Punktu atrašanas uzdevumi krustojumos jebkuras figūras ir ideoloģiski primitīvas. Grūtības tajos ir tikai aritmētikas dēļ, jo tieši tajā tiek pieļautas dažādas drukas un kļūdas.

Instrukcija

1. Šī problēma tiek atrisināta analītiski, tāpēc ir atļauts vispār nezīmēt grafiku taisni un parabolas. Bieži vien tas dod milzīgu plusu piemēra risināšanā, jo uzdevumā var dot tādas funkcijas, ka tās ir vieglāk un ātrāk neuzzīmēt.

2. Saskaņā ar algebras mācību grāmatām parabolu uzrāda funkcija f(x)=ax^2+bx+c, kur a,b,c ir reāli skaitļi, un eksponents a ir labs nulle. Funkcija g(x)=kx+h, kur k,h ir reāli skaitļi, definē līniju plaknē.

3. Punkts krustojumos taisni un parabolas ir abu līkņu universālais punkts, tāpēc tajā esošajām funkcijām būs identiskas vērtības, t.i., f(x)=g(x). Šis apgalvojums ļauj uzrakstīt vienādojumu: ax^2+bx+c=kx+h, kas dos iespēju atrast daudz punktu krustojumos .

4. Vienādojumā ax^2+bx+c=kx+h visi termini jāpārvieto uz kreiso pusi un jāienes līdzīgi: ax^2+(b-k)x+c-h=0. Tagad atliek atrisināt iegūto kvadrātvienādojumu.

5. Visi atklātie “x” vēl nav uzdevuma rezultāts, jo plaknes punktu raksturo divi reāli skaitļi (x, y). Lai pilnībā pabeigtu risinājumu, ir jāaprēķina atbilstošās “spēles”. Lai to izdarītu, ir jāaizstāj “xes” vai nu funkcijā f (x) vai funkcijā g (x), punkta vietā. krustojumos pareizi: y=f(x)=g(x). Vēlāk jūs atradīsiet visus universālos parabolas punktus un taisni .

6. Lai konsolidētu materiālu, ir ļoti svarīgi redzēt risinājumu ar piemēru. Ļaujiet parabolu dot ar funkciju f(x)=x^2-3x+3, un taisni - g(x)=2x-3. Uzrakstiet vienādojumu f(x)=g(x), t.i., x^2-3x+3=2x-3. Pārnesot visus terminus uz kreiso pusi un pievienojot līdzīgus, jūs iegūstat: x^2-5x+6=0. Šīs saknes kvadrātvienādojums: x1=2, x2=3. Tagad atrodiet atbilstošos "spēlētājus": y1=g(x1)=1, y2=g(x2)=3. Tādējādi visi punkti ir atrasti krustojumos: (2,1) un (3,3).

punktu krustojumos taisnas līnijas var aptuveni noteikt pēc grafika. Tomēr bieži vien ir vajadzīgas precīzas šī punkta koordinātas, vai arī nav nepieciešams izveidot grafiku, tad ir iespējams atrast punktu krustojumos zinot tikai līniju vienādojumus.

Instrukcija

1. Ar vispārīgajiem taisnes vienādojumiem dotas divas taisnes: A1*x + B1*y + C1 = 0 un A2*x + B2*y + C2 = 0. Punkts krustojumos pieder vienai taisnei un otrai. Izsakām no pirmā taisnes x vienādojuma, iegūstam: x = -(B1*y + C1)/A1. Aizvietojiet iegūto vērtību otrajā vienādojumā: -A2*(B1*y + C1)/A1 + B2*y + C2 = 0 A1C2)/(A1B2 – A2B1). Aizvietojiet noteikto vērtību pirmās taisnes vienādojumā: A1*x + B1(A2C1 – A1C2)/(A1B2 – A2B1) + C1 = 0.A1(A1B2 – A2B1)*x + A2B1C1 – A1B1C2 + A1B2C1 – A2B1 = 0(A1B2 – A2B1)*x – B1C2 + B2C1 = 0 Tad x = (B1C2 – B2C1)/(A1B2 – A2B1).

