai duoti kryžiais suformuoti kampai yra stačiakampiai. Tai reiškia, kad sekantas yra statmenas tiesėms, o pagal jau įrodytą teoremą šiuo atveju tiesės a ir b nesikirs, tai yra, yra lygiagrečios. Įrodymas šiuo konkrečiu atveju aprašytas naudojant paveikslėlio, pastatyto šalia pirmosios figūros, pavyzdį, animacijos pagalba išryškinant svarbias įrodymo detales.
Norint tai įrodyti bendruoju atveju, reikia nubrėžti papildomą statmeną nuo atkarpos AB vidurio taško iki tiesės a. Toliau tiesėje b nubrėžta atkarpa VN 1, lygi atkarpai AH. Iš šiuo atveju gauto taško H 1 nubrėžiama atkarpa, jungianti taškus O ir H 1. Toliau nagrinėjami du trikampiai ΔONA ir ΔOBN 1, kurių lygybė įrodoma pirmuoju dviejų trikampių lygybės kriterijumi. Kraštinės OA ir OB yra vienodos konstrukcijos, nes taškas O buvo pažymėtas kaip atkarpos AB vidurys. Kraštinės HA ir H 1 B taip pat yra lygios konstrukcijoje, nes atkarpą H 1 B atidėjome, lygią HA. O kampai ∠1=∠2 pagal uždavinio sąlygą. Kadangi suformuoti trikampiai yra lygūs vienas kitam, tai atitinkamos likusios kampų ir kraštinių poros taip pat yra lygios viena kitai. Iš to išplaukia, kad segmentas OH 1 yra segmento OH tęsinys, sudarantis vieną atkarpą HH 1. Pažymima, kad kadangi sudaryta atkarpa OH yra statmena tiesei a, tai atitinkamai atkarpa HH 1 yra statmena tiesėms a ir b. Šis faktas reiškia, kad naudojant lygiagretumo teoremą tiesėms, kurioms nutiestas vienas statmenas, nurodytos tiesės a ir b yra lygiagrečios.
Kita teorema, kurią reikia įrodyti, yra lygiagrečių tiesių lygybės ženklas atitinkamų kampų, suformuotų sekanto sankirtoje, lygybe. Nurodytos teoremos teiginys rodomas ekrane ir gali būti pasiūlytas studentams įrašyti. Įrodymas prasideda dviejų lygiagrečių tiesių a ir b konstravimu ekrane, prie kurių konstruojama sekanti c. Nuotraukoje paryškinta mėlyna spalva. Sekantas sudaro atitinkamus kampus ∠1 ir ∠2, kurie pagal sąlygą yra lygūs vienas kitam. Taip pat pažymėti gretimi kampai ∠3 ir ∠4. ∠2 kampo atžvilgiu ∠3 yra vertikalus kampas. Ir vertikalūs kampai visada lygūs. Be to, kampai ∠1 ir ∠3 yra vienas prieš kitą – jų lygybė (pagal jau įrodytą teiginį) reiškia, kad tiesės a ir b yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.
Paskutinė vaizdo pamokos dalis skirta įrodyti teiginį, kad jei vienpusių kampų, susidarančių kai kurių dviejų tiesių sankirtoje su skersine linija, suma yra lygi 180 °, tada šios linijos bus lygiagrečios kiekvienai. kitas. Įrodymas parodytas naudojant brėžinį, kuriame pavaizduotos linijos a ir b, kertančios sekantą c. Sankirtos suformuoti kampai pažymėti panašiai kaip ir ankstesniame įrodyme. Pagal sąlygą kampų ∠1 ir ∠4 suma yra lygi 180°. Yra žinoma, kad kampų ∠3 ir ∠4 suma lygi 180°, nes jie yra gretimi. Tai reiškia, kad kampai ∠1 ir ∠3 yra lygūs vienas kitam. Ši išvada suteikia teisę teigti, kad tiesės a ir b yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.
