Dinamika un kinemātika ir divas svarīgas fizikas nozares, kas pēta objektu kustības likumus telpā. Pirmajā tiek aplūkoti spēki, kas iedarbojas uz ķermeni, bet otrajā ir tiešā veidā aplūkotas dinamiskā procesa īpašības, neiedziļinoties to izraisīšanas iemeslus. Zināšanas par šīm fizikas nozarēm ir jāizmanto, lai veiksmīgi atrisinātu problēmas, kas saistītas ar kustību slīpā plaknē. Apskatīsim šo jautājumu rakstā.
Dinamikas pamatformula
Protams, runa ir par otro likumu, kuru 17. gadsimtā postulēja Īzaks Ņūtons, pētot cieto ķermeņu mehānisko kustību. Uzrakstīsim to matemātiskā formā:
Ārējā spēka F¯ darbība izraisa lineāra paātrinājuma a¯ parādīšanos ķermenī ar masu m. Abi vektoru lielumi (F¯ un a¯) ir vērsti vienā virzienā. Formulā esošais spēks ir visu sistēmā esošo spēku iedarbības uz ķermeni rezultāts.
Rotācijas kustības gadījumā Ņūtona otro likumu raksta šādi:
Šeit M un I ir attiecīgi inerce, α ir leņķiskais paātrinājums.
Kinemātikas formulas
Lai atrisinātu uzdevumus, kas saistīti ar kustību slīpā plaknē, ir jāzina ne tikai galvenā dinamikas formula, bet arī atbilstošās kinemātikas izpausmes. Tie savieno paātrinājumu, ātrumu un nobraukto attālumu vienādībā. Vienmērīgi paātrinātai (vienmērīgi palēninātai) taisnvirziena kustībai tiek izmantotas šādas formulas:
S = v 0 *t ± a*t 2 /2
Šeit v 0 ir ķermeņa sākotnējā ātruma vērtība, S ir ceļš, kas noiets pa taisnu ceļu laikā t. Ja ķermeņa ātrums laika gaitā palielinās, jāpievieno zīme "+". Pretējā gadījumā (vienmērīgi palēnināta kustība) formulās jāizmanto zīme “-”. Tas ir svarīgs punkts.
Ja kustība tiek veikta pa apļveida ceļu (rotācija ap asi), tad jāizmanto šādas formulas:
ω = ω 0 ± α*t;
θ = ω 0 *t ± α*t 2 /2
Šeit α un ω ir attiecīgi ātrums, θ ir rotējošā ķermeņa griešanās leņķis laikā t.
Lineārie un leņķiskie raksturlielumi ir savstarpēji saistīti ar formulām:
Šeit r ir rotācijas rādiuss.
Kustība slīpā plaknē: spēki
Šī kustība tiek saprasta kā objekta kustība pa plakanu virsmu, kas ir noliekta noteiktā leņķī pret horizontu. Kā piemērus var minēt bloku, kas slīd pa dēli, vai cilindru, kas velmē uz slīpas metāla loksnes.
Lai noteiktu apskatāmā kustības veida īpašības, vispirms ir jāatrod visi spēki, kas iedarbojas uz ķermeni (stieni, cilindru). Tās var būt dažādas. Kopumā tie var būt šādi spēki:
- smagums;
- atbalsta reakcijas;
- un/vai paslīdēšana;
- vītnes spriegojums;
- ārējais vilces spēks.
Pirmie trīs no tiem vienmēr ir klāt. Pēdējo divu pastāvēšana ir atkarīga no konkrētās fizisko ķermeņu sistēmas.
Lai atrisinātu problēmas, kas saistītas ar kustību pa slīpu plakni, ir jāzina ne tikai spēku lielumi, bet arī to darbības virzieni. Ja ķermenis ripo pa plakni, berzes spēks nav zināms. Tomēr to nosaka no atbilstošās kustības vienādojumu sistēmas.
