Gia kvadrātvienādojumi. Izglītības projekts "vienādojumi uzdevumos oge"

Toilonovs Argymai un Toilonovs Erkijs

gadā iegūtā matemātikas izglītība vispārizglītojošā skola, ir būtiska vispārējās izglītības un mūsdienu cilvēka vispārējās kultūras sastāvdaļa. Gandrīz viss, kas ieskauj mūsdienu cilvēku, ir vienā vai otrā veidā saistīts ar matemātiku. Un jaunākie sasniegumi fizikā, inženierzinātnēs un informācijas tehnoloģijās neatstāj šaubas, ka arī turpmāk situācija paliks tāda pati. Tāpēc daudzu praktisku problēmu risināšana tiek reducēta uz dažāda veida vienādojumu risināšanu, kuru risināšana ir jāiemācās.

Un kopš 2013. gada atestācija matemātikā pamatskolas beigās tiek veikta OGE veidā. Tāpat kā vienotais valsts eksāmens, arī OGE ir paredzēts, lai veiktu sertifikāciju ne tikai algebrā, bet arī visā matemātikas kursā galvenajā skolā.

Lauvas tiesa uzdevumu vienā vai otrā veidā ir vienādojumu un to atrisinājumu sastādīšana. Lai turpinātu šīs tēmas izpēti, mums bija jāatbild uz jautājumiem: “Kāda veida vienādojumi ir atrodami OGE uzdevumos? ” un “Kādi ir veidi, kā atrisināt šos vienādojumus?”

Tādējādi ir nepieciešams izpētīt visu veidu vienādojumus, kas ir atrodami OGE uzdevumos. Viss iepriekš minētais definē

mērķis darbs ir pabeigt visu veidu vienādojumus, kas atrodami OGE uzdevumos, pēc veidiem un analizēt galvenos šo vienādojumu risināšanas veidus.

Lai sasniegtu šo mērķi, esam izvirzījuši sekojošo uzdevumi:

1) Apgūt pamatresursus, lai sagatavotos galvenajiem valsts eksāmeniem.

2) Aizpildiet visus vienādojumus pēc veida.

3) Analizēt šo vienādojumu risināšanas veidus.

4) Sastādiet kolekciju ar visu veidu vienādojumiem un to risināšanas veidiem.

Pētījuma objekts: vienādojumi.

Studiju priekšmets: vienādojumi OGE uzdevumos.

Lejupielādēt:

Priekšskatījums:

Pašvaldības budžeta izglītības iestāde

"Čibit vidusskola"

IZGLĪTĪBAS PROJEKTS:

"VIENĀDĀJUMI OGE UZDEVUMOS"

Toilonovs Erkijs

8. klases skolēni

Darba vadītāja: Toylonova Nadežda Vladimirovna, matemātikas skolotāja.

Projekta īstenošanas grafiks:

no 13.12.2017 līdz 13.02. 2018. gads

Ievads ………………………………………………………………..
Vēstures atsauce ………………………………………………………
1. nodaļa Vienādojumu atrisināšana ……………………………………………
1.1 Lineāro vienādojumu atrisināšana ……………………………………
1.2 Kvadrātvienādojumi ……………………………………………
1.2.1. Nepilnīgi kvadrātvienādojumi …………………………………	9-11
1.2.2. Pilni kvadrātvienādojumi ……………………………………	11-14
1.2.3. Īpašas kvadrātvienādojumu risināšanas metodes …………….	14-15
1.3. Racionālie vienādojumi …………………………………………….	15-17
2. nodaļa Kompleksie vienādojumi …………………………………………….	18-24
Secinājumi ……………………………………………………………………
Izmantotās literatūras saraksts ……………………………………
1. papildinājums "Lineārie vienādojumi" ……………………………….	26-27
2. papildinājums "Nepilnīgi kvadrātvienādojumi" …………………	28-30
3. papildinājums "Pilnīgi kvadrātvienādojumi" ……………………	31-33
4. papildinājums "Racionālie vienādojumi" ………………………….	34-35
5. papildinājums "Kompleksie vienādojumi" …………………………………..	36-40

IEVADS

Vispārizglītojošā skolā iegūtā matemātiskā izglītība ir būtiska vispārējās izglītības un mūsdienu cilvēka vispārējās kultūras sastāvdaļa. Gandrīz viss, kas ieskauj mūsdienu cilvēku, ir vienā vai otrā veidā saistīts ar matemātiku. Un jaunākie sasniegumi fizikā, inženierzinātnēs un informācijas tehnoloģijās neatstāj šaubas, ka arī turpmāk situācija paliks tāda pati. Tāpēc daudzu praktisku problēmu risināšana tiek reducēta uz dažāda veida vienādojumu risināšanu, kuru risināšana ir jāiemācās.

Tādējādi ir nepieciešams izpētīt visu veidu vienādojumus, kas ir atrodami OGE uzdevumos. Viss iepriekš minētais definēveiktā darba problēmas atbilstība.

mērķis darbs ir pabeigt visu veidu vienādojumus, kas atrodami OGE uzdevumos, pēc veidiem un analizēt galvenos šo vienādojumu risināšanas veidus.

Lai sasniegtu šo mērķi, esam izvirzījuši sekojošo uzdevumi:

1) Apgūt pamatresursus, lai sagatavotos galvenajiem valsts eksāmeniem.

2) Aizpildiet visus vienādojumus pēc veida.

3) Analizēt šo vienādojumu risināšanas veidus.

4) Sastādiet kolekciju ar visu veidu vienādojumiem un to risināšanas veidiem.

Pētījuma objekts: vienādojumi.

Studiju priekšmets:vienādojumi OGE uzdevumos.

Projekta darba plāns:

Projekta tēmas formulēšana.
Materiālu atlase no oficiāliem avotiem par konkrēto tēmu.
Informācijas apstrāde un sistematizācija.
Projekta īstenošana.
Projekta projektēšana.
Projekta aizsardzība.

Problēma : padziļiniet savu izpratni par vienādojumiem. Parādiet galvenās metodes vienādojumu risināšanai, kas parādīti OGE uzdevumos pirmajā un otrajā daļā.

Šis darbs ir mēģinājums vispārināt un sistematizēt pētīto materiālu un pētīt jaunus. Projektā ietilpst: lineāri vienādojumi ar terminu pārnešanu no vienas vienādojuma daļas uz otru un izmantojot vienādojumu īpašības, kā arī ar vienādojumu risinātās problēmas, visa veida kvadrātvienādojumus un racionālu vienādojumu risināšanas metodes.

Matemātika... atklāj kārtību, simetriju un noteiktību,

un šie ir vissvarīgākie skaistuma veidi.

Aristotelis.

Vēstures atsauce

Tajos tālajos laikos, kad gudrie vispirms sāka domāt par vienādībām, kas satur nezināmus daudzumus, iespējams, vēl nebija ne monētu, ne maku. Bet, no otras puses, bija kaudzes, kā arī podi, grozi, kas bija lieliski piemēroti kešatmiņu-veikalu lomai, kurā bija nezināms preču skaits. "Mēs meklējam kaudzi, kas kopā ar divām trešdaļām no tās pusi un vienu septīto daļu ir 37 ...", II tūkstošgadē pirms mūsu ēras mācīja ēģiptiešu rakstvedis Ahmess. Senajās Mezopotāmijas, Indijas, Ķīnas, Grieķijas matemātikas problēmās nezināmi daudzumi izteica pāvu skaitu dārzā, buļļu skaitu ganāmpulkā, lietu kopumu, kas ņemts vērā, sadalot īpašumu. Rakstu mācītāji, ierēdņi un priesteri, kas bija iesākti slepenajās zināšanās, labi apmācīti skaitīšanas zinātnē, ar šādiem uzdevumiem tika galā diezgan veiksmīgi.

Avoti, kas nonākuši līdz mums, liecina, ka seno zinātnieku rīcībā bija dažas vispārīgas metodes problēmu risināšanai ar nezināmiem daudzumiem. Taču ne viens vien papiruss, ne viena māla plāksne nedod šo paņēmienu aprakstu. Autori tikai reizēm sniedza savus skaitliskos aprēķinus ar tādiem rupjiem komentāriem kā: "Skaties!", "Izdari to!", "Jūs atradāt pareizi." Šajā ziņā izņēmums ir grieķu matemātiķa Aleksandrijas Diofanta (III gs.) "Aritmētika" - vienādojumu sastādīšanas uzdevumu kopums ar sistemātisku to risinājumu izklāstu.

Tomēr 9. gadsimta Bagdādes zinātnieka darbs kļuva par pirmo problēmu risināšanas rokasgrāmatu, kas kļuva plaši pazīstama. Muhameds bin Musa al Khwarizmi. Vārds "al-jabr" no šī traktāta arābu nosaukuma - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Restaurācijas un kontrastēšanas grāmata") - laika gaitā pārvērtās par vārdu "algebra", kas ir labi zināms visiem, un pats al-Khwarizmi darbs kalpoja par sākumpunktu vienādojumu risināšanas zinātnes attīstībā.

Tātad, kas ir vienādojums?

