Keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios. Keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra poromis lygiagrečios? Keturkampis gali būti

Teorema: Keturkampis yra lygiagretainis, jei:

jo priešingi kampai yra lygūs;
jo priešingos pusės poromis lygios;
jo įstrižainės dalinamos per susikirtimo tašką;
jo dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios ir lygios.

Įrodymas:

A. Tegul kampai K ir M yra lygūs vienas kitam ir lygūs a keturkampyje KLMN, taip pat kampai L ir N yra lygūs vienas kitam ir lygūs p (pav.). Atsižvelgiant į tai, kad keturkampio kampų suma yra 360°, gauname, kad 2α + 2β = 360°, arba α + β = 180°. Atsižvelgiant į tai, kad kampai K ir L, atitinkamai lygūs orui, yra vidiniai vienpusiai kampai tiese KN ir LM, kertamų tiesės KL, darome išvadą, kad kraštinės KN ir LM yra lygiagrečios. Taip pat iš kampų K ir N darome išvadą, kad kraštinės KL ir NM yra lygiagrečios. Dabar pagal lygiagretainio apibrėžimą tvirtiname, kad keturkampis KLMN yra lygiagretainis.

B. Tegul kraštinės CD ir FE, taip pat CF ir DE yra poromis lygios keturkampyje CDEF (pav.). Nubrėžkime vieną iš keturkampio įstrižainių, pavyzdžiui, CE. Trikampiai CDE ir EFC turi tris lygias kraštines. Todėl kampai DEC ir FCE yra lygūs. Kadangi šie kampai yra vidiniai kryžiai, esantys tiese DE ir CF, kertamų tiesės CE, kraštinės DE ir CF yra lygiagrečios. Taip pat iš kampų DCE ir FEC lygybės gauname, kad kraštinės CD ir FE yra lygiagrečios. Dabar pagal lygiagretainio apibrėžimą tvirtiname, kad keturkampis CDEF yra lygiagretainis.

C. Tegul keturkampio IKLM įstrižainių IL ir KM susikirtimo taškas B padalija šias įstrižaines pusiau: IB = BL ir KB = VM (pav.). Tada trikampiai KBL ir MBI yra lygūs iš dviejų kraštinių ir kampas tarp jų. Tai leidžia teigti, kad kampai 1MB ir LKB yra lygūs, vadinasi, kraštinės IM ir KL yra lygiagrečios. Panašiai iš trikampių KBI ir MBL lygybės darome išvadą, kad kraštinės IK ir LM yra lygiagrečios. Dabar pagal lygiagretainio apibrėžimą galime teigti, kad keturkampis IKLM yra lygiagretainis. Labai dažnai tai reikia žinoti sprendžiant olimpiados uždavinius mokyklinėse olimpiadose.

D. Tegul priešingos kraštinės OP ir RQ yra lygiagrečios ir lygios keturkampyje OPQR (pav.). Nubrėžkime įstrižainę OQ. Gauti kampai POQ ir RQO yra lygūs, nes jie yra vidiniai skersai, esantys lygiagrečiose tiesėse OP ir RQ, kurias kerta tiesė OQ. Todėl trikampiai OPQ ir RQO yra lygūs dviejose kraštinėse ir kampas tarp jų. Taigi jų atitinkami kampai PQO ir ROQ yra lygūs.

Ir kadangi jie yra vidiniai kryžminiai kampai tiese PQ ir OR, kertamas tiesės OQ, tada PQ ir OR kraštinės yra lygiagrečios. Atsižvelgdami į kraštinių OP ir RQ lygiagretumą, pagal lygiagretainio apibrėžimą teigiame, kad keturkampis OPQR yra lygiagretainis.

Apibrėžimas. Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra poromis lygiagrečios.

Nuosavybė. Lygiagretainio priešingos kraštinės yra lygios, o priešingi kampai yra lygūs.

Nuosavybė. Lygiagretainio įstrižainės dalinamos per susikirtimo tašką.

1 lygiagretainio ženklas. Jei dvi keturkampio kraštinės yra lygios ir lygiagrečios, tai keturkampis yra lygiagretainis.

2 lygiagretainio ženklas. Jei priešingos keturkampio kraštinės poromis lygios, tai keturkampis yra lygiagretainis.

3 lygiagretainio ženklas. Jei keturkampyje įstrižainės susikerta, o susikirtimo taškas yra padalintas į pusę, tai šis keturkampis yra lygiagretainis.

Apibrėžimas. Trapecija yra keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi kraštinės nėra lygiagrečios. Lygiagrečios pusės vadinamos pagrindu.

Trapecija vadinama lygiašonis (lygiašonis) jei jo kraštinės lygios. Lygiašonės trapecijos kampai prie pagrindų yra lygūs.

Vadinama trapecija su vienu stačiu kampu stačiakampis.

Atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus, vadinama trapecijos vidurio linija. Vidurinė linija lygiagreti pagrindams ir lygi jų pusei.

Apibrėžimas. Stačiakampis yra lygiagretainis su visais stačiais kampais.

Nuosavybė. Stačiakampio įstrižainės yra lygios.

Stačiakampis ženklas. Jei lygiagretainio įstrižainės yra lygios, tai šis lygiagretainis yra stačiakampis.