Risinājuma metode
Šāda veida problēmu risināšana sākas ar spēku un to darbības virzienu noteikšanu. Lai to izdarītu, vispirms tiek ņemts vērā gravitācijas spēks. Tas ir jāsadala divkomponentu vektoros. Vienam no tiem jābūt vērstam gar slīpās plaknes virsmu, bet otrajam jābūt tai perpendikulāram. Pirmā gravitācijas sastāvdaļa, ja ķermenis virzās uz leju, nodrošina tā lineāro paātrinājumu. Tas notiek jebkurā gadījumā. Otrais ir vienāds ar Visiem šiem rādītājiem var būt dažādi parametri.
Berzes spēks, pārvietojoties pa slīpu plakni, vienmēr ir vērsts pret ķermeņa kustību. Runājot par slīdēšanu, aprēķini ir diezgan vienkārši. Lai to izdarītu, izmantojiet formulu:
Kur N ir atbalsta reakcija, µ ir berzes koeficients, kam nav dimensijas.
Ja sistēmā ir tikai šie trīs spēki, tad to rezultāts slīpajā plaknē būs vienāds ar:
F = m*g*sin(φ) – µ*m*g*cos(φ) = m*g*(sin(φ) – µ*cos(φ)) = m*a
Šeit φ ir plaknes slīpuma leņķis pret horizontu.
Zinot spēku F, mēs varam izmantot Ņūtona likumu, lai noteiktu lineāro paātrinājumu a. Pēdējais savukārt tiek izmantots, lai noteiktu kustības ātrumu slīpā plaknē pēc zināma laika perioda un ķermeņa nobraukto attālumu. Ja paskatās, var saprast, ka viss nav tik sarežģīti.
Gadījumā, ja ķermenis neslīdot ripo lejup pa slīpu plakni, kopējais spēks F būs vienāds ar:
F = m*g*sin(φ) - F r = m*a
Kur F r - nav zināms. Kad ķermenis ripo, gravitācijas spēks nerada momentu, jo tas tiek piemērots rotācijas asij. Savukārt F r izveido šādu momentu:
Ņemot vērā, ka mums ir divi vienādojumi un divi nezināmie (α un a ir viens ar otru saistīti), mēs varam viegli atrisināt šo sistēmu un līdz ar to arī problēmu.
Tagad apskatīsim, kā izmantot aprakstīto tehniku, lai atrisinātu konkrētas problēmas.
Problēma, kas saistīta ar bloka kustību slīpā plaknē
Koka bloks atrodas slīpās plaknes augšpusē. Ir zināms, ka tā garums ir 1 metrs un tas atrodas 45 o leņķī. Jāaprēķina, cik ilgā laikā klucis slīdēšanas rezultātā nolaižas pa šo plakni. Ņemiet berzes koeficientu, kas vienāds ar 0,4.
Mēs rakstām Ņūtona likumu noteiktai fiziskai sistēmai un aprēķinām lineārā paātrinājuma vērtību:
m*g*(sin(φ) - µ*cos(φ)) = m*a =>
a = g*(sin(φ) - µ*cos(φ)) ≈ 4,162 m/s 2
Tā kā mēs zinām attālumu, kāds blokam jānobrauc, mēs varam uzrakstīt šādu formulu ceļam vienmērīgi paātrinātas kustības laikā bez sākuma ātruma:
Kur mums vajadzētu izteikt laiku un aizstāt zināmās vērtības:
t = √(2*S/a) = √(2*1/4,162) ≈ 0,7 s
Tādējādi laiks, kas nepieciešams, lai pārvietotos pa bloka slīpo plakni, būs mazāks par sekundi. Ņemiet vērā, ka iegūtais rezultāts nav atkarīgs no ķermeņa svara.
Problēma ar cilindru, kas ripo pa lidmašīnu
Balonu ar rādiusu 20 cm un masu 1 kg novieto uz plaknes, kas ir slīpa 30 o leņķī. Jums jāaprēķina tā maksimālais lineārais ātrums, kādu tas iegūs, ripot lejā lidmašīnu, ja tās garums ir 1,5 metri.
Uzrakstīsim atbilstošos vienādojumus:
m*g*sin(φ) - F r = m*a;
F r *r = I*α = I*a/r
I cilindra inerces momentu aprēķina pēc formulas:
Aizstāsim šo vērtību otrajā formulā, izteiksim no tās berzes spēku F r un aizstāsim ar iegūto izteiksmi pirmajā vienādojumā, mums ir:
F r *r = 1/2*m*r 2 *a/r = >
m*g*sin(φ) - 1/2*m*a = m*a =>
a = 2/3*g*sin(φ)
Mēs noskaidrojām, ka lineārais paātrinājums nav atkarīgs no ķermeņa, kas ripo no plaknes, rādiusa un masas.
