Ir išvestinė teorema sudėtinga funkcija, kurio formuluotė yra tokia:
Tegul 1) funkcija $u=\varphi (x)$ turi išvestinę $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ tam tikru momentu $x_0$, 2) funkcija $y=f(u)$ turi atitinkamame taške $u_0=\varphi (x_0)$ išvestinę $y_(u)"=f"(u)$. Tada kompleksinė funkcija $y=f\left(\varphi (x) \right)$ minėtame taške taip pat turės išvestinę, lygią funkcijų $f(u)$ ir $\varphi () išvestinių sandaugai x)$:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$
arba trumpesniu užrašu: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.
Šio skyriaus pavyzdžiuose visos funkcijos turi formą $y=f(x)$ (ty mes nagrinėjame tik vieno kintamojo $x$ funkcijas). Atitinkamai visuose pavyzdžiuose išvestinė $y"$ imama kintamojo $x$ atžvilgiu. Norint pabrėžti, kad išvestinė imama kintamojo $x$ atžvilgiu, dažnai vietoj $$ rašoma $y"_x$ y"$.
1, 2 ir 3 pavyzdžiai pateikia išsamų sudėtingų funkcijų išvestinės paieškos procesą. Pavyzdys Nr. 4 skirtas išsamesniam išvestinių lentelės supratimui ir prasminga su ja susipažinti.
Patartina, išstudijavus pavyzdžių Nr.1-3 medžiagą, pereiti prie savarankiškai sprendžiamų pavyzdžių Nr.5, Nr.6 ir Nr.7. 5, 6 ir 7 pavyzdžiuose yra trumpas sprendimas, kad skaitytojas galėtų patikrinti savo rezultato teisingumą.
1 pavyzdys
Raskite funkcijos $y=e^(\cos x)$ išvestinę.
Turime rasti kompleksinės funkcijos $y"$ išvestinę. Kadangi $y=e^(\cos x)$, tada $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. raskite išvestinę $ \left(e^(\cos x)\right)"$ naudokite formulę #6 iš išvestinių lentelės. Norint naudoti formulę Nr. 6, reikia atsižvelgti į tai, kad mūsų atveju $u=\cos x$. Kitas sprendimas yra banalus išraiškos $\cos x$ pakeitimas vietoj $u$ formulėje Nr. 6:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$
Dabar reikia rasti išraiškos $(\cos x)"$ reikšmę. Vėl kreipiamės į išvestinių lentelę, iš jos pasirinkdami formulę Nr. 10. Pakeitę $u=x$ į formulę Nr. 10, turime : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Dabar tęsiame lygybę (1.1), papildydami ją rastu rezultatu:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$
Kadangi $x"=1$, tęsiame lygybę (1.2):
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$
Taigi iš lygybės (1.3) gauname: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Natūralu, kad paaiškinimai ir tarpinės lygybės dažniausiai praleidžiamos, išvestinę rašant vienoje eilutėje, kaip lygybėje ( 1.3) Taigi, kompleksinės funkcijos išvestinė rasta, belieka tik užrašyti atsakymą.
Atsakymas: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
2 pavyzdys
Raskite funkcijos $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ išvestinę.
Turime apskaičiuoti išvestinę $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Pirmiausia pažymime, kad konstantą (ty skaičių 9) galima išimti iš išvestinės ženklo:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$
Dabar pereikime prie išraiškos $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Kad būtų lengviau pasirinkti norimą formulę iš išvestinių lentelės, pateiksiu išraišką klausiama tokia forma: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Dabar aišku, kad reikia naudoti formulę Nr.2, t.y. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Šioje formulėje pakeiskite $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ ir $\alpha=12$:
Papildydami lygybę (2.1) gautu rezultatu, gauname:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \žyma (2.2) $$
Šioje situacijoje dažnai daroma klaida, kai sprendėjas pirmame žingsnyje vietoj formulės pasirenka formulę $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ $\left(u^\ alfa \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Esmė ta, kad pirmoji išvestinė turi būti išorinė funkcija. Norėdami suprasti, kuri funkcija bus išorinė išraiškai $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, įsivaizduokite, kad skaičiuojate išraiškos $\arctg^(12)(4\cdot 5^) reikšmę x)$ kai kuriai $x$ vertei. Pirmiausia apskaičiuokite $5^x$ reikšmę, tada rezultatą padauginkite iš 4, kad gautumėte $4\cdot 5^x$. Dabar iš šio rezultato paimame arctangentą ir gauname $\arctg(4\cdot 5^x)$. Tada gautą skaičių padidiname iki dvyliktosios laipsnio, gaudami $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Paskutinis veiksmas, t.y. didinant iki 12, - ir bus išorinė funkcija. Ir būtent nuo jos reikėtų pradėti ieškoti išvestinės, kas buvo padaryta lygybėje (2.2).