2. IN skolas kurss matemātiķi, taisnas līnijas bieži dod vienādojums ar leņķisko eksponentu, apskatīsim šo gadījumu. Divas rindas dotas šādi: y1 = k1*x + b1 un y2 = k2*x + b2. Acīmredzot, punktā krustojumos y1 = y2, tad k1*x + b1 = k2*x + b2. Mēs to iegūstam punkta ordinātu krustojumos x = (b2 – b1)/(k1 – k2). Aizvietojiet x jebkurā taisnes vienādojumā un iegūstiet y = k1(b2 – b1)/(k1 – k2) + b1 = (k1b2 – b1k2)/(k1 – k2).

Saistītie video

Vienādojums parabolas ir kvadrātiskā funkcija. Šī vienādojuma sastādīšanai ir vairākas iespējas. Tas viss ir atkarīgs no tā, kādi parametri tiek parādīti problēmas stāvoklī.

Instrukcija

1. Parabola ir līkne, kas pēc formas atgādina loku un ir jaudas funkcijas grafiks. Neatkarīgi no tā, kādi salīdzinājumi ir parabolai, šī funkcija ir vienmērīga. Pāra funkcija ir tāda funkcija, ka visām argumenta vērtībām no definīcijas domēna, mainoties argumenta zīmei, vērtība nemainās: f (-x) \u003d f (x) Sāciet ar primitīvākā funkcija: y \u003d x ^ 2. No tā izskata var secināt, ka tas aug gan pareizajām, gan negatīvajām argumenta x vērtībām. Punkts, kurā x = 0 un tajā pašā laikā y = 0, tiek uzskatīts par funkcijas minimālo punktu.

2. Tālāk ir norādītas visas galvenās šīs funkcijas un tās vienādojuma konstruēšanas iespējas. Kā pirmais piemērs zemāk ir parādīta funkcija šādā formā: f(x)=x^2+a, kur a ir vesels skaitlis Lai attēlotu šīs funkcijas grafiku, ir jāpārvieto funkcijas f( x) ar vienībām. Piemērs ir funkcija y=x^2+3, kur y ass pārbīda funkciju uz augšu par divām vienībām. Ja tiek dota funkcija ar pretēju zīmi, teiksim y=x^2-3, tad tās grafiks tiek nobīdīts uz leju pa y asi.

3. Cita veida funkcija, kurai var piešķirt parabolu, ir f(x)=(x + a)^2. Šādos gadījumos grafiks, gluži pretēji, tiek nobīdīts pa abscisu (x-ass) par vienībām. Piemēram, ir atļauts ņemt vērā funkcijas: y=(x +4)^2 un y=(x-4)^2. Pirmajā gadījumā, ja ir funkcija ar plus zīmi, grafiks tiek pārvietots pa x asi pa kreisi, bet otrajā gadījumā - pa labi. Visi šie gadījumi ir parādīti attēlā.

4. Pastāv arī paraboliskās atkarības formā y=x^4. Šādos gadījumos x=const, un y strauji palielinās. Tomēr tas attiecas tikai uz pāra funkcijām. Grafiki parabolas bieži sastopamas fiziskās problēmās, piemēram, ķermeņa lidojums apraksta parabolai līdzīgu līniju. Skatīt arī parabolas ir priekšējo lukturu atstarotāja, lampas garengriezums. Atšķirībā no sinusoidāla viļņa šis grafiks ir neperiodisks un progresīvs.

4. padoms. Kā noteikt līnijas un plaknes krustošanās punktu

Šis uzdevums ir izveidot punktu krustojumos taisni ar plakni ir klasika inženiergrafikas kursā un tiek veikta, izmantojot aprakstošās ģeometrijas metodes un to grafisko risinājumu zīmējumā.

Instrukcija

1. Apsveriet punkta definīciju krustojumos taisni ar privātas atrašanās vietas plakni (1. attēls).Taisne l krusto frontālās projekcijas plakni?. Norādiet tos krustojumos K pieder un taisni un plakne, tātad K2 kopējā projekcija atrodas uz?2 un l2. Tas ir, K2= l2??2, un tā horizontālā projekcija K1 tiek noteikta uz l1, izmantojot projekcijas savienojuma līniju.Tādējādi vēlamais punkts krustojumos K(K2K1) tiek konstruēts brīvi, neizmantojot palīgplaknes. Punkti tiek definēti līdzīgi krustojumos taisni ar visādām privātajām lidmašīnām.

