Diskrēta gadījuma lieluma matemātiskā cerība ir visu tā iespējamo vērtību un to varbūtību produktu summa:
Piemērs.
X -4 6 10
p 0,2 0,3 0,5
Risinājums: matemātiskā cerība ir vienāda ar visu iespējamo X vērtību un to varbūtību reizinājumu summu:
M (X) = 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 \u003d 6.
Lai aprēķinātu matemātisko cerību, ir ērti veikt aprēķinus programmā Excel (īpaši, ja ir daudz datu), mēs iesakām izmantot gatavu veidni ().
Piemērs priekš neatkarīgs lēmums(varat izmantot kalkulatoru).
Atrodiet diskrēta gadījuma lieluma X matemātisko cerību sadalījuma likumā:
X 0,21 0,54 0,61
p 0,1 0,5 0,4
Matemātiskajai cerībai ir šādas īpašības.
Īpašība 1. Pastāvīgās vērtības matemātiskā sagaidāmā vērtība ir vienāda ar pašu konstanti: М(С)=С.
Īpašība 2. No gaidīšanas zīmes var izņemt nemainīgu faktoru: М(СХ)=СМ(Х).
Īpašība 3. Savstarpēji neatkarīgu gadījuma lielumu reizinājuma matemātiskā cerība ir vienāda ar faktoru matemātisko gaidu reizinājumu: M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) *. ..*M(Xn)
Īpašība 4. Gadījuma lielumu summas matemātiskā sagaidāmā vērtība ir vienāda ar terminu matemātisko gaidu summu: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М (Хn).
189. uzdevums. Atrodiet gadījuma lieluma Z matemātisko cerību, ja ir zināmas matemātiskās gaidas X un Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Risinājums: Izmantojot matemātiskās gaidas īpašības (summas matemātiskā gaida ir vienāda ar terminu matemātisko gaidu summu; konstanto koeficientu var izņemt no gaidīšanas zīmes), iegūstam M(Z)=M (X + 2Y) = M (X) + M (2Y) = M (X) + 2M (Y) = 5 + 2 * 3 = 11.
190. Izmantojot matemātiskās gaidas īpašības, pierādiet, ka: a) M(X - Y) = M(X)-M (Y); b) novirzes X-M(X) matemātiskā sagaidāmā vērtība ir nulle.
191. Diskrētajam gadījuma lielumam X ir trīs iespējamās vērtības: x1= 4 Ar varbūtību p1 = 0,5; x3 = 6 Ar varbūtību P2 = 0,3 un x3 ar varbūtību p3. Atrodiet: x3 un p3, zinot, ka M(X)=8.
192. Dots diskrētā gadījuma lieluma X iespējamo vērtību saraksts: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1, ir zināmas arī šī lieluma un tā kvadrāta matemātiskās cerības: M (X ) \u003d 0,1, M (X ^ 2) \u003d 0,9. Atrodiet varbūtības p1, p2, p3, kas atbilst iespējamām vērtībām xi
194. 10 daļu partija satur trīs nestandarta daļas. Divi vienumi tika atlasīti pēc nejaušības principa. Atrodiet diskrēta gadījuma lieluma X matemātisko cerību - nestandarta daļu skaitu starp divām atlasītajām.
196. Atrodiet matemātisko cerību diskrētam gadījuma lielumam X-skaits šādiem pieciem kauliņiem, kuros katrā uz diviem kauliņiem parādīsies viens punkts, ja kopējais metienu skaits ir divdesmit.
Paredzamā vērtība binomiālais sadalījums ir vienāds ar izmēģinājumu skaita un notikuma varbūtības reizinājumu vienā izmēģinājumā:
2. Varbūtību teorijas pamati
Paredzamā vērtība
Apsveriet gadījuma lielumu ar skaitliskām vērtībām. Bieži vien ir lietderīgi ar šo funkciju saistīt skaitli - tā "vidējo vērtību" vai, kā saka, "vidējo vērtību", "centrālās tendences indikatoru". Vairāku iemeslu dēļ, no kuriem daži kļūs skaidrāki turpmāk, ir ierasts izmantot vidējo kā vidējo.
3. definīcija. Gadījuma mainīgā matemātiskā gaidīšana X sauca numuru
tie. nejaušā mainīgā matemātiskā cerība ir nejauša lieluma vērtību svērta summa ar svariem, kas vienādi ar atbilstošo elementāro notikumu varbūtību.
6. piemērs Aprēķināsim skaitļa matemātisko cerību, kas nokrita uz kauliņa augšdaļas. No 3. definīcijas tieši izriet
2. paziņojums.Ļaujiet nejaušajam mainīgajam Xņem vērtības x 1, x 2, ..., xm. Tad vienlīdzība
(5)
tie. Gadījuma lieluma matemātiskā cerība ir nejaušā lieluma vērtību svērtā summa ar svariem, kas vienādi ar varbūtību, ka nejaušais mainīgais iegūst noteiktas vērtības.
Atšķirībā no (4), kur summēšana tiek veikta tieši pār elementārajiem notikumiem, nejaušs notikums var sastāvēt no vairākiem elementāriem notikumiem.
Dažreiz relācija (5) tiek uzskatīta par matemātiskās cerības definīciju. Tomēr, izmantojot 3. definīciju, kā parādīts zemāk, ir vieglāk noteikt matemātiskās cerības īpašības, kas vajadzīgas, lai izveidotu reālu parādību varbūtības modeļus, nekā izmantojot sakarību (5).
Lai pierādītu saistību (5), mēs sagrupējam (4) terminus ar tās pašas vērtības nejaušs mainīgais:
Tā kā nemainīgo koeficientu var izņemt no summas zīmes, tad
Pēc notikuma varbūtības definīcijas
Ar pēdējo divu attiecību palīdzību mēs iegūstam vēlamo:
Matemātiskās gaidas jēdziens varbūtības-statistiskajā teorijā atbilst smaguma centra jēdzienam mehānikā. Saliksim to punktos x 1, x 2, ..., xm uz masas skaitliskās ass P(X= x 1 ), P(X= x 2 ),…, P(X= x m) attiecīgi. Tad vienādība (5) parāda, ka šīs sistēmas smaguma centrs materiālie punkti sakrīt ar matemātisko cerību, kas parāda 3. definīcijas dabiskumu.
3. paziņojums.Ļaujiet X- nejauša vērtība, M(X) ir tā matemātiskā cerība, a- kāds cipars. Tad
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3 miljoni[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 .
Lai to pierādītu, vispirms apsveram gadījuma lielumu, kas ir nemainīgs, t.i. funkcija kartē elementāru notikumu telpu vienā punktā a. Tā kā nemainīgo koeficientu var izņemt no summas zīmes, tad
Ja katru summas daļu sadala divos veidos, tad arī visu summu sadala divās summās, no kurām pirmo veido pirmie, bet otro no otrā. Tāpēc divu nejaušo mainīgo summas matemātiskā cerība X+Y, kas definēts tajā pašā elementāro notikumu telpā, ir vienāds ar matemātisko gaidu summu M(X) un M(U)šie nejaušie mainīgie:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Un tāpēc M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Kā parādīts iepriekš, M(M(X)) = M(X). Sekojoši, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Tāpēc ka (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - a)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a) 2 , tad M[(X - a) 2] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} + M[(M(X) – a) 2 ]. Vienkāršosim pēdējo vienādību. Kā parādīts 3. priekšlikuma pierādījuma sākumā, konstantes gaidīšana ir pati konstante, un tāpēc M[(M(X) – a) 2 ] = (M(X) – a) 2 . Tā kā nemainīgo koeficientu var izņemt no summas zīmes, tad M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)M(X - M(X)). Pēdējās vienādības labā puse ir 0, jo, kā parādīts iepriekš, M(X-M(X))=0. Sekojoši, M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 , kas bija jāpierāda.
No teiktā izriet, ka M[(X- a) 2 ] sasniedz minimumu a vienāds ar M[(X- M(X)) 2 ], plkst a = M(X), jo otrais loceklis vienādībā 3) vienmēr nav negatīvs un ir vienāds ar 0 tikai norādītajai vērtībai a.
4. paziņojums.Ļaujiet nejaušajam mainīgajam Xņem vērtības x 1, x 2, ..., xm, un f ir kāda skaitliska argumenta funkcija. Tad
Lai to pierādītu, grupēsim vienādības (4) labajā pusē, kas nosaka matemātisko cerību, terminus ar vienādām vērtībām:
Izmantojot faktu, ka konstanto koeficientu var izņemt no summas zīmes, un nosakot nejauša notikuma varbūtību (2), iegūstam
Q.E.D.
5. paziņojums.Ļaujiet X un Plkst ir nejauši mainīgie, kas definēti tajā pašā elementāru notikumu telpā, a un b- daži skaitļi. Tad M(aX+ byY)= aM(X)+ bM(Y).
Izmantojot matemātiskās cerības definīciju un summēšanas simbola īpašības, mēs iegūstam vienādību ķēdi:
Nepieciešamais ir pierādīts.
Iepriekš minētais parāda, kā matemātiskās cerības ir atkarīgas no pārejas uz citu izcelsmi un citu mērvienību (pāreja Y=aX+b), kā arī nejaušo mainīgo funkcijām. Iegūtie rezultāti tiek pastāvīgi izmantoti tehniskajā un ekonomiskajā analīzē, uzņēmuma finansiālās un saimnieciskās darbības novērtēšanā, pārejā no vienas valūtas uz otru ārvalstu ekonomiskajos norēķinos, normatīvajā un tehniskajā dokumentācijā uc Apskatītie rezultāti ļauj izmantot vienas un tās pašas aprēķina formulas dažādu parametru skalai un nobīdei.
| Iepriekšējais |
Vispilnīgākā gadījuma lieluma īpašība ir tā sadalījuma likums. Tomēr tas ne vienmēr ir zināms, un šādos gadījumos ir jāsamierinās ar mazāk informācijas. Šāda informācija var ietvert: nejauša lieluma variāciju diapazonu, tā lielāko (mazāko) vērtību, dažus citus raksturlielumus, kas kaut kādā kopsavilkumā apraksta gadījuma lielumu. Visi šie daudzumi tiek saukti skaitliskās īpašības nejaušais mainīgais. Parasti tie ir daži nejauši skaitļi, kas kaut kādā veidā raksturo gadījuma lielumu. Skaitlisko raksturlielumu galvenais mērķis ir kodolīgā veidā izteikt konkrētā sadalījuma nozīmīgākās pazīmes.
