Grupēšanas metode ļauj arī izmērīt variācija zīmju (mainība, svārstības). Ja iedzīvotāju vienību skaits ir salīdzinoši neliels, variācijas mēra, pamatojoties uz ranžētu vienību sēriju, kas veido populāciju. Rinda tiek saukta ierindota ja vienības ir sakārtotas augošā (dilstošā) pazīmē.
Tomēr ranžētas sērijas ir drīzāk orientējošas, ja ir vajadzīgs salīdzinošs variācijas raksturlielums. Turklāt daudzos gadījumos nākas saskarties ar statistikas agregātiem, kas sastāv no liela skaita vienību, kurus praktiski ir grūti attēlot konkrētas sērijas veidā. Šajā sakarā sākotnējai vispārējai iepazīšanai ar statistikas datiem un it īpaši, lai atvieglotu zīmju variācijas izpēti, pētāmās parādības un procesi parasti tiek apvienoti grupās, un grupēšanas rezultāti tiek sastādīti grupu tabulu veidā. .
Ja grupu tabulā ir tikai divas kolonnas - grupas atbilstoši izvēlētajai pazīmei (opcijas) un grupu skaitam (frekvences vai frekvences), tiek izsaukts tuvu izplatīšanai.
Izplatīšanas diapazons - vienkāršākais strukturālās grupēšanas veids pēc viena atribūta, kas attēlots grupu tabulā ar divām kolonnām, kas satur atribūta variantus un biežumus. Daudzos gadījumos ar šādu strukturālu grupējumu, t.i. ar sadalījuma rindu sastādīšanu sākas sākotnējā statistiskā materiāla izpēte.
Strukturālo grupējumu sadalījuma rindas veidā var pārvērst par patiesu strukturālu grupējumu, ja atlasītās grupas raksturo ne tikai biežums, bet arī citi statistiskie rādītāji. Izplatīšanas sērijas galvenais mērķis ir izpētīt pazīmju variācijas. Sadalījuma rindu teoriju detalizēti izstrādā matemātiskā statistika.
Izplatīšanas sērijas ir sadalītas atribūtīvs(grupēšana pēc atribūtīvām pazīmēm, piemēram, iedzīvotāju sadalījums pēc dzimuma, tautības, ģimenes stāvokļa utt.) un variācijas(grupēšana pēc kvantitatīviem rādītājiem).
Variāciju sērija ir grupu tabula, kurā ir divas kolonnas: vienību grupējums pēc viena kvantitatīvā atribūta un vienību skaita katrā grupā. Intervāli variāciju sērijās parasti ir vienādi un slēgti. variāciju sērija ir nākamā Krievijas iedzīvotāju grupa pēc naudas ienākumiem uz vienu iedzīvotāju (3.10. tabula).
3.10. tabula
Krievijas iedzīvotāju sadalījums pēc vidējiem ienākumiem uz vienu iedzīvotāju 2004.-2009
|
Iedzīvotāju grupas pēc vidējiem naudas ienākumiem uz vienu iedzīvotāju, rub./mēn |
Iedzīvotāju skaits grupā, % no kopskaita |
|||||
|
8 000,1-10 000,0 |
||||||
|
10 000,1-15 000,0 |
||||||
|
15 000,1-25 000,0 |
||||||
|
Vairāk nekā 25 000,0 |
||||||
|
Visi iedzīvotāji |
||||||
Savukārt variācijas sērijas iedala diskrētās un intervālā. Diskrēts variāciju sērija apvieno atsevišķu pazīmju variantus, kas atšķiras šaurās robežās. Diskrētu variāciju sērijas piemērs ir krievu ģimeņu sadalījums pēc bērnu skaita.
Intervāls variāciju sērijas apvieno vai nu nepārtrauktu, vai diskrētu funkciju variantus, kas mainās plašā diapazonā. Intervālu rinda ir Krievijas iedzīvotāju sadalījuma variāciju sērija vidējo naudas ienākumu uz vienu iedzīvotāju izteiksmē.
Diskrētās variāciju sērijas praksē netiek izmantotas ļoti bieži. Tikmēr to sastādīšana nav grūta, jo grupu sastāvu nosaka konkrētie varianti, kādi faktiski piemīt pētītajām grupēšanas pazīmēm.