Vaizdo pamoką „Dviejų eilučių lygiagretumo ženklai“ mokytojas gali naudoti kaip savarankišką bloką, demonstruojantį šių teoremų įrodymus, pakeičiantį mokytojo paaiškinimą arba jį lydintį. Išsamus paaiškinimas leidžia naudoti medžiagą savarankiškas mokymasis studentams ir padės paaiškinti nuotolinio mokymosi medžiagą.
paralelizmas yra labai naudingą turtą geometrijoje. AT Tikras gyvenimas lygiagrečios pusės leidžia sukurti gražius, simetriškus dalykus, kurie būtų malonūs bet kuriai akiai, todėl geometrijai visada reikėjo būdų, kaip patikrinti šį lygiagretumą. Šiame straipsnyje kalbėsime apie lygiagrečių linijų ženklus.
Paralelizmo apibrėžimas
Išskirkime apibrėžimus, kuriuos reikia žinoti norint įrodyti dviejų eilučių lygiagretumo požymius.
Tiesės vadinamos lygiagrečiomis, jei jos neturi susikirtimo taškų. Be to, sprendiniuose lygiagrečios linijos dažniausiai eina kartu su sekantine linija.
Sekantinė linija – tai tiesė, kuri kerta abi lygiagrečias tieses. Tokiu atveju skersai formuojami gulintys, atitinkami ir vienpusiai kampai. 1 ir 4 kampų poros gulės skersai; 2 ir 3; 8 ir 6; 7 ir 5. Atitinka 7 ir 2; 1 ir 6; 8 ir 4; 3 ir 5.
Vienašalis 1 ir 2; 7 ir 6; 8 ir 5; 3 ir 4.
Tinkamai suformatavus rašoma: „Kryžminiai kampai su dviem lygiagrečiomis tiesėmis a ir b bei sekantu c“, nes dviejų lygiagrečių tiesių sekansų gali būti be galo daug, todėl reikia nurodyti, kurį sekantą turite omenyje.
Be to, norint įrodyti, mums reikia trikampio išorinio kampo teoremos, kuri teigia, kad trikampio išorinis kampas yra lygus dviejų trikampio kampų, kurie nėra greta jo, sumai.
ženklai
Visi lygiagrečių tiesių ženklai yra susieti su žiniomis apie kampų savybes ir teoremą apie trikampio išorinį kampą.
1 funkcija
Dvi tiesės yra lygiagrečios, jei susikertantys kampai yra lygūs.
Apsvarstykite dvi eilutes a ir b su sekantu c. Skersiniai gulėjimo kampai 1 ir 4 yra lygūs. Tarkime, kad linijos nėra lygiagrečios. Tai reiškia, kad tiesės susikerta ir turi būti susikirtimo taškas M. Tada sudaromas trikampis AVM, kurio išorinis kampas yra 1. Išorinis kampas turi būti lygus kampų sumai 4 ir AVM, kaip jam negretima pagal teorema apie išorinį trikampio kampą. Bet tada paaiškėja, kad kampas 1 yra didesnis už kampą 4, ir tai prieštarauja uždavinio sąlygai, o tai reiškia, kad taško M nėra, tiesės nesikerta, tai yra, yra lygiagrečios.
Ryžiai. 1. Brėžinys įrodymui.
2 funkcija
Dvi tiesės yra lygiagrečios, jei atitinkami sekantiniai kampai yra lygūs.
Apsvarstykite dvi eilutes a ir b su sekantu c. Atitinkami kampai 7 ir 2 yra lygūs. Atkreipkime dėmesį į kampą 3. Jis yra vertikalus kampui 7. Todėl kampai 7 ir 3 yra lygūs. Taigi kampai 3 ir 2 taip pat yra lygūs, nes<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.
Ryžiai. 2. Brėžinys įrodymui.
3 funkcija
Dvi tiesės yra lygiagrečios, jei vienpusių kampų suma yra 180 laipsnių.
Ryžiai. 3. Brėžinys įrodymui.
Apsvarstykite dvi eilutes a ir b su sekantu c. Vienpusių kampų 1 ir 2 suma yra 180 laipsnių. Atkreipkime dėmesį į kampus 1 ir 7. Jie yra gretimi. Tai yra:
$$<1+<7=180$$
$$<1+<2=180$$
Iš pirmosios išraiškos atimkite antrąją:
$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$
$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$
$$<1+<7-<1-<2=0$$
$$<7-<2=0$$
$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.