Vienkāršākais gadījuma lieluma skaitliskais raksturlielums X viņu sauca paredzamā vērtība:
M (X) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n. (1.3.1)
Šeit x 1, x 2, …, x n ir gadījuma lieluma iespējamās vērtības X, a 1. lpp, 2. lpp, …, p n ir viņu varbūtības.
1. piemērs Atrodiet nejauša lieluma matemātisko cerību, ja ir zināms tā sadalījuma likums:
Risinājums. M(X)=2×0,3+3×0,1+5×0,6=3,9.
2. piemērs. Atrodiet matemātisko paredzamo notikumu skaitu BET vienā izmēģinājumā, ja šī notikuma iespējamība ir R.
Risinājums. Ja X– notikuma reižu skaits BET vienā tiesāšanā, tad acīmredzot sadales likums X izskatās kā:
Tad М(Х)=0×(1–р)+1×р=р.
Tātad: notikuma gadījumu skaita matemātiskā cerība vienā izmēģinājumā ir vienāda ar tā varbūtību.
Matemātiskās gaidas varbūtības nozīme
Ļaujiet ražot n testi, kuros nejaušais mainīgais X pieņemts m 1 reizes vērtība x 1, m2 reizes vērtība x 2, …, m k reizes vērtība x k. Pēc tam visu vērtību summa n testi ir vienādi ar:
x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.
Atradīsim visu nejaušā mainīgā ņemto vērtību vidējo aritmētisko:
Vērtības - vērtību relatīvās rašanās biežums x i (i=1, …, k). Ja n pietiekami liels (n®¥), tad šīs frekvences ir aptuveni vienādas ar varbūtībām: . Bet tad
=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x k p k = M(X).
Tādējādi matemātiskā cerība ir aptuveni vienāda (jo precīzāka, jo lielāks izmēģinājumu skaits) ar nejaušā lieluma novēroto vērtību vidējo aritmētisko. Tā ir matemātisko gaidu varbūtiskā nozīme.
Gaidāmās īpašības
1. Konstantes matemātiskā cerība ir vienāda ar pašu konstanti.
M(S) = S × 1 = S.
2. No gaidīšanas zīmes var izņemt nemainīgu faktoru
M(CX)=S × M(X).
Pierādījums. Lai sadales likums X dots pēc tabulas:
Tad nejaušais mainīgais CXņem vērtības Dx 1, CX 2, …, Сх n ar tādām pašām varbūtībām, t.i. sadales likums CX izskatās kā:
М(СХ)=Сх 1 × р 1 +Сх 2 × р 2 +…+Сх n × p n =
\u003d C (x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n) \u003d CM (X).
3. Divu neatkarīgu gadījuma lielumu reizinājuma matemātiskā cerība ir vienāda ar to matemātisko gaidu reizinājumu:
M(XY)=M(X) × M(Y).
Šis apgalvojums ir sniegts bez pierādījumiem (pierādījums ir balstīts uz cerības definīciju).
Sekas. Vairāku savstarpēji neatkarīgu gadījuma lielumu reizinājuma matemātiskā cerība ir vienāda ar to matemātisko gaidu reizinājumu.
Jo īpaši attiecībā uz trim neatkarīgiem nejaušiem mainīgajiem
M(XYZ)=M(X) × M(Y) × M(Z).
Piemērs. Atrodiet matemātisko cerību punktu skaitam, kas var nokrist, metot divus kauliņus.
Risinājums. Ļaujiet Х i- punktu skaits i th kauli. Tie varētu būt cipari 1 , 2 , …, 6 ar varbūtībām. Tad
М(Х i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .
Ļaujiet X \u003d X 1 × X 2. Tad
M (X) \u003d M (X 1) × M (X 2) \u003d \u003d 12,25.
4. Divu gadījuma lielumu (neatkarīgo vai atkarīgo) summas matemātiskā cerība ir vienāda ar terminu matemātisko gaidu summu:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Šis īpašums ir vispārināts patvaļīga skaita terminu gadījumam.
Piemērs. Tiek raidīti 3 šāvieni ar varbūtību trāpīt mērķī p 1 \u003d 0,4, p 2 \u003d 0,3 un p 3 \u003d 0,6. Atrodiet kopējā trāpījumu skaita matemātisko cerību.
Risinājums. Ļaujiet Х i- trāpījumu skaits i-th shot. Tad
М(Х i)=1×p i +0×(1–p i)=p i.
Pa šo ceļu,
M (X 1 + X 2 + X 3) \u003d \u003d 0,4 + 0,3 + 0,6 \u003d 1,3.
Matemātiskā cerība ir nejauša lieluma varbūtības sadalījums
Matemātiskā gaida, definīcija, diskrētu un nepārtrauktu gadījuma lielumu matemātiskā gaida, selektīva, nosacītā gaidīšana, aprēķins, īpašības, uzdevumi, gaidu novērtējums, dispersija, sadalījuma funkcija, formulas, aprēķinu piemēri
Paplašināt saturu
Sakļaut saturu
Matemātiskās cerības ir definīcija
Viens no svarīgākajiem jēdzieniem matemātiskajā statistikā un varbūtību teorijā, kas raksturo nejauša lieluma vērtību vai varbūtību sadalījumu. Parasti izsaka kā gadījuma lieluma visu iespējamo parametru vidējo svērto vērtību. To plaši izmanto tehniskajā analīzē, skaitļu sēriju izpētē, nepārtrauktu un ilgtermiņa procesu izpētē. Tas ir svarīgs risku novērtēšanā, cenu rādītāju prognozēšanā, tirgojoties finanšu tirgos, un tiek izmantots spēļu taktikas stratēģiju un metožu izstrādē azartspēļu teorijā.
Matemātiskās cerības ir gadījuma lieluma vidējā vērtība, varbūtības teorijā aplūkots gadījuma lieluma varbūtības sadalījums.
Matemātiskās cerības ir nejauša lieluma vidējās vērtības mērs varbūtības teorijā. Matemātiskā gadījuma lieluma gaidīšana x apzīmēts M(x).
Matemātiskās cerības ir
Matemātiskās cerības ir varbūtības teorijā visu iespējamo vērtību vidējais svērtais lielums, ko var iegūt šis nejaušais mainīgais.
Matemātiskās cerības ir nejauša lieluma visu iespējamo vērtību reizinājumu summa ar šo vērtību varbūtībām.
Matemātiskās cerības ir vidējais ieguvums no konkrēta lēmuma, ar nosacījumu, ka šādu lēmumu var izskatīt lielu skaitļu un liela attāluma teorijas ietvaros.
Matemātiskās cerības ir azartspēļu teorijā laimesta summa, ko spēlētājs var nopelnīt vai zaudēt vidēji par katru likmi. Azartspēļu valodā to dažreiz sauc par "spēlētāja malu" (ja spēlētājam ir pozitīva) vai "mājas malu" (ja spēlētājam ir negatīva).
Matemātiskās cerības ir Peļņas procents uz vienu laimestu, kas reizināts ar vidējo peļņu mīnus zaudējuma varbūtība, reizināta ar vidējo zaudējumu.
Matemātiskā gadījuma lieluma sagaidīšana matemātiskajā teorijā
Viens no svarīgākajiem nejaušā lieluma skaitliskiem raksturlielumiem ir matemātiskā cerība. Ieviesīsim gadījuma lielumu sistēmas jēdzienu. Apsveriet nejaušu mainīgo kopu, kas ir viena un tā paša nejauša eksperimenta rezultāti. Ja ir viena no iespējamām sistēmas vērtībām, tad notikums atbilst noteiktai varbūtībai, kas apmierina Kolmogorova aksiomas. Funkciju, kas definēta jebkurām iespējamām nejaušo mainīgo vērtībām, sauc par kopīga sadalījuma likumu. Šī funkcija ļauj aprēķināt jebkuru notikumu varbūtību no. Jo īpaši nejaušo mainīgo un, kas ņem vērtības no kopas un, kopīgais sadalījuma likums, tiek norādīts ar varbūtībām.
Terminu "gaidīšana" ieviesa Pjērs Saimons Marķīzs de Laplass (1795), un tas cēlies no jēdziena "izmaksas paredzamā vērtība", kas pirmo reizi parādījās 17. gadsimtā azartspēļu teorijā Blēza Paskāla un Kristiana Haigensa darbos. . Tomēr pirmo pilnīgu šīs koncepcijas teorētisko izpratni un novērtējumu sniedza Pafnutijs Ļvovičs Čebiševs (19. gadsimta vidus).
Nejaušo skaitlisko mainīgo sadalījuma likums (sadales funkcija un sadalījuma rinda jeb varbūtības blīvums) pilnībā apraksta nejauša lieluma uzvedību. Bet vairākās problēmās pietiek zināt dažus pētāmā daudzuma skaitliskos raksturlielumus (piemēram, tā vidējo vērtību un iespējamā novirze no viņa), lai atbildētu uz jautājumu. Galvenie nejaušo mainīgo skaitliskie raksturlielumi ir matemātiskā prognoze, dispersija, režīms un mediāna.
