และทฤษฎีบทอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน, ถ้อยคำซึ่งก็คือ:
ให้ 1) ฟังก์ชัน $u=\varphi (x)$ มีอนุพันธ์ $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ ในบางจุด $x_0$, 2) ฟังก์ชัน $y=f(u)$ มีที่จุดที่สอดคล้องกัน $u_0=\varphi (x_0)$ อนุพันธ์ $y_(u)"=f"(u)$ จากนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อน $y=f\left(\varphi (x) \right)$ ที่จุดดังกล่าวจะมีอนุพันธ์เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f(u)$ และ $\varphi ( x)$:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$
หรือโดยย่อ: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$
ในตัวอย่างของส่วนนี้ ฟังก์ชันทั้งหมดมีรูปแบบ $y=f(x)$ (เช่น เราพิจารณาเฉพาะฟังก์ชันของตัวแปร $x$ เท่านั้น) ดังนั้น ในตัวอย่างทั้งหมด อนุพันธ์ $y"$ จะถูกนำมาเทียบกับตัวแปร $x$ เพื่อเน้นว่าอนุพันธ์ถูกนำมาเทียบกับตัวแปร $x$ เรามักจะเขียน $y"_x$ แทน $ y"$.
ตัวอย่าง #1, #2 และ #3 ให้รายละเอียดกระบวนการในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน ตัวอย่างที่ 4 มีวัตถุประสงค์เพื่อให้เข้าใจตารางอนุพันธ์อย่างสมบูรณ์ยิ่งขึ้น และเหมาะสมที่จะทำความคุ้นเคยกับมัน
ขอแนะนำให้หลังจากศึกษาเนื้อหาในตัวอย่างที่ 1-3 แล้ว ให้ดำเนินการแก้ไขตัวอย่างหมายเลข 5, หมายเลข 6 และหมายเลข 7 อย่างอิสระ ตัวอย่าง #5, #6 และ #7 มีวิธีแก้ปัญหาสั้นๆ เพื่อให้ผู้อ่านสามารถตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ได้
ตัวอย่าง #1
จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y=e^(\cos x)$
เราต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน $y"$ ตั้งแต่ $y=e^(\cos x)$ แล้ว $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. To ค้นหาอนุพันธ์ $ \left(e^(\cos x)\right)"$ ใช้สูตร #6 จากตารางอนุพันธ์ ในการใช้สูตรหมายเลข 6 คุณต้องคำนึงว่าในกรณีของเรา $u=\cos x$ วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมประกอบด้วยการแทนที่ซ้ำ ๆ ของนิพจน์ $\cos x$ แทนที่จะเป็น $u$ ในสูตรหมายเลข 6:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$
ตอนนี้เราต้องหาค่าของนิพจน์ $(\cos x)"$ อีกครั้ง เรากลับไปที่ตารางอนุพันธ์โดยเลือกสูตรหมายเลข 10 จากนั้นแทนที่ $u=x$ ในสูตรที่ 10 เรามี : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. ตอนนี้เราดำเนินการต่อความเท่าเทียมกัน (1.1) เสริมด้วยผลลัพธ์ที่พบ:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$
ตั้งแต่ $x"=1$ เรายังคงความเท่าเทียมกัน (1.2):
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$
ดังนั้นจากความเท่าเทียมกัน (1.3) เรามี: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$ โดยปกติคำอธิบายและความเท่าเทียมกันระดับกลางมักจะถูกข้ามโดยเขียนอนุพันธ์ในหนึ่งบรรทัดเช่นเดียวกับในความเท่าเทียมกัน ( 1.3) ดังนั้น เมื่อพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน เหลือเพียงการเขียนคำตอบเท่านั้น
ตอบ: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
ตัวอย่าง #2
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$
เราต้องคำนวณอนุพันธ์ $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ ในการเริ่มต้น เราสังเกตว่าค่าคงที่ (เช่น เลข 9) สามารถลบออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$
ทีนี้มาดูนิพจน์ $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ เพื่อให้ง่ายต่อการเลือกสูตรที่ต้องการจากตารางอนุพันธ์ ผมจะนำเสนอนิพจน์ ในรูปแบบนี้: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าจำเป็นต้องใช้สูตรที่ 2 เช่น $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. แทนที่ $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ และ $\alpha=12$ ลงในสูตรนี้:
เสริมความเท่าเทียมกัน (2.1) กับผลลัพธ์ที่ได้ เรามี:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$
ในสถานการณ์นี้ มักเกิดข้อผิดพลาดเมื่อโปรแกรมแก้ปัญหาในขั้นตอนแรกเลือกสูตร $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ แทนสูตร $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. ประเด็นคืออนุพันธ์อันดับแรกต้องเป็น ฟังก์ชั่นภายนอก. เพื่อให้เข้าใจว่าฟังก์ชันใดที่จะอยู่ภายนอกนิพจน์ $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ให้จินตนาการว่าคุณกำลังนับค่าของนิพจน์ $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ สำหรับค่าบางอย่างของ $x$ ขั้นแรก คุณคำนวณค่าของ $5^x$ แล้วคูณผลลัพธ์ด้วย 4 เพื่อให้ได้ $4\cdot 5^x$ ตอนนี้เราหาอาร์กแทนเจนต์จากผลลัพธ์นี้ ได้ $\arctg(4\cdot 5^x)$ จากนั้นเราเพิ่มจำนวนผลลัพธ์เป็นยกกำลังสิบสอง ได้ $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ การกระทำสุดท้าย กล่าวคือ ยกกำลัง 12 - และจะเป็นฟังก์ชันภายนอก และมันก็มาจากมันที่เราควรเริ่มหาอนุพันธ์ซึ่งทำในความเท่าเทียมกัน (2.2)
ตอนนี้เราต้องหา $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ เราใช้สูตรหมายเลข 19 ของตารางอนุพันธ์แทน $u=4\cdot \ln x$ เข้าไป:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
เรามาลดความซับซ้อนของนิพจน์ผลลัพธ์กันเล็กน้อย โดยคำนึงถึง $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
ความเท่าเทียมกัน (2.2) จะกลายเป็น:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$
