Sprendimą galima patogiai suskirstyti į dvi dalis:
1) Pirmiausia patikriname, ar nėra vertikalių asimptočių. Vardiklis išnyksta ir iš karto tampa aišku, kad šiuo metu funkcija patiria begalinį nenuoseklumą, o lygties nurodyta tiesė yra vertikali funkcijos grafiko asimptotė. Tačiau prieš darant tokią išvadą, būtina rasti vienpuses ribas:
Primenu skaičiavimo techniką, kurią panašiai aptariau straipsnyje Funkcijos tęstinumas. Lūžio taškai. Išraiškoje po ribos ženklu vietoj „x“ pakeičiame. Skaitiklyje nėra nieko įdomaus:
Tačiau vardiklyje gaunamas be galo mažas neigiamas skaičius:
Tai lemia ribos likimą.
Kairės pusės riba yra begalinė, ir iš esmės jau galima priimti verdiktą dėl vertikalios asimptotės buvimo. Tačiau vienpusės ribos reikalingos ne tik tam – jos PADĖDA SUPRASTAI, KAIP yra funkcijos grafikas, ir TEISINGAI ją sudaryti. Todėl taip pat turime apskaičiuoti dešinės rankos ribą:
Išvada: vienpusės ribos yra begalinės, o tai reiškia, kad tiesė yra vertikali funkcijos at grafiko asimptotė.
Pirmoji riba yra baigtinė, o tai reiškia, kad reikia „tęsti pokalbį“ ir rasti antrąją ribą:
Antroji riba taip pat yra baigtinė.
Taigi mūsų asimptotas yra:
Išvada: lygties pateikta tiesė yra funkcijos at grafiko horizontalioji asimptotė.
Norėdami rasti horizontalią asimptotę, galite naudoti supaprastintą formulę:
Jei yra baigtinė riba, tai linija yra horizontali funkcijos at grafiko asimptotė.
Nesunku pastebėti, kad funkcijos skaitiklis ir vardiklis yra tos pačios augimo eilės, o tai reiškia, kad norima riba bus baigtinė:
Pagal sąlygą brėžinio pildyti nebūtina, bet jei funkcijos tyrimas įsibėgėja, tuomet iš karto sudarome eskizą ant juodraščio:
Remdamiesi trimis rastomis ribomis, pabandykite savarankiškai išsiaiškinti, kaip galima rasti funkcijos grafiką. Gana sunku? Raskite 5-6-7-8 taškus ir pažymėkite juos brėžinyje. Tačiau šios funkcijos grafikas sudarytas naudojant elementariosios funkcijos grafiko transformacijas, o skaitytojai, atidžiai išnagrinėję šio straipsnio 21 pavyzdį, nesunkiai atspės, kokia tai kreivė.
Tai yra pavyzdys nepriklausomas sprendimas. Procesas, primenu, patogiai padalintas į du taškus – vertikalius asimptotus ir įstrižus asimptotus. Mėginio sprendime horizontalioji asimptotė randama naudojant supaprastintą schemą.
Praktikoje dažniausiai susiduriama su trupmeninėmis-racionaliosiomis funkcijomis, o išmokę hiperbolių užduotį apsunkinsime:
Raskite funkcijos grafiko asimptotes
Sprendimas: vienas, du ir padaryta:
1) Vertikalios asimptotės yra begalinio nenuoseklumo taškuose, todėl turime patikrinti, ar vardiklis išnyksta. Išspręskime kvadratinę lygtį:
Diskriminantas yra teigiamas, todėl lygtis turi dvi realias šaknis ir įdėta daug darbo
Norint toliau rasti vienpuses ribas, kvadratinį trinarį patogu koeficientuoti:
(kompaktiškam žymėjimui „minusas“ buvo įvestas pirmajame skliaustelyje). Apsauginio tinklo patikrinimą atliksime mintyse arba grimzle, atidarydami skliaustus.
Perrašykime funkciją formoje
Raskite vienpuses ribas taške:
asimptotinės grafiko funkcijos riba
Ir taške:
Taigi tiesės yra nagrinėjamos funkcijos grafiko vertikaliosios asimptotės.