Diskrēta gadījuma lieluma matemātiskā cerība ir tā iespējamo vērtību un to atbilstošo varbūtību produktu summa. Dažreiz matemātisko cerību sauc par vidējo svērto, jo tas ir aptuveni vienāds ar nejaušā mainīgā lieluma novēroto vērtību vidējo aritmētisko lielu skaitu eksperimentu. No matemātiskās gaidas definīcijas izriet, ka tā vērtība nav mazāka par mazāko iespējamo nejaušā mainīgā lieluma vērtību un ne lielāka par lielāko. Gadījuma mainīgā matemātiskā cerība ir nejaušs (konstants) mainīgais.
Matemātiskajai cerībai ir vienkārša fiziska nozīme: ja masas vienība ir novietota uz taisnas līnijas, dažos punktos novietojot masu (piemēram, diskrēts sadalījums), vai “iesmērējot” to ar noteiktu blīvumu (absolūti nepārtrauktam sadalījumam), tad matemātiskajai cerībai atbilstošais punkts būs taisnes “smaguma centra” koordināte.
Gadījuma lieluma vidējā vērtība ir noteikts skaitlis, kas it kā ir tā “reprezentatīvs” un aizvieto to aptuvenos aprēķinos. Kad mēs sakām: "vidējais luktura darbības laiks ir 100 stundas" vai "vidējais trieciena punkts ir nobīdīts attiecībā pret mērķi par 2 m pa labi", mēs ar to norādām noteiktu gadījuma lieluma skaitlisko raksturlielumu, kas raksturo tā lielumu. atrašanās vieta uz skaitliskās ass, t.i. pozīcijas apraksts.
No pozīcijas pazīmēm varbūtību teorijā vissvarīgākā loma ir nejaušā mainīgā matemātiskajai gaidīšanai, ko dažreiz sauc vienkārši par nejauša lieluma vidējo vērtību.
Apsveriet nejaušu mainīgo X, kam ir iespējamās vērtības x1, x2, …, xn ar varbūtībām p1, p2, …, pn. Mums ar kādu skaitli jāraksturo nejaušā lieluma vērtību atrašanās vieta uz x ass, ņemot vērā to, ka šīm vērtībām ir dažādas varbūtības. Šim nolūkam ir dabiski izmantot tā saukto vērtību "vidējo svērto". xi, un katra vidējā vērtība xi jāņem vērā ar “svaru”, kas ir proporcionāls šīs vērtības varbūtībai. Tādējādi mēs aprēķināsim nejaušā mainīgā lieluma vidējo vērtību X, ko mēs apzīmēsim M|X|:
Šo vidējo svērto sauc par nejaušā mainīgā lieluma matemātisko cerību. Tādējādi mēs ieviesām vienu no svarīgākajiem varbūtības teorijas jēdzieniem - matemātiskās gaidas jēdzienu. Gadījuma lieluma matemātiskā cerība ir nejaušā lieluma visu iespējamo vērtību un šo vērtību varbūtību reizinājumu summa.
X sakarā ar savdabīgu atkarību no nejauša lieluma novēroto vērtību aritmētiskā vidējā ar lielu skaitu eksperimentu. Šī atkarība ir tāda paša veida kā atkarība starp biežumu un varbūtību, proti: ar lielu skaitu eksperimentu gadījuma lieluma novēroto vērtību vidējais aritmētiskais tuvojas (konverģē ar varbūtību) tā matemātiskajām cerībām. No sakarības starp biežumu un varbūtību var secināt, ka pastāv līdzīga sakarība starp vidējo aritmētisko un matemātisko cerību. Patiešām, apsveriet nejaušu mainīgo X, ko raksturo sadalījumu sērija:
Ļaujiet tai ražot N neatkarīgi eksperimenti, katrā no kuriem vērtība X iegūst noteiktu vērtību. Pieņemsim, ka vērtība x1 parādījās m1 reizes, vērtība x2 parādījās m2 laiki, vispārīga nozīme xi parādījās mi reizes. Aprēķināsim X novēroto vērtību vidējo aritmētisko, kas atšķirībā no matemātiskās cerības M|X| mēs apzīmēsim M*|X|:
Pieaugot eksperimentu skaitam N frekvences pi tuvosies (konverģēs varbūtībā) atbilstošajām varbūtībām. Tāpēc nejaušā lieluma novēroto vērtību vidējais aritmētiskais M|X| palielinoties eksperimentu skaitam, tas tuvosies (konverģēs pēc varbūtības) savām matemātiskajām cerībām. Saikne starp vidējo aritmētisko un iepriekš formulēto matemātisko cerību veido vienas no lielo skaitļu likuma formām saturu.
Mēs jau zinām, ka visas lielo skaitļu likuma formas nosaka faktu, ka noteikti vidējie rādītāji ir stabili daudzos eksperimentos. Šeit mēs runājam par vidējā aritmētiskā stabilitāti no vienas un tās pašas vērtības novērojumu sērijas. Ar nelielu eksperimentu skaitu to rezultātu vidējais aritmētiskais ir nejaušs; ar pietiekamu eksperimentu skaita pieaugumu, tas kļūst "gandrīz nav nejaušs" un, stabilizējoties, tuvojas nemainīgai vērtībai - matemātiskajai gaidīšanai.
Vidējo vērtību stabilitātes īpašību lielam skaitam eksperimentu ir viegli pārbaudīt eksperimentāli. Piemēram, ķermeņa svēršana laboratorijā pēc precīzi svari, svēršanas rezultātā katru reizi iegūstam jaunu vērtību; lai samazinātu novērošanas kļūdu, vairākas reizes nosveram ķermeni un izmantojam iegūto vērtību vidējo aritmētisko. Ir viegli redzēt, ka, turpmāk palielinoties eksperimentu (svērumu) skaitam, vidējais aritmētiskais uz šo pieaugumu reaģē arvien retāk un ar pietiekami lielu eksperimentu skaitu praktiski pārstāj mainīties.
Jāņem vērā, ka gadījuma lieluma pozīcijas svarīgākais raksturlielums – matemātiskā cerība – nepastāv visiem gadījuma mainīgajiem. Var dot piemērus tādiem gadījuma mainīgajiem, kuriem matemātiskās cerības nepastāv, jo atbilstošā summa vai integrālis atšķiras. Tomēr praksē šādi gadījumi nav īpaši ieinteresēti. Parasti nejaušajiem mainīgajiem, ar kuriem mēs strādājam, ir ierobežots iespējamo vērtību diapazons, un, protams, tiem ir cerības.
Papildus svarīgākajām gadījuma lieluma pozīcijas pazīmēm - matemātiskajai cerībai, praksē dažkārt tiek izmantoti arī citi pozīcijas raksturlielumi, jo īpaši nejaušā lieluma režīms un mediāna.
Gadījuma lieluma režīms ir tā visticamākā vērtība. Termins "visticamākā vērtība", stingri runājot, attiecas tikai uz nepārtrauktiem daudzumiem; nepārtrauktam daudzumam režīms ir vērtība, pie kuras varbūtības blīvums ir maksimālais. Attēlos parādīts attiecīgi pārtraukto un nepārtraukto nejaušo mainīgo režīms.
Ja sadalījuma daudzstūrim (sadales līknei) ir vairāk nekā viens maksimums, sadalījums tiek uzskatīts par "polimodālu".
Dažreiz ir sadalījumi, kuru vidū ir nevis maksimums, bet gan minimums. Šādus sadalījumus sauc par "antimodāliem".
Vispārīgā gadījumā gadījuma lieluma režīms un matemātiskā cerība nesakrīt. Konkrētā gadījumā, kad sadalījums ir simetrisks un modāls (t.i., tam ir režīms) un ir matemātiska cerība, tad tas sakrīt ar sadalījuma režīmu un simetrijas centru.
Bieži tiek izmantota vēl viena pozīcijas pazīme - tā sauktā nejaušā mainīgā mediāna. Šo raksturlielumu parasti izmanto tikai nepārtrauktiem nejaušiem mainīgajiem, lai gan to var formāli definēt arī pārtrauktam mainīgajam. Ģeometriski mediāna ir tā punkta abscisa, kurā sadales līknes ierobežotais laukums ir sadalīts uz pusēm.
Simetriska modālā sadalījuma gadījumā mediāna sakrīt ar vidējo un režīmu.
Matemātiskā cerība ir gadījuma lieluma vidējā vērtība - nejauša lieluma varbūtības sadalījuma skaitliskais raksturlielums. Vispārīgākajā veidā, gadījuma mainīgā matemātiskā sagaidīšana X(w) ir definēts kā Lēbesga integrālis attiecībā uz varbūtības mēru R sākotnējā varbūtības telpā:
Matemātisko cerību var aprēķināt arī kā Lēbesga integrāli X pēc varbūtības sadalījuma px daudzumus X:
Dabiskā veidā var definēt nejauša lieluma jēdzienu ar bezgalīgu matemātisku cerību. Tipisks piemērs ir atgriešanas laiki dažās valstīs nejaušas pastaigas.
Ar matemātiskās gaidas palīdzību tiek noteikti daudzi sadalījuma skaitliskie un funkcionālie raksturlielumi (kā gadījuma lieluma atbilstošo funkciju matemātiskā cerība), piemēram, ģenerēšanas funkcija, raksturfunkcija, jebkuras kārtas momenti, jo īpaši dispersija. , kovariācija.
Matemātiskā cerība ir gadījuma lieluma vērtību atrašanās vietas īpašība (tā sadalījuma vidējā vērtība). Šajā kvalitātē matemātiskā cerība kalpo kā "tipisks" sadalījuma parametrs, un tā loma ir līdzīga statiskā momenta - masas sadalījuma smaguma centra koordinātas - lomai mehānikā. No citiem atrašanās vietas raksturlielumiem, ar kuru palīdzību sadalījumu raksturo vispārīgi - mediānas, režīmi, matemātiskā gaida atšķiras ar lielāku vērtību, kāda tai un atbilstošajam izkliedes raksturlielumam - dispersijai - ir varbūtības teorijas robežteorēmās. Ar vislielāko pilnīgumu matemātiskās gaidas nozīmi atklāj lielo skaitļu likums (Čebiševa nevienlīdzība) un pastiprinātais lielo skaitļu likums.