มันยังคงต้องหา $(4\cdot \ln x)"$ เราเอาค่าคงที่ (เช่น 4) ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. สำหรับในการหา $(\ln x)"$ เราใช้สูตรหมายเลข 8 แทนที่ $u=x$ เป็น: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. ตั้งแต่ $x"=1$ แล้ว $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ แทนที่ผลลัพธ์ที่ได้รับในสูตร (2.3) เราได้รับ:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $
ผมขอเตือนคุณว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนมักอยู่ในบรรทัดเดียว ดังที่เขียนไว้ในสมการสุดท้าย ดังนั้น เมื่อทำการคำนวณหรือทดสอบมาตรฐาน ไม่จำเป็นต้องอธิบายวิธีแก้ปัญหาในรายละเอียดเดียวกันเลย
ตอบ: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
ตัวอย่าง #3
ค้นหา $y"$ ของฟังก์ชัน $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$
ขั้นแรก ให้แปลงฟังก์ชัน $y$ เล็กน้อยโดยแสดงราก (root) เป็นกำลัง: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. ทีนี้มาเริ่มหาอนุพันธ์กัน ตั้งแต่ $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ ดังนั้น:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$
เราใช้สูตรหมายเลข 2 จากตารางอนุพันธ์แทน $u=\sin(5\cdot 9^x)$ และ $\alpha=\frac(3)(7)$ ลงในนั้น:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
เรายังคงความเท่าเทียมกัน (3.1) โดยใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับ:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$
ตอนนี้เราต้องหา $(\sin(5\cdot 9^x))"$ สำหรับสิ่งนี้ เราใช้สูตรหมายเลข 9 จากตารางอนุพันธ์ แทนที่ $u=5\cdot 9^x$ ลงในนั้น:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
เสริมความเท่าเทียมกัน (3.2) กับผลลัพธ์ที่ได้ เรามี:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$
มันยังคงต้องหา $(5\cdot 9^x)"$. อันดับแรก เราเอาค่าคงที่ (ตัวเลข $5$) ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ นั่นคือ $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$ ในการหาอนุพันธ์ $(9^x)"$ เราใช้สูตรที่ 5 ของตารางอนุพันธ์แทน $a=9$ และ $u=x$ ลงในนั้น: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. ตั้งแต่ $x"=1$ แล้ว $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. ตอนนี้ เราสามารถดำเนินการต่อความเท่าเทียมกัน (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
คุณสามารถคืนอำนาจจากรากเป็นราก (เช่น root) ได้อีกครั้งโดยเขียน $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ as $\ frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^ x)))$. จากนั้นอนุพันธ์จะถูกเขียนในรูปแบบต่อไปนี้:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))) $$
ตอบ: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.
ตัวอย่าง #4
แสดงว่าสูตรที่ 3 และ 4 ของตารางอนุพันธ์เป็นกรณีพิเศษของสูตรที่ 2 ของตารางนี้
ในสูตรที่ 2 ของตารางอนุพันธ์ เขียนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $u^\alpha$ แทนที่ $\alpha=-1$ ลงในสูตร #2 เราได้:
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$
เนื่องจาก $u^(-1)=\frac(1)(u)$ และ $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ ความเท่าเทียมกัน (4.1) สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. นี่คือสูตรหมายเลข 3 ของตารางอนุพันธ์
ลองกลับมาที่สูตรหมายเลข 2 ของตารางอนุพันธ์กันอีกครั้ง แทนที่ $\alpha=\frac(1)(2)$ เข้าไป:
$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$
ตั้งแต่ $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ และ $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$ ดังนั้นความเท่าเทียมกัน (4.2) สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
ความเท่าเทียมกันที่ได้คือ $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ คือสูตรที่ 4 ของตารางอนุพันธ์ ดังที่คุณเห็น สูตรที่ 3 และหมายเลข 4 ของตารางอนุพันธ์ได้มาจากสูตรที่ 2 โดยแทนที่ค่าที่สอดคล้องกันของ $\alpha$
มันง่ายมากที่จะจำ
เราจะไม่ไปไกลเราจะพิจารณาฟังก์ชันผกผันทันที ฟังก์ชันใดเป็นตัวผกผันของ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง? ลอการิทึม:
ในกรณีของเรา ฐานคือตัวเลข:
ลอการิทึมดังกล่าว (นั่นคือ ลอการิทึมที่มีฐาน) เรียกว่าลอการิทึม "ธรรมชาติ" และเราใช้สัญกรณ์พิเศษสำหรับมัน: เราเขียนแทน
เท่ากับอะไร? แน่นอน, .
อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาตินั้นง่ายมากเช่นกัน:
ตัวอย่าง:
- หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
- อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออะไร?
คำตอบ: เลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันที่ไม่ซ้ำแบบใครในแง่ของอนุพันธ์ ฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมกับฐานอื่นๆ จะมีอนุพันธ์ที่แตกต่างกัน ซึ่งเราจะวิเคราะห์ในภายหลัง หลังจากที่เราผ่านกฎของดิฟเฟอเรนติเอชัน
กฎการสร้างความแตกต่าง
กฎอะไร? ศัพท์ใหม่อีกแล้วเหรอ?!...
ความแตกต่างเป็นกระบวนการหาอนุพันธ์
เท่านั้นและทุกอย่าง คำอื่นสำหรับกระบวนการนี้คืออะไร? ไม่ใช่ proizvodnovanie... ดิฟเฟอเรนเชียลของคณิตศาสตร์เรียกว่าการเพิ่มขึ้นอย่างมากของฟังก์ชันที่ คำนี้มาจากความแตกต่างของภาษาละติน - ความแตกต่าง ที่นี่.
เมื่อได้กฎเหล่านี้มา เราจะใช้สองฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น และ เราต้องการสูตรสำหรับการเพิ่ม:
มีกฎทั้งหมด 5 ข้อ
ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์
ถ้า - จำนวนคงที่บางตัว (ค่าคงที่) แล้ว
เห็นได้ชัดว่ากฎนี้ใช้ได้กับความแตกต่าง:
มาพิสูจน์กัน ให้หรือง่ายกว่า
ตัวอย่าง.
