Video nodarbība "Divu taisnes paralēlisma zīmes" satur teorēmu pierādījumus, kas apraksta zīmes, kas nozīmē paralēlas līnijas. Tajā pašā laikā video ir aprakstīta 1) teorēma par taisnes paralēlismu, kurā vienādus leņķus veido sekants, 2) zīme, kas nozīmē divu taisnes paralēlismu - vienādos veidos atbilstošos leņķos, 3) zīme. tas nozīmē divu taisnu paralēlismu gadījumā, kad tām krustojoties sasaistes vienpusēji leņķi sastāda 180°. Šīs video nodarbības mērķis ir iepazīstināt skolēnus ar zīmēm, kas nozīmē divu līniju paralēlismu, kuru zināšanas nepieciešamas daudzu praktisku problēmu risināšanai, vizuāli prezentēt šo teorēmu pierādījumus, veidot prasmes ģeometrisko apgalvojumu pierādīšanā.
Video nodarbības priekšrocības ir saistītas ar to, ka ar animācijas palīdzību, balss vadību, iespēju izcelt ar krāsu, tā nodrošina augstu redzamības pakāpi, var kalpot kā aizvietotājs standarta bloka piegādei. jauns izglītojošs materiāls skolotājs.
Video nodarbība sākas ar nosaukuma parādīšanu ekrānā. Pirms taisnu līniju paralēlisma zīmju aprakstīšanas skolēni tiek iepazīstināti ar sekanta jēdzienu. Sekants tiek definēts kā līnija, kas krusto citas līnijas. Ekrānā ir redzamas divas līnijas a un b, kas krustojas ar līniju c. Konstruētā līnija c ir iezīmēta zilā krāsā, uzsverot, ka tā ir doto līniju a un b sekants. Lai ņemtu vērā līniju paralēlisma pazīmes, ir nepieciešams vairāk iepazīties ar līniju krustošanās laukumu. Sekants krustpunktos ar taisnēm veido 8 leņķus ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, analizējot attiecības, no kurām iespējams iegūt zīmes šo līniju paralēlisms. Jāatzīmē, ka leņķus ∠3 un ∠5, kā arī ∠2 un ∠4 sauc par šķērsām. Detalizēts skaidrojums ir sniegts ar animācijas palīdzību krustenisko leņķu izvietojumam kā leņķiem, kas atrodas starp paralēlām līnijām un piekļaujas līnijām, kas atrodas šķērsām. Tad dots vienpusējo leņķu jēdziens, kas ietver pārus ∠4 un ∠5, kā arī ∠3 un ∠6. Norādīti arī atbilstošo leņķu pāri, no kuriem uz konstruētā attēla ir 4 pāri - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7.
Nākamajā video pamācības daļā ir aplūkotas trīs jebkuru divu līniju paralēlisma pazīmes. Tiek parādīts pirmais apraksts. Teorēma nosaka, ka, ja sekanta veidotie šķērsvirziena leņķi ir vienādi, dotās taisnes būs paralēlas. Apgalvojumam pievienots zīmējums, kurā redzamas divas taisnes a un b un sekants AB. Jāatzīmē, ka šķērsām izveidotie guļus leņķi ∠1 un ∠2 ir vienādi viens ar otru. Šim apgalvojumam ir nepieciešami pierādījumi.
Visvieglāk pierādāms konkrētais gadījums, kad dotie krustu veidotie leņķi ir taisnleņķi. Tas nozīmē, ka sekants ir perpendikulārs taisnēm, un saskaņā ar jau pierādīto teorēmu šajā gadījumā taisnes a un b nekrustos, tas ir, tās ir paralēlas. Pierādījums šim konkrētajam gadījumam ir aprakstīts, izmantojot attēla piemēru, kas uzbūvēts blakus pirmajai figūrai, izceļot svarīgas pierādījuma detaļas ar animācijas palīdzību.