Dabar turime rasti $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Naudojame išvestinių lentelės formulę Nr. 19, pakeisdami joje $u=4\cdot \ln x$:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Šiek tiek supaprastinkime gautą išraišką, atsižvelgdami į $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Lygybė (2.2) dabar taps:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$
Belieka rasti $(4\cdot \ln x)"$. Iš išvestinio ženklo išimkite konstantą (t.y. 4): $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)"$ . Norėdami rasti $(\ln x)"$, naudojame formulę Nr. 8, pakeisdami $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Kadangi $x"=1$, tada $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ Pakeisdami gautą rezultatą į formulę (2.3), gauname:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $
Priminsiu, kad kompleksinės funkcijos išvestinė dažniausiai yra vienoje eilutėje, kaip parašyta paskutinėje lygybėje. Todėl atliekant standartinius skaičiavimus ar bandymus visai nebūtina nudažyti tirpalo ta pačia detale.
Atsakymas: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
3 pavyzdys
Raskite funkcijos $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ $y"$.
Pirma, šiek tiek pakeiskime funkciją $y$, išreikšdami radikalą (šaknį) kaip laipsnį: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Dabar pradėkime ieškoti išvestinės. Kadangi $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, tada:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$
Naudojame formulę Nr. 2 iš išvestinių lentelės, pakeičiant $u=\sin(5\cdot 9^x)$ ir $\alpha=\frac(3)(7)$:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Tęsiame lygybę (3.1) naudodami gautą rezultatą:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$
Dabar turime rasti $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Tam naudojame formulę Nr. 9 iš išvestinių lentelės, pakeisdami joje $u=5\cdot 9^x$:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Papildydami lygybę (3.2) gautu rezultatu, gauname:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$
Belieka rasti $(5\cdot 9^x)"$. Pirmiausia iš išvestinės ženklo išimame konstantą (skaičius $5$), t.y $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. Norėdami rasti išvestinę $(9^x)"$, taikome išvestinių lentelės formulę Nr. 5, pakeičiant $a=9$ ir $u=x$: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Kadangi $x"=1$, tada $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Dabar galime tęsti lygybę (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
Galite vėl grįžti nuo galių prie radikalų (ty šaknų) parašydami $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ kaip $\ frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^) x)))$. Tada išvestinė bus parašyta tokia forma:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$
Atsakymas: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.
4 pavyzdys
Parodykite, kad išvestinių lentelės formulės Nr. 3 ir Nr. 4 yra specialus šios lentelės formulės Nr. 2 atvejis.
Išvestinių lentelės formulėje Nr.2 parašyta funkcijos $u^\alpha$ išvestinė. Pakeitę $\alpha=-1$ į formulę #2, gauname:
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$
Kadangi $u^(-1)=\frac(1)(u)$ ir $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, lygybę (4.1) galima perrašyti taip: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Tai išvestinių lentelės formulė numeris 3.
Dar kartą pereikime prie išvestinių lentelės formulės Nr. Pakeiskite $\alpha=\frac(1)(2)$:
$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$
Kadangi $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ ir $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, tada lygybę (4.2) galima perrašyti taip:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
Gauta lygybė $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ yra išvestinių lentelės formulė Nr. 4. Kaip matote, išvestinių lentelės formulės Nr. 3 ir Nr. 4 gaunamos iš formulės Nr. 2, pakeičiant atitinkamą $\alpha$ reikšmę.
Tai labai lengva prisiminti.
Na, toli nenueisime, iš karto svarstysime atvirkštinę funkciją. Kuri funkcija yra atvirkštinė eksponentinė funkcija? Logaritmas:
Mūsų atveju pagrindas yra skaičius:
Toks logaritmas (tai yra logaritmas su baze) vadinamas „natūraliu“, ir mes jam naudojame specialų žymėjimą: vietoj jo rašome.
Kam lygu? Žinoma, .
Natūralaus logaritmo išvestinė taip pat labai paprasta:
Pavyzdžiai:
- Raskite funkcijos išvestinę.
- Kas yra funkcijos išvestinė?
Atsakymai: Rodiklis ir natūralusis logaritmas yra funkcijos, kurių išvestinė vertė yra išskirtinai paprasta. Eksponentinės ir logaritminės funkcijos su bet kuria kita baze turės skirtingą išvestinę, kurią išanalizuosime vėliau, susipažinę su diferenciacijos taisyklėmis.
Diferencijavimo taisyklės
Kokios taisyklės? Vėl naujas terminas?!...
Diferencijavimas yra išvestinės paieškos procesas.
Tik ir viskas. Koks dar žodis reiškia šį procesą? Ne proizvodnovanie... Matematikos diferencialas vadinamas pačiu funkcijos prieaugiu at. Šis terminas kilęs iš lotyniško diferencia – skirtumas. Čia.