2. Apsveriet punkta definīciju krustojumos taisni ar vispārējo plakni. 2. attēlā ir dota patvaļīgi izvietota plakne telpā? un taisna līnija l. Lai definētu punktu krustojumos taisni ar vispārējo izvietojuma plakni, tiek izmantota papildu griešanas plakņu metode šādā secībā:

3. Caur taisni l? tiek novilkta papildu griešanas plakne. Lai atvieglotu būvniecību, šī būs izvirzītā plakne.

5. Punkts K ir atzīmēts krustojumos taisni l un izbūvētā līnija krustojumos MN. Viņa ir vēlamais punkts krustojumos taisni un lidmašīnas.

6. Pielietosim šo noteikumu, lai atrisinātu konkrētu problēmu kompleksā zīmējumā.Piemērs. Definējiet punktu krustojumos taisni l ar vispārējās atrašanās vietas plakni, kas norādīta ar trijstūri ABC (3. attēls).

7. Caur taisni l, kas ir perpendikulāra projekcijas plaknei, tiek novilkta palīgplakne?2. Tā projekcija?2 sakrīt ar projekciju taisni l2.

8. MN līnija ir būvniecības stadijā. Lidmašīna? krusto AB punktā M. Tā kopējā projekcija M2= ?2?A2B2 un horizontālā M1 uz A1B1 ir atzīmēta pa projekcijas savienojuma līniju.Plakne? šķērso malu AC punktā N. Tās kopējā projekcija ir N2=?2?A2C2, N1 horizontālā projekcija uz A1C1. Taisne MN pieder abām plaknēm vienlaikus un līdz ar to ir to taisne krustojumos .

9. Tiek noteikts punkts K1 krustojumos l1 un M1N1, pēc tam punkts K2 tiek būvēts ar sakaru līnijas atbalstu. Izrādās, ka K1 un K2 ir vēlamā punkta projekcijas krustojumos K taisni l un lidmašīnas? ABC:K(K1K2)=l(l1l2)? ? ABC(A1B1C1, A2B2C2). Redzamību nosaka, izmantojot konkurējošus punktus M,1 un 2,3 taisni l par konkrētu lidmašīnu? ABC.

Saistītie video

Piezīme!
Risinot problēmu, izmantojiet palīgplakni.

Noderīgs padoms
Veiciet aprēķinus, izmantojot detalizētus rasējumus, kas atbilst problēmas prasībām. Tas palīdzēs ātri orientēties risinājumā.

Divas taisnes, ja tās nav paralēlas un nesakrīt, stingri krustojas vienā punktā. Atrast šīs vietas koordinātas nozīmē aprēķināt punktus krustojumos tiešā veidā. Divas krustojošas līnijas vienmēr atrodas vienā plaknē, tāpēc pietiek ar to saskatīt Dekarta plaknē. Apskatīsim piemēru, kā atrast universālo līniju punktu.

Instrukcija

1. Ņemiet 2 līniju vienādojumus, atceroties, ka taisnes vienādojums Dekarta koordinātu sistēmā, līnijas vienādojums izskatās kā ax + y + c \u003d 0, un a, b, c ir parastie skaitļi, un x un y. ir punktu koordinātas. Piemēram, atrast punktus krustojumos taisnes 4x+3y-6=0 un 2x+y-4=0. Lai to izdarītu, atrodiet šo 2 vienādojumu sistēmas risinājumu.

2. Lai atrisinātu vienādojumu sistēmu, mainiet jebkuru vienādojumu tā, lai pirms y būtu identisks eksponents. Jo vienā vienādojumā eksponents y priekšā ir 1, tad primitīvi reiziniet šo vienādojumu ar skaitli 3 (citā vienādojumā eksponents y priekšā). Lai to izdarītu, reiziniet katru vienādojuma elementu ar 3: (2x * 3) + (y * 3) - (4 * 3) \u003d (0 * 3) un iegūstiet parastu vienādojumu 6x + 3y-12 \u003d 0 . Ja eksponenti y priekšā būtu brīnišķīgi no vienotības abos vienādojumos, abas vienādības būtu jāreizina.

