Manekenų matematinė analizė. Pamoka 1. Rinkiniai.
Rinkinio samprata
Daug yra kai kurių objektų rinkinys. Kokie gali būti rinkiniai? Pirma, baigtinis arba begalinis. Pavyzdžiui, degtukų rinkinys dėžutėje yra baigtinis rinkinys, juos galima paimti ir suskaičiuoti. Smėlio grūdelių skaičių paplūdimyje suskaičiuoti daug sunkiau, bet iš esmės įmanoma. Ir šis dydis išreiškiamas kokiu nors baigtiniu skaičiumi. Žinoma, tiek daug smėlio paplūdimyje. Tačiau tiesiosios linijos taškų aibė yra begalinė. Kadangi, pirma, pati linija yra begalinė ir ant jos galite dėti tiek taškų, kiek norite. Tiesijos atkarpos taškų aibė taip pat yra begalinė. Kadangi teoriškai taškas gali būti savavališkai mažas. Žinoma, fiziškai negalime nubraižyti taško, pavyzdžiui, mažesnio už atomo dydį, tačiau matematikos požiūriu taškas neturi dydžio. Jo dydis lygus nuliui. Kas atsitiks, kai skaičių padalysite iš nulio? Teisingai, begalybė. Ir nors taškų rinkinys tiesėje ir atkarpoje linkęs į begalybę, tai nėra tas pats dalykas. Rinkinys yra ne kažko kiekis, o bet kokių objektų rinkinys. Ir tik tie rinkiniai, kuriuose yra lygiai tokie patys objektai, laikomi lygiais. Jei viename rinkinyje yra tie patys objektai kaip ir kitame rinkinyje, bet plius dar vienas „kairysis“ objektas, tai nebėra lygiaverčiai rinkiniai.
Apsvarstykite pavyzdį. Tarkime, kad turime du rinkinius. Pirmasis yra visų linijos taškų rinkimas. Antrasis yra visų tiesios atkarpos taškų rinkinys. Kodėl jie nėra lygūs? Pirma, linijos atkarpa ir tiesė gali net nesikirsti. Tada jie tikrai nėra lygūs, nes juose yra visiškai skirtingi punktai. Jei jie susikerta, tada jie turi tik vieną bendrą tašką. Visi kiti tokie pat skirtingi. Ką daryti, jei atkarpa yra tiesioje linijoje? Tada visi atkarpos taškai yra ir tiesės taškai. Tačiau ne visi tiesės taškai yra linijos atkarpos taškai. Taigi šiuo atveju aibės negali būti laikomos lygiomis (identiškomis).
Kiekvienas rinkinys apibrėžiamas taisykle, kuri vienareikšmiškai nustato, ar elementas priklauso šiam rinkiniui, ar ne. Kokios gali būti šios taisyklės? Pavyzdžiui, jei rinkinys yra baigtinis, galite kvailai surašyti visus jos objektus. Galite nustatyti diapazoną. Pavyzdžiui, visi sveikieji skaičiai nuo 1 iki 10. Tai taip pat bus baigtinė aibė, bet čia mes neišvardijame jos elementų, o suformuluojame taisyklę. Arba nelygybė, pavyzdžiui, visi skaičiai yra didesni už 10. Tai jau bus begalinė aibė, nes neįmanoma įvardyti didžiausio skaičiaus – kad ir kokiu numeriu skambintume, visada yra šis skaičius plius 1.
Paprastai aibės žymimos lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis A, B, C ir pan. Jei rinkinys susideda iš konkrečių elementų ir norime jį apibrėžti kaip šių elementų sąrašą, tai šį sąrašą galime įterpti į riestinius skliaustus, pavyzdžiui, A=(a, b, c, d). Jei a yra aibės A elementas, tai rašoma taip: a Î A. Jei a nėra aibės A elementas, tada parašykite a Ï A. Viena iš svarbių aibių yra visų natūraliųjų skaičių aibė N N=(1,2,3,...,) . Taip pat yra specialus, vadinamasis tuščias rinkinys, kuriame nėra nei vieno elemento. Tuščias rinkinys žymimas simboliu Æ .
1 apibrėžimas (aibių lygybės apibrėžimas). Rinkiniai BET ir B yra lygūs, jei jie susideda iš tų pačių elementų, tai yra, jei iš xн A seka x н B ir atvirkščiai, iš x н B seka x н A.
Formaliai dviejų aibių lygybė užrašoma taip:
(A=B) := " x (( x Î A ) Û (x Î B )),
Tai reiškia, kad bet kuriam objektui x ryšiai xÎ A ir xО B yra lygiaverčiai.
Čia " yra universalus kvantorius (" xrašoma „už kiekvieną x").
2 apibrėžimas (pogrupio apibrėžimas). Daug BET yra aibės poaibis AT jei bet kuris X priklausantis rinkiniui BET, priklauso rinkiniui AT. Formaliai tai gali būti išreikšta kaip išraiška:
(A Ì B) := " x((x Î A) Þ (x Î B))
Jeigu Ì B bet A ¹ B, tada A yra tinkamas aibės poaibis AT. Kaip pavyzdį vėlgi galima paminėti tiesią liniją ir atkarpą. Jei atkarpa yra tiesėje, tada jos taškų aibė yra šios linijos taškų poaibis. Arba kitas pavyzdys. Sveikųjų skaičių, kurie tolygiai dalijasi iš 3, aibė yra sveikųjų skaičių aibės poaibis.
komentuoti. Tuščia aibė yra bet kurios aibės poaibis.
Operacijos rinkiniuose
Su rinkiniais galimos šios operacijos:
Asociacija.Šios operacijos esmė yra sujungti du rinkinius į vieną, kuriame yra kiekvieno iš kombinuotų rinkinių elementai. Formaliai tai atrodo taip:
C=AÈ B:= {x:x Î A arba xÎ B}
Pavyzdys. Išspręskime nelygybę | 2 x+ 3 | > 7.
Tai reiškia arba nelygybę 2x+3 >7, 2x+3≥0, tada x>2
arba nelygybė 2x+3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.
Šios nelygybės sprendinių aibė yra aibių sąjunga (-∞,-5) È (2, ∞).