Lai to pierādītu vispārīgā gadījumā, no posma AB viduspunkta līdz taisnei a ir jānovelk papildu perpendikuls. Tālāk uz taisnes b tiek uzzīmēts segments VN 1, kas vienāds ar segmentu AH. No šajā gadījumā iegūtā punkta H 1 tiek novilkts segments, kas savieno punktus O un H 1. Tālāk tiek aplūkoti divi trijstūri ΔONA un ΔOBN 1, kuru vienādību pierāda pirmais divu trīsstūru vienādības kritērijs. Malas OA un OB ir vienādas pēc konstrukcijas, jo punkts O tika atzīmēts kā nogriežņa AB vidus. Malas HA un H 1 B arī ir vienādas konstrukcijā, jo mēs atdalām segmentu H 1 B, kas vienāds ar HA. Un leņķi ∠1=∠2 atbilstoši uzdevuma stāvoklim. Tā kā izveidotie trīsstūri ir vienādi viens ar otru, tad arī attiecīgie atlikušie leņķu un malu pāri ir vienādi viens ar otru. No tā izriet, ka segments OH 1 ir segmenta OH turpinājums, veidojot vienu segmentu HH 1. Jāievēro, ka tā kā konstruētais segments OH ir perpendikulārs taisnei a, tad attiecīgi nogrieznis HH 1 ir perpendikulārs taisnēm a un b. Šis fakts, izmantojot paralēlisma teorēmu taisnēm, kurām ir būvēts viens perpendikuls, nozīmē, ka dotās taisnes a un b ir paralēlas.
Nākamā teorēma, kas jāpierāda, ir paralēlu līniju vienādības zīme ar atbilstošo leņķu vienādību, kas veidojas sekanta krustpunktā. Norādītās teorēmas apgalvojums tiek parādīts ekrānā, un studenti to var piedāvāt ierakstīšanai. Pierādījums sākas ar divu paralēlu līniju a un b konstruēšanu uz ekrāna, uz kurām tiek konstruēta sekants c. Attēlā izcelts zilā krāsā. Sekants veido atbilstošos leņķus ∠1 un ∠2, kas pēc nosacījuma ir vienādi viens ar otru. Ir atzīmēti arī blakus esošie leņķi ∠3 un ∠4. ∠2 attiecībā pret leņķi ∠3 ir vertikāls leņķis. Un vertikālie leņķi vienmēr ir vienādi. Turklāt leņķi ∠1 un ∠3 atrodas viens otram šķērsām – to vienādība (saskaņā ar jau pierādīto apgalvojumu) nozīmē, ka taisnes a un b ir paralēlas. Teorēma ir pierādīta.
Video apmācības pēdējā daļa ir veltīta apgalvojuma pierādīšanai, ka, ja to vienpusējo leņķu summa, kas veidojas dažu divu līniju krustpunktā ar šķīvju līniju, ir vienāda ar 180 °, tad šīs līnijas būs paralēlas katrai. cits. Pierādījums tiek parādīts, izmantojot zīmējumu, kurā redzamas līnijas a un b, kas krustojas ar sekantu c. Stūri, ko veido krustojums, ir atzīmēti līdzīgi kā iepriekšējā pierādījumā. Pēc nosacījuma leņķu ∠1 un ∠4 summa ir vienāda ar 180°. Ir zināms, ka leņķu ∠3 un ∠4 summa ir vienāda ar 180°, jo tie atrodas blakus. Tas nozīmē, ka leņķi ∠1 un ∠3 ir vienādi viens ar otru. Šis secinājums dod tiesības apgalvot, ka taisnes a un b ir paralēlas. Teorēma ir pierādīta.
Video nodarbību "Divu līniju paralēlisma zīmes" skolotājs var izmantot kā patstāvīgu bloku, demonstrējot šo teorēmu pierādījumus, aizstājot skolotāja skaidrojumu vai pavadot to. Detalizēts skaidrojums ļauj izmantot materiālu pašmācība studentiem un palīdzēs materiāla skaidrošanā tālmācībā.
paralēlisms ir ļoti noderīgs īpašumsģeometrijā. AT īsta dzīve paralēlas malasļauj izveidot skaistas, simetriskas lietas, kas ir patīkamas jebkurai acij, tāpēc ģeometrijai vienmēr ir bijuši veidi, kā pārbaudīt šo paralēlismu. Par paralēlo līniju zīmēm mēs runāsim šajā rakstā.
