กำหนดตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นและระนาบ เส้นตรงบนเครื่องบิน - ข้อมูลที่จำเป็น

เส้นอาจเป็นหรือไม่ใช่ของเครื่องบินก็ได้ มันเป็นของเครื่องบินถ้ามีจุดอย่างน้อยสองจุดอยู่บนเครื่องบิน รูปที่ 93 แสดงระนาบ Sum (ขวานบี).ตรง lเป็นของระนาบ Sum เนื่องจากจุดที่ 1 และ 2 เป็นของระนาบนี้

ถ้าเส้นนั้นไม่ใช่ของระนาบ มันอาจจะขนานกับมันหรือตัดกันก็ได้

เส้นขนานกับระนาบ ถ้าขนานกับเส้นอื่นในระนาบนั้น รูปที่ 93 ตรง ม || ผลรวมเพราะมันขนานกับเส้นตรง lเป็นของเครื่องบินลำนี้

เส้นตรงสามารถตัดระนาบในมุมต่างๆ และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้ตั้งฉากกับระนาบ การสร้างเส้นตัดของเส้นตรงที่มีระนาบแสดงไว้ใน §61

รูปที่ 93 - เส้นตรงที่เป็นของระนาบ

จุดที่สัมพันธ์กับระนาบสามารถระบุได้ดังนี้ เป็นของหรือไม่เป็นของมัน จุดเป็นของระนาบหากอยู่บนเส้นในระนาบนั้น รูปที่ 94 แสดงภาพวาดที่ซับซ้อนของระนาบผลรวมที่กำหนดโดยเส้นคู่ขนานสองเส้น lและ ป.สายอยู่ในระนาบ เมตรจุด A อยู่ในระนาบ Sum เนื่องจากอยู่บนเส้น เมตร Dot ที่ไม่ได้อยู่ในระนาบ เนื่องจากการฉายภาพครั้งที่สองไม่ได้อยู่บนเส้นโครงที่สอดคล้องกัน

รูปที่ 94 - รูปวาดที่ซับซ้อนของระนาบที่กำหนดโดยเส้นคู่ขนานสองเส้น

พื้นผิวทรงกรวยและทรงกระบอก

พื้นผิวรูปกรวยรวมถึงพื้นผิวที่เกิดขึ้นจากการกระจัดของ generatrix . เป็นเส้นตรง lตามแนวโค้ง เมตรคุณลักษณะของการก่อตัวของพื้นผิวรูปกรวยคือในกรณีนี้จุดหนึ่งของ generatrix จะได้รับการแก้ไขเสมอ จุดนี้เป็นจุดสูงสุดของพื้นผิวรูปกรวย (รูปที่ 95, ก)ตัวกำหนดพื้นผิวทรงกรวยรวมถึงจุดยอด สและมัคคุเทศก์ เมตรนั้น l"~ส; l"^ เมตร

พื้นผิวทรงกระบอกรวมถึงพื้นผิวที่เกิดจาก generatrix ตรง / เคลื่อนที่ไปตามเส้นบอกแนวโค้ง tขนานกับทิศทางที่กำหนด ส(รูปที่ 95, ข)พื้นผิวทรงกระบอกถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของพื้นผิวรูปกรวยที่มีจุดยอดที่อนันต์ เอส

ดีเทอร์มิแนนต์พื้นผิวทรงกระบอกประกอบด้วยไกด์ tและทิศทาง S ขึ้นรูป lในขณะที่ l" || เอส; ล" ^ ม.

หากเครื่องกำเนิดของพื้นผิวทรงกระบอกตั้งฉากกับระนาบของการฉายภาพพื้นผิวดังกล่าวจะเรียกว่า ฉายรูปที่ 95 ในมีการแสดงพื้นผิวทรงกระบอกที่ยื่นในแนวนอน

บนพื้นผิวทรงกระบอกและทรงกรวย คะแนนที่ได้รับถูกสร้างขึ้นด้วยความช่วยเหลือของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าที่ผ่านเข้ามา เส้นบนพื้นผิว เช่น เส้น เอเพื่อคิด 95, ในหรือแนวนอน ชม.ในรูปที่ 95 ก, ข,ถูกสร้างขึ้นโดยใช้แต่ละจุดที่เป็นของเส้นเหล่านี้

รูปที่ 95 - พื้นผิวรูปกรวยและทรงกระบอก

พื้นผิวลำตัว

พื้นผิวลำตัวเป็นพื้นผิวที่เกิดจาก generatrix . เป็นเส้นตรง l, สัมผัสเส้นโค้งอวกาศบางตำแหน่งระหว่างการเคลื่อนที่ในทุกตำแหน่ง เสื้อเรียกว่า ขอบกลับ(รูปที่ 96) ขอบกลับกำหนดลำตัวอย่างสมบูรณ์และเป็นส่วนเรขาคณิตของตัวกำหนดพื้นผิว ส่วนอัลกอริธึมเป็นการบ่งชี้ถึงการสัมผัสกันของเครื่องกำเนิดไฟฟ้ากับขอบยอด

พื้นผิวรูปกรวยเป็นกรณีพิเศษของลำตัวที่มีขอบกลับ tเสื่อมลงเป็นจุด ส- ด้านบนของพื้นผิวทรงกรวย พื้นผิวทรงกระบอกเป็นกรณีพิเศษของลำตัวซึ่งมีขอบยอดเป็นจุดที่อนันต์

รูปที่ 96 - พื้นผิวลำตัว

พื้นผิวเหลี่ยมเพชรพลอย

พื้นผิวเหลี่ยมเพชรพลอยรวมถึงพื้นผิวที่เกิดขึ้นจากการกระจัดของ generatrix . เป็นเส้นตรง lตามเส้นขาด เมตรแต่ถ้าจุดใดจุดหนึ่ง สเจเนอเรทริกซ์ไม่เคลื่อนไหวจะมีการสร้างพื้นผิวเสี้ยม (รูปที่ 97) หากเจเนอเรทริกซ์ขนานกับทิศทางที่กำหนดเมื่อเคลื่อนที่ เอส,จากนั้นจึงสร้างพื้นผิวปริซึม (รูปที่ 98)

องค์ประกอบของพื้นผิวเหลี่ยมเพชรพลอยคือ: จุดยอด ส(ใกล้พื้นผิวปริซึมอยู่ที่อนันต์) ใบหน้า (ส่วนหนึ่งของระนาบล้อมรอบด้วยส่วนหนึ่งของไกด์ มและตำแหน่งสุดขั้วของ generatrix ที่สัมพันธ์กับมัน l) และขอบ (เส้นตัดของใบหน้าที่อยู่ติดกัน)

ดีเทอร์มิแนนต์พื้นผิวพีระมิดรวมถึงจุดยอด เอส,ผ่านเครื่องกำเนิดไฟฟ้าและมัคคุเทศก์: ล" ~ เอส; l^ ที

ดีเทอร์มิแนนต์พื้นผิวเป็นแท่งปริซึม ยกเว้นไกด์ เสื้อมีทิศทาง เอส,ที่เครื่องกำเนิดไฟฟ้าทั้งหมดขนานกัน lพื้นผิว: ล||ส; ล^ ต.

รูปที่ 97 - พื้นผิวพีระมิด

รูปที่ 98 - พื้นผิวปริซึม

พื้นผิวที่ปิดสนิทซึ่งเกิดจากใบหน้าจำนวนหนึ่ง (อย่างน้อยสี่) เรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยม ในบรรดารูปทรงหลายเหลี่ยมนั้น กลุ่มของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติมีความโดดเด่น ซึ่งใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและสอดคล้องกัน และมุมรูปทรงหลายเหลี่ยมที่จุดยอดจะนูนและประกอบด้วย เบอร์เดียวกันใบหน้า ตัวอย่างเช่น: hexahedron - ลูกบาศก์ (รูปที่ 99, ก)จัตุรมุข - สี่เหลี่ยมปกติ (รูปที่ 99, 6) ทรงแปดหน้า - รูปทรงหลายเหลี่ยม (รูปที่ 99, ใน).คริสตัลมีรูปร่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมต่างๆ

รูปที่ 99 - รูปทรงหลายเหลี่ยม

พีระมิด- รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมโดยพลการ และใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกัน เอส

ในรูปวาดที่ซับซ้อน ปิรามิดถูกกำหนดโดยการฉายภาพของจุดยอดและขอบ โดยคำนึงถึงการมองเห็น การมองเห็นของขอบถูกกำหนดโดยใช้จุดที่แข่งขันกัน (ภาพที่ 100)

รูปที่ 100 - การกำหนดการมองเห็นของขอบโดยใช้จุดที่แข่งขันกัน

ปริซึม- รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เหมือนกันและขนานกันสองรูป และใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ถ้าขอบของปริซึมตั้งฉากกับระนาบของฐาน ปริซึมดังกล่าวจะเรียกว่าเส้นตรง หากซี่โครงของปริซึมตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพใดๆ ผิวด้านข้างของปริซึมจะเรียกว่าการยื่นออกมา รูปที่ 101 แสดงภาพวาดที่ซับซ้อนของปริซึมสี่เหลี่ยมตรงที่มีพื้นผิวยื่นในแนวนอน

รูปที่ 101 - การวาดที่ซับซ้อนของปริซึมสี่เหลี่ยมตรงที่มีพื้นผิวยื่นในแนวนอน

เมื่อทำงานกับภาพวาดรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ซับซ้อน คุณต้องสร้างเส้นบนพื้นผิว และเนื่องจากเส้นคือจุดสะสม คุณจึงต้องสามารถสร้างจุดบนพื้นผิวได้

จุดใดๆ บนพื้นผิวเหลี่ยมเพชรพลอยสามารถสร้างได้โดยใช้ generatrix ที่ผ่านจุดนี้ ในรูปที่ 100 บนใบหน้า ACSจุดที่สร้างขึ้น เอ็มด้วยเครื่องกำเนิดไฟฟ้า เอส-5.

พื้นผิวลาน

พื้นผิวลานเป็นพื้นผิวที่สร้างขึ้นระหว่างการเคลื่อนที่เป็นเกลียวของเครื่องกำเนิดเป็นเส้นตรง พื้นผิวเกลียวที่ถูกปกครองเรียกว่า เฮลิคอยด์

เฮลิคอยด์ตรงเกิดจากการเคลื่อนที่ของเจเนอเรทริกซ์เป็นเส้นตรง ผมตามไกด์สองตัว: เกลียว tและแกนของมัน ผม; ในขณะที่สร้าง lตัดผ่านแกนเกลียวเป็นมุมฉาก (รูปที่ 102, a) เกลียวตรงใช้ในการสร้างบันไดเวียน สกรู และเกลียวในเครื่องมือกล

helicoid เอียงเกิดขึ้นจากการเคลื่อนที่ของ generatrix ตามแนวเกลียว tและแกนของมัน ผมเพื่อให้เครื่องกำเนิดไฟฟ้า lข้ามแกน ผมที่มุมคงที่ φ นอกเหนือจากมุมฉาก กล่าวคือ ในตำแหน่งใดๆ ตัวสร้าง lขนานกับหนึ่งในเจนเนอเรชั่นของกรวยนำทางที่มีมุมที่ยอดเท่ากับ2φ (รูปที่ 102, ข) helicoids เอียงจะจำกัดพื้นผิวของเกลียว

รูปที่ 102 - เฮลิคออยด์

พื้นผิวของการปฏิวัติ

พื้นผิวของการปฏิวัติรวมถึงพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนของเส้น l รอบเส้นตรง ผม แทนแกนของการหมุน พวกเขาสามารถปกครองได้เช่นกรวยหรือทรงกระบอกแห่งการปฏิวัติและไม่เชิงเส้นหรือโค้งเช่นทรงกลม ดีเทอร์มิแนนต์ของพื้นผิวของการปฏิวัติรวมถึง generatrix l และแกน ผม . แต่ละจุดของ generatrix ระหว่างการหมุนจะอธิบายวงกลม ซึ่งระนาบนั้นตั้งฉากกับแกนของการหมุน วงกลมของพื้นผิวแห่งการปฏิวัติดังกล่าวเรียกว่าแนวขนาน เส้นขนานที่ใหญ่ที่สุดเรียกว่า เส้นศูนย์สูตร.เส้นศูนย์สูตรกำหนดโครงร่างแนวนอนของพื้นผิวหาก i _|_ P 1 . ในกรณีนี้ เส้นขนานคือแนวนอนของพื้นผิวนี้

เส้นโค้งของพื้นผิวของการปฏิวัติที่เกิดขึ้นจากการตัดกันของพื้นผิวที่มีระนาบผ่านแกนของการปฏิวัติเรียกว่า เส้นเมอริเดียนเส้นเมอริเดียนทั้งหมดของพื้นผิวเดียวกันมีความสอดคล้องกัน เส้นเมอริเดียนหน้าผากเรียกว่าเส้นเมอริเดียนหลัก มันกำหนดโครงร่างด้านหน้าของพื้นผิวของการปฏิวัติ เส้นเมอริเดียนของโปรไฟล์กำหนดโครงร่างโปรไฟล์ของพื้นผิวของการปฏิวัติ

เป็นวิธีที่สะดวกที่สุดในการสร้างจุดบนพื้นผิวโค้งของการปฏิวัติโดยใช้แนวขนานของพื้นผิว รูปที่ 103 dot เอ็มสร้างขึ้นบนขนาน ชั่วโมง 4 .

