Межі завдають всім студентам, які вивчають математику, чимало клопоту. Щоб вирішити межу, часом доводиться застосовувати масу хитрощів і вибирати з багатьох способів розв'язання саме той, який підійде для конкретного прикладу.
У цій статті ми не допоможемо вам зрозуміти межі своїх можливостей чи осягнути межі контролю, але постараємося відповісти на запитання: як зрозуміти межі у вищій математиці? Розуміння приходить з досвідом, тому зараз наведемо кілька докладних прикладів вирішення меж з поясненнями.
Поняття межі математики
Перше питання: що це взагалі за межу та межу чого? Можна говорити про межі числових послідовностей та функцій. Нас цікавить поняття межі функції, оскільки саме з ними найчастіше стикаються студенти. Але спочатку - загальне визначення межі:
Припустимо, є певна змінна величина. Якщо ця величина у процесі зміни необмежено наближається до певного числа a , то a - Межа цієї величини.
Для певної в інтервалі функції f(x)=y межею називається таке число A , якого прагне функція при х , що прагне до певної точки а . Крапка а належить інтервалу, у якому визначено функція.
Звучить громіздко, але записується дуже просто:
Lim- від англійської limit- Межа.
Існує також геометричне пояснення визначення межі, але тут ми не лізтимемо в теорію, оскільки нас більше цікавить практична, ніж теоретична сторона питання. Коли ми говоримо, що х прагне якогось значення, це означає, що змінна не приймає значення числа, але нескінченно близько до нього наближається.
Наведемо конкретний приклад. Завдання – знайти межу.
Щоб вирішити такий приклад, підставимо значення x=3 у функцію. Отримаємо:
До речі, якщо вас цікавлять базові операції над матрицями, читайте окрему статтю на цю тему.
У прикладах х може прагнути будь-якого значення. Це може бути будь-яке число чи нескінченність. Ось приклад, коли х прагне нескінченності:
Інтуїтивно зрозуміло, що чим більше число у знаменнику, тим менше значення прийматиме функція. Так, за необмеженого зростання х значення 1/х буде зменшуватись і наближатися до нуля.
Як бачимо, щоб вирішити межу, потрібно просто підставити на функцію значення, якого прагнути х . Однак це найпростіший випадок. Часто перебування межі негаразд очевидне. У межах зустрічаються невизначеності типу 0/0 або нескінченність/нескінченність . Що робити у таких випадках? Вдаватися до хитрощів!
Невизначеності в межах
Невизначеність виду нескінченність/нескінченність
Нехай є межа:
Якщо спробуємо у функцію підставити нескінченність, то отримаємо нескінченність як і чисельнику, і у знаменнику. Взагалі варто сказати, що у вирішенні таких невизначеностей є певний елемент мистецтва: треба помітити, як можна перетворити функцію в такий спосіб, щоб невизначеність пішла. У нашому випадку розділимо чисельник і знаменник на х у старшому ступені. Що вийде?
З уже розглянутого вище прикладу ми знаємо, що члени, які містять у знаменнику х, прагнутимуть нуля. Тоді рішення межі:
Для розкриття невизначеностей типу нескінченність/нескінченністьділимо чисельник і знаменник на ху найвищому ступені.
До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на будь-який вид роботи
Ще один вид невизначеностей: 0/0
Як завжди, підстановка у функцію значення х=-1 дає 0 у чисельнику та знаменнику. Подивіться трохи уважніше і Ви помітите, що у чисельнику у нас квадратне рівняння. Знайдемо коріння та запишемо:
Скоротимо та отримаємо:
Отже, якщо ви стикаєтеся з невизначеністю типу 0/0 - Розкладайте чисельник і знаменник на множники.
Щоб Вам було простіше вирішувати приклади, наведемо таблицю за межами деяких функцій:
Правило Лопіталя в межах
Ще один потужний спосіб дозволяє усунути невизначеності обох типів. У чому полягає суть методу?
Якщо межі є невизначеність, беремо похідну від чисельника і знаменника до того часу, поки невизначеність не зникне.
Наочно правило Лопіталя виглядає так:
Важливий момент : межа, в якій замість чисельника та знаменника стоять похідні від чисельника та знаменника, має існувати.
А тепер – реальний приклад:
В наявності типова невизначеність 0/0 . Візьмемо похідні від чисельника та знаменника:
Вуаля, невизначеність усунена швидко та елегантно.
Сподіваємося, що Ви зможете з користю застосувати цю інформацію на практиці та знайти відповідь на питання "як вирішувати межі у вищій математиці". Якщо потрібно визначити межу послідовності або межу функції в точці, а часу на цю роботу немає від слова «зовсім», зверніться до професійного студентського сервісу за швидким і докладним рішенням.
Нагромадження страшних формул, посібники з вищої математики, які відкриєш і відразу закриєш, болісні пошуки рішення здавалося б дуже простий завдання…. Подібна ситуація не рідкість, особливо коли підручник з математики востаннє відкривався у далекому 11 класі. А тим часом, у ВНЗ учбові планиБагато спеціальностей передбачають вивчення всіма улюбленої вищої математики. І в цій ситуації нерідко відчуваєш себе повним чайником перед нагромадженням жахливої математичної абракадабри. Причому, схожа ситуація може скластися щодо будь-якого предмета, особливо з циклу природничих наук.