Zinot, ka lidmašīnas garums ir 1,5 metri, mēs atrodam ķermeņa kustības laiku:
Tad maksimālais kustības ātrums pa cilindra slīpo plakni būs vienāds ar:
v = a*t = a*√(2*S/a) = √(2*S*a) = √(4/3*S*g*sin(φ))
Galīgajā formulā aizvietojam visus no uzdevuma nosacījumiem zināmos lielumus un iegūstam atbildi: v ≈ 3,132 m/s.
Šajā rakstā ir runāts par to, kā atrisināt problēmas, kas saistītas ar pārvietošanos pa slīpu plakni. Tiek apskatīts detalizēts risinājums savienoto ķermeņu kustības problēmai slīpā plaknē no vienotā valsts eksāmena fizikā.
Kustības problēmas risināšana slīpā plaknē
Pirms pāriet tieši uz problēmas risināšanu, kā matemātikas un fizikas pasniedzējs, iesaku rūpīgi izanalizēt tās stāvokli. Jums jāsāk, attēlojot spēkus, kas iedarbojas uz savienotiem ķermeņiem:
Šeit un ir vītnes spriegojuma spēki, kas iedarbojas attiecīgi uz kreiso un labo ķermeni, ir atbalsta reakcijas spēks, kas iedarbojas uz kreiso ķermeni, un ir gravitācijas spēki, kas iedarbojas attiecīgi uz kreiso un labo ķermeni. Par šo spēku virzienu viss ir skaidrs. Spriegojuma spēks ir vērsts gar vītni, gravitācijas spēks ir vertikāli uz leju, un atbalsta reakcijas spēks ir perpendikulārs slīpajai plaknei.
Bet par berzes spēka virzienu būs jārunā atsevišķi. Tāpēc attēlā tas ir parādīts kā punktēta līnija un parakstīts ar jautājuma zīmi. Intuitīvi ir skaidrs, ka, ja labā slodze “atsver” kreiso, tad berzes spēks tiks vērsts pretēji vektoram. Gluži pretēji, ja kreisā slodze “atsver” labo, tad berzes spēks tiks virzīts kopā ar vektoru.
Pareizais svars tiek novilkts uz leju ar spēku N. Šeit mēs ņēmām gravitācijas paātrinājumu m/s 2. Arī kreiso slodzi velk lejup ar gravitāciju, bet ne visu, bet tikai daļu no tās, jo slodze atrodas uz slīpas plaknes. Šī “daļa” ir vienāda ar gravitācijas projekciju uz slīpu plakni, tas ir, kāju taisnleņķa trīsstūrī, kas parādīts attēlā, tas ir, vienāda ar N.
Tas ir, pareizā slodze joprojām “atsver”. Līdz ar to berzes spēks ir vērsts kā parādīts attēlā (uzzīmējām no ķermeņa masas centra, kas iespējams gadījumā, ja ķermeni var modelēt pēc materiāla punkta):
Otrs svarīgais jautājums, kas jārisina, ir tas, vai šī savienotā sistēma vispār kustēsies? Ko darīt, ja izrādīsies, ka berzes spēks starp kreiso slodzi un slīpo plakni būs tik liels, ka tas neļaus tai kustēties?
Šāda situācija būs iespējama gadījumā, ja maksimālais berzes spēks, kura moduli nosaka formula (šeit - berzes koeficients starp slodzi un slīpo plakni - atbalsta reakcijas spēks, kas iedarbojas uz slodzi no slīpās plaknes ), izrādās lielāks par spēku, kas mēģina iekustināt sistēmu. Tas ir, ļoti “pārsvarā” spēks, kas ir vienāds ar N.