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
- ณ จุดนั้น;
- ณ จุดนั้น;
- ณ จุดนั้น;
- ที่จุด
โซลูชั่น:
- (อนุพันธ์จะเหมือนกันทุกจุด เนื่องจากเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น จำได้ไหม);
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์
ทุกอย่างคล้ายกันที่นี่: เราแนะนำฟังก์ชันใหม่และค้นหาการเพิ่มขึ้น:
อนุพันธ์:
ตัวอย่าง:
- ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและ
- หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง
โซลูชั่น:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ตอนนี้ความรู้ของคุณก็เพียงพอที่จะเรียนรู้วิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ไม่ใช่แค่เลขชี้กำลัง (คุณลืมไปแล้วหรือว่ามันคืออะไร?)
แล้วเลขไหนล่ะ.
เรารู้อนุพันธ์ของฟังก์ชันแล้ว ลองนำฟังก์ชันของเราไปที่ฐานใหม่:
ในการทำเช่นนี้ เราใช้กฎง่ายๆ: . แล้ว:
มันได้ผล ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ดู และอย่าลืมว่าฟังก์ชันนี้ซับซ้อน
เกิดขึ้น?
ที่นี่ ตรวจสอบตัวเอง:
สูตรกลับกลายเป็นว่าคล้ายกันมากกับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง: เหมือนเดิม เหลือเพียงปัจจัยที่ปรากฏ ซึ่งเป็นเพียงตัวเลข แต่ไม่ใช่ตัวแปร
ตัวอย่าง:
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
คำตอบ:
นี่เป็นเพียงตัวเลขที่ไม่สามารถคำนวณได้หากไม่มีเครื่องคิดเลข นั่นคือ ไม่มีทางที่จะเขียนลงไปได้อีก แบบง่ายๆ. ดังนั้นในคำตอบจึงเหลืออยู่ในแบบฟอร์มนี้
โปรดทราบว่านี่คือผลหารของสองฟังก์ชัน ดังนั้นเราจึงใช้กฎการสร้างความแตกต่างที่เหมาะสม:
ในตัวอย่างนี้ ผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม
มันคล้ายกัน: คุณรู้อยู่แล้วว่าอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ:
ดังนั้น ในการหาอนุญาโตตุลาการจากลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน เช่น :
เราจำเป็นต้องนำลอการิทึมนี้ไปที่ฐาน คุณจะเปลี่ยนฐานของลอการิทึมได้อย่างไร? ฉันหวังว่าคุณจะจำสูตรนี้:
ตอนนี้แทนที่จะเขียนว่า:
ตัวส่วนกลายเป็นเพียงค่าคงที่ (จำนวนคงที่โดยไม่มีตัวแปร) อนุพันธ์นั้นง่ายมาก:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึมแทบไม่เคยพบในข้อสอบ แต่การรู้จักฟังก์ชันเหล่านี้จะไม่ไม่จำเป็น
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
"ฟังก์ชันที่ซับซ้อน" คืออะไร? ไม่ นี่ไม่ใช่ลอการิทึม และไม่ใช่อาร์คแทนเจนต์ ฟังก์ชันเหล่านี้อาจเข้าใจได้ยาก (แม้ว่าลอการิทึมจะดูเหมือนยากสำหรับคุณ โปรดอ่านหัวข้อ "ลอการิทึม" แล้วทุกอย่างจะได้ผล) แต่ในแง่ของคณิตศาสตร์ คำว่า "ซับซ้อน" ไม่ได้หมายความว่า "ยาก"
ลองนึกภาพสายพานลำเลียงขนาดเล็ก: คนสองคนกำลังนั่งและทำอะไรบางอย่างกับวัตถุบางอย่าง ตัวอย่างเช่น อันแรกห่อแท่งช็อกโกแลตในกระดาษห่อ และอันที่สองผูกด้วยริบบิ้น ปรากฎว่าเป็นวัตถุคอมโพสิต: แท่งช็อกโกแลตห่อและผูกด้วยริบบิ้น ในการกินช็อกโกแลตแท่ง คุณต้องทำขั้นตอนตรงกันข้ามในลำดับที่กลับกัน
มาสร้างไปป์ไลน์ทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายกันกัน: อันดับแรก เราจะหาโคไซน์ของตัวเลข จากนั้นเราจะยกกำลังสองของจำนวนผลลัพธ์ ดังนั้นพวกเขาจึงให้ตัวเลข (ช็อกโกแลต) แก่เรา ฉันพบว่าโคไซน์ (wrapper) ของมัน แล้วคุณก็ยกกำลังสองสิ่งที่ฉันได้ (มัดด้วยริบบิ้น) เกิดอะไรขึ้น การทำงาน. นี่คือตัวอย่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เพื่อค้นหาค่านั้น เมื่อเราดำเนินการแรกกับตัวแปรโดยตรง เพื่อค้นหาค่าของมัน จากนั้นจึงดำเนินการครั้งที่สองกับสิ่งที่เกิดขึ้นซึ่งเป็นผลมาจากครั้งแรก
กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันที่ซับซ้อนคือฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นฟังก์ชันอื่น: .
สำหรับตัวอย่างของเรา .
เราอาจทำแบบเดียวกันในลำดับที่กลับกัน: ก่อนอื่นให้ยกกำลังสอง แล้วหาโคไซน์ของจำนวนผลลัพธ์: เดาได้ง่ายว่าผลลัพธ์จะแตกต่างกันเกือบทุกครั้ง คุณลักษณะที่สำคัญของฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เมื่อลำดับของการกระทำเปลี่ยนไป ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไป
ตัวอย่างที่สอง: (เหมือนกัน) .