Paralelisma definīcija
Ļaujiet mums izcelt definīcijas, kas jums jāzina, lai pierādītu divu līniju paralēlisma pazīmes.
Taisnes sauc par paralēlām, ja tām nav krustošanās punktu. Turklāt risinājumos paralēlas līnijas parasti iet kopā ar sekantu.
Sekanta taisne ir taisne, kas krusto abas paralēlās līnijas. Šajā gadījumā šķērsām tiek veidoti guloši, atbilstoši un vienpusēji leņķi. 1. un 4. leņķu pāri atrodas šķērsām; 2 un 3; 8 un 6; 7 un 5. Atbilstoši būs 7 un 2; 1 un 6; 8 un 4; 3 un 5.
Vienpusējs 1 un 2; 7 un 6; 8 un 5; 3 un 4.
Pareizi formatējot ir rakstīts: “Šķērsustā guļus leņķi ar divām paralēlām taisnēm a un b un sekantu c”, jo divām paralēlām līnijām var būt bezgalīgi daudz sekantu, tāpēc jānorāda, kuru sekantu tu domā.
Pierādījumam ir nepieciešama arī teorēma par trijstūra ārējo leņķi, kas nosaka, ka trijstūra ārējais leņķis ir vienāds ar divu trijstūra leņķu summu, kas nav tam blakus.
zīmes
Visas paralēlo līniju zīmes ir saistītas ar zināšanām par leņķu īpašībām un teorēmu par trijstūra ārējo leņķi.
1. funkcija
Divas taisnes ir paralēlas, ja krustošanās leņķi ir vienādi.
Apsveriet divas taisnes a un b ar secantu c. Šķērsvirziena gulēšanas leņķi 1 un 4 ir vienādi. Pieņemsim, ka līnijas nav paralēlas. Tas nozīmē, ka taisnes krustojas un ir jābūt krustošanās punktam M. Tad tiek izveidots trijstūris AVM ar ārējo leņķi 1. Ārējam leņķim jābūt vienādam ar leņķu summu 4 un AVM kā neblakus tam saskaņā ar teorēma par ārējo leņķi trijstūrī. Bet tad izrādās, ka leņķis 1 ir lielāks par leņķi 4, un tas ir pretrunā ar uzdevuma nosacījumu, kas nozīmē, ka punkts M neeksistē, taisnes nekrustojas, tas ir, tās ir paralēlas.
Rīsi. 1. Zīmējums pierādījumam.
2. funkcija
Divas taisnes ir paralēlas, ja attiecīgie sekanta leņķi ir vienādi.
Apsveriet divas taisnes a un b ar secantu c. Atbilstošie leņķi 7 un 2 ir vienādi. Pievērsīsim uzmanību leņķim 3. Tas ir vertikāls leņķim 7. Tāpēc leņķi 7 un 3 ir vienādi. Tātad arī leņķi 3 un 2 ir vienādi, jo<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.
Rīsi. 2. Zīmējums pierādījumam.
3. funkcija
Divas taisnes ir paralēlas, ja vienpusējo leņķu summa ir 180 grādi.
Rīsi. 3. Zīmējums pierādījumam.
Apsveriet divas taisnes a un b ar secantu c. Vienpusējo leņķu 1 un 2 summa ir 180 grādi. Pievērsīsim uzmanību leņķiem 1 un 7. Tie atrodas blakus. Tas ir:
$$<1+<7=180$$
$$<1+<2=180$$
Atņemiet otro no pirmās izteiksmes:
$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$
$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$
$$<1+<7-<1-<2=0$$
$$<7-<2=0$$
$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.
Ko mēs esam iemācījušies?
Mēs detalizēti analizējām, kādi leņķi tiek iegūti, griežot paralēlas līnijas ar trešo līniju, identificējām un detalizēti aprakstījām trīs līniju paralēlisma pazīmju pierādījumu.
Tēmu viktorīna
Raksta vērtējums
Vidējais vērtējums: 4.1. Kopējais saņemto vērtējumu skaits: 220.