Ko mes išmokome?
Detaliai išanalizavome, kokie kampai gaunami pjaunant lygiagrečias linijas trečiąja linija, nustatėme ir detaliai apibūdinome trijų tiesių lygiagretumo požymių įrodymą.
Temos viktorina
Straipsnio įvertinimas
Vidutinis reitingas: 4.1. Iš viso gautų įvertinimų: 220.
Dviejų tiesių lygiagretumą galima įrodyti remiantis teorema, pagal kurią vienos tiesės atžvilgiu nubrėžti du statmenai bus lygiagretūs. Yra tam tikri lygiagrečių linijų ženklai - jų yra trys, ir mes juos visus apsvarstysime konkrečiau.
Pirmasis paralelizmo požymis
Tiesės yra lygiagrečios, jei jų trečiosios tiesės sankirtoje suformuoti vidiniai kampai, esantys skersai, yra lygūs.
Tarkime, tiesių AB ir CD sankirtoje su tiese EF susidarė kampai /1 ir /2. Jie yra vienodi, nes tiesė EF eina tuo pačiu nuolydžiu kitų dviejų tiesių atžvilgiu. Tiesių sankirtoje dedame taškus Ki L - turime sekanto EF segmentą. Surandame jo vidurį ir dedame tašką O (189 pav.).
Tiesėje AB nuleidžiame statmeną nuo taško O. Pavadinkime jį OM. Mes tęsiame statmeną, kol jis susikerta su linija CD. Dėl to pradinė linija AB yra griežtai statmena MN, o tai reiškia, kad CD _ | _ MN, tačiau šis teiginys reikalauja įrodymų. Nubrėžę statmeną ir susikirtimo liniją, suformavome du trikampius. Vienas iš jų yra MANO, antrasis - NOK. Panagrinėkime juos išsamiau. lygiagrečių linijų ženklai 7 klasė
Šie trikampiai yra lygūs, nes pagal teoremos sąlygas /1 = /2, o pagal trikampių konstrukciją kraštinė OK = kraštinė OL. Kampas MOL =/NOK, nes tai vertikalūs kampai. Iš to išplaukia, kad vieno iš trikampių kraštinė ir du kampai, esantys šalia jo, yra atitinkamai lygūs kito trikampio kraštinei ir du kampai, esantys šalia jo. Taigi, trikampis MOL \u003d trikampis NOK, taigi ir kampas LMO \u003d kampas KNO, tačiau žinome, kad / LMO yra stačiakampis, o tai reiškia, kad atitinkamas kampas KNO taip pat yra teisingas. Tai yra, mums pavyko įrodyti, kad tiek tiesė AB, tiek CD yra statmenos tiesei MN. Tai yra, AB ir CD yra lygiagrečiai vienas kitam. Tai mums reikėjo įrodyti. Panagrinėkime likusius lygiagrečių tiesių ženklus (7 klasė), kurie skiriasi nuo pirmojo ženklo įrodymo būdu.
Antrasis paralelizmo požymis
Pagal antrąjį tiesių lygiagretumo ženklą turime įrodyti, kad kampai, gauti lygiagrečių tiesių AB ir CD susikirtimo tiese EF procese, bus lygūs. Taigi dviejų tiesių, tiek pirmosios, tiek antrosios, lygiagretumo ženklai yra pagrįsti kampų, gautų juos kertant trečiąja tiese, lygybe. Darome prielaidą, kad /3 = /2, o kampas 1 = /3, nes jis yra jam vertikalus. Taigi ir /2 bus lygūs kampui 1, tačiau reikia atsižvelgti į tai, kad ir kampas 1, ir kampas 2 yra vidiniai, kryžminiai kampai. Todėl mums belieka pritaikyti savo žinias, būtent, kad dvi atkarpos bus lygiagrečios, jei jų susikirtimo su trečiąja linija susiformavę kryžminiai kampai bus lygūs. Taip išsiaiškinome, kad AB || CD.
Pavyko įrodyti, kad su sąlyga, kad du statmenys yra lygiagretūs vienai tiesei, pagal atitinkamą teoremą lygiagrečių tiesių ženklas yra akivaizdus.