Išvesdami visas šias taisykles naudosime dvi funkcijas, pavyzdžiui, ir. Mums taip pat reikės jų padidėjimo formulių:
Iš viso yra 5 taisyklės.
Konstanta išimama iš išvestinės ženklo.
Jei - koks nors pastovus skaičius (konstanta), tada.
Akivaizdu, kad ši taisyklė galioja ir skirtumui: .
Įrodykime tai. Leisk, arba lengviau.
Pavyzdžiai.
Raskite funkcijų išvestinius:
- taške;
- taške;
- taške;
- taške.
Sprendimai:
- (išvestinė visuose taškuose yra vienoda, nes tai tiesinė funkcija, pamenate?);
Produkto darinys
Čia viskas panašiai: pristatome naują funkciją ir randame jos prieaugį:
Išvestinė:
Pavyzdžiai:
- Rasti funkcijų išvestinius ir;
- Raskite funkcijos išvestinę taške.
Sprendimai:
Eksponentinės funkcijos išvestinė
Dabar jūsų žinių pakanka, kad išmoktumėte rasti bet kurios eksponentinės funkcijos išvestinę, o ne tik eksponentą (ar jau pamiršote, kas tai yra?).
Taigi kur yra koks nors skaičius.
Jau žinome funkcijos išvestinę, todėl pabandykime savo funkciją perkelti į naują bazę:
Norėdami tai padaryti, naudojame paprastą taisyklę: . Tada:
Na, pavyko. Dabar pabandykite rasti išvestinę ir nepamirškite, kad ši funkcija yra sudėtinga.
Įvyko?
Čia patikrinkite save:
Formulė pasirodė labai panaši į eksponento išvestinę: tokia, kokia buvo, taip ir lieka, atsirado tik veiksnys, kuris yra tik skaičius, bet ne kintamasis.
Pavyzdžiai:
Raskite funkcijų išvestinius:
Atsakymai:
Tai tik skaičius, kurio negalima apskaičiuoti be skaičiuoklės, tai yra, nėra galimybės jo užrašyti daugiau paprasta forma. Todėl atsakyme jis paliekamas tokia forma.
Atkreipkite dėmesį, kad čia yra dviejų funkcijų koeficientas, todėl taikome atitinkamą diferenciacijos taisyklę:
Šiame pavyzdyje dviejų funkcijų sandauga:
Logaritminės funkcijos išvestinė
Čia panašiai: jūs jau žinote natūraliojo logaritmo išvestinę:
Todėl, norėdami rasti savavališką logaritmą su kita baze, pavyzdžiui:
Turime atvesti šį logaritmą į pagrindą. Kaip pakeisti logaritmo bazę? Tikiuosi, kad prisiminsite šią formulę:
Tik dabar vietoj to rašysime:
Vardiklis pasirodė esąs tik konstanta (pastovus skaičius, be kintamojo). Išvestinė labai paprasta:
Eksponentinių ir logaritminių funkcijų išvestinių egzamine beveik niekada nerandama, tačiau jas žinoti nebus nereikalinga.
Sudėtingos funkcijos išvestinė.
Kas yra „sudėtinga funkcija“? Ne, tai nėra logaritmas ir ne lanko liestinė. Šios funkcijos gali būti sunkiai suvokiamos (nors jei logaritmas jums atrodo sunkus, skaitykite temą „Logaritmai“ ir viskas susitvarkys), tačiau matematikos prasme žodis „sudėtingas“ nereiškia „sunku“.
Įsivaizduokite mažą konvejerį: du žmonės sėdi ir atlieka veiksmus su kažkokiais daiktais. Pavyzdžiui, pirmasis įvynioja šokolado plytelę į popierių, o antrasis suriša juostele. Pasirodo, toks kompozicinis objektas: šokolado plytelė apvyniota ir perrišta kaspinu. Norėdami valgyti šokolado plytelę, turite atlikti priešingus veiksmus atvirkštine tvarka.
Sukurkime panašų matematinį konvejerį: pirmiausia rasime skaičiaus kosinusą, o tada gautą skaičių pakelsime kvadratu. Taigi, jie mums duoda skaičių (šokoladas), aš surandu jo kosinusą (įvynioklis), o tada jūs kvadratu tai, ką gavau (suriškite juostele). Kas nutiko? Funkcija. Tai yra sudėtingos funkcijos pavyzdys: kai, norėdami rasti jos reikšmę, pirmą veiksmą atliekame tiesiogiai su kintamuoju, o paskui kitą antrą veiksmą su tuo, kas įvyko dėl pirmojo.
Kitaip tariant, Sudėtinga funkcija yra funkcija, kurios argumentas yra kita funkcija: .
Mūsų pavyzdžiu, .
Galime atlikti tuos pačius veiksmus atvirkštine tvarka: pirmiausia kvadratu, o tada aš ieškau gauto skaičiaus kosinuso:. Nesunku atspėti, kad rezultatas beveik visada bus kitoks. Svarbi kompleksinių funkcijų ypatybė: pasikeitus veiksmų tvarkai, keičiasi ir funkcija.