2) Jei pažvelgsite į funkciją, tai visiškai akivaizdu, kad riba bus baigtinė ir mes turime horizontalią asimptotę. Parodykime tai trumpai:
Taigi tiesi linija (abscisė) yra šios funkcijos grafiko horizontalioji asimptotė.
Rastos ribos ir asimptotės suteikia daug informacijos apie funkcijos grafiką. Pabandykite mintyse įsivaizduoti piešinį, atsižvelgdami į šiuos faktus:
Nubraižykite savo schemos versiją juodraštyje.
Žinoma, rastos ribos vienareikšmiškai nenulemia grafiko tipo ir galite suklysti, tačiau pats pratimas bus neįkainojama pagalba atliekant išsamų funkcijos tyrimą. Teisingas paveikslėlis yra pamokos pabaigoje.
Raskite funkcijos grafiko asimptotes
Raskite funkcijos grafiko asimptotes
Tai savarankiško sprendimo užduotys. Abiejuose grafikuose vėlgi yra horizontalių asimptočių, kurias iš karto aptinka šie požymiai: 4 pavyzdyje vardiklis didėja didesne tvarka nei skaitiklis, o 5 pavyzdyje skaitiklis ir vardiklis yra tos pačios eilės. Mėginio tirpale pirmoji funkcija tiriama, ar nėra įstrižų asimptotų, o antroji - per ribą.
Horizontalios asimptotės, mano subjektyviu įspūdžiu, pastebimai dažnesnės nei „tikrai pasvirusios“. Ilgai lauktas bendras atvejis:
Raskite funkcijos grafiko asimptotes
Sprendimas: žanro klasika:
- 1) Kadangi vardiklis yra teigiamas, funkcija yra ištisinė visoje skaičių eilutėje ir nėra vertikalių asimptočių. …Ar tai gerai? Netinkamas žodis – puiku! 1 punktas uždarytas.
- 2) Patikrinkite, ar nėra įstrižų asimptotų:
Antroji riba taip pat yra baigtinė, todėl nagrinėjamos funkcijos grafikas turi įstrižą asimptotę:
Taigi, esant , funkcijos grafikas yra be galo artimas tiesei.
Atkreipkite dėmesį, kad jis kerta savo įstrižą asimptotą ištakoje, ir tokie susikirtimo taškai yra gana priimtini – svarbu, kad begalybėje „viskas būtų normalu“ (iš tikrųjų būtent ten ir iškyla asimptotų aptarimas).
Raskite funkcijos grafiko asimptotes
Sprendimas: nėra ką daug komentuoti, todėl sudarysiu apytikslį galutinio sprendimo pavyzdį:
1) Vertikalios asimptotės. Panagrinėkime esmę.
Tiesi linija yra vertikalioji brėžinio asimptotė.
2) įstrižai asimptotai:
Tiesi linija yra įstrižinė brėžinio asimptotė.
Rastos vienpusės ribos ir asimptotai leidžia su dideliu tikrumu daryti prielaidą, kaip atrodo šios funkcijos grafikas.
Raskite funkcijos grafiko asimptotes
Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys, kad būtų patogiau skaičiuoti kai kurias ribas, galite padalyti skaitiklį iš vardiklio termino pagal terminą. Ir vėl, analizuodami rezultatus, pabandykite nubraižyti šios funkcijos grafiką.
Akivaizdu, kad „tikrųjų“ įstrižinių asimptotų savininkai yra tų trupmeninių-racionalių funkcijų grafikai, kurių didžiausias skaitiklio laipsnis yra vienu didesnis už aukščiausią vardiklio laipsnį. Jei daugiau - nebus įstrižo asimptoto (pvz.,).
Tačiau gyvenime nutinka ir kitų stebuklų.
Kiek asimptotų gali turėti funkcijos grafikas?
Nėra, vienas, du, trys... arba begalinis skaičius. Ieškodami pavyzdžių toli nenueisime, priminsime elementarias funkcijas. Parabolė, kubinė parabolė, sinusoidas visai neturi asimptotų. Eksponentinės, logaritminės funkcijos grafikas turi vieną asimptotę. Arktangentas arkotangentas turi du iš jų, o liestinė, kotangentas turi begalinį skaičių. Neretai grafikas turi ir horizontalias, ir vertikalias asimptotes. Hiperbolė, visada tave mylėsiu.