Atbalsta reakcijas spēka modulis ir vienāds ar kājas garumu trijstūrī saskaņā ar Ņūtona 3. likumu (ar tādu pašu spēka lielumu slodze spiež uz slīpo plakni, ar tādu pašu spēku slīpā plakne iedarbojas uz slodze). Tas nozīmē, ka atbalsta reakcijas spēks ir vienāds ar N. Tad maksimālā berzes spēka vērtība ir N, kas ir mazāka par “nospiedošā spēka” vērtību.
Līdz ar to sistēma pārvietosies un pārvietosies ar paātrinājumu. Attēlos attēlosim šos paātrinājumus un koordinātu asis, kas mums būs nepieciešami vēlāk, risinot problēmu:
Tagad, pēc rūpīgas problēmas apstākļu analīzes, mēs esam gatavi sākt to risināt.
Pierakstīsim Ņūtona 2. likumu kreisajam ķermenim:
Un projekcijā uz koordinātu sistēmas asīm mēs iegūstam:
Šeit ar mīnusu tiek ņemtas projekcijas, kuru vektori ir vērsti pretēji atbilstošās koordinātu ass virzienam. Projekcijas, kuru vektori ir izlīdzināti ar atbilstošo koordinātu asi, tiek ņemtas ar plusu.
Vēlreiz mēs detalizēti paskaidrosim, kā atrast prognozes un . Lai to izdarītu, apsveriet taisnleņķa trīsstūri, kas parādīts attēlā. Šajā trīsstūrī 
Un 
. Ir arī zināms, ka šajā taisnleņķa trīsstūrī . Tad un.
Paātrinājuma vektors pilnībā atrodas uz ass, un tāpēc . Kā jau minējām iepriekš, pēc definīcijas berzes spēka modulis ir vienāds ar berzes koeficienta un atbalsta reakcijas spēka moduļa reizinājumu. Līdz ar to,. Tad sākotnējā vienādojumu sistēma iegūst šādu formu:
Tagad pierakstīsim Ņūtona 2. likumu pareizajam ķermenim:
Projekcijā uz asi mēs iegūstam.
Līdzīgi kā svira, slīpās plaknes samazina spēku, kas nepieciešams, lai paceltu ķermeņus. Piemēram, 45 kilogramus smagu betona bloku pacelt ar rokām ir diezgan grūti, bet vilkt uz augšu pa slīpu plakni ir pilnīgi iespējams. Ķermeņa svars, kas novietots uz slīpas plaknes, tiek sadalīts divās daļās, no kurām viena ir paralēla, bet otra perpendikulāra tās virsmai. Lai pārvietotu bloku uz augšu pa slīpu plakni, cilvēkam jāpārvar tikai paralēlā sastāvdaļa, kuras lielums palielinās, palielinoties plaknes slīpuma leņķim.
Slīpu plakņu dizains ir ļoti dažāds. Piemēram, skrūve sastāv no slīpas plaknes (vītnes), kas spirālē ap tās cilindrisko daļu. Kad detaļā ir ieskrūvēta skrūve, tās vītne iekļūst detaļas korpusā, veidojot ļoti spēcīgu savienojumu, pateicoties lielai berzei starp detaļu un vītnēm. Skrūves skrūves sviras darbību un rotācijas kustību pārvērš lineārā spiedes spēkā. Domkrats, ko izmanto smagu kravu celšanai, darbojas pēc tāda paša principa.
Spēki uz slīpas plaknes
Ķermenim, kas atrodas slīpā plaknē, gravitācijas spēks darbojas paralēli un perpendikulāri tā virsmai. Lai pārvietotu ķermeni uz augšu pa slīpu plakni, ir nepieciešams spēks, kas vienāds ar gravitācijas komponentu, kas ir paralēls plaknes virsmai.
Slīpas plaknes un skrūves
Attiecību starp skrūvi un slīpo plakni var viegli izsekot, ja aptiniet pa cilindru pa diagonāli sagrieztu papīra loksni. Iegūtā spirāle pēc atrašanās vietas ir identiska skrūves vītnei.
Spēki, kas iedarbojas uz dzenskrūvi
Griežot skrūvi, tās vītne rada ļoti lielu spēku, kas tiek pielikts tās daļas materiālam, kurā tā ir ieskrūvēta. Šis spēks velk dzenskrūvi uz priekšu, ja to pagriež pulksteņrādītāja virzienā, un atpakaļ, ja to pagriež pretēji pulksteņrādītāja virzienam.