Antras pavyzdys: (tas pats). .
Paskutinis veiksmas, kurį atliekame, bus vadinamas „išorinė“ funkcija, o pirmiausia atliktas veiksmas – atitinkamai „vidinė“ funkcija(tai neoficialūs pavadinimai, juos naudoju tik medžiagai paaiškinti paprasta kalba).
Pabandykite patys nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė:
Atsakymai: Vidinių ir išorinių funkcijų atskyrimas labai panašus į kintamųjų keitimą: pavyzdžiui, funkcijoje
- Kokių veiksmų imsimės pirmiausia? Pirmiausia apskaičiuojame sinusą, o tik tada keliame į kubą. Taigi tai vidinė, o ne išorinė funkcija.
O pradinė funkcija yra jų sudėtis: . - Vidinis: ; išorinis: .
Egzaminas:. - Vidinis: ; išorinis: .
Egzaminas:. - Vidinis: ; išorinis: .
Egzaminas:. - Vidinis: ; išorinis: .
Egzaminas:.
keičiame kintamuosius ir gauname funkciją.
Na, o dabar išgausime savo šokoladą – ieškokite darinio. Procedūra visada yra atvirkštinė: pirmiausia ieškome išorinės funkcijos išvestinės, tada rezultatą dauginame iš vidinės funkcijos išvestinės. Originaliame pavyzdyje jis atrodo taip:
Kitas pavyzdys:
Taigi, pagaliau suformuluokime oficialią taisyklę:
Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:
Atrodo, kad tai paprasta, tiesa?
Patikrinkime su pavyzdžiais:
Sprendimai:
1) Vidinis: ;
Išorinis: ;
2) Vidinis: ;
(tik dabar nebandykite sumažinti! Nieko neišima iš po kosinuso, pamenate?)
3) Vidinis: ;
Išorinis: ;
Iš karto aišku, kad čia yra trijų lygių kompleksinė funkcija: juk tai jau savaime yra kompleksinė funkcija, ir mes vis tiek iš jos ištraukiame šaknį, tai yra atliekame trečią veiksmą (į vyniotinį įdedame šokoladą ir su kaspinu portfelyje). Tačiau baimintis nėra pagrindo: šiaip ar taip, šią funkciją „išpakuosime“ ta pačia tvarka, kaip įprasta: nuo pabaigos.
Tai yra, pirmiausia skiriame šaknį, tada kosinusą ir tik tada išraišką skliausteliuose. Ir tada viską padauginame.
Tokiais atvejais patogu veiksmus sunumeruoti. Tai yra, įsivaizduokime, ką žinome. Kokia tvarka atliksime veiksmus, kad apskaičiuotume šios išraiškos reikšmę? Pažiūrėkime į pavyzdį:
Kuo vėliau veiksmas bus atliktas, tuo atitinkama funkcija bus „išoriškesnė“. Veiksmų seka – kaip ir anksčiau:
Čia lizdas paprastai yra 4 lygių. Nustatykime veiksmų eigą.
1. Radikali išraiška. .
2. Šaknis. .
3. Sinusas. .
4. Kvadratas. .
5. Viską sudėti:
IŠVEDINĖ VEIKLA. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ
Funkcijos išvestinė- funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis su be galo mažu argumento prieaugiu:
Pagrindiniai dariniai:
Atskyrimo taisyklės:
Konstanta išimama iš išvestinės ženklo:
Sumos išvestinė:
Išvestinis produktas:
Dalinio išvestinė:
Sudėtingos funkcijos išvestinė:
Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:
- Apibrėžiame „vidinę“ funkciją, randame jos išvestinę.
- Apibrėžiame „išorinę“ funkciją, randame jos išvestinę.
- Pirmojo ir antrojo punktų rezultatus padauginame.
Jei vadovausimės apibrėžimu, tai funkcijos išvestinė taške yra funkcijos Δ prieaugio santykio riba. y iki argumento Δ prieaugio x:
Viskas lyg ir aišku. Bet pabandykite pagal šią formulę apskaičiuoti, tarkime, funkcijos išvestinę f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x nuodėmė x. Jei viską darysite pagal apibrėžimą, po poros puslapių skaičiavimų jūs tiesiog užmigsite. Todėl yra paprastesnių ir efektyvesnių būdų.
Pirmiausia pažymime, kad vadinamąsias elementarias funkcijas galima atskirti nuo visos funkcijų įvairovės. Tai gana paprasti posakiai, kurių išvestinės jau seniai buvo skaičiuojamos ir įrašytos į lentelę. Tokias funkcijas kartu su jų išvestimis pakankamai lengva prisiminti.