รูปที่ 103 - การสร้างจุดบนพื้นผิวโค้ง

พื้นผิวของการปฏิวัติได้พบมากที่สุด ประยุกต์กว้างในเทคโนโลยี พวกเขาจำกัดพื้นผิวของชิ้นส่วนทางวิศวกรรมส่วนใหญ่

พื้นผิวทรงกรวยของการปฏิวัติเกิดขึ้นจากการหมุนของเส้นตรง ผมรอบเส้นตรงที่ตัดกับมัน - แกน ผม(รูปที่ 104, เอ). Dot เอ็มบนพื้นผิวถูกสร้างขึ้นโดยใช้ generatrix lและความคล้ายคลึงกัน ชม.พื้นผิวนี้เรียกอีกอย่างว่ากรวยแห่งการปฏิวัติหรือกรวยวงกลมด้านขวา

พื้นผิวทรงกระบอกของการปฏิวัติเกิดขึ้นจากการหมุนของเส้นตรง lรอบแกนคู่ขนาน ผม(รูปที่ 104, ข)พื้นผิวนี้เรียกอีกอย่างว่าทรงกระบอกหรือทรงกระบอกกลมด้านขวา

ทรงกลมเกิดจากการหมุนวงกลมรอบเส้นผ่านศูนย์กลาง (รูปที่ 104, ใน). จุด A บนผิวทรงกลมเป็นเส้นเมริเดียนที่สำคัญ ฉจุด ที่- เส้นศูนย์สูตร ชม,จุด เอ็มสร้างขึ้นบนขนานเสริม ชม".

รูปที่ 104 - การก่อตัวของพื้นผิวของการปฏิวัติ

พรูถูกสร้างขึ้นโดยการหมุนวงกลมหรือส่วนโค้งของมันรอบแกนที่อยู่ในระนาบของวงกลม หากแกนอยู่ภายในวงกลมที่ก่อตัวขึ้น พรูดังกล่าวจะเรียกว่าปิด (รูปที่ 105, a) หากแกนหมุนอยู่นอกวงกลม พรูดังกล่าวจะเรียกว่าเปิด (รูปที่ 105, ข)พรูเปิดเรียกอีกอย่างว่าวงแหวน

รูปที่ 105 - การก่อตัวของพรู

พื้นผิวของการปฏิวัติสามารถเกิดขึ้นได้ด้วยเส้นโค้งอื่นของลำดับที่สอง วงรีแห่งการปฏิวัติ (รูปที่ 106, ก)เกิดจากการหมุนวงรีรอบแกนของมัน พาราโบลาของการปฏิวัติ (รูปที่ 106, ข) - การหมุนของพาราโบลารอบแกนของมัน ไฮเปอร์โบลอยด์ของการปฏิวัติแบบแผ่นเดียว (รูปที่ 106, ใน) เกิดขึ้นจากการหมุนของไฮเปอร์โบลารอบแกนจินตภาพและเกิดเป็นสองแผ่น (รูปที่ 106, จี) - การหมุนของไฮเปอร์โบลารอบแกนจริง

รูปที่ 106 - การก่อตัวของพื้นผิวของการปฏิวัติโดยเส้นโค้งของลำดับที่สอง

ในกรณีทั่วไป พื้นผิวถูกแสดงเป็นไม่จำกัดในทิศทางของการขยายพันธุ์ของเส้นกำเนิด (ดูรูปที่ 97, 98) สำหรับการแก้ปัญหา งานเฉพาะและรับ รูปทรงเรขาคณิตจำกัดเฉพาะเครื่องบินตัด ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ได้ทรงกระบอกกลม จำเป็นต้องจำกัดส่วนของพื้นผิวทรงกระบอกด้วยระนาบการตัด (ดูรูปที่ 104 ข)เป็นผลให้เราได้ฐานบนและล่าง หากระนาบการตัดตั้งฉากกับแกนหมุน กระบอกก็จะตรง ถ้าไม่เช่นนั้น กระบอกก็จะเอียง

เพื่อให้ได้กรวยกลม (ดูรูปที่ 104 เอ) คุณต้องตัดตามจุดยอดและอื่น ๆ หากระนาบตัดของฐานของทรงกระบอกตั้งฉากกับแกนหมุน กรวยจะตั้งตรง หากไม่เป็นเช่นนั้น ก็จะเอียง หากระนาบตัดทั้งสองไม่ผ่านจุดยอด กรวยจะถูกตัดทอน

การใช้ระนาบตัดคุณจะได้ปริซึมและปิรามิด ตัวอย่างเช่น พีระมิดหกเหลี่ยมจะตรงถ้าขอบทั้งหมดมีความชันเท่ากันกับระนาบที่ตัด ในกรณีอื่นๆ จะเป็นแบบเฉียง ถ้าทำเสร็จ กับด้วยความช่วยเหลือของเครื่องบินตัดแต่งและไม่มีใครผ่านด้านบน - พีระมิดถูกตัดทอน

สามารถหาปริซึม (ดูรูปที่ 101) ได้โดยการจำกัดส่วนของพื้นผิวปริซึมด้วยระนาบตัดสองระนาบ หากระนาบการตัดตั้งฉากกับขอบ เช่น ปริซึมแปดเหลี่ยม ก็จะเป็นเส้นตรง ถ้าไม่ตั้งฉากก็จะเอียง

โดยการเลือกตำแหน่งที่เหมาะสมของระนาบการตัด เป็นไปได้ที่จะได้รูปทรงต่างๆ ของรูปทรงเรขาคณิต ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของปัญหาที่กำลังแก้ไข

Stereometry

การจัดเรียงเส้นและระนาบร่วมกัน

ในที่ว่าง

ความขนานของเส้นและระนาบ

สองเส้นในอวกาศเรียกว่า ขนาน หากอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่ตัดกัน

เส้นและระนาบเรียกว่า ขนาน ถ้าไม่ตัดกัน

เครื่องบินทั้งสองลำเรียกว่า ขนาน ถ้าไม่ตัดกัน

เส้นที่ไม่ตัดกันและไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน เรียกว่า ผสมพันธุ์ .

เครื่องหมายความขนานของเส้นตรงและระนาบ. หากเส้นที่ไม่ได้เป็นของระนาบขนานกับเส้นบางเส้นในระนาบนั้น แสดงว่าเส้นนั้นขนานกับระนาบนั้นด้วย

สัญลักษณ์ของระนาบคู่ขนาน. หากเส้นตัดกันสองเส้นของระนาบหนึ่งขนานกับเส้นสองเส้นของระนาบอื่นตามลำดับ ระนาบเหล่านี้จะขนานกัน

เครื่องหมายของเส้นตัดกัน. ถ้าเส้นใดเส้นหนึ่งในสองเส้นอยู่ในระนาบ และอีกเส้นตัดกับระนาบนี้ ณ จุดที่ไม่ได้เป็นของเส้นแรก เส้นเหล่านี้ตัดกัน

ทฤษฎีบทของเส้นขนานและระนาบคู่ขนาน

1. เส้นสองเส้นขนานกับเส้นที่สามขนานกัน

2. ถ้าเส้นคู่ขนานเส้นใดเส้นหนึ่งตัดกับระนาบ เส้นอื่นตัดกับระนาบนี้

3. ผ่านจุดนอกเส้นที่กำหนด เราสามารถลากเส้นขนานกับเส้นที่กำหนด และมีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น

4. ถ้าเส้นหนึ่งขนานกับระนาบที่ตัดกันแต่ละระนาบ แสดงว่าเส้นนั้นขนานกับเส้นตัดของพวกมัน

5. ถ้าระนาบคู่ขนานสองระนาบตัดกันโดยระนาบที่สาม เส้นของทางแยกจะขนานกัน

6. ผ่านจุดที่ไม่ได้นอนอยู่ในระนาบที่กำหนด เราสามารถวาดระนาบขนานกับระนาบที่กำหนด และมีเพียงอันเดียวเท่านั้น

7. ระนาบสองระนาบขนานกับหนึ่งในสามขนานกัน

8. ส่วนของเส้นขนานที่อยู่ระหว่างระนาบขนานเท่ากัน

มุมระหว่างเส้นกับระนาบ

มุมระหว่างเส้นกับระนาบเรียกมุมระหว่างเส้นกับการฉายบนระนาบ (มุมในรูปที่ 1)

มุมระหว่างเส้นเบ้คือมุมระหว่างเส้นตัดที่ขนานกันกับเส้นเอียงที่กำหนด

มุมไดฮีดรัลรูปทรงที่เกิดจากระนาบครึ่งระนาบสองระนาบที่มีเส้นตรงร่วมกันเรียกว่า ครึ่งระนาบเรียกว่า ใบหน้า , เส้นตรง ขอบ มุมไดฮีดรัล

มุมเชิงเส้น มุมไดฮีดรัลคือมุมระหว่างครึ่งเสนที่เป็นใบหน้าของมุมไดฮีดรัลซึ่งเล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่งบนขอบและตั้งฉากกับขอบ (มุมในรูปที่ 2)

การวัดองศา (เรเดียน) ของมุมไดฮีดรัลเท่ากับการวัดองศา (เรเดียน) ของมุมเชิงเส้น

ความตั้งฉากของเส้นและระนาบ

สองบรรทัดนี้เรียกว่า ตั้งฉาก ถ้าตัดกันเป็นมุมฉาก

เส้นที่ตัดกับระนาบเรียกว่า ตั้งฉาก ระนาบนี้หากตั้งฉากกับเส้นใด ๆ ในระนาบที่ผ่านจุดตัดของเส้นนี้กับระนาบ

เครื่องบินทั้งสองลำเรียกว่า ตั้งฉาก ถ้าตัดกัน พวกมันจะสร้างมุมไดฮีดรัลด้านขวา

เครื่องหมายของการตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ. หากเส้นที่ตัดกันระนาบตั้งฉากกับเส้นตัดสองเส้นในระนาบนั้น เส้นนั้นจะตั้งฉากกับระนาบ

เครื่องหมายตั้งฉากของระนาบสองระนาบ. หากเครื่องบินผ่านเส้นตั้งฉากกับระนาบอื่น ระนาบเหล่านี้จะตั้งฉาก

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นตั้งฉากและระนาบ

1. หากระนาบตั้งฉากกับเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้น มันก็จะตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่งด้วย

2. ถ้าเส้นสองเส้นตั้งฉากกับระนาบเดียวกัน แสดงว่าเส้นขนานกัน

3. หากเส้นตั้งฉากกับระนาบขนานหนึ่งในสองระนาบ เส้นนั้นจะตั้งฉากกับระนาบอื่นด้วย

4. ถ้าระนาบสองระนาบตั้งฉากกับเส้นเดียวกัน แสดงว่าระนาบขนานกัน

ตั้งฉากและเฉียง

ทฤษฎีบท. หากเส้นตั้งฉากและเฉียงลากจากจุดหนึ่งนอกระนาบ ให้ทำดังนี้

1) เอียงมีประมาณการเท่ากันเท่ากัน;

2) ของสองตัวเอียงตัวที่มีขนาดใหญ่กว่านั้นใหญ่กว่า

3) เฉียงเท่ากันมีการฉายภาพที่เท่ากัน

4) ของเส้นโครงทั้งสองเส้น ส่วนที่ตรงกับความชันที่ใหญ่กว่าจะใหญ่กว่า

ทฤษฎีบทสามตั้งฉาก. เพื่อให้เส้นตรงที่วางอยู่บนระนาบตั้งฉากกับเส้นเอียง มีความจำเป็นและเพียงพอที่เส้นตรงนี้จะตั้งฉากกับการฉายของเส้นเอียง (รูปที่ 3)

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยมบนระนาบพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยมบนระนาบเท่ากับผลคูณของพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคูณโคไซน์ของมุมระหว่างระนาบของรูปหลายเหลี่ยมกับระนาบการฉาย

การก่อสร้าง.

1. บนเครื่องบิน เอวาดเส้นตรง เอ.

3. บนเครื่องบิน ขผ่านจุด แต่มาวาดเส้นตรงกันเถอะ ข, ขนานกับเส้น เอ.

4. สร้างเส้นตรง ขขนานกับระนาบ เอ.

การพิสูจน์.บนพื้นฐานของความขนานของเส้นตรงและระนาบ เส้นตรง ขขนานกับระนาบ เอเพราะมันขนานกับเส้นตรง เอที่เป็นของเครื่องบิน เอ.

ศึกษา.ปัญหามีวิธีแก้ปัญหาไม่สิ้นสุดตั้งแต่บรรทัด เอในเครื่องบิน เอถูกเลือกโดยพลการ

ตัวอย่าง 2กำหนดว่าจุดหนึ่งอยู่ห่างจากระนาบเท่าใด แต่ถ้าตรง ABตัดกับระนาบทำมุม 45º ระยะห่างจากจุด แต่ตรงประเด็น ที่ที่อยู่ในระนาบ เท่ากับ cm?