การกระทำสุดท้ายที่เราทำจะถูกเรียกว่า ฟังก์ชัน "ภายนอก"และการกระทำที่ดำเนินการก่อน - ตามลำดับ ฟังก์ชัน "ภายใน"(เหล่านี้เป็นชื่อที่ไม่เป็นทางการ ฉันใช้เพื่ออธิบายเนื้อหาในภาษาที่เรียบง่ายเท่านั้น)
ลองพิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอกและส่วนใดเป็นฟังก์ชันภายใน:
คำตอบ:การแยกฟังก์ชันภายในและภายนอกจะคล้ายกับการเปลี่ยนแปลงตัวแปร เช่น ในฟังก์ชัน
- เราจะดำเนินการอะไรเป็นอันดับแรก ขั้นแรก เราคำนวณไซน์ แล้วจึงเพิ่มเป็นลูกบาศก์ จึงเป็นฟังก์ชันภายใน ไม่ใช่ฟังก์ชันภายนอก
และฟังก์ชันดั้งเดิมคือองค์ประกอบ: . - ภายใน: ; ภายนอก: .
การตรวจสอบ: . - ภายใน: ; ภายนอก: .
การตรวจสอบ: . - ภายใน: ; ภายนอก: .
การตรวจสอบ: . - ภายใน: ; ภายนอก: .
การตรวจสอบ: .
เราเปลี่ยนตัวแปรและรับฟังก์ชัน
ตอนนี้เราจะแยกช็อคโกแลตของเรา - มองหาอนุพันธ์ ขั้นตอนจะกลับกันเสมอ: อันดับแรก เรามองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก จากนั้นเราคูณผลลัพธ์ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน สำหรับตัวอย่างเดิม จะมีลักษณะดังนี้:
ตัวอย่างอื่น:
ในที่สุด มากำหนดกฎอย่างเป็นทางการกัน:
อัลกอริทึมสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
ดูเหมือนจะง่ายใช่มั้ย?
ลองตรวจสอบด้วยตัวอย่าง:
โซลูชั่น:
1) ภายใน: ;
ภายนอก: ;
2) ภายใน: ;
(อย่าเพิ่งพยายามลดตอนนี้ ไม่มีอะไรถูกนำออกจากใต้โคไซน์ จำได้ไหม)
3) ภายใน: ;
ภายนอก: ;
เป็นที่แน่ชัดในทันทีว่ามีฟังก์ชันเชิงซ้อนสามระดับอยู่ที่นี่: ท้ายที่สุด นี่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนอยู่แล้วในตัวเอง และเรายังคงแยกรากออกจากมัน นั่นคือ เราดำเนินการที่สาม (ใส่ช็อกโกแลตลงในกระดาษห่อ) และด้วยริบบิ้นในกระเป๋าเอกสาร) แต่ไม่มีเหตุผลที่จะต้องกลัว อย่างไรก็ตาม เราจะ "แกะ" ฟังก์ชันนี้ในลำดับเดียวกันตามปกติ: จากตอนท้าย
นั่นคือ อันดับแรก เราแยกความแตกต่างของรูท ตามด้วยโคไซน์ และจากนั้นนิพจน์ในวงเล็บเท่านั้น แล้วเราก็คูณมันทั้งหมด
ในกรณีเช่นนี้ สะดวกในการนับการกระทำ นั่นคือ ลองนึกภาพสิ่งที่เรารู้ เราจะดำเนินการคำนวณค่าของนิพจน์นี้ในลำดับใด ลองดูตัวอย่าง:
ยิ่งมีการดำเนินการในภายหลัง ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องก็จะยิ่ง "ภายนอก" มากขึ้นเท่านั้น ลำดับของการกระทำ - เหมือนเมื่อก่อน:
ที่นี่การทำรังโดยทั่วไปมี 4 ระดับ มากำหนดแนวทางปฏิบัติกัน
1. การแสดงออกที่รุนแรง .
2. รูท .
3. ไซนัส .
4. สแควร์ .
5. นำทุกอย่างมารวมกัน:
อนุพันธ์ สั้น ๆ เกี่ยวกับ MAIN
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน- อัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์โดยการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เพียงเล็กน้อย:
อนุพันธ์พื้นฐาน:
กฎความแตกต่าง:
ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์:
อนุพันธ์ของผลรวม:
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์:
อนุพันธ์ของผลหาร:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
อัลกอริทึมสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
- เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายใน" ค้นหาอนุพันธ์ของมัน
- เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายนอก" ค้นหาอนุพันธ์ของมัน
- เราคูณผลลัพธ์ของจุดแรกและจุดที่สอง
หากเราทำตามคำจำกัดความ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนการเพิ่มของฟังก์ชัน Δ yเพื่อเพิ่มอาร์กิวเมนต์ Δ x:
ทุกอย่างดูเหมือนจะชัดเจน แต่ลองคำนวณตามสูตรนี้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) = x 2 + (2x+ 3) · อี xบาป x. หากคุณทำทุกอย่างตามคำจำกัดความหลังจากการคำนวณสองสามหน้าคุณจะหลับไป ดังนั้นจึงมีวิธีที่ง่ายกว่าและมีประสิทธิภาพมากกว่า
ในการเริ่มต้น เราทราบว่าฟังก์ชันพื้นฐานที่เรียกว่าสามารถแยกแยะได้จากฟังก์ชันที่หลากหลายทั้งหมด นี่เป็นนิพจน์ที่ค่อนข้างง่ายซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่คำนวณและป้อนในตารางมานานแล้ว ฟังก์ชันดังกล่าวจำง่ายพอๆ กับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น
ฟังก์ชันพื้นฐานมีทุกอย่างตามรายการด้านล่าง อนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ต้องเป็นที่รู้จักด้วยหัวใจ ยิ่งกว่านั้นการจดจำนั้นไม่ยาก - นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นระดับประถมศึกษา
ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน:
| ชื่อ | การทำงาน | อนุพันธ์ |
| คงที่ | ฉ(x) = ค, ค ∈ R | 0 (ใช่ ใช่ ศูนย์!) |
| องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ | ฉ(x) = x น | น · x น − 1 |
| ไซนัส | ฉ(x) = บาป x | cos x |
| โคไซน์ | ฉ(x) = cos x | − บาป x(ลบไซน์) |
| แทนเจนต์ | ฉ(x) = tg x | 1/คอส 2 x |
| โคแทนเจนต์ | ฉ(x) = ctg x | − 1/sin2 x |
| ลอการิทึมธรรมชาติ | ฉ(x) = บันทึก x | 1/x |
| ลอการิทึมตามอำเภอใจ | ฉ(x) = บันทึก เอ x | 1/(x ln เอ) |
| ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง | ฉ(x) = อี x | อี x(ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง) |
หากฟังก์ชันพื้นฐานคูณด้วยค่าคงที่ใดๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชันใหม่ก็จะคำนวณได้ง่ายเช่นกัน:
(ค · ฉ)’ = ค · ฉ ’.