Intervālu variāciju sērijas ir plašāk izplatītas. Sastādot tos, rodas sarežģīts jautājums par grupu skaitu, kā arī par to intervālu lielumu, kas būtu jānosaka.
Šīs problēmas risināšanas principi ir izklāstīti nodaļā par statistisko grupu veidošanas metodiku (sk. 3.3. punktu).
Variāciju sērijas ir līdzeklis daudzveidīgas informācijas sakraušanai vai saspiešanai kompaktā formā, ar tām var izdarīt diezgan skaidru spriedumu par variācijas būtību, izpētīt pētāmajā kopā iekļauto parādību pazīmju atšķirības. Taču variāciju rindu vissvarīgākā nozīme ir tāda, ka uz to pamata tiek aprēķināti variāciju īpašie vispārinošie raksturlielumi (sk. 7. nodaļu).
variācijas sauc par sadales sērijām, kas veidotas uz kvantitatīvā pamata. Kvantitatīvo raksturlielumu vērtības atsevišķās populācijas vienībās nav nemainīgas, vairāk vai mazāk atšķiras viena no otras.
Variācija- atribūta vērtības svārstības, mainīgums populācijas vienībās. Atsevišķi skaitliskās vērtības tiek sauktas pazīmes, kas sastopamas pētāmajā populācijā iespējas vērtības. Vidējās vērtības nepietiekamība pilnīgai populācijas raksturošanai liek vidējās vērtības papildināt ar rādītājiem, kas ļauj novērtēt šo vidējo rādītāju tipiskumu, mērot pētāmās pazīmes svārstības (variācijas).
Variāciju klātbūtne ir saistīta ar daudzu faktoru ietekmi uz pazīmju līmeņa veidošanos. Šie faktori darbojas ar nevienlīdzīgu spēku un dažādos virzienos. Variācijas indikatori tiek izmantoti, lai aprakstītu iezīmju mainīguma mēru.
Variāciju statistiskā pētījuma uzdevumi:
- 1) zīmju rakstura un pakāpes izpēte atsevišķās populācijas vienībās;
- 2) atsevišķu faktoru vai to grupu lomas noteikšana atsevišķu populācijas pazīmju variācijā.
Statistikā tiek izmantotas īpašas metodes variāciju pētīšanai, pamatojoties uz rādītāju sistēmas izmantošanu, Ar ar kuru tiek mērīta variācija.
Variāciju izpēte ir būtiska. Variāciju mērīšana ir nepieciešama, veicot izlases novērošanu, korelācijas un dispersijas analīzi utt. Ermolajevs O.Ju. Matemātiskā statistika psihologiem: mācību grāmata [Teksts] / O.Yu. Ermolajevs. - M.: Maskavas Psiholoģiskā un sociālā institūta izdevniecība Flints, 2012. - 335 lpp.
Pēc variācijas pakāpes var spriest par populācijas viendabīgumu, pazīmju individuālo vērtību stabilitāti un vidējā tipiskumu. Pamatojoties uz tiem, tiek izstrādāti zīmju attiecību ciešuma rādītāji, selektīvā novērojuma precizitātes novērtēšanas rādītāji.
Pastāv atšķirības telpā un laikā.
Izmaiņas telpā tiek saprastas kā objekta vērtību svārstības iedzīvotāju vienībās, kas pārstāv atsevišķas teritorijas. Ar laika izmaiņām tiek domātas atribūta vērtību izmaiņas dažādos laika periodos.
Lai izpētītu sadalījuma sēriju variācijas, visi atribūtu vērtību varianti ir sakārtoti augošā vai dilstošā secībā. Šo procesu sauc par sēriju ranžēšanu.
Vienkāršākās variācijas pazīmes ir minimālais un maksimālais- atribūta mazākā un lielākā vērtība apkopojumā. Atsevišķu pazīmju vērtību variantu atkārtojumu skaitu sauc par atkārtošanās biežumu (fi). Frekvences ir ērti aizstāt ar frekvencēm - wi. Biežums - relatīvs biežuma rādītājs, ko var izteikt vienības daļās vai procentos un ļauj salīdzināt variāciju rindas ar dažādu novērojumu skaitu. Izteikts ar formulu:
kur Xmax, Xmin - atribūta maksimālās un minimālās vērtības apkopojumā; n ir grupu skaits.