Що робити? Для студента-очника все значно простіше, якщо, звичайно, предмет не запущений. Можна проконсультуватися у викладача, одногрупників та й просто списати у сусіда по парті. Навіть повний чайник у вищій математиці за таких розкладів сесію переживе.
А якщо людина навчається на заочному відділенні ВНЗ, і вища математика, м'яко кажучи, навряд чи знадобиться в майбутньому? До того ж немає часу на заняття. Так воно, в більшості випадків так, але ніхто не скасовував виконання контрольних робіт і складання іспиту (найчастіше, письмового). З контрольними роботами з вищої математики все простіше, чи чайник, чи не чайник – контрольну роботу з математики можна замовити. Наприклад, у мене. І з інших предметів теж можна замовити. Вже не тут. Але виконання та здавання на рецензію контрольних робіт ще не призведе до заповітного запису в заліковій книжці. Часто буває, що витвір мистецтва, виконаний на замовлення, потрібно захищати, і пояснити, чому з цих літер випливає та формула. Крім того, чекають іспити, а там уже доведеться вирішувати визначники, межі та похідні САМОСТІЙНО. Якщо, звичайно, викладач не приймає цінних подарунків, чи ні найнятого доброзичливця за стінами аудиторії.
Дозвольте, дам дуже важливу пораду. На заліках, іспитах з точним і природничим наукамДуже важливо хоч щось розуміти. Запам'ятайте, хоч щось. Повна відсутність розумових процесів просто дратує викладача, мені відомі випадки, коли студентів-заочників загортали по 5-6 разів. Пам'ятається, один молодик здавав контрольну роботу 4 рази, і після кожного перездавання звертався до мене за безкоштовною гарантійною консультацією. Зрештою, я помітив, що у відповіді він замість літери «пі» писав літеру «пе», за що й були жорсткі санкції з боку рецензента. Студент НАВІТЬ НЕ ХОТІВ ВНИКАТИ в завдання, яке він недбало переписав
Можна бути повним чайником у вищій математиці, але дуже бажано знати, що похідна константи дорівнює нулю. Тому що, якщо Ви відповісте якусь дурість на елементарне питання, то велика ймовірність того, що на цьому навчання у ВНЗ для Вас закінчиться. Викладачі набагато прихильніше ставляться до того студента, який ХОЧЕ НАМАГАЄТЬСЯ розібратися в предметі, до того, хто, хай і помилково, але намагається щось вирішити, пояснити або довести. І це твердження є справедливим для всіх дисциплін. Тому слід рішуче відсунути позицію «я нічого не знаю, нічого не розумію».
Друга важлива порада – відвідувати лекції, навіть якщо їх небагато. Про це я вже згадував на головній сторінцісайту Математика для заочників. Повторюватися немає сенсу, чому це дуже важливо, читайте там.
Отже, що робити, якщо на носі залік, іспит з вищої математики, а справи плачевні – стан повного, а точніше кажучи, порожнього чайника?
Один із варіантів – найняти репетитора. З найбільшою базою репетиторів можна ознайомитись (переважно, Москва) або (переважно, Санкт-Петербург). За пошуковою системою можна знайти репетитора у своєму місті, або подивитися місцеві рекламні газети. Ціна на послуги репетитора може змінюватись від 400 і більше рублів за годину в залежності від кваліфікації викладача. Слід зазначити, що дешево це не означає погано, особливо якщо у Вас непогана математична підготовка. У той же час за 2-3К рублів Ви й отримаєте НЕМАЛО. Даремно таких грошей ніхто не бере, і даремно таких грошей ніхто не платить;-). Єдиний важливий момент– намагайтеся обрати репетитора з профільною педагогічною освітою. І справді, ми ж не ходимо за юридичною допомогою до стоматолога.
Останнім часом набирає популярності сервіс онлайн репетиторів. Він дуже зручний, коли необхідно терміново вирішити одну-дві задачі, розібратися в темі або підготуватися до іспиту. Безумовною перевагою є ціни, які у кілька разів нижчі, ніж у офлайн репетитора + економія часу на проїзд, що є особливо актуальним для мешканців мегаполісів.
У курсі вищої математики деякі речі без репетитора освоїти дуже важко, потрібне саме «живе» пояснення.
Тим не менш, у багатьох типах завдань цілком можна розібратися самостійно, і мета даного розділусайту – навчити Вас вирішувати типові приклади та завдання, які практично завжди зустрічаються на іспитах. Більше того, для низки завдань існують «жорсткі» алгоритми, де від правильного рішення взагалі «нікуди не подітися». І, в міру моїх знань, я спробую Вам допомогти, тим більше є педагогічна освіта та досвід роботи зі спеціальності.
Почнемо розгрібати математичні абракадабри. Нічого страшного, навіть якщо Ви чайник, вища математика - це дійсно просто і доступно.