โดยทั่วไป ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่น:
(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .
เห็นได้ชัดว่า ฟังก์ชันพื้นฐานสามารถเพิ่มซึ่งกันและกัน คูณ หาร และอื่นๆ อีกมากมาย นี่คือลักษณะที่ปรากฏของฟังก์ชันใหม่ ไม่ใช่แบบพื้นฐานอีกต่อไป แต่ยังแยกความแตกต่างได้ตามกฎบางอย่าง กฎเหล่านี้จะกล่าวถึงด้านล่าง
อนุพันธ์ของผลรวมและส่วนต่าง
ให้ฟังก์ชั่น ฉ(x) และ g(x) ซึ่งเรารู้จักอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ฟังก์ชันพื้นฐานที่กล่าวถึงข้างต้น จากนั้นคุณจะพบอนุพันธ์ของผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันเหล่านี้:
- (ฉ + g)’ = ฉ ’ + g ’
- (ฉ − g)’ = ฉ ’ − g ’
ดังนั้นอนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของสองฟังก์ชันจึงเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอนุพันธ์ อาจมีเงื่อนไขเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น, ( ฉ + g + ชม.)’ = ฉ ’ + g ’ + ชม. ’.
พูดอย่างเคร่งครัดไม่มีแนวคิดของ "การลบ" ในพีชคณิต มีแนวคิดของ "องค์ประกอบเชิงลบ" ดังนั้นความแตกต่าง ฉ − gสามารถเขียนใหม่เป็นผลรวมได้ ฉ+ (-1) gและเหลือเพียงสูตรเดียวเท่านั้น - อนุพันธ์ของผลรวม
ฉ(x) = x 2 + บาป; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
การทำงาน ฉ(x) คือผลรวมของฟังก์ชันพื้นฐานสองฟังก์ชัน ดังนั้น:
ฉ ’(x) = (x 2+ บาป x)’ = (x 2)' + (บาป x)’ = 2x+ คอสเอ็กซ์;
เราเถียงกันสำหรับฟังก์ชัน g(x). มีเพียงสามเทอมเท่านั้น (จากมุมมองของพีชคณิต):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
ตอบ:
ฉ ’(x) = 2x+ คอสเอ็กซ์;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์
คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์เชิงตรรกะ คนจำนวนมากเชื่อว่าหากอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ อนุพันธ์ของผลคูณนั้น โจมตี"\u003e เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ แต่สำหรับคุณมะเดื่อ! อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์คำนวณโดยใช้สูตรที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง กล่าวคือ:
(ฉ · g) ’ = ฉ ’ · g + ฉ · g ’
สูตรง่าย ๆ แต่มักถูกลืม และไม่ใช่แค่เด็กนักเรียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงนักเรียนด้วย ผลลัพธ์คือการแก้ปัญหาอย่างไม่ถูกต้อง
งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = x 3 คอสเอ็กซ์; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · อี x .
การทำงาน ฉ(x) เป็นผลคูณของฟังก์ชันพื้นฐานสองอย่าง ดังนั้นทุกอย่างจึงง่าย:
ฉ ’(x) = (x 3 คอส x)’ = (x 3)' เพราะ x + x 3 (คอส x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − xบาป x)
การทำงาน g(x) ตัวคูณแรกนั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย แต่รูปแบบทั่วไปจะไม่เปลี่ยนแปลงจากสิ่งนี้ แน่นอน ตัวคูณแรกของฟังก์ชัน g(x) เป็นพหุนาม และอนุพันธ์ของมันคืออนุพันธ์ของผลรวม เรามี:
g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · อี x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · อี x + (x 2 + 7x− 7) ( อี x)’ = (2x+ 7) · อี x + (x 2 + 7x− 7) · อี x = อี x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · อี x = x(x+ 9) · อี x .
ตอบ:
ฉ ’(x) = x 2 (3cos x − xบาป x);
g ’(x) = x(x+ 9) · อี
x
.
โปรดทราบว่าในขั้นตอนสุดท้าย อนุพันธ์จะถูกแยกตัวประกอบ อย่างเป็นทางการ ไม่จำเป็น แต่อนุพันธ์ส่วนใหญ่ไม่ได้คำนวณด้วยตัวเอง แต่เพื่อสำรวจฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่าเพิ่มเติมอนุพันธ์จะเท่ากับศูนย์ เครื่องหมายจะถูกหา และอื่น ๆ สำหรับกรณีเช่นนี้ จะดีกว่าที่จะมีการแสดงออกที่แยกออกเป็นปัจจัยต่างๆ
หากมีสองหน้าที่ ฉ(x) และ g(x), และ g(x) ≠ 0 ในเซตที่เราสนใจ เราสามารถกำหนดฟังก์ชันใหม่ได้ ชม.(x) = ฉ(x)/g(x). สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว คุณสามารถหาอนุพันธ์ได้:
ไม่อ่อนแอใช่มั้ย? ค่าลบมาจากไหน? ทำไม g 2? แต่แบบนี้! นี่เป็นหนึ่งในสูตรที่ซับซ้อนที่สุด - คุณไม่สามารถเข้าใจได้โดยไม่ต้องใช้ขวด เพราะฉะนั้น เรียนต่อดีกว่า ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม.
งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
มีฟังก์ชันพื้นฐานในตัวเศษและตัวหารของเศษส่วนแต่ละส่วน ดังนั้นสิ่งที่เราต้องมีคือสูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลหาร:
ตามธรรมเนียมแล้ว เราแยกตัวเศษออกเป็นปัจจัย - ซึ่งจะทำให้คำตอบง่ายขึ้นมาก:
ฟังก์ชันเชิงซ้อนไม่จำเป็นต้องเป็นสูตรที่มีความยาวครึ่งกิโลเมตร ตัวอย่างเช่น ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้ฟังก์ชัน ฉ(x) = บาป xและแทนที่ตัวแปร x, พูด, บน x 2+ln x. ปรากฎว่า ฉ(x) = บาป ( x 2+ln x) เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน เธอยังมีอนุพันธ์ แต่จะไม่ทำงานเพื่อค้นหาตามกฎที่กล่าวถึงข้างต้น
จะเป็นอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ การแทนที่ตัวแปรและสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจะช่วยได้ดังนี้
ฉ ’(x) = ฉ ’(t) · t', ถ้า xถูกแทนที่ด้วย t(x).
ตามกฎแล้วสถานการณ์ที่มีความเข้าใจในสูตรนี้น่าเศร้ายิ่งกว่าอนุพันธ์ของผลหาร ดังนั้นจึงเป็นการดีที่จะอธิบายด้วยตัวอย่างเฉพาะด้วย คำอธิบายโดยละเอียดทุกขั้นตอน
งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = อี 2x + 3 ; g(x) = บาป ( x 2+ln x)
โปรดทราบว่าหากอยู่ในฟังก์ชัน ฉ(x) แทนนิพจน์ 2 x+ 3 จะง่าย xจากนั้นเราจะได้ฟังก์ชันพื้นฐาน ฉ(x) = อี x. ดังนั้นเราจึงทำการทดแทน: ให้2 x + 3 = t, ฉ(x) = ฉ(t) = อี t. เรากำลังมองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยสูตร:
ฉ ’(x) = ฉ ’(t) · t ’ = (อี t)’ · t ’ = อี t · t ’
และตอนนี้ - ให้ความสนใจ! ทำการทดแทนแบบย้อนกลับ: t = 2x+ 3. เราได้รับ:
ฉ ’(x) = อี t · t ’ = อี 2x+ 3 (2 x + 3)’ = อี 2x+ 3 2 = 2 อี 2x + 3
ทีนี้มาดูฟังก์ชั่นกัน g(x). เห็นได้ชัดว่าต้องเปลี่ยน x 2+ln x = t. เรามี:
g ’(x) = g ’(t) · t' = (บาป t)’ · t' = cos t · t ’
การเปลี่ยนกลับ: t = x 2+ln x. แล้ว:
g ’(x) = คอส( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = คอส ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).
นั่นคือทั้งหมด! ดังที่เห็นได้จากนิพจน์ที่แล้ว ปัญหาทั้งหมดลดลงเหลือเพียงการคำนวณอนุพันธ์ของผลรวม
ตอบ:
ฉ ’(x) = 2 อี
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) เพราะ( x 2+ln x).
บ่อยครั้งในบทเรียนของฉัน แทนที่จะใช้คำว่า "อนุพันธ์" ฉันใช้คำว่า "จังหวะ" ตัวอย่างเช่น สโตรกของผลรวมเท่ากับผลรวมของสโตรก ชัดเจนกว่านี้ไหม? ดีที่เป็นสิ่งที่ดี
ดังนั้น การคำนวณอนุพันธ์ลงมาเพื่อกำจัดจังหวะเหล่านี้ตามกฎที่กล่าวถึงข้างต้น เป็นตัวอย่างสุดท้าย กลับไปที่กำลังอนุพันธ์ด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:
(x น)’ = น · x น − 1
น้อยคนนักที่จะรู้ว่าในบทบาท นอาจเป็นจำนวนเศษส่วนก็ได้ ตัวอย่างเช่น รูทคือ x 0.5 . แต่ถ้ามีอะไรแฟนซีอยู่ใต้รากล่ะ? อีกครั้งฟังก์ชันที่ซับซ้อนจะเปิดออก - พวกเขาต้องการให้การก่อสร้างดังกล่าวใน ควบคุมงานและข้อสอบ
งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
อันดับแรก ให้เขียนรากใหม่เป็นกำลังด้วยเลขยกกำลังที่เป็นตรรกยะ:
ฉ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
ตอนนี้เราทำการทดแทน: ให้ x 2 + 8x − 7 = t. เราหาอนุพันธ์ได้จากสูตร:
ฉ ’(x) = ฉ ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−0.5 t ’.
เราทำการทดแทนแบบย้อนกลับ: t = x 2 + 8x− 7. เรามี:
ฉ ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0.5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
ในที่สุดกลับไปที่ราก:
ถ้า g(x) และ ฉ(ยู) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของอาร์กิวเมนต์ตามลำดับที่จุด xและ ยู= g(x), จากนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อนก็สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด xและหาได้จากสูตร
ข้อผิดพลาดทั่วไปในการแก้ปัญหาอนุพันธ์คือการถ่ายโอนกฎอัตโนมัติเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันอย่างง่ายไปยังฟังก์ชันที่ซับซ้อน เราจะเรียนรู้ที่จะหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดนี้
ตัวอย่างที่ 2หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
วิธีแก้ปัญหาที่ผิด:คำนวณลอการิทึมธรรมชาติของแต่ละเทอมในวงเล็บและหาผลรวมของอนุพันธ์:
การตัดสินใจที่ถูกต้อง:อีกครั้งเรากำหนดว่า "แอปเปิ้ล" อยู่ที่ไหนและ "เนื้อสับ" อยู่ที่ไหน ที่นี่ลอการิทึมธรรมชาติของนิพจน์ในวงเล็บคือ "แอปเปิ้ล" นั่นคือฟังก์ชันบนอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง ยูและนิพจน์ในวงเล็บคือ "เนื้อสับ" นั่นคืออาร์กิวเมนต์ระดับกลาง ยูโดยตัวแปรอิสระ x.