Patikrinkime. Apskaičiuokime išraiškos reikšmę | 2 x+ 3 | keliems balams, meluojant ir nemeluojant nurodytame diapazone:
| x | | 2 x+ 3 | |
| -10 | 17 |
| -6 | 9 |
| -5 | 7 |
| -4 | 5 |
| -2 | 1 |
| 0 | 3 |
| 1 | 5 |
| 2 | 7 |
| 3 | 9 |
| 5 | 13 |
Kaip matote, viskas buvo nuspręsta teisingai (ribos diapazonai pažymėti raudonai).
sankryža. Sankryža yra operacija, kuria sukuriamas naujas dviejų elementų rinkinys, įtrauktas į abu šiuos rinkinius. Norėdami tai įsivaizduoti, įsivaizduokime, kad plokštumoje turime du taškų rinkinius, būtent figūrą A ir figūrą B. Jų sankirta žymi figūrą C – tai yra nustatytos sankirtos operacijos rezultatas:
Formaliai aibių sankirtos veiksmas parašytas taip:
C=A Ç B:= (x: x Î A ir x О B )
Pavyzdys. Tada turėkime rinkinį C=A Ç B = {5,6,7}
Atimtis. Aibės atėmimas yra tų elementų, kurie yra atimtyje ir atimtyje, išskyrimas iš atimtos aibės:
Formaliai aibės atėmimas rašomas taip:
A\B:={x:x Î A ir xÏ B}
Pavyzdys. Tegul turime daug A=(1,2,3,4,5,6,7), B=(5,6,7,8,9,10). Tada C=A\ B = { 1,2,3,4}
Papildymas. Komplementas yra vienkartinė operacija (operacija ne dviem, o vienai rinkiniui). Ši operacija yra duotosios aibės atėmimas iš visos universalios aibės (aibės, kurią sudaro visi kiti rinkiniai).
A := (x:x О U ir x П A) = U \ A
Grafiškai tai gali būti pavaizduota taip:
simetriškas skirtumas. Priešingai nei įprastas skirtumas, esant simetriškam aibių skirtumui, išlieka tik tie elementai, kurie yra vienoje ar kitoje aibėje. Arba, paprastai tariant, jis sukurtas iš dviejų rinkinių, bet tie elementai, kurie yra abiejuose rinkiniuose, iš jo neįtraukiami:
Matematiškai tai galima išreikšti taip:
A D B:= (A\B) È ( B\A) = (A È B) \ (A Ç B)
Aibių operacijų savybės.
Iš aibių jungties ir susikirtimo apibrėžimų matyti, kad sankirtos ir jungties operacijos turi šias savybes:
- Komutatyvumas.
A
È
B = BÈ
A
AÇ
B = BÇ
A
- Asociatyvumas.
(A
È
B)
È
C=AÈ
( B
È
C)
(A
Ç
B)
Ç
C = AÇ
( B
Ç
C)
Kategorijoje Calculus yra nemokamos internetinės vaizdo pamokos šia tema. Matematinė analizė – tai matematikos šakų visuma, nagrinėjanti funkcijas ir jų apibendrinimus diferencialinio ir integralinio skaičiavimo metodais. Tai apima: funkcinę analizę, įskaitant Lebesgue integralo teoriją, kompleksinę analizę (TFKP), tiriančią sudėtingoje plokštumoje apibrėžtas funkcijas, serijų ir daugiamačių integralų teoriją, nestandartinę analizę, tiriančią be galo mažus ir be galo didelius skaičius, vektorinė analizė ir variacijų skaičiavimas. Mokytis skaičiavimo iš video pamokų bus naudinga tiek pradedantiesiems, tiek labiau patyrusiems matematikams. Vaizdo pamokas iš skilties Matematinė analizė galite žiūrėti nemokamai bet kuriuo patogiu metu. Kai kuriose vaizdo pamokose apie matematinę analizę yra papildomos medžiagos, kurią galima atsisiųsti. Laimingo mokymosi!
Iš viso medžiagų: 12
Rodomos medžiagos: 1-10
Kas yra funkcijos išvestinė
Ar norite sužinoti, kas yra matematikos funkcijos išvestinė? Žinoma, jūs ne kartą girdėjote apie vedinį ir netgi tikriausiai šį išvestinį ėmėtės mokykloje, visiškai nesuprasdami savo veiksmų prasmės. Šiame vaizdo įraše aš nemokysiu jūsų formulių, o paaiškinsiu vedinio reikšmę ant pirštų, kad net apvalus arbatinukas suprastų. Bet pirmiausia geriau pažiūrėkite mano ankstesnį vaizdo įrašą, kuriame taip pat kalbu apie funkciją prieinamu būdu. Šiame vaizdo įraše pateikiami paprasti, aiškūs ir iliustratyvūs gyvenimo pavyzdžiai ...
Įvadas į analizę. Rinkinių galia
Internetinė pamoka „Įvadas į analizę. Aibių galia“ yra skirtas tokios sąvokos kaip aibių galia klausimui. Šis klausimas susijęs su kiekybiniu aibių apibūdinimu. Jei aibė baigtinė, tai galime kalbėti apie jos elementų skaičių. Bet kaip dėl begalinių rinkinių? Iš tiesų, šiuo atveju nebus daugiau ar mažiau sąvokos. Norėdami išspręsti šią problemą, įvedama tokia sąvoka kaip galia. Galia yra įrankis, leidžiantis kiekybiškai palyginti begalines aibes. Ši pamoka suteikia...
Funkcijos riba taške – apibrėžimas, pavyzdžiai
Šioje internetinėje pamokoje kalbama apie tokią sąvoką kaip funkcijos riba taške – apibrėžimas, pavyzdžiai. Dauguma funkcijų tyrimo elementų remiasi pagrindine funkcijos ribos samprata. Čia funkcijos riba taške bus nagrinėjama naudojant paprastą pavyzdį, po kurio bus pateiktas griežtas funkcijos ribos taške apibrėžimas su detalia iliustracija grafike, kad medžiaga būtų geriau įsisavinta. Šioje pamokoje taip pat nagrinėjami kiti pavyzdžiai ir pateikiamas griežtas vienpusio...
Laipsnių eilučių konvergencija – pavyzdys, kaip rasti konvergencijos sritį, tyrimas
Šiame vaizdo įraše kalbama apie tokią sąvoką kaip laipsnių eilučių konvergencija, pavyzdys, kaip rasti konvergencijos sritį, tyrimai. Laipsnių eilutė yra specialus funkcinės serijos atvejis, kai jos nariai yra argumento x laipsnio funkcijos. Konvergencijos sritis yra visos kintamojo x reikšmės, kurių atitinkamos skaitinės eilutės konverguoja. Tyrimams galite naudoti d'Alembert testą ir naudoti jį norėdami parodyti, kad galių eilutė suartėja arba skiriasi, ir kai ...