Divu taisnes paralēlismu var pierādīt, pamatojoties uz teorēmu, saskaņā ar kuru divi perpendikuli, kas novilkti attiecībā pret vienu taisni, būs paralēli. Ir noteiktas paralēlu līniju pazīmes - tās ir trīs, un mēs tās visas aplūkosim sīkāk.
Pirmā paralēlisma pazīme
Taisnes ir paralēlas, ja to trešās taisnes krustpunktā izveidotie iekšējie leņķi, kas atrodas šķērsām, ir vienādi.
Pieņemsim, ka taisnes AB un CD krustpunktā ar taisni EF izveidojās leņķi /1 un /2. Tie ir vienādi, jo taisne EF iet vienā un tajā pašā slīpumā attiecībā pret pārējām divām taisnēm. Līniju krustpunktā mēs ievietojam punktus Ki L - mums ir sekanta EF segments. Atrodam tā vidu un ieliekam punktu O (189. att.).
Uz taisnes AB nolaižam perpendikulu no punkta O. Sauksim to par OM. Mēs turpinām perpendikulu, līdz tas krustojas ar līniju CD. Rezultātā sākotnējā līnija AB ir stingri perpendikulāra MN, kas nozīmē, ka CD _ | _ MN, bet šim apgalvojumam ir nepieciešams pierādījums. Perpendikula un krustojuma līnijas zīmēšanas rezultātā esam izveidojuši divus trīsstūrus. Viens no tiem ir MANS, otrs ir NOK. Apsvērsim tos sīkāk. paralēlu līniju zīmes 7. pakāpe
Šie trijstūri ir vienādi, jo saskaņā ar teorēmas nosacījumiem /1 = /2 un saskaņā ar trijstūra uzbūvi mala OK = mala OL. Leņķis MOL =/NOK, jo tie ir vertikāli leņķi. No tā izriet, ka viena trijstūra mala un divi tam blakus esošie leņķi ir attiecīgi vienādi ar otra trijstūra malu un diviem tai blakus esošajiem leņķiem. Tādējādi trīsstūris MOL \u003d trijstūris NOK un līdz ar to leņķis LMO \u003d leņķis KNO, taču mēs zinām, ka / LMO ir taisnstūris, kas nozīmē, ka arī atbilstošais leņķis KNO ir taisns. Tas ir, mums izdevās pierādīt, ka gan līnija AB, gan līnija CD ir perpendikulāras līnijai MN. Tas ir, AB un CD ir paralēli viens otram. Tas mums bija jāpierāda. Apskatīsim atlikušās paralēlo līniju zīmes (7. klase), kas atšķiras no pirmās zīmes pierādījumu veidā.
Otrā paralēlisma pazīme
Saskaņā ar otro taisnes paralēlisma zīmi mums jāpierāda, ka leņķi, kas iegūti paralēlo taisnes AB un CD krustošanās procesā ar taisni EF, būs vienādi. Tādējādi divu taisnes, gan pirmās, gan otrās, paralēlisma zīmes balstās uz leņķu vienādību, kas iegūta, kad tās šķērso trešā līnija. Mēs pieņemam, ka /3 = /2 un leņķis 1 = /3, jo tas ir vertikāli pret to. Tādējādi un /2 būs vienāds ar leņķi 1, tomēr jāņem vērā, ka gan leņķis 1, gan leņķis 2 ir iekšējie, šķērsām guļus leņķi. Tāpēc mums atliek pielietot savas zināšanas, proti, ka divi segmenti būs paralēli, ja to krustpunktā ar trešo taisni izveidotie, krusteniski novietotie leņķi būs vienādi. Tādējādi mēs noskaidrojām, ka AB || CD.
Mums izdevās pierādīt, ka pie nosacījuma, ka divi perpendikuli ir paralēli vienai taisnei, saskaņā ar atbilstošo teorēmu paralēlo līniju zīme ir acīmredzama.
Trešā paralēlisma pazīme
Ir arī trešais paralēlisma kritērijs, ko pierāda ar vienpusēju iekšējo leņķu summu. Šāds taisnes paralēlisma zīmes pierādījums ļauj secināt, ka divas taisnes būs paralēlas, ja, tām krustojoties ar trešo taisni, iegūto vienpusējo iekšējo leņķu summa būs vienāda ar 2d. Skatīt 192. attēlu.