А почати треба з повторення шкільного курсуматематики. Повторення – мати муки.
Перш ніж, Ви приступите до вивчення моїх методичних матеріалів, та й взагалі приступите до вивчення будь-яких матеріалів з вищої математики, я насправді рекомендую, прочитати нижченаведене .
Для того щоб успішно вирішувати завдання з вищої математики НЕОБХІДНО:
ЗАПАСІТЬСЯ МІКРОКАЛЬКУЛЯТОРОМ.
З програм - Ексель (відмінний вибір!). Мануал для «чайників» я завантажив у бібліотеку.
Чи є? Вже добре.
– Від перестановки доданків – сума не змінюється: .
А ось це зовсім різні речі:
Переставляти «ікс» та «четвірку» просто так не можна. Заодно згадуємо культову літеру "ікс", яка в математиці позначає невідому або змінну величину.
– Від перестановки множників – твір не змінюється: .
З поділом такий фокус не пройде, і – це два зовсім різні дроби та перестановка чисельника зі знаменником без наслідків не обходиться.
Також згадуємо, що знак множення («точки») найчастіше прийнято не писати: ,
– Згадуємо правила розкриття дужок:
– тут знаки у доданків не змінюються
- А тут міняються на протилежні.
І для множення: 
Взагалі, достатньо пам'ятати, що ДВА МІНУСУ ДАЮТЬ ПЛЮС, а ТРИ МІНУСУ – ДАЮТЬ МІНУС. І, постаратися при вирішенні завдань з вищої математики в цьому не заплутатися (дуже часта і прикра помилка).
– Згадуємо приведення подібних доданків, Ви повинні добре розуміти таку дію:
– Згадуємо що таке ступінь:
, , 
, 
.
Ступінь – це лише звичайне множення.
–Згадуємо, що дроби можна скорочувати: (Скоротили на 2), (Скоротили на п'ять), (Скоротили на ).
– Згадуємо дії з дробами:
а також дуже важливе правило приведення дробів до спільного знаменника: 
Якщо ці приклади малозрозумілі, дивіться шкільні підручники.
Без цього ТУГО буде.
ПОРАДА: усі ПРОМІЖНІ обчислення у вищій математиці краще проводити в ЗВИЧАЙНИХ ПРАВИЛЬНИХ І НЕПРАВИЛЬНИХ ДРОБЯХ, навіть якщо будуть виходити страшні дроби на кшталт . Ось цей дріб НЕ ТРЕБА представляти у вигляді , і, тим більше, НЕ ТРЕБА ділити на калькуляторі чисельник на знаменник, отримуючи 4,334552102.
ВИКЛЮЧЕННЯМ з правила є кінцева відповідь завдання, тоді якраз краще записати або .
– Рівняння. У нього є ліва частина та права частина. Наприклад:
Можна перенести будь-яке доданок в іншу частину, змінивши в нього знак:
Перенесемо, наприклад, усі складові в ліву частину:
Або в праву:
Всі книги можна скачати безкоштовно та без реєстрації.
Теорія.
NEW. Натанзон С.М. Короткий курсматематичного аналізу 2004 рік. 98 стор. djvu. 1.2 Мб.
Ця публікація є коротким записом прочитаного автором курсу лекцій для студентів 1 курсу Незалежного Московського університету у 1997-1998 та 2002-2003 навчальних роках.
завантажити
NEW. Є.Б. Бороніна. Математичний аналіз. Конспект лекцій. 2007 рік. 160 стор pdf. 2.1 Мб.
Ця книга написана для студентів технічних вузів, які бажають підготуватися до іспиту математичного аналізу. Зміст цієї книги повністю відповідає програмі з курсу «Математичний аналіз», іспит з якого передбачені у більшості вищих навчальних закладівРосії. Програма допомагає швидко і без зайвих труднощів знайти необхідну відповідь на запитання.
Питання складено автором на основі особистого досвідуз урахуванням вимог викладачів.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Архіпов, Садівничий, Чубаріков. Лекції з математичного аналізу. Підручник. Аналіз. 1999 рік. 635 стор. djvu. 5.2 Мб.
Книга є підручником з курсу математичного аналізу та присвячена диференційному та інтегральному обчисленням функцій однієї та кількох змінних. В її основу покладено лекції, прочитані авторами на механіко-математичному факультеті МДУ ім. М. В. Ломоносова. У підручнику запропоновано новий підхіддо викладу низки основних понять і теорем аналізу, і навіть до змісту курсу. Для студентів університетів, педагогічних вузів та вузів з поглибленим вивченням математики
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Аксьонов А.П. Математичний аналіз. (Ряди Фур'є. Інтеграл Фур'є. Підсумовування рядів, що розходяться.) Навчальний посібник. 1999 рік. 86 стор. PDF 1.2 Мб.
Посібник відповідає державному стандарту дисципліни "Математичний аналіз" напряму бакалаврської підготовки 510200 "Прикладна математика та інформатика".