Diskrēta gadījuma mainīgā matemātiskā cerība
Lai ir kāds nejaušs mainīgais, kam var būt viena no vairākām skaitliskām vērtībām (piemēram, punktu skaits kauliņu ripā var būt 1, 2, 3, 4, 5 vai 6). Bieži vien praksē šādai vērtībai rodas jautājums: kāda vērtība ir "vidēji" ar lielu pārbaužu skaitu? Kāda būs mūsu vidējā atdeve (vai zaudējumi) no katra riskantā darījuma?
Pieņemsim, ka ir kaut kāda loterija. Mēs vēlamies saprast, vai ir izdevīgi tajā piedalīties (vai pat piedalīties atkārtoti, regulāri). Pieņemsim, ka uzvar katra ceturtā biļete, balva būs 300 rubļu, un jebkuras biļetes cena būs 100 rubļu. Tā notiek ar bezgalīgu dalību skaitu. Trīs ceturtdaļās gadījumu mēs zaudēsim, katri trīs zaudējumi maksās 300 rubļu. Katrā ceturtajā gadījumā mēs laimēsim 200 rubļus. (balva mīnus izmaksas), tas ir, par četrām dalībām mēs zaudējam vidēji 100 rubļus, par vienu - vidēji 25 rubļus. Kopumā mūsu drupas vidējā likme būs 25 rubļi par biļeti.
Mēs metam kauliņu. Ja tā nav krāpšanās (nepārvietojot smaguma centru utt.), tad cik punktu mums būs vidēji vienā reizē? Tā kā katrs variants ir vienlīdz ticams, mēs ņemam stulbo vidējo aritmētisko un iegūstam 3,5. Tā kā šis ir VIDĒJS, tad nevajag sašutināt, ka neviens konkrēts metiens nedos 3,5 punktus - nu, šim kubam nav sejas ar tādu numuru!
Tagad apkoposim mūsu piemērus:
Apskatīsim attēlu tieši augšā. Kreisajā pusē ir izlases lieluma sadalījuma tabula. X vērtībai var būt viena no n iespējamām vērtībām (norādīta augšējā rindā). Citas vērtības nevar būt. Zem katras iespējamās vērtības tās varbūtība ir parakstīta zemāk. Labajā pusē ir formula, kur M(X) sauc par matemātisko cerību. Šīs vērtības nozīme ir tāda, ka ar lielu izmēģinājumu skaitu (ar lielu izlasi) vidējā vērtība atbilst šai ļoti matemātiskajai cerībai.
Atgriezīsimies pie tā paša spēlēšanas kuba. Matemātiskā sagaidāmais punktu skaits metienā ir 3,5 (ja neticat, aprēķiniet pats, izmantojot formulu). Pieņemsim, ka jūs to iemetāt pāris reizes. Izkrita 4 un 6. Vidēji sanāca 5, tas ir, tālu no 3,5. Viņi iemeta vēlreiz, 3 izkrita, tas ir, vidēji (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Kaut kā tālu no matemātiskām cerībām. Tagad veiciet traku eksperimentu - ripiniet kubu 1000 reizes! Un, ja vidējais nav tieši 3,5, tad tas būs tuvu tam.
Aprēķināsim matemātisko cerību iepriekš aprakstītajai loterijai. Tabula izskatīsies šādi:
Tad matemātiskā cerība būs tāda, kā mēs noskaidrojām iepriekš:
Cita lieta, ka ir arī "uz pirkstiem", bez formulas būtu grūti, ja būtu vairāk variantu. Pieņemsim, ka bija 75% zaudēto biļešu, 20% laimētu biļešu un 5% laimētu biļešu.
Tagad dažas matemātiskās cerības īpašības.
To ir viegli pierādīt:
No gaidīšanas zīmes var izņemt pastāvīgu reizinātāju, tas ir:
Šis ir īpašs matemātiskās gaidas linearitātes īpašības gadījums.
Vēl viena matemātiskās cerības linearitātes sekas:
tas ir, gadījuma lielumu summas matemātiskā cerība ir vienāda ar nejaušo mainīgo matemātisko gaidu summu.
Lai X, Y ir neatkarīgi gadījuma mainīgie, tad:
To arī ir viegli pierādīt) XY pats par sevi ir nejaušs mainīgais, kamēr sākotnējās vērtības varētu būt n un m vērtības, attiecīgi, tad XY var ņemt nm vērtības. Katras vērtības varbūtība tiek aprēķināta, pamatojoties uz faktu, ka neatkarīgu notikumu varbūtības tiek reizinātas. Rezultātā mēs iegūstam šo:
Nepārtraukta gadījuma mainīgā matemātiskā cerība
Nepārtrauktiem gadījuma mainīgajiem ir tāds raksturlielums kā sadalījuma blīvums (varbūtības blīvums). Faktiski tas raksturo situāciju, ka nejaušs mainīgais no reālo skaitļu kopas ņem dažas vērtības biežāk, dažas - retāk. Piemēram, apsveriet šo diagrammu:
Šeit X- faktiski nejaušs mainīgais, f(x)- sadalījuma blīvums. Spriežot pēc šī grafika, eksperimentu laikā vērtība X bieži vien būs skaitlis, kas tuvs nullei. iespējas pārsniegt 3 vai būt mazākam -3 drīzāk tīri teorētiski.
Ļaujiet, piemēram, pastāv vienmērīgs sadalījums:
Tas pilnībā atbilst intuitīvajai izpratnei. Pieņemsim, ja mēs iegūstam daudz nejaušu reālu skaitļu ar vienmērīgu sadalījumu, katrs segments |0; 1| , tad vidējam aritmētiskajam jābūt apmēram 0,5.
Arī šeit ir piemērojamas diskrētiem gadījuma mainīgajiem piemērojamās matemātiskās gaidas īpašības - linearitāte utt.
Matemātiskās gaidas saistība ar citiem statistikas rādītājiem
Statistiskajā analīzē līdzās matemātiskajai cerībai pastāv savstarpēji atkarīgu rādītāju sistēma, kas atspoguļo parādību viendabīgumu un procesu stabilitāti. Bieži vien variācijas indikatoriem nav neatkarīgas nozīmes, un tos izmanto turpmākai datu analīzei. Izņēmums ir variācijas koeficients, kas raksturo datu viendabīgumu, kas ir vērtīgs statistiskais raksturlielums.
Procesu mainīguma vai stabilitātes pakāpi statistikas zinātnē var izmērīt, izmantojot vairākus rādītājus.
Vissvarīgākais rādītājs, kas raksturo gadījuma lieluma mainīgumu, ir Izkliede, kas visciešāk un tiešāk ir saistīts ar matemātisko cerību. Šis parametrs tiek aktīvi izmantots cita veida statistiskajā analīzē (hipotēžu pārbaude, cēloņu un seku attiecību analīze utt.). Tāpat kā vidējā lineārā novirze, dispersija arī atspoguļo to, cik lielā mērā dati izplatās ap vidējo.
Ir lietderīgi pārtulkot zīmju valodu vārdu valodā. Izrādās, ka dispersija ir noviržu vidējais kvadrāts. Tas nozīmē, ka vispirms aprēķina vidējo vērtību, pēc tam ņem starpību starp katru sākotnējo un vidējo vērtību, dala kvadrātā, saskaita un pēc tam dala ar vērtību skaitu šajā populācijā. Atšķirība starp individuālo vērtību un vidējo atspoguļo novirzes mēru. Tas ir kvadrātā, lai nodrošinātu, ka visas novirzes kļūst tikai par pozitīviem skaitļiem un lai izvairītos no pozitīvo un negatīvo noviržu savstarpējas atcelšanas, kad tās tiek summētas. Pēc tam, ņemot vērā novirzes kvadrātā, mēs vienkārši aprēķinām vidējo aritmētisko. Vidējās - kvadrātveida - novirzes. Novirzes ir kvadrātā, un tiek ņemts vērā vidējais. Atbilde uz burvju vārdu "dispersija" ir tikai trīs vārdi.
Tomēr tīrā veidā, piemēram, vidējais aritmētiskais vai indekss, dispersiju neizmanto. Tas drīzāk ir palīg- un starpposma rādītājs, ko izmanto cita veida statistiskai analīzei. Viņai pat nav normālas mērvienības. Spriežot pēc formulas, tas ir sākotnējās datu vienības kvadrāts.
Izmērīsim gadījuma lielumu N reizes, piemēram, mēs desmit reizes izmērām vēja ātrumu un vēlamies atrast vidējo vērtību. Kā vidējā vērtība ir saistīta ar sadalījuma funkciju?
Vai arī mēs metīsim kauliņus lielu skaitu reižu. Punktu skaits, kas katra metiena laikā kritīs uz kauliņa, ir nejaušs lielums, un tam var būt jebkuras dabiskās vērtības no 1 līdz 6. N tas tiecas uz ļoti konkrētu skaitli - matemātisko cerību Mx. Šajā gadījumā Mx = 3,5.
Kā radās šī vērtība? Ielaist N izmēģinājumi n1 kad tiek nomests 1 punkts, n2 reizes - 2 punkti un tā tālāk. Pēc tam rezultātu skaits, kurā krita viens punkts:
Līdzīgi arī rezultātiem, kad izkrita 2, 3, 4, 5 un 6 punkti.
Tagad pieņemsim, ka mēs zinām nejaušā lieluma x sadalījuma likumu, tas ir, mēs zinām, ka gadījuma lielums x var iegūt vērtības x1, x2, ..., xk ar varbūtībām p1, p2, ... , pk.