Elementariųjų funkcijų dariniai
Elementarios funkcijos yra viskas, kas išvardyta žemiau. Šių funkcijų išvestinius reikia žinoti mintinai. Be to, juos nesunku įsiminti – štai kodėl jie elementarūs.
Taigi, elementariųjų funkcijų išvestiniai:
| vardas | Funkcija | Darinys |
| Pastovus | f(x) = C, C ∈ R | 0 (taip, taip, nulis!) |
| Laipsnis su racionaliuoju rodikliu | f(x) = x n | n · x n − 1 |
| Sinusas | f(x) = nuodėmė x | cos x |
| Kosinusas | f(x) = cos x | − nuodėmė x(minusas sinusas) |
| Tangentas | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| Kotangentas | f(x) = ctg x | − 1/sin2 x |
| natūralusis logaritmas | f(x) = žurnalas x | 1/x |
| Savavališkas logaritmas | f(x) = žurnalas a x | 1/(x ln a) |
| Eksponentinė funkcija | f(x) = e x | e x(Niekas nepasikeitė) |
Jei elementari funkcija padauginama iš savavališkos konstantos, tada naujos funkcijos išvestinė taip pat lengvai apskaičiuojama:
(C · f)’ = C · f ’.
Apskritai konstantas galima išimti iš išvestinės ženklo. Pavyzdžiui:
(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Akivaizdu, kad elementarias funkcijas galima sudėti viena prie kitos, padauginti, padalyti ir dar daugiau. Taip atsiras naujos funkcijos, nebe itin elementarios, bet ir diferencijuojamos pagal tam tikras taisykles. Šios taisyklės aptariamos toliau.
Sumos ir skirtumo išvestinė
Tegul funkcijos f(x) Ir g(x), kurių vediniai mums žinomi. Pavyzdžiui, galite paimti pirmiau aptartas elementarias funkcijas. Tada galite rasti šių funkcijų sumos ir skirtumo išvestinę:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Taigi dviejų funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė yra lygi išvestinių sumai (skirtumui). Gali būti ir daugiau terminų. Pavyzdžiui, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Griežtai kalbant, algebroje nėra „atimties“ sąvokos. Yra sąvoka „neigiamas elementas“. Todėl skirtumas f − g galima perrašyti į sumą f+ (-1) g, o tada lieka tik viena formulė – sumos išvestinė.
f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Funkcija f(x) yra dviejų elementariųjų funkcijų suma, taigi:
f ’(x) = (x 2+ nuodėmė x)’ = (x 2)' + (nuodėmė x)’ = 2x+ cosx;
Panašiai argumentuojame ir dėl funkcijos g(x). Tik jau yra trys terminai (algebros požiūriu):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Atsakymas:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Produkto darinys
Matematika yra loginis mokslas, todėl daugelis žmonių mano, kad jei sumos išvestinė yra lygi išvestinių sumai, tai sandaugos išvestinė streikuoti"\u003e lygi išvestinių sandaugai. Bet jums figos! Produkto išvestinė apskaičiuojama naudojant visiškai kitą formulę. Būtent:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Formulė paprasta, bet dažnai pamirštama. Ir ne tik moksleiviai, bet ir studentai. Rezultatas – neteisingai išspręstos problemos.
Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .
Funkcija f(x) yra dviejų elementarių funkcijų sandauga, todėl viskas paprasta:
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)“ cos x + x 3 (kai x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (–nuodėm x) = x 2 (3 cos x − x nuodėmė x)
Funkcija g(x) pirmasis daugiklis yra šiek tiek sudėtingesnis, tačiau bendra schema nuo to nesikeičia. Akivaizdu, kad pirmasis funkcijos daugiklis g(x) yra daugianario, o jo išvestinė yra sumos išvestinė. Mes turime:
g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)“ · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .
Atsakymas:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x nuodėmė x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e
x
.
Atkreipkite dėmesį, kad paskutiniame etape išvestinė yra faktorizuojama. Formaliai tai nėra būtina, tačiau dauguma išvestinių priemonių skaičiuojamos ne atskirai, o norint ištirti funkciją. Tai reiškia, kad toliau išvestinė bus prilyginama nuliui, išsiaiškinami jos ženklai ir pan. Tokiu atveju geriau, kad išraiška būtų išskaidyta į veiksnius.
Jei yra dvi funkcijos f(x) Ir g(x), ir g(x) ≠ 0 mus dominančioje aibėje, galime apibrėžti naują funkciją h(x) = f(x)/g(x). Tokiai funkcijai taip pat galite rasti išvestinę:
Ne silpna, tiesa? Iš kur atsirado minusas? Kodėl g 2? Ir taip! Tai viena iš sudėtingiausių formulių – be butelio to nesuprasi. Todėl geriau jį studijuoti konkrečių pavyzdžių.
Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius:
Kiekvienos trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra elementarios funkcijos, todėl mums tereikia dalinio išvestinės formulės:
Pagal tradiciją skaitiklį skirstome į veiksnius – tai labai supaprastins atsakymą:
Sudėtinga funkcija nebūtinai yra pusės kilometro ilgio formulė. Pavyzdžiui, pakanka paimti funkciją f(x) = nuodėmė x ir pakeiskite kintamąjį x, tarkim, įjungta x 2+ln x. Paaiškėja f(x) = nuodėmė ( x 2+ln x) yra sudėtinga funkcija. Ji taip pat turi išvestinį, bet nepavyks jo rasti pagal aukščiau aptartas taisykles.
Kaip būti? Tokiais atvejais padeda kintamojo pakeitimas ir sudėtingos funkcijos išvestinės formulė:
f ’(x) = f ’(t) · t', jei x pakeičiamas t(x).
Paprastai situacija su šios formulės supratimu yra dar liūdnesnė nei su koeficiento išvestine. Todėl taip pat geriau tai paaiškinti konkrečiais pavyzdžiais, su Išsamus aprašymas kiekvienas žingsnis.
Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = nuodėmė ( x 2+ln x)
Atkreipkite dėmesį, kad jei funkcijoje f(x) vietoj 2 išraiškos x+3 bus lengva x, tada gauname elementariąją funkciją f(x) = e x. Todėl darome pakaitalą: leiskite 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Mes ieškome sudėtingos funkcijos išvestinės pagal formulę:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
O dabar – dėmesio! Atvirkštinio pakeitimo atlikimas: t = 2x+ 3. Gauname:
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3
Dabar pažiūrėkime į funkciją g(x). Akivaizdu, kad reikia pakeisti. x 2+ln x = t. Mes turime:
g ’(x) = g ’(t) · t' = (nuodėmė t)’ · t' = cos t · t ’
Atvirkštinis pakeitimas: t = x 2+ln x. Tada:
g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).
Tai viskas! Kaip matyti iš paskutinės išraiškos, visa problema buvo sumažinta iki sumos išvestinės apskaičiavimo.
Atsakymas:
f ’(x) = 2 e
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ln x).
Labai dažnai pamokose vietoj termino „vedinys“ vartoju žodį „insultas“. Pavyzdžiui, sumos smūgis yra lygus smūgių sumai. Ar taip aiškiau? Na, tai yra gerai.
Taigi, apskaičiuojant išvestinę sumą, reikia atsikratyti šių potėpių pagal aukščiau aptartas taisykles. Kaip paskutinį pavyzdį, grįžkime prie išvestinės galios su racionaliuoju eksponentu:
(x n)’ = n · x n − 1
Tik nedaugelis tai žino vaidmenyje n gali būti trupmeninis skaičius. Pavyzdžiui, šaknis yra x 0,5 . Bet ką daryti, jei po šaknimi yra kažkas sudėtingo? Vėlgi, pasirodys sudėtinga funkcija - jie mėgsta tokias konstrukcijas kontrolinis darbas ir egzaminus.
Užduotis. Raskite funkcijos išvestinę:
Pirmiausia perrašykime šaknį kaip laipsnį su racionaliuoju rodikliu:
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Dabar atliekame pakeitimą: tegul x 2 + 8x − 7 = t. Išvestinę randame pagal formulę:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)“ t' = 0,5 t–0,5 t ’.
Atliekame atvirkštinį pakeitimą: t = x 2 + 8x− 7. Mes turime:
f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x– 7) –0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Galiausiai grįžkime prie šaknų:
Jeigu g(x) Ir f(u) yra diferencijuojamos jų argumentų funkcijos, atitinkamai taškuose x Ir u= g(x), tada kompleksinė funkcija taip pat yra diferencijuojama taške x ir randama pagal formulę
Tipiška klaida sprendžiant problemas dėl išvestinių priemonių yra automatinis paprastų funkcijų diferencijavimo taisyklių perkėlimas į sudėtingas funkcijas. Išmoksime išvengti šios klaidos.
2 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę
Neteisingas sprendimas: apskaičiuokite kiekvieno nario natūralųjį logaritmą skliausteliuose ir raskite išvestinių sumą:
Teisingas sprendimas: vėl nustatome, kur yra „obuoliai“, o kur „malta mėsa“. Natūralusis raiškos logaritmas skliausteliuose yra "obuolys", tai yra tarpinio argumento funkcija u, o posakis skliausteliuose yra „malta mėsa“, tai yra tarpinis argumentas u pagal nepriklausomą kintamąjį x.