Pazīmes variācijas mērīšanai izmanto dažādus absolūtos un relatīvos rādītājus. Absolūtie variācijas rādītāji ietver variācijas diapazonu, vidējo lineāro novirzi, dispersiju, standartnovirzi. Pie relatīvajiem svārstību rādītājiem pieder svārstību koeficients, relatīvā lineārā novirze, variācijas koeficients.
Variāciju sērijas atrašanas piemērs
Vingrinājums.Šim paraugam:
- a) Atrodi variāciju sēriju;
- b) Konstruē sadales funkciju;
Nr.=42. Preču paraugi:
1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2
Risinājums.
- a) ranžētas variāciju sērijas izveide:
- 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
- b) diskrētu variāciju rindas konstruēšana.
Aprēķināsim grupu skaitu variāciju sērijā, izmantojot Stērdžesa formulu:
Ņemsim grupu skaitu, kas vienāds ar 7.
Zinot grupu skaitu, mēs aprēķinām intervāla vērtību:
Tabulas veidošanas ērtībai mēs ņemsim grupu skaitu, kas vienāds ar 8, intervāls būs 1.
Rīsi. viens Veikala preču pārdošanas apjoms noteiktā laika periodā
Uzceltas rindas pēc daudzuma, tiek saukti variācijas.
Izplatīšanas sērija sastāv no iespējas(raksturīgās vērtības) un frekvences(grupu skaits). Tiek izsauktas frekvences, kas izteiktas kā relatīvās vērtības (daļas, procenti). frekvences. Visu frekvenču summu sauc par sadalījuma sērijas tilpumu.
Pēc veida sadales sērijas tiek sadalītas diskrēts(pamatojoties uz funkcijas pārtrauktām vērtībām) un intervāls(pamatojoties uz nepārtrauktām funkciju vērtībām).
Variāciju sērija apzīmē divas kolonnas (vai rindas); no kuriem viens nodrošina mainīgā atribūta atsevišķas vērtības, ko sauc par variantiem un apzīmē ar X; un otrā - absolūtos skaitļus, kas parāda, cik reižu (cik bieži) katra opcija notiek. Otrās kolonnas rādītājus sauc par frekvencēm un nosacīti apzīmē ar f. Vēlreiz atzīmējam, ka otrajā ailē var izmantot arī relatīvos rādītājus, kas raksturo atsevišķu variantu biežuma īpatsvaru kopējā frekvenču apjomā. Šos relatīvos rādītājus sauc par frekvencēm un nosacīti apzīmē ar ω Visu frekvenču summa šajā gadījumā ir vienāda ar vienu. Taču frekvences var izteikt arī procentos, un tad visu frekvenču summa dod 100%.
Ja variāciju rindas variantus izsaka kā diskrētos daudzumos, tad šādu variāciju sēriju sauc diskrēts.
Nepārtrauktām funkcijām variāciju sērijas tiek veidotas kā intervāls, tas ir, atribūta vērtības tajās ir izteiktas "no ... līdz ...". Šajā gadījumā atribūta minimālās vērtības šādā intervālā sauc par intervāla apakšējo robežu, bet maksimālo - par augšējo robežu.
Intervālu variāciju sērijas ir izveidotas arī atsevišķām funkcijām, kas atšķiras plašā diapazonā. Intervālu sērijas var būt vienāds un nevienlīdzīgi intervāli.
Apsveriet, kā tiek noteikta vienādu intervālu vērtība. Ieviesīsim šādu apzīmējumu:
i– intervāla vērtība;
- atribūta maksimālā vērtība populācijas vienībām;
- atribūta minimālā vērtība populācijas vienībām;
n- piešķirto grupu skaits.
ja n ir zināms.
Ja piešķirto grupu skaitu ir grūti iepriekš noteikt, tad optimālā intervāla lieluma aprēķināšanai ar pietiekamu populācijas lielumu var ieteikt Stērdžesa 1926. gadā piedāvāto formulu:
n = 1+ 3,322 log N, kur N ir vieninieku skaits populācijā.