Svara pacelšanas skrūve
Domkratu rotējošās skrūves rada milzīgu spēku, ļaujot tiem pacelt tik smagus priekšmetus kā automašīnas vai kravas automašīnas. Pagriežot centrālo skrūvi ar sviru, abi domkrata gali tiek savilkti kopā, radot nepieciešamo pacēlumu.
Slīpas plaknes sadalīšanai
Ķīlis sastāv no divām slīpām plaknēm, kas savienotas ar to pamatnēm. Iedurot ķīli kokā, slīpās plaknes rada sānu spēkus, kas ir pietiekami, lai sadalītu spēcīgākos zāģmateriālus.
Spēks un darbs
Lai gan slīpa plakne var atvieglot uzdevumu, tā nesamazina tā veikšanai nepieciešamo darba apjomu. 45 kg (W) smaga betona bloka pacelšana 9 metrus vertikāli uz augšu (tālā attēlā pa labi) prasa 45 x 9 kilogramus darba, kas atbilst bloka svara un kustības apjoma reizinājumam. Kad bloks atrodas 44,5° slīpā plaknē, spēks (F), kas nepieciešams, lai ievilktu bloku, tiek samazināts līdz 70 procentiem no tā svara. Lai gan tas atvieglo bloka pārvietošanu, tagad, lai bloku paceltu 9 metru augstumā, tas jāvelk pa 13 metru plakni. Citiem vārdiem sakot, spēka pieaugums ir vienāds ar pacēlāja augstumu (9 metri), kas dalīts ar kustības garumu pa slīpo plakni (13 metri).
Spēku projekcija. Kustība slīpā plaknē
Dinamikas problēmas.
Ņūtona I un II likumi.
Asu ievade un virziens.
Nekolineārie spēki.
Spēku projekcija uz asīm.
Vienādojumu sistēmu atrisināšana.
Tipiskākās problēmas dinamikā
Sāksim ar Ņūtona I un II likumiem.
Atvērsim fizikas mācību grāmatu un lasīsim to. Pirmais Ņūtona likums: pastāv tādas inerciālas atskaites sistēmas, kurās... Slēgsim šo pamācību, es arī nesaprotu. Labi, es jokoju, es saprotu, bet es paskaidrošu to vienkāršāk.
Pirmais Ņūtona likums: ja ķermenis stāv uz vietas vai kustas vienmērīgi (bez paātrinājuma), spēku summa, kas uz to iedarbojas, ir nulle.
Secinājums: ja ķermenis pārvietojas ar nemainīgu ātrumu vai stāv uz vietas, vektora spēku summa būs nulle.
Ņūtona II likums: ja ķermenis kustas vienmērīgi paātrināti vai vienmērīgi palēnināti (ar paātrinājumu), spēku summa, kas uz to iedarbojas, ir vienāda ar masas un paātrinājuma reizinājumu.
Secinājums: Ja ķermenis pārvietojas ar mainīgu ātrumu, tad to spēku vektora summa, kas kaut kādā veidā ietekmē šo ķermeni (vilces spēks, berzes spēks, gaisa pretestības spēks), ir vienāda ar šī ķermeņa masu, kas reizināta ar paātrinājumu.
Šajā gadījumā viens un tas pats ķermenis visbiežāk pārvietojas atšķirīgi (vienmērīgi vai ar paātrinājumu) dažādās asīs. Apskatīsim tikai šādu piemēru.
1. uzdevums. Nosakiet 600 kg smagas automašīnas riepu berzes koeficientu, ja dzinēja vilces spēks 4500 N izraisa paātrinājumu 5 m/s².
Šādās problēmās ir jāizveido zīmējums un jāparāda spēki, kas iedarbojas uz mašīnu:
Uz X ass: kustība ar paātrinājumu
Uz Y ass: nekādas kustības (šeit koordināte, kāda tā bija nulle, paliks nemainīga, mašīna nebrauc ne kalnos, ne lejā)
Tie spēki, kuru virziens sakrīt ar asu virzienu, būs pluss, pretējā gadījumā - mīnuss.