วิธีการแก้.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 5):

AC- ตั้งฉากกับระนาบ เอ, AB- เอียงมุม ABC- มุมระหว่างเส้น ABและเครื่องบิน เอ. สามเหลี่ยม ABC- สี่เหลี่ยม as AC- ตั้งฉาก ระยะทางที่ต้องการจากจุด แต่ขึ้นเครื่องบิน - นี่คือขา ACสามเหลี่ยมมุมฉาก. เมื่อรู้มุมและด้านตรงข้ามมุมฉาก cm เราจะพบว่าขา AC:

ตอบ: 3 ซม.

ตัวอย่างที่ 3พิจารณาว่าระนาบของสามเหลี่ยมหน้าจั่วอยู่ห่างจากจุดยอดแต่ละจุด 13 ซม. จากจุดยอดแต่ละจุดของสามเหลี่ยมเท่าใด หากฐานและความสูงของสามเหลี่ยมแต่ละจุดมีค่าเท่ากับ 8 ซม.

วิธีการแก้.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 6) Dot สห่างจากจุด แต่, ที่และ จากไปในระยะทางที่เท่ากัน เอียงมาก SA, SBและ SCเท่ากัน, ดังนั้น- เส้นตั้งฉากทั่วไปของความโน้มเอียงเหล่านี้. โดยทฤษฎีบทเฉียงและการฉายภาพ AO = BO = CO.

Dot อู๋- จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม ABC. ลองหารัศมีของมัน:

ที่ไหน ดวงอาทิตย์- ฐาน;

ADคือความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่กำหนด

การหาด้านของสามเหลี่ยม ABCจากสามเหลี่ยมมุมฉาก ABDตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ตอนนี้เราพบว่า OV:

พิจารณารูปสามเหลี่ยม ร้องไห้: SB= 13 ซม. OV= = 5 ซม. จงหาความยาวของเส้นตั้งฉาก ดังนั้นตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ตอบ: 12 ซม.

ตัวอย่างที่ 4ให้ระนาบคู่ขนาน เอและ ข. ผ่านจุด เอ็มซึ่งไม่ใช่ของใด ๆ เหล่านี้ วาดเส้นตรง เอและ ขซึ่งข้าม เอที่จุด แต่ 1 และ ที่ 1 , และเครื่องบิน ข- ณ จุด แต่ 2 และ ที่ 2. หา แต่ 1 ที่ 1 ถ้ารู้ว่า MA 1 = 8 ซม. แต่ 1 แต่ 2 = 12 ซม. แต่ 2 ที่ 2 = 25 ซม.

วิธีการแก้.เนื่องจากเงื่อนไขไม่ได้ระบุว่าจุดนั้นตั้งอยู่สัมพันธ์กับระนาบทั้งสองอย่างไร เอ็มจากนั้นสองตัวเลือกที่เป็นไปได้: (รูปที่ 7, a) และ (รูปที่ 7, b) ลองพิจารณาแต่ละคน สองเส้นตัดกัน เอและ ขกำหนดระนาบ ระนาบนี้ตัดระนาบคู่ขนานกัน เอและ ขตามเส้นคู่ขนาน แต่ 1 ที่ 1 และ แต่ 2 ที่ 2 ตามทฤษฎีบท 5 บนเส้นขนานและระนาบคู่ขนาน

สามเหลี่ยม MA 1 ที่ 1 และ MA 2 ที่ 2 มีความคล้ายคลึงกัน (มุม แต่ 2 MV 2 และ แต่ 1 MV 1 - แนวตั้ง, มุม MA 1 ที่ 1 และ MA 2 ที่ 2 - กากบาทภายในนอนด้วยเส้นคู่ขนาน แต่ 1 ที่ 1 และ แต่ 2 ที่ 2 และซีแคนต์ แต่ 1 แต่ 2). จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมตามสัดส่วนของด้าน:

ตัวเลือก ก):

ตัวเลือก b):

ตอบ: 10 ซม. และ 50 ซม.

ตัวอย่างที่ 5ผ่านจุด แต่เครื่องบิน gโดยตรง ABทำมุมกับระนาบ เอ. ผ่านเส้นตรง ABเครื่องบินวาด r, ขึ้นรูปด้วยระนาบ gมุม ข. หามุมระหว่างเส้นโครง ABขึ้นเครื่องบิน gและเครื่องบิน r.

วิธีการแก้.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 8) จากจุดหนึ่ง ที่วางตั้งฉากกับระนาบ g. มุมไดฮีดรัลเชิงเส้นระหว่างระนาบ gและ rคือมุม AD DBCบนพื้นฐานของความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ ตั้งแต่ และ บนพื้นฐานของความตั้งฉากของระนาบ ระนาบ rตั้งฉากกับระนาบของสามเหลี่ยม DBCเพราะมันผ่านเส้น AD. เราสร้างมุมที่ต้องการโดยวางแนวตั้งฉากจากจุด จากขึ้นเครื่องบิน rแสดงว่า จงหาไซน์ของมุมนี้ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ตัวฉันเอง. เราแนะนำส่วนเสริม a = ดวงอาทิตย์. จากรูปสามเหลี่ยม ABC: จากสามเหลี่ยม กองทัพเรือหา

แล้วมุมที่ต้องการ

ตอบ:

งานสำหรับ โซลูชันอิสระ

ฉันระดับ

1.1. ผ่านจุดหนึ่ง ให้ลากเส้นตั้งฉากกับเส้นเอียงสองเส้นที่กำหนด

1.2. กำหนดจำนวนระนาบต่างๆ ที่สามารถวาดได้:

1) ผ่านสามจุดที่แตกต่างกัน

2) ผ่านสี่จุดที่แตกต่างกัน ไม่มีสามจุดไหนอยู่บนระนาบเดียวกัน?

1.3. ผ่านจุดยอดของสามเหลี่ยม ABCนอนอยู่ในระนาบขนานหนึ่งในสองระนาบเส้นขนานที่ตัดระนาบที่สองที่จุด แต่ 1 , ที่ 1 , จากหนึ่ง . พิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมเท่ากัน ABCและ แต่ 1 ที่ 1 จาก 1 .

1.4. จากด้านบน แต่สี่เหลี่ยมผืนผ้า เอบีซีดีตั้งฉาก เช้าไปยังเครื่องบินของมัน

1) พิสูจน์ว่าสามเหลี่ยม MBCและ MDC- สี่เหลี่ยม

2) ระบุในกลุ่ม MB, MC, MDและ MAส่วนที่ยาวที่สุดและยาวที่สุด

1.5. ใบหน้าของมุมไดฮีดรัลหนึ่งจะขนานกับใบหน้าของอีกมุมหนึ่งตามลำดับ กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างค่าของมุมไดฮีดรัลเหล่านี้คืออะไร

1.6. จงหาค่าของมุมไดฮีดรัลหากระยะห่างจากจุดที่ถ่ายบนหน้าหนึ่งไปยังขอบเป็น 2 เท่า ระยะทางมากขึ้นจากจุดหนึ่งไปยังระนาบของใบหน้าที่สอง

1.7. จากจุดที่แยกออกจากระนาบในระยะทาง จะมีการลากเส้นเอียงเท่ากันสองเส้น ทำให้เกิดมุม60º การคาดคะเนของระนาบเอียงจะตั้งฉากกัน หาความยาวของเฉียง.

1.8. จากด้านบน ที่สี่เหลี่ยม เอบีซีดีตั้งฉาก เป็นสู่ระนาบของจัตุรัส มุมเอียงของระนาบของสามเหลี่ยม ACEสู่ระนาบของจตุรัสคือ เจ, ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคือ เอ ACE.

ระดับที่สอง

2.1. ผ่านจุดที่ไม่ได้เป็นของสองเส้นตัดกันใด ๆ ให้ลากเส้นที่ตัดกันทั้งสองเส้นที่กำหนด

2.2. เส้นขนาน เอ, ขและ กับอย่านอนระนาบเดียวกัน ผ่านจุด แต่บนเส้นตรง เอวาดตั้งฉากกับเส้น ขและ กับ, ตัดกันที่จุดต่างๆ ตามลำดับ ที่และ จาก. พิสูจน์ว่าเส้น ดวงอาทิตย์ตั้งฉากกับเส้นตรง ขและ กับ.

2.3. ผ่านด้านบน แต่สามเหลี่ยมมุมฉาก ABCเครื่องบินลากขนานกับ ดวงอาทิตย์. ขาสามเหลี่ยม AC= 20 ซม. ดวงอาทิตย์\u003d 15 ซม. ความยาวของขาข้างหนึ่งบนเครื่องบินคือ 12 ซม. หาเส้นโครงของด้านตรงข้ามมุมฉาก

2.4. ในหน้าหนึ่งของมุมไดฮีดรัลเท่ากับ 30º จะมีจุด เอ็ม. ระยะห่างจากจุดนั้นถึงขอบมุม 18 ซม. จงหาระยะห่างจากการฉายภาพของจุดนั้น เอ็มบนขอบที่สองถึงขอบแรก

2.5. สิ้นสุดสาย ABอยู่ในใบหน้าของมุมไดฮีดรัลเท่ากับ90º ระยะทางจากจุด แต่และ ที่ถึงขอบเท่ากัน AA 1 = 3 ซม. BB 1 \u003d 6 ซม. ระยะห่างระหว่างจุดบนขอบ ค้นหาความยาวของส่วน AB.

2.6. จากจุดที่แยกออกจากเครื่องบินโดยระยะทาง เอ, วาดมุมเอียงสองอันสร้างมุม45ºและ30ºกับระนาบและทำมุม 90ºระหว่างกัน จงหาระยะห่างระหว่างฐานของเนินลาด

2.7. ด้านของสามเหลี่ยม 15 ซม. 21 ซม. และ 24 ซม. จุด เอ็มลบออกจากระนาบของรูปสามเหลี่ยม 73 ซม. และอยู่ห่างจากจุดยอดเท่ากัน หาระยะนี้

2.8. จากศูนย์กลาง อู๋วงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม ABC, ตั้งฉากกับระนาบของสามเหลี่ยม โอม. หาระยะทางจากจุด เอ็มที่ด้านข้างของสามเหลี่ยม ถ้า AB = BC = 10 ซม. AC= 12 ซม. โอม= 4 ซม.

2.9. ระยะทางจากจุดหนึ่ง เอ็มไปด้านข้างและยอดของมุมฉากตามลำดับคือ 4 ซม. 7 ซม. และ 8 ซม. จงหาระยะห่างจากจุดนั้น เอ็มสู่ระนาบของมุมฉาก

2.10. ผ่านฐาน ABสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABCเครื่องบินวาดเป็นมุม ขสู่ระนาบของสามเหลี่ยม จุดสุดยอด จากออกจากเครื่องบินในระยะไกล เอ. หาพื้นที่สามเหลี่ยม ABCถ้าฐาน ABของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากับความสูง

ระดับที่สาม

3.1. เค้าโครงสี่เหลี่ยมผืนผ้า เอบีซีดีกับพรรคพวก เอและ ขพับตามแนวทแยง BDเพื่อให้ระนาบของรูปสามเหลี่ยม แย่และ BCDกลายเป็นแนวตั้งฉากกัน หาความยาวของเซกเมนต์ AC.

3.2. สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมสองรูปที่มีมุม 60º อยู่ในระนาบตั้งฉากและมีฐานร่วมกันที่ใหญ่กว่า ด้านข้างขนาดใหญ่คือ 4 ซม. และ 8 ซม. จงหาระยะห่างระหว่างจุดยอดของเส้นตรงกับจุดยอดของมุมป้านของสี่เหลี่ยมคางหมูหากจุดยอดของมุมแหลมตรงกัน

3.3 ลูกบาศก์จะได้รับ ABCDA 1 บี 1 ค 1 ดีหนึ่ง . หามุมระหว่างเส้น ซีดี 1 และเครื่องบิน bdc 1 .

3.4. บนขอบ ABคิวบา ABCDA 1 บี 1 ค 1 ดีเอาไป1แต้ม Rอยู่ตรงกลางของขอบนี้ สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยเครื่องบินผ่านจุด ค 1 PDและหาพื้นที่ของส่วนนี้ถ้าขอบของลูกบาศก์คือ เอ.