Містить виклад теоретичного матеріалу відповідно до чинної програми за темами: "Ряди Фур'є", "Інтеграл Фур'є", "Сумування рядів, що розходяться". Наведено велику кількість прикладів. Викладено застосування методів Чезаро та Абеля-Пуассона в теорії рядів. Розглянуто питання про гармонійний аналіз функцій, заданих емпірично.
Призначений для студентів фізико-механічного факультету спеціальностей 010200, 010300, 071100, 210300, а також для викладачів, які ведуть практичні заняття.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Аксьонов. Математичний аналіз. (Інтеграли, що залежать від параметра. Подвійні інтеграли. Криволінійні інтеграли.) Навчальний посібник СПб. 2000 рік. 145 стор. PDF . Розмір: 2.3 Мб. djvu.
Посібник відповідає державному стандарту дисципліни "Математичний аналіз" напряму бакалаврської підготовки 510200 "Прикладна математика та інформатика". Містить виклад теоретичного матеріалу відповідно до чинної програми за темами: "Інтеграли, що залежать від параметра, власні та невласні", "Подвійний інтеграл", "Криволінійні інтеграли першого і другого роду", "Обчислення площ кривих поверхонь, заданих як явними, так і параметричними рівняннями", "Ейлерові інтеграли (Бета-функція та Гамма-функція)". Розібрано велику кількість прикладів та завдань (загальним числом 47).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Де Брейн. Асимптотичні методи аналізу. 245 стор. djvu. 1.6 Мб.
Книга містить елементарний виклад ряду методів, що використовуються в аналізі для одержання асимптотичних формул. Важливість викладених у книзі методів, наочність і доступність викладу роблять цю книгу дуже цінною всім початківців знайомитися з подібними методами. Книга представляє безперечний інтерес також для тих, хто вже знайомий з цією галуззю аналізу.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Стефан Банах. Диференційне та інтегральне числення. 1966 рік. 437 стор. djvu. 7.7 Мб.
Стефан Банах - один із найбільших математиків XX століття. Справжня книга була задумана як посібник для початкового ознайомлення з предметом. Тим часом автору вдалося в книзі невеликого обсягу майстерно висвітлити майже весь основний матеріал диференціального та інтегрального обчислення, не відлякуючи при цьому читача скрупульозною строгістю викладу.
Книга відрізняється простотою та лаконічністю викладу. Вона містить багато вдало підібраних прикладів, а також завдань для самостійного рішення. Розрахована на студентів втузів (особливо заочних), педінститутів, а також на інженерно-технічних працівників, які забажають освіжити у пам'яті основні факти диференціального та інтегрального обчислення.
Під час підготовки другого видання враховано досвід викладання з цієї книги у деяких вищих технічних навчальних закладах; у зв'язку з цим до книги внесено невелику кількість додавань, а також виправлено деякі місця тексту. Це наблизило книгу до рівня сучасних підручників з математичного аналізу та уможливило використання її у втузах.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Б.М. Будак, С.В. Фомін. Кратні інтегоали та ряди. Підручник. 1965 рік. 606 стор. djvu. 4.6 Мб.
Для фіз.-мат. факультетів університетів.
РЕКОМЕНДУЮ! Особливо для ФІЗИКІВ.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Віосагмір І.А. Вища математикадля чайників. Межа функції. 2011 рік. 95 стор pdf. 6.1 Мб.
Я вітаю Вас у своїй першій книзі, присвяченій межам функції. Це перша частина моєї майбутньої серії “вища математика для чайників”. Назва книги вже має Вам багато про неї розповісти, але Ви її можете зовсім не так зрозуміти. Ця книга присвячена не "чайникам", а всім тим, кому нелегко зрозуміти те, що творять професори у своїх книгах. Я впевнений, що ви мене розумієте. Я сам перебував і перебуваю в такій ситуації, що просто змушений прочитувати одну і ту ж пропозицію кілька разів. Це нормально? Я думаю ні.
То чим же моя книга відрізняється від усіх інших? По-перше, тут нормальна мова, а не "розумна"; по-друге тут розібрано масу прикладів, яка, до речі, напевно, стане вам у нагоді; по-третє, текст має суттєву різницю між собою – головні речі виділені певними маркерами, і, нарешті, моя мета лише одна – ваше розуміння. Від Вас вимагається лише одного: бажання та вміння. "Уміння?" - Запитайте Ви. Так! Вміння запам'ятовувати та розуміти.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
В.М. Горбузов. Математичний аналіз: інтеграли, що залежать від параметрів. Уч. допомога. 2006 рік. 496 стор. PDF. 1.6 Мб.
Викладається диференціальне та інтегральне обчислення функцій, заданих певними невласним інтегралами, які залежать від параметрів. Призначено для студентів університетів, які навчаються за математичними та фізичними спеціальностями, а також для студентів технічних спеціальностей із розширеною програмою з математики.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Дороговцев А.Я. Математичний аналіз. Короткий курс у сучасному викладі. Видання друге. 2004 рік. 560 стор. djvu. 5.1 Мб.