Pa X asi: vilces spēks ir vērsts pa labi, tāpat kā X asi, arī paātrinājums ir vērsts pa labi.
Ftr = μN, kur N ir atbalsta reakcijas spēks. Uz Y ass: N = mg, tad šajā uzdevumā Ftr = μmg.
Mēs to saņemam:
Berzes koeficients ir bezizmēra lielums. Tāpēc nav mērvienību.
Atbilde: 0,25
2. uzdevums. 5 kg smaga krava, kas piesaistīta bezsvara nestiepjamam pavedienam, tiek pacelta uz augšu ar paātrinājumu 3 m/s². Nosakiet vītnes spriegojumu.
Izveidosim zīmējumu un parādīsim spēkus, kas iedarbojas uz slodzi
T - vītnes spriegojuma spēks
Uz X ass: nav strāvas
Noskaidrosim spēku virzienu uz Y ass:
Izteiksim T (spriegojuma spēku) un aizvietosim skaitliskās vērtības:
Atbilde: 65 N
Vissvarīgākais ir neapjukt ar spēku virzienu (pa asi vai pret), viss pārējaisizveidojiet kalkulatoru vai ikviena iecienītāko kolonnu.
Ne vienmēr visi spēki, kas iedarbojas uz ķermeni, ir vērsti pa asīm.
Vienkāršs piemērs: zēns velk ragavas
Ja konstruēsim arī X un Y asis, tad spriegošanas (vilces) spēks neatradīsies ne uz vienu no asīm.
Lai projicētu vilces spēku uz asīm, atcerieties taisnleņķa trīsstūri.
Pretējās puses attiecība pret hipotenūzu ir sinusa.
Blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu ir kosinuss.
Vilces spēks uz Y ass - segments (vektors) BC.
Vilces spēks uz X ass ir segments (vektors) AC.
Ja tas nav skaidrs, skatiet 4. problēmu.
Jo garāka ir virve un attiecīgi mazāks leņķis α, jo vieglāk būs vilkt ragavas. Ideāli, ja virve ir paralēla zemei, jo spēks, kas iedarbojas uz X asi, ir Fнcosα. Kādā leņķī ir kosinusa maksimums? Jo lielāka ir šī kāja, jo spēcīgāks ir horizontālais spēks.
3. uzdevums. Bloks ir piekārts ar diviem pavedieniem. Pirmā spriegojuma spēks ir 34 N, otrais- 21Н, θ1 = 45°, θ2 = 60°. Atrodiet bloka masu.
Ieviesīsim asis un projicēsim spēkus:
Mēs iegūstam divus taisnleņķa trīsstūrus. Hipotenūzas AB un KL ir spriedzes spēki. LM un BC - projekcijas uz X ass, AC un KM - uz Y ass.
Atbilde: 4,22 kg
4. uzdevums. Bloks ar masu 5 kg (masa šajā uzdevumā nav vajadzīga, bet lai vienādojumos viss būtu zināms, ņemsim konkrētu vērtību) noslīd no plaknes, kas ir slīpa 45° leņķī, ar koeficientu berzes μ = 0,1. Atrodi bloka paātrinājumu?
Ja ir slīpa plakne, vislabāk ir virzīt asis (X un Y) ķermeņa kustības virzienā. Daži spēki šajā gadījumā (šeit tas ir mg) neatradīsies uz nevienas no asīm. Šis spēks jāprojicē tā, lai tam būtu tāds pats virziens kā ņemtajām asīm.
ΔABC šādās problēmās vienmēr ir līdzīgs ΔKOM (plaknes taisnā leņķī un slīpuma leņķī).
Apskatīsim tuvāk ΔKOM:
Mēs iegūstam, ka KO atrodas uz Y ass, un mg projekcija uz Y asi būs ar kosinusu. Un vektors MK ir kolineārs (paralēli) ar X asi, projekcija mg uz X asi būs ar sinusu, un vektors MK ir vērsts pret X asi (tas ir, tas būs ar mīnusu).
Neaizmirstiet, ka, ja ass un spēka virzieni nesakrīt, tas ir jāņem ar mīnusu!