Trečiasis paralelizmo požymis
Taip pat yra ir trečias lygiagretumo kriterijus, kuris įrodomas vienpusių vidinių kampų suma. Toks tiesių lygiagretumo ženklo įrodymas leidžia daryti išvadą, kad dvi tiesės bus lygiagrečios, jeigu joms susikirsdamos su trečiąja tiese gautų vienpusių vidinių kampų suma bus lygi 2d. Žiūrėkite 192 pav.
Jie nesikerta, nesvarbu, kiek laiko tęsiasi. Eilučių lygiagretumas raštu nurodomas taip: AB|| NUOE
Tokių eilučių egzistavimo galimybė įrodoma teorema.
Teorema.
Per bet kurį tašką, esantį už nurodytos linijos, galima nubrėžti lygiagretę šiai linijai..
Leisti ABši linija ir NUO tam tikras taškas, paimtas už jo ribų. Tai būtina įrodyti NUO galite nubrėžti tiesią liniją lygiagrečiaiAB. Užsukite AB iš taško NUO statmenaiNUOD ir tada padarysime NUOE^ NUOD, kas įmanoma. Tiesiai CE lygiagrečiai AB.
Įrodymui darome prielaidą priešingai, t.y CE susikerta AB tam tikru momentu M. Tada iš taško Mį tiesią liniją NUOD turėtume du skirtingus statmenus MD ir MS, kas neįmanoma. Reiškia, CE negali susikirsti su AB, t.y. NUOE lygiagrečiai AB.
Pasekmė.
Du statmenai (CEirD.B.) iki vienos tiesios linijos (CD) yra lygiagrečios.
Lygiagrečių tiesių aksioma.
Per tą patį tašką neįmanoma nubrėžti dviejų skirtingų tiesių, lygiagrečių tai pačiai linijai.
Taigi, jei tiesi linija NUOD, nubrėžtas per tašką NUO lygiagreti tiesia linija AB, tada bet kurią kitą eilutę NUOE per tą patį tašką NUO, negali būti lygiagreti AB, t.y. ji tęsia susikerta Su AB.
Šios ne visai akivaizdžios tiesos įrodymas pasirodo neįmanomas. Jis priimamas be įrodymų kaip būtina prielaida (postulatum).
Pasekmės.
1. Jeigu tiesiai(NUOE) susikerta su vienu iš lygiagrečiai(SW), tada jis susikerta su kitu ( AB), nes kitaip per tą patį tašką NUO dvi skirtingos lygiagrečios tiesės AB, kas neįmanoma.
2. Jei kiekvienas iš dviejų tiesioginis (AirB) yra lygiagrečios tai pačiai trečiajai linijai ( NUO) , tada jie yra lygiagrečios tarp savęs.
Iš tiesų, jei manytume, kad A ir B susikerta tam tikru momentu M, tada per šį tašką eitų dvi skirtingos viena kitai lygiagrečios tiesės. NUO, kas neįmanoma.
Teorema.
Jeigu tiesi linija yra statmena vienai iš lygiagrečių tiesių, tada ji yra statmena kitai lygiagrečiai.
Leisti AB || NUOD ir EF ^ AB.Reikalaujama tai įrodyti EF ^ NUOD.
StatmenasEF, susikerta su AB, tikrai susikirs ir NUOD. Tegul susikirtimo taškas yra H.
Tarkime, kad dabar NUOD ne statmenai EH. Tada, pavyzdžiui, kitą eilutę HK, bus statmena EH taigi per tą patį tašką H du tiesi lygiagreti AB: vienas NUOD, pagal sąlygą ir kita HK kaip įrodyta anksčiau. Kadangi tai neįmanoma, negalima taip manyti SW nebuvo statmenai EH.
Dviejų tiesių lygiagretumo ženklai
1 teorema. Jei dviejų sekanto tiesių sankirtoje:
įstrižai gulėti kampai yra lygūs, arba
atitinkami kampai yra lygūs arba
vienpusių kampų suma yra 180°, tada
linijos lygiagrečios(1 pav.).
Įrodymas. Mes apsiribojame 1 atvejo įrodymu.