Gadījuma lieluma x matemātiskā sagaidāmā vērtība Mx ir:
Matemātiskās cerības ne vienmēr ir kāda nejauša mainīgā saprātīgs novērtējums. Tātad, lai novērtētu vidējo algas saprātīgāk ir lietot mediānas jēdzienu, tas ir, tādu vērtību, lai to cilvēku skaits, kuri saņem mazāk par vidējo algu un vairāk, ir vienāds.
Varbūtība p1, ka gadījuma lielums x ir mazāks par x1/2, un varbūtība p2, ka gadījuma lielums x ir lielāks par x1/2, ir vienāda un vienāda ar 1/2. Mediāna nav unikāli noteikta visiem sadalījumiem.
Standarta vai standarta novirze statistikā sauc novērojumu datu vai kopu novirzes pakāpi no VIDĒJĀS vērtības. Apzīmē ar burtiem s vai s. Neliela standarta novirze norāda, ka dati ir sagrupēti ap vidējo, un liela standarta novirze norāda, ka sākotnējie dati ir tālu no tā. Standarta novirze ir vienāda ar kvadrātsakni no daudzuma, ko sauc par dispersiju. Tā ir sākotnējo datu atšķirību kvadrātā vidējā summa, kas atšķiras no vidējā. Gadījuma lieluma standarta novirze ir dispersijas kvadrātsakne:
Piemērs. Pārbaudes apstākļos, šaujot pa mērķi, aprēķiniet nejaušā lieluma dispersiju un standarta novirzi:
Variācija- atribūta vērtības svārstības, mainīgums populācijas vienībās. Atsevišķi skaitliskās vērtības pazīmes, kas sastopamas pētītajā populācijā, sauc par vērtību opcijām. Vidējās vērtības nepietiekamība pilnīgai populācijas raksturošanai liek vidējās vērtības papildināt ar rādītājiem, kas ļauj novērtēt šo vidējo rādītāju tipiskumu, mērot pētāmās pazīmes svārstības (variācijas). Variācijas koeficientu aprēķina pēc formulas:
Laipjuma variācija(R) ir atšķirība starp pazīmes maksimālo un minimālo vērtību pētītajā populācijā. Šis rādītājs sniedz vispārīgāko priekšstatu par pētāmās pazīmes svārstībām, jo tas parāda atšķirību tikai starp opciju galējām vērtībām. Atkarība no atribūta galējām vērtībām piešķir variāciju diapazonam nestabilu, nejaušu raksturu.
Vidējā lineārā novirze ir visu analizētās populācijas vērtību absolūto (modulo) noviržu vidējais aritmētiskais no to vidējās vērtības:
Matemātiskās cerības azartspēļu teorijā
Matemātiskās cerības ir spēlētāja vidējā naudas summa azartspēles var laimēt vai zaudēt uz dotās likmes. Spēlētājam tas ir ļoti nozīmīgs jēdziens, jo tas ir būtiski, lai novērtētu lielāko daļu spēles situāciju. Matemātiskās cerības ir arī labākais rīks, lai analizētu pamata karšu izkārtojumus un spēles situācijas.
Pieņemsim, ka jūs spēlējat monētu ar draugu, katru reizi veicot vienādu likmi uz USD 1 neatkarīgi no tā, kas notiek. Astes - jūs uzvarat, galvas - jūs zaudējat. Izredzes, ka tas nāks uz augšu, ir viens pret vienu, un jūs veicat likmes no $1 līdz $1. Tādējādi jūsu matemātiskās cerības ir nulle, jo matemātiski runājot, tu nevari zināt, vai būsi vadībā vai zaudēs pēc diviem metieniem vai pēc 200.
Jūsu stundas peļņa ir nulle. Stundas izmaksa ir naudas summa, kuru jūs plānojat laimēt stundas laikā. Jūs varat uzmest monētu 500 reizes stundas laikā, taču jūs neuzvarēsit vai nezaudēsit tāpēc jūsu izredzes nav ne pozitīvas, ne negatīvas. Ja paskatās, tad no nopietna spēlētāja viedokļa šāda likmju sistēma nav slikta. Bet tā ir tikai laika izšķiešana.
Bet pieņemsim, ka kāds vēlas veikt likmi $2 pret jūsu $1 tajā pašā spēlē. Tad jums uzreiz ir pozitīvas cerības uz 50 centiem no katras likmes. Kāpēc 50 centi? Vidēji jūs uzvarat vienu likmi un zaudējat otro. Likme uz pirmo dolāru un zaudē 1 $, der uz otro un laimē 2 $. Jūs esat izdarījis likmi 1 $ divas reizes un esat priekšā par 1 $. Tātad katra jūsu viena dolāra likme deva jums 50 centus.
Ja monēta vienā stundā nokritīs 500 reizes, jūsu stundas peļņa būs jau $250, jo. vidēji jūs zaudējāt 1 250 $ un laimējāt 2250 $. $500 mīnus $250 ir vienāds ar $250, kas ir kopējais laimests. Ņemiet vērā, ka paredzamā vērtība, kas ir summa, ko jūs laimējat vidēji vienā likmē, ir 50 centi. Jūs laimējāt $250, veicot likmi uz vienu dolāru 500 reizes, kas ir vienāds ar 50 centiem no jūsu likmes.
Matemātiskām cerībām nav nekā kopīga ar īstermiņa rezultātiem. Jūsu pretinieks, kurš nolēma likt pret jums 2 dolārus, varētu jūs pārspēt pirmajos desmit metienos pēc kārtas, bet jūs ar likmju pārsvaru 2 pret 1, ja viss pārējais ir vienāds, veicat 50 centus par katru likmi 1 $. apstākļiem. Nav nozīmes tam, vai tu laimē vai zaudē vienu likmi vai vairākas likmes, bet tikai ar nosacījumu, ka tev ir pietiekami daudz naudas, lai viegli kompensētu izmaksas. Ja turpināsiet likt likmes tādā pašā veidā, tad ilgākā laika periodā jūsu laimests sasniegs paredzamo vērtību summu atsevišķos metienos.
Katru reizi, kad veicat labāku likmi (likmi, kas var būt ienesīga ilgtermiņā), kad izredzes ir jums labvēlīgas, jūs noteikti kaut ko uzvarēsit neatkarīgi no tā, vai jūs to zaudējat vai nē. Un otrādi, ja izdarījāt likmi ar sliktāku iznākumu (likmi, kas ilgtermiņā ir nerentabla), kad izredzes nav jums labvēlīgas, jūs kaut ko zaudējat neatkarīgi no tā, vai šajā izspēlē esat uzvarējis vai zaudējis.
Jūs derat uz labāko iznākumu, ja jūsu cerības ir pozitīvas, un tas ir pozitīvi, ja izredzes ir jums labvēlīgas. Veicot derības ar sliktāko iznākumu, jums ir negatīvas cerības, kas notiek, ja izredzes ir pret jums. Nopietni spēlētāji veic likmes tikai ar labāko iznākumu, bet ar sliktāko - viņi atmet. Ko nozīmē izredzes jūsu labā? Jūs varat laimēt vairāk, nekā dod faktiskās izredzes. Reālās izredzes uz sitieniem ir 1 pret 1, bet jūs saņemat 2 pret 1 likmju attiecības dēļ. Šajā gadījumā izredzes ir jūsu labā. Jūs noteikti iegūsit vislabāko iznākumu, cerot uz 50 centiem par likmi.
Šeit ir vairāk sarežģīts piemērs matemātiskās cerības. Draugs pieraksta skaitļus no viena līdz pieciem un liek 5 dolāru pret jūsu 1 $, ka jūs neizvēlēsities šo numuru. Vai piekrītat šādai derībai? Kādas ir cerības šeit?
Vidēji jūs kļūdīsities četras reizes. Pamatojoties uz to, izredzes pret jums uzminēt skaitli būs 4 pret 1. Izredzes ir tādas, ka jūs zaudēsiet dolāru vienā mēģinājumā. Tomēr jūs uzvarat 5 pret 1, ar iespēju zaudēt 4 pret 1. Tāpēc izredzes ir jūsu labā, varat pieņemt likmi un cerēt uz labāko iznākumu. Ja jūs veicat šo likmi piecas reizes, jūs vidēji zaudēsiet četras reizes $1 un laimēsiet $5 vienu reizi. Pamatojoties uz to, par visiem pieciem mēģinājumiem jūs nopelnīsiet $ 1 ar pozitīvu matemātisku cerību 20 centi par likmi.
Spēlētājs, kurš gatavojas laimēt vairāk, nekā liek likmes, kā minēts iepriekš minētajā piemērā, noķer izredzes. Un otrādi, viņš sagrauj izredzes, ja cer uzvarēt mazāk, nekā liek. Likmes slēdzējam var būt pozitīvas vai negatīvas cerības atkarībā no tā, vai viņš noķer vai sabojā izredzes.
Ja jūs uzliekat likmi $50, lai laimētu $10 ar iespēju laimēt 4 pret 1, jūs saņemsiet negatīvas cerības $2, jo vidēji jūs četrreiz laimēsiet $10 un zaudēsiet $50 vienu reizi, kas liecina, ka zaudējums uz vienu likmi būs $10. Bet, ja jūs uzliekat likmi 30 USD, lai laimētu 10 USD ar tādu pašu izredzes uzvarēt 4 pret 1, tad šajā gadījumā jums ir pozitīvas cerības uz USD 2, jo jūs atkal laimējat četras reizes 10 $ un vienreiz zaudējat 30 $, iegūstot 10 $ peļņu. Šie piemēri parāda, ka pirmā likme ir slikta, bet otrā ir laba.