3.5. ข้ามฝั่ง ADสี่เหลี่ยมผืนผ้า เอบีซีดีเครื่องบินวาด เอเพื่อให้เส้นทแยงมุม BDทำมุม 30 องศากับระนาบนี้ หามุมระหว่างระนาบของสี่เหลี่ยมกับระนาบ เอ, ถ้า AB = เอ, AD=b. กำหนดอัตราส่วน เอและ ขปัญหามีทางแก้ไข

3.6. หาตำแหน่งของจุดที่เท่ากันจากเส้นที่กำหนดโดยด้านข้างของสามเหลี่ยม

ปริซึม. ขนานกัน

ปริซึมเรียกว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีหน้าสองหน้าเท่ากัน n-gons (บริเวณ) , นอนในระนาบขนาน, และใบหน้า n ที่เหลือเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ขอบด้านข้าง) . ซี่โครงข้าง ปริซึมคือด้านของใบหน้าด้านข้างที่ไม่อยู่ในฐาน

ปริซึมที่มีขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐานเรียกว่า ตรง ปริซึม (รูปที่ 1). ถ้าขอบด้านข้างไม่ตั้งฉากกับระนาบของฐาน เรียกว่าปริซึม เฉียง . ถูกต้อง ปริซึมเป็นปริซึมตรงที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

ส่วนสูงปริซึมเรียกว่าระยะห่างระหว่างระนาบของฐาน เส้นทแยงมุม ปริซึมเป็นส่วนเชื่อมต่อจุดยอดสองจุดที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน ส่วนทแยงมุม ส่วนของปริซึมโดยระนาบผ่านขอบทั้งสองข้างที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกันเรียกว่า ส่วนตั้งฉาก เรียกว่าส่วนของปริซึมโดยระนาบตั้งฉากกับขอบด้านข้างของปริซึม

พื้นที่ผิวด้านข้าง ปริซึมคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมด พื้นที่ผิวเต็ม เรียกผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมดของปริซึม (กล่าวคือ ผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างและพื้นที่ฐาน)

สำหรับปริซึมตามอำเภอใจ สูตรเป็นจริง:

ที่ไหน lคือความยาวของซี่โครงด้านข้าง

ชม- ความสูง;

พี

Q

ด้านเอส

อิ่ม

S หลักคือพื้นที่ฐาน

วีคือปริมาตรของปริซึม

สำหรับปริซึมตรง สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

ที่ไหน พี- ปริมณฑลของฐาน

lคือความยาวของซี่โครงด้านข้าง

ชม- ความสูง.

ขนานกันปริซึมที่มีฐานเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานเรียกว่า รูปขนานที่มีขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐานเรียกว่า โดยตรง (รูปที่ 2). ถ้าขอบด้านข้างไม่ตั้งฉากกับฐาน เรียกว่า ขอบขนาน เฉียง . รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเรียกว่า สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนานที่ขอบทั้งหมดเท่ากันเรียกว่า ลูกบาศก์

ใบหน้าของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่มีจุดยอดร่วมกันเรียกว่า ตรงข้าม . ความยาวของขอบที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดหนึ่งเรียกว่า การวัด ขนานกัน เนื่องจากกล่องเป็นปริซึม องค์ประกอบหลักของกล่องจึงถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับที่กำหนดไว้สำหรับปริซึม

ทฤษฎีบท

1. เส้นทแยงมุมของเส้นทแยงมุมตัดกันที่จุดหนึ่งแล้วผ่าครึ่ง

2. ในสี่เหลี่ยมด้านขนานสี่เหลี่ยมจัตุรัสความยาวของเส้นทแยงมุมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของสามมิติ:

3. เส้นทแยงมุมทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นเท่ากัน

สำหรับ Parallepiped โดยพลการ สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

ที่ไหน lคือความยาวของซี่โครงด้านข้าง

ชม- ความสูง;

พีคือปริมณฑลของส่วนตั้งฉาก

Q– พื้นที่ส่วนตั้งฉาก

ด้านเอสคือพื้นที่ผิวข้าง

อิ่มคือพื้นที่ผิวทั้งหมด

S หลักคือพื้นที่ฐาน

วีคือปริมาตรของปริซึม

สำหรับ Parallepiped ที่ถูกต้อง สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

ที่ไหน พี- ปริมณฑลของฐาน

lคือความยาวของซี่โครงด้านข้าง

ชมคือความสูงของเส้นขนานด้านขวา

สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนาน สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

ที่ไหน พี- ปริมณฑลของฐาน

ชม- ความสูง;

d- เส้นทแยงมุม;

a,b,c- การวัดของ Parallepiped

สูตรที่ถูกต้องสำหรับลูกบาศก์คือ:

ที่ไหน เอคือความยาวของซี่โครง

dคือเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์

ตัวอย่าง 1เส้นทแยงมุมของทรงลูกบาศก์สี่เหลี่ยมคือ 33 dm และการวัดนั้นสัมพันธ์กันเป็น 2:6:9 จงหาการวัดของทรงลูกบาศก์

วิธีการแก้.ในการหาขนาดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราใช้สูตร (3) นั่นคือ ความจริงที่ว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากของทรงลูกบาศก์เท่ากับผลรวมของกำลังสองของมิติของมัน แสดงโดย kสัมประสิทธิ์สัดส่วน จากนั้นขนาดของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากับ2 k, 6kและ 9 k. เราเขียนสูตร (3) สำหรับข้อมูลปัญหา:

การแก้สมการนี้สำหรับ k, เราได้รับ:

ดังนั้นขนาดของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 6 dm, 18 dm และ 27 dm

ตอบ: 6 ม. 18 ม. 27 ม.

ตัวอย่าง 2จงหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมเอียงซึ่งมีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาว 8 ซม. ถ้าขอบด้านข้างเท่ากับด้านข้างของฐานและเอียงทำมุม 60º กับฐาน

วิธีการแก้ . มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 3)

ในการหาปริมาตรของปริซึมเอียง คุณจำเป็นต้องรู้พื้นที่ของฐานและความสูง พื้นที่ฐานของปริซึมนี้คือพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาว 8 ซม. มาคำนวณกัน:

ความสูงของปริซึมคือระยะห่างระหว่างฐานของมัน จากด้านบน แต่ 1 ของฐานบนเราลดแนวตั้งฉากกับระนาบของฐานล่าง แต่ 1 ดี. ความยาวของมันจะเป็นความสูงของปริซึม พิจารณาD แต่ 1 AD: เนื่องจากนี่คือมุมเอียงของซี่โครงด้านข้าง แต่ 1 แต่สู่ระนาบฐาน แต่ 1 แต่= 8 ซม. จากสามเหลี่ยมนี้เราพบว่า แต่ 1 ดี:

ตอนนี้เราคำนวณปริมาตรโดยใช้สูตร (1):

ตอบ: 192 ซม.3

ตัวอย่างที่ 3ขอบด้านข้างของปริซึมหกเหลี่ยมปกติคือ 14 ซม. พื้นที่ส่วนทแยงที่ใหญ่ที่สุดคือ 168 ซม. 2 หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม

วิธีการแก้.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 4)

ส่วนแนวทแยงที่ใหญ่ที่สุดคือสี่เหลี่ยมผืนผ้า AA 1 DD 1 ตั้งแต่เส้นทแยงมุม ADหกเหลี่ยมปกติ ABCDEFที่ใหญ่ที่สุด. ในการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม จำเป็นต้องทราบด้านข้างของฐานและความยาวของซี่โครงด้านข้าง

เมื่อทราบพื้นที่ของส่วนในแนวทแยง (สี่เหลี่ยมผืนผ้า) เราจะพบเส้นทแยงมุมของฐาน

เพราะงั้น

ตั้งแต่นั้นมา AB= 6 ซม.

แล้วปริมณฑลของฐานคือ:

ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม:

พื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมปกติที่มีด้าน 6 ซม. คือ:

ค้นหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 4ฐานของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านขวาเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน พื้นที่ของส่วนในแนวทแยงคือ 300 ซม. 2 และ 875 ซม. 2 หาพื้นที่ผิวด้านข้างของด้านขนาน

วิธีการแก้.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 5)

แสดงถึงด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดย เอ, เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน d 1 และ d 2 , ความสูงของกล่อง ชม.. ในการหาพื้นที่ผิวด้านข้างของเส้นตรงขนานกัน จำเป็นต้องคูณปริมณฑลของฐานด้วยความสูง: (สูตร (2)) เส้นรอบวงฐาน p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, เพราะ เอบีซีดี- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน H = AA 1 = ชม.. ที่. ต้องหาให้เจอ เอและ ชม..

พิจารณาส่วนในแนวทแยง AA 1 SS 1 - สี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านหนึ่งเป็นเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน AC = d 1 , ขอบด้านที่สอง AA 1 = ชม., แล้ว

ในทำนองเดียวกันสำหรับส่วน BB 1 DD 1 เราได้รับ:

โดยใช้คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานเพื่อให้ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของทุกด้าน เราจะได้ความเท่าเทียมกัน เราได้ค่าต่อไปนี้:

จากความเท่าเทียมกันสองอันแรก เราแสดงและแทนที่เป็นค่าที่สาม เราได้รับ: แล้ว

1.3. ในปริซึมสามเหลี่ยมมุมเอียง ส่วนที่วาดในแนวตั้งฉากกับขอบด้านข้างเท่ากับ 12 ซม. ในรูปสามเหลี่ยมผลลัพธ์ สองด้านที่มีความยาว ซม. และ 8 ซม. สร้างมุม 45 ° หาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม

1.4. ฐานของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานขวาเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีด้านยาว 4 ซม. และ มุมแหลม 60 องศา หาเส้นทแยงมุมของขอบด้านขนานถ้าความยาวของขอบด้านข้างเท่ากับ 10 ซม.

1.5. ฐานของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านขวาเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุมเท่ากับ ซม. ขอบด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 5 ซม. หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

1.6. ฐานของสี่เหลี่ยมด้านขนานเอียงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้าน 3 ซม. และ 4 ซม. ขอบด้านข้างเท่ากับซม. เอียงไปที่ระนาบฐานที่มุม 60 ° หาปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

1.7. คำนวณพื้นที่ผิวของทรงลูกบาศก์ถ้าสองขอบและแนวทแยงที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดเดียวกันคือ 11 ซม. ซม. และ 13 ซม. ตามลำดับ

1.8. กำหนดน้ำหนักของเสาหินที่มีรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขนาด 0.3 ม. 0.3 ม. และ 2.5 ม. ถ้าความถ่วงจำเพาะของวัสดุคือ 2.2 g/cm3

1.9. ค้นหาพื้นที่ของส่วนในแนวทแยงของลูกบาศก์หากเส้นทแยงมุมของใบหน้าเป็น dm

1.10. หาปริมาตรของลูกบาศก์หากระยะห่างระหว่างจุดยอดสองจุดที่ไม่ได้อยู่บนใบหน้าเดียวกันคือ ซม.

ระดับที่สอง

2.1. ฐานของปริซึมเอียงเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านซม. ขอบด้านข้างเอียงไปที่ระนาบฐานที่มุม 30° หาพื้นที่หน้าตัดของปริซึมผ่านขอบด้านข้างและความสูงของปริซึม หากทราบว่าจุดยอดด้านหนึ่งของฐานด้านบนฉายลงตรงกลางด้านข้างของฐานล่าง

2.2. ฐานของปริซึมเอียงเป็นรูปสามเหลี่ยม ABC ด้านเท่าที่มีด้านเท่ากับ 3 ซม. จุดยอด A 1 ถูกฉายเข้าที่กึ่งกลางของสามเหลี่ยม ABC ซี่โครง AA 1 ทำมุม 45 องศากับระนาบฐาน หาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม

2.3. คำนวณปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมเอียงหากด้านข้างของฐานเท่ากับ 7 ซม. 5 ซม. และ 8 ซม. และความสูงของปริซึมเท่ากับความสูงด้านล่างของสามเหลี่ยมฐาน

2.4. เส้นทแยงมุมของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติเอียงไปที่ใบหน้าด้านข้างที่มุม 30° หามุมเอียงกับระนาบฐาน

2.5. ฐานของปริซึมตรงคือสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ฐานยาว 4 ซม. และ 14 ซม. และเส้นทแยงมุม 15 ซม. ใบหน้าทั้งสองด้านของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยม หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม

2.6. เส้นทแยงมุมของปริซึมหกเหลี่ยมปกติคือ 19 ซม. และ 21 ซม. จงหาปริมาตร

2.7. ค้นหาการวัดของสี่เหลี่ยมด้านขนานสี่เหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุม 8 dm และที่ทำมุม 30° และ 40° กับใบหน้าด้านข้าง

2.8. เส้นทแยงมุมของโคนขาตรงขนานกันคือ 34 ซม. และ 38 ซม. และพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างคือ 800 ซม. 2 และ 1200 ซม. 2 หาปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

2.9. กำหนดปริมาตรของทรงลูกบาศก์โดยที่เส้นทแยงมุมของด้านที่ยื่นออกมาจากจุดยอดหนึ่งคือ 4 ซม. และ 5 ซม. และทำมุม 60°

2.10. หาปริมาตรของลูกบาศก์หากระยะห่างจากเส้นทแยงมุมถึงขอบที่ไม่ตัดกับลูกบาศก์คือ มม.

ระดับที่สาม

3.1. ในปริซึมสามเหลี่ยมปกติ ส่วนที่ลากผ่านด้านข้างของฐานและตรงกลางของขอบด้านตรงข้าม พื้นที่ฐานคือ 18 ซม.2 และแนวทแยงของใบหน้าด้านข้างเอียงไปที่ฐานที่มุม 60° หาพื้นที่หน้าตัด.