Tiesībās ir vienādojums, laika vienādojums (tulkojot patieso saules laiku vidējā saules laiks pieņemts hostelī un zinātnē; aster) utt.

Matemātikā ir matemātisks vienādojums, kas satur vienu vai vairākus nezināmus lielumus un paliek spēkā tikai noteiktām šo nezināmo lielumu vērtībām.

Vienādojumos ar vienu mainīgo nezināmo parasti apzīmē ar burtu " X". Vērtība "x , kas atbilst šiem nosacījumiem, sauc par vienādojuma sakni.

Vienādojumi ir dažādi. sugas :

cirvis + b = 0. - Lineārais vienādojums.
ax 2 + bx + c = 0. - Kvadrātvienādojums.
ax 4 + bx 2 + c = 0. - Bikvadrātiskais vienādojums.

– Racionālais vienādojums.

– Iracionāls vienādojums.
Ir tādivienādojumu risināšanas veidi kā: algebriskā, aritmētiskā un ģeometriskā. Apsveriet algebrisko veidu.

atrisināt vienādojumuir atrast tādas x vērtības, kuras, aizstājot sākotnējā izteiksmē, dos mums pareizo vienādību vai pierādīs, ka risinājumu nav. Vienādojumu risināšana, lai arī cik sarežģīta, ir aizraujoša. Galu galā ir patiešām pārsteidzoši, ja vesela skaitļu plūsma ir atkarīga no viena nezināma skaitļa.

Vienādojumos, lai atrastu nezināmo, ir jāpārveido un jāvienkāršo sākotnējā izteiksme. Un tā, lai, mainot izskatu, nemainītos izteiksmes būtība. Šādas transformācijas sauc par identiskām vai līdzvērtīgām.

1. nodaļa Vienādojumu atrisināšana

1.1 Lineāro vienādojumu risināšana.

Tagad apskatīsim lineāro vienādojumu risinājumus. Atcerieties, ka formas vienādojumssauc par lineāro vienādojumu vai pirmās pakāpes vienādojumu, jo ar mainīgo " X » augstākā pakāpe ir pirmajā pakāpē.

Lineārā vienādojuma risinājums ir ļoti vienkāršs:

1. piemērs. Atrisiniet 3. vienādojumu x+3=5x

Lineārais vienādojums tiek atrisināts ar metodi, kad vienādības zīmes kreisajā pusē tiek pārnesti termini, kas satur nezināmus, bet vienādības zīmes labajā pusē brīvos koeficientus:

3 x – 5 x = – 3

2x=-3

x=1,5

Tiek saukta mainīgā lieluma vērtība, kas vienādojumu pārvērš patiesā vienādībā vienādojuma sakne.

Pēc pārbaudes mēs iegūstam:

Tātad 1,5 ir vienādojuma sakne.

Atbilde: 1.5.

Vienādojumu atrisināšana, pārnesot terminus no vienas vienādojuma daļas uz citu, kamēr terminu zīme mainās uz pretējo un tiek piemērotaīpašības vienādojumi - abas vienādojuma daļas var reizināt (dalīt) ar vienu un to pašu skaitli vai izteiksmi, kas nav nulles, var ņemt vērā, risinot turpmākos vienādojumus.

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumus:

a) 6 x +1=− 4 x ; b) 8 + 7 x \u003d 9 x +4; c) 4 (x - 8) = - 5.

Risinājums.

a) Ar pārsūtīšanas metodi mēs atrisinām

6x + 4x = -1;

10x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0,1.

Pārbaude:

Atbilde: -0,1

b) Līdzīgi kā iepriekšējā piemērā, mēs atrisinām ar pārsūtīšanas metodi:

Atbilde: 2.

c) Šajā vienādojumā ir jāatver iekavas, piemērojot reizināšanas sadales īpašību attiecībā uz saskaitīšanas darbību.

Atbilde: 6.75.

1.2 Kvadrātvienādojumi

Tipa vienādojums sauc par kvadrātvienādojumu, kur a - senioru koeficients, b ir vidējais koeficients, c ir brīvais termins.

Atkarībā no koeficientiem a, b un c - vienādojums var būt pilnīgs vai nepilnīgs, samazināts vai nesamazināts.

1.2.1. Nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Apsveriet veidus, kā atrisināt nepilnīgus kvadrātvienādojumus:

1) Sāksim nodarboties ar pirmā veida nepilnīgo kvadrātvienādojumu atrisināšanu priekš c=0 . Formas nepilnīgi kvadrātvienādojumi a x 2 +b x=0 ļauj atrisinātfaktorizācijas metode. Jo īpaši iekavu metode.

Acīmredzot mēs varam, kas atrodas vienādojuma kreisajā pusē, kam pietiek ar kopējo koeficientu izņemt no iekavām x . Tas ļauj pāriet no sākotnējā nepilnīgā kvadrātvienādojuma uz līdzvērtīgu formas vienādojumu: x·(a·x+b)=0 .

Un šis vienādojums ir līdzvērtīgs divu vienādojumu kombinācijai x=0 vai a x+b=0 , no kuriem pēdējais ir lineārs un tam ir sakne x=− .

a x 2 +b x=0 ir divas saknes

x=0 un x=− .

2) Tagad apsveriet, kā tiek atrisināti nepilnīgi kvadrātvienādojumi, kuros koeficients b ir nulle un c≠0 , tas ir, formas vienādojumi a x 2 +c=0 . Mēs zinām, ka vārda pārnešana no vienādojuma vienas puses uz otru ar pretēju zīmi, kā arī vienādojuma abu pušu dalīšana ar skaitli, kas nav nulle, dod līdzvērtīgu vienādojumu. Tāpēc mēs varam veikt šādas līdzvērtīgas nepilnīgā kvadrātvienādojuma transformācijas a x 2 + c=0 :

pārvietot c labajā pusē, kas dod vienādojumu a x 2 =-c ,
un sadaliet abas daļas a , mēs saņemam.

Iegūtais vienādojums ļauj izdarīt secinājumus par tā saknēm.

Ja numurs ir negatīvs, tad vienādojumam nav sakņu. Šis apgalvojums izriet no fakta, ka jebkura skaitļa kvadrāts ir nenegatīvs skaitlis.

Ja ir pozitīvs skaitlis, tad situācija ar vienādojuma saknēm ir atšķirīga. Šajā gadījumā jums jāatceras, ka vienādojumam ir sakne, tas ir skaitlis. Vienādojuma sakne tiek aprēķināta saskaņā ar shēmu:

Ir zināms, ka aizstāšana vienādojumā vietā x tā saknes pārvērš vienādojumu par patiesu vienlīdzību.

Apkoposim informāciju šajā punktā. Nepilns kvadrātvienādojums a x 2 +c=0 ir līdzvērtīgs vienādojumam, kas

3) Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisinājumi, kuros koeficienti b un c ir vienādi ar nulli, tas ir, no formas vienādojumiem a x 2 \u003d 0. Vienādojums a x 2 =0 seko x 2 =0 , ko iegūst no oriģināla, abas tā daļas dalot ar skaitli, kas nav nulle a . Acīmredzot vienādojuma sakne x2=0 ir nulle, jo 0 2 =0 . Šim vienādojumam nav citu sakņu.

Tātad nepilnīgais kvadrātvienādojums a x 2 \u003d 0 ir viena sakne x=0.

3. piemērs Atrisiniet vienādojumus: a) x 2 \u003d 5x, ja vienādojumam ir vairākas saknes, tad atbildē norādiet mazāko no tām;

b) , ja vienādojumam ir vairākas saknes, tad atbildē norādiet lielāko no tām;

c) x 2 −9=0, ja vienādojumam ir vairākas saknes, tad atbildē norādiet mazāko.

Risinājums.

Mēs saņēmām nepilnīgu kvadrātvienādojumu, kuram nav brīva termina. Mēs risinām ar izņemšanas metodi no iekavām.

Plkst Vienādojumam var būt divas saknes, no kurām mazākā ir 0.

Atbilde: 0.

b) . Līdzīgi kā iepriekšējā piemērā, mēs izmantojam iekavu metodi

Atbildē jānorāda lielākā no saknēm. Tas ir cipars 2.

Atbilde: 2.

iekšā) . Šis vienādojums ir nepilnīgs kvadrātvienādojums, kuram nav vidējā koeficienta.

Mazākā no šīm saknēm ir skaitlis - 3.

Atbilde: -3.

1.2.2. Pilni kvadrātvienādojumi.

1. Diskriminants, kvadrātvienādojuma sakņu pamatformula

Ir saknes formula.

Pierakstīsim kvadrātvienādojuma sakņu formula soli pa solim:

1) D=b 2 −4 a c - ts.

a) ja D

b) ja D>0, tad vienādojumsnav vienas saknes:

c) ja D nav divu sakņu:

Algoritms kvadrātvienādojumu risināšanai, izmantojot saknes formulas

Praksē, risinot kvadrātvienādojumu, uzreiz var izmantot saknes formulu, ar kuras palīdzību aprēķināt to vērtības. Bet tas vairāk attiecas uz sarežģītu sakņu atrašanu.

