Дата: 20.11.2014
Що таке похідна?
Таблиця похідних.
Похідна - одне з головних понять вищої математики. У цьому уроці ми познайомимося із цим поняттям. Саме познайомимося, без строгих математичних формулювань та доказів.
Це знайомство дозволить:
Розуміти суть нескладних завдань із похідною;
Успішно вирішувати ці нескладні завдання;
Підготуватися до серйозніших уроків з похідної.
Спочатку – приємний сюрприз.)
Суворе визначення похідної ґрунтується на теорії меж і штука досить складна. Це засмучує. Але практичне застосування похідної, як правило, не потребує таких великих і глибоких знань!
Для успішного виконання більшості завдань у школі та ВНЗ достатньо знати всього кілька термінів- щоб зрозуміти завдання, та лише кілька правил- Щоб його вирішити. І все. Це радує.
Приступимо до знайомства?)
Терміни та позначення.
В елементарної математики багато всяких математичних операцій. Додавання, віднімання множення, зведення в ступінь, логарифмування і т.д. Якщо до цих операцій додати ще одну, елементарна математика стає вищою. Ця нова операція називається диференціювання.Визначення та зміст цієї операції будуть розглянуті в окремих уроках.
Тут важливо зрозуміти, що диференціювання - це просто математична операція над функцією. Беремо будь-яку функцію і, за певними правилами, перетворюємо її. В результаті вийде нова функція. Ось ця нова функція і називається: похідна.
Диференціювання- Дія над функцією.
Похідна- Результат цієї дії.
Так само, як, наприклад, сума- Результат додавання. Або приватне- Результат поділу.
Знаючи терміни, можна, як мінімум, розуміти завдання.) Формулювання бувають такі: знайти похідну функції; взяти похідну; продиференціювати функцію; обчислити похіднуі т.п. Це все одне і теж.Зрозуміло, бувають і складніші завдання, де перебування похідної (диференціювання) буде лише одним із кроків вирішення завдання.
Позначається похідна за допомогою штришку вгорі праворуч над функцією. Ось так: y"або f"(x)або S"(t)і так далі.
Читається ігор штрих, еф штрих від ікс, ес штрих від те,Ну ви зрозуміли...)
Штрих також може позначати похідну конкретної функції, наприклад: (2х+3)", (x 3 )" , (Sinx)"і т.д. Часто похідна позначається за допомогою диференціалів, але таке позначення в цьому уроці ми не розглядатимемо.
Припустимо, що розуміти завдання ми навчилися. Залишилося всього нічого – навчитися їх вирішувати.) Нагадаю ще раз: знаходження похідної – це перетворення функції за певними правилами.Цих правил, на диво, зовсім небагато.
Щоб знайти похідну функції, треба знати лише три речі. Три кити, на яких стоїть все диференціювання. Ось вони ці три кити:
1. Таблиця похідних (формули диференціювання).
3. Похідна складної функції.
Почнемо по порядку. У цьому вся уроці розглянемо таблицю похідних.
Таблиця похідних.
У світі - безліч функцій. Серед цієї множини є функції, які найбільш важливі для практичного застосування. Ці функції сидять у всіх законах природи. З цих функцій, як із цеглинок, можна сконструювати всі інші. Цей клас функцій називається елементарні функції.Саме ці функції вивчаються в школі - лінійна, квадратична, гіпербола тощо.
Диференціювання функцій "з нуля", тобто. виходячи з визначення похідної та теорії меж - штука досить трудомістка. А математики – теж люди, так-так!) От і спростили собі (і нам) життя. Вони вирахували похідні елементарних функцій до нас. Вийшла таблиця похідних, де вже готово.)
Ось вона, ця табличка для найпопулярніших функцій. Ліворуч - елементарна функція, справа - її похідна.
| Функція y |
Похідна функції y y" |
|
| 1 | C ( постійна величина) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n - будь-яке число) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | sin x | (sin x)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctg x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a x |  |
| e x | ||
| 5 | log a x |  |
| ln x ( a = e) |
Рекомендую звернути увагу на третю групу функцій у таблиці похідних. Похідна статечної функції - одна з найвживаніших формул, якщо тільки не найвживаніша! Натяк зрозумілий?) Так, таблицю похідних бажано знати напам'ять. До речі, це не так важко, як це може здатися. Спробуйте вирішувати більше прикладів, таблиця сама і запам'ятається!)