Ką reiškia rasti funkcijos grafiko asimptotes?
Tai reiškia, kad reikia išsiaiškinti jų lygtis ir nubrėžti tiesias linijas, jei to reikalauja problemos sąlyga. Procesas apima funkcijos ribų nustatymą.
Funkcijos grafiko vertikaliosios asimptotės
Vertikali grafiko asimptotė, kaip taisyklė, yra funkcijos begalinio nenuoseklumo taške. Tai paprasta: jei taške funkcija patiria begalinį lūžį, tai lygties nurodyta tiesė yra vertikali grafiko asimptotė.
Pastaba: atkreipkite dėmesį, kad žymėjimas naudojamas dviem visiškai skirtingoms sąvokoms nurodyti. Taškas yra numanomas arba tiesės lygtis - priklauso nuo konteksto.
Taigi, norint nustatyti vertikalios asimptotės buvimą taške, pakanka parodyti, kad bent viena iš vienpusių ribų yra begalinė. Dažniausiai tai yra taškas, kuriame funkcijos vardiklis yra lygus nuliui. Tiesą sakant, paskutiniuose funkcijos tęstinumo pamokos pavyzdžiuose jau radome vertikalias asimptotes. Tačiau daugeliu atvejų yra tik viena vienpusė riba, o jei ji begalinė, tai vėlgi – meilė ir palankumas vertikaliajai asimptotei. Paprasčiausia iliustracija: ir y ašis.
Iš to, kas pasakyta, taip pat išplaukia akivaizdus faktas: jei funkcija nuolat įjungta, vertikalių asimptočių nėra. Kažkodėl į galvą atėjo parabolė. Iš tiesų, kur čia galima „klijuoti“ tiesią liniją? ... taip ... suprantu ... dėdės Freudo pasekėjai susispaudė isterikoje =)
Atvirkštinis teiginys paprastai nėra teisingas: pavyzdžiui, funkcija neapibrėžta visoje realioje eilutėje, bet visiškai atimta asimptočių.
Funkcijos grafiko pasvirosios asimptotės
Pasvirusios (ypatingu atveju – horizontalios) asimptotės gali būti nubrėžtos, jei funkcijos argumentas linkęs į „plius begalybė“ arba „minus begalybė“. Todėl funkcijos grafikas negali turėti daugiau nei 2 pasvirusias asimptotes. Pavyzdžiui, eksponentinės funkcijos grafikas turi vieną horizontalią asimptotę at, o arctangento at grafikas turi dvi tokias asimptotes ir skirtingas.
Kai grafikas čia ir ten artėja prie vienintelės įstrižos asimptotės, tada įprasta sujungti „begalybes“ po vieną įrašą. Pavyzdžiui, ... jūs atspėjote teisingai: .
- (iš graikų kalbos neigiama dalis ir kartu sutampantys simptomai). Tiesi linija, nuolat artėjanti prie kreivės ir sutinkanti ją tik begalybėje. Užsienio žodžių žodynas, įtrauktas į rusų kalbą. Chudinovas A.N., 1910. ASYMPTOE iš ... ... Rusų kalbos svetimžodžių žodynas
ASIMPTOTAS- (iš graikų kalbos asymptotos nesutapimas), tiesi linija, prie kurios begalinė kreivės šaka artėja neribotą laiką, pavyzdžiui, hiperbolės asimptotė ... Šiuolaikinė enciklopedija
ASIMPTOTAS- (iš graikų asymptotos nesutampa) kreivė su begaline šaka yra tiesi linija, prie kurios ši šaka artėja neribotą laiką, pavyzdžiui, hiperbolės asimptotė ... Didysis enciklopedinis žodynas
asimptotas- Tiesi linija, prie kurios palaipsniui artėja kreivė. asimptotė Tiesi linija, kuri artėja (jos nepasiekia) kreivės, turinčios begalinę kokios nors funkcijos šaką, kai jos argumentas didėja neribotai arba ... Techninis vertėjo vadovas
Asimptotė- (iš graikų asymptotos mismatched), tiesi linija, prie kurios neribotai artėja begalinė kreivės atšaka, pavyzdžiui, hiperbolės asimptotė. … Iliustruotas enciklopedinis žodynas
ASIMPTOTAS- moteris, geom. tiesi linija, visada artėjanti prie kreivės (hiperbolė), bet niekada nesiartinanti su ja. Pavyzdys tai paaiškinti: jei bet kuris skaičius yra padalintas per pusę, tada jis sumažės iki begalybės, bet niekada netaps nuliu. ... Dahlio aiškinamasis žodynas
asimptotas- daiktavardis, sinonimų skaičius: 1 eilutė (182) ASIS sinonimų žodynas. V.N. Trishin. 2013... Sinonimų žodynas
Asimptotė- (iš graikų kalbos žodžių: a, saulė, piptw) nesutampa. Asimptote suprantama tokia linija, kuri, tęsdama neribotą laiką, artėja prie nurodytos kreivės linijos ar jos dalies, todėl atstumas tarp bendrų linijų tampa mažesnis ...