3.2. ฐานของปริซึมคือ ABCD สี่เหลี่ยมจัตุรัส จุดยอดทั้งหมดห่างจาก A 1 บนสุดของฐานบนเท่ากัน มุมระหว่างขอบด้านข้างกับระนาบของฐานคือ 60° ด้านข้างของฐานคือ 12 ซม. สร้างส่วนของปริซึมโดยระนาบผ่านจุดยอด C ตั้งฉากกับขอบ AA 1 และหาพื้นที่ของมัน

3.3. ฐานของปริซึมขวาคือสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว พื้นที่ของส่วนทแยงมุมและพื้นที่ของใบหน้าด้านขนานตามลำดับคือ 320 ซม. 2 , 176 ซม. 2 และ 336 ซม. 2 . หาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม

3.4. พื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมตรงคือ 9 ซม. 2 พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างคือ 18 ซม. 2, 20 ซม. 2 และ 34 ซม. 2 หาปริมาตรของปริซึม.

3.5. จงหาเส้นทแยงมุมของทรงลูกบาศก์โดยรู้ว่าเส้นทแยงมุมของใบหน้าคือ 11 ซม. 19 ซม. และ 20 ซม.

3.6. มุมที่เกิดขึ้นจากเส้นทแยงมุมของฐานของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ขนานกับด้านข้างของฐานและเส้นทแยงมุมของส่วนปลายด้านขนานนั้นมีค่าเท่ากับ a และ b ตามลำดับ หาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของด้านขนานถ้าเส้นทแยงมุมเป็น d

3.7. พื้นที่ของส่วนนั้นของลูกบาศก์ซึ่งเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติคือ cm 2 หาพื้นที่ผิวของลูกบาศก์.

สายเป็นของเครื่องบินหากมีจุดร่วมสองจุดหรือจุดร่วมหนึ่งจุดและขนานกับเส้นตรงบางเส้นที่วางอยู่บนระนาบ ให้ระนาบในรูปวาดมีเส้นตรงสองเส้นตัดกัน ในระนาบนี้ จำเป็นต้องสร้างสองเส้น m และ n ตามเงื่อนไขเหล่านี้ ( จี(a b)) (รูปที่ 4.5)

วิธีแก้ปัญหา 1. วาด m 2 โดยพลการเนื่องจากเส้นเป็นของระนาบให้ทำเครื่องหมายเส้นโครงของจุดตัดด้วยเส้น เอและ ขและกำหนดเส้นโครงแนวนอนวาด m 1 ถึง 1 1 และ 2 1

2. ผ่านจุด ไปยังระนาบที่เราวาด n 2 ║m 2 และ n 1 ║m 1

เส้นขนานกับระนาบถ้าขนานกับเส้นตรงที่วางอยู่บนระนาบ

จุดตัดของเส้นตรงและระนาบตำแหน่งของเส้นตรงและระนาบสัมพันธ์กับระนาบการฉายมีสามกรณี ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ จุดตัดของเส้นและระนาบจะถูกกำหนด

กรณีแรก - เส้นตรงและระนาบ - ตำแหน่งฉาย ในกรณีนี้ ในรูปวาดจะมีจุดตัดกัน (การฉายภาพทั้งสอง) โดยจะต้องทำเครื่องหมายเท่านั้น

ตัวอย่าง ในภาพวาด เครื่องบินจะได้รับตามรอย Σ ( ชั่วโมง 0 f0)– ตำแหน่งการฉายในแนวนอน – และตรง l- ตำแหน่งการฉายด้านหน้า กำหนดจุดตัดของพวกเขา (รูปที่ 4.6)

มีจุดตัดในภาพอยู่แล้ว - K (K 1 K 2)

กรณีที่สอง- หรือเส้นตรงหรือระนาบ - ของตำแหน่งที่ยื่นออกมา ในกรณีนี้ บนระนาบฉายภาพใดระนาบหนึ่ง มีเส้นโครงของจุดตัดกันอยู่แล้ว จะต้องกำหนดไว้ และบนระนาบการฉายภาพที่สอง จะต้องพบโดยเป็นของ

ตัวอย่าง. ในรูป ๔.๗ แต่ภาพระนาบมีร่องรอยของตำแหน่งการฉายด้านหน้าและเป็นเส้นตรง l- ตำแหน่งทั่วไป การฉายภาพจุดตัด K 2 ในรูปวาดมีอยู่แล้ว และต้องพบการฉายภาพ K 1 โดยเป็นของจุด K ถึงเส้นตรง l. บน
ข้าว. 4.7, b เป็นระนาบในตำแหน่งทั่วไป และเส้น m ยื่นไปข้างหน้า จากนั้น K 2 มีอยู่แล้ว (ตรงกับ m 2) และต้องพบ K 1 จากเงื่อนไขที่จุดนั้นเป็นของระนาบ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ผ่าน K
เส้นตรง ( ชม.- แนวนอน) นอนอยู่ในเครื่องบิน

กรณีที่สาม- ทั้งเส้นตรงและระนาบ - ของตำแหน่งทั่วไป ในกรณีนี้ ในการกำหนดจุดตัดของเส้นตรงและระนาบ จำเป็นต้องใช้ตัวกลางที่เรียกว่า - ระนาบที่ยื่นออกมา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ระนาบซีแคนต์เสริมจะถูกลากผ่านเส้นตรง เครื่องบินลำนี้ตัดระนาบที่กำหนดตามแนวเส้น หากเส้นนี้ตัดกับเส้นที่กำหนด แสดงว่ามีจุดตัดของเส้นตรงและระนาบ

ตัวอย่าง. ในรูป 4.8 เครื่องบินแสดงด้วยสามเหลี่ยม ABC - ในตำแหน่งทั่วไป - และเส้นตรง l- ตำแหน่งทั่วไป เพื่อกำหนดจุดตัด K จำเป็นต้องผ่าน lวาดระนาบยื่นด้านหน้า Σ สร้างเส้นตัดของ Δ และ Σ ในรูปสามเหลี่ยม (ในรูปวาดนี่คือส่วน 1.2) กำหนด K 1 และตามความเป็นเจ้าของ - K 2 จากนั้นการมองเห็นของเส้นจะถูกกำหนด lเทียบกับสามเหลี่ยมด้วยคะแนนที่แข่งขันกัน ใน P 1 จะใช้คะแนน 3 และ 4 เป็นจุดที่แข่งขันกัน การฉายภาพของจุดที่ 4 สามารถมองเห็นได้บน P 1 เนื่องจากพิกัด Z นั้นมากกว่าจุด 3 ดังนั้นการฉายภาพ ล. 1จากจุดนี้ไปยัง K 1 จะไม่ปรากฏให้เห็น

จุดแข่งขันใน P 2 คือจุดที่ 1 ซึ่งเป็นของ AB และจุดที่ 5 ซึ่งเป็นของ l. จุดที่ 1 จะมองเห็นได้ เนื่องจากพิกัด Y นั้นมากกว่าจุด 5 และดังนั้น การฉายภาพของเส้น ล.2ถึง K 2 จะมองไม่เห็น

ที่ตั้ง

ลักษณะเฉพาะ:ถ้าเส้นที่ไม่อยู่ในระนาบที่กำหนดขนานกับเส้นบางเส้นที่อยู่ในระนาบนี้ ก็จะขนานกับระนาบที่กำหนด

1. ถ้าระนาบผ่านเส้นที่กำหนดขนานกับระนาบอื่นและตัดกับระนาบนี้ เส้นตัดของระนาบจะขนานกับเส้นที่กำหนด

2. ถ้าเส้นใดเส้นหนึ่งใน 2 เส้นขนานกับเส้นที่กำหนด เส้นอื่น ๆ จะขนานกับระนาบที่กำหนดด้วยหรืออยู่ในระนาบนี้

ความสัมพันธ์ของเครื่องบิน เครื่องบินขนาน

ที่ตั้ง

1. เครื่องบินมีจุดร่วมอย่างน้อย 1 จุด คือ ตัดกันเป็นเส้นตรง

2. เครื่องบินไม่ตัดกัน กล่าวคือ ไม่มีจุดร่วม 1 จุด ซึ่งในกรณีนี้เรียกว่าขนาน

เข้าสู่ระบบ

ถ้าเส้นตัดกัน 2 เส้นของระนาบ 1 ระนาบขนานกับ 2 เส้นของระนาบอื่นตามลำดับ ระนาบเหล่านี้จะขนานกัน

ศักดิ์สิทธิ์

1. ถ้าระนาบขนาน 2 อันตัดกันด้วย 3 เส้นของทางแยกจะขนานกัน

2. ส่วนของเส้นคู่ขนานที่อยู่ระหว่างระนาบขนานเท่ากัน

ความตั้งฉากของเส้นและระนาบ สัญญาณของการตั้งฉากของเส้นและระนาบ

นาซโดยตรง ตั้งฉากถ้ามาบรรจบกัน<90.

เล็มมา:ถ้าเส้นขนาน 1 ใน 2 เส้นตั้งฉากกับเส้นที่ 3 เส้นอื่น ๆ ก็จะตั้งฉากกับเส้นนี้เช่นกัน

เส้นตรงตั้งฉากกับระนาบถ้ามันตั้งฉากกับเส้นใด ๆ ในระนาบนั้น

ทฤษฎีบท:ถ้าเส้นขนาน 1 ใน 2 เส้นตั้งฉากกับระนาบ เส้นอื่น ๆ ก็จะตั้งฉากกับระนาบนั้นด้วย

ทฤษฎีบท:ถ้าเส้น 2 เส้นตั้งฉากกับระนาบ แสดงว่าเส้นขนานกัน

เข้าสู่ระบบ

หากเส้นตั้งฉากกับเส้นตัด 2 เส้นที่อยู่ในระนาบ เส้นนั้นจะตั้งฉากกับระนาบนั้น

ตั้งฉากและเอียง

มาสร้างระนาบและ m.A ที่ไม่ใช่ของเครื่องบินกันเถอะ t.A ของพวกเขาวาดเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบ จุดตัดของเส้นตรงที่มีระนาบถูกกำหนดเป็น H ส่วน AN เป็นเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุด A ไปยังระนาบ TN - ฐานของฉากตั้งฉาก ให้เราขึ้นเครื่องบิน t.M ซึ่งไม่ตรงกับ H ส่วน AM เป็นเส้นเฉียงที่ลากจากจุด A ไปยังระนาบ M - ฐานของความเอียง Segment MN - การฉายภาพเอียงบนเครื่องบิน ตั้งฉาก AH - ระยะทางจากจุด A ถึงระนาบ ระยะทางใด ๆ เป็นส่วนหนึ่งของฉากตั้งฉาก

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับ 3 ตั้งฉาก:

เส้นตรงที่ลากในระนาบผ่านฐานของระนาบเอียงตั้งฉากกับการฉายภาพบนระนาบนี้จะตั้งฉากกับตัวเอียงเช่นกัน

มุมระหว่างขวากับระนาบ

มุมระหว่างเส้นกับระนาบคือมุมระหว่างเส้นนี้กับการฉายบนระนาบ

มุมไดฮีดราล มุมระหว่างเครื่องบิน

มุมไดฮีดรัล naz รูปที่เกิดจากเส้นตรงและครึ่งระนาบ 2 อันที่มีขอบเขตร่วมกัน a ไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกัน

ชายแดน- ขอบไดฮีดรัลครึ่งระนาบ - ใบหน้าของมุมไดฮีดรัลเพื่อวัดมุมไดฮีดรัล คุณต้องสร้างมุมเชิงเส้นด้านใน เราทำเครื่องหมายบางจุดบนขอบของมุมไดฮีดรัลแล้ววาดรังสีจากจุดนี้ในแต่ละหน้า ตั้งฉากกับขอบ มุมที่เกิดจากรังสีเหล่านี้ gl เชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลในมุมไดฮีดรัลสามารถมีพวกมันได้มากมายไม่จำกัด พวกเขาทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน

ความตั้งฉากของสองระนาบ

เครื่องบินสองลำที่ตัดกัน ตั้งฉาก,ถ้ามุมระหว่างพวกเขาคือ 90

ลักษณะเฉพาะ:

หากเครื่องบิน 1 ใน 2 ลำผ่านเส้นตั้งฉากกับระนาบอื่น ระนาบดังกล่าวจะตั้งฉาก

โพลีเฮดรอลส์

รูปทรงหลายเหลี่ยม- พื้นผิวประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมและจำกัดร่างกายทางเรขาคณิตบางส่วน แง่มุมคือรูปหลายเหลี่ยมที่ประกอบเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม ซี่โครง- ขอบข้าง. พีคส์- ปลายซี่โครง รูปทรงหลายเหลี่ยมในแนวทแยงกลับส่วนที่เชื่อมต่อ 2 จุดยอดที่ไม่อยู่ใน 1 ใบหน้า ระนาบทั้งสองด้านซึ่งมีจุดรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า . เครื่องบินตัดส่วนร่วมของรูปทรงหลายเหลี่ยมและพื้นที่ซีแคนต์เรียกว่า ส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปทรงหลายเหลี่ยมจะนูนและเว้า Naz รูปทรงหลายเหลี่ยม นูนถ้ามันอยู่ที่ด้านหนึ่งของระนาบของใบหน้าแต่ละด้าน (จัตุรมุข สี่เหลี่ยมด้านขนาน รูปแปดด้าน) ในรูปหลายเหลี่ยมนูน ผลรวมของมุมระนาบทั้งหมดที่จุดยอดแต่ละจุดจะน้อยกว่า 360

ปริซึม

รูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมเท่ากัน 2 รูป ซึ่งอยู่ในระนาบคู่ขนาน และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน n เรียกว่า ปริซึม.