Tie nekrustojas, lai cik ilgi tie turpinātos. Līniju paralēlisms rakstveidā ir norādīts šādi: AB|| NOE
Šādu līniju pastāvēšanas iespējamību pierāda teorēma.
Teorēma.
Caur jebkuru punktu, kas atrodas ārpus noteiktās līnijas, var novilkt paralēli šai taisnei..
Ļaujiet ABšī līnija un NO kāds punkts ņemts ārpus tā. Tas ir jāpierāda NO jūs varat novilkt taisnu līniju paralēliAB. Iesim tālāk AB no punkta NO perpendikulāriNOD un tad mēs to darīsim NOE^ NOD, kas ir iespējams. Taisni CE paralēli AB.
Pierādījumam mēs pieņemam pretējo, t.i., ka CE krustojas AB kādā brīdī M. Tad no punkta M uz taisnu līniju NOD mums būtu divi dažādi perpendikuli MD un JAUNKUNDZE, kas nav iespējams. nozīmē, CE nevar krustoties ar AB, t.i. NOE paralēli AB.
Sekas.
Divi perpendikuli (CEunD.B.) līdz vienai taisnei (СD) ir paralēli.
Paralēlu līniju aksioma.
Caur vienu un to pašu punktu nav iespējams novilkt divas dažādas līnijas, kas ir paralēlas vienai un tai pašai līnijai.
Tātad, ja taisna līnija NOD, izvilkts caur punktu NO paralēli taisnai līnijai AB, tad jebkura cita rinda NOE caur to pašu punktu NO, nevar būt paralēls AB, t.i. viņa turpina krustojas Ar AB.
Šīs ne visai acīmredzamās patiesības pierādījums izrādās neiespējams. Tas tiek pieņemts bez pierādījumiem kā nepieciešams pieņēmums (postulatum).
Sekas.
1. Ja taisni(NOE) krustojas ar vienu no paralēli(SW), tad tas krustojas ar otru ( AB), jo citādi caur to pašu punktu NO divas dažādas taisnas līnijas, paralēlas AB, kas nav iespējams.
2. Ja katrs no diviem tiešā veidā (AunB) ir paralēli tai pašai trešajai līnijai ( NO) , tad viņi ir paralēli savā starpā.
Patiešām, ja mēs tā pieņemam A un B krustojas kādā brīdī M, tad caur šo punktu iet divas dažādas taisnas līnijas, kas ir paralēlas viena otrai. NO, kas nav iespējams.
Teorēma.
Ja taisna līnija ir perpendikulāra vienai no paralēlajām taisnēm, tad tā ir perpendikulāra otrai paralēli.
Ļaujiet AB || NOD un EF ^ AB.Tas ir jāpierāda EF ^ NOD.
PerpendikulāriEF, kas krustojas ar AB, noteikti krustosies un NOD. Ļaujiet krustojumam būt H.
Pieņemsim, ka tagad NOD nav perpendikulāri EH. Tad, piemēram, kādu citu līniju HK, būs perpendikulāra EH un līdz ar to caur to pašu punktu H divi taisna paralēla AB: viens NOD, pēc nosacījuma un otrs HK kā pierādīts iepriekš. Tā kā tas nav iespējams, to nevar pieņemt SW nebija perpendikulāra EH.
Divu taisnes paralēlisma pazīmes
1. teorēma. Ja sekanta divu līniju krustpunktā:
diagonāli guļus leņķi ir vienādi, vai
attiecīgie leņķi ir vienādi, vai
vienpusējo leņķu summa ir 180°, tad
līnijas ir paralēlas(1. att.).
Pierādījums. Mēs aprobežojamies ar 1. gadījuma pierādījumu.
Pieņemsim, ka taisnes a un b krustpunktā ar sekantu AB pāri guļus leņķi ir vienādi. Piemēram, ∠ 4 = ∠ 6. Pierādīsim, ka a || b.