Asimptotė Paviršius yra tiesi linija, kuri kerta paviršių bent dviejuose taškuose begalybėje... Brockhauso ir Efrono enciklopedija
ASIMPTOTAS- (asimptotas) Reikšmė, kurią ši funkcija linkusi gauti, kai pasikeičia argumentas (argumentas), bet nepasiekia jo su galutine argumento verte. Pavyzdžiui, jei visos produkcijos x sąnaudos pateikiamos funkcija TC=a+bx, kur a ir b yra konstantos... Ekonomikos žodynas
Asimptotė- tiesė, kuri linksta (niekada jos nepasiekia), turinti begalinę kokios nors funkcijos kreivės atšaką, kai jos argumentas neribotai didėja arba mažėja. Pavyzdžiui, funkcijoje: y = c + 1/x, y reikšmė artėja su ... ... Ekonomikos ir matematikos žodynas
- Asimptotų samprata
Vienas iš svarbių žingsnių kuriant funkcijų grafikus yra asimptotų paieška. Mes ne kartą susitikome su asimptotais: braižydami funkcijas, y=tgx, y=ctgx. Mes jas apibrėžėme kaip linijas, kurias funkcijos grafikas „linksta“, bet niekada nekerta. Atėjo laikas pateikti tikslų asimptotų apibrėžimą.
Yra trys asimptotų tipai: vertikalūs, horizontalūs ir įstrižai. Brėžinyje asimptotės dažniausiai žymimos punktyrinėmis linijomis.
Apsvarstykite šį dirbtinai nubraižytą funkcijų grafiką (16.1 pav.), kurio pavyzdyje aiškiai matomi visų tipų asimptotai:
Pateikiame kiekvieno asimptoto tipo apibrėžimą:
1. Tiesioginis x=a paskambino vertikali asimptota funkcijos, jei .
2. Tiesioginis y=s paskambino horizontalioji asimptote funkcijos, jei .
3. Tiesioginis y=kx+b paskambino įstrižas asimptotas funkcijos, jei .
Geometriškai įstriosios asimptotės apibrėžimas reiškia, kad →∞ funkcijos grafikas artėja prie tiesės, kuri yra savavališkai artima y=kx+b, t.y. jie praktiškai vienodi. Beveik identiškų posakių skirtumas siekia nulį.
Atkreipkite dėmesį, kad horizontalios ir įstrižos asimptotos yra nagrinėjamos tik esant sąlygai →∞. Kartais jie skirstomi į horizontalias ir įstrižas asimptotes kaip →+∞ ir →-∞.
- Asimptotinės paieškos algoritmas
Asimptotams rasti gali būti naudojamas šis algoritmas:
Gali būti vienas vertikalus asimptotas, keli arba iš viso nėra.
- Jei c yra skaičius, tada y=s yra horizontalioji asimptotė;
- Jei c yra begalybė, tai horizontalių asimptočių nėra.
Jei funkcija yra dviejų daugianario santykis, tai jei funkcija turi horizontalias asimptotes, įstrižinių asimptotų neieškosime – jų nėra.
Apsvarstykite pavyzdžius, kaip rasti funkcijos asimptotes:
16.1 pavyzdys. Raskite kreivės asimptotus.
Sprendimas X-1≠0; X≠1.