Nevienādu intervālu vērtību nosaka katrā atsevišķā gadījumā, ņemot vērā pētāmā objekta īpašības.
Izlases statistiskais sadalījums izsauciet opciju sarakstu un to atbilstošās frekvences (vai relatīvās frekvences).
Izlases statistisko sadalījumu var norādīt tabulas veidā, kuras pirmajā kolonnā ir opcijas, bet otrajā - šīm opcijām atbilstošās frekvences. ni, vai relatīvās frekvences Pi .
Izlases statistiskais sadalījums
Intervālu sērijas sauc par variāciju sērijām, kurās to veidošanās pamatā esošo pazīmju vērtības tiek izteiktas noteiktās robežās (intervālos). Frekvences šajā gadījumā neattiecas uz atsevišķām atribūta vērtībām, bet gan uz visu intervālu.
Intervālu sadalījuma sērijas tiek veidotas pēc nepārtrauktiem kvantitatīviem raksturlielumiem, kā arī pēc diskrētiem raksturlielumiem, kas mainās ievērojamā diapazonā.
Intervālu rindas var attēlot ar izlases statistisko sadalījumu, norādot intervālus un tiem atbilstošās frekvences. Šajā gadījumā par intervāla biežumu tiek ņemta varianta frekvenču summa, kas iekrita šajā intervālā.
Grupējot pēc kvantitatīvām nepārtrauktām pazīmēm, ir svarīgi noteikt intervāla lielumu.
Papildus izlases vidējam un izlases dispersijai tiek izmantoti arī citi variāciju rindas raksturlielumi.
Mode nosauciet variantu, kuram ir visaugstākā frekvence.
Statistiskā sadalījuma rinda- tas ir sakārtots iedzīvotāju vienību sadalījums grupās atbilstoši noteiktam mainīgam atribūtam.Atkarībā no pazīmes, kas ir sadalījuma sērijas veidošanas pamatā, ir atribūtu un variāciju sadalījuma sērijas.
Kopīgas pazīmes esamība ir pamats statistiskās kopas veidošanai, kas ir pētāmo objektu kopējo pazīmju apraksta vai mērījuma rezultāti.
Statistikas izpētes priekšmets ir mainīgas (mainīgas) pazīmes vai statistikas pazīmes.
Statistisko pazīmju veidi.
Sadalījuma sērijas sauc par atribūtu sērijām. būvēts uz kvalitatīviem apsvērumiem. Atribūti- šī ir zīme, kurai ir vārds (piemēram, profesija: šuvēja, skolotājs utt.).
Sadales sērijas ir ierasts sakārtot tabulu veidā. Tabulā. 2.8 parāda sadalījuma atribūtu sēriju.
2.8. tabula - Juridiskās palīdzības veidu sadalījums viena no Krievijas Federācijas reģionu pilsoņiem, ko advokāti sniedz.
Variāciju sērijas ir izplatīšanas sērijas veidota uz kvantitatīvā pamata. Jebkura variāciju sērija sastāv no diviem elementiem: variantiem un frekvencēm.
Varianti ir atsevišķas objekta vērtības, kuras tas aizņem variāciju sērijā.
Frekvences ir atsevišķu variantu vai katras variāciju sērijas grupas skaitļi, t.i. tie ir skaitļi, kas parāda, cik bieži izplatīšanas sērijās parādās noteiktas opcijas. Visu frekvenču summa nosaka visas populācijas lielumu, tās apjomu.
Frekvences sauc par frekvencēm, kas izteiktas vienības daļās vai procentos no kopsummas. Attiecīgi frekvenču summa ir vienāda ar 1 vai 100%. Variāciju rinda ļauj mums novērtēt sadalījuma likuma formu, pamatojoties uz faktiskajiem datiem.
Atkarībā no pazīmes variācijas rakstura ir diskrētās un intervālu variāciju sērijas.
Diskrētu variāciju sērijas piemērs ir dots tabulā. 2.9.
2.9. tabula - Ģimeņu sadalījums pēc atsevišķos dzīvokļos aizņemto istabu skaita 1989. gadā Krievijas Federācijā.