Kas yra primityvu
Šiame vaizdo įraše papasakosiu apie antidarinį, kuris yra artimas darinio giminaitis. Tiesą sakant, jūs jau žinote beveik viską apie ją, jei žiūrėjote mano ankstesnius vaizdo įrašus, o mes tiesiog turime taškuoti „i“. Antidarinys yra išvestinės priemonės „pagrindinė“ funkcija. Rasti antidarinį reiškia atsakyti į klausimą: kieno tai vaikas? Jei dukra žinoma, turime surasti mamą. Anksčiau, atvirkščiai, duotai mamai ieškojome dukters. Dabar pereiname nuo...
Išvestinės geometrinė reikšmė
Šiame vaizdo įraše kalbėsiu apie išvestinės geometrinę reikšmę. Sužinosite, kad geometrinė išvestinės reikšmė yra ta, kad išvestinė ir liestinės nuolydis yra beveik tas pats. Sakau „beveik“, nes išvestinė lygi liestinės nuolydžio liestinei. Galime manyti, kad išvestinė ir liestinės nuolydis yra glaudžiai susiję. Jei nuolydis yra didelis, tada išvestinė taip pat yra didelė, o funkcija šioje vietoje smarkiai padidėja. Jei pasvirimo kampas mažas, tai išvestinė irgi maža...
Kas yra funkcija matematikoje
Norite sužinoti, kas yra funkcija matematikoje? Šioje vaizdo pamokoje mes paprastai ir aiškiai, naudodami grafines iliustracijas ir iliustruojančius gyvenimo pavyzdžius, papasakosime, kas yra funkcija, koks jos argumentas, kokios yra funkcijos (didinančios, mažinančios, mišrios), kaip galite nustatyti funkciją (naudodami grafiką, lentelę, formules). Pamatysite, kad ryšys, parodantis, kaip vienas dydis yra susijęs su kitu dydžiu, vadinamas funkcija. Bet kuri funkcija yra santykis tarp dydžių...
Funkcijos riba begalybėje – apibrėžimas, pavyzdžiai
Pamoka „Funkcijos riba begalybėje – apibrėžimas, pavyzdžiai“ skirta klausimui, kas yra ribos begalybėje. Dauguma elementariųjų funkcijų yra apibrėžtos savavališkai didelei argumento reikšmei. Šiuo atveju svarbu žinoti funkcijos elgseną begalybėje. Vienas iš tokio elgesio tyrimo elementų yra rasti funkcijos ribą begalybėje. Nors begalybė nėra skaičius ir joks skaičių linijos taškas jos neatitinka, ribos apibrėžimas ...
Ribos kelia daug rūpesčių visiems matematikos studentams. Norint išspręsti ribą, kartais tenka pasitelkti daugybę gudrybių ir iš daugybės sprendimų pasirinkti būtent tą, kuris tinka konkrečiam pavyzdžiui.
Šiame straipsnyje mes nepadėsime suprasti savo gebėjimų ribų ar suvokti valdymo ribas, o pabandysime atsakyti į klausimą: kaip suprasti ribas aukštojoje matematikoje? Supratimas ateina su patirtimi, todėl kartu pateiksime keletą detalių ribų sprendimo pavyzdžių su paaiškinimais.
Ribos samprata matematikoje
Pirmas klausimas: kas yra riba ir ko riba? Galime kalbėti apie skaitinių sekų ir funkcijų ribas. Mus domina funkcijos ribos samprata, nes su jais studentai susiduria dažniausiai. Bet pirmiausia bendriausias ribos apibrėžimas:
Tarkime, yra tam tikras kintamasis. Jei ši reikšmė kaitos procese neribotą laiką artėja prie tam tikro skaičiaus a , tada a yra šios vertės riba.
Funkcijai, apibrėžtai tam tikru intervalu f(x)=y riba yra skaičius A , kuriai funkcija linkusi kada X linkę į tam tikrą tašką a . Taškas a priklauso intervalui, kuriame apibrėžiama funkcija.
Tai skamba sudėtingai, bet parašyta labai paprastai:
Lim- iš anglų kalbos riba- riba.
Taip pat yra geometrinis ribos apibrėžimo paaiškinimas, tačiau čia nesigilinsime į teoriją, nes mus labiau domina praktinė nei teorinė klausimo pusė. Kai mes tai sakome X linkęs į tam tikrą reikšmę, tai reiškia, kad kintamasis neįgyja skaičiaus reikšmės, o artėja prie jo be galo arti.
Paimkime konkretų pavyzdį. Iššūkis yra rasti ribą.
Norėdami išspręsti šį pavyzdį, pakeičiame vertę x=3 į funkciją. Mes gauname:
Beje, jei jus domina pagrindinės operacijos su matricomis, perskaitykite atskirą straipsnį šia tema.
Pavyzdžiuose X gali turėti bet kokią vertę. Tai gali būti bet koks skaičius arba begalybė. Štai pavyzdys, kai X linkęs į begalybę:
Intuityviai aišku, kad kuo didesnis skaičius vardiklyje, tuo funkcija įgaus mažesnę reikšmę. Taigi, su neribotu augimu X prasmė 1/x sumažės ir priartės prie nulio.
Kaip matote, norint išspręsti ribą, tereikia į funkciją pakeisti reikšmę, kurios reikia siekti X . Tačiau tai yra paprasčiausias atvejis. Dažnai rasti ribą nėra taip akivaizdu. Ribose yra tipo neapibrėžtumo 0/0 arba begalybė / begalybė . Ką daryti tokiais atvejais? Naudokite triukus!
Neaiškumai viduje
Formos begalybė/begalybė neapibrėžtis
Tegul yra riba:
Jei į funkciją bandysime pakeisti begalybę, begalybę gausime ir skaitiklyje, ir vardiklyje. Apskritai verta pasakyti, kad sprendžiant tokius neapibrėžtumus yra tam tikras meno elementas: reikia pastebėti, kaip funkciją galima transformuoti taip, kad neapibrėžtumas išnyktų. Mūsų atveju skaitiklį ir vardiklį padalijame iš X vyresnysis laipsnis. Kas nutiks?
Iš jau nagrinėto pavyzdžio žinome, kad terminai, kurių vardiklyje yra x, bus linkę į nulį. Tada ribos sprendimas yra:
Norėdami atskleisti tipo neaiškumus begalybė / begalybė skaitiklį ir vardiklį padalinkite iš X iki aukščiausio laipsnio.
Beje! Mūsų skaitytojams dabar taikoma 10% nuolaida bet koks darbas
Kitas neapibrėžtumo tipas: 0/0
Kaip visada, pakeitimas vertės funkcija x=-1 duoda 0 skaitiklyje ir vardiklyje. Pažvelkite šiek tiek atidžiau ir pastebėsite, kad skaitiklyje yra kvadratinė lygtis. Raskime šaknis ir parašykime:
Sumažinkime ir gaukime:
Taigi, jei susiduriate su tipo dviprasmiškumu 0/0 - suskaidykite skaitiklį ir vardiklį.