Patikrinkime, ar linija yra x= 1 vertikali asimptotė. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame funkcijos ribą taške x= 1: .
x= 1 – vertikali asimptotė.
Su= .
Su= = . Nes Su=2 (skaičius), tada y = 2 yra horizontalioji asimptotė.
Kadangi funkcija yra daugianario santykis, esant horizontaliems asimptotams, tvirtiname, kad įstrižinių asimptotų nėra.
x= 1 ir horizontalioji asimptotė y = 2. Aiškumo dėlei šios funkcijos grafikas parodytas fig. 16.2.
16.2 pavyzdys. Raskite kreivės asimptotus.
Sprendimas. 1. Raskite funkcijos domeną: X-2≠0; X≠2.
Patikrinkime, ar linija yra x= 2 vertikali asimptotė. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame funkcijos ribą taške x= 2: .
Mes tai gavome, todėl x= 2 - vertikali asimptotė.
2. Norėdami ieškoti horizontalių asimptočių, randame: Su= .
Kadangi riboje yra neapibrėžtumo, naudojame L'Hopital taisyklę: Su= = . Nes Su yra begalybė, tada nėra horizontalių asimptočių.
3. Norėdami ieškoti įstrižų asimptotų, randame:
Gavome formos neapibrėžtį, naudojame L'Hopital taisyklę: = =1. b pagal formulę: .
b= = =
Supratau b= 2. Tada y=kx+b –įstrižas asimptotas. Mūsų atveju tai atrodo taip: y=x+2.
|
17 paskaita
Šioje paskaitoje apibendrinsime visą anksčiau išstuduotą medžiagą. Galutinis mūsų ilgos kelionės tikslas yra ištirti bet kurią analitiškai nurodytą funkciją ir sudaryti jos grafiką. Svarbios mūsų tyrimo dalys bus funkcijos ekstremumams tyrimas, grafiko monotoniškumo, išgaubimo ir įgaubimo intervalų nustatymas, vingio taškų, funkcijos grafiko asimptočių paieška.
Atsižvelgdami į visus aukščiau išvardintus aspektus, pateikiame funkcijos tyrimo ir braižymo schema .
1. Raskite funkcijos sritį.
2. Ištirkite lyginio nelyginio funkciją:
jei , tai funkcija yra lygi (lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu OU);
jei , tai funkcija nelyginė (nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas pradžios atžvilgiu);
Kitu atveju funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3. Ištirkite funkciją periodiškumui (tarp mūsų tiriamų funkcijų periodinės gali būti tik trigonometrinės funkcijos).
4. Raskite funkcijos grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis:
· Oi: adresu=0 (lygtį sprendžiame tik tuomet, jei galime naudoti mums žinomus metodus);
· OU: X=0.
5. Raskite pirmąją funkcijos išvestinę ir pirmosios rūšies kritinius taškus.
6. Raskite funkcijos monotoniškumo intervalus ir ekstremumus.
7. Raskite antrąją funkcijos išvestinę ir antrosios rūšies kritinius taškus.
8. Raskite funkcijos grafiko ir vingio taškų išgaubimo-įgaubtumo intervalus.
9. Raskite funkcijos grafiko asimptotes.
10. Nubraižykite funkciją. Statydami apsvarstykite galimos grafiko vietos šalia asimptotų atvejų :
11. Jei reikia, parinkite kontrolės taškus tikslesnei konstrukcijai.
Apsvarstykite funkcijos tyrimo ir jos grafiko sudarymo schemą konkrečių pavyzdžių:
17.1 pavyzdys. Nubraižykite funkciją.
Sprendimas. 1. Ši funkcija apibrėžta visoje skaičių eilutėje, išskyrus X=3, nes šiuo metu vardiklis eina į nulį.
2. Norėdami nustatyti funkcijos lygumą ir nelygumą, randame:
Matome, kad ir todėl funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3. Funkcija yra neperiodinė.
4. Raskite susikirtimo taškus su koordinačių ašimis. Norėdami rasti susikirtimo tašką su ašimi Oi priimti adresu=0. Gauname lygtį: . Taigi, taškas (0; 0) yra susikirtimo su koordinačių ašimis taškas.