Variāciju sērija
Vispārējā populācijā tiek pētīta noteikta kvantitatīvā iezīme. No tā nejauši tiek iegūts tilpuma paraugs n, tas ir, elementu skaits izlasē ir n. Pirmajā statistikas apstrādes posmā diapazonā paraugi, t.i. numuru pasūtīšana x 1 , x 2 , …, x n Augošā. Katra novērotā vērtība x i sauca opciju. Biežums m i ir vērtības novērojumu skaits x i izlasē. Relatīvais biežums (biežums) w i ir frekvences attiecība m i uz parauga lielumu n: .Pētot variāciju rindu, tiek izmantoti arī kumulatīvās frekvences un kumulatīvās frekvences jēdzieni. Ļaujiet x kādu numuru. Tad opciju skaits , kuru vērtības ir mazākas x, sauc par uzkrāto frekvenci: x i
Atribūtu sauc par diskrēti mainīgu, ja tā atsevišķās vērtības (varianti) atšķiras viena no otras ar noteiktu summu (parasti veselu skaitli). Šādas pazīmes variāciju sēriju sauc par diskrētu variāciju sēriju.
1. tabula. Diskrētu frekvenču variāciju sērijas vispārīgs skats
| Funkciju vērtības | x i | x 1 | x2 | … | x n |
| Frekvences | m i | m 1 | m2 | … | m n |
Atribūtu sauc par nepārtraukti mainīgu, ja tā vērtības atšķiras viena no otras patvaļīgi mazā apmērā, t.i. zīme var iegūt jebkuru vērtību noteiktā intervālā. Šādas pazīmes nepārtrauktu variāciju sēriju sauc par intervālu sēriju.
2. tabula. Frekvenču intervālu variāciju sērijas vispārīgs skats
3. tabula. Variāciju sērijas grafiskie attēli
| Rinda | Daudzstūris vai histogramma | Empīriskā sadalījuma funkcija | |
| Diskrēts |  |  |  |
| intervāls |  |  |  |
Variāciju sēriju grafiskai attēlošanai visbiežāk izmanto daudzstūri, histogrammu, kumulatīvo līkni un empīriskā sadalījuma funkciju.
Tabulā. 2.3 (Krievijas iedzīvotāju grupēšana pēc vidējo ienākumu lieluma uz vienu iedzīvotāju 1994. gada aprīlī). intervālu variāciju sērijas.
Izplatīšanas sērijas ir ērti analizēt, izmantojot grafisko attēlojumu, kas arī ļauj spriest par sadalījuma formu. Variāciju sērijas frekvenču izmaiņu rakstura vizuālu attēlojumu sniedz daudzstūris un histogramma.
Daudzstūris tiek izmantots, attēlojot diskrētas variāciju sērijas.
Attēlosim, piemēram, grafiski dzīvojamā fonda sadalījumu pa dzīvokļu veidiem (2.10. tabula).
2.10. tabula. Pilsētas dzīvojamā fonda sadalījums pa dzīvokļu veidiem (nosacītie skaitļi).
Rīsi. Mājokļu sadales poligons
Uz y ass var uzzīmēt ne tikai frekvenču vērtības, bet arī variāciju sēriju frekvences.
Histogramma tiek uzņemta, lai parādītu intervālu variāciju sērijas. Veidojot histogrammu, intervālu vērtības tiek attēlotas uz abscisu ass, un frekvences tiek attēlotas ar taisnstūriem, kas veidoti uz atbilstošajiem intervāliem. Kolonnu augstumam vienādu intervālu gadījumā jābūt proporcionālam frekvencēm. Histogramma ir grafiks, kurā sērija tiek parādīta kā joslas, kas atrodas blakus viena otrai.
Grafiski attēlosim tabulā dotās intervālu sadalījuma sērijas. 2.11.