Знайти табличне значення похідної, як ви розумієте, завдання не найважче. Тому дуже часто у подібних завданнях зустрічаються додаткові фішки. Або у формулюванні завдання, або у вихідній функції, якої в таблиці - начебто і немає...
Розглянемо кілька прикладів:
1. Знайти похідну функції y = x 3
Такої функції у таблиці немає. Але є похідна статечної функції у загальному вигляді (третя група). У разі n=3. Ось і підставляємо трійку замість n та акуратно записуємо результат:
(x 3) " = 3 · x 3-1 = 3x 2
Ось і всі справи.
Відповідь: y" = 3x 2
2. Знайти значення похідної функції y = sinx у точці х = 0.
Це завдання означає, що треба спочатку знайти похідну від синуса, а потім підставити значення х = 0в цю похідну. Саме у такому порядку!А то, буває, відразу підставляють нуль у вихідну функцію... Нас просять знайти не значення вихідної функції, а значення її похідною.Похідна, нагадаю – це вже нова функція.
По табличці знаходимо синус та відповідну похідну:
y" = (sin x)" = cosx
Підставляємо нуль у похідну:
y"(0) = cos 0 = 1
Це буде відповідь.
3. Продиференціювати функцію:
Що, вселяє?) Такої функції таблиці похідних і близько немає.
Нагадаю, що продиференціювати функцію – це просто знайти похідну цієї функції. Якщо забути елементарну тригонометрію, шукати похідну нашої функції досить клопітно. Таблиця не допомагає...
Але якщо побачити, що наша функція – це косинус подвійного кута, То все відразу налагоджується!
Так Так! Запам'ятайте, що перетворення вихідної функції до диференціюванняцілком допускається! І, трапляється, здорово полегшує життя. За формулою косинуса подвійного кута:
Тобто. наша хитра функція є не що інше, як y = cosx. А це – таблична функція. Відразу отримуємо:
Відповідь: y" = - sin x.
Приклад для просунутих випускників та студентів:
4. Знайти похідну функції:
Такої функції у таблиці похідних немає, очевидно. Але якщо згадати елементарну математику, дії зі ступенями... То можна спростити цю функцію. Ось так:
А ікс ступеня одна десята - це вже таблічна функція! Третя група, n = 1/10. Просто за формулою та записуємо:
От і все. Це буде відповідь.
Сподіваюся, що з першим китом диференціювання – таблицею похідних – все ясно. Залишилося розібратися з двома китами, що залишилися. У наступному уроці освоїмо правила диференціювання.
Подано доказ та виведення формули для похідної косинуса - cos(x). Приклади обчислення похідних від cos 2x, cos 3x, cos nx, косинуса в квадраті, кубі і в ступені n. Формула похідної косинуса n-го порядку.
ЗмістДив. також: Синус та косинус - властивості, графіки, формули
Похідна змінною x від косинуса x дорівнює мінус синусу x:
(cos x)′ = - sin x.
Доведення
Щоб вивести формулу похідної косинуса, скористаємося визначенням похідної:
.
Перетворимо цей вислів, щоб звести його до відомих математичних законів та правил. Для цього нам потрібно знати чотири властивості.
1)
Тригонометричні формули. Нам знадобиться така формула:
(1)
;
2)
Властивість безперервності функції синус:
(2)
;
3)
Значення першої чудової межі:
(3)
;
4)
Властивість межі від виконання двох функцій:
Якщо і , то
(4)
.
Застосовуємо ці закони до нашої межі. Спочатку перетворимо алгебраїчне вираз
.
Для цього застосуємо формулу
(1)
;
У нашому випадку
; . Тоді
;
;
;
.
Зробимо підстановку. При , . Використовуємо властивість безперервності (2):
.