Matemātiskās cerības ir jebkuras spēles situācijas centrā. Kad bukmeikeri mudina futbola līdzjutējus likt likmes uz 11 USD, lai laimētu 10 USD, viņiem ir pozitīvas cerības uz 50 centiem par katriem 10 USD. Ja kazino izmaksā pat naudu no Craps pass līnijas, tad mājas pozitīvās cerības ir aptuveni 1,40 USD par katriem 100 USD; šī spēle ir strukturēta tā, ka visi, kas veic likmes uz šo līniju, vidēji zaudē 50,7% un uzvar 49,3% gadījumu. Neapšaubāmi, tieši šīs šķietami minimālās pozitīvās cerības nes milzīgu peļņu kazino īpašniekiem visā pasaulē. Kā atzīmēja Vegas World kazino īpašnieks Bobs Stupaks: “Viena tūkstošdaļa no negatīvas varbūtības pietiekami lielā attālumā sagraus bagātākais cilvēks pasaulē".
Matemātiskās cerības, spēlējot pokeru
Pokera spēle ir ilustratīvākais un ilustratīvākais piemērs matemātisko gaidu teorijas un īpašību izmantošanai.
Paredzamā vērtība pokerā ir vidējais ieguvums no konkrēta lēmuma, ar nosacījumu, ka šādu lēmumu var apsvērt lielu skaitļu un liela attāluma teorijas ietvaros. Veiksmīgs pokers nozīmē vienmēr pieņemt gājienus ar pozitīvām matemātiskām cerībām.
Matemātiskās cerības matemātiskā nozīme spēlējot pokeru slēpjas apstāklī, ka mēs bieži sastopamies ar nejaušiem mainīgajiem, pieņemot lēmumu (mēs nezinām, kuras kārtis ir pretinieka rokā, kuras kārtis nāks nākamajos likmju raundos). Katrs no risinājumiem ir jāapsver no lielo skaitļu teorijas viedokļa, kas saka, ka ar pietiekami lielu izlasi nejaušā lieluma vidējā vērtība atbilst tā matemātiskajai gaidīšanai.
Starp konkrētajām formulām matemātiskās cerības aprēķināšanai pokerā ir vispiemērotākās šādas:
Spēlējot pokeru, matemātiskās cerības var aprēķināt gan likmēm, gan zvaniem. Pirmajā gadījumā jāņem vērā fold equity, otrajā gadījumā paša pot izredzes. Novērtējot konkrētā gājiena matemātisko cerību, jāatceras, ka locījumam vienmēr ir nulle matemātiskā cerība. Tādējādi kāršu izmešana vienmēr būs izdevīgāks lēmums nekā jebkurš negatīvs solis.
Gaidāmība norāda, ko jūs varat sagaidīt (peļņu vai zaudējumus) par katru riskēto dolāru. Kazino pelna naudu, jo visu tajos piekopto spēļu matemātiskās cerības ir par labu kazino. Pie pietiekami garas spēļu sērijas var sagaidīt, ka klients zaudēs savu naudu, jo “iespējamība” ir par labu kazino. Tomēr profesionāli kazino spēlētāji ierobežo savas spēles ar īsu laika periodu, tādējādi palielinot izredzes sev par labu. Tas pats attiecas uz investīcijām. Ja jūsu cerības ir pozitīvas, jūs varat nopelnīt vairāk naudas, veicot daudzus darījumus īsā laika periodā. Paredzamā peļņa ir jūsu peļņas procentuālā daļa no jūsu vidējās peļņas reizinājuma, mīnus jūsu zaudējuma varbūtība un jūsu vidējie zaudējumi.
Pokeru var aplūkot arī matemātiskās cerības. Var pieņemt, ka kāds gājiens ir izdevīgs, taču dažos gadījumos tas var nebūt labākais, jo cits gājiens ir izdevīgāks. Pieņemsim, ka piecu kāršu pokerā jūs sasniedzāt pilnu māju. Jūsu pretinieks veic likmes. Jūs zināt, ka, ja jūs paaugstināsit, viņš piezvanīs. Tāpēc paaugstināšana izskatās kā labākā taktika. Bet, ja jūs tomēr paaugstināsit, pārējie divi spēlētāji noteikti atmetīs. Bet, ja jūs maksāsiet likmi, jūs būsiet pilnīgi pārliecināts, ka pārējie divi spēlētāji pēc jums darīs to pašu. Palielinot likmi, jūs saņemat vienu vienību, un, vienkārši piezvanot, jūs saņemat divas. Tāpēc zvanīšana sniedz augstāku pozitīvu paredzamo vērtību un ir labākā taktika.
Matemātiskās cerības var arī sniegt priekšstatu par to, kura pokera taktika ir mazāk izdevīga un kura ir izdevīgāka. Piemēram, ja jūs izspēlējat noteiktu izspēli un domājat, ka jūsu vidējais zaudējums ir 75 centi, ieskaitot antes, tad jums ir jāizspēlē šī kombinācija, jo tas ir labāk nekā locīšana, ja ante ir 1 USD.
Vēl viens svarīgs iemesls, lai izprastu sagaidāmo vērtību, ir tas, ka tas sniedz jums sirdsmieru neatkarīgi no tā, vai laimējat likmi vai nē: ja veicat labu likmi vai nodosiet laiku, jūs zināt, ka esat izdarījis vai ietaupījis noteiktu summu. naudu, kuru vājāks spēlētājs nevarēja ietaupīt. Ir daudz grūtāk atmest, ja esat neapmierināts, ka pretiniekam ir labāka kombinācija izlozē. Tas nozīmē, ka nauda, ko ietaupāt, nespēlējot, tā vietā, lai veiktu derības, tiek pievienota jūsu vienas nakts vai ikmēneša laimestam.
Vienkārši atcerieties, ka, ja jūs nomainīsit rokas, pretinieks jums piezvanīs, un, kā jūs redzēsit rakstā Pokera pamatteorēma, šī ir tikai viena no jūsu priekšrocībām. Jums vajadzētu priecāties, kad tas notiek. Jūs pat varat iemācīties izbaudīt izspēles zaudēšanu, jo zināt, ka citi spēlētāji jūsu vietā zaudētu daudz vairāk.
Kā minēts sākumā monētu spēles piemērā, stundas atdeves likme ir saistīta ar matemātisko cerību, un šī koncepcija ir īpaši svarīga profesionāliem spēlētājiem. Kad jūs gatavojaties spēlēt pokeru, jums ir garīgi jānovērtē, cik daudz jūs varat laimēt spēles stundā. Vairumā gadījumu jums būs jāpaļaujas uz savu intuīciju un pieredzi, taču varat izmantot arī dažus matemātiskus aprēķinus. Piemēram, ja jūs spēlējat draw lowball un redzat, ka trīs spēlētāji liek 10 USD un pēc tam izvelk divas kārtis, kas ir ļoti slikta taktika, varat aprēķināt pats, ka katru reizi, kad viņi liek 10 USD, viņi zaudē apmēram 2 USD. Katrs no viņiem to dara astoņas reizes stundā, kas nozīmē, ka visi trīs zaudē aptuveni 48 USD stundā. Jūs esat viens no atlikušajiem četriem spēlētājiem, kuri ir aptuveni vienādi, tāpēc šiem četriem spēlētājiem (un jums starp viņiem) ir jāsadala 48 $, un katrs iegūs 12 $ peļņu stundā. Jūsu stundas likme šajā gadījumā ir vienkārši jūsu daļa no naudas summas, ko stundā zaudē trīs slikti spēlētāji.
Ilgākā laika periodā spēlētāja kopējie laimesti ir viņa matemātisko cerību summa atsevišķos sadalījumos. Jo vairāk jūs spēlējat ar pozitīvām cerībām, jo vairāk jūs uzvarat, un otrādi, jo vairāk roku jūs spēlējat ar negatīvām cerībām, jo vairāk jūs zaudējat. Rezultātā jums vajadzētu piešķirt prioritāti spēlei, kas var palielināt jūsu pozitīvās cerības vai noliegt jūsu negatīvās cerības, lai jūs varētu maksimāli palielināt stundas peļņu.
Pozitīvas matemātiskās cerības spēles stratēģijā
Ja jūs zināt, kā skaitīt kārtis, jums var būt priekšrocības salīdzinājumā ar kazino, ja viņi to nepamana un jūs izsitīs. Kazino mīl piedzērušos azartspēļu spēlētājus un necieš kāršu skaitīšanu. Priekšrocība ļaus jums uzvarēt vairāk reižu, nekā jūs zaudējat laika gaitā. laba vadība kapitāls, izmantojot paredzamo aprēķinus, var palīdzēt jums gūt labumu no jūsu priekšrocības un samazināt zaudējumus. Bez priekšrocībām jūs labāk atdodat naudu labdarībai. Spēlē biržā priekšrocības dod spēles sistēma, kas rada lielāku peļņu nekā zaudējumi, cenu atšķirības un komisijas maksas. Nekāda naudas pārvaldība neglābs sliktu spēļu sistēmu.
Pozitīvu gaidu nosaka vērtība, kas ir lielāka par nulli. Jo lielāks šis skaitlis, jo spēcīgāka ir statistika. Ja vērtība ir mazāka par nulli, tad arī matemātiskā cerība būs negatīva. Jo lielāks ir negatīvās vērtības modulis, jo sliktāka ir situācija. Ja rezultāts ir nulle, tad cerības ir līdzsvarotas. Jūs varat uzvarēt tikai tad, ja jums ir pozitīvas matemātiskas cerības, saprātīga spēles sistēma. Spēlēšana uz intuīciju noved pie katastrofas.