Книга містить короткий і водночас досить повний з охоплення матеріалу виклад сучасного курсу математичного аналізу. Книга розрахована насамперед на студентів університетів та технічних ВНЗ і призначена для початкового вивчення курсу. Наведено модернізований виклад ряду розділів: функції багатьох змінних, кратні інтеграли, інтеграли по різноманіттям, пояснено формулу Стокса та ін. Теоретичний матеріал ілюструється більшим числом вправ та прикладів. . Для студентів вишів, викладачів математики, інженерно-технічних працівників.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Єгоров В.І., Салімова А.Ф. Певний та кратні інтеграли. Елементи теорії поля. 2004 рік. 256 стор. djvu. 1.6 Мб.
У виданні представлена теорія та основні додатки певного та кратних інтегралів, а також елементи теорії поля. Матеріал адаптований до сучасної програми математичної освіти у вищих технічних навчальних закладах, до використання у комп'ютерних навчальних системах. Книга призначається студентам технічних вишів. Вона також може бути корисною викладачам, інженерам, науковцям.
Зрозуміло написана книга. Всі.ствердження теорії показуються на прикладах. Рекомендую як додаткову літературу для розуміння матеріалу.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Євграфов. Асимптотичні оцінки та цілі функції. 320 стор. djvu. 3.2 Мб.
Книга присвячена викладу різних методів асимптотичних оцінок (метод Лапласа, метод перевалу, теорія відрахувань), що застосовуються в теорії функцій. Методи ілюструються переважно на матеріалі цієї теорії. Основні факти з теорії цілих функцій не передбачаються відомими читачеві - їх виклад органічно входить до структури книги. У 3-тє видання додано розділ про асимптотику конформних відображень. Книга розрахована на широкий контингент читачів – від студентів до науковців, як математиків, так і прикладників.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Я Б. Зельдович, І.М. Яглом. Вища математика лоя фізиків і техніків, що починають. 1982 рік. 514 стор. djvu. 12.3 Мб.
Ця книга є введенням у математичний аналіз. Поряд з викладом початків аналітичної геометрії та математичного аналізу (диференціального та інтегрального обчислення) книга містить поняття про статечні та тригонометричні ряди та про найпростіші диференціальні рівняння, а також зачіпає ряд розділів і тим з фізики (механіка і теорія коливань, теорія електричних ланцюгів, радіоактивний розпад, лазери та ін.). Книга розрахована на читачів, які цікавляться природничими додатками вищої математики, викладачів вузів і втузів, а також майбутніх фізиків та інженерів.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Зельдович, Яглом. Книжка у трьох частинах: 1. Елементи вищої математики. Містить: Функції та графіки (50 стр)(, Що таке рроизводная (50 стр), Що таке інтеграл (20 стр), Обчислення похідних (20 стр), Техніка інтегрування (20 стр), Ряди, найпростіші дифурівняння (35 стр), Дослідження функцій, кілька завдань з геометрії (55 стр.) 2. Додатки вищої математики до деяких питань фізики та техніки (160 стр.) Містить: Радіоактивний розпад і поділ ядер, Механіка, Коливання, Тепловий рух молекул, розподіл щільності повітря в атмосфері, Поглинання та випромінювання світла, лазери, Електричні ланцюги і коливальні рухи в них 3. Додаткові теми з вищої математики (50 стор.) Містить: Комплексні числа, Які функції потрібні фізику, Чудова дельта-функція Дірака, Деякі програми функції комплексної змінної та дельта-функции 4. Додатки, Відповіді, Вказівки, Рішення.Усікли, що за книга? ви неминуче вивчите і фізику. Super. djvu, 500 стор. Розмір 8.7 Мб.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Зорич В.А. Математичний аналіз. У 2-х частинах. Підручник 1 - 1997, 2 - 1984 роки. 567+640 стор. djvu. 9.6+7.4 Мб.
Університетський підручник для студентів фізико-математичних спеціальностей. Може бути корисним студентам факультетів та вузів з розширеною математичною підготовкою, а також фахівцям у галузі математики та її додатків.
У першу частину увійшло: введення в аналіз (логічна символіка, множина, функція, речове число, межа, безперервність); диференціальне та інтегральне обчислення функції однієї змінної; диференціальне обчислення функцій багатьох змінних.
До другої частини підручника включені такі розділи: Багатомірний інтеграл. Диференціальні форми та їх інтегрування. Ряди та інтеграли, що залежать від параметра (у тому числі ряди та перетворення Фур'є, а також асимптотичні розкладання).
Посібники з вирішення завдань.
NEW. Садівницька І.В., Хорошилова Є.В. Певний інтеграл: теорія та практика обчислень. 2008 рік. 528 стор. djvu. 2.7 Мб.
Видання присвячене теоретичним та практичним аспектам обчислення певних інтегралів, а також методам їх оцінок, властивостям та додаткам до вирішення різних геометричних та фізичних завдань. Книга містить розділи, присвячені методам обчислення власних інтегралів, властивостям невласних інтегралів, геометричним та фізичним додаткам певного інтегралу, а також деяким узагальненням інтеграла Рімана – інтегралам Лебега та Стілтьєса.