Kad jums būtų lengviau spręsti pavyzdžius, pateikiame lentelę su kai kurių funkcijų ribomis:
L'Hopital taisyklė viduje
Kitas veiksmingas būdas pašalinti abiejų tipų neapibrėžtumus. Kokia metodo esmė?
Jei riboje yra neapibrėžtumas, imame skaitiklio ir vardiklio išvestinę, kol neapibrėžtis išnyks.
Vizualiai L'Hopital taisyklė atrodo taip:
Svarbus punktas : turi egzistuoti riba, kurioje vietoj skaitiklio ir vardiklio yra skaitiklio ir vardiklio išvestiniai.
O dabar tikras pavyzdys:
Yra tipiškas netikrumas 0/0 . Paimkite skaitiklio ir vardiklio išvestinius:
Voila, netikrumas pašalinamas greitai ir elegantiškai.
Tikimės, kad šią informaciją galėsite tinkamai panaudoti praktikoje ir rasti atsakymą į klausimą „kaip išspręsti ribas aukštojoje matematikoje“. Jei reikia apskaičiuoti sekos ribą ar funkcijos ribą taške, o šiam darbui laiko nėra nuo žodžio „absoliučiai“, kreipkitės į profesionalų studentų servisą dėl greito ir išsamaus sprendimo.
Tiems, kurie nori sužinoti, kaip rasti ribas šiame straipsnyje, apie tai pakalbėsime. Į teoriją nesigilinsime, ją dažniausiai paskaitose skaito dėstytojai. Taigi „nuobodžia teorija“ turėtų būti išdėstyta savo sąsiuviniuose. Jei taip nėra, galite skaityti vadovėlius, paimtus iš ugdymo įstaigos bibliotekos ar kituose interneto šaltiniuose.
Taigi, ribos sąvoka yra gana svarbi studijuojant aukštosios matematikos kursą, ypač kai susiduri su integralo skaičiavimu ir supranti ryšį tarp ribos ir integralo. Dabartinėje medžiagoje bus svarstomi paprasti pavyzdžiai, taip pat jų sprendimo būdai.
Sprendimo pavyzdžiai
| 1 pavyzdys |
| Apskaičiuokite a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $ |
| Sprendimas |
|
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Mes dažnai gauname šias ribas, prašydami padėti jas išspręsti. Nusprendėme jas pabrėžti kaip atskirą pavyzdį ir paaiškinti, kad šias ribas, kaip taisyklę, tiesiog reikia atsiminti. Jei negalite išspręsti savo problemos, atsiųskite ją mums. Pateiksime išsamų sprendimą. Galėsite susipažinti su skaičiavimo eiga ir surinkti informaciją. Tai padės jums laiku gauti kreditą iš mokytojo! |
| Atsakymas |
| $$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 )(x) = 0 $$ |
Ką daryti su formos neapibrėžtumu: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
| 3 pavyzdys |
| Išspręskite $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Sprendimas |
|
Kaip visada, pradedame pakeisdami $ x $ reikšmę į išraišką po ribos ženklu. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Kas toliau? Koks turėtų būti rezultatas? Kadangi tai yra neapibrėžtumas, tai dar nėra atsakymas ir mes tęsiame skaičiavimą. Kadangi skaitikliuose turime daugianarį, jį išskaidome į veiksnius naudodami žinomą formulę $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Prisiminė? Puiku! Dabar eik į priekį ir pritaikyk ją dainai :) Gauname, kad skaitiklis $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Mes ir toliau sprendžiame, atsižvelgdami į aukščiau pateiktą transformaciją: $$ \lim \limits_(x \iki -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1) = -1-1 = -2 $$ |
| Atsakymas |
| $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$ |
Paimkime ribą paskutiniuose dviejuose pavyzdžiuose iki begalybės ir apsvarstykime neapibrėžtumą: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
| 5 pavyzdys |
| Apskaičiuokite $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Sprendimas |
|
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ką daryti? Kaip būti? Nepanikuokite, nes neįmanoma yra įmanoma. Būtina išimti skliaustus iš skaitiklio ir vardiklio X, o tada jį sumažinti. Po to pabandykite apskaičiuoti ribą. Bandoma... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Naudodami apibrėžimą iš 2 pavyzdžio ir pakeisdami x begalybę, gauname: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| Atsakymas |
| $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
Ribų skaičiavimo algoritmas
Taigi, trumpai apibendrinkime analizuotus pavyzdžius ir sukurkime ribų sprendimo algoritmą:
- Pakeiskite tašką x išraiškoje po ribinio ženklo. Jei gaunamas tam tikras skaičius arba begalybė, tada riba yra visiškai išspręsta. Priešingu atveju turime neapibrėžtumo: „nulis padalintas iš nulio“ arba „begalybė padalintas iš begalybės“ ir pereikite prie kitų instrukcijos pastraipų.
- Norėdami pašalinti neapibrėžtumą „nulis padalyti iš nulio“, turite suskaidyti skaitiklį ir vardiklį. Sumažinti panašių. Pakeiskite tašką x išraiškoje po ribos ženklu.
- Jei neapibrėžtis yra „begalybė padalinta iš begalybės“, tada išimame ir didžiausio laipsnio skaitiklį, ir vardiklį x. Sutrumpiname x. Mes pakeičiame x reikšmes iš žemiau ribos į likusią išraišką.
Šiame straipsnyje susipažinote su ribų sprendimo pagrindais, dažnai naudojamais skaičiavimo kurse. Žinoma, tai ne visos egzaminuotojų siūlomos problemos, o tik paprasčiausios ribos. Apie kitų tipų užduotis kalbėsime būsimuose straipsniuose, tačiau pirmiausia turite išmokti šią pamoką, kad galėtumėte judėti toliau. Aptarsime, ką daryti, jei yra šaknys, laipsniai, tyrinėsime be galo mažas ekvivalentines funkcijas, nuostabias ribas, L'Hopital taisyklę.
Jei negalite nustatyti ribų patys, nepanikuokite. Mes visada džiaugiamės galėdami padėti!
Visas knygas galima parsisiųsti nemokamai ir be registracijos.
teorija.
NAUJIENA. Natanzon S.M. Trumpas matematinės analizės kursas. 2004 m 98 puslapiai djvu. 1,2 MB.