No Y ass mēs izsakām N un aizstājam to X ass vienādojumā, mēs atrodam paātrinājumu:
Atbilde: 6,36 m/s²
Kā redzat, masu skaitītājā var izņemt no iekavām un samazināt ar saucēju. Tad tas nav jāzina, bez tā ir iespējams saņemt atbildi.
Jā jā, ideālos apstākļos (kad nav gaisa pretestības utt.) gan spalva, gan svars vienlaikus ripos (kritīs).
5. uzdevums. Autobuss slīd lejā no kalna 60° slīpumā ar paātrinājumu 8 m/s² un vilces spēku 8 kN. Berzes koeficients starp riepām un asfaltu ir 0,4. Atrodiet autobusa masu.
Izveidosim zīmējumu ar spēkiem:
Ieviesīsim X un Y asis uz asīm:
Uzrakstīsim Ņūtona otro likumu X un Y:
Atbilde: 6000 kg
6. uzdevums. Vilciens pārvietojas pa līkumu ar rādiusu 800 m ar ātrumu 72 km/h. Nosakiet, cik daudz ārējai sliedei jābūt augstākai par iekšējo. Attālums starp sliedēm ir 1,5 m.
Visgrūtākais ir saprast, kuri spēki kur darbojas un kā leņķis tos ietekmē.
Atcerieties, kad jūs braucat pa apli automašīnā vai autobusā, kur tas jūs spiež? Tāpēc ir vajadzīgs slīpums, lai vilciens nenokristu uz sāniem!
Stūris α norāda sliežu augstuma starpības attiecību pret attālumu starp tām (ja sliedes bija horizontālas)
Pierakstīsim, kādi spēki iedarbojas uz asi:
Paātrinājums šajā problēmā ir centripetāls!
Sadalīsim vienu vienādojumu ar citu:
Pieskares ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo pusi:
Atbilde: 7,5 cm
Kā noskaidrojām, šādu uzdevumu risināšana ir spēku virzienu sakārtošana, to projicēšana uz asīm un vienādojumu sistēmu atrisināšana, kas ir gandrīz sīkums.
Lai pastiprinātu materiālu, atrisiniet vairākas līdzīgas problēmas ar padomiem un atbildēm.
Mūsu gadījumā F n = m g, jo virsma ir horizontāla. Bet parastais spēks ne vienmēr pēc lieluma sakrīt ar gravitācijas spēku.
Normālais spēks ir mijiedarbības spēks starp saskarē esošo ķermeņu virsmām, jo lielāks tas ir, jo spēcīgāka ir berze.
Normālais spēks un berzes spēks ir proporcionāli viens otram:
F tr = μF n
0 < μ < 1 - berzes koeficients, kas raksturo virsmu raupjumu.
Pie μ=0 nav berzes (idealizēts gadījums)
Ja μ=1, maksimālais berzes spēks ir vienāds ar normālo spēku.
Berzes spēks nav atkarīgs no divu virsmu saskares laukuma (ja to masa nemainās).
Lūdzu, ņemiet vērā: Eq. F tr = μF n nav saistība starp vektoriem, jo tie ir vērsti dažādos virzienos: normālais spēks ir perpendikulārs virsmai, un berzes spēks ir paralēls.
1. Berzes veidi
Ir divu veidu berze: statisks Un kinētiskā.
Statiskā berze (statiskā berze) darbojas starp saskarē esošajiem ķermeņiem, kas atrodas miera stāvoklī viens pret otru. Statiskā berze notiek mikroskopiskā līmenī.
Kinētiskā berze (slīdošā berze) iedarbojas starp ķermeņiem, kas saskaras un pārvietojas viens pret otru. Kinētiskā berze izpaužas makroskopiskā līmenī.
Statiskā berze ir lielāka par kinētisko berzi tiem pašiem ķermeņiem, vai arī statiskās berzes koeficients ir lielāks par slīdēšanas berzes koeficientu.
Droši vien jūs to zināt no personīgās pieredzes: skapi ir ļoti grūti pārvietot, bet noturēt skapi kustībā ir daudz vieglāk. Tas izskaidrojams ar to, ka kustībā ķermeņu virsmām “nav laika” saskarties vienai ar otru mikroskopiskā līmenī.