Виклад теоретичного матеріалу підкріплено великою кількістю (понад 220) розібраних прикладів обчислення, оцінок та дослідження властивостей певних інтегралів; наприкінці кожного параграфа наводяться завдання для самостійного вирішення (понад 640, переважна більшість – з рішеннями).
Мета посібника – допомогти студенту під час проходження теми «Певний інтеграл» на лекціях та практичних заняттях. До нього може звернутися студент для отримання довідкової інформації з питання, що виникло. Книга також може бути корисною викладачам і всім бажаючим вивчити цю тему досить детально та широко.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
NEW. Хорошілова О.В. Математичний аналіз: невизначений інтеграл. (На допомогу практичним заняттям). 2007 рік. 184 стор. djvu. 822 Кб.
У книзі наводяться основні теоретичні відомості про невизначені інтеграли, розглянуто більшість відомих прийомів та методів інтегрування та різні класи інтегрованих функцій (із зазначенням способів інтегрування). Виклад матеріалу підкріплено великою кількістю розібраних прикладів обчислення інтегралів (понад 200 інтегралів), наприкінці кожного параграфа наводяться завдання для самостійного розв'язання (понад 200 завдань з відповідями).
Посібник містить такі параграфи: «Поняття невизначеного інтеграла», «Основні методи інтегрування», «Інтегрування раціональних дробів», «Інтегрування ірраціональних функцій», «Інтегрування тригонометричних функцій», «Інтегрування гіперболічних, показових, логарифмічних та інших трансцендентних функцій». Книга призначена для освоєння практично теорії невизначеного інтеграла, вироблення навичок практичного інтегрування, закріплення курсу лекцій, використання на семінарах і під час підготовки домашніх завдань. Мета посібника – допомогти студенту в освоєнні різних прийомів та методів інтегрування.
Для студентів університетів, у тому числі математичних спеціальностей, які вивчають інтегральне обчислення у рамках курсу математичного аналізу.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
NEW. В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицька, Г.М. Медведєв, А.А. Шишкін. Математичний аналіз у питаннях та завданнях: Навч. допомога. 5-те вид., Випр. 2002 рік. 480 стор. djvu. 3.8 Мб.
Посібник охоплює всі розділи курсу математичного аналізу функцій однієї та кількох змінних. По кожній темі коротко викладаються основні теоретичні відомості та пропонуються Контрольні питання; наводяться рішення стандартних та нестандартних завдань; даються завдання та вправи для самостійної роботиз відповідями та вказівками. Четверте видання 2001
Для студентів вищих навчальних закладів.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
А.А. Бурців. Методи вирішення екзаменаційних завдань з математичного аналізу 2-го семестру 1-го курсу. 2010 рік. pdf, 56 стор. 275 Kб.
Варіанти завдань за чотири попередні. року.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Виноградова І. А. та ін. Завдання та вправи з математичного аналізу (часть1). 1988 рік. djvu, 416 стор. 5.0 Мб.
Збірник складено на матеріалі занять з курсу математичного аналізу на І курсі механіко-математичного факультету МДУ та відображає досвід викладання кафедри математичного аналізу. Він складається з двох частин, що відповідають І та ІІ семестру. У кожній частині окремо виділено обчислювальні вправи та теоретичні завдання. Перша частина включає побудову ескізів графіків функцій, обчислення меж, диференціальне обчислення функцій одного дійсного змінного, теоретичні завдання. Друга частина - невизначений інтеграл, певний інтеграл Рімана, диференціальне обчислення функцій багатьох змінних, теоретичні завдання. У розділах, що містять обчислювальні вправи, кожен параграф передується розгорнутими методичними вказівками. Вони дано всі які у цьому параграфі визначення, формулювання основних теорем, виведення деяких необхідних співвідношень, наведені докладні рішення характерних завдань, звернено увагу до часто зустрічаються помилки. Більша частиназавдань і вправ відмінна від завдань, які у відомому задачнику Б. П. Демидовича. В обидві частини збірника включено близько 1800 вправ на обчислення та 350 теоретичних завдань.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Виноградова І. А. та ін. Завдання та вправи з математичного аналізу (часть2). 1991 рік. djvu, 352 стор. 3.2 Мб.
Задачник відповідає курсу математичного аналізу, що викладається на другому курсі, і містить наступні розділи: подвійний та потрійний інтеграли та їх геометричні та фізичні додатки, криволінійний та поверхневий інтеграл першого та другого роду. Наводяться необхідні теоретичні відомості, типові алгоритми, придатні для вирішення цілих класів завдань, подані методичні вказівки.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Виноградова та ін. Під ред. Садівничого. Завдання та вправи з математичного аналізу. 51 стор. PDF. 1.9 Мб.
Дуже докладно розглянуто розділ побудови графіків. 35 стор займають розглянуті приклади.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Жовтухін. Не певні інтеграли: методи обчислення. 2005 рік. Розмір: 427 Кб. PDF, 80 стор. Корисний посібник можна використовувати як довідник. У ньому не тільки додано всі методи обчислення інтегралів, а й наведено безліч прикладів на кожне правило. Рекомендую.