Šis leidinys – tai autoriaus skaitytų paskaitų kurso 1997-1998 ir 2002-2003 mokslo metais Nepriklausomo Maskvos universiteto I kurso studentams santrauka.
parsisiųsti
NAUJIENA. E.B. Boroninas. Matematinė analizė. Paskaitų konspektai. 2007 m 160 psl. pdf. 2,1 MB.
Ši knyga skirta inžinerijos studentams, norintiems laikyti skaičiavimo egzaminą. Šios knygos turinys visiškai atitinka kurso „Matematinė analizė“ programą, kurios egzaminas yra teikiamas daugumoje Rusijos aukštųjų mokyklų. Programa padeda greitai ir be nereikalingų sunkumų rasti reikiamą atsakymą į klausimą.
Klausimus autorė surašo remdamasi asmenine patirtimi, atsižvelgdama į mokytojų reikalavimus.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
Archipovas, Sadovnichy, Chubarikovas. Paskaitos apie matematinę analizę. Vadovėlis.analizė. 1999 m 635 psl. djvu. 5,2 MB.
Knyga yra matematinės analizės kurso vadovėlis, skirta vieno ir kelių kintamųjų funkcijų diferencialiniam ir integraliniam skaičiavimui. Jis paremtas Maskvos valstybinio universiteto Mechanikos ir matematikos fakulteto autorių paskaitomis. M. V. Lomonosovas. Vadovėlyje siūlomas naujas požiūris į daugelio pagrindinių analizės sąvokų ir teoremų pristatymą, taip pat į patį kurso turinį. Universitetų, pedagoginių universitetų ir universitetų studentams, gilinantiems matematiką
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
Aksjonovas A.P. Matematinė analizė. (Furjė serija. Furjė integralas. Divergentinių eilučių sumavimas.) Vadovėlis. 1999 m 86 puslapiai PDF 1,2 Mb.
Vadovas atitinka bakalauro 510200 „Taikomoji matematika ir informatika“ disciplinos „Matematinė analizė“ valstybinį standartą.
Yra teorinės medžiagos pristatymas pagal dabartinę programą temomis: „Furjė serija“, „Furjė integralas“, „Divergentinių eilučių sumavimas“. Pateikiama daugybė pavyzdžių. Aprašytas Cesaro ir Abelio-Poisson metodų taikymas serijų teorijoje. Nagrinėjamas empiriškai pateiktų funkcijų harmoninės analizės klausimas.
Ji skirta Fizikos ir mechanikos fakulteto specialybių 010200, 010300, 071100, 210300 studentams, taip pat praktinius užsiėmimus vedantiems dėstytojams.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
Aksenovas. Matematinė analizė. (Integrai priklausomai nuo parametro. Dvigubi integralai. Kreiviniai integralai.) Vadovėlis SPb. 2000 metai. 145 psl. PDF. Dydis 2,3 Mb. djvu.
Vadovas atitinka bakalauro 510200 „Taikomoji matematika ir informatika“ disciplinos „Matematinė analizė“ valstybinį standartą. Pateikiama teorinė medžiaga pagal dabartinę programą šiomis temomis: „Integrai, priklausantys nuo parametro, savasis ir netinkamas“, „Dvigubas integralas“, „Pirmojo ir antrojo tipo kreiviniai integralai“, „Skaičiavimas lenkti paviršiai, pateiktos tiek eksplicitinėmis, tiek parametrinėmis lygtimis“, „Eulerio integralai (Beta funkcija ir gama funkcija)“. Išnagrinėta daug pavyzdžių ir problemų (iš viso 47).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
De Bruyne. Asimptotiniai analizės metodai. 245 psl. djvu. 1,6 MB.
Knygoje pateikiama elementari daugelio metodų, naudojamų analizuojant asimptotines formules gauti, aprašymas. Knygoje pateiktų metodų svarba, pristatymo aiškumas ir prieinamumas daro šią knygą labai vertinga visiems pradedantiesiems susipažinti su tokiais metodais. Knyga neabejotinai domina ir tuos, kurie jau yra susipažinę su šia analizės sritimi.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
Stefanas Banachas. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. 1966 metai 437 psl. djvu. 7,7 MB.
Stefanas Banachas yra vienas didžiausių XX amžiaus matematikų. Šią knygą jis sumanė kaip vadovą, skirtą pradinei pažinčiai su šia tema. Tuo tarpu nedidelės apimties knygoje autorė sugebėjo meistriškai aprėpti beveik visą diferencialinio ir integralinio skaičiavimo pagrindinę medžiagą, negąsdinant skaitytojo skrupulingu pateikimo griežtumu.
Knyga pasižymi pateikimo paprastumu ir glaustumu. Jame yra daug gerai parinktų pavyzdžių, taip pat užduočių savarankiškam sprendimui. Skirta technikos kolegijų (ypač neakivaizdinių), pedagoginių institutų studentams, taip pat inžinerijos ir technikos darbuotojams, norintiems sugrąžinti pagrindinius diferencialinio ir integralinio skaičiavimo faktus.
Rengiant antrąjį leidimą buvo atsižvelgta į dėstymo pagal šią knygą patirtį kai kuriose aukštosiose techninėse mokyklose; šiuo klausimu knygoje buvo padaryta nedaug papildymų, kai kurios teksto vietos pataisytos. Tai priartino knygą prie šiuolaikinių matematinės analizės vadovėlių lygio ir suteikė galimybę ją naudoti technikos kolegijose.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
B.M. Budakas, S.V. Fomin. Keli integralai ir serijos. Vadovėlis.1965 m. 606 psl. djvu. 4,6 MB.
Fizikai.-matematika. universiteto fakultetai.
REKOMENDUOJU!!!. Ypač fizikams.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
Viosagmiras I.A. Aukštoji matematika manekenams. Funkcijos riba. 2011 m. 95 psl. pdf. 6,1 MB.
Sveikinu jus su savo pirmąja knyga apie funkcijos ribas. Tai pirmoji mano būsimos serijos „Aukštoji matematika manekenams“ dalis. Knygos pavadinimas jau turėtų daug ką apie tai pasakyti, bet galima visiškai nesuprasti. Ši knyga skirta ne „manekenams“, o visiems tiems, kuriems sunku suprasti, ką profesoriai veikia savo knygose. Esu tikras, kad tu mane supranti. Aš pats buvau ir esu tokioje situacijoje, kad tą patį sakinį tiesiog tenka perskaityti kelis kartus. Tai yra gerai? Manau, kad ne.