Зробимо таку ж підстановку і застосуємо першу чудову межу (3):
.
Оскільки межі, обчислені вище, існують, то застосовуємо властивість (4):
.
Тим самим було отримано формулу похідної косинуса.
Приклади
Розглянемо найпростіші приклади знаходження похідних від функцій, що містять косинус. Знайдемо похідні від таких функцій:
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2 x; y = cos 3 xта y = cos n x.
Приклад 1
Знайти похідні від cos 2x, cos 3xі cos nx.
Вихідні функції мають схожий вигляд. Тому ми знайдемо похідну від функції y = cos nx. Потім, у похідну від cos nx, підставимо n = 2 та n = 3 . І, тим самим, отримаємо формули для похідних від cos 2xі cos 3x .
Отже, знаходимо похідну від функції
y = cos nx
.
Уявімо цю функцію від змінної x як складну функцію, що складається з двох функцій:
1)
2)
Тоді вихідна функція є складною (складовою) функцією, складеною з функцій та :
.
Знайдемо похідну від функції змінної x:
.
Знайдемо похідну від функції змінної :
.
Застосовуємо.
.
Підставимо:
(П1) .
Тепер, у формулу (П1) підставимо і:
;
.
;
;
.
Приклад 2
Знайти похідні від косинуса у квадраті, косинуса у кубі та косинуса у ступеню n:
y = cos 2 x; y = cos 3 x; y = cos n x.
У цьому прикладі функції мають схожий вигляд. Тому ми знайдемо похідну від загальної функції - косинуса в ступеня n:
y = cos n x.
Потім підставимо n = 2 та n = 3 . І, тим самим, отримаємо формули для похідних від косинуса у квадраті та косинуса у кубі.
Отже, нам потрібно знайти похідну від функції
.
Перепишемо її у більш зрозумілому вигляді:
.
Уявімо цю функцію як складну функцію, що складається з двох функцій:
1)
Функції, яка залежить від змінної: ;
2)
Функції, яка залежить від змінної: .
Тоді вихідна функція є складною функцією, складеною з двох функцій і :
.
Знаходимо похідну від функції змінної x:
.
Знаходимо похідну від функції змінної :
.
Застосовуємо правило диференціювання складної функції.
.
Підставимо:
(П2) .
Тепер підставимо і:
;
.
;
;
.
Похідні вищих порядків
Зауважимо, що похідну від cos xпершого порядку можна виразити через косинус наступним чином:
.
Знайдемо похідну другого порядку, використовуючи формулу похідної складної функції:
.
Тут.
Зауважимо, що диференціювання cos xпризводить до збільшення його аргументу на . Тоді похідна n-го порядку має вигляд:
(5)
.
Суворіше цю формулу можна довести з допомогою методу математичної індукції. Доказ для n-ї похідної синусу викладено на сторінці “Похідна синуса”. Для n-ї похідної косинуса доказ такий. Потрібно лише у всіх формулах замінити sin на cos.
Див. також:Наведено висновок похідних першого порядку арксинусу (arcsin x) і арккосинусу (arccos x). Для кожної з функцій висновок дано двома способами.
ЗмістДив. також: Арксінус, арккосинус - властивості, графіки, формули
Тут ми вважаємо, що нам відомі похідні синуса та косинуса. Далі ми виводимо похідні арксинусу та арккосинусу, враховуючи, що вони є зворотними функціями до синуса та косинусу, відповідно.
Виведення похідної арксинусу
Розглянемо функцію арксинус від змінної x:
y = arcsin x.
- 1
до + 1
:
.
- π/2до + π/2:
.
Функція арксинус є зворотною до функції синус:
x = sin y.
Для визначення похідної арксинусу, застосуємо формулу похідної зворотної функції:
(1)
.
Похідна синуса нам відома. Зазвичай її записують у такому вигляді:
.
Тут.
,
де.
Підставимо у формулу (1):
(2)
.
Тут
y = arcsin x;
x = sin y.
Тепер виразимо праву частину формули (2) через змінну x. Для цього зауважимо, що оскільки , то . Тоді
.
