จากหลักสูตรเรขาคณิตและคณิตศาสตร์ เด็กนักเรียนคุ้นเคยกับข้อเท็จจริงที่ว่าแนวคิดของอนุพันธ์ถูกส่งผ่านไปยังพื้นที่ของรูป ดิฟเฟอเรนเชียล ลิมิตของฟังก์ชัน และลิมิตด้วย ลองพิจารณาแนวคิดของอนุพันธ์จากมุมที่ต่างกัน และพิจารณาว่าสามารถเชื่อมโยงฟังก์ชันอนุพันธ์และฟังก์ชันตรีโกณมิติได้อย่างไร
ดังนั้น ให้พิจารณาเส้นโค้งตามอำเภอใจ ซึ่งอธิบายโดยฟังก์ชันนามธรรม y = f(x)
ลองนึกภาพว่ากราฟเป็นแผนที่เส้นทางท่องเที่ยว การเพิ่มขึ้น ∆x (เดลต้า x) ในรูปคือระยะทางที่แน่นอนของเส้นทาง และ ∆y คือการเปลี่ยนแปลงในความสูงของเส้นทางเหนือระดับน้ำทะเล
จากนั้นปรากฎว่าอัตราส่วน ∆x/∆y จะกำหนดลักษณะเส้นทางที่ยากในแต่ละส่วนของเส้นทาง เมื่อทราบค่านี้แล้ว คุณก็สามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าทางขึ้น/ลงจะสูงชันหรือไม่ จำเป็นต้องใช้อุปกรณ์ปีนเขาหรือไม่ และนักท่องเที่ยวจำเป็นต้องมีสมรรถภาพทางกายหรือไม่ แต่ตัวบ่งชี้นี้จะใช้ได้เฉพาะช่วงเวลาเล็ก ๆ หนึ่งช่วง ∆x
หากผู้จัดทริปใช้ค่าจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเส้นทาง นั่นคือ ∆x - จะเท่ากับความยาวของเส้นทาง เขาจะไม่ได้รับข้อมูลวัตถุประสงค์ในระดับ ของความยากลำบากของการเดินทาง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องสร้างกราฟอื่นที่จะอธิบายลักษณะความเร็วและ "คุณภาพ" ของการเปลี่ยนแปลงเส้นทาง กล่าวคือ กำหนดอัตราส่วน ∆x/∆y สำหรับแต่ละ "เมตร" ของเส้นทาง
กราฟนี้จะเป็นอนุพันธ์ทางสายตาสำหรับเส้นทางใดเส้นทางหนึ่ง และจะอธิบายการเปลี่ยนแปลงตามช่วงความสนใจแต่ละช่วงอย่างเป็นกลาง มันง่ายมากที่จะตรวจสอบสิ่งนี้ ค่าของ ∆x/∆y ไม่ได้เป็นอะไรนอกจากค่าดิฟเฟอเรนเชียลที่ใช้สำหรับค่าเฉพาะของ x และ y ให้เราใช้ความแตกต่างไม่ใช่กับบางพิกัด แต่กับฟังก์ชันโดยรวม:
ฟังก์ชันอนุพันธ์และตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติเชื่อมโยงกับอนุพันธ์อย่างแยกไม่ออก คุณสามารถเข้าใจสิ่งนี้ได้จากรูปวาดต่อไปนี้ รูปแกนพิกัดแสดงฟังก์ชัน Y = f (x) - เส้นโค้งสีน้ำเงิน
K (x0; f (x0)) เป็นจุดที่กำหนด x0 + ∆x คือส่วนเพิ่มตามแกน OX และ f (x0 + ∆x) คือการเพิ่มขึ้นตามแกน OY ที่จุดหนึ่ง L
ลากเส้นผ่านจุด K และ L และสร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก KLN หากคุณย้ายส่วน LN ทางจิตใจไปตามกราฟ Y = f (x) จากนั้นจุด L และ N จะมีแนวโน้มเป็นค่า K (x0; f (x0)) ให้เรียกจุดนี้ว่าจุดเริ่มต้นตามเงื่อนไขของกราฟ - ขีด จำกัด แต่ถ้าฟังก์ชันไม่มีที่สิ้นสุด อย่างน้อยก็ในช่วงใดช่วงหนึ่ง ความทะเยอทะยานนี้จะไม่มีที่สิ้นสุดเช่นกัน และค่าจำกัดของมันใกล้ 0