รูปหลายเหลี่ยม A1A2..A(p) และ B1B2..B(p) - ฐานปริซึม. แอ1А2В2В1…- สี่เหลี่ยมด้านขนาน, A(p)A1B1B(p) – ขอบด้านข้างกลุ่ม A1B1, A2B2..A(p)B(p) – ซี่โครงด้านข้างขึ้นอยู่กับรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ภายใต้ปริซึม ปริซึม แนซ พี-ถ่านหินเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดใด ๆ ของฐานหนึ่งไปยังระนาบของฐานอื่นเรียกว่า ความสูง.ถ้าขอบด้านข้างของปริซึมตั้งฉากกับฐาน แสดงว่าปริซึม - ตรงและถ้าไม่ตั้งฉาก - แล้วเอียงความสูงของปริซึมตรงเท่ากับความยาวของขอบด้านข้าง ปริสมานาซโดยตรงถูกต้องหากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดจะเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน

Parallepiped

ABCD//A1B1C1D1, AA1//BB1//SS1//DD1, AA1=BB1=SS1=DD1 (ตามคุณสมบัติของระนาบคู่ขนาน)

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานประกอบด้วย 6 สี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมด้านขนาน naz ใบหน้า ABSD และ A1V1S1D1 - ฐานใบหน้าที่เหลือเรียกว่า ด้านข้าง.คะแนน A B C D A1 B1 C1 D1 - ท็อปส์ซูส่วนเชื่อมต่อจุดยอด ซี่โครง. AA1, BB1, SS1, DD1 - ซี่โครงด้านข้าง

เส้นทแยงมุมของกลับส่วนที่เชื่อมต่อ 2 จุดยอดที่ไม่อยู่ใน 1 ใบหน้า

นักบุญ

1. ด้านตรงข้ามของ parallelepiped นั้นขนานกันและเท่ากัน 2. เส้นทแยงมุมของเส้นทแยงมุมตัดกันที่จุดหนึ่งและแบ่งครึ่งจุดนี้

พีระมิด

พิจารณารูปหลายเหลี่ยม A1A2..A(n) ซึ่งเป็นจุด P ที่ไม่อยู่ในระนาบของรูปหลายเหลี่ยมนี้ ลองเชื่อมจุด P กับจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมแล้วได้สามเหลี่ยม n รูป: PA1A2, PA2A3….RA(p)A1

รูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบด้วย n-gon และ n-triangles เหนือปิรามิดรูปหลายเหลี่ยม - ฐาน.สามเหลี่ยม - ขอบด้านข้างอาร์ - ด้านบนของปิรามิดเซ็กเมนต์ А1Р, А2Р..А(p)Р – ซี่โครงด้านข้างขึ้นอยู่กับรูปหลายเหลี่ยมที่วางอยู่บนฐาน ปิรามิดเรียกว่า p-ถ่านหิน ความสูงของปิรามิดลากเส้นตั้งฉากจากจุดยอดไปยังระนาบของฐาน พีระมิดเรียกถูกต้องหากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและความสูงอยู่ที่กึ่งกลางฐาน อโพเทมคือความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติ

ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

พิจารณาพีระมิด PA1A2A3A(n) วาดระนาบการตัดขนานกับฐาน ระนาบนี้แบ่งปิรามิดของเราออกเป็น 2 ส่วน: ส่วนบนเป็นปิรามิดที่คล้ายกับส่วนนี้ ส่วนด้านล่างเป็นปิรามิดที่ถูกตัดทอน พื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยสี่เหลี่ยมคางหมู ซี่โครงด้านข้างเชื่อมต่อยอดของฐาน

ทฤษฎีบท:พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของพีระมิดที่ถูกตัดทอนปกติจะเท่ากับผลคูณของผลรวมของเส้นรอบวงของฐานและเส้นตั้งฉากครึ่งหนึ่ง

โพลิโทปปกติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนเรียกว่า Regularหากใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากัน และจำนวนขอบมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุดเท่ากัน ตัวอย่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติคือลูกบาศก์ ใบหน้าทั้งหมดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน และ 3 ขอบมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด

จัตุรมุขปกติประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 4 รูป จุดยอดแต่ละจุดคือจุดยอดของสามเหลี่ยม 3 รูป ผลรวมของมุมแบนที่จุดยอดแต่ละจุดคือ 180

ทรงแปดด้านปกติประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่า 8 รูป จุดยอดแต่ละจุดคือจุดยอดของสามเหลี่ยม 4 รูป ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดแต่ละจุด =240

icosahedron ปกติประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่า 20 รูป จุดยอดแต่ละจุดคือสามเหลี่ยมจุดยอด 5 จุด ผลรวมของมุมแบนที่จุดยอดแต่ละจุดคือ 300

คิวบ์ประกอบด้วย 6 เหลี่ยม จุดยอดแต่ละจุดคือจุดยอด 3 สี่เหลี่ยม ผลรวมของมุมแบนที่จุดยอดแต่ละจุด =270

สิบสองหน้าปกติประกอบด้วยรูปห้าเหลี่ยมปกติ 12 รูป จุดยอดแต่ละจุดคือจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมปกติ 3 รูป ผลรวมของมุมแบนที่จุดยอดแต่ละจุด = 324

ไม่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติประเภทอื่น

กระบอก

ร่างกายล้อมรอบด้วยพื้นผิวทรงกระบอกและวงกลมสองวงมีขอบเขต L และ L1 เรียกว่า กระบอกวงกลม L และ L1 กลับ ฐานของกระบอกสูบกลุ่ม MM1, AA1 - เครื่องกำเนิดไฟฟ้าการสร้างองค์ประกอบของพื้นผิวทรงกระบอกหรือด้านข้างของกระบอกสูบ เส้นตรงเชื่อมต่อศูนย์กลางของฐาน O และ O1 naz แกนของกระบอกสูบสร้างความยาว - ความสูงของกระบอกสูบรัศมีฐาน (r) คือรัศมีของทรงกระบอก

ส่วนกระบอกสูบ

Axialผ่านแกนและเส้นผ่านศูนย์กลางฐาน

ตั้งฉากกับแกน

กระบอกเป็นร่างแห่งการปฏิวัติ ได้มาจากการหมุนสี่เหลี่ยมรอบด้าน 1

โคเน่

ลองพิจารณาวงกลม (o;r) และเส้นตรง OP ตั้งฉากกับระนาบของวงกลมนี้ ผ่านแต่ละจุดของวงกลม L และ t.P เราวาดส่วนต่างๆ มีหลายส่วน พวกมันก่อตัวเป็นพื้นผิวทรงกรวยและ เครื่องกำเนิดไฟฟ้า

ร- จุดยอด, หรือ - แกนผิวทรงกรวย.

ร่างกายล้อมรอบด้วยพื้นผิวรูปกรวยและวงกลมที่มีขอบเขตL แนซโคน วงกลม -ฐานของกรวย จุดยอดของพื้นผิวรูปกรวย คือยอดของกรวยการสร้างพื้นผิวรูปกรวย - สร้างกรวยพื้นผิวทรงกรวย - พื้นผิวด้านข้างของกรวยอาร์โอ - แกนกรวยระยะทางจาก R ถึง O - ความสูงของกรวยกรวยเป็นร่างแห่งการปฏิวัติ ได้มาจากการหมุนสามเหลี่ยมมุมฉากรอบขา

ส่วนกรวย

ส่วนแกน

ส่วนตั้งฉากกับแกน

SPHERE และ BALL

ทรงกลมเรียกว่าพื้นผิวที่ประกอบด้วยจุดทั้งหมดในอวกาศซึ่งอยู่ห่างจากจุดที่กำหนด จุดนี้คือ ศูนย์กลางของทรงกลมระยะทางนี้คือ รัศมีทรงกลม

ส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดสองจุดบนทรงกลมแล้วผ่านจุดศูนย์กลาง naz เส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลม

ร่างกายที่ล้อมรอบด้วยทรงกลม ลูกบอล.ศูนย์กลาง รัศมี และเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลม ศูนย์กลาง รัศมี และเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลม

ทรงกลมและลูกบอลเป็นร่างแห่งการปฏิวัติ ทรงกลมได้มาจากการหมุนครึ่งวงกลมรอบเส้นผ่านศูนย์กลางและ ลูกบอลได้จากการหมุนครึ่งวงกลมรอบเส้นผ่านศูนย์กลาง

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม สมการของทรงกลมรัศมี R ที่มีจุดศูนย์กลาง C(x(0), y(0), Z(0) มีรูปแบบ (x-x(0))(2)+(y-y(0) )(2 )+(z-z(0))(2)= R(2)

องค์ประกอบที่ถอดออกได้

องค์ประกอบขาออก

• ก) ไม่มีจุดร่วม;

ทฤษฎีบท.

การกำหนดการตัด

GOST 2.305-2008 กำหนดข้อกำหนดต่อไปนี้สำหรับการกำหนดส่วน:

1. ตำแหน่งของระนาบการตัดจะแสดงในรูปวาดโดยเส้นส่วน

2. ควรใช้เส้นเปิดสำหรับเส้นตัดขวาง (ความหนาตั้งแต่ S ถึง 1.5S, ความยาวเส้น 8-20 มม.)

3. ด้วยการตัดที่ซับซ้อนจังหวะจะดำเนินการที่ทางแยกของระนาบซีแคนต์ซึ่งกันและกัน

4. ลูกศรที่ระบุทิศทางของมุมมองควรวางไว้บนจังหวะเริ่มต้นและจังหวะสุดท้าย ควรใช้ลูกศรที่ระยะ 2-3 มม. จากปลายด้านนอกของจังหวะ

5. ขนาดของลูกศรต้องสอดคล้องกับที่แสดงในรูปที่ 14

6. จังหวะเริ่มต้นและสิ้นสุดต้องไม่ข้ามโครงร่างของภาพนั้น ๆ

7. ที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของบรรทัดส่วน และหากจำเป็น ที่จุดตัดของระนาบการตัด ให้ใส่อักษรตัวพิมพ์ใหญ่ตัวเดียวกันของตัวอักษรรัสเซีย มีการใช้ตัวอักษรใกล้กับลูกศรเพื่อระบุทิศทางการมอง และที่ทางแยกจากด้านข้างของมุมด้านนอก (รูปที่ 24)

รูปที่ 24 - ตัวอย่างการกำหนดส่วน

8. การตัดจะต้องทำเครื่องหมายด้วยคำจารึกประเภท "A-A" (ตัวอักษรสองตัวคั่นด้วยขีดกลางเสมอ)

9. เมื่อระนาบการตัดตรงกับระนาบสมมาตรของวัตถุโดยรวม และรูปภาพที่เกี่ยวข้องจะอยู่บนแผ่นเดียวกันในการเชื่อมต่อการฉายโดยตรงและไม่ถูกคั่นด้วยภาพอื่นใด ตำแหน่งของระนาบการตัดจะไม่ ทำเครื่องหมายสำหรับส่วนแนวนอนหน้าผากและโปรไฟล์และรอยบากไม่ได้มาพร้อมกับจารึก

10. ตามปกติแล้ว ส่วนหน้าและส่วนกำหนดค่าจะได้รับตำแหน่งที่สอดคล้องกับตำแหน่งที่ใช้สำหรับหัวข้อที่กำหนดในภาพหลักของภาพวาด

11. ส่วนแนวนอนหน้าผากและส่วนกำหนดค่าสามารถอยู่ในตำแหน่งของมุมมองหลักที่เกี่ยวข้อง

12. อนุญาตให้วางการตัดที่ใดก็ได้ในฟิลด์รูปวาดเช่นเดียวกับการหมุนด้วยการเพิ่มสัญลักษณ์กราฟิกทั่วไป - ไอคอน "หมุน" (รูปที่ 25)

รูปที่ 25 - การกำหนดกราฟิกแบบมีเงื่อนไข - ไอคอน "หมุน"

การกำหนดส่วนจะคล้ายกันการกำหนดส่วนและประกอบด้วยร่องรอยของระนาบซีแคนต์และลูกศรที่ระบุทิศทางของมุมมองตลอดจนจดหมายที่ติดอยู่ด้านนอกของลูกศร (รูปที่ 1c, รูปที่ 3) ส่วนที่ถอดออกจะไม่ติดฉลากและระนาบการตัดจะไม่ปรากฏหากเส้นตัดขวางตรงกับแกนสมมาตรของส่วนตัดขวาง และส่วนนั้นเองจะตั้งอยู่บนความต่อเนื่องของร่องรอยของระนาบการตัดหรือในช่องว่างระหว่างส่วนต่างๆ ของ มุมมอง. สำหรับส่วนที่ซ้อนทับแบบสมมาตร ระบบจะไม่แสดงระนาบการตัดด้วย หากส่วนนั้นไม่สมมาตรและอยู่ในช่องว่างหรือซ้อนทับ (รูปที่ 2 b) เส้นของส่วนนั้นจะถูกวาดด้วยลูกศร แต่ไม่ได้ทำเครื่องหมายด้วยตัวอักษร

อนุญาตให้หมุนส่วนได้โดยให้คำจารึกเหนือส่วนที่มีคำว่า "หมุน" สำหรับส่วนที่เหมือนกันหลายส่วนที่เกี่ยวกับวัตถุเดียวกัน เส้นส่วนจะถูกกำหนดด้วยตัวอักษรเดียวกันและวาดหนึ่งส่วน ในกรณีที่ได้ชิ้นส่วนที่ประกอบด้วยชิ้นส่วนแยกจากกัน ควรใช้การตัด

สายทั่วไป

เส้นตรงในตำแหน่งทั่วไป (รูปที่ 2.2) เรียกว่าเส้นตรงที่ไม่ขนานกับระนาบการฉายภาพใดๆ เหล่านี้ ส่วนใดๆ ของเส้นตรงดังกล่าวถูกฉายในระบบระนาบการฉายภาพที่กำหนดโดยบิดเบี้ยว มุมเอียงของเส้นตรงนี้กับระนาบการฉายภาพก็บิดเบี้ยวเช่นกัน

ข้าว. 2.2.