Matemātiskās cerības un akciju tirdzniecība
Matemātiskās cerības ir diezgan plaši pieprasīts un populārs statistikas rādītājs biržas tirdzniecībā finanšu tirgos. Pirmkārt, šis parametrs tiek izmantots, lai analizētu tirdzniecības panākumus. Nav grūti uzminēt, jo lielāka ir šī vērtība, jo vairāk iemeslu uzskatīt, ka pētāmā tirdzniecība ir veiksmīga. Protams, tirgotāja darba analīzi nevar veikt tikai ar šī parametra palīdzību. Tomēr aprēķinātā vērtība kombinācijā ar citām darba kvalitātes novērtēšanas metodēm var ievērojami palielināt analīzes precizitāti.
Tirdzniecības kontu uzraudzības pakalpojumos bieži tiek aprēķināta matemātiskā cerība, kas ļauj ātri novērtēt ar depozītu veikto darbu. Kā izņēmumus mēs varam minēt stratēģijas, kas izmanto zaudēto darījumu “pārsniegšanu”. Tirgotājam kādu laiku var paveicies, un tāpēc viņa darbā var nebūt nekādu zaudējumu. Šajā gadījumā nevarēs orientēties tikai pēc cerībām, jo netiks ņemti vērā darbā izmantotie riski.
Tirdzniecībā tirgū matemātiskās cerības visbiežāk tiek izmantotas, prognozējot tirdzniecības stratēģijas ienesīgumu vai prognozējot treidera ienākumus, pamatojoties uz viņa iepriekšējo darījumu statistiku.
Runājot par naudas pārvaldību, ir ļoti svarīgi saprast, ka, veicot darījumus ar negatīvām cerībām, nav naudas pārvaldības shēmas, kas noteikti varētu nest lielu peļņu. Ja turpināsiet spēlēt biržā ar šiem nosacījumiem, tad neatkarīgi no tā, kā jūs pārvaldāt savu naudu, jūs zaudēsiet visu savu kontu neatkarīgi no tā, cik liels tas bija sākumā.
Šī aksioma attiecas ne tikai uz negatīvu gaidu spēlēm vai darījumiem, bet arī uz pāra izredzes spēlēm. Tāpēc vienīgais gadījums, kad jums ir iespēja gūt labumu ilgtermiņā, ir slēdzot darījumus ar pozitīvām matemātiskām cerībām.
Atšķirība starp negatīvajām un pozitīvajām cerībām ir atšķirība starp dzīvību un nāvi. Nav svarīgi, cik pozitīvas vai negatīvas ir cerības; svarīgi ir tas, vai tas ir pozitīvs vai negatīvs. Tāpēc, pirms apsvērt naudas pārvaldību, jums ir jāatrod spēle ar pozitīvām cerībām.
Ja jums nav šīs spēles, tad nekāda naudas pārvaldība pasaulē jūs neglābs. No otras puses, ja jums ir pozitīvas cerības, tad ar pareizu naudas pārvaldību ir iespējams to pārvērst par eksponenciālas izaugsmes funkciju. Nav svarīgi, cik mazas ir pozitīvas cerības! Citiem vārdiem sakot, nav nozīmes tam, cik izdevīga ir tirdzniecības sistēma, kuras pamatā ir viens līgums. Ja jums ir sistēma, kas vienā darījumā iegūst 10 ASV dolāru par līgumu (pēc maksām un novirzes), varat izmantot naudas pārvaldības metodes, lai padarītu to ienesīgāku nekā sistēma, kas uzrāda vidējo peļņu 1000 ASV dolāru apmērā par darījumu (pēc komisijas maksu atskaitīšanas un izslīdēšana).
Svarīgi ir nevis sistēmas rentabilitāte, bet gan tas, cik droši var teikt, ka sistēma nākotnē rādīs vismaz minimālu peļņu. Tāpēc vissvarīgākā sagatavošanās, ko tirgotājs var veikt, ir pārliecināties, ka sistēma nākotnē uzrāda pozitīvu paredzamo vērtību.
Lai nākotnē būtu pozitīva sagaidāmā vērtība, ir ļoti svarīgi neierobežot savas sistēmas brīvības pakāpes. Tas tiek panākts ne tikai likvidējot vai samazinot optimizējamo parametru skaitu, bet arī samazinot pēc iespējas vairāk sistēmas noteikumu. Katrs jūsu pievienotais parametrs, katrs noteikums, ko veicat, katra niecīga sistēma, ko veicat, samazina brīvības pakāpju skaitu. Ideālā gadījumā jūs vēlaties izveidot diezgan primitīvu un vienkāršu sistēmu, kas pastāvīgi nesīs nelielu peļņu gandrīz jebkurā tirgū. Atkal ir svarīgi, lai jūs saprastu, ka nav nozīmes tam, cik ienesīga ir sistēma, ja vien tā ir izdevīga. Tirdzniecībā nopelnītā nauda tiks nopelnīta caur efektīva vadība naudu.
Tirdzniecības sistēma ir vienkārši rīks, kas sniedz jums pozitīvas matemātiskas cerības, lai varētu izmantot naudas pārvaldību. Sistēmas, kas darbojas (uzrāda vismaz minimālu peļņu) tikai vienā vai dažos tirgos vai kurām ir atšķirīgi noteikumi vai parametri dažādiem tirgiem, visticamāk, ilgstoši nedarbosies reāllaikā. Problēma ar lielāko daļu tehniski orientētu tirgotāju ir tā, ka viņi tērē pārāk daudz laika un pūļu, lai optimizētu dažādus tirdzniecības sistēmas noteikumus un parametrus. Tas dod pilnīgi pretējus rezultātus. Tā vietā, lai tērētu enerģiju un datora laiku tirdzniecības sistēmas peļņas palielināšanai, virziet savu enerģiju uz minimālās peļņas iegūšanas uzticamības līmeņa paaugstināšanu.
Zinot, ka naudas pārvaldīšana ir tikai skaitļu spēle, kurā ir jāizmanto pozitīvas cerības, tirgotājs var beigt meklēt akciju tirdzniecības "svēto grālu". Tā vietā viņš var sākt pārbaudīt savu tirdzniecības metodi, noskaidrot, cik šī metode ir loģiski pamatota, vai tā rada pozitīvas cerības. Pareizas naudas pārvaldības metodes, kas tiek piemērotas jebkurai, pat ļoti viduvējai tirdzniecības metodei, paveiks pārējo darbu.
Jebkuram tirgotājam, lai gūtu panākumus savā darbā, ir jāatrisina trīs vissvarīgākie uzdevumi: . Nodrošināt, ka veiksmīgo darījumu skaits pārsniedz neizbēgamās kļūdas un aprēķinus; Iestatiet savu tirdzniecības sistēmu tā, lai iespēja nopelnīt būtu pēc iespējas biežāk; Sasniedziet stabilu pozitīvu savu darbību rezultātu.
Un šeit mums, strādājošiem tirgotājiem, matemātiskās cerības var sniegt labu palīdzību. Šis termins varbūtības teorijā ir viens no galvenajiem. Izmantojot to, jūs varat sniegt kādu nejaušas vērtības vidējo novērtējumu. Gadījuma lieluma matemātiskā cerība ir kā smaguma centrs, ja visas iespējamās varbūtības iedomājamies kā punktus ar dažādu masu.
Saistībā ar tirdzniecības stratēģiju, lai novērtētu tās efektivitāti, visbiežāk tiek izmantota matemātiskā peļņas (vai zaudējumu) cerība. Šis parametrs tiek definēts kā noteiktu peļņas un zaudējumu līmeņu produktu summa un to rašanās varbūtība. Piemēram, izstrādātā tirdzniecības stratēģija paredz, ka 37% no visām operācijām nesīs peļņu, bet pārējā daļa - 63% - būs nerentabla. Tajā pašā laikā vidējie ienākumi no veiksmīga darījuma būs 7 USD, un vidējie zaudējumi būs 1,4 USD. Aprēķināsim tirdzniecības matemātisko cerību, izmantojot šādu sistēmu:
Ko šis skaitlis nozīmē? Tajā teikts, ka, ievērojot šīs sistēmas noteikumus, vidēji no katra noslēgtā darījuma saņemsim 1,708 dolārus. Tā kā iegūtais efektivitātes rādītājs ir lielāks par nulli, šādu sistēmu var izmantot reālam darbam. Ja aprēķinu rezultātā matemātiskā cerība izrādās negatīva, tad tas jau norāda uz vidējiem zaudējumiem un šāda tirdzniecība novedīs pie izpostīšanas.
Peļņas apjomu vienā darījumā var izteikt arī kā relatīvo vērtību % formā. Piemēram:
– ienākumu procents uz 1 darījumu - 5%;
– veiksmīgo tirdzniecības operāciju procentuālais daudzums - 62%;
– zaudējumu procents uz 1 darījumu - 3%;
- neveiksmīgo darījumu īpatsvars - 38%;
Tas ir, vidējais darījums ienesīs 1,96%.
Ir iespējams izstrādāt sistēmu, kas, neskatoties uz zaudēto darījumu pārsvaru, dos pozitīvu rezultātu, jo tās MO>0.
Tomēr ar gaidīšanu vien nepietiek. Ir grūti pelnīt naudu, ja sistēma dod ļoti maz tirdzniecības signālu. Šajā gadījumā tā rentabilitāte būs salīdzināma ar bankas procentiem. Lai katra operācija vidēji ienes tikai 0,5 dolārus, bet ja sistēma pieņem 1000 darījumus gadā? Tā būs ļoti nopietna summa salīdzinoši īsā laikā. No tā loģiski izriet, ka vēl vienu labas tirdzniecības sistēmas pazīmi var uzskatīt par īsu turēšanas periodu.