ธรรมชาติของความทะเยอทะยานนี้สามารถอธิบายได้โดยแทนเจนต์ของจุดที่เลือก y = kx + b หรือโดยกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชันดั้งเดิม dy - เส้นตรงสีเขียว
แต่ตรีโกณมิติที่นี่อยู่ที่ไหน! การพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก KLN นั้นง่ายมาก ค่าของดิฟเฟอเรนเชียลสำหรับจุดใดจุดหนึ่ง K คือแทนเจนต์ของมุม α หรือ ∠K:
ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะอธิบายความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์และความสัมพันธ์กับฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ต้องจดจำการแปลงของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ในการหาอนุพันธ์
สองสูตรสุดท้ายไม่ใช่ข้อผิดพลาด ความจริงก็คือว่ามีความแตกต่างระหว่างการกำหนดอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์อย่างง่ายกับฟังก์ชันที่มีความจุเท่ากัน
พิจารณาตารางเปรียบเทียบพร้อมสูตรอนุพันธ์ของไซนิส โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์:
สูตรสำหรับอนุพันธ์ของอาร์กไซน์, อาร์คโคไซน์, อาร์คแทนเจนต์และอาร์คโคแทนเจนต์นั้นได้มาเช่นกันแม้ว่าจะใช้น้อยมาก:
ควรสังเกตว่าสูตรข้างต้นไม่เพียงพอสำหรับการแก้ปัญหาที่ประสบความสำเร็จ งานทั่วไป USE ซึ่งจะแสดงให้เห็นเมื่อแก้ไข กรณีศึกษาค้นหาอนุพันธ์ของนิพจน์ตรีโกณมิติ
ออกกำลังกาย: จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและหาค่าของ π/4:
วิธีการแก้: ในการหา y' คุณต้องจำสูตรพื้นฐานสำหรับการแปลงฟังก์ชันดั้งเดิมเป็นอนุพันธ์ กล่าวคือ
คำถามที่พบบ่อย
เป็นไปได้ไหมที่จะทำตราประทับบนเอกสารตามตัวอย่างที่ให้มา? ตอบ ใช่มันเป็นไปได้ ส่งสำเนาหรือภาพถ่ายที่สแกนไปยังที่อยู่อีเมลของเรา อย่างดีและเราจะทำสำเนาที่จำเป็น
คุณยอมรับการชำระเงินประเภทใด?
ตอบ คุณสามารถชำระเงินค่าเอกสาร ณ เวลาที่ได้รับโดยผู้จัดส่ง หลังจากที่คุณตรวจสอบความถูกต้องของการกรอกและคุณภาพของประกาศนียบัตรแล้ว สามารถทำได้ที่สำนักงานของ บริษัท ไปรษณีย์ที่ให้บริการเก็บเงินปลายทาง
เงื่อนไขการจัดส่งและการชำระเงินของเอกสารทั้งหมดได้อธิบายไว้ในส่วน "การชำระเงินและการจัดส่ง" นอกจากนี้เรายังพร้อมรับฟังข้อเสนอแนะของคุณเกี่ยวกับเงื่อนไขการจัดส่งและการชำระเงินค่าเอกสาร