1. uzdevums: kāds spēks nepieciešams, lai paceltu 1 kg smagu lodi pa slīpu plakni, kas atrodas leņķī α = 30° pret horizontāli. Berzes koeficients μ = 0,1
Mēs aprēķinām gravitācijas komponentu. Pirmkārt, mums ir jānoskaidro leņķis starp slīpo plakni un gravitācijas vektoru. Mēs jau esam veikuši līdzīgu procedūru, ņemot vērā gravitāciju. Bet atkārtošana ir mācīšanās māte :)
Smaguma spēks ir vērsts vertikāli uz leju. Jebkura trijstūra leņķu summa ir 180°. Apsveriet trīsstūri, ko veido trīs spēki: gravitācijas vektors; slīpa plakne; plaknes pamatne (attēlā tas ir iezīmēts sarkanā krāsā).
Leņķis starp gravitācijas vektoru un plaknes pamatni ir 90°.
Leņķis starp slīpo plakni un tās pamatni ir α
Tāpēc atlikušais leņķis ir leņķis starp slīpo plakni un gravitācijas vektoru:
180° - 90° - α = 90° - α
Smaguma komponentes slīpā plaknē:
F g slīpums = F g cos(90° - α) = mgsinα
Nepieciešamais spēks, lai paceltu bumbu:
F = F g ieskaitot + F berze = mgsinα + F berze
Ir nepieciešams noteikt berzes spēku F tr. Ņemot vērā statiskās berzes koeficientu:
Berzes F = μF norma
Aprēķiniet normālo spēku F normāls, kas ir vienāds ar gravitācijas komponentu, kas ir perpendikulāra slīpajai plaknei. Mēs jau zinām, ka leņķis starp gravitācijas vektoru un slīpo plakni ir 90° - α.
F norma = mgsin(90° - α) = mgcosα
F = mgsinα + μmgcosα
F = 1 9,8 sin30° + 0,1 1 9,8 cos30° = 4,9 + 0,85 = 5,75 N
Mums būs jāpieliek spēks 5,75 N uz lodi, lai to izripinātu līdz slīpās plaknes augšdaļai.
2. uzdevums: noteikt, cik tālu masas bumba ripos m = 1 kg pa horizontālu plakni, ripojot lejup pa slīpu garuma plakni 10 metri pie slīdēšanas berzes koeficienta μ = 0,05
Spēki, kas iedarbojas uz ripojošu lodi, ir parādīti attēlā.
Gravitācijas komponents pa slīpu plakni:
F g cos(90° - α) = mgsinα
Normāls spēks:
F n = mgsin(90° - α) = mgcos (90° - α)
Slīdes berzes spēks:
Berze F = μF n = μmgsin (90° - α) = μmgcosα
Iegūtais spēks:
F = F g - F berze = mgsinα - μmgcosα
F = 1 9,8 sin30° - 0,05 1 9,8 0,87 = 4,5 N
F = ma; a = F/m = 4,5/1 = 4,5 m/s 2
Nosakiet bumbiņas ātrumu slīpās plaknes galā:
V2 = 2as; V = 2as = 2 4,5 10 = 9,5 m/s
Bumba beidz kustību pa slīpu plakni un sāk kustēties pa horizontālu taisnu līniju ar ātrumu 9,5 m/s. Tagad horizontālā virzienā uz lodi iedarbojas tikai berzes spēks, un gravitācijas komponents ir nulle.
Kopējais spēks:
F = μF n = μF g = μmg = 0,05 1 9,8 = -0,49 N
Mīnusa zīme nozīmē, ka spēks ir vērsts pretējā virzienā no kustības. Mēs nosakām bumbiņas palēninājuma paātrinājumu:
a = F/m = -0,49/1 = -0,49 m/s 2
Bumbu bremzēšanas ceļš:
V 1 2 - V 0 2 = 2as; s = (V 1 2 - V 0 2)/2a
Tā kā mēs nosakām bumbiņas ceļu, līdz tā pilnībā apstājas, tad V 1 =0:
s = (-V 0 2)/2a = (-9,5 2)/2·(-0,49) = 92 m
Mūsu bumba taisnā līnijā aizripoja pat 92 metrus!