จากนั้น (โดยใช้สูตร 14 จากตารางอนุพันธ์)
ในปัญหาจริงหลายๆ นิพจน์ นิพจน์ที่มีลอการิทึมค่อนข้างซับซ้อน จึงเป็นเหตุให้มีบทเรียน
ตัวอย่างที่ 3หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
วิธีแก้ปัญหาที่ผิด:
การตัดสินใจที่ถูกต้องอีกครั้งที่เรากำหนดที่ "แอปเปิ้ล" และที่ "เนื้อสับ" ที่นี่โคไซน์ของนิพจน์ในวงเล็บ (สูตร 7 ในตารางอนุพันธ์) คือ "แอปเปิ้ล" ปรุงในโหมด 1 มีผลเฉพาะกับนิพจน์และนิพจน์ในวงเล็บ (อนุพันธ์ของระดับ - หมายเลข 3 ใน ตารางอนุพันธ์) คือ "เนื้อสับ" ปรุงในโหมด 2 มีผลกับมันเท่านั้น และเช่นเคย เราเชื่อมโยงอนุพันธ์สองตัวกับเครื่องหมายผลิตภัณฑ์ ผลลัพธ์:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมที่ซับซ้อนเป็นงานที่ทำบ่อยในการทดสอบ ดังนั้นเราขอแนะนำให้คุณไปที่บทเรียน "อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม"
ตัวอย่างแรกมีไว้สำหรับฟังก์ชันที่ซับซ้อน ซึ่งอาร์กิวเมนต์ระดับกลางของตัวแปรอิสระนั้นเป็นฟังก์ชันอย่างง่าย แต่ในทางปฏิบัติมักจะต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน โดยที่อาร์กิวเมนต์ระดับกลางอาจเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือมีฟังก์ชันดังกล่าวอยู่ จะทำอย่างไรในกรณีเช่นนี้? ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวโดยใช้ตารางและกฎการสร้างความแตกต่าง เมื่อพบอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง จะถูกแทนที่ในตำแหน่งที่ถูกต้องในสูตร ด้านล่างนี้คือตัวอย่างวิธีการดำเนินการ 2 ตัวอย่าง
นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์ที่จะทราบดังต่อไปนี้ หากฟังก์ชันเชิงซ้อนสามารถแสดงเป็นสายโซ่ของฟังก์ชันสามฟังก์ชันได้
จากนั้นควรหาอนุพันธ์ของมันเป็นผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันแต่ละอย่างเหล่านี้:
การบ้านหลายๆ อย่างของคุณอาจทำให้คุณต้องเปิดบทช่วยสอนในหน้าต่างใหม่ การกระทำด้วยอำนาจและรากเหง้าและ การกระทำที่มีเศษส่วน .
ตัวอย่างที่ 4หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน โดยอย่าลืมว่าในผลคูณของอนุพันธ์ อาร์กิวเมนต์ระดับกลางที่เกี่ยวกับตัวแปรอิสระ xไม่เปลี่ยนแปลง:
เราเตรียมปัจจัยที่สองของผลิตภัณฑ์และใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของผลรวม:
เทอมที่สองคือรูตดังนั้น
ดังนั้น จึงได้มาว่าอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง ซึ่งเป็นผลรวม มีฟังก์ชันซับซ้อนเป็นหนึ่งในเงื่อนไข: การยกกำลังเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน และสิ่งที่ยกกำลังเป็นอาร์กิวเมนต์ระดับกลางโดยตัวแปรอิสระ x.
ดังนั้นเราจึงใช้กฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนอีกครั้ง:
เราเปลี่ยนดีกรีของปัจจัยแรกเป็นรูต และแยกความแตกต่างของปัจจัยที่สอง เราต้องไม่ลืมว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่มีค่าเท่ากับศูนย์:
ตอนนี้เราสามารถหาอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลางที่จำเป็นในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนที่ต้องการในเงื่อนไขของปัญหาได้ y:
ตัวอย่างที่ 5หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
อันดับแรก เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลรวม:
หาผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนสองฟังก์ชัน ค้นหารายการแรก:
ในที่นี้ การเพิ่มไซน์เป็นกำลังเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน และไซน์เองก็เป็นอาร์กิวเมนต์ระดับกลางในตัวแปรอิสระ x. ดังนั้นเราจึงใช้กฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนไปพร้อมกัน นำตัวคูณออกจากวงเล็บ :
ตอนนี้เราพบเทอมที่สองจากเทอมที่มาจากอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y:
ในที่นี้ การเพิ่มโคไซน์เป็นกำลังเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน ฉและโคไซน์เองก็เป็นอาร์กิวเมนต์กลางที่เกี่ยวกับตัวแปรอิสระ x. อีกครั้ง เราใช้กฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
ผลลัพธ์คืออนุพันธ์ที่ต้องการ:
ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนบางอย่าง
สำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน ตามกฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันเชิงซ้อน สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่ายจะมีรูปแบบที่ต่างออกไป
| 1. อนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังเชิงซ้อน โดยที่ ยู x |  |
| 2. อนุพันธ์ของรากของนิพจน์ | |
| 3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง |  |
| 4. กรณีพิเศษของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง | |
| 5. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมที่มีฐานบวกตามอำเภอใจ เอ |  |
| 6. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมเชิงซ้อน โดยที่ ยูเป็นฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลของอาร์กิวเมนต์ x | |
| 7. อนุพันธ์ของไซน์ |  |
| 8. อนุพันธ์โคไซน์ |  |
| 9. อนุพันธ์แทนเจนต์ |  |