Avoti un saites
dic.academic.ru - akadēmiskā tiešsaistes vārdnīca
mathematics.ru - izglītības vietne par matemātiku
nsu.ru ir Novosibirskas izglītojoša vietne valsts universitāte
webmath.ru izglītības portāls studentiem, pretendentiem un skolēniem.
exponenta.ru izglītības matemātikas vietne
ru.tradimo.com - bezmaksas tiešsaistes tirdzniecības skola
crypto.hut2.ru - daudznozaru informācijas resurss
poker-wiki.ru - bezmaksas pokera enciklopēdija
sernam.ru - Zinātniskā bibliotēka ar atlasītām dabaszinātņu publikācijām
reshim.su - vietne SOLVE uzdevumu kontroles kursa darbs
unfx.ru – Forex uz UNFX: apmācība, tirdzniecības signāli, uzticības pārvaldība
slovopedia.com — liels enciklopēdiskā vārdnīca Slovākija
pokermansion.3dn.ru — jūsu ceļvedis pokera pasaulē
statanaliz.info - informatīvais emuārs "Statistikas datu analīze"
forex-trader.rf - portāls Forex-Trader
megafx.ru — jaunākā Forex analītika
fx-by.com — viss tirgotājam
Nejaušs mainīgais tiek izsaukts mainīgais, kas katra testa rezultātā atkarībā no nejaušiem cēloņiem iegūst vienu iepriekš nezināmu vērtību. Nejaušie mainīgie tiek apzīmēti ar lielajiem latīņu burtiem: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Pēc to veida nejaušie mainīgie var būt diskrēts un nepārtraukts.
Diskrēts nejaušības lielums- tas ir tāds gadījuma lielums, kura vērtības var būt ne vairāk kā saskaitāmas, tas ir, ierobežotas vai saskaitāmas. Saskaitāmība nozīmē, ka gadījuma lieluma vērtības var uzskaitīt.
1. piemērs . Sniegsim diskrēto gadījuma mainīgo piemērus:
a) sitienu skaits mērķī ar $n$ šāvienu, šeit iespējamās vērtības ir $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
b) ģerboņu skaits, kas izkrita, metot monētu, šeit iespējamās vērtības ir $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
c) uz kuģa ienākušo kuģu skaits (skaitāma vērtību kopa).
d) centrālē ienākošo zvanu skaits (skaitāma vērtību kopa).
1. Diskrēta gadījuma lieluma varbūtības sadalījuma likums.
Diskrēts gadījuma mainīgais $X$ var iegūt vērtības $x_1,\dots ,\ x_n$ ar varbūtībām $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Tiek saukta atbilstība starp šīm vērtībām un to varbūtībām diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums. Parasti šī atbilstība tiek norādīta, izmantojot tabulu, kuras pirmajā rindā ir norādītas vērtības $x_1,\dots ,\ x_n$, bet otrajā rindā šīm vērtībām atbilstošās varbūtības ir $ p_1,\punkti ,\ p_n$.
$\begin(masīvs)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \punkti & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \punkti & p_n \\
\hline
\end(masīvs)$
2. piemērs . Lai nejaušais lielums $X$ ir izmesto punktu skaits, metot kauliņu. Šādam nejaušam mainīgajam $X$ var būt šādas vērtības $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Visu šo vērtību varbūtība ir vienāda ar USD 1/6 USD. Tad varbūtības sadalījuma likums nejaušajam mainīgajam $X$:
$\begin(masīvs)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\hline
\end(masīvs)$
komentēt. Tā kā diskrētā gadījuma lieluma $X$ sadalījuma likumā notikumi $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ veido pilnīgu notikumu grupu, varbūtību summai jābūt vienādai ar vienu, t.i. $\sum( p_i)=1$.
2. Diskrēta gadījuma lieluma matemātiskā cerība.
Matemātiskā gadījuma lieluma gaidīšana norāda tās "centrālo" vērtību. Diskrētam gadījuma mainīgajam matemātiskā sagaidāmā vērtība tiek aprēķināta kā vērtību $x_1,\dots ,\ x_n$ un šīm vērtībām atbilstošo varbūtību $p_1,\dots ,\ p_n$ reizinājumu summa, t.i.: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Angļu literatūrā tiek izmantots cits apzīmējums $E\left(X\right)$.
Gaidāmās īpašības$M\left(X\right)$:
- $M\left(X\right)$ ir starp mazāko un lielāko nejaušā mainīgā $X$ vērtību.
- Konstantes matemātiskā cerība ir vienāda ar pašu konstanti, t.i. $M\left(C\right)=C$.
- Pastāvīgo koeficientu var izņemt no gaidīšanas zīmes: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
- Nejaušo lielumu summas matemātiskā cerība ir vienāda ar to matemātisko gaidu summu: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
- Neatkarīgu gadījuma lielumu reizinājuma matemātiskā cerība ir vienāda ar to matemātisko gaidu reizinājumu: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
3. piemērs . Atradīsim nejaušā lieluma $X$ matemātisko cerību no piemēra $2$.
$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cpunkts ((1)\virs (6))+4\cpunkts ((1)\virs (6))+5\cpunkts ((1)\virs (6))+6\cpunkts ((1) )\over (6))=3,5.$$
Varam pamanīt, ka $M\left(X\right)$ ir starp mazāko ($1$) un lielāko ($6$) nejaušā mainīgā $X$ vērtībām.
4. piemērs . Ir zināms, ka gadījuma lieluma $X$ matemātiskā cerība ir vienāda ar $M\left(X\right)=2$. Atrodiet nejaušā lieluma $3X+5$ matemātisko cerību.
Izmantojot iepriekš minētās īpašības, mēs iegūstam $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.
5. piemērs . Ir zināms, ka gadījuma lieluma $X$ matemātiskā cerība ir vienāda ar $M\left(X\right)=4$. Atrodiet nejaušā lieluma $2X-9$ matemātisko cerību.
Izmantojot iepriekš minētās īpašības, mēs iegūstam $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.
3. Diskrētā gadījuma lieluma izkliede.
Iespējamās nejaušo mainīgo vērtības ar vienādām matemātiskām cerībām var atšķirīgi izkliedēties ap to vidējām vērtībām. Piemēram, divās skolēnu grupās vidējais eksāmena rezultāts varbūtību teorijā izrādījās 4, bet vienā grupā visi izrādījās labi skolēni, bet otrā grupā - tikai C studenti un teicamnieki. Tāpēc ir nepieciešams tāds gadījuma lieluma skaitlisks raksturlielums, kas parādītu gadījuma lieluma vērtību izplatību ap tā matemātisko cerību. Šī īpašība ir dispersija.
Diskrēta gadījuma lieluma izkliede$X$ ir:
$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$
Angļu literatūrā tiek lietots apzīmējums $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Ļoti bieži dispersiju $D\left(X\right)$ aprēķina pēc formulas $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) pa kreisi(X \pa labi)\pa labi))^2$.
Izkliedes īpašības$D\left(X\right)$:
- Izkliede vienmēr ir lielāka vai vienāda ar nulli, t.i. $D\left(X\right)\ge 0$.
- Izkliede no konstantes ir vienāda ar nulli, t.i. $D\left(C\right)=0$.
- Pastāvīgo koeficientu var izņemt no dispersijas zīmes, ja tas ir kvadrātā, t.i. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
- Neatkarīgo gadījuma lielumu summas dispersija ir vienāda ar to dispersiju summu, t.i. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
- Neatkarīgo gadījuma lielumu starpības dispersija ir vienāda ar to dispersiju summu, t.i. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
6. piemērs . Aprēķināsim nejaušā lieluma $X$ dispersiju no piemēra $2$.
$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right)))^2=((35)\over (12))\aptuveni 2,92.$$
7. piemērs . Ir zināms, ka nejaušā lieluma $X$ dispersija ir vienāda ar $D\left(X\right)=2$. Atrodiet nejaušā lieluma $4X+1$ dispersiju.
Izmantojot iepriekš minētās īpašības, mēs atrodam $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ kreisais(X\labais)=16\cdot 2=32$.
8. piemērs . Ir zināms, ka $X$ dispersija ir vienāda ar $D\left(X\right)=3$. Atrodiet nejaušā lieluma $3-2X$ dispersiju.
Izmantojot iepriekš minētās īpašības, mēs atrodam $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ kreisais (X\labais)=4\cdot 3=12$.
4. Diskrētā gadījuma lieluma sadalījuma funkcija.
Metode diskrēta gadījuma lieluma attēlošanai sadalījuma sērijas veidā nav vienīgā, un, pats galvenais, tā nav universāla, jo nepārtrauktu gadījuma lielumu nevar norādīt, izmantojot sadalījuma sēriju. Ir vēl viens veids, kā attēlot gadījuma lielumu - sadalījuma funkcija.
sadales funkcija nejaušais mainīgais $X$ ir funkcija $F\left(x\right)$, kas nosaka varbūtību, ka nejaušajam mainīgajam $X$ ir vērtība, kas ir mazāka par kādu fiksētu vērtību $x$, t.i., $F\left(x\ pa labi)$ )=P\pa kreisi(X< x\right)$
Sadales funkcijas īpašības:
- $0\le F\left(x\right)\le 1$.
- Varbūtība, ka nejaušais mainīgais $X$ ņem vērtības no intervāla $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, ir vienāda ar starpību starp sadalījuma funkcijas vērtībām šī intervāla galos : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
- $F\left(x\right)$ - nesamazinās.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.
9. piemērs . Ļaujiet mums atrast sadalījuma funkciju $F\left(x\right)$ diskrētā gadījuma lieluma $X$ sadalījuma likumam no piemēra $2$.
$\begin(masīvs)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(masīvs)$
Ja $x\le 1$, tad acīmredzami $F\left(x\right)=0$ (ieskaitot $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).
Ja $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.
Ja $ 2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.
Ja $ 3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.
Ja $ 4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.
Ja $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.
Ja $x > 6$, tad $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.
Tātad $F(x)=\left\(\begin(matrica)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, plkst. \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, plkst. \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ plkst \ 4< x\le 5,\\
1,\ \ x > 6.
\end(matrica)\right.$