Pieņemsim, ka taisnes a un b nav paralēlas. Tad tie krustojas kādā punktā M un līdz ar to viens no leņķiem 4 vai 6 būs trijstūra ABM ārējais leņķis. Noteiktības labad pieņemsim, ka ∠ 4 ir trijstūra ABM ārējais stūris, bet ∠ 6 ir iekšējais stūris. No teorēmas par trijstūra ārējo leņķi izriet, ka ∠ 4 ir lielāks par ∠ 6, un tas ir pretrunā ar nosacījumu, kas nozīmē, ka taisnes a un 6 nevar krustoties, tāpēc tās ir paralēlas.
Secinājums 1. Divas atšķirīgas līnijas plaknē, kas ir perpendikulāra vienai un tai pašai taisnei, ir paralēlas(2. att.).
komentēt. Veids, kā mēs tikko pierādījām 1. teorēmas 1. gadījumu, tiek saukts par pierādīšanas metodi ar pretrunu vai redukciju līdz absurdam. Šī metode ieguva savu pirmo nosaukumu, jo spriešanas sākumā tiek izdarīts pieņēmums, kas ir pretējs (pretējs) tam, kas ir jāpierāda. To sauc par samazināšanu līdz absurdam, jo, argumentējot, pamatojoties uz izdarīto pieņēmumu, mēs nonākam pie absurda secinājuma (absurds). Šāda secinājuma saņemšana liek noraidīt sākumā izteikto pieņēmumu un pieņemt to, kas bija jāpierāda.
1. uzdevums. Izveidojiet taisni, kas iet caur doto punktu M un paralēli noteiktai taisnei a, nevis iet caur punktu M.
Risinājums. Caur punktu M velkam taisni p, kas ir perpendikulāra taisnei a (3. att.).
Tad caur punktu M novelkam taisni b, kas ir perpendikulāra taisnei p. Taisne b ir paralēla taisnei a saskaņā ar 1. teorēmas secinājumu.
No aplūkotās problēmas izriet svarīgs secinājums:
Caur punktu, kas neatrodas noteiktā taisnē, vienmēr var novilkt līniju, kas ir paralēla dotajai taisnei..
Paralēlo līniju galvenā īpašība ir šāda.
Paralēlu līniju aksioma. Caur doto punktu, kas nav dotajā taisnē, ir tikai viena taisne, kas ir paralēla dotajai taisnei.
Apsveriet dažas paralēlo līniju īpašības, kas izriet no šīs aksiomas.
1) Ja taisne krusto vienu no abām paralēlajām taisnēm, tad tā krusto otru (4. att.).
2) Ja divas dažādas taisnes ir paralēlas trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas (5. att.).
Pareiza ir arī sekojošā teorēma.
2. teorēma. Ja divas paralēlas taisnes šķērso sekants, tad:
guļus leņķi ir vienādi;
attiecīgie leņķi ir vienādi;
vienpusējo leņķu summa ir 180°.
Sekas 2. Ja taisne ir perpendikulāra vienai no divām paralēlām taisnēm, tad tā ir perpendikulāra arī otrai.(skat. 2. att.).
komentēt. 2. teorēmu sauc par 1. teorēmas apgriezto. 1. teorēmas secinājums ir 2. teorēmas nosacījums. Un 1. teorēmas nosacījums ir 2. teorēmas secinājums. Ne katrai teorēmai ir inverss, t.i., ja dotā teorēma ir patiesa, tad apgrieztā teorēma var būt nepatiesa.
Paskaidrosim to ar teorēmas piemēru par vertikālajiem leņķiem. Šo teorēmu var formulēt šādi: ja divi leņķi ir vertikāli, tad tie ir vienādi. Apgrieztā teorēma būtu šāda: ja divi leņķi ir vienādi, tad tie ir vertikāli. Un tas, protams, nav taisnība. Diviem vienādiem leņķiem vispār nav jābūt vertikāliem.
1. piemērs Divas paralēlas līnijas šķērso trešā. Ir zināms, ka starpība starp diviem iekšējiem vienpusējiem leņķiem ir 30°. Atrodiet šos leņķus.
Risinājums. Ļaujiet 6. skaitlim atbilst nosacījumam.