3. Atņemiet otru no viena vienādojuma. Lai to izdarītu, no vienas kreisās puses atņemiet otras kreiso pusi un dariet to pašu ar labo. Iegūstiet šo izteiksmi: (4x + 3y-6) - (6x + 3y-12) \u003d 0-0. Tā kā iekavas priekšā ir zīme “-”, nomainiet visas iekavās esošās zīmes uz pretējām. Iegūstiet šo izteiksmi: 4x + 3y-6 - 6x-3y + 12 = 0. Vienkāršojiet izteiksmi, un jūs redzēsiet, ka mainīgais y ir pazudis. Jaunais vienādojums izskatās šādi: -2x+6=0. Pārnesiet skaitli 6 uz citu vienādojuma daļu un no iegūtās vienādības -2x \u003d -6 izsakiet x: x \u003d (-6) / (-2). Tātad jums ir x=3.

4. Aizstājiet vērtību x=3 jebkurā vienādojumā, teiksim, otrajā un iegūstiet šādu izteiksmi: (2 * 3) + y-4 = 0. Vienkāršojiet un izsakiet y: y=4-6=-2.

5. Ierakstiet iegūtās x un y vērtības kā koordinātas punktus(3;-2). Tie būs problēmas risinājums. Pārbaudiet vērtību, kas iegūta, aizstājot abos vienādojumos.

6. Ja taisnes nav dotas kā vienādojumi, bet ir dotas primitīvi uz plaknes, atrodiet koordinātas punktus krustojumos grafiski. Lai to izdarītu, pagariniet līnijas tā, lai tās krustotos, pēc tam nolaidiet perpendikulus uz x un y asīm. Perpendikulu krustpunkts ar x un y asīm būs tā koordinātas punktus, paskatieties uz attēlu un jūs redzēsiet, ka koordinātas punktus krustojumos x \u003d 3 un y \u003d -2, tas ir, punkts (3; -2) ir problēmas risinājums.

Saistītie video

Parabola ir otrās kārtas plaknes līkne, kuras kanoniskais vienādojums Dekarta koordinātu sistēmā ir y?=2px. Kur p ir parabolas fokusa parametrs, kas vienāds ar attālumu no fiksēta punkta F, ko sauc par fokusu, līdz fiksētai līnijai D tajā pašā plaknē, ko sauc par virzienu. Šādas parabolas virsotne iet caur koordinātu priekšvārdu, un pati līkne ir simetriska pret abscisu asi Ox. Skolas algebras kursā pieņemts uzskatīt parabolu, kuras simetrijas ass sakrīt ar ordinātu asi Oy: x?=2py. Un vienādojums ir uzrakstīts nedaudz pretēji: y=ax?+bx+c, a=1/(2p). Parabolu var uzzīmēt ar vairākām metodēm, kuras nosacīti var saukt par algebrisko un ģeometrisko.

Instrukcija

1. Parabolas algebriskā uzbūve Noskaidro parabolas virsotnes koordinātas. Aprēķiniet koordinātu pa Ox asi, izmantojot formulu: x0=-b/(2a), un pa Oy asi: y0=-(b?-4ac)/4a vai aizstājiet iegūto x0 vērtību parabolas y0 vienādojumā. =ax0?+bx0+c un aprēķiniet vērtību.

2. Uz koordinātu plaknes izveidojiet parabolas simetrijas asi. Tās formula sakrīt ar parabolas virsotnes x0 koordinātes formulu: x=-b/(2a). Nosakiet, kur rāda parabolas zari. Ja a>0, tad asis ir vērstas uz augšu, ja a

3. Ņemiet patvaļīgi 2-3 parametra x vērtības, lai: x0

4. Novietojiet punktus 1', 2' un 3' tā, lai tie būtu simetriski pret punktiem 1, 2, 3 ap simetrijas asi.

5. Apvienojiet punktus 1', 2', 3', 0, 1, 2, 3 ar gludu slīpu līniju. Turpiniet līniju uz augšu vai uz leju atkarībā no parabolas virziena. Parabola ir uzbūvēta.

6. Parabolas ģeometriskā konstrukcija. Šīs metodes pamatā ir parabolas kā punktu kopienas definīcija, kas atrodas vienādā attālumā gan no fokusa F, gan no virziena D. Tāpēc vispirms atrodiet dotās parabolas fokusa parametru p=1/(2a).

7. Konstruējiet parabolas simetrijas asi, kā aprakstīts 2. darbībā. Uz tā novietojiet punktu F ar koordinātu pa Oy asi, kas vienāda ar y \u003d p / 2, un punktu D ar koordinātu y \u003d -p / 2.