ฉันสามารถแน่ใจได้ว่าหลังจากทำการสั่งซื้อ คุณจะไม่หายไปพร้อมกับเงินของฉัน? ตอบ เรามีประสบการณ์ค่อนข้างยาวนานในด้านการผลิตประกาศนียบัตร เรามีเว็บไซต์หลายแห่งที่มีการปรับปรุงอย่างต่อเนื่อง ผู้เชี่ยวชาญของเราทำงานในส่วนต่างๆ ของประเทศ โดยผลิตเอกสารมากกว่า 10 ฉบับต่อวัน ตลอดหลายปีที่ผ่านมา เอกสารของเราได้ช่วยเหลือผู้คนจำนวนมากในการแก้ปัญหาการจ้างงานหรือย้ายไปยังงานที่ได้ค่าตอบแทนที่สูงขึ้น เราได้รับความไว้วางใจและการยอมรับจากลูกค้า ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลที่เราจะทำเช่นนี้อย่างแน่นอน ยิ่งกว่านั้นมันเป็นไปไม่ได้เลยที่จะทำมันทางกายภาพ: คุณชำระเงินสำหรับการสั่งซื้อของคุณในขณะที่ได้รับมันในมือของคุณไม่มีการชำระเงินล่วงหน้า
ฉันสามารถสั่งซื้อประกาศนียบัตรจากมหาวิทยาลัยใด ๆ ได้หรือไม่? ตอบ โดยทั่วไปใช่ เราทำงานในพื้นที่นี้มาเกือบ 12 ปีแล้ว ในช่วงเวลานี้ มีการสร้างฐานข้อมูลเอกสารที่ออกโดยมหาวิทยาลัยเกือบทั้งหมดในประเทศและปีต่างๆ ที่ออกเอกสารเกือบครบถ้วน เพียงคุณเลือกมหาวิทยาลัย สาขาพิเศษ เอกสาร และกรอกแบบฟอร์มสั่งซื้อ
ฉันควรทำอย่างไรหากพบการพิมพ์ผิดและข้อผิดพลาดในเอกสาร
ตอบ เมื่อได้รับเอกสารจากบริษัทจัดส่งหรือบริษัทไปรษณีย์ของเรา เราขอแนะนำให้คุณตรวจสอบรายละเอียดทั้งหมดอย่างรอบคอบ หากพบการพิมพ์ผิด ข้อผิดพลาด หรือความไม่ถูกต้อง คุณมีสิทธิ์ที่จะไม่รับประกาศนียบัตร และคุณต้องระบุข้อบกพร่องที่พบเป็นการส่วนตัวต่อผู้จัดส่งหรือเป็นลายลักษณ์อักษรโดยส่งอีเมล
เราจะแก้ไขเอกสารให้ถูกต้องและส่งใหม่ไปยังที่อยู่ที่ระบุโดยเร็วที่สุด แน่นอน ค่าขนส่งจะจ่ายโดยบริษัทของเรา
เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดดังกล่าว ก่อนกรอกแบบฟอร์มต้นฉบับ เราจะส่งเค้าโครงของเอกสารในอนาคตไปยังอีเมลของลูกค้าเพื่อตรวจสอบและอนุมัติเวอร์ชันสุดท้าย ก่อนส่งเอกสารทางไปรษณีย์หรือทางไปรษณีย์ เรายังถ่ายภาพและวิดีโอเพิ่มเติม (รวมถึงแสงอัลตราไวโอเลตด้วย) เพื่อให้คุณเห็นภาพว่าคุณจะได้อะไรในที่สุด
คุณต้องทำอย่างไรเพื่อสั่งซื้อประกาศนียบัตรจากบริษัทของคุณ?
ตอบ ในการสั่งซื้อเอกสาร (ใบรับรอง อนุปริญญา ใบรับรองการศึกษา ฯลฯ) คุณต้องกรอกแบบฟอร์มการสั่งซื้อออนไลน์บนเว็บไซต์ของเราหรือให้อีเมลของคุณ เพื่อที่เราจะส่งแบบฟอร์มแบบสอบถามซึ่งคุณต้องกรอกและส่ง กลับมาหาเรา
หากคุณไม่ทราบว่าต้องระบุอะไรในช่องใดๆ ของแบบฟอร์มคำสั่งซื้อ/แบบสอบถาม ให้เว้นว่างไว้ ดังนั้นเราจะชี้แจงข้อมูลที่ขาดหายไปทั้งหมดทางโทรศัพท์
บทวิจารณ์ล่าสุด
ทอรีไวลด์:
ฉันตัดสินใจซื้อใบประกาศนียบัตรจากบริษัทของคุณเมื่อย้ายไปเมืองอื่น แต่ไม่พบประกาศนียบัตรจากสิ่งที่ฉันทำ หากไม่มีเขา ฉันคงไม่ได้รับการว่าจ้างให้ทำงานที่มีรายได้ดี ที่ปรึกษาของคุณรับรองกับฉันว่าข้อมูลนี้จะไม่ถูกเปิดเผย และจะไม่มีใครแยกแยะเอกสารจากต้นฉบับ ข้อสงสัยไม่ได้หายไป แต่ฉันต้องใช้โอกาส ฉันชอบที่ไม่ต้องจ่ายเงินล่วงหน้า โดยทั่วไป ฉันได้รับประกาศนียบัตรตรงเวลาและไม่ถูกหลอก ขอขอบคุณ!