Tarkime, kad tiesių a ir b susikirtimo taške AB skersai gulėti kampai yra lygūs. Pavyzdžiui, ∠ 4 = ∠ 6. Įrodykime, kad a || b.
Tarkime, kad tiesės a ir b nėra lygiagrečios. Tada jie susikerta tam tikrame taške M ir dėl to vienas iš kampų 4 arba 6 bus išorinis trikampio ABM kampas. Apibrėžtumo dėlei ∠ 4 yra išorinis trikampio ABM kampas, o ∠ 6 – vidinis. Iš trikampio išorinio kampo teoremos išplaukia, kad ∠ 4 yra didesnis nei ∠ 6, ir tai prieštarauja sąlygai, o tai reiškia, kad tiesės a ir 6 negali susikirsti, todėl yra lygiagrečios.
1 išvada. Dvi skirtingos tiesės plokštumoje, statmenoje tai pačiai tiesei, yra lygiagrečios(2 pav.).
komentuoti. Tai, kaip ką tik įrodėme 1 teoremos 1 atvejį, vadinamas įrodinėjimo prieštaravimu arba redukavimu iki absurdo metodu. Šis metodas gavo savo pirmąjį pavadinimą, nes samprotavimo pradžioje daroma prielaida, kuri yra priešinga (priešinga) tam, ką reikalaujama įrodyti. Redukcija iki absurdo ji vadinama dėl to, kad, argumentuodami remiantis padaryta prielaida, prieiname prie absurdiškos išvados (absurdo). Tokios išvados gavimas verčia atmesti pradžioje padarytą prielaidą ir priimti tą, kurią reikėjo įrodyti.
1 užduotis. Sukurkite tiesę, einančią per nurodytą tašką M ir lygiagrečią duotai tiesei a, nekertančią taško M.
Sprendimas. Per tašką M brėžiame tiesę p, statmeną tiesei a (3 pav.).
Tada per tašką M brėžiame tiesę b, statmeną tiesei p. Tiesė b yra lygiagreti tiesei a pagal 1 teoremos išvadą.
Iš nagrinėjamos problemos daroma svarbi išvada:
Per tašką, esantį ne tam tikroje tiesėje, visada galima nubrėžti tiesę, lygiagrečią nurodytai tiesei..
Pagrindinė lygiagrečių linijų savybė yra tokia.
Lygiagrečių tiesių aksioma. Per tam tikrą tašką, esantį ne tam tikroje tiesėje, yra tik viena tiesė, lygiagreti nurodytai tiesei.
Apsvarstykite kai kurias lygiagrečių linijų savybes, kurios išplaukia iš šios aksiomos.
1) Jei tiesė kerta vieną iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji kerta ir kitą (4 pav.).
2) Jei dvi skirtingos tiesės yra lygiagrečios trečiajai tiesei, tai jos lygiagrečios (5 pav.).
Ši teorema taip pat teisinga.
2 teorema. Jei dvi lygiagrečias tieses kerta sekantas, tai:
gulėjimo kampai yra lygūs;
atitinkami kampai yra lygūs;
vienpusių kampų suma yra 180°.
2 pasekmė. Jei tiesė yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji taip pat yra statmena ir kitai.(žr. 2 pav.).
komentuoti. 2 teorema vadinama atvirkštine 1 teorema. 1 teoremos išvada yra 2 teoremos sąlyga. O 1 teoremos sąlyga yra 2 teoremos išvada. Ne kiekviena teorema turi atvirkštinę, t. y. jei duota teorema yra teisinga, tada atvirkštinė teorema gali būti klaidinga.
Paaiškinkime tai vertikalių kampų teoremos pavyzdžiu. Šią teoremą galima suformuluoti taip: jei du kampai yra vertikalūs, tai jie lygūs. Atvirkštinė teorema būtų tokia: jei du kampai lygūs, tai jie vertikalūs. Ir tai, žinoma, netiesa. Du vienodi kampai visai nebūtinai turi būti vertikalūs.
1 pavyzdys Dvi lygiagrečias linijas kerta trečdalis. Yra žinoma, kad skirtumas tarp dviejų vidinių vienpusių kampų yra 30°. Raskite tuos kampus.
Sprendimas. Tegul 6 paveikslas atitinka sąlygą.