Taigi kuo mano knyga skiriasi nuo visų kitų? Pirma, kalba čia yra normali, o ne „apibrėžta“; antra, čia išanalizuota daug pavyzdžių, kurie, beje, tau tikrai pravers; trečia, tekstas turi esminį skirtumą tarp savęs – pagrindiniai dalykai išryškinami tam tikrais žymekliais, galiausiai mano tikslas tik vienas – tavo supratimas. Jums reikia tik vieno dalyko: noro ir įgūdžių. — Įgūdžiai? - Jūs klausiate. Taip! Gebėjimas prisiminti ir suprasti.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
V.N. Gorbuzovas. Matematinė analizė: integralai priklausomai nuo parametrų. Uch. pašalpa. 2006 m 496 psl. PDF. 1,6 MB.
Pateikiamas tam tikrų netinkamųjų integralų, priklausančių nuo parametrų, funkcijų diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. Jis skirtas universitetų studentams, studijuojantiems matematiką ir fiziką, taip pat techninių specialybių studentams, turintiems išplėstą matematikos programą.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
Dorogovtsevas A.Ya. Matematinė analizė. Trumpas kursas modernioje aplinkoje. Antrasis leidimas. 2004 m 560 psl. djvu. 5,1 MB.
Knygoje trumpai ir kartu gana išsamiai pristatomas šiuolaikinis matematinės analizės kursas. Knyga pirmiausia skirta universitetų ir technikos universitetų studentams ir skirta pradinėms kurso studijoms. Pateikiamas modernizuotas kelių sekcijų pristatymas: kelių kintamųjų funkcijos, keli integralai, integralai per kolektorius, paaiškinta Stokso formulė ir kt. Teorinė medžiaga iliustruojama daugybe pratimų ir pavyzdžių. . Universiteto studentams, matematikos mokytojams, inžinerijos ir technikos darbuotojams.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
Jegorovas V.I., Salimova A.F. Apibrėžtiniai ir daugybiniai integralai. Lauko teorijos elementai. 2004 m 256 psl. djvu. 1,6 MB.
Leidinyje pristatoma apibrėžtųjų ir dauginių integralų teorija ir pagrindiniai pritaikymai bei lauko teorijos elementai. Medžiaga pritaikyta šiuolaikinei matematinio ugdymo programai aukštosiose techninėse mokyklose, naudoti kompiuterinėse mokymo sistemose. Knyga skirta technikos universitetų studentams. Tai taip pat gali būti naudinga mokytojams, inžinieriams ir tyrėjams.
Akivaizdu, kad gerai parašyta knyga. Visi teorijos teiginiai parodyti pavyzdžiais. Rekomenduoju kaip papildomą literatūrą medžiagai suprasti.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
Evgrafovas. Asimptotiniai įverčiai ir visos funkcijos. 320 puslapių djvu. 3,2 MB.
Knyga skirta įvairių funkcijų teorijoje naudojamų asimptotinių įverčių metodų (Laplace'o metodas, balno taško metodas, liekanų teorija) pristatymui. Metodai daugiausia iliustruojami šios teorijos medžiagoje. Pagrindiniai faktai iš ištisų funkcijų teorijos skaitytojui neturėtų būti žinomi – jų pateikimas organiškai įtrauktas į knygos struktūrą. Prie 3-iojo leidimo buvo pridėtas skyrius apie konforminių atvaizdų asimptotiką. Knyga skirta plačiam skaitytojų būriui – nuo studentų iki mokslininkų, tiek matematikų, tiek taikomųjų mokslininkų.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
AŠ NORĖČIAU. Zeldovičius, I.M. Yaglom. Aukštoji matematika pradedantiesiems fizikams ir technikai. 1982 m 514 psl. djvu. 12,3 MB.
Ši knyga yra įvadas į matematinę analizę. Kartu su analitinės geometrijos ir matematinės analizės principų pristatymu (diferencialinis ir integralinis skaičiavimas), knygoje pateikiamos sąvokos apie galios ir trigonometrines eilutes bei paprasčiausias diferencialines lygtis, taip pat paliečiama daugybė fizikos skyrių ir temų (mechanikos ir integralinio skaičiavimo). svyravimų teorija, elektros grandinių teorija, radioaktyvusis skilimas, lazeriai ir kt.). Knyga skirta skaitytojams, besidomintiems aukštosios matematikos gamtos mokslų taikymu, universitetų profesoriams ir technikos kolegijoms, taip pat būsimiems fizikai ir inžinieriams.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
Zeldovičius, Jaglomas. Knygą sudaro trys dalys: 1. Aukštosios matematikos elementai. Sudėtyje yra: Funkcijos ir grafikai (50 puslapių)(, kas yra išvestinė (50 puslapių), kas yra integralas (20 puslapių), išvestinių skaičiavimas (20 puslapių), integravimo technika (20 puslapių), serija, paprastos diferencialinės lygtys (35) psl.), Funkcijų tyrimas, kelios geometrijos problemos (55 psl.) 2. Aukštosios matematikos taikymas kai kuriems fizikos ir technologijos klausimams (160 psl.) Sudėtyje yra: Radioaktyvusis skilimas ir branduolių dalijimasis, Mechanika, Vibracijos, Terminis molekulių judėjimas, oro tankio pasiskirstymas atmosferoje, Šviesos sugertis ir emisija, lazeriai, Elektros grandinės ir svyruojantys judesiai jose 3. Papildomos temos iš aukštosios matematikos (50 psl.) Sudėtyje yra: Kompleksiniai skaičiai, Kokioms funkcijoms reikia fizikos, Dirako nuostabi delta funkcija, Kai kurie Sudėtingo kintamojo funkcijos ir delta funkcijų programos 4. Programos, atsakymai, kryptys, sprendimai Ar užkliuvote, kokia tai knyga? neišvengiamai išmoksite ir fiziką. Super. djvu, 500 puslapių Dydis 8,7 Mb.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
Zorichas V.A. Matematinė analizė. Iš 2 dalių. Vadovėlis. 1 – 1997, 2 – 1984 m. 567+640 puslapių djvu. 9,6+7,4 Mb.
Universiteto vadovėlis fizinių ir matematikos specialybių studentams. Ji gali būti naudinga fakultetų ir universitetų studentams, turintiems pažangų matematikos išsilavinimą, taip pat matematikos ir jos taikymo srities specialistams.Knygoje atsispindi klasikinės analizės kurso ir šiuolaikinių matematikos kursų (algebros, diferencialinės geometrijos, diferencialo) ryšys. lygtys, kompleksinė ir funkcinė analizė).
Pirmoje dalyje buvo: įvadas į analizę (loginė simbolika, aibė, funkcija, tikrasis skaičius, riba, tęstinumas); vieno kintamojo funkcijos diferencialinis ir integralinis skaičiavimas; kelių kintamųjų funkcijų diferencialinis skaičiavimas.