Tomēr iekšā skolas kurss algebra parasti nav par kompleksu, bet gan par kvadrātvienādojuma reālajām saknēm. Šādā gadījumā pirms kvadrātvienādojuma sakņu formulu izmantošanas ieteicams vispirms atrast diskriminantu, pārliecināties, ka tas nav negatīvs (pretējā gadījumā varam secināt, ka vienādojumam nav reālu sakņu), un pēc tam aprēķināt sakņu vērtības.

Iepriekš minētais pamatojums ļauj mums rakstītKvadrātvienādojuma risināšanas algoritms. Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu a x 2 +b x+c=0, jums ir nepieciešams:

pēc diskriminanta formulas D=b 2 −4 a c aprēķināt tā vērtību;
secināt, ka kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu, ja diskriminants ir negatīvs;
aprēķina vienīgo vienādojuma sakni pēc formulas if D=0;
atrast divas kvadrātvienādojuma reālās saknes, izmantojot saknes formulu, ja diskriminants ir pozitīvs.

2. Diskriminants, kvadrātvienādojuma sakņu otrā formula (pāra otrajam koeficientam).

Atrisināt formas kvadrātvienādojumus, ar vienmērīgu koeficientu b=2k ir cita formula.

Rakstīsim jaunu kvadrātvienādojuma sakņu formula:

1) D’=k 2 −a c - tskvadrātvienādojuma diskriminants.

a) ja D' nav īstu sakņu;

b) ja D'>0, tad vienādojumsnav vienas saknes:

c) ja D' nav divu sakņu:

4. piemērs Atrisiniet vienādojumu 2x 2 −3x+1=0.. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

Risinājums. Pirmajā gadījumā mums ir šādi kvadrātvienādojuma koeficienti: a=2 , b=-3 un c=1 D=b 2 -4 a c=(-3) 2 -4 2 1=9-8=1 . Kopš 1>0

Mums ir ieguva divas saknes, no kurām lielākā ir skaitlis 1.

Atbilde: 1.

5. piemērs Atrisiniet vienādojumu x 2 -21 = 4x.

Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

Risinājums. Pēc analoģijas ar iepriekšējo piemēru mēs pārvietojamies 4h pa kreisi no vienādības zīmes un iegūstam:

Šajā gadījumā mums ir šādi kvadrātvienādojuma koeficienti: a=1 , k=-2 un c=-21 . Saskaņā ar algoritmu vispirms ir jāaprēķina diskriminants D'=k 2 −a c=(-2) 2 −1 (−21)=4+21=25 . Skaitlis 25>0 , tas ir, diskriminants ir lielāks par nulli, tad kvadrātvienādojumam ir divas reālās saknes. Atradīsim tos pēc saknes formulas

Atbilde: 7.

1.2.3. Īpašas kvadrātvienādojumu risināšanas metodes.

1) Kvadrātvienādojuma sakņu un koeficientu saistība. Vietas teorēma.

Kvadrātvienādojuma sakņu formula izsaka vienādojuma saknes tā koeficientu izteiksmē. Pamatojoties uz sakņu formulu, jūs varat iegūt citas attiecības starp saknēm un koeficientiem.

Visslavenākā un pielietojamākā formula tiek saukta par Vietas teorēmu.

Teorēma: Ļaujiet - reducētā kvadrātvienādojuma saknes. Tad sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu, un sakņu summa ir vienāda ar otrā koeficienta pretējo vērtību:

Izmantojot jau uzrakstītās formulas, jūs varat iegūt vairākas citas attiecības starp kvadrātvienādojuma saknēm un koeficientiem. Piemēram, kvadrātvienādojuma sakņu kvadrātu summu var izteikt tā koeficientu izteiksmē.

6. piemērs a) Atrisiniet vienādojumu x 2

b) Atrisiniet vienādojumu x 2

c) Atrisiniet vienādojumu x 2

Risinājums.

a) Atrisiniet vienādojumu x 2 −6x+5=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

Izvēlieties mazāko no saknēm

Atbilde: 1

b) Atrisiniet vienādojumu x 2 +7x+10=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

Izmantojot Vietas teorēmu, mēs rakstām formulas saknēm

Loģiski mēs to secinām. Izvēlieties lielāko no saknēm

Atbilde: ─2.

c) Atrisiniet vienādojumu x 2 ─5x─14=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

Izmantojot Vietas teorēmu, mēs rakstām formulas saknēm

Loģiski mēs to secinām. Izvēlieties mazāko no saknēm

Atbilde: ─2.

1.3. Racionālie vienādojumi

Ja jums ir dots vienādojums ar formas daļāmar mainīgo skaitītājā vai saucējā, tad šādu izteiksmi sauc par racionālu vienādojumu. Racionāls vienādojums ir jebkurš vienādojums, kas ietver vismaz vienu racionālu izteiksmi. Racionālie vienādojumi tiek atrisināti tāpat kā jebkuri vienādojumi: vienādojuma abās pusēs tiek veiktas vienas un tās pašas darbības, līdz mainīgais ir izolēts vienā vienādojuma pusē. Tomēr ir 2 metodes racionālu vienādojumu risināšanai.

1) Reizināšana šķērsām.Ja nepieciešams, pārrakstiet jums doto vienādojumu tā, lai katrā pusē būtu viena daļa (viena racionāla izteiksme); tikai tad varat izmantot krusteniskās reizināšanas metodi.

Kreisās daļas skaitītāju reiziniet ar labās daļas saucēju. Atkārtojiet to ar labās daļas skaitītāju un kreisās puses saucēju.

Šķērsvirziena reizināšana balstās uz algebras pamatprincipiem. Racionālās izteiksmēs un citās daļskaitļos jūs varat atbrīvoties no skaitītāja, attiecīgi reizinot abu daļskaitļu skaitītājus un saucējus.
Pielīdziniet iegūtās izteiksmes un vienkāršojiet tās.
Atrisiniet iegūto vienādojumu, tas ir, atrodiet "x". Ja "x" atrodas abās vienādojuma pusēs, izolējiet to vienā vienādojuma pusē.

2) Lai vienkāršotu šo vienādojumu, tiek izmantots mazākais kopsaucējs (LCD).Šo metodi izmanto, ja nevar uzrakstīt doto vienādojumu ar vienu racionālu izteiksmi katrā vienādojuma pusē (un izmantot krusteniskās reizināšanas metodi). Šo metodi izmanto, ja tiek dots racionāls vienādojums ar 3 vai vairāk daļskaitļiem (divu daļskaitļu gadījumā labāka ir krusteniskā reizināšana).

Atrodiet daļskaitļu mazāko kopsaucēju (vai mazāko kopīgo reizinātāju).NOZ ir mazākais skaitlis, kas vienmērīgi dalās ar katru saucēju.
Katras daļas skaitītāju un saucēju reiziniet ar skaitli, kas vienāds ar NOZ dalīšanas rezultātu ar katras daļas atbilstošo saucēju.
Atrodi x. Tagad, kad esat samazinājis daļskaitļus līdz kopsaucējam, varat atbrīvoties no saucēja. Lai to izdarītu, reiziniet katru vienādojuma pusi ar kopsaucēju. Pēc tam atrisiniet iegūto vienādojumu, tas ir, atrodiet "x". Lai to izdarītu, izolējiet mainīgo vienādojuma vienā pusē.

7. piemērs Atrisiniet vienādojumus: a); b) c).

Risinājums.

a) . Mēs izmantojam krusteniskās reizināšanas metodi.

Atveriet iekavas un pievienojiet līdzīgus terminus.

ieguva lineārais vienādojums ar vienu nezināmo

Atbilde: ─10.

b) , līdzīgi kā iepriekšējā piemērā, mēs pielietojam krusteniski reizināšanas metodi.

Atbilde: ─1.9.

iekšā) , mēs izmantojam mazākā kopsaucēja (LCD) metodi.

Šajā piemērā kopsaucējs būtu 12.

Atbilde: 5.

2. nodaļa Kompleksie vienādojumi

Sarežģītu vienādojumu kategorijā ietilpstošie vienādojumi var apvienot dažādas risināšanas metodes un paņēmienus. Bet vienā vai otrā veidā visi vienādojumi ar loģiskās spriešanas metodi un līdzvērtīgām darbībām noved pie vienādojumiem, kas iepriekš tika pētīti.

7. piemērs Atrisiniet vienādojumu ( x +3) 2 = (x +8) 2 .

Risinājums. Saskaņā ar saīsinātās reizināšanas formulām mēs atvērsim iekavas:

Mēs pārnesam visus terminus ārpus vienādības zīmes un dodam līdzīgus,

Atbilde: 5.5.

8. piemērs Atrisiniet vienādojumus: a)(− 5 x +3)(− x +6)=0, b) (x +2)(− x +6)=0.

Risinājums.

a)(− 5 x +3)(− x +6)=0; atveriet iekavas un ievadiet līdzīgus terminus

ieguva pilnu kvadrātvienādojumu, kuru atrisināsim, izmantojot pirmo diskriminanta formulu

vienādojumam ir divas saknes

Atbilde: 0,6 un 6.

b) (x +2) (− x +6)=0, šim vienādojumam veiksim loģisku argumentāciju (reizinājums ir vienāds ar nulli, kad viens no faktoriem ir vienāds ar nulli). Līdzekļi

Atbilde: ─2 un 6.