บทบัญญัติส่วนตัวโดยตรง
เส้นตรงของตำแหน่งเฉพาะรวมถึงเส้นตรงที่ขนานกับระนาบการฉายภาพหนึ่งหรือสองระนาบ
เส้นใดๆ (ตรงหรือโค้ง) ขนานกับระนาบการฉายเรียกว่าเส้นระดับ ในกราฟิกทางวิศวกรรม มีเส้นระดับหลักสามเส้น: เส้นแนวนอน หน้าผาก และส่วนกำหนดค่า

ข้าว. 2.3-a

เส้นแนวนอนคือเส้นใดๆ ที่ขนานกับระนาบแนวนอนของการฉายภาพ (รูปที่ 2.3-a) การฉายภาพด้านหน้าของแนวนอนจะตั้งฉากกับเส้นการสื่อสารเสมอ ส่วนใดๆ ของแนวนอนบนระนาบการฉายภาพแนวนอนจะถูกฉายด้วยมูลค่าที่แท้จริง ค่าที่แท้จริงถูกฉายลงบนระนาบนี้และมุมเอียงของแนวนอน (เส้นตรง) กับระนาบการฉายภาพด้านหน้า ตัวอย่างเช่น ในรูปที่ 2.Z-a ให้ภาพที่มองเห็นและภาพวาดที่ซับซ้อนของเส้นแนวนอน ชม., เอียงขึ้นเครื่องบิน พี 2 มุม ข .
ข้าว. 2.3-b

หน้าผากเรียกว่าเส้นขนานกับระนาบการฉายด้านหน้า (รูปที่ 2.3-b) การฉายภาพในแนวนอนของหน้าผากจะตั้งฉากกับเส้นการสื่อสารเสมอ ส่วนใด ๆ ของหน้าผากบนระนาบการฉายด้านหน้าถูกฉายในขนาดจริง ค่าจริงถูกฉายบนระนาบนี้และมุมเอียงของด้านหน้า (ตรง) กับระนาบการฉายแนวนอน (มุม เอ).
ข้าว. 2.3 นิ้ว

เส้นโปรไฟล์คือเส้นขนานกับระนาบโปรไฟล์ของการฉายภาพ (รูปที่ 2.Z-c) การฉายภาพแนวนอนและด้านหน้าของเส้นโปรไฟล์นั้นขนานกับเส้นการสื่อสารของการฉายภาพเหล่านี้ ส่วนใดๆ ของเส้นโปรไฟล์ (ตรง) จะถูกฉายลงบนระนาบของโปรไฟล์ในมูลค่าที่แท้จริง บนระนาบเดียวกันถูกฉายในค่าจริงและมุมเอียงของเส้นตรงของโปรไฟล์ไปยังระนาบการฉาย พี 1 และ พี 2. เมื่อระบุเส้นโปรไฟล์ในรูปวาดที่ซับซ้อน จำเป็นต้องระบุจุดสองจุดของเส้นนี้

เส้นระดับที่ขนานกับระนาบการฉายภาพสองระนาบจะตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพที่สาม เส้นดังกล่าวเรียกว่าการฉาย มีเส้นยื่นหลักสามเส้น: เส้นยื่นในแนวนอน ด้านหน้า และส่วนกำหนดค่า
ข้าว. 2.3-d ข้าว. 2.3-d ข้าว. 2.3

เส้นตรงที่ฉายในแนวนอน (รูปที่ 2.3-d) เรียกว่าเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบ พีหนึ่ง . ส่วนใดๆ ของเส้นนี้ฉายลงบนระนาบ พี พี 1 - ถึงจุด

เส้นตรงที่ยื่นออกไปด้านหน้า (รูปที่ 2.Z-e) เรียกว่า เส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบ พี 2. ส่วนใดๆ ของเส้นนี้ฉายลงบนระนาบ พี 1 ไม่ผิดเพี้ยน แต่แบน พี 2 - ถึงจุด

เส้นยื่นโปรไฟล์ (รูปที่ 2.Z-e) เรียกว่าเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบ พี 3 คือ เส้นตรงขนานกับระนาบฉายภาพ พี 1 และ พี 2. ส่วนใดๆ ของเส้นนี้ฉายลงบนระนาบ พี 1 และ พี 2 ไม่ผิดเพี้ยน แต่แบน พี 3 - ถึงจุด

สายหลักในเครื่องบิน

ในบรรดาเส้นตรงที่เป็นของเครื่องบิน สถานที่พิเศษจะถูกครอบครองโดยเส้นตรงซึ่งครอบครองตำแหน่งเฉพาะในอวกาศ:

1. แนวนอน h - เส้นตรงที่วางอยู่บนระนาบที่กำหนดและขนานกับระนาบแนวนอนของการฉายภาพ (h / / P1) (รูปที่ 6.4)

รูปที่ 6.4 แนวนอน

2. หน้าผาก f - เส้นตรงที่อยู่ในระนาบและขนานกับระนาบด้านหน้าของเส้นโครง (f / / P2) (รูปที่ 6.5)

รูปที่ 6.5 หน้าผาก

3. เส้นตรงของโปรไฟล์ p - เส้นตรงที่อยู่ในระนาบที่กำหนดและขนานกับระนาบโปรไฟล์ของการฉายภาพ (p / / P3) (รูปที่ 6.6) ควรสังเกตว่าร่องรอยของเครื่องบินสามารถนำมาประกอบกับสายหลักได้ รอยตามแนวนอนคือแนวนอนของระนาบ หน้าผากคือด้านหน้า และโปรไฟล์คือเส้นโปรไฟล์ของระนาบ

รูปที่ 6.6 โปรไฟล์ตรง

4. เส้นของความชันที่ใหญ่ที่สุดและการฉายภาพในแนวนอนทำให้เกิดมุมเชิงเส้น j ซึ่งวัดมุมไดฮีดรัลที่สร้างขึ้นโดยระนาบนี้และระนาบแนวนอนของการฉายภาพ (รูปที่ 6.7) แน่นอน ถ้าเส้นหนึ่งไม่มีจุดร่วมสองจุดกับระนาบ มันก็ขนานกับระนาบหรือตัดกับมัน

รูปที่ 6.7 เส้นของความชันที่ใหญ่ที่สุด

วิธีจลนศาสตร์ของการสร้างพื้นผิว การตั้งค่าพื้นผิวบนภาพวาด

ในกราฟิกทางวิศวกรรม พื้นผิวถือเป็นชุดของตำแหน่งต่อเนื่องของเส้นที่เคลื่อนที่ในอวกาศตามกฎหมายบางประการ ในกระบวนการสร้างพื้นผิว บรรทัดที่ 1 อาจยังคงไม่เปลี่ยนแปลงหรือเปลี่ยนรูปร่าง
เพื่อความชัดเจนของภาพพื้นผิวบนภาพวาดที่ซับซ้อน ขอแนะนำให้กำหนดกฎการกระจัดแบบกราฟิกในรูปแบบของตระกูลของเส้น (a, b, c) กฎการกระจัดของบรรทัดที่ 1 สามารถกำหนดได้สองบรรทัด (a และ b) หรือหนึ่ง (a) และเงื่อนไขเพิ่มเติมที่ระบุกฎการกระจัด 1
เส้นเคลื่อนที่ 1 เรียกว่า generatrix เส้นคงที่ a, b, c คือเส้นบอกแนว
เราจะพิจารณากระบวนการสร้างพื้นผิวโดยใช้ตัวอย่างที่แสดงในรูปที่ 3.1
ที่นี่บรรทัดที่ 1 ใช้เป็น generatrix กฎการกระจัดของ generatrix ถูกกำหนดโดยคำแนะนำ a และบรรทัด b ซึ่งหมายความว่า generatrix 1 เลื่อนไปตามเส้นบอกแนว a ตลอดเวลาที่เหลือขนานกับเส้นตรง b
วิธีการสร้างพื้นผิวนี้เรียกว่าจลนศาสตร์ คุณสามารถสร้างและกำหนดพื้นผิวต่างๆ บนภาพวาดได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง รูปที่ 3.1 แสดงกรณีทั่วไปที่สุดของพื้นผิวทรงกระบอก

ข้าว. 3.1.

อีกวิธีหนึ่งในการสร้างพื้นผิวและรูปภาพในภาพวาดคือการกำหนดพื้นผิวด้วยชุดของจุดหรือเส้นที่เป็นของมัน ในกรณีนี้จะเลือกจุดและเส้นเพื่อให้สามารถกำหนดรูปร่างของพื้นผิวด้วยระดับความแม่นยำที่เพียงพอและแก้ปัญหาต่างๆ ได้
ชุดของจุดหรือเส้นที่กำหนดพื้นผิวเรียกว่าโครงลวด
ขึ้นอยู่กับการกำหนดกรอบพื้นผิว โดยจุดหรือเส้น เฟรมแบ่งออกเป็นจุดและเส้นตรง
รูปที่ 3.2 แสดงโครงกระดูกพื้นผิวซึ่งประกอบด้วยสองกลุ่มที่อยู่มุมฉากของเส้น a1, a2, a3, ..., an และ b1, b2, b3, ..., bn

ข้าว. 3.2.

ส่วนรูปกรวย

ส่วน CONIC,เส้นโค้งระนาบซึ่งได้จากการข้ามกรวยวงกลมด้านขวากับระนาบที่ไม่ผ่านด้านบน (รูปที่ 1) จากมุมมองของเรขาคณิตวิเคราะห์ ส่วนรูปกรวยคือตำแหน่งของจุดที่เป็นไปตามสมการอันดับสอง ยกเว้นกรณีเสื่อมที่กล่าวถึงในส่วนสุดท้าย ส่วนรูปกรวยคือวงรี ไฮเปอร์โบลา หรือพาราโบลา

ส่วนรูปกรวยมักพบในธรรมชาติและเทคโนโลยี ตัวอย่างเช่น โคจรของดาวเคราะห์ที่โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี วงกลมคือกรณีพิเศษของวงรี ซึ่งแกนหลักจะเท่ากับแกนรอง กระจกพาราโบลามีคุณสมบัติที่รังสีตกกระทบทั้งหมดขนานกับแกนมาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง (โฟกัส) วิธีนี้ใช้ในกล้องโทรทรรศน์สะท้อนแสงส่วนใหญ่โดยใช้กระจกพาราโบลา เช่นเดียวกับในเสาอากาศเรดาร์และไมโครโฟนพิเศษที่มีรีเฟล็กเตอร์แบบพาราโบลา ลำแสงคู่ขนานเล็ดลอดออกมาจากแหล่งกำเนิดแสงที่จุดโฟกัสของรีเฟลกเตอร์พาราโบลา ดังนั้นกระจกพาราโบลาจึงถูกใช้ในสปอตไลท์ทรงพลังและไฟหน้ารถ ไฮเปอร์โบลาคือกราฟของความสัมพันธ์ทางกายภาพที่สำคัญหลายอย่าง เช่น กฎของบอยล์ (ซึ่งเกี่ยวข้องกับความดันและปริมาตรของก๊าซในอุดมคติ) และกฎของโอห์ม ซึ่งกำหนดกระแสไฟฟ้าเป็นฟังก์ชันของความต้านทานที่แรงดันคงที่

ประวัติศาสตร์ยุคต้น

ผู้ค้นพบส่วนรูปทรงกรวยควรจะถือว่าเป็น Menechmus (ศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราช) นักเรียนของเพลโตและอาจารย์ของอเล็กซานเดอร์มหาราช Menechmus ใช้พาราโบลาและไฮเปอร์โบลาหน้าจั่วเพื่อแก้ปัญหาการเพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่า

บทความเกี่ยวกับส่วนรูปกรวยที่เขียนโดย Aristaeus และ Euclid เมื่อปลายศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสตกาลสูญหายไป แต่วัสดุจากสิ่งเหล่านี้รวมอยู่ใน Conic Sections ที่มีชื่อเสียงของ Apollonius of Perga (ค. 260–170 BC) ซึ่งรอดชีวิตมาได้จนถึงสมัยของเรา Apollonius ละทิ้งข้อกำหนดที่ว่าระนาบซีแคนต์ของ generatrix ของกรวยจะตั้งฉากและโดยการเปลี่ยนมุมของความเอียง ได้ส่วนรูปกรวยทั้งหมดจากรูปกรวยทรงกลมอันเดียว แบบตรงหรือแบบเอียง นอกจากนี้เรายังเป็นหนี้ Apollonius กับชื่อเส้นโค้งสมัยใหม่ - วงรี, พาราโบลาและไฮเปอร์โบลา