Підставимо у формулу (2):
.
Тим самим ми вивели формулу похідної арксинусу:
.
Другий спосіб
Оскільки арксинус і синус є зворотними функціями стосовно один одного, то
(3)
.
Тут.
Продиференціюємо це рівняння змінної x . Тобто знайдемо похідні лівої та правої частини та прирівняємо їх один до одного:
(4)
.
Похідну правої частини знаходимо з таблиці похідних:
.
Похідну лівої частини знаходимо за формулою похідної складної функції:
.
Тут.
Оскільки, то. Тому
.
Тоді
.
Підставимо в (4):
.
Звідси
.
Виведення похідної арккосинусу
Використовуючи зв'язок між арксинусом та арккосинусом
Похідну арккосинусу легко отримати з похідної арксинусу, якщо скористатися зв'язком між арксинусом і арккосинусом:
.
Звідси
.
За формулою похідної зворотної функції
Також похідну арккосинусу можна знайти за формулою похідної зворотної функції.
Розглянемо функцію арккосинус:
y = arccos x.
Тут незалежна змінна x може набувати значень від - 1
до + 1
:
.
Залежна змінна y може набувати значень від 0
до π
:
.
Функція арккосинус є зворотною до функції косинус:
x = cos y.
Застосуємо формулу похідної зворотної функції:
(1)
.
Похідна косинуса нам відома:
.
Тут.
Поміняємо місцями позначення змінних x та y . Тоді
,
де.
Підставимо у формулу (1):
(5)
.
Тут
y = arccos x;
x = cos y.
Тепер виразимо праву частину формули (5) через змінну x. Оскільки, то. Тоді
.
Підставимо у формулу (5):
.
Таким чином, ми вивели формулу похідної арккосинусу:
.
f ′ (x)
ЛЕКЦІЯ 8. ВИРОБНИЧА ЗВОРОТНОЇ ФУНКЦІЇ. ВИРОБНИЧА СКЛАДНОПОКАЗАЛЬНОЇ ФУНКЦІЇ.
ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ, ЗАДАНИХ ПАРАМЕТРИЧНО. ВИРОБНИЧІ НЕЯВНИХ
1. Похідна зворотної функції
Твердження 1. Нехай дана функція y = f (x) для якої існує зворотна функція x = f −1 (y) і нехай функція y = f (x) має відмінну від нуля похідну f '(x) у точці x. Тоді обернена функція f −1 (y) також має похідну у відповідній точці y = f (x), і ця похідна дорівнює.
Таким чином, справедлива формула
(f −1 (y))′ |
|||||||||
f ′ (x) |
|||||||||
Доведення. Нехай |
y приріст |
змінної |
y, йому відповідає |
||||||
збільшення x = f −1 (y + y) − f −1 (y) зворотної функції. Можна показати, зважаючи |
|||||||||
однозначності самої функції y = f (x), якщо |
x 6= 0, причому x та y |
||||||||
прагнуть до нуля одночасно. Отже, маємо |
|||||||||
Якщо x → 0, то знаменник правої частини цієї рівності прагне межі f ′ (x) =6 0, отже існує межа правої частини цієї рівності.