| 10. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์ |  |
| 11. อนุพันธ์ของอาร์กไซน์ |  |
| 12. อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์ |  |
| 13. อนุพันธ์ของอาร์คแทนเจนต์ |  |
| 14. อนุพันธ์ของแทนเจนต์ผกผัน |  |
หลังจากการเตรียมปืนใหญ่เบื้องต้นแล้ว ตัวอย่างจะดูน่ากลัวน้อยลง โดยมีการแนบฟังก์ชั่น 3-4-5 บางทีตัวอย่างสองตัวอย่างต่อไปนี้อาจดูซับซ้อนสำหรับบางคน แต่ถ้าพวกเขาเข้าใจ (มีคนทนทุกข์) เกือบทุกอย่างในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์จะดูเหมือนเป็นเรื่องตลกของเด็ก
ตัวอย่างที่ 2
หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตามที่ระบุไว้แล้ว เมื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน จำเป็นอันดับแรก ขวาเข้าใจการลงทุน ในกรณีเหล่านั้นเมื่อมีข้อสงสัย ฉันเตือนคุณถึงเคล็ดลับที่มีประโยชน์: ตัวอย่างเช่น เราใช้ค่าทดลอง "x" และลอง (ทางจิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อแทนที่ค่านี้เป็น "นิพจน์ที่แย่มาก"
1) ขั้นแรกเราต้องคำนวณนิพจน์ ดังนั้นผลรวมจึงเป็นการซ้อนที่ลึกที่สุด
2) จากนั้นคุณต้องคำนวณลอการิทึม:
4) จากนั้นลูกบาศก์โคไซน์:
5) ในขั้นตอนที่ห้า ความแตกต่าง:
6) และสุดท้าย ฟังก์ชันนอกสุดคือรากที่สอง: 
สูตรสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน 
ถูกนำไปใช้ในลำดับที่กลับกัน จากฟังก์ชันนอกสุดไปยังภายในสุด เราตัดสินใจ:
ดูเหมือนว่าจะไม่มีข้อผิดพลาด:
1) เราหาอนุพันธ์ของรากที่สอง
2) เราหาอนุพันธ์ของความแตกต่างโดยใช้กฎ 
3) อนุพันธ์ของสามเท่าเท่ากับศูนย์ เทอมที่สอง เราหาอนุพันธ์ของดีกรี (ลูกบาศก์)
4) เราหาอนุพันธ์ของโคไซน์
6) และสุดท้าย เราหาอนุพันธ์ของการทำรังที่ลึกที่สุด
อาจดูยากเกินไป แต่นี่ไม่ใช่ตัวอย่างที่โหดร้ายที่สุด ยกตัวอย่างเช่น คอลเล็กชั่นของ Kuznetsov และคุณจะประทับใจกับเสน่ห์และความเรียบง่ายของอนุพันธ์ที่วิเคราะห์ ฉันสังเกตว่าพวกเขาชอบให้สิ่งที่คล้ายกันในการสอบเพื่อตรวจสอบว่านักเรียนเข้าใจวิธีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือไม่
ตัวอย่างต่อไปสำหรับ โซลูชันอิสระ.
ตัวอย่างที่ 3
หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
คำแนะนำ: ขั้นแรกเราใช้กฎของความเป็นเส้นตรงและกฎการแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์
คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
ได้เวลาเปลี่ยนไปสู่สิ่งที่กะทัดรัดและสวยงามกว่านี้แล้ว
ไม่ใช่เรื่องแปลกสำหรับสถานการณ์ที่ผลคูณไม่ใช่สอง แต่มีฟังก์ชันสามอย่างให้ไว้ในตัวอย่าง จะหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของปัจจัยสามตัวได้อย่างไร?
ตัวอย่างที่ 4
หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 
อันดับแรก เราดู แต่เป็นไปได้ไหมที่จะเปลี่ยนผลคูณของฟังก์ชันสามฟังก์ชันให้เป็นผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีพหุนามสองตัวในผลคูณ เราก็สามารถเปิดวงเล็บเหลี่ยมได้ แต่ในตัวอย่างนี้ ฟังก์ชันทั้งหมดต่างกัน: ดีกรี เลขชี้กำลัง และลอการิทึม
ในกรณีเช่นนี้มีความจำเป็น ตามลำดับใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ 
สองครั้ง
เคล็ดลับคือสำหรับ "y" เราหมายถึงผลคูณของสองฟังก์ชัน: และสำหรับ "ve" - ลอการิทึม: ทำไมถึงสามารถทำได้? ใช่ไหม 
- นี่ไม่ใช่ผลคูณของสองปัจจัยและกฎไม่ทำงาน?! ไม่มีอะไรซับซ้อน:
ตอนนี้ยังคงใช้กฎเป็นครั้งที่สอง ในวงเล็บ:
คุณยังสามารถบิดเบือนและนำบางสิ่งออกจากวงเล็บได้ แต่ในกรณีนี้ เป็นการดีกว่าที่จะทิ้งคำตอบไว้ในแบบฟอร์มนี้ - จะตรวจสอบได้ง่ายขึ้น
ตัวอย่างข้างต้นสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีที่สอง:
โซลูชันทั้งสองนั้นเทียบเท่ากันอย่างแน่นอน
ตัวอย่างที่ 5
หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ในตัวอย่างที่แก้ไขด้วยวิธีแรก
พิจารณาตัวอย่างที่คล้ายกันด้วยเศษส่วน
ตัวอย่างที่ 6
หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 
คุณสามารถไปได้หลายวิธี:
หรือเช่นนี้:
แต่วิธีแก้ปัญหาสามารถเขียนให้กระชับมากขึ้นได้ ถ้าอย่างแรกเลย เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลหาร 
, หาตัวเศษทั้งหมด:
โดยหลักการแล้ว ตัวอย่างได้รับการแก้ไขแล้ว และหากปล่อยให้อยู่ในรูปแบบนี้ ก็จะไม่มีข้อผิดพลาด แต่ถ้าคุณมีเวลา ขอแนะนำให้ตรวจสอบฉบับร่างเสมอ แต่เป็นไปได้ไหมที่จะทำให้คำตอบง่ายขึ้น?
เรานำนิพจน์ของตัวเศษมาที่ตัวส่วนร่วมและกำจัดเศษส่วนสามชั้น:
ข้อเสียของการทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติมคือมีความเสี่ยงที่จะทำผิดพลาดไม่ใช่เมื่อหาอนุพันธ์ แต่เมื่อมีการเปลี่ยนโรงเรียนซ้ำซากจำเจ ในทางกลับกัน ครูมักจะปฏิเสธงานและขอให้ "นึกถึง" อนุพันธ์
ตัวอย่างที่ง่ายกว่าสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง:
ตัวอย่าง 7
หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
เรายังคงเชี่ยวชาญเทคนิคในการหาอนุพันธ์ และตอนนี้เราจะพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่ "แย่มาก" สำหรับการสร้างความแตกต่าง