2.11. tabula. Ģimeņu sadalījums pēc dzīvojamās platības uz vienu cilvēku (nosacītie skaitļi).
| N p / p | Ģimeņu grupas pēc dzīvojamās platības uz vienu cilvēku | Ģimeņu skaits ar noteiktu dzīvojamo platību | Uzkrātais ģimeņu skaits |
| 1 | 3 – 5 | 10 | 10 |
| 2 | 5 – 7 | 20 | 30 |
| 3 | 7 – 9 | 40 | 70 |
| 4 | 9 – 11 | 30 | 100 |
| 5 | 11 – 13 | 15 | 115 |
| KOPĀ | 115 | ---- | |
Rīsi. 2.2. Ģimeņu sadalījuma histogramma pēc dzīvojamās platības uz vienu cilvēku
Izmantojot uzkrāto sēriju datus (2.11. tabula), konstruējam sadales kumulatīvā.
Rīsi. 2.3. Ģimeņu kumulatīvais sadalījums pēc dzīvojamās platības uz vienu cilvēku
Variāciju rindas attēlošana kumulatīvā veidā ir īpaši efektīva variāciju sērijām, kuru frekvences ir izteiktas kā daļu vai procentuālo daļu no rindas frekvenču summas.
Ja mainām asis variāciju sērijas grafiskajā attēlojumā kumulatīvā veidā, tad iegūstam ogivu. Uz att. 2.4. ir parādīts attēls, kas izveidots, pamatojoties uz tabulas datiem. 2.11.
Histogrammu var pārvērst sadalījuma daudzstūrī, atrodot taisnstūru malu viduspunktus un pēc tam savienojot šos punktus ar taisnām līnijām. Iegūtais sadalījuma daudzstūris ir parādīts att. 2,2 punktēta līnija.
Konstruējot variāciju rindas sadalījuma histogrammu ar nevienādiem intervāliem, pa ordinātu asi, tiek pielietotas nevis frekvences, bet gan pazīmes sadalījuma blīvums attiecīgajos intervālos.
Sadalījuma blīvums ir frekvence, kas aprēķināta uz intervāla platuma vienību, t.i. cik vienību katrā grupā ir uz vienības intervāla vērtību. Sadalījuma blīvuma aprēķināšanas piemērs ir parādīts tabulā. 2.12.
2.12. tabula. Uzņēmumu sadalījums pēc darbinieku skaita (skaitļi ir nosacīti)
| N p / p | Uzņēmumu grupas pēc darbinieku skaita, pers. | Uzņēmumu skaits | Intervāla lielums, pers. | Izplatības blīvums |
| BET | 1 | 2 | 3=1/2 | |
| 1 | līdz 20 | 15 | 20 | 0,75 |
| 2 | 20 – 80 | 27 | 60 | 0,25 |
| 3 | 80 – 150 | 35 | 70 | 0,5 |
| 4 | 150 – 300 | 60 | 150 | 0,4 |
| 5 | 300 – 500 | 10 | 200 | 0,05 |
| KOPĀ | 147 | ---- | ---- |
Var izmantot arī variāciju sērijas grafiskam attēlojumam kumulatīvā līkne. Ar kumulatora (summu līknes) palīdzību tiek parādīta uzkrāto frekvenču sērija. Uzkrātās frekvences tiek noteiktas, secīgi summējot frekvences pa grupām un parāda, cik daudzām populācijas vienībām ir pazīmju vērtības, kas nav lielākas par aplūkojamo vērtību.
Rīsi. 2.4. Ogiva ģimeņu sadalījums pēc dzīvojamās platības lieluma uz vienu cilvēku
Konstruējot intervāla variāciju rindas kumulātu, rindas varianti tiek attēloti pa abscisu asi, bet uzkrātās frekvences - pa ordinātu asi.
Nepārtrauktas variācijas sērijas
Nepārtraukta variāciju sērija ir sērija, kas veidota, pamatojoties uz kvantitatīvā statistika. Piemērs. Vidējais notiesāto slimību ilgums (dienas uz vienu cilvēku) rudens-ziemas periodā kārtējā gadā bija:| 7,0 | 6,0 | 5,9 | 9,4 | 6,5 | 7,3 | 7,6 | 9,3 | 5,8 | 7,2 |
| 7,1 | 8,3 | 7,5 | 6,8 | 7,1 | 9,2 | 6,1 | 8,5 | 7,4 | 7,8 |
| 10,2 | 9,4 | 8,8 | 8,3 | 7,9 | 9,2 | 8,9 | 9,0 | 8,7 | 8,5 |