9. piemērs Atrisiniet vienādojumus:, b).

Risinājums. Zemākā kopsaucēja atrašana

Mēs rakstām mainīgā pakāpju dilstošā secībā

; ieguva pilnu kvadrātvienādojumu ar pāra otro koeficientu

Vienādojumam ir divas reālas saknes

Atbilde: .

b) . Pamatojums ir līdzīgs a). NOZ atrašana

Atveriet iekavas un ievadiet līdzīgus terminus

mēs atrisinām pilno kvadrātvienādojumu, izmantojot vispārējo formulu

Atbilde: .

10. piemērs Atrisiniet vienādojumus:

Risinājums.

a) , Mēs novērojam, ka kreisajā pusē izteiksme iekavās ir saīsinātās reizināšanas formula, precīzāk, divu izteiksmju summas kvadrāts. Pārveidosim to

; pārvietot šī vienādojuma nosacījumus vienā virzienā

izņemiet to no iekavām

Produkts ir nulle, ja viens no faktoriem ir nulle. nozīmē,

Atbilde: ─2, ─1 un 1.

b) Mēs strīdamies tāpat kā, piemēram, a)

, pēc Vietas teorēmas

Atbilde:

11. piemērs. Atrisiniet vienādojumus a)

Risinājums.

a) ; [vienādojuma kreisajā un labajā pusē mēs varam izmantot iekavu metodi, un kreisajā pusē mēs izņemsim, un labajā pusē mēs izņemam skaitli 16.]

[Pārvietosim visu uz vienu pusi un vēlreiz pielietosim iekavu metodi. Mēs noņemsim kopējo faktoru]

[produkts ir nulle, ja viens no faktoriem ir nulle.]

Atbilde:

b) . [Šis vienādojums ir līdzīgs vienādojumam a). Tāpēc šajā gadījumā ir piemērojama grupēšanas metode]

Atbilde:

12. piemērs. Atrisiniet vienādojumu=0.

Risinājums.

0 [bikvadrātiskais vienādojums. Atrisināts, mainot mainīgo metodi].

0; [Pielietojot Vieta teorēmu, mēs iegūstam saknes]

. [atgriezties uz iepriekšējiem mainīgajiem]

Atbilde:

13. piemērs Atrisiniet vienādojumu

Risinājums. [bikvadrātiskais vienādojums, atbrīvojieties no pāra pakāpes, izmantojot moduļu zīmes.]

[mēs saņēmām divus kvadrātvienādojumus, kurus atrisinām, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu pamatformulu]

nav reālu sakņu, vienādojumam ir divas saknes

Atbilde:

14. piemērs Atrisiniet vienādojumu

Risinājums.

ODZ:

[mēs pārnesam visus vienādojuma nosacījumus uz kreiso pusi un ienesam līdzīgus terminus]

[mēs ieguvām reducēto kvadrātvienādojumu, ko viegli atrisināt ar Vieta teorēmu]

Skaitlis - 1 neapmierina dotā vienādojuma ODZ, tāpēc tas nevar būt šī vienādojuma sakne. Tātad sakne ir tikai skaitlis 7.

Atbilde: 7.

15. piemērs Atrisiniet vienādojumu

Risinājums.

Divu izteiksmju kvadrātu summa var būt vienāda ar nulli tikai tad, ja izteiksmes vienlaikus ir vienādas ar nulli. Proti

[Atrisiniet katru vienādojumu atsevišķi]

Saskaņā ar Vietas teorēmu

Sakņu sakritība, kas vienāda ar -5, būs vienādojuma sakne.

Atbilde: - 5.

SECINĀJUMS

Apkopojot paveiktā darba rezultātus, varam secināt, ka vienādojumiem ir milzīga nozīme matemātikas attīstībā. Sistematizējām iegūtās zināšanas, apkopojām aptverto materiālu. Šīs zināšanas var mūs sagatavot gaidāmajiem eksāmeniem.

Mūsu darbs ļauj citādi paskatīties uz problēmām, kuras mums izvirza matemātika.

projekta noslēgumā sistematizējām un vispārinājām iepriekš pētītās vienādojumu risināšanas metodes;
iepazinās ar jauniem vienādojumu risināšanas veidiem un vienādojumu īpašībām;

aplūkoti visi vienādojumu veidi, kas ir OGE uzdevumos gan pirmajā, gan otrajā daļā.
Izveidojis metodisko krājumu "Vienādojumi OGE uzdevumos".

Mēs uzskatām, ka mūsu izvirzītais mērķis ir galvenā uzdevumos ņemt vērā visu veidu vienādojumus valsts eksāmens matemātikā esam sasnieguši.

Izmantotās literatūras saraksts:

1. B.V. Gņedenko "Matemātika in mūsdienu pasaule". Maskavas "Apgaismība" 1980

2. Jā.I. Perelmans "Izklaidējošā algebra". Maskavas "Zinātne" 1978

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

1. pielikums

Lineārie vienādojumi

1. Atrodiet vienādojuma sakni

2. Atrodiet vienādojuma sakni

3. Atrodiet vienādojuma sakni

2.pielikums

Nepilnīgi kvadrātvienādojumi

1. Atrisiniet vienādojumu x 2 = 5x. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

2. Atrisiniet vienādojumu 2x 2 = 8x. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

3. Atrisiniet vienādojumu 3x 2 = 9x. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

4. Atrisiniet vienādojumu 4x 2 = 20x. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

5. Atrisiniet vienādojumu 5x 2 = 35x. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

6. Atrisiniet vienādojumu 6x 2 = 36x. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

7. Atrisiniet vienādojumu 7x 2 = 42x. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

8. Atrisiniet vienādojumu 8x 2 = 72x. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

9. Atrisiniet vienādojumu 9x 2 = 54x. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

10. Atrisiniet vienādojumu 10x2 =80x. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

11. Atrisiniet vienādojumu 5x2 −10x=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

12. Atrisiniet vienādojumu 3x2 −9x=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

13. Atrisiniet vienādojumu 4x2 −16x=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

14. Atrisiniet vienādojumu 5x2 +15x=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

15. Atrisiniet vienādojumu 3x2 +18x=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

16. Atrisiniet vienādojumu 6x2 +24x=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

17. Atrisiniet vienādojumu 4x2 −20x=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

18. Atrisiniet vienādojumu 5x2 +20x=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

19. Atrisiniet vienādojumu 7x2 −14x=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

20. Atrisiniet vienādojumu 3x2 +12x=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

21. Atrisiniet vienādojumu x2 −9=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

22. Atrisiniet vienādojumu x2 −121=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

23. Atrisiniet vienādojumu x2 −16=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

24. Atrisiniet vienādojumu x2 −25=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

25. Atrisiniet vienādojumu x2 −49=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

26. Atrisiniet vienādojumu x2 −81=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

27. Atrisiniet vienādojumu x2 −4=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

28. Atrisiniet vienādojumu x2 −64=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

29. Atrisiniet vienādojumu x2 −36=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

30. Atrisiniet vienādojumu x2 −144=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

31. Atrisiniet vienādojumu x2 −9=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

32. Atrisiniet vienādojumu x2 −121=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

33. Atrisiniet vienādojumu x2 −16=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

34. Atrisiniet vienādojumu x2 −25=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

35. Atrisiniet vienādojumu x2 −49=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

36. Atrisiniet vienādojumu x2 −81=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

37. Atrisiniet vienādojumu x2 −4=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

38. Atrisiniet vienādojumu x2 −64=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

39. Atrisiniet vienādojumu x2 −36=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

40. Atrisiniet vienādojumu x2 −144=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

3.pielikums

Pilnīgi kvadrātvienādojumi

1. Atrisiniet vienādojumu x2 +3x=10. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

2. Atrisiniet vienādojumu x2 +7x=18. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

3. Atrisiniet vienādojumu x2 +2x=15. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

4. Atrisiniet vienādojumu x2 −6x=16. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

5. Atrisiniet vienādojumu x2 −3x=18. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

6. Atrisiniet vienādojumu x2 −18 = 7x. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

7. Atrisiniet vienādojumu x2 +4x=21. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

8. Atrisiniet vienādojumu x2 −21 = 4x. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

9. Atrisiniet vienādojumu x2 −15 = 2x. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

10. Atrisiniet vienādojumu x2 −5x=14. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

11. Atrisiniet vienādojumu x2 +6=5x. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

12. Atrisiniet vienādojumu x2 +4 = 5x. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

13. Atrisiniet vienādojumu x2 −x=12. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

14. Atrisiniet vienādojumu x2 +4x=5. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

15. Atrisiniet vienādojumu x2 −7x=8. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

16. Atrisiniet vienādojumu x2 +7=8x. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

17. Atrisiniet vienādojumu x2 +18=9x. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

18. Atrisiniet vienādojumu x2 +10=7x. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

19. Atrisiniet vienādojumu x2 −20=x. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

20. Atrisiniet vienādojumu x2 −35 = 2x. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

21. Atrisiniet vienādojumu 2x2 −3x+1=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

22. Atrisiniet vienādojumu 5x2 +4x−1=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

23. Atrisiniet vienādojumu 2x2 +5x−7=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

24. Atrisiniet vienādojumu 5x2 −12x+7=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

25. Atrisiniet vienādojumu 5x2 −9x+4=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

26. Atrisiniet vienādojumu 8x2 −12x+4=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

27. Atrisiniet vienādojumu 8x2 −10x+2=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

28. Atrisiniet vienādojumu 6x2 −9x+3=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

29. Atrisiniet vienādojumu 5x2 +9x+4=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

30. Atrisiniet vienādojumu 5x2 +8x+3=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

31. Atrisiniet vienādojumu x2 −6x+5=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

32. Atrisiniet vienādojumu x2 −7x+10=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

33. Atrisiniet vienādojumu x2 −9x+18=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

34. Atrisiniet vienādojumu x2 −10x+24=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

35. Atrisiniet vienādojumu x2 −11x+30=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

36. Atrisiniet vienādojumu x2 −8x+12=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

37. Atrisiniet vienādojumu x2 −10x+21=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

38. Atrisiniet vienādojumu x2 −9x+8=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

39. Atrisiniet vienādojumu x2 −11x+18=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

40. Atrisiniet vienādojumu x2 −12x+20=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

4. pielikums

Racionālie vienādojumi.