5. Raskite funkcijos išvestinę pagal trupmenos diferenciacijos taisyklę: = = = = .
Norėdami rasti kritinius taškus, randame taškus, kuriuose funkcijos išvestinė yra lygi 0 arba neegzistuoja.
Jei =0, vadinasi, . Tada sandauga yra 0, kai bent vienas iš veiksnių yra 0: arba .
X-3) 2 lygus 0, t.y. neegzistuoja X=3.
Taigi funkcija turi tris pirmojo tipo kritinius taškus: ; ; .
6. Realioje ašyje pažymime pirmos rūšies kritinius taškus, o tašką pažymime pradurtu tašku, nes jis neapibrėžia funkcijos.
Kiekviename intervale išdėstykite išvestinės = ženklus:
|
|
Intervalais, kur , pradinė funkcija didėja (prie (-∞;0] ), kur - mažėja (at ).
Taškas X=0 yra maksimalus funkcijos taškas. Norėdami rasti funkcijos maksimumą, suraskime funkcijos reikšmę taške 0: .
Taškas X=6 yra mažiausias funkcijos taškas. Norėdami rasti funkcijos minimumą, suraskime funkcijos reikšmę 6 taške: .
Tyrimo rezultatus galima įrašyti į lentelę. Lentelės eilučių skaičius yra fiksuotas ir lygus keturiems, o stulpelių skaičius priklauso nuo tiriamos funkcijos. Pirmos eilutės langeliuose nuosekliai įvedami intervalai, į kuriuos kritiniai taškai padalija funkcijos apibrėžimo sritį, įskaitant pačius kritinius taškus. Norint išvengti klaidų konstruojant taškus, kurie nepriklauso apibrėžimo sričiai, galima jų į lentelę neįtraukti.
Antroje lentelės eilutėje pateikiami išvestinės žymenys kiekviename nagrinėjamame intervale ir išvestinės reikšmė kritiniuose taškuose. Pagal funkcijos išvestinės požymius trečioje eilutėje pažymimi funkcijos didėjimo, mažėjimo ir ekstremumai intervalai.
Paskutinė eilutė naudojama funkcijos maksimumui ir minimumui žymėti.
| X | (-∞;0) | (0;3) | (3;6) | (6;+ ∞) | |||
| + | - | - | + | ||||
| f(x) | |||||||
| išvadas | maks | min |
7. Raskite funkcijos antrąją išvestinę kaip pirmosios išvestinę: = =
Išimkite iš skaitiklio X-3 skliausteliuose ir atlikite sumažinimą:
Skaitiklyje pateikiame tokius terminus: .
Raskime antrosios rūšies kritinius taškus: taškus, kuriuose funkcijos antroji išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja.
0 jei =0. Ši trupmena negali būti lygi nuliui, todėl nėra taškų, kuriuose antroji funkcijos išvestinė būtų lygi nuliui.
Neegzistuoja, jei vardiklis ( X-3) 3 yra 0, t.y. neegzistuoja X=3. :Oi , OU, kilmė, kiekvienos ašies matavimo vienetai.
Prieš braižydami funkciją, turite:
piešti asimptotes punktyrinėmis linijomis;
pažymėkite susikirtimo taškus su koordinačių ašimis;
|
· Naudodamiesi gautais didėjimo, mažėjimo, išgaubimo ir įdubimo intervalų duomenimis, sudarykite funkcijos grafiką. Grafo šakos turėtų „linkti“ į asimptotus, bet ne kirsti.
Patikrinkite, ar funkcijos grafikas atitinka tyrimą: jei funkcija lyginė ar nelyginė, tai ar stebima simetrija; ar teoriškai rasti didėjimo ir mažėjimo intervalai, išgaubimas ir įdubimas, vingio taškai.
11. Kad konstrukcija būtų tikslesnė, galite pasirinkti kelis valdymo taškus. Pavyzdžiui, suraskime funkcijų reikšmes taškuose -2 ir 7:
Grafiką koreguojame atsižvelgdami į kontrolinius taškus.
Testo klausimai:
- Koks yra funkcijų grafiko braižymo algoritmas?
- Ar funkcija gali turėti ekstremumą taškuose, kurie nepriklauso apibrėžimo sričiai?
3 SKYRIUS. 3. FUNKCIJOS INTEGRALINIS SKAIČIUOTI