f ′ (x) |
|||||||
Отже, існує межа від лівої частини; він і є
похідну (f -1 (y)) '. |
|||||||||||||||||||||||||
Отже, маємо формулу xy |
|||||||||||||||||||||||||
yx ′ |
|||||||||||||||||||||||||
Зауваження 1. Зазвичай |
аргумент |
функції позначається |
x , у зв'язку |
||||||||||||||||||||||
розглядаючи функцію f −1 |
як функцію змінної x , перепишемо формулу (1) у вигляді |
||||||||||||||||||||||||
(f −1 |
(x))′ |
||||||||||||||||||||||||
f′(y) |
|||||||||||||||||||||||||
Виведемо похідні зворотних тригонометричних функцій. |
|||||||||||||||||||||||||
1 − x2 |
|||||||||||||||||||||||||
Функція y |
є зворотним по відношенню до функції x |
||||||||||||||||||||||||
Тому за правилом диференціювання зворотної функції отримаємо |
|||||||||||||||||||||||||
(sin y)y ′ |
|||||||||||||||||||||||||
1 − sin2 y |
1 − x2 |
||||||||||||||||||||||||
де −π 2< y < π 2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 − x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким же прийомом отримаємо |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(cos y)y ′ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 − cos2 y |
1 − x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+x2 |
π < |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Функція y |
x є зворотним по відношенню до функції x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y< π ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xy ′ = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отже, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
yx ′ = |
Cos2 y, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 y = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + tg2 y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
так як tg y = x, то остаточно отримаємо: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y′ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Аналогічно виводиться |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Розглянемо приклади. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знайти похідну y = arccos tg x. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 − tg2 x |
1 − tg2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знайти похідну y = arctg4 x. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y′ = (arctg4 x)′ = 4 arctg3 x(arctg x)′ |
4 arctg3 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Похідна складнопоказової функції
Функцію виду
y = u(x)v(x) (u(x) > 0),
де і основа, і показник ступеня залежить від x, називають сложнопоказательной. Функцію uv можна представити uv = ev ln u тоді
y′ = (uv )′ = ev ln u (v ln u)′ = uv u v u′ − v′ ln u .
Можна зробити інакше, попередньо прологарифмувавши функцію y:
ln y = ln uv = v ln u. |
|||||||||||||
Диференціюючи це тотожність по x |
пам'ятаючи, що ln y складна функція від x, |
||||||||||||
y′ |
|||||||||||||
v′ln u + v·u·u′. |
|||||||||||||
y′ = y |
|||||||||||||
Операція, що полягає у послідовному застосуванні до функції f(x) спочатку логарифмування, а потім диференціювання, називається логарифмічним диференціюванням, а її результат
' = f '(x) f(x)
називається логарифмічною похідною від функції f(x).
Логарифмічне диференціювання може бути застосовано для відшукання похідних не тільки від функцій складнопоказового типу. Так, наприклад, для пошуку похідної від твору
y = 2x √ x2 + 4 sin2 x
зручно застосовувати логарифмічне диференціювання, що дозволяє швидше знайти результат. Тоді ln y = ln(2 x √ x 2 + 4 · sin 2 x).
За якістю логарифмічної функції маємо
ln y = ln 2x + ln x2 + 4 + ln sin2 x
ln y = x ln 2 + 1 2 ln(x2 + 4) + 2 ln sin x.
Диференціюючи це тотожність по x і пам'ятаючи, що у лівій частині рівності стоїть складна
функція від x, |
||||||||||||||||||
y′ |
||||||||||||||||||
x2 + 4 |
||||||||||||||||||
x2 + 4 |
||||||||||||||||||
x2 + 4 |
||||||||||||||||||
Знайти y′ , |
якщо y = (ctg x) x2. |
|||||||||||||||||
Рішення. Функція є складнопоказовою. Логарифмуємо обидві частини рівняння:
ln y = ln (ctg x) x 2 = x2 ln ctg x.
y′ = 2x ln ctg x −
(ctg x)x
ctg x sin2 x
3. Диференціювання функцій, заданих параметрично
Нехай залежність y від x виражена через параметр t, тобто.
Це треба так розуміти. Для функції x = ϕ(t) існує зворотна функція t = ϕ−1 (x) і тому можна записати явну залежність
y = ψ(ϕ−1 (x)).
Знайдемо yx 'через ψt', ϕ't. Диференціюємо y як складну функцію від x. Отримаємо
ψ′ |
|||||||||||||||||||||
yx = ψt |
· tx |
= ψt |
(x)) x = |
||||||||||||||||||
ϕt ′ |
|||||||||||||||||||||
Коротше це можна записати так: |
|||||||||||||||||||||
Приклад 4. Знайти |
dx dy , |
якщо x = ln3 t, y = cos2 3t. |
dy : |
||||||||||||||||||
Рішення. Функцію встановлено параметрично. Знайдемо |
|||||||||||||||||||||
3 ln2 t |
|||||||||||||||||||||
dy dt = 2 cos 3t(− sin 3t)3 = −3 sin 6t,
dx dy = dx dt = −t sin 6t.