Antroje vadovėlio dalyje yra šios dalys: Daugiamatis integralas. Diferencialinės formos ir jų integravimas. Serija ir integralai, priklausomai nuo parametro (įskaitant serijos ir Furjė transformacijas, taip pat asimptotinius išplėtimus).
Pagalba sprendžiant problemas.
NAUJIENA. Sodininkystė I.V., Khoroshilova E.V. Apibrėžtinis integralas: skaičiavimo teorija ir praktika. 2008 m 528 psl. djvu. 2,7 MB.
Leidinys skirtas teoriniams ir praktiniams apibrėžtųjų integralų skaičiavimo aspektams, jų vertinimo būdams, savybėms ir pritaikymui sprendžiant įvairias geometrines ir fizikines problemas. Knygoje yra skyriai apie savųjų integralų skaičiavimo metodus, netinkamų integralų savybes, geometrinį ir fizinį apibrėžtojo integralo taikymą, taip pat kai kuriuos Riemann integralo apibendrinimus – Lebesgue ir Stieltjes integralus.
Teorinės medžiagos pristatymą pagrindžia daug (daugiau nei 220) analizuotų tam tikrų integralų savybių skaičiavimo, vertinimo ir tyrimo pavyzdžių; kiekvienos pastraipos pabaigoje pateikiamos savarankiško sprendimo užduotys (daugiau nei 640, didžioji dauguma – su sprendimais).
Vadovo tikslas – padėti studentui per paskaitas ir praktines užduotis perteikti temą „Neabejotinas integralas“. Studentas gali susisiekti su juo dėl pagrindinės informacijos apie iškilusią problemą. Knyga gali būti naudinga ir mokytojams bei visiems, kurie nori pakankamai išsamiai ir plačiai išnagrinėti šią temą.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
NAUJIENA. Khoroshilova E.V. Matematinė analizė: neapibrėžtas integralas. (padėti praktikuotis). 2007 m 184 psl. djvu. 822 Kb.
Knygoje pateikiama pagrindinė teorinė informacija apie neapibrėžtuosius integralus, nagrinėjama dauguma žinomų integravimo technikų ir metodų bei įvairios integruojamųjų funkcijų klasės (nurodant integravimo būdus). Medžiagos pristatymą palaiko daugybė analizuotų integralų skaičiavimo pavyzdžių (daugiau nei 200 integralų), kiekvienos pastraipos pabaigoje pateikiamos savarankiško sprendimo užduotys (daugiau nei 200 užduočių su atsakymais).
Vadove yra šios dalys: „Neapibrėžto integralo samprata“, „Pagrindiniai integravimo metodai“, „Racionaliųjų trupmenų integravimas“, „Iracionaliųjų funkcijų integravimas“, „Trigonometrinių funkcijų integravimas“, „Hiperbolinių, eksponentinių integravimas“. , logaritminės ir kitos transcendentinės funkcijos“. Knyga skirta neapibrėžto integralo teorijai įsisavinti praktikoje, lavinti praktinius integravimo įgūdžius, įtvirtinti paskaitų eigą, naudoti seminaruose ir ruošiant namų darbus. Vadovo tikslas – padėti mokiniui įsisavinti įvairias integravimo technikas ir metodus.
Universiteto studentams, įskaitant matematikos specialybes, kurie studijuoja integralinį skaičiavimą kaip matematinės analizės kurso dalį.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
NAUJIENA. V.F. Butuzovas, N.Ch. Krutitskaya, G.N. Medvedevas, A.A. Šiškinas. Matematinė analizė atliekant klausimus ir užduotis: Proc. pašalpa. 5 leidimas, red. 2002 m 480 puslapių djvu. 3,8 MB.
Vadovas apima visas vieno ir kelių kintamųjų funkcijų matematinės analizės kurso dalis. Kiekvienai temai apibendrinama pagrindinė teorinė informacija ir siūlomi kontroliniai klausimai; pateikiami standartinių ir nestandartinių uždavinių sprendimai; pateikiamos užduotys ir pratimai savarankiškam darbui su atsakymais ir nurodymais. Ketvirtasis leidimas 2001 m
Universiteto studentams.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
A.A. Burcevas. I kurso II semestro matematinės analizės egzaminų uždavinių sprendimo metodai. 2010 m pdf, 56 puslapiai 275 Kb.
Keturių ankstesnių užduočių variantai. metų.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
Vinogradova I. A. ir kt. Matematinės analizės uždaviniai ir pratimai (1 dalis). 1988 m djvu, 416 puslapių 5,0 Mb.
Rinkinys sudarytas remiantis Maskvos valstybinio universiteto Mechanikos ir matematikos fakulteto I kurso matematikos analizės kurso pamokų medžiaga ir atspindi Matematinės analizės katedros dėstymo patirtį. Jį sudaro dvi dalys, atitinkančios I ir II semestrus. Kiekvienoje dalyje atskirai išryškinami skaičiavimo pratimai ir teorinės problemos. Pirmoji dalis apima funkcijų grafikų eskizų sudarymą, ribų skaičiavimą, vieno realaus kintamojo funkcijų diferencialinį skaičiavimą ir teorines problemas. Antroji dalis - neapibrėžtasis integralas, Riemann'o apibrėžtasis integralas, daugelio kintamųjų funkcijų diferencialinis skaičiavimas, teorinės problemos. Skyriuose, kuriuose pateikiami skaičiavimo pratimai, prieš kiekvieną pastraipą pateikiamos išsamios metodinės instrukcijos. Juose pateikiami visi šiame skyriuje vartojami apibrėžimai, pagrindinių teoremų formuluotės, kai kurių būtinų ryšių išvedimas, išsamūs tipinių problemų sprendimai, atkreipiamas dėmesys į dažniausias klaidas. Dauguma užduočių ir pratimų skiriasi nuo užduočių, pateiktų gerai žinomoje B. P. Demidovičiaus probleminėje knygoje. Abiejose kolekcijos dalyse yra apie 1800 skaičiavimo pratimų ir 350 teorinių uždavinių.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
Vinogradova I. A. ir kt. Matematinės analizės uždaviniai ir pratimai (2 dalis). 1991 m djvu, 352 puslapiai 3,2 Mb.
Užduočių knygelė atitinka antrame kurse pateiktą matematinės analizės kursą, joje yra šios dalys: dvigubi ir trigubieji integralai ir jų geometriniai bei fiziniai pritaikymai, pirmos ir antros rūšies kreiviniai ir paviršiniai integralai. Pateikiama reikiama teorinė informacija, tipiniai algoritmai, tinkami spręsti ištisoms problemų klasėms, pateikti išsamūs metodiniai nurodymai.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
Vinogradovas ir kt. Red. Sadovnichy. Matematinės analizės uždaviniai ir pratimai. 51 psl. PDF. 1,9 MB.