อ็อกซาน่า อิวานอฟนา:
เมื่อใบปริญญาของฉันถูกขโมย ฉันรู้สึกเสียใจมาก ตอนนั้นฉันเพิ่งถูกไล่ออก ตอนนี้หางานดีๆ โดยไม่มีใบปริญญา อุดมศึกษาแทบเป็นไปไม่ได้ โชคดีที่เพื่อนบ้านแนะนำให้ติดต่อองค์กรของคุณ ตอนแรกฉันไม่ค่อยเชื่อ แต่ตัดสินใจฉวยโอกาส ฉันโทรหาผู้จัดการบริษัทและอธิบายสถานการณ์ของฉัน และฉันโชคดี! พวกเขาทำทุกอย่างทันท่วงที และที่สำคัญที่สุด พวกเขาสัญญาว่าจะไม่เปิดเผยความลับของฉัน ฉันกังวลว่าภายหลังการซื้อประกาศนียบัตรของฉันจะไม่ปรากฏขึ้น
มาช่า คูเทนโคว่า:
ขอบคุณสำหรับการทำงานของคุณ! ได้รับพระราชทานปริญญาบัตรเมื่อ พ.ศ. 2534 เมื่อพวกเขาเริ่มหยิบเอกสาร ปรากฏว่ามีประสบการณ์เพียงเล็กน้อย และจำเป็นต้องมีเอกสารยืนยันการศึกษาด้วย ฉันไม่มีมัน และเจ้านายก็รู้เรื่องนี้ และเธอก็แนะนำบริษัทของคุณด้วยตัวเอง (คุณเห็นไหม ฉันเป็นพนักงาน ไม่มีอะไรแบบนั้น) ในเอกสาร เธอระบุรายละเอียดให้ฉันฟัง พวกเขาบอกว่า ใช้หมึกหรือหมึกในปีใด ความหนาของลายเซ็น ฯลฯ ขอบคุณสำหรับความพิถีพิถันและคุณภาพ!
เลนโอเค:
หลังจากอ่านเรื่องราวเกี่ยวกับการไล่ออกจากงานที่น่าอับอายของพนักงานที่พิมพ์ใบประกาศนียบัตรด้วยเครื่องพิมพ์สี ฉันก็ไปสมัครเรียนที่มหาวิทยาลัย อนิจจาไม่มีงบประมาณไม่มีเงินเรียนและจ่ายค่าเรียนฉันก็ต้องเสี่ยง แม้ว่าฉันจะดีใจมากที่ได้รู้จักบริษัทของคุณ แม้ว่าฉันจะไม่ได้รับการว่าจ้างด้วยประกาศนียบัตรของคุณ เนื่องจากความล้มเหลวของบล็อกในทางปฏิบัติ นี่ไม่ใช่ความผิดของคุณ ทันทีที่ฉันพบที่ใหม่ - ถึงคุณทันทีโดยไม่ชักช้า!
เจอร์รี่ เทอร์รี่:
มองดูด้วยความอับอายที่เพื่อนร่วมงานของฉันเลิกงานเพื่อรับประกาศนียบัตรปลอม มันน่ากลัวที่จะทำตามตัวอย่างของเขา ถ้าไม่ใช่เพราะเจ้าพ่อเจ้าพ่อที่สั่งเจ้า ข้าก็คงไม่เสี่ยง เธอรับรองกับฉันว่าทุกอย่างราบรื่นที่นี่ และชื่อของฉันจะอยู่ทุกที่ที่จำเป็น ฉันมีเวลา 4 วันสำหรับทุกอย่าง ขอขอบคุณสำหรับความเร็ว เราทำได้ใน 3 รายการ และศึกษาวิธีการปลอมแปลงเอกสารอย่างพิถีพิถัน แต่แบบฟอร์มของคุณไม่เหมาะกับของปลอม ซึ่งหมายความว่าเอกสารจะผ่านไปยังต้นฉบับ
แอนดรู:
ฉันไม่เคยคิดเลยว่าฉันจะต้องซื้อประกาศนียบัตร หลังเลิกเรียน ลูกสาวของเธอไปทำงานที่โปแลนด์ เมื่อเธอกลับมาหลังจาก 5 ปี เธอต้องการทำงานเป็นนักออกแบบแฟชั่นในบ้านแฟชั่นท้องถิ่น ไม่มีประกาศนียบัตรก็ไม่มีใครอยากพาเธอไปทำงาน เขาเข้าใจว่าถ้าเขาไม่ได้งานนี้เขาจะจากไปอีกครั้ง ฉันท่องอินเทอร์เน็ตในตอนเย็นและในตอนเช้าฉันก็อยู่ในสำนักงานพร้อมกับเอกสารของลูกสาวแล้ว หนึ่งสัปดาห์ต่อมา เขารับประกาศนียบัตรกับเธอ และในที่สุดเธอก็ทำงานในเมืองของเธอในตำแหน่งที่ต้องการ คุณไม่รู้หรอกว่าฉันขอบคุณแค่ไหน!