Приклад 5. Знайти похідну yx, якщо x = a cos t, y = a sin t. Маємо
yt ′ |
(a sin t)t ′ |
||||||
x′ |
(a cos t)′ |
||||||
4. Похідні неявних функцій
Нехай y = y(x) є неявною функцією від x, тобто функція задана деяким рівнянням F (x, y) = 0, таким, що F (x, y(x)) ≡ 0. Тоді щоб знайти похідну функції y = y(x) , потрібно продиференціювати по обидві частини рівняння F (x, y(x)) = 0 з урахуванням того, що y є функція від x.
Приклад 6. Знайти похідну y′, якщо функція y задана рівнянням
y2 + x sin y = 0.
Рішення. Диференціюємо рівняння по x:
2yy + sin y + x cos y · y = 0.
Звідси висловимо y′. Отримаємо
y′ = − 2y + x cos y.
Приклад 7. Обчислити значення похідної неявної функції xy2 = 4 у точці
Рішення. Знайдемо похідну: |
|||||
x′ y2 + x2yy′ |
0, y′ = − |
||||
За x = 1, y = 2, отримаємо |
|||||
І теорему про похідну складну функцію, формулювання якої така:
Нехай 1) функція $u=\varphi (x)$ має у певній точці $x_0$ похідну $u_(x)"=\varphi"(x_0)$; 2) функція $y=f(u)$ має у відповідній точці $u_0=\varphi (x_0)$ похідну $y_(u)"=f"(u)$. Тоді складна функція $y=f\left(\varphi (x) \right)$ у згаданій точці також матиме похідну, рівну добутку похідних функцій $f(u)$ і $\varphi (x)$:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$
або, у більш короткому записі: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.
У прикладах цього розділу всі функції мають вигляд $y=f(x)$ (тобто розглядаємо лише функції однієї змінної $x$). Відповідно, у всіх прикладах похідна $y"$ береться за змінною $x$. Щоб підкреслити те, що похідна береться за змінною $x$, часто замість $y"$ пишуть $y"_x$.
У прикладах №1, №2 та №3 викладено докладний процес знаходження похідної складних функцій. Приклад №4 призначений більш повного розуміння таблиці похідних і з ним має сенс ознайомитися.
Бажано після вивчення матеріалу у прикладах №1-3 перейти до самостійного рішенняприкладів №5, №6 та №7. Приклади №5, №6 та №7 містять коротке рішення, щоб читач міг перевірити правильність свого результату.
Приклад №1
Знайти похідну функції $y=e^(\cos x)$.
Нам потрібно знайти похідну складної функції $y"$. Оскільки $y=e^(\cos x)$, то $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Щоб знайти похідну $ \left(e^(\cos x)\right)"$ використовуємо формулу №6 з таблиці похідних . Щоб використати формулу №6, потрібно врахувати, що в нашому випадку $u=\cos x$. Подальше рішення полягає у банальній підстановці у формулу №6 виразу $\cos x$ замість $u$:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$
Тепер потрібно знайти значення виразу $(\cos x)"$. Знову звертаємося до таблиці похідних, вибираючи з неї формулу №10. Підставляючи $u=x$ у формулу №10, маємо: $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Тепер продовжимо рівність (1.1), доповнивши його знайденим результатом:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$
Оскільки $x"=1$, то продовжимо рівність (1.2):
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$
Отже, з рівності (1.3) маємо: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Природно, що пояснення та проміжні рівності зазвичай пропускають, записуючи перебування похідної в один рядок, - як у рівності ( 1.3) Отже, похідна складної функції знайдена, залишилося лише записати відповідь.
Відповідь: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
Приклад №2
Знайти похідну функції $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.