1. Atrodiet vienādojuma sakni

2. Atrodiet vienādojuma sakni

3. Atrodiet vienādojuma sakni

4. Atrodiet vienādojuma sakni

5. Atrodiet vienādojuma sakni

6. Atrodiet vienādojuma sakni.

7. Atrodiet vienādojuma sakni

8. Atrodiet vienādojuma sakni

9. Atrodiet vienādojuma sakni.

10. Atrodiet vienādojuma sakni

11. Atrodiet vienādojuma sakni.

12. Atrodiet vienādojuma sakni

13. Atrodiet vienādojuma sakni

14. Atrodiet vienādojuma sakni

15. Atrodiet vienādojuma sakni

16. Atrodiet vienādojuma sakni

17. Atrodiet vienādojuma sakni

18. Atrodiet vienādojuma sakni

19. Atrodiet vienādojuma sakni

20. Atrodiet vienādojuma sakni

21. Atrodiet vienādojuma sakni

22. Atrodiet vienādojuma sakni

23. Atrodiet vienādojuma sakni

5.pielikums

Sarežģīti vienādojumi.

1. Atrodiet vienādojuma sakni (x+3)2 =(x+8)2 .

2. Atrodiet vienādojuma sakni (x−5)2 =(x+10)2 .

3. Atrodiet vienādojuma sakni (x+9)2 =(x+6)2 .

4. Atrodiet vienādojuma sakni (x+10)2 = (x–9)2 .

5. Atrodiet vienādojuma sakni (x−5)2 = (x–8)2 .

6. Atrodiet vienādojuma sakni.

7. Atrodiet vienādojuma sakni.

8. Atrodiet vienādojuma sakni.

9. Atrodiet vienādojuma sakni.

10. Atrodiet vienādojuma sakni.

11. Atrisiniet vienādojumu (x+2)(− x+6)=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

12. Atrisiniet vienādojumu (x+3)(− x−2)=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

13. Atrisiniet vienādojumu (x−11)(− x+9)=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

14. Atrisiniet vienādojumu (x−1)(− x−4)=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

15. Atrisiniet vienādojumu (x−2)(− x−1)=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

16. Atrisiniet vienādojumu (x+20)(− x+10)=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

17. Atrisiniet vienādojumu (x−2)(− x−3)=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

18. Atrisiniet vienādojumu (x−7)(− x+2)=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

19. Atrisiniet vienādojumu (x−5)(− x−10)=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

20. Atrisiniet vienādojumu (x+10)(− x−8)=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

21. Atrisiniet vienādojumu (− 5x+3)(− x+6)=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

22. Atrisiniet vienādojumu (− 2x+1)(− 2x−7)=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

23. Atrisiniet vienādojumu (− x−4)(3x+3)=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

24. Atrisiniet vienādojumu (x−6)(4x−6)=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

25. Atrisiniet vienādojumu (− 5x−3)(2x−1)=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

26. Atrisiniet vienādojumu (x−2)(− 2x−3)=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

27. Atrisiniet vienādojumu (5x+2)(− x−4)=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

28. Atrisiniet vienādojumu (x−6)(− 5x−9)=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

29. Atrisiniet vienādojumu (6x−3)(− x+3)=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko no saknēm.

30. Atrisiniet vienādojumu (5x−2)(− x+3)=0. Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet mazāko no saknēm.

31. Atrisiniet vienādojumu

32. Atrisiniet vienādojumu

33. Atrisiniet vienādojumu

34. Atrisiniet vienādojumu

35. Atrisiniet vienādojumu

36. Atrisiniet vienādojumu

37. Atrisiniet vienādojumu

38. Atrisiniet vienādojumu

39. Atrisiniet vienādojumu

40 Atrisiniet vienādojumu

41. Atrisiniet vienādojumu x(x2 +2x+1)=2(x+1).

42. Atrisiniet vienādojumu (x−1)(x2 +4x+4)=4(x+2).

43. Atrisiniet vienādojumu x(x2 +6x+9)=4(x+3).

44. Atrisiniet vienādojumu (x−1)(x2 +8x+16)=6(x+4).

45. Atrisiniet vienādojumu x(x2 +2x+1)=6(x+1).

46. Atrisiniet vienādojumu (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3).

47. Atrisiniet vienādojumu (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).

48. Atrisiniet vienādojumu x(x2 +4x+4)=3(x+2).

49. Atrisiniet vienādojumu (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1).

50. Atrisiniet vienādojumu (x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3).

51. Atrisiniet vienādojumu (x+2)4 −4 (x+2)2 −5=0.

52. Atrisiniet vienādojumu (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. Atrisiniet vienādojumu (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. Atrisiniet vienādojumu (x−1)4 −2(x−1)2 −3=0.

55. Atrisiniet vienādojumu (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.

56. Atrisiniet vienādojumu (x−3)4 −3(x−3)2 −10=0.

57. Atrisiniet vienādojumu (x+4)4 −6 (x+4)2 −7=0.
58. Atrisiniet vienādojumu (x−4)4 −4(x−4)2 −21=0.

59. Atrisiniet vienādojumu (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. Atrisiniet vienādojumu (x−2)4 +3(x−2)2 −10=0.

61. Atrisiniet vienādojumu x3 +3x2 =16x+48.

62. Atrisiniet vienādojumu x3 +4x2 =4x+16.

63. Atrisiniet vienādojumu x3 +6x2 =4x+24.

64. Atrisiniet vienādojumu x3 +6x2 =9x+54.

65. Atrisiniet vienādojumu x3 +3x2 =4x+12.

66. Atrisiniet vienādojumu x3 +2x2 =9x+18.

67. Atrisiniet vienādojumu x3 +7x2 =4x+28.

68. Atrisiniet vienādojumu x3 +4x2 =9x+36.

69. Atrisiniet vienādojumu x3 +5x2 =4x+20.

70. Atrisiniet vienādojumu x3 +5x2 =9x+45.

71. Atrisiniet vienādojumu x3 +3x2 −x−3=0.

72. Atrisiniet vienādojumu x3 +4x2 −4x−16=0.

73. Atrisiniet vienādojumu x3 +5x2 −x−5=0.

74. Atrisiniet vienādojumu x3 +2x2 −x−2=0.

75. Atrisiniet vienādojumu x3 +3x2 −4x−12=0.

76. Atrisiniet vienādojumu x3 +2x2 −9x−18=0.

77. Atrisiniet vienādojumu x3 +4x2 −x−4=0.

78. Atrisiniet vienādojumu x3 +4x2 −9x−36=0.

79. Atrisiniet vienādojumu x3 +5x2 −4x−20=0.
80. Atrisiniet vienādojumu x3 +5x2 −9x−45=0.

81. Atrisiniet vienādojumu x4 = (x–20)2 .

82. Atrisiniet vienādojumu x4 =(2x−15)2 .

83. Atrisiniet vienādojumu x4 =(3x−10)2 .

84. Atrisiniet vienādojumu x4 = (4x−5)2 .

85. Atrisiniet vienādojumu x4 = (x–12)2 .

86. Atrisiniet vienādojumu x4 =(2x−8)2 .

87. Atrisiniet vienādojumu x4 = (3x−4)2 .

88. Atrisiniet vienādojumu x4 = (x–6)2 .

89. Atrisiniet vienādojumu x4 =(2x−3)2 .

90. Atrisiniet vienādojumu x4 = (x–2)2 .

91. Atrisiniet vienādojumu

92. Atrisiniet vienādojumu

93. Atrisiniet vienādojumu

94. Atrisiniet vienādojumu

95. Atrisiniet vienādojumu

96. Atrisiniet vienādojumu

97. Atrisiniet vienādojumu

98. Atrisiniet vienādojumu

99. Atrisiniet vienādojumu

100. Atrisiniet vienādojumu

101. Atrisiniet vienādojumu.

102. Atrisiniet vienādojumu

103. Atrisiniet vienādojumu

104. Atrisiniet vienādojumu

105. Atrisiniet vienādojumu

106. Atrisiniet vienādojumu

107. Atrisiniet vienādojumu

108. Atrisiniet vienādojumu

109. Atrisiniet vienādojumu

110. Atrisiniet vienādojumu

Skolotājs : Jurgensone Veronika Aleksandrovna

Klase: 9

Temats: Algebra

Nodarbības tēma: Mācību stunda-gatavošanās OGE 9.klasē "Kevadvienādojumi".