завантажити
Запоржець. Керівництво до вирішення задач з математичного аналізу. 4-те вид. 460 стор. djvu. 7.7 Мб.
Охоплює всі розділи від дослідження функцій до розв'язання дифурів. Корисна книга.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Калінін, Петрова, Харін. Невизначені та певні інтеграли. 2005 рік. 230 стор. PDF. 1.2 Мб.
Нарешті математики стали писати книжки для фізиків та інших студентів технічних спеціальностей, а не самі для себе. Рекомендую, якщо хочете навчитися обчислювати, а не доводити леми та теореми.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Калінін, Петрова. Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли. Навчальний посібник. 2005 рік. 230 стор. PDF. 1.2 Мб.
У цьому посібнику наведено приклади обчислення різних інтегралів.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Каплан. Практичні заняття з вищої математики. Аналітична геометрія, дифернціальне обчислення, інтегральне обчислення, інтегрування дифурівнянь. У 2-файлах в одному архіві. Загальні 925 стор. 6.9 Мб.
Розглянуто приклади розв'язання задач з усього курсу загальної математики.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
К.М. Лунгу та ін. Збірник завдань з вищої математики. Частина 2 для 2-го курсу. 2007 рік. djvu, 593 стор.4.1 Мб.
Ряди та інтеграли. Векторний та комплексний аналіз. Диференційне рівняння. Теорія імовірності. Операційне літочислення. Це не просто задачник, а й самовчитель. По ньому можна навчитися вирішувати завдання.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Лунгу, Макарів. Вища математика. Керівництво вирішення завдань. Частина 1. 2005 рік. Розмір: 2.2 Мб. djvu, 315 стор.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
І.А. Марон. Диференціальне та інтегральне обчислення в прикладах та задачах (Функції однієї змінної). 1970 рік. djvu. 400 стор. 11.3 Мб.
Книга є посібником з вирішення завдань математичного аналізу (функції однієї змінної). Містить короткі теоретичні введення, розв'язання типових прикладів та завдання для самостійного розв'язання. Крім завдань алгоритмічно-обчислювального характеру, у ній міститься багато завдань, що ілюструють теорію та сприяють глибшому її засвоєнню, що розвивають самостійне математичне мислення учнів. Мета книги-навчити студентів самостійно вирішувати завдання з курсу математичного аналізу
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Д.Т. Письмовий. Вища математика 100 екзаменаційних питань. 1999 рік. djvu. 304 стор. 9.3 Мб.
Цей посібник призначений насамперед для студентів, які готуються до складання іспиту з вищої математики на 1-му курсі. Воно містить викладені в короткій доступній формі відповіді на екзаменаційні питання усного іспиту. Посібник може бути корисним для всіх категорій студентів, які вивчають у тому чи іншому обсязі вищу математику. Воно містить необхідний матеріалпо 10-ти розділах курсу вищої математики, які зазвичай вивчаються студентами на першому курсі вузу (технікуму). Відповіді на 108 екзаменаційних питань (з підпунктами – значно більше) супроводжуються, як правило, вирішенням відповідних прикладів та завдань.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Соболь Б.В., Мішняков Н.Т., Поркшеян В.М. Практикум із вищої математики. 2006 рік. 630 стор. djvu. 5.4 Мб.
До книги увійшли всі розділи стандартного курсу вищої математики широкого спектру спеціальностей вищих навчальних закладів.
Кожна глава (відповідний розділ курсу) містить довідковий матеріал, і навіть основні теоретичні становища, необхідні вирішення завдань. Відмінною особливістю даного видання є велика кількість завдань із рішеннями, що дозволяє використовувати його не тільки для аудиторних занять, а й для самостійної роботи студентів. Завдання представлені на теми, систематизовані за методами рішення. Завершують кожну главу набори завдань самостійного рішення, забезпечені відповідями.
Повнота викладу матеріалу та відносна компактність цього видання дозволяють рекомендувати його викладачам та студентам вищих навчальних закладів, а також слухачам інститутів підвищення кваліфікації, які бажають систематизувати свої знання та навички з цього предмету.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
Є.П. Суляндзіга, Г.А. Ушакова. ТЕСТИ З МАТЕМАТИКИ: МЕЖА, ВИРОБНИЧА, ЕЛЕМЕНТИ АЛГЕБРИ ТА ГЕОМЕТРІЇ. Уч. допомога. 2009 рік. pdf, 127 стор. 1.1 Мб.
Пропонований навчальний посібник можна як збірник завдань. Завдання охоплюють традиційні теми – основи математичного аналізу: функцію, її межу та похідну. Присутні завдання з основ лінійної алгебри та аналітичної геометрії. Оскільки межа і похідна функції є складнішими, і, крім того, ці теми є фундаментальними для інтегрального обчислення, їм приділено найбільшу увагу: докладно розібрані рішення типових завдань. Зібраний у навчальному посібникуматеріал неодноразово використовувався на практичних заняттях.