8. Izmantojot kvadrātu, izveidojiet taisni, kas iet caur punktu D, perpendikulāri parabolas simetrijas asij. Šī līnija ir parabolas virziens.

9. Paņemiet pavedienu garumā, kas vienāds ar vienu no kvadrāta kājām. Nostipriniet vienu vītnes galu ar pogu kvadrāta augšpusē, kuram piekļaujas šī kāja, un 2. galu parabolas fokusā punktā F. Novietojiet lineālu tā, lai tā augšējā mala sakristu ar virzienu D. Novietojiet kvadrāts uz lineāla, brīvs no pogas ar kāju .

10. Iestatiet zīmuli tā, lai tas ar tā galu piespiestu vītni pie kvadrāta kājas. Pārvietojiet kvadrātu gar lineālu. Zīmulis uzzīmēs jums nepieciešamo parabolu.

Saistītie video

Piezīme!
Nevelciet parabolas augšdaļu kā leņķi. Tās zari saplūst viens ar otru, vienmērīgi noapaļojot.

Noderīgs padoms
Konstruējot parabolu ar ģeometrisko metodi, pārliecinieties, ka vītne vienmēr ir nostiepta.

Pirms turpināt meklēt funkcijas uzvedību, ir jānosaka aplūkojamo daudzumu metamorfozes apgabals. Pieņemsim, ka mainīgie attiecas uz reālo skaitļu kopu.

Instrukcija

1. Funkcija ir mainīgais, kas ir atkarīgs no argumenta vērtības. Arguments ir neatkarīgs mainīgais. Argumenta izmaiņu robežas tiek sauktas par iespējamo vērtību domēnu (ROV). Funkcijas uzvedība tiek aplūkota ODZ ietvaros, jo šajās robežās savienojums starp diviem mainīgajiem nav haotisks, bet atbilst noteiktiem noteikumiem un to var uzrakstīt kā matemātisku izteiksmi.

2. Apskatīsim patvaļīgu funkcionālo savienojamību F=?(x), kur? ir matemātiska izteiksme. Funkcijai var būt krustošanās punkti ar koordinātu asīm vai citām funkcijām.

3. Funkcijas krustpunktos ar x asi funkcija kļūst vienāda ar nulli: F(x)=0. Atrisiniet šo vienādojumu. Jūs iegūsit dotās funkcijas krustošanās punktu koordinātas ar OX asi. Šādu punktu būs tik daudz, cik vienādojuma sakņu noteiktā argumenta metamorfozes sadaļā.

4. Funkcijas krustpunktos ar y asi argumenta vērtība ir nulle. Līdz ar to problēma pārvēršas par funkcijas vērtības atrašanu pie x=0. Funkcijas krustpunktu ar OY asi būs tik daudz, cik ir dotās funkcijas vērtību ar nulles argumentu.

5. Lai atrastu dotās funkcijas krustpunktus ar citu funkciju, jāatrisina vienādojumu sistēma: F=?(x)W=?(x). , krustošanās punkti, ar kuriem jāatklāj dotā funkcija. Acīmredzot krustošanās punktos abām funkcijām ir vienādas vērtības vienādām argumentu vērtībām. 2 funkcijām būs tik daudz universālu punktu, cik vienādojumu sistēmas risinājumu noteiktā argumentu izmaiņu jomā.

Saistītie video

Krustošanās punktos funkcijām ir vienādas vērtības identiskajai argumenta vērtībai. Atrast funkciju krustošanās punktus nozīmē noteikt punktu koordinātas, kas ir universālas krustošanās funkcijām.

Instrukcija

1. Kopumā viena argumenta Y=F(x) un Y?=F?(x) funkciju krustošanās punktu atrašanas problēma XOY plaknē tiek reducēta līdz vienādojuma Y= Y? atrisināšanai no tā, ka pie a. universālajā punktā funkcijām ir vienādas vērtības. X vērtības, kas apmierina vienādību F(x)=F?(x), (ja tādas pastāv), ir doto funkciju krustošanās punktu abscises.