Mācību posms par tēmu : sagatavošanās OGE.

Nodarbības veids: Zināšanu vispārināšanas un sistematizēšanas nodarbība

Mērķis:

Aktivitāte: Studentu prasmju veidošana ieviest regulējošās darbības metodes.

Informatīvi: - kvadrātvienādojumu risināšanas metožu izstrāde;

Attīstīt spēju izvēlēties racionālāko risināšanas veidu;

Attīstās: veidot studentu pamatkompetences: informatīvās (spēja analizēt informāciju, salīdzināt, izdarīt secinājumus), problemātiskās (spēja izvirzīt problēmas un izmantot esošās zināšanas, lai atrastu izeju no situācijas); komunikabls (spēja strādāt grupās, spēja klausīties un sadzirdēt citus, pieņemt citu viedokli)

Uzdevumi skolotājam:

Veicināt studentu zināšanu aktualizēšanu par kvadrātvienādojumu risināšanu;

Organizēt izglītojošus pasākumus, lai izstrādātu kvadrātvienādojumu risināšanas veidus;

Radīt apstākļus prasmju veidošanai, lai attīstītu spēju izvēlēties racionālāko risināšanas veidu;

Radīt nosacījumus normatīvā UUD veidošanai: mērķu noteikšana, pašnovērtējums un paškontrole, plānošana.

Tehnoloģija: Daudzlīmeņu apmācība

Mācību metodes: Vizuālā, verbālā, savstarpējās pārbaudes metode, kopīga optimālā risinājuma atrašanas metode, pagaidu darbs grupās, problēmsituācijas veidošana, reproduktīvā (instruēšana, ilustrēšana, skaidrošana, praktiskā apmācība). Paškontroles metodes.

Izmantotās studentu izziņas aktivitātes organizēšanas formas:

Kolektīvā darba forma (frontālā aptauja, mutiskais darbs), grupu, individuālais darbs (patstāvīgais darbs) Darbs pāros (savstarpējā aptauja).

Aprīkojums un galvenie informācijas avoti:

Dators, projektors, ekrāns, prezentācija nodarbībai, par tēmu "Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes".

Veiktspējas lapa kontrolei un paškontrolei.

Uzdevumu kartes daudzlīmeņu patstāvīgam darbam

Nodarbības tehnoloģiskā karte:

Aktivitāte

students

Organizatoriskā

Sveiciens studentiem

Skolotāja sveiciens

Nodarbības mērķu un uzdevumu noteikšana. Motivācija mācību aktivitātes studenti

Beigu atestācijā bieži vien ir uzdevumi, kuros jāprot atrisināt kvadrātvienādojumus.

Nodarbības mērķa vēstījums :

Šodien nodarbībā atkārtosim, vispārināsim, ievedīsim sistēmā pētītos kvadrātvienādojumu risināšanas veidus, metodes un paņēmienus.

Atbilstoši sava darba rezultātiem, tas ir, pēc iegūto punktu skaita, katrs saņems atzīmes.

Nodarbības moto: "Mēs domājam, domājam, strādājam un palīdzam viens otram"

(2. slaids ).

Klausieties skolotājus.

Zināšanu atjaunināšana.

Puiši, mēs parasti sākam stundu, pārbaudot mājasdarbus.

Kurš pateiks, kas bija jāatkārto par kvadrātvienādojumiem?

Kas ir kvadrātvienādojumi?

Kas viņi ir?

Kādas kvadrātvienādojumu risināšanas metodes jūs zināt?

Skolotāji atbild uz jautājumiem un veic zināšanu pašnovērtējumu.

Zināšanu vispārināšana un sistematizēšana

1. Savstarpēja kontrole.

Šeit ir vienādojumi (3. slaids)

x 2 + 7 x – 18 = 0;

2 x 2 + 1 = 0;

x 2 –2 x + 9 = 0;

2 y 2 – 3 g + 1 = 0;

2 y 2 = 1;

–2 x 2 – x + 1 = 0;

x 2 + 6 x = 0;

4x 2 =0;

– x 2 – 6 x=1

2 x+x 2 – 1=0

Uz jūsu galda ir kartīte ar jautājumiem, uz kuriem jums jāatbild (1. pielikums).

(4. slaids ) Pārbaudām rezultātus, apmainām kartītes ar kaimiņu.

Atbildi uz jautājumiem

2. Frontālais darbs ar klasi.

Uz(5. slaids) tiek uzrakstītas formulas ar trūkstošiem elementiem. Nodarbības uzdevums ir noskaidrot, kāda veida formula tā ir un kas trūkst šīs formulas ierakstā.

D = b ² – * a * .

D > 0 , nozīmē * sakne.

D * 0 , tātad 1 sakne.

D * 0 , nozīmē * saknes.

Atbildot uz jautājumiem

pareizas zināšanas.

Atrisiniet vienādojumus no kartes. Viens no grupas dalībniekiem parādīs risinājumu uz tāfeles.

Salīdzini savas atbildes ar pareizajām, par katru pareizo atbildi - 1 punkts

atrisināt vienādojumus,

Izskaidrojiet lēmumu.

Frontālais darbs ar klasi

Sakiet, vai jūs varētu nekavējoties, neveicot aprēķinus, atbildēt uz manu jautājumu: "Kāda ir kvadrātvienādojuma sakņu summa un reizinājums?" (Viens cilvēks pie tāfeles pieraksta Vietas teorēmas formulas).

(6. slaids)

Nākamais uzdevums: mutiski atrodiet vienādojuma sakņu summu un starpību saskaņā ar teorēmu:

(atbildes: 5 un 6; 9 un 20; -3 un 2) Iepazīšanās ar dažu kvadrātvienādojumu mutvārdu risinājuma uztveri.

Vietas teorēmas atradumi plašs pielietojums un formas vienādojumosaX 2 + bx + c = 0.

Atsevišķu īpašību izmantošana sniedz būtiskas priekšrocības ātrai atbildes iegūšanai, risinot kvadrātvienādojumus.

Apsveriet šīs īpašības(7. slaids)

1) a + b+ c \u003d 0 x 1 = 1, x 2 = s/a.

5x 2 + 4x - 9 = 0; X 1 =1, x 2 = - 9/2.

2) a -b+ c = 0 x 1 = - 1, x 2 = - s/a.

Piemēram: 4x 2 + 11x + 7 = 0; X 1 = - 1, x 2 = - 7/4.

(8. slaids)

3) a uz + no 0

Mutiski atrisiniet vienādojumu: x 2 + bx + ac = 0

Sadaliet tā saknes ar a.

a) 2x 2 – 11x + 5 = 0.

Vienādojumu atrisinām mutiski: x 2 – 11x + 10 = 0. Tā saknes ir 1 un 10. Sadaliet ar 2.

Tad x 1 = , x 2 = 5.

Atbilde: ; 5.

(9. slaids)

c) 6x 2 –7x – 3 = 0

Vienādojumu atrisinām mutiski: x 2 –7x – 18 = 0. Tā saknes ir -2 un 9. Sadaliet ar 6.

Tad x 1 = - , x 2 = .

Atbilde: -; .

Viņi atbild uz jautājumiem. Aizpildiet nepilnības zināšanās

Darbs daudzlīmeņu grupās

Uzņemšana "Atbilstība"

Pieņemšana "Noķer kļūdu"

Atrisiniet vienādojumus, izmantojot šīs īpašības(10. slaids)

esGrupa.

1) atrodiet vienādojuma sakņu summu

2x 2 – 3x + 1 = 0

2) Atrodiet vienādojuma sakņu reizinājumu

X 2 +9x +20 = 0

3) atrisiniet vienādojumu

10x 2 – 8x – 2= 0

IIGrupa.

1) atrast vienādojuma sakņu summu un reizinājumu

3x 2 – 8x + 5 = 0

Atrisiniet vienādojumus

2) x 2 + 2x -24 = 0

3) 2 x 2 -7x +5 = 0

IIIGrupa

Atrisiniet vienādojumus:

1) x 2 +5x-6=0

2) 5x 2 -7x+2=0

3) 100x 2 -99x-199=0

atrisināt vienādojumus

Pārbaudiet risinājumu.

Zināšanu korekcija.

2. Korelējiet kvadrātvienādojumus un to atrisināšanas veidu:

(11. slaids)

2x 2 – 3x + 11 = 0

7 x 2 = 8x

X 2 – 10x + 100 = 0

X 2 -5x -6 = 0

– 2x 2 + x +14 = 0

-faktorizācija

- sakņu vispārējā formula

- Vietas teorēma

3. Atrast kļūdas vienādojumu risināšanā =

Puiši, kuri ātri pabeidza darbu, var atrisināt papildu uzdevumu(14. slaids), rakstīts uz tāfeles.