Tada (naudojant 14 formulę iš išvestinių lentelės)
Daugelyje realių problemų išraiška su logaritmu yra šiek tiek sudėtingesnė, todėl yra pamoka
3 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę
Neteisingas sprendimas:
Teisingas sprendimas. Dar kartą nustatome, kur „obuolys“, o kur „malta mėsa“. Čia raiškos kosinusas skliausteliuose (išvestinių lentelėje 7 formulė) yra "obuolys", jis paruoštas 1 režimu, kuris veikia tik jį, o išraiška skliausteliuose (laipsnio išvestinė - skaičius 3 in išvestinių lentelę) yra „malta mėsa“, ji kepama 2 režimu, veikiant tik jai. Ir kaip visada du išvestinius sujungiame prekės ženklu. Rezultatas:
Sudėtingos logaritminės funkcijos išvestinė yra dažna testų užduotis, todėl primygtinai rekomenduojame apsilankyti pamokoje „Logaritminės funkcijos išvestinė“.
Pirmieji pavyzdžiai buvo skirti sudėtingoms funkcijoms, kuriose tarpinis argumentas prieš nepriklausomą kintamąjį buvo paprasta funkcija. Tačiau atliekant praktines užduotis dažnai reikia rasti sudėtingos funkcijos išvestinę, kai tarpinis argumentas pats yra sudėtinga funkcija arba turi tokią funkciją. Ką daryti tokiais atvejais? Raskite tokių funkcijų išvestines lenteles ir diferenciacijos taisykles. Kai randama tarpinio argumento išvestinė, ji tiesiog pakeičiama reikiamoje formulės vietoje. Žemiau pateikiami du pavyzdžiai, kaip tai daroma.
Be to, naudinga žinoti šiuos dalykus. Jei sudėtingą funkciją galima pavaizduoti kaip trijų funkcijų grandinę
tada jo išvestinė turėtų būti rasta kaip kiekvienos iš šių funkcijų išvestinių sandauga:
Daugeliui jūsų namų darbų gali tekti atidaryti mokymo programas naujuose languose. Veiksmai su galiomis ir šaknimis Ir Veiksmai su trupmenomis .
4 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę
Taikome sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę, nepamirštant, kad gautame išvestinių sandaugoje tarpinis argumentas nepriklausomo kintamojo atžvilgiu x nesikeičia:
Paruošiame antrąjį gaminio faktorių ir taikome sumos diferencijavimo taisyklę:
Antrasis terminas yra šaknis, taigi
Taigi buvo gauta, kad tarpiniame argumente, kuris yra suma, kaip vienas iš terminų yra sudėtinga funkcija: eksponencija yra sudėtinga funkcija, o tai, kas pakelta į laipsnį, yra tarpinis argumentas nepriklausomu kintamuoju. x.
Todėl vėl taikome sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę:
Pirmojo veiksnio laipsnį paverčiame šaknimi, o diferencijuodami antrąjį, nepamirštame, kad konstantos išvestinė lygi nuliui:
Dabar galime rasti tarpinio argumento išvestinę, reikalingą sudėtingos funkcijos, reikalingos problemos sąlygai, išvestinei apskaičiuoti y:
5 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę
Pirmiausia naudojame sumos diferencijavimo taisyklę:
Gaukite dviejų sudėtingų funkcijų išvestinių sumą. Raskite pirmąjį:
Čia sinuso pakėlimas į laipsnį yra sudėtinga funkcija, o pats sinusas yra tarpinis nepriklausomo kintamojo argumentas x. Todėl mes naudojame sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę išimant daugiklį iš skliaustų :
Dabar randame antrąjį terminą iš tų, kurie sudaro funkcijos išvestinę y:
Čia kosinuso pakėlimas į laipsnį yra sudėtinga funkcija f, o pats kosinusas yra tarpinis argumentas nepriklausomo kintamojo atžvilgiu x. Vėlgi, naudojame sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę:
Rezultatas yra reikalinga išvestinė:
Kai kurių sudėtingų funkcijų išvestinių lentelė
Sudėtingų funkcijų atveju, remiantis sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisykle, paprastos funkcijos išvestinės formulė įgauna kitą formą.
| 1. Sudėtinės galios funkcijos išvestinė, kur u x |  |
| 2. Posakio šaknies vedinys | |
| 3. Eksponentinės funkcijos išvestinė |  |
| 4. Ypatingas eksponentinės funkcijos atvejis | |
| 5. Logaritminės funkcijos su savavališka teigiama baze išvestinė A |  |
| 6. Sudėtinės logaritminės funkcijos išvestinė, kur u yra diferencijuojama argumento funkcija x | |
| 7. Sinuso darinys |  |
| 8. Kosinuso išvestinė |  |
| 9. Tangentinė išvestinė |  |
| 10. Kotangento išvestinė |  |
| 11. Arsinuso išvestinė |  |
| 12. Lanko kosinuso išvestinė |  |
| 13. Arkos liestinės išvestinė |  |
| 14. Atvirkštinės liestinės išvestinė |  |
Po išankstinio artilerijos paruošimo pavyzdžiai su 3-4-5 funkcijų priedais bus mažiau baisūs. Galbūt kažkam šie du pavyzdžiai atrodys sudėtingi, bet jei jie bus suprasti (kas nors nukentės), tai beveik visa kita diferencialiniame skaičiavime atrodys kaip vaiko pokštas.