Sklypo kūrimo skyrius aptariamas labai išsamiai. Nagrinėjami pavyzdžiai užima 35 puslapius.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
Želtuchinas. Neapibrėžtieji integralai: skaičiavimo metodai. 2005 metai. Dydis 427 Kb. PDF, 80 puslapių Naudingas vadovas, gali būti naudojamas kaip nuoroda. Jame ne tik pristatomi visi integralų skaičiavimo metodai, bet ir pateikiama daug pavyzdžių kiekvienai taisyklei. Rekomenduoju.
parsisiųsti
Zaporžecas. Matematinės analizės problemų sprendimo vadovas. 4-asis leidimas 460 puslapių djvu. 7,7 MB.
Apima visas dalis nuo funkcijų tyrimo iki diferencialinių lygčių sprendimo. Naudinga knyga.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
Kalininas, Petrova, Charinas. Neapibrėžtieji ir apibrėžtieji integralai. 2005 metai. 230 psl. PDF. 1,2 MB.
Galiausiai matematikai pradėjo rašyti knygas ne sau, o fizikai ir kitiems techninių specialybių studentams. Rekomenduoju, jei norite išmokti skaičiuoti, o ne įrodyti lemas ir teoremas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
Kalininas, Petrova. Keli, kreiviniai ir paviršiniai integralai. Pamoka. 2005 metai. 230 psl. PDF. 1,2 MB.
Šioje pamokoje pateikiami įvairių integralų skaičiavimo pavyzdžiai.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
Kaplanas. Praktinės aukštosios matematikos pamokos. Analitinė geometrija, diferencialinis skaičiavimas, integralinis skaičiavimas, diferencialinių lygčių integravimas. 2 failuose viename archyve. Bendra 925 psl. djvu. 6,9 MB.
Nagrinėjami bendrosios matematikos kurso problemų sprendimo pavyzdžiai.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
K.N. Lungu ir kt.. Aukštosios matematikos uždavinių rinkinys. 2 dalis 2 kursui. 2007 m djvu, 593 puslapiai 4,1 Mb.
Serija ir integralai. Vektorinė ir kompleksinė analizė. Diferencialinės lygtys. Tikimybių teorija. operatyvinis skaičiavimas. Tai ne tik probleminė knyga, bet ir pamoka. Jis gali išmokyti jus, kaip išspręsti problemas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
Lungu, Makarovas. Aukštoji matematika. Problemų sprendimo vadovas. 1 dalis. 2005 m Dydis 2,2 Mb. djvu, 315 puslapių
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
I.A. Maroon. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas pavyzdžiuose ir užduotyse (Vieno kintamojo funkcijos). 1970 m djvu. 400 puslapių 11,3 Mb.
Knyga yra matematinės analizės (vieno kintamojo funkcijos) uždavinių sprendimo vadovas. Jame pateikiami trumpi teoriniai įvadai, tipinių pavyzdžių sprendimai ir savarankiško sprendimo užduotys. Be algoritminio-skaičiuojamojo pobūdžio užduočių, joje yra daug užduočių, iliustruojančių teoriją ir prisidedančių prie gilesnio jos įsisavinimo, ugdančių savarankišką mokinių matematinį mąstymą. Knygos tikslas – išmokyti studentus savarankiškai spręsti uždavinius atliekant matematinę analizę
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
D.T. Rašymas. Aukštosios matematikos 100 egzamino klausimų. 1999 m djvu. 304 puslapiai 9,3 Mb.
Šis vadovas visų pirma skirtas studentams, besiruošiantiems 1 kurso aukštosios matematikos egzaminui. Jame glausta ir prieinama forma pateikiami atsakymai į egzamino žodžiu klausimus. Vadovas gali būti naudingas visų kategorijų studentams, vienaip ar kitaip studijuojantiems aukštąją matematiką. Jame yra reikalinga medžiaga 10 aukštosios matematikos kurso sekcijų, kurias dažniausiai studentai studijuoja pirmame universiteto (technikos mokyklos) kurse. Atsakymus į 108 egzamino klausimus (su papunkčiais – daug daugiau) dažniausiai lydi atitinkamų pavyzdžių ir užduočių sprendimas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
Sobol B.V., Mishnyakov N.T., Porksheyan V.M. Aukštosios matematikos seminaras. 2006 m 630 psl. djvu. 5,4 MB.
Knygoje yra visi standartinio aukštosios matematikos kurso skyriai, skirti įvairiausioms aukštųjų mokyklų specialybėms.
Kiekviename skyriuje (atitinkamoje kurso dalyje) pateikiama informacinė medžiaga, taip pat pagrindinės teorinės nuostatos, reikalingos problemoms spręsti. Išskirtinis šio leidinio bruožas – daugybė užduočių su sprendimais, todėl jį galima naudoti ne tik auditorinėms studijoms, bet ir savarankiškam studentų darbui. Užduotys pateikiamos pagal temas, susistemintos sprendimo būdais. Užpildykite kiekvieną skyrių savarankiško sprendimo užduočių rinkiniais su atsakymais.
Medžiagos pateikimo išsamumas ir santykinis šio leidinio kompaktiškumas leidžia jį rekomenduoti aukštųjų mokyklų dėstytojams ir studentams, taip pat aukštesniųjų mokyklų studentams, norintiems susisteminti savo žinias ir įgūdžius šioje srityje.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti
E.P. Sulyandziga, G.A. Ušakovas. MATEMATIKOS TESTAI: RIBA, IŠVEDINĖ, ALGEBROS IR GEOMETRIJOS ELEMENTAI. Uch. pašalpa. 2009 metai. pdf, 127 puslapiai 1,1 Mb.
Siūloma pamoka gali būti vertinama kaip užduočių rinkinys. Užduotys apima tradicines temas – matematinės analizės pagrindus: funkciją, jos ribą ir išvestinę. Yra užduotys apie tiesinės algebros ir analitinės geometrijos pagrindus. Kadangi funkcijos riba ir išvestinė yra sunkesnės, be to, šios temos yra esminės integraliniam skaičiavimui, joms skiriamas didžiausias dėmesys: detaliai analizuojami tipinių problemų sprendimai. Mokymo vadove surinkta medžiaga ne kartą buvo naudojama praktiniuose užsiėmimuose.
Visų universitetų pirmakursiams.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . parsisiųsti