Для студентів першого курсу всіх вишів.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . завантажити
У категорії Математичний аналіз зібрані безкоштовні онлайн відео уроки на цю тему. Математичний аналіз – це сукупність розділів математики, які займаються вивченням функцій та їх узагальнень методами диференціального та інтегрального обчислення. Сюди відносяться: функціональний аналіз, включаючи теорію інтеграла Лебега, комплексний аналіз (ТФКП), що вивчає функції, задані на комплексній площині, теорія рядів та багатовимірних інтегралів, нестандартний аналіз, що вивчає нескінченно малі та нескінченно великі числа, векторний аналіз, а також варіаційне обчислення. Вивчення математичного аналізу з відео уроків буде корисно як початківців, так досвідчених математиків. Відеоуроки з рубрики Математичний аналіз Ви можете дивитися безкоштовно у будь-який зручний час. До деяких відео уроків з математичного аналізу додано додаткові матеріали, які можна завантажити. Приємного навчання!
Усього матеріалів: 12
Показано матеріалів: 1-10
Що таке похідна функції
Хочете дізнатися, що таке похідна функції математики? Ти звичайно багато разів чув про похідну і навіть, напевно, брав цю похідну в школі, зовсім не розуміючи сенсу своїх дій. У цьому відео я не навчатиму тебе формул, а поясню сенс похідної на пальцях так, щоб навіть круглому чайнику було зрозуміло. Але спочатку тобі краще подивитися моє попереднє відео, де я також доступно розповідаю про функції. У цьому відеоуроці ми просто, зрозуміло і наочних прикладах життя...
Введення у аналіз. Потужність множин
Онлайн урок «Вступ до аналізу. Потужність множин» присвячений питанню такого поняття як потужність множин. Це питання стосується кількісної характеристики множин. Якщо безліч звичайно, можна говорити про кількість його елементів. Але як бути з нескінченними множинами? Адже в цьому випадку не буде поняття більше чи менше. Для вирішення цього завдання вводиться таке поняття, як потужність. Потужність - це інструмент кількісного порівняння нескінченних множин. У цьому занятті дається...
Межа функції у точці - визначення, приклади
У цьому онлайн уроці розповідається про таке поняття як межа функції у точці – визначення, приклади. Більшість елементів дослідження функцій спираються на поняття межі функції. Тут буде розглянуто межу функції в точці на простому прикладі, після чого буде дано строго визначення межі функції в точці з докладною ілюстрацією на графіці для кращого засвоєння матеріалу. На даному занятті також розглядаються інші приклади і сформульовано суворе визначення односторонніх...
Збіжність статечних рядів - приклад як знайти область збіжності, дослідження
У цьому відео уроці розповідається про таке поняття як збіжність статечних рядів, як знайти область збіжності, дослідження. Ступіньовий ряд - це окремий випадок функціонального ряду, коли його членами є статечні функції аргументу x. Область збіжності є всі значення змінної x, при яких відповідні числові рядисходяться. Для дослідження можна використовувати ознаку Даламбера і за допомогою нього показати, що статечний ряд сходиться або розходиться, і при...
Що таке первісна
У цьому відео я розповім тобі про первісну, яка є близькою родичкою похідною. Насправді ти про неї і так уже майже все знаєш, якщо переглянув мої попередні відео, і нам залишилося тільки розставити крапки над i. Первісна - це «батьківська» функція для похідної. Знайти первісну - це означає відповісти на запитання: а чия дитина? Якщо відома донька, то ми маємо знайти маму. Раніше ми навпаки шукали доньку по заданій мамі. Зараз ми робимо зворотній перехід - від...
Геометричний зміст похідної
У цьому відео я розповім про геометричне значення похідної. Ти дізнаєшся, що геометричний зміст похідної полягає в тому, що похідна та кут нахилу дотичної - це майже одне й те саме. Я говорю «майже» тому що похідна дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної. Можна вважати, що похідна та нахил дотичної – вони тісно пов'язані. Якщо кут нахилу великий, те й похідна велика, а функція у цій точці різко зростає. Якщо кут нахилу маленький, то й похідна...
Що таке функція в математиці
Хочете дізнатися, що таке функція математики? У цьому відеоуроці ми просто і зрозуміло, з використанням графічних ілюстрацій і на наочних життєвих прикладах розповімо, що таке функція, що таке її аргумент, які бувають функції (зростаючі, спадні, змішані), як можна задати функцію (за допомогою графіка, таблиці, формули). Ви побачите, що залежність, яка показує, як одна величина пов'язана з іншою величиною, називається функцією. Будь-яка функція - це зв'язок між величинами...
Межа функції на нескінченності - визначення, приклади
Урок "Межа функції на нескінченності - визначення, приклади" присвячений питанню про те, що таке межі на нескінченності. Більшість елементарних функцій визначено скільки завгодно великого значення аргументу. І тут важливо знати поведінка функції на нескінченності. Один із елементів дослідження такої поведінки є знаходження межі функції на нескінченності. Хоча нескінченність не є числом, і їй не відповідає жодна точка на числовій прямій, визначення межі на...