2. Ja funkcijas ir dotas ar vienkāršu matemātisku izteiksmi un ir atkarīgas no viena argumenta x, tad krustpunktu atrašanas problēmu var atrisināt grafiski. Uzzīmējiet funkciju grafikus. Nosakiet krustošanās punktus ar koordinātu asīm (x=0, y=0). Iestatiet vēl dažas argumentu vērtības, atrodiet atbilstošās funkciju vērtības, pievienojiet iegūtos punktus grafikiem. Jo vairāk punktu tiks izmantots grafikā, jo precīzāks būs grafiks.

3. Ja funkciju grafiki krustojas, no zīmējuma nosaka krustošanās punktu koordinātas. Lai pārbaudītu, aizstājiet šīs koordinātas formulās, kas nosaka funkcijas. Ja matemātiskās izteiksmes izrādās objektīvas, krustošanās punkti tiek atrasti pozitīvi. Ja funkciju diagrammas nekrustojas, mēģiniet mainīt mērogu. Veiciet lielāku soli starp konstrukcijas punktiem, lai noteiktu, kurā skaitliskās plaknes daļā saplūst grafiku līnijas. Pēc tam noteiktajā krustojuma posmā izveidojiet detalizētāku grafiku ar smalku soli, lai precīzi noteiktu krustojuma punktu koordinātas.

4. Ja nepieciešams atrast funkciju krustpunktus nevis plaknē, bet trīsdimensiju telpā, var redzēt 2 mainīgo funkcijas: Z=F(x,y) un Z?=F?(x) ,y). Lai noteiktu funkciju krustošanās punktu koordinātas, ir jāatrisina vienādojumu sistēma ar diviem nezināmiem x un y pie Z= Z?.

Saistītie video

Tātad kvadrātfunkcijas grafika galvenie parametri ir parādīti attēlā:

Apsveriet vairāki veidi, kā izveidot kvadrātveida parabolu. Atkarībā no tā, kā tiek dota kvadrātiskā funkcija, varat izvēlēties ērtāko.

1 . Funkciju uzrāda formula .

Apsveriet vispārīgs algoritms kvadrātiskā parabola grafika zīmēšanai funkcijas grafika attēlošanas piemērā

1 . Parabolas zaru virziens.

Tā kā parabolas zari ir vērsti uz augšu.

2 . Atrodiet kvadrātveida trinoma diskriminantu

Kvadrātveida trinoma diskriminants ir lielāks par nulli, tāpēc parabolai ir divi krustošanās punkti ar OX asi.

Lai atrastu to koordinātas, mēs atrisinām vienādojumu:

,

3 . Parabolas virsotņu koordinātas:

4 . Parabolas krustpunkts ar asi OY: (0;-5), un tas ir simetrisks pret parabolas simetrijas asi.

Novietosim šos punktus koordinātu plaknē un savienosim tos ar gludu līkni:

Šo metodi var nedaudz vienkāršot.

1. Atrodiet parabolas virsotnes koordinātas.

2. Atrodiet to punktu koordinātas, kas atrodas pa labi un pa kreisi no virsotnes.

Izmantosim funkcijas grafika uzzīmēšanas rezultātus

Parabolas virsotnes

Punktiem, kas atrodas vistuvāk augšai, kas atrodas pa kreisi no augšas, ir attiecīgi abscises -1; -2; -3

Augšpusei tuvākajos punktos, kas atrodas labajā pusē, ir attiecīgi abscises 0; 1; 2

Funkcijas vienādojumā aizstājiet x vērtības, atrodiet šo punktu ordinātas un ievietojiet tās tabulā:

Noliksim šos punktus koordinātu plaknē un savienosim ar gludu līniju:

2 . Kvadrātfunkcijas vienādojumam ir forma - šajā vienādojumā - parabolas virsotnes koordinātas

vai kvadrātfunkcijas vienādojumā , un otrais koeficients ir pāra skaitlis.

Piemēram, izveidosim funkcijas grafiku .

Atsaukt funkciju grafiku lineārās transformācijas. Lai attēlotu funkciju , vajag

§ vispirms attēlojiet funkciju,

§ pēc tam reiziniet visus grafika punktus ar 2,

§ pēc tam pabīdiet to pa OX asi par 1 vienību pa labi,

§ un pēc tam pa OY asi 4 vienības uz augšu:

Tagad apskatīsim funkcijas diagrammu . Šīs funkcijas vienādojumā otrais koeficients ir pāra skaitlis.