Kad tas ir pabeigts, tiek veikta ātra pārbaude.(15. slaids)

Tagad aprēķiniet kopējo punktu skaitu un piešķiriet sev punktu skaitu.(16. slaids)

30-24 punkti - rezultāts 5;

23-18 punkti - rezultāts 4;

12-17 punkti -. rezultāts4

Un visus skolotājs novērtē par aktivitāti, drosmi, neatlaidību. Nu, ja kādam šodien neizdevās gūt punktus pozitīvam vērtējumam, tad veiksme vēl ir priekšā, un tā noteikti būs ar jums nākamreiz.

atrisināt vienādojumus,

veikt pašnovērtējumu.

Atspulgs.

Kurš pateiks to, ko mēs šodien atkārtojām nodarbībā?

Vai jums patika, kā mēs to izdarījām?

Turpiniet frāzes:

Tagad es noteikti zinu...

Es saprotu …

ES iemācījos …

Mans viedoklis …

Katram uz galda ir krāsainas kartītes.

Ja esat apmierināts un apmierināts ar nodarbību, paceliet zaļo karti.

Ja stunda ir interesanta un tu esi aktīvi strādājis, paaugstini – dzelteno kartīti.

veikt pašnovērtējumu.

Mājasdarbs

(17. slaids) Atrisiniet vienādojumus no darbgrāmatas

Valsts gala sertifikācija

9. klases absolventi.

A.V. Semenovs, A. S. Trepaļins, I. V. Jaščenko

pēc līmeņiem

Izvēlieties uzdevumus atbilstoši savam līmenim

4. uzdevuma analīze par tēmu: "Dažādu veidu vienādojumu risināšana"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus! Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.

Mācību līdzekļi un simulatori interneta veikalā "Integral" 9. klasei
Interaktīva rokasgrāmata "Noteikumi un vingrinājumi algebrā" 9. klasei
Multimediju mācību grāmata 9. klasei "Algebra 10 minūtēs"

4. uzdevums prasa spēju atrisināt dažāda veida vienādojumus. Puiši, jums vajadzētu labi iemācīties kvadrātvienādojumu pareizas risināšanas metodes, daļējos racionālos vienādojumus, parastos lineāros vienādojumus. Jums vajadzētu arī labi veikt darbības ar polinomiem: polinoma reizināšanu un dalīšanu ar polinomu. Vai jums ir nepieciešama iespēja atlasīt vienādojuma saknes, kas atrodas risinājuma apgabalā, un noteikt, kuras saknes ir jāatmet un jāignorē?

Nodarbības, kas palīdzēs sagatavoties šim uzdevumam:

1. Lineāro funkciju pamatdefinīcijas un risinājumu piemēri.
2. Monoma jēdziens un standarta forma.
3. Polinoms, standarta forma, reducēšana, transformācija.
4. Skaitlisko izteiksmju piemēri. Algebriskās izteiksmes ar mainīgajiem un darbības ar tiem.
5. Vienādojumi, vienādojumu risināšanas piemēri.
6. Kvadrātvienādojumi. Nodarbība attīstībā.
7. Frakcionāli-racionālie vienādojumi. Nodarbība attīstībā.
8. Kvadrātsakne. Nodarbība attīstībā.

Pāriesim pie risinājumu piemēru analīzes.

1. piemērs
Atrodiet vienādojuma saknes: $16x^2-1=0$.

Risinājums.
Ņemiet vērā, ka mums ir dots kvadrātvienādojums, bet ne pilnīgs. Koeficients pie x ir nulle. Tad mēs vadīsimies pēc noteikuma: "mēs atstājam tos izteiksmes, kurās x ir kvadrātā pa kreisi, un pārnesam visus skaitļus pa labi."
Pārveidosim savu izteiksmi: $16x^2=1$.

Sadaliet abas vienādojuma puses ar koeficientu x kvadrātā: $x^2=\frac(1)(16)$.

Lai atrisinātu šo vienādojumu, mums ir vajadzīgas zināšanas par kvadrātsakni. Izvilksim sakni, neaizmirstot, ka jāņem vērā arī negatīvs skaitlis: $x=±\sqrt(\frac(1)(16))=±\frac(1)(4)=±0,25$.
Atbilde: $x=±0,25 $.

2. piemērs
Atrisiniet vienādojumu: $x^2=18-7x$.

Risinājums.
Pārnesim visas izteiksmes uz vienādojuma kreiso pusi: $x^2+7x-18=0$.

Mēs varam atrisināt parasto kvadrātvienādojumu divos veidos:
1. "uz pieres", aprēķinot diskriminantu;
2. izmantojot Vjetes teorēmu.

1 veids.
Kvadrātvienādojumā pierakstīsim visus koeficientus: $a=1$, $b=7$, $c=-18$.

Atrodiet diskriminantu: $D=b^2-4ac=(7)^2-4*1*(-18)=49+72=121=(11)^2>0$.
Mēs noskaidrojām, ka vienādojumam ir 2 saknes.
Mums atliek atrast šīs saknes:
$x_1=\frac(-b+\sqrt(D))(2a)=\frac(-7+11)(2)=2$.
$x_2=\frac(-b-\sqrt(D))(2a)=\frac(-7-11)(2)=-9$.

2 virzienu.
Izmantosim Viettes teorēmu. Viettes teorēma bieži vien daudzkārt vienkāršo kvadrātvienādojumu atrisināšanu, it īpaši, ja koeficients $a=1$. Šajā gadījumā vienādojuma sakņu reizinājums ir vienāds ar koeficientu $c$, un vienādojuma sakņu summa ir mīnus koeficients $b$:
$x_1+x_2=-\frac(b)(a)$.
$x_1*x_2=\frac(c)(a)$.

Mūsu piemērā $c=-18$ un $b=7$. Mēs sākam kārtot skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds ar mīnus astoņpadsmit. Pirmie skaitļi, kas nāk prātā, ir deviņi un divi. Veicot dažus vienkāršus reizinājumus un saskaitījumus, varam pārliecināties, ka saknes $x=-9$ un $x=2$ mums ir piemērotas.
$x_1*x_2=-9*2=-18=\frac(c)(a)$.
x$_1+x_2=-9+2=-7=-\frac(b)(a)$.
Atbilde: $x=-9$, $x=2$.

3. piemērs
Atrisiniet vienādojumu: $x-\frac(x)(7)=\frac(15)(7)$.

Risinājums.
Mums ir dots parasts lineārs vienādojums ar daļskaitļu koeficientiem. Lai atrisinātu šo vienādojumu, jums pareizi jārīkojas ar parastajām daļām.
Pirmais solis ir pārveidot vienādojuma kreiso pusi, to vienkāršojot: $x-\frac(x)(7)=\frac(7x)(7)-\frac(x)(7)=\frac(6x) )(7)$.
Mēs saņēmām vienādojumu: $\frac(6x)(7)=\frac(15)(7)$.
Sadaliet vienādojuma labo pusi ar koeficientu x: $x=\frac(\frac(15)(7))(\frac(6)(7))$.

Apsveriet dalīšanu atsevišķi: $\frac(\frac(15)(7))(\frac(6)(7))=\frac(15)(7)*\frac(7)(6)=\frac(15) )(6)=2\frac(3)(6)=2\frac(1)(2)=2,5$.

Saņemts: $x=2,5 $.
Atbilde: $x=2,5$.

4. piemērs
Atrisiniet vienādojumu: $(x+2)^2=(x-4)^2$.

Risinājums.
1. metode.
Izmantosim summas kvadrāta formulu: $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
$(x-4)^2=x^2-8x+16$.
Iegūts: $x^2+4x+4=x^2-8x+16$.
Vienkāršosim mūsu vienādojumu:
$x^2+4x-x^2+8x=16-4$.
$12x=12$.
$x=1$.

2. metode.
Atrisinot šo vienādojumu, varam izmantot kvadrātu starpības formulu. $(x+2)^2-(x-4)^2=0$.
$(x+2+x-4)(x+2-x+4)=0$.
$(2x-2)*(6)=0$.
$2x-2=0$.
$2x=2$.
$x=1$.
Atbilde: $x=1$.

5. piemērs
Atrisiniet vienādojumu: $\frac(9)(x-14)=\frac(14)(x-9)$.

Risinājums.
Mums tiek parādīts daļējs racionālais vienādojums. Risinot šos vienādojumus, ir vērts atcerēties, ka nevar dalīt ar nulli. Tāpēc vienādojuma saknes vienmēr ir jāpārbauda, aizstājot tās sākotnējā vienādojuma saucējā.
Izmantosim krusteniskās reizināšanas likumu: $9(x-9)=14(x-14)$.
Mēs saņēmām lineāru vienādojumu:
$9x-81=14x-196$.
$9x-14x=-196+81$.
$-5x = -115 $.
$x=23 $.
Pēc saknes pārbaudes mēs pārliecināmies, ka sākotnējā vienādojuma daļu saucēji nepazūd.
Atbilde: $x=23$.