Нам необхідно обчислити похідну $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Спочатку відзначимо, що константу (тобто число 9) можна винести за знак похідної:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$
Тепер звернемося до виразу $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Щоб вибрати потрібну формулу з таблиці похідних було легше, я представлю вираз, що розглядається в такому вигляді: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Тепер видно, що потрібно використовувати формулу №2, тобто. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. У цю формулу підставимо $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ і $\alpha=12$:
Доповнюючи рівність (2.1) отриманим результатом, маємо:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$
У цій ситуації часто допускається помилка, коли вирішувач на першому кроці вибирає формулу $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ замість формули $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Справа в тому, що першою повинна бути похідна зовнішньої функції. Щоб зрозуміти, яка саме функція буде зовнішньою для вираження $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, уявіть, що ви вважаєте значення виразу $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ за якогось значення $x$. Спочатку ви порахуєте значення $5^x$, потім помножите результат на 4, отримавши $4\cdot 5^x$. Тепер від цього результату беремо арктангенс, отримавши $ arcctg (4 cdot 5 ^ x) $. Потім зводимо отримане число в дванадцятий ступінь, отримуючи $ arctg (12) (4 cdot 5 x) $. Остання дія, - тобто. зведення у ступінь 12, - і буде зовнішньою функцією. І саме з неї слід починати перебування похідної, що було зроблено рівності (2.2).
Тепер потрібно знайти $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Використовуємо формулу №19 таблиці похідних, підставивши в неї $u=4\cdot \ln x$:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Трохи спростимо отриманий вираз, враховуючи $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Рівність (2.2) тепер стане такою:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$
Залишилося знайти $(4\cdot \ln x)"$. Винесемо константу (тобто 4) за знак похідної: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)"$. того, щоб знайти $(\ln x)"$ використовуємо формулу №8, підставивши в неї $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"$. Оскільки $x"=1$, то $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x )$.Підставивши отриманий результат у формулу (2.3), отримаємо:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)). $
Нагадаю, що похідна складної функції найчастіше знаходиться в один рядок - як записано в останній рівності. Тому при оформленні типових розрахунків або контрольних робітзовсім не обов'язково розписувати рішення так само докладно.
Відповідь: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
Приклад №3
Знайти $y"$ функції $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.
Для початку трохи змінимо функцію $y$, висловивши радикал (корінь) у вигляді ступеня: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Тепер приступимо до знаходження похідної. Оскільки $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, то:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$
Використовуємо формулу №2 з таблиці похідних , підставивши до неї $u=\sin(5\cdot 9^x)$ і $\alpha=\frac(3)(7)$:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Продовжимо рівність (3.1), використовуючи отриманий результат:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$
Тепер потрібно знайти $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Використовуємо для цього формулу №9 з похідних таблиці, підставивши в неї $u=5\cdot 9^x$:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Доповнивши рівність (3.2) отриманим результатом, маємо:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$
Залишилося знайти $(5\cdot 9^x)"$. Для початку винесемо константу (число $5$) за знак похідної, тобто $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9^x) "$. Для знаходження похідної $(9^x)"$ застосуємо формулу №5 таблиці похідних, підставивши до неї $a=9$ і $u=x$: $(9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Оскільки $x"=1$, то $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Тепер можна продовжити рівність (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
Можна знову від ступенів повернутися до радикалів (тобто коріння), записавши $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ у вигляді $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Тоді похідна буде записана у такій формі:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$
Відповідь: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.
Приклад №4
Показати, що формули №3 та №4 таблиці похідних є окремий випадок формули №2 цієї таблиці.
У формулі №2 таблиці похідних записано похідну функцію $u^\alpha$. Підставляючи $\alpha=-1$ у формулу №2, отримаємо:
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$
Оскільки $u^(-1)=\frac(1)(u)$ і $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, то рівність (4.1) можна переписати так: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Це і є формула №3 таблиці похідних.
Знову звернемося до формули №2 таблиці похідних. Підставимо до неї $\alpha=\frac(1)(2)$:
$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$
Оскільки $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ і $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, то рівність (4.2) можна переписати в такому вигляді:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
Отримана рівність $(sqrt(u))"=\frac(1)(2sqrt(u))cdot u"$ і є формула №4 таблиці похідних. Як бачите, формули №3 та №4 таблиці похідних виходять із формули №2 підстановкою відповідного значення $ alfa $.