อนุพันธ์เทียบกับ x ของโคแทนเจนต์ของ x คือลบหนึ่งหารด้วยไซน์กำลังสองของ x:
(ctgx)′ =.
ที่มาของสูตรอนุพันธ์ของโคแทนเจนต์
เพื่อให้ได้สูตรอนุพันธ์ของโคแทนเจนต์ เราจะใช้ข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้:
1)
การแสดงออกของโคแทนเจนต์ในแง่ของโคไซน์และไซน์:
(1)
;
2)
ค่าของอนุพันธ์โคไซน์:
(2)
;
3)
ค่าของอนุพันธ์ของไซน์:
(3)
;
4)
สูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลหาร:
(4)
;
5)
สูตรตรีโกณมิติ:
(5)
.
เราใช้สูตรและกฎเหล่านี้กับอนุพันธ์ของโคแทนเจนต์
.
ดังนั้นเราจึงได้สูตรอนุพันธ์ของโคแทนเจนต์
สูตรสำหรับอนุพันธ์ของเศษส่วน (4) นั้นใช้ได้สำหรับค่าเหล่านั้นของตัวแปร x ซึ่งมีอนุพันธ์ของฟังก์ชันและซึ่งตัวส่วนของเศษส่วนไม่หายไป:
.
ในกรณีของเรา
, . เนื่องจากอนุพันธ์โคไซน์และไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปร x ดังนั้นสูตรอนุพันธ์ของโคแทนเจนต์จึงใช้ได้กับ x ทั้งหมด ยกเว้นจุดที่ไซน์เป็นศูนย์ นั่นคือนอกเหนือจากจุด
,
จำนวนเต็มอยู่ที่ไหน
ฟังก์ชันเอง y = ctg xกำหนดไว้สำหรับ x ทั้งหมดยกเว้นจุด
.
นั่นเป็นเหตุผลที่ อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์ถูกกำหนดในโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความของฟังก์ชันโคแทนเจนต์.
อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น
สูตรง่าย ๆ สำหรับอนุพันธ์อันดับที่ n ของโคแทนเจนต์ y = ctg x, ไม่. แต่การคำนวณอนุพันธ์อันดับสูงกว่านั้นสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ สามารถลดขั้นตอนได้เป็น ความแตกต่างของพหุนาม.
ในการทำเช่นนี้ เราแสดงอนุพันธ์ของโคแทนเจนต์ในแง่ของโคแทนเจนต์เอง:
.
ดังนั้นเราจึงพบว่า:
(6)
.
ให้เราหาอนุพันธ์ของส่วนซ้ายและขวาของสมการ (6) และใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันเชิงซ้อน เราได้รับ อนุพันธ์อันดับสอง:
.
ทดแทน (6):
(7)
.
หาอนุพันธ์อันดับสาม. ในการทำเช่นนี้ เราสร้างความแตกต่างของสมการ (7) ใช้กฎการแยกความแตกต่าง ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนและใช้นิพจน์ (6) สำหรับอนุพันธ์อันดับแรก:
.
ในทำนองเดียวกัน เราพบว่า อนุพันธ์อันดับสี่และอันดับห้า:
;
.
โดยทั่วไปแล้ว อนุพันธ์ของลำดับที่ nในตัวแปร x ของฟังก์ชันโคแทนเจนต์ สามารถแสดงเป็นพหุนามในยกกำลังของโคแทนเจนต์ได้:
.
สัมประสิทธิ์ของพหุนามนี้สัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์แบบเรียกซ้ำ:
,
ที่ไหน
;
;
.
สูตรทั่วไป
ให้เราแสดงกระบวนการสร้างความแตกต่างด้วยสูตรเดียว สำหรับสิ่งนี้เราทราบว่า
.
จากนั้นอนุพันธ์อันดับที่ n ของโคแทนเจนต์มีรูปแบบดังนี้:
,
ที่ไหน .