6. piemērs
Atrodiet sistēmu apmierinošus risinājumus: $\begin (cases) x^2+9x-22=0, \\ x≤1 \end (cases)$.

Risinājums.
Pirmkārt, mēs atrisinām kvadrātvienādojumu, izmantojot Viettes teorēmu. Mūsu sakņu produkts ir 22 USD, un summa ir -9 USD.
Ņemsim saknes:
$-11*2=-22$.
$-11+2=-9$.
Mums ir divas saknes: $x_1=-11$ un $x_2=2$. No šīm saknēm pirmā sakne apmierina nevienādību $x≤1$, un tā būs atbilde.
Atbilde: $x=-11$.

7. piemērs
Atrisiniet vienādojumu: $23x-60-x^2=0$.
Atbildē norādiet sakņu starpības moduli.

Risinājums.
Reiziniet sākotnējo vienādojumu ar $-1$: $x^2-23x+60=0$.
Šajā formā vienādojums izskatās daudz pazīstamāks.
Izmantosim Viettes teorēmu un attēlosim mūsu vienādojumu kā divu terminu reizinājumu:
$(x-20)(x-3)=0 $.
Mums ir divas saknes $x_1=20$ un $x_2=3$.
Atradīsim starpības moduli: $|x_1-x_2|=|20-3|=|17|=17$.
Atbilde: 17.

8. piemērs
Cik sakņu ir vienādojumam $x^6-x^2=0?$

Risinājums.
Izņemsim mazāko pakāpi: $x^2(x^4-1)=0$.
Tagad mēs izmantojam kvadrātu atšķirības formulu:
$x^2 (x^2-1)(x^2+1)=0$.
Atkal izmantosim to pašu formulu:
$x^2 (x-1)(x+1)(x^2+1)=0$.
Šis vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumu kopai: mēs noskaidrojām, ka šim vienādojumam ir trīs saknes.
Atbilde: 3.

9. piemērs
Atrisiniet vienādojumu: $\frac((x-2)(2x+1))(2-x)=0$.
Ja vienādojumam ir vairāk nekā viena sakne, atbildē pierakstiet lielāko.

Risinājums.
Sākotnējais vienādojums ir līdzvērtīgs šādai kopai: Atrisināsim katru vienādojumu: Tā kā daļdaļas saucējs nevar būt vienāds ar nulli, mums nav viena risinājuma. Mēs saņēmām vienu sakni no vienādojuma $x=-0.5$.
Atbilde: -0,5.

Aleksandrs Šabaļins

Kvadrātvienādojumi tiek pētīti 8. klasē, tāpēc šeit nav nekā sarežģīta. Spēja tos atrisināt ir būtiska.

Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar formu ax 2 + bx + c = 0, kur koeficienti a , b un c ir patvaļīgi skaitļi un a ≠ 0.

Pirms konkrētu risināšanas metožu izpētes mēs atzīmējam, ka visus kvadrātvienādojumus var iedalīt trīs klasēs:

nav sakņu;
Viņiem ir tieši viena sakne;
Viņiem ir divas dažādas saknes.

Šī ir būtiska atšķirība starp kvadrātvienādojumiem un lineārajiem vienādojumiem, kur sakne vienmēr pastāv un ir unikāla. Kā noteikt, cik sakņu ir vienādojumam? Tam ir brīnišķīga lieta - diskriminējošs.

Diskriminējošais

Dots kvadrātvienādojums ax 2 + bx + c = 0. Tad diskriminants ir vienkārši skaitlis D = b 2 − 4ac .

Šī formula ir jāzina no galvas. Tagad nav svarīgi, no kurienes tas nāk. Vēl viena lieta ir svarīga: pēc diskriminanta zīmes jūs varat noteikt, cik sakņu ir kvadrātvienādojumam. Proti:

Ja D< 0, корней нет;
Ja D = 0, ir tieši viena sakne;
Ja D > 0, būs divas saknes.

Lūdzu, ņemiet vērā: diskriminants norāda sakņu skaitu, nevis to pazīmes, kā nez kāpēc daudzi domā. Apskatiet piemērus un paši visu sapratīsiet:

Uzdevums. Cik sakņu ir kvadrātvienādojumiem:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 - 6x + 9 = 0.

Mēs rakstām pirmā vienādojuma koeficientus un atrodam diskriminantu:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Tātad diskriminants ir pozitīvs, tāpēc vienādojumam ir divas dažādas saknes. Mēs analizējam otro vienādojumu tādā pašā veidā:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminants ir negatīvs, nav sakņu. Pēdējais vienādojums paliek:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminants ir vienāds ar nulli - sakne būs viens.

Ņemiet vērā, ka katram vienādojumam ir izrakstīti koeficienti. Jā, tas ir garš, jā, tas ir nogurdinoši, taču jūs nesajauksit izredzes un nepieļausiet stulbas kļūdas. Izvēlieties pats: ātrums vai kvalitāte.

Starp citu, ja jūs "piepildīsit roku", pēc kāda laika jums vairs nebūs jāraksta visi koeficienti. Tādas operācijas veiksi galvā. Lielākā daļa cilvēku to sāk darīt kaut kur pēc 50-70 atrisinātiem vienādojumiem - kopumā ne tik daudz.

Kvadrātvienādojuma saknes

Tagad pāriesim pie risinājuma. Ja diskriminants D > 0, saknes var atrast, izmantojot formulas:

Kvadrātvienādojuma sakņu pamatformula

Ja D = 0, varat izmantot jebkuru no šīm formulām - jūs saņemat to pašu skaitli, kas būs atbilde. Visbeidzot, ja D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Pirmais vienādojums:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ vienādojumam ir divas saknes. Atradīsim tos:

Otrais vienādojums:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ vienādojumam atkal ir divas saknes. Atradīsim viņus

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(līdzināt)\]

Visbeidzot, trešais vienādojums:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ vienādojumam ir viena sakne. Var izmantot jebkuru formulu. Piemēram, pirmais:

Kā redzat no piemēriem, viss ir ļoti vienkārši. Ja zināsi formulas un pratīsi skaitīt, tad problēmu nebūs. Visbiežāk kļūdas rodas, ja formulā tiek aizstāti negatīvi koeficienti. Šeit atkal palīdzēs iepriekš aprakstītā tehnika: aplūkojiet formulu burtiski, krāsojiet katru soli - un ļoti drīz atbrīvojieties no kļūdām.

Nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Gadās, ka kvadrātvienādojums nedaudz atšķiras no definīcijā norādītā. Piemēram:

x2 + 9x = 0;
x2–16 = 0.

Ir viegli redzēt, ka šajos vienādojumos trūkst viena no terminiem. Šādus kvadrātvienādojumus ir pat vieglāk atrisināt nekā standarta vienādojumus: tiem pat nav jāaprēķina diskriminants. Tātad, ieviesīsim jaunu koncepciju:

Vienādojumu ax 2 + bx + c = 0 sauc par nepilnīgu kvadrātvienādojumu, ja b = 0 vai c = 0, t.i. mainīgā x jeb brīvā elementa koeficients ir vienāds ar nulli.

Protams, ir iespējams ļoti sarežģīts gadījums, kad abi šie koeficienti ir vienādi ar nulli: b \u003d c \u003d 0. Šajā gadījumā vienādojuma forma ir ax 2 \u003d 0. Acīmredzot šādam vienādojumam ir viens sakne: x \u003d 0.

Apskatīsim citus gadījumus. Ļaujiet b \u003d 0, tad mēs iegūstam nepilnīgu kvadrātvienādojumu formā ax 2 + c \u003d 0. Nedaudz pārveidosim to:

Tā kā aritmētiskā kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīva skaitļa, pēdējai vienādībai ir jēga tikai tad, ja (-c / a ) ≥ 0. Secinājums:

Ja nepilnīgs kvadrātvienādojums formā ax 2 + c = 0 apmierina nevienādību (−c / a ) ≥ 0, būs divas saknes. Formula ir dota iepriekš;
Ja (-c / a )< 0, корней нет.

Kā redzat, diskriminants nebija vajadzīgs - nepilnīgos kvadrātvienādojumos sarežģītu aprēķinu vispār nav. Patiesībā pat nav jāatceras nevienādība (−c / a ) ≥ 0. Pietiek izteikt x 2 vērtību un redzēt, kas atrodas vienādības zīmes otrā pusē. Ja ir pozitīvs skaitlis, būs divas saknes. Ja negatīvs, tad vispār nebūs sakņu.

Tagad aplūkosim vienādojumus formā ax 2 + bx = 0, kuros brīvais elements ir vienāds ar nulli. Šeit viss ir vienkārši: vienmēr būs divas saknes. Pietiek ar polinomu faktorizēt:

Kopējā faktora izņemšana no kronšteina

Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Lūk, no kurienes nāk saknes. Noslēgumā mēs analizēsim vairākus no šiem vienādojumiem:

Uzdevums. Atrisiniet kvadrātvienādojumus:

x2 – 7x = 0;

5x2 + 30 = 0;

4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nav sakņu, jo kvadrāts nevar būt vienāds ar negatīvu skaitli.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.