2 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Kaip jau buvo pažymėta, ieškant sudėtingos funkcijos išvestinę, pirmiausia tai būtina Teisingai SUPRASTAS INVESTICIJAS. Tais atvejais, kai kyla abejonių, primenu jums naudingą triuką: paimame, pavyzdžiui, eksperimentinę reikšmę „x“ ir bandome (protiškai arba pagal juodraštį) pakeisti šią reikšmę į „baisią išraišką“.
1) Pirmiausia turime apskaičiuoti išraišką, todėl suma yra giliausias lizdas.
2) Tada reikia apskaičiuoti logaritmą:
4) Tada supjaustykite kosinusą:
5) Penktame etape skirtumas:
6) Galiausiai, tolimiausia funkcija yra kvadratinė šaknis: 
Sudėtinga funkcijų diferenciacijos formulė 
yra taikomos atvirkštine tvarka, nuo išorinės funkcijos iki vidinės. Mes nusprendžiame:
Atrodo, kad be klaidų:
1) Imame kvadratinės šaknies išvestinę.
2) Naudodami taisyklę imame skirtumo išvestinę 
3) Trigubo išvestinė lygi nuliui. Antruoju nariu imame laipsnio (kubo) išvestinę.
4) Imame kosinuso išvestinę.
6) Galiausiai paimame giliausio lizdo išvestinį .
Tai gali atrodyti per sunku, bet tai nėra pats žiauriausias pavyzdys. Paimkite, pavyzdžiui, Kuznecovo kolekciją ir įvertinsite visą analizuojamo darinio žavesį ir paprastumą. Pastebėjau, kad per egzaminą mėgsta duoti panašų dalyką, kad patikrintų, ar studentas supranta, kaip rasti sudėtingos funkcijos išvestinę, ar nesupranta.
Kitas pavyzdys skirtas nepriklausomas sprendimas.
3 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Patarimas: Pirmiausia taikome gaminio tiesiškumo ir diferenciacijos taisykles
Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Atėjo laikas pereiti prie kažko kompaktiškesnio ir gražesnio.
Neretai pasitaiko situacija, kai pavyzdyje pateikiama ne dviejų, o trijų funkcijų sandauga. Kaip rasti trijų veiksnių sandaugos išvestinę?
4 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę 
Pirmiausia žiūrime, bet ar įmanoma trijų funkcijų sandaugą paversti dviejų funkcijų sandauga? Pavyzdžiui, jei gaminyje būtų du daugianariai, galėtume atidaryti skliaustus. Tačiau šiame pavyzdyje visos funkcijos yra skirtingos: laipsnis, eksponentas ir logaritmas.
Tokiais atvejais būtina paeiliui taikyti produktų diferencijavimo taisyklę 
du kartus
Triukas yra tas, kad „y“ žymime dviejų funkcijų sandaugą: , o „ve“ - logaritmą:. Kodėl tai galima padaryti? Ar tai 
- tai ne dviejų veiksnių rezultatas ir taisyklė neveikia?! Nėra nieko sudėtingo:
Dabar belieka taisyklę taikyti antrą kartą skliausteliui:
Dar galima iškreipti ir ką nors ištraukti iš skliaustų, bet tokiu atveju geriau palikti atsakymą šioje formoje – bus lengviau patikrinti.
Aukščiau pateiktą pavyzdį galima išspręsti antruoju būdu:
Abu sprendimai yra visiškai lygiaverčiai.
5 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys, pavyzdyje jis išspręstas pirmuoju būdu.
Apsvarstykite panašius pavyzdžius su trupmenomis.
6 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę 
Čia galite eiti keliais būdais:
Arba taip:
Bet sprendimas gali būti parašytas kompaktiškiau, jei visų pirma naudosime koeficiento diferenciacijos taisyklę 
, imant visą skaitiklį:
Iš principo pavyzdys išspręstas, o jei jis bus paliktas tokia forma, tai nebus klaida. Bet jei turite laiko, visada patartina patikrinti juodraštį, bet ar įmanoma supaprastinti atsakymą?
Skaitiklio išraišką sujungiame į bendrą vardiklį ir atsikratome triaukštės trupmenos:
Papildomų supaprastinimų trūkumas yra tas, kad kyla grėsmė suklysti ne ieškant išvestinės, o kai banalios mokyklos pertvarkos. Kita vertus, mokytojai dažnai atmeta užduotį ir prašo „atsiminti“ išvestinį.
Paprastesnis „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys:
7 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Mes ir toliau įvaldome išvestinės paieškos metodus, o dabar nagrinėsime tipišką atvejį, kai diferencijavimui siūlomas „siaubingas“ logaritmas.