ในการก่อสร้าง Apollonius ใช้กรวยทรงกลมสองแผ่น (ดังในรูปที่ 1) ดังนั้นเป็นครั้งแรกที่เห็นได้ชัดว่าไฮเพอร์โบลาเป็นเส้นโค้งที่มีกิ่งสองกิ่ง ตั้งแต่สมัยของ Apollonius ส่วนรูปกรวยถูกแบ่งออกเป็นสามประเภทขึ้นอยู่กับความเอียงของระนาบซีแคนต์กับกำเนิดของกรวย วงรี (รูปที่ 1, a) เกิดขึ้นเมื่อระนาบการตัดตัดกันเครื่องกำเนิดกรวยทั้งหมดที่จุดหนึ่งของโพรง พาราโบลา (รูปที่ 1, b) - เมื่อระนาบการตัดขนานกับระนาบสัมผัสหนึ่งของกรวย ไฮเปอร์โบลา (รูปที่ 1, c) - เมื่อระนาบการตัดตัดกับโพรงทั้งสองของกรวย

การก่อสร้างส่วนกรวย

ขณะศึกษาส่วนรูปกรวยที่เป็นจุดตัดของระนาบและรูปกรวย นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณยังถือว่าส่วนเหล่านี้เป็นวิถีของจุดบนระนาบด้วย พบว่าวงรีสามารถกำหนดเป็นตำแหน่งของจุด ผลรวมของระยะทางจากจุดที่กำหนดสองจุดเป็นค่าคงที่; พาราโบลา - เป็นตำแหน่งของจุดที่เท่ากันจากจุดที่กำหนดและเส้นที่กำหนด ไฮเปอร์โบลา - ในฐานะตำแหน่งของจุด ความแตกต่างในระยะทางจากจุดที่กำหนดสองจุดนั้นคงที่

คำจำกัดความของส่วนรูปกรวยเป็นเส้นโค้งระนาบยังแนะนำวิธีสร้างส่วนเหล่านี้โดยใช้เกลียวที่ยืดออก

วงรี

หากปลายด้ายที่มีความยาวที่กำหนดถูกตรึงไว้ที่จุด F1 และ F2 (รูปที่ 2) เส้นโค้งที่ปลายดินสอบรรยายไว้จะเลื่อนไปตามด้ายที่ยืดให้แน่นจะมีรูปร่างเป็นวงรี จุด F1 และ F2 เรียกว่าจุดโฟกัสของวงรี และส่วน V1V2 และ v1v2 ระหว่างจุดตัดของวงรีที่มีแกนพิกัดเรียกว่าแกนหลักและแกนรอง หากจุด F1 และ F2 ตรงกัน วงรีจะกลายเป็นวงกลม

ข้าว. 2 จุดไข่ปลา

ไฮเปอร์โบลา

เมื่อสร้างไฮเพอร์โบลา จุด P ซึ่งเป็นจุดของดินสอจะจับจ้องอยู่ที่ด้ายที่เลื่อนได้อย่างอิสระตามหมุดที่ติดตั้งที่จุด F1 และ F2 ดังแสดงในรูปที่ 3ก. ระยะทางถูกเลือกเพื่อให้เซ็กเมนต์ PF2 ยาวกว่าเซ็กเมนต์ PF1 ด้วยจำนวนคงที่ ซึ่งน้อยกว่าระยะทาง F1F2 ในกรณีนี้ ปลายด้ายด้านหนึ่งจะลอดผ่านหมุด F1 และปลายด้ายทั้งสองข้างจะผ่านหมุด F2 (ปลายดินสอไม่ควรเลื่อนไปตามเกลียว ดังนั้นต้องยึดให้แน่นโดยร้อยเป็นวงเล็กๆ บนด้ายแล้วร้อยปลายเข้าไป) เราวาดไฮเปอร์โบลาหนึ่งกิ่ง (PV1Q) ตรวจสอบให้แน่ใจว่าด้าย ยังคงตึงอยู่ตลอดเวลา และดึงด้ายทั้งสองข้างลงมาผ่านจุด F2 และเมื่อจุด P อยู่ต่ำกว่าส่วน F1F2 ให้จับด้ายที่ปลายทั้งสองข้างและค่อยๆ คลายเกลียวออกอย่างระมัดระวัง (เช่น ปล่อยออก) เราวาดสาขาที่สองของไฮเปอร์โบลา (PўV2Qў) โดยก่อนหน้านี้ได้เปลี่ยนบทบาทของหมุด F1 และ F2

ข้าว. 3 อติพจน์

กิ่งก้านของไฮเพอร์โบลาเข้าใกล้เส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันระหว่างกิ่ง เส้นเหล่านี้เรียกว่าเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา ถูกสร้างขึ้นดังแสดงในรูปที่ 3ข. ความชันของเส้นเหล่านี้เท่ากับ ± (v1v2)/(V1V2) โดยที่ v1v2 คือส่วนของเส้นแบ่งครึ่งของมุมระหว่างเส้นกำกับ ซึ่งตั้งฉากกับส่วน F1F2 เซ็กเมนต์ v1v2 เรียกว่าแกนคอนจูเกตของไฮเปอร์โบลา และเซ็กเมนต์ V1V2 เรียกว่าแกนตามขวาง ดังนั้น เส้นกำกับคือเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านผ่านสี่จุด v1, v2, V1, V2 ขนานกับแกน ในการสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ คุณต้องระบุตำแหน่งของจุด v1 และ v2 อยู่ห่างกันเท่ากับ

จากจุดตัดของแกน O สูตรนี้เกี่ยวข้องกับการสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา Ov1 และ V2O และด้านตรงข้ามมุมฉาก F2O

ถ้าเส้นกำกับของไฮเปอร์โบลาตั้งฉากกัน ไฮเปอร์โบลาจะเรียกว่าหน้าจั่ว ไฮเปอร์โบลาสองอันที่มีเส้นกำกับร่วม แต่มีแกนตามขวางและแกนคอนจูเกตที่จัดเรียงใหม่ เรียกว่า คอนจูเกตร่วมกัน

พาราโบลา

Apollonius รู้จักจุดโฟกัสของวงรีและไฮเพอร์โบลา แต่เห็นได้ชัดว่าจุดโฟกัสของพาราโบลานั้นถูกกำหนดขึ้นครั้งแรกโดย Pappus (ครึ่งหลังของศตวรรษที่ 3) ซึ่งกำหนดเส้นโค้งนี้เป็นตำแหน่งของจุดที่เท่ากันจากจุดที่กำหนด ( โฟกัส) และเส้นตรงที่กำหนดซึ่งเรียกว่าผู้กำกับ การสร้างพาราโบลาโดยใช้ด้ายยืดตามคำจำกัดความของ Pappus ถูกเสนอโดย Isidore of Miletus (ศตวรรษที่ 6) ให้เราจัดเรียงไม้บรรทัดเพื่อให้ขอบตรงกับไดเรกทริกซ์ LLў (รูปที่ 4) และติดขา AC ของรูปสามเหลี่ยมรูปวาด ABC เข้ากับขอบนี้ เราแก้ไขปลายด้านหนึ่งของด้ายที่มีความยาว AB ที่จุดยอด B ของรูปสามเหลี่ยม และอีกปลายหนึ่งอยู่ที่จุดโฟกัสของพาราโบลา F ดึงด้ายด้วยปลายดินสอ กดส่วนปลายที่จุดตัวแปร P ให้ว่าง ขา AB ของรูปสามเหลี่ยมรูปวาด เมื่อสามเหลี่ยมเคลื่อนที่ไปตามไม้บรรทัด จุด P จะอธิบายส่วนโค้งของพาราโบลาที่มีโฟกัส F และไดเรกทริกซ์ LLў เนื่องจากความยาวทั้งหมดของเกลียวคือ AB ส่วนของเกลียวจะอยู่ติดกับขาว่างของสามเหลี่ยม และ ดังนั้นส่วนที่เหลือของเกลียว PF จะต้องเท่ากับส่วนที่เหลือของขา AB นั่นคือ ป. จุดตัดของพาราโบลา V กับแกนเรียกว่าจุดยอดของพาราโบลา เส้นตรงที่ผ่าน F และ V เรียกว่าแกนของพาราโบลา หากเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนลากผ่านโฟกัส ส่วนของเส้นตรงที่ตัดโดยพาราโบลาจะเรียกว่าพารามิเตอร์โฟกัส สำหรับวงรีและไฮเพอร์โบลา พารามิเตอร์โฟกัสถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

คำตอบของตั๋ว: หมายเลข 1 (ไม่สมบูรณ์), 2 (ไม่สมบูรณ์), 3 (ไม่สมบูรณ์), 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 (ไม่สมบูรณ์), 16, 17, 18, 20, 21 , 22, 23 , 26,

องค์ประกอบที่ถอดออกได้

เมื่อวาดภาพ ในบางกรณี จำเป็นต้องสร้างภาพแยกต่างหากเพิ่มเติมของส่วนใดส่วนหนึ่งของวัตถุที่ต้องการคำอธิบายเกี่ยวกับรูปร่าง ขนาด หรือข้อมูลอื่นๆ รูปนั้นชื่อว่า องค์ประกอบขาออกมักจะดำเนินการขยาย คำบรรยายภาพสามารถจัดวางเป็นมุมมองหรือเป็นส่วน

เมื่อสร้างองค์ประกอบระยะไกล ตำแหน่งที่เกี่ยวข้องในภาพหลักจะถูกทำเครื่องหมายด้วยเส้นบางทึบปิด โดยปกติจะเป็นรูปวงรีหรือวงกลม และระบุด้วยอักษรตัวใหญ่ของตัวอักษรรัสเซียบนหิ้งของเส้นผู้นำ องค์ประกอบภายนอกถูกบันทึกตามประเภท A (5: 1) ในรูป 191 แสดงตัวอย่างขององค์ประกอบระยะไกล โดยวางไว้ใกล้ตำแหน่งที่ตรงกับรูปภาพของตัวแบบมากที่สุด

1. วิธีการฉายภาพสี่เหลี่ยม (มุมฉาก) คุณสมบัติคงที่พื้นฐานของการฉายภาพสี่เหลี่ยม เอเพียว มอนจ์.

การฉายภาพมุมฉาก (สี่เหลี่ยม) เป็นกรณีพิเศษของการฉายภาพขนาน เมื่อรังสีที่ฉายออกมาทั้งหมดตั้งฉากกับระนาบการฉาย การฉายภาพแบบมุมฉากมีคุณสมบัติทั้งหมดของการฉายภาพแบบขนาน แต่ด้วยการฉายภาพแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้า การฉายภาพของส่วนใดส่วนหนึ่ง หากไม่ขนานกับระนาบการฉายภาพ จะน้อยกว่าส่วนนั้นเสมอ (รูปที่ 58) นี่คือคำอธิบายโดยข้อเท็จจริงที่ว่าส่วนที่อยู่ในอวกาศคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก และการฉายภาพของมันคือขา: A "B" \u003d ABcos a

ด้วยการฉายภาพเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า มุมฉากจะถูกฉายในขนาดเต็มเมื่อทั้งสองด้านของมันขนานกับระนาบการฉายภาพ และเมื่อด้านใดด้านหนึ่งขนานกับระนาบการฉายภาพ และด้านที่สองจะไม่ตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพนี้

การจัดเรียงกันของเส้นตรงและระนาบ

เส้นตรงและระนาบในอวกาศสามารถ:

• ก) ไม่มีจุดร่วม;
• b) มีจุดร่วมเพียงจุดเดียว
• c) มีจุดร่วมอย่างน้อยสองจุด

ในรูป 30 แสดงความเป็นไปได้ทั้งหมดเหล่านี้

ในกรณี a) เส้น b ขนานกับระนาบ: b || .

ในกรณี b) เส้น l ตัดกับระนาบที่จุดหนึ่ง O; ล. = อ.

ในกรณี c) เส้น a เป็นของระนาบ: a หรือ a.

ทฤษฎีบท.ถ้าเส้น b ขนานกับเส้น a อย่างน้อยหนึ่งเส้นที่เป็นของระนาบ เส้นนั้นจะขนานกับระนาบ

สมมติว่าเส้น m ตัดกับระนาบที่จุด Q ถ้า m ตั้งฉากกับแต่ละเส้นของระนาบที่ผ่านจุด Q เส้น m จะเรียกว่าตั้งฉากกับระนาบ

รางรถรางแสดงให้เห็นถึงความเป็นเจ้าของของเส้นตรงไปยังระนาบพื้น สายไฟขนานกับระนาบพื้น และลำต้นของต้นไม้เป็นตัวอย่างของเส้นตรงที่ตัดกับพื้น บางเส้นตั้งฉากกับระนาบพื้น บางเส้นไม่ตั้งฉาก (เอียง)