Apibrėžimas. Rombas yra lygiagretainis, kurio visos kraštinės yra lygios.

Nuosavybė. Rombo įstrižainės yra viena kitai statmenos ir dalija jo kampus pusiau.

Apibrėžimas. Kvadratas yra stačiakampis, kurio visos kraštinės yra lygios.

Kvadratas yra tam tikros rūšies stačiakampis, taip pat tam tikros rūšies rombas. Todėl jis turi visas savo savybes.

Savybės:
1. Visi kvadrato kampai yra teisingi

2. Kvadrato įstrižainės lygios, viena kitai statmenos, susikirtimo taškas padalintas pusiau, o kvadrato kampai – pusiau.

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją, norėdami išsiųsti jums svarbius pranešimus ir pranešimus.
Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

Jei reikia – pagal įstatymus, teismo tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybinių įstaigų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų viešojo intereso priežasčių.
Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Keturkampis yra daugiakampis, susidedantis iš keturių taškų (viršūnių) ir keturių atkarpų (kraštinių), jungiančių šiuos taškus poromis.

Šiandien mes svarstysime geometrinė figūra- keturkampis. Iš šios figūros pavadinimo jau tampa aišku, kad ši figūra turi keturis kampus. Tačiau toliau apžvelgsime likusias šio paveikslo savybes ir savybes.

Kas yra keturkampis

Keturkampis yra daugiakampis, susidedantis iš keturių taškų (viršūnių) ir keturių atkarpų (kraštinių), jungiančių šiuos taškus poromis. Keturkampio plotas yra pusė jo įstrižainių ir kampo tarp jų sandaugos.

Keturkampis yra daugiakampis su keturiomis viršūnėmis, iš kurių trys nėra toje pačioje tiesėje.

Keturkampių tipai

Keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra poromis lygiagrečios, vadinamas lygiagretainiu.
Keturkampis, kurio dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi ne, vadinamas trapecija.
Keturkampis su visais stačiais kampais yra stačiakampis.
Keturkampis, kurio visos kraštinės lygios, yra rombas.
Keturkampis, kurio visos kraštinės yra lygios ir visi kampai yra tiesūs, vadinamas kvadratu.

Keturkampis gali būti:

savaime susikertančios

neišgaubtas

išgaubtas

Savaime susikertantis keturkampis yra keturkampis, kuriame bet kuri jo kraštinė turi susikirtimo tašką (paveiksle mėlyna spalva).

Neišgaubtas keturkampis yra keturkampis, kurio vienas iš vidinių kampų yra didesnis nei 180 laipsnių (paveiksle pažymėtas oranžine spalva).

Kampų suma bet kuris keturkampis, kuris nesikerta, visada yra lygus 360 laipsnių.

Specialūs keturkampių tipai

Keturkampiai gali turėti papildomų savybių, formuojančių specialios rūšys geometrinės formos:

Lygiagretainis
Stačiakampis
Kvadratas
Trapecija
Deltinė
Kontrparalelograma

Keturkampis ir apskritimas

Aplink apskritimą įbrėžtas keturkampis (į keturkampį įbrėžtas apskritimas).

Pagrindinė apibrėžtojo keturkampio savybė:

Keturkampis gali būti apibrėžiamas aplink apskritimą tada ir tik tada, kai priešingų kraštinių ilgių sumos yra lygios.

Į apskritimą įbrėžtas keturkampis (aplink keturkampį įbrėžtas apskritimas)

Pagrindinė įbrėžto keturkampio savybė:

Keturkampis gali būti įrašytas į apskritimą tada ir tik tada, kai priešingų kampų suma yra 180 laipsnių.

Keturkampio kraštinės ilgio savybės

Bet kurių dviejų keturkampio kraštinių skirtumo modulis neviršija kitų dviejų jo pusių sumos.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Svarbu. Nelygybė galioja bet kokiam keturkampio kraštinių deriniui. Paveikslas pateiktas tik tam, kad būtų lengviau suprasti.

Bet kuriame keturkampyje jo trijų kraštinių ilgių suma yra ne mažesnė už ketvirtosios kraštinės ilgį.

Svarbu. Sprendžiant problemas mokyklos programoje, galite naudoti griežtą nelygybę (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

„Javascript“ jūsų naršyklėje išjungtas.
Norint atlikti skaičiavimus, ActiveX valdikliai turi būti įjungti!

Šiame straipsnyje apžvelgsime visus pagrindinius keturkampių savybės ir ženklai.

Pirmiausia sutvarkysiu visų tipų keturkampius tokios suvestinės diagramos pavidalu:

Schema nepaprasta tuo, kad kiekvienoje eilėje esantys keturkampiai turi VISAS VIRŠ JŲ ESANČIŲ KETRAKAMPIŲ SAVYBES. Taigi labai mažai ką reikia prisiminti.

Trapecija yra keturkampis, kurio dvi kraštinės lygiagrečios, o kitos dvi nelygiagrečios. Lygiagrečios pusės vadinamos trapecijos pagrindai, ne lygiagrečiai pusės.

1 . trapecijoje kampų, besiribojančių su šonine, suma lygus 180°: A+B=180°, C+D=180°