Взаємно однозначне відображення, що має властивість збереження кутів за величиною та напрямом і властивістю сталості розтягувань малих околиць відображених точок, називається конформним відображенням.
Для забезпечення взаємної однозначності відображення виділяють області одноаркушності функції. Область D називається областю однолистості функції f(z), якщо.
Основні властивості конформних відображень:
1) сталість розтягувань. Лінійне в точці однаково для всіх кривих, що проходять через цю точку, і одно;
2) збереження кутів. Усі криві у точці повертаються на однаковий кут, рівний.
Функція відображає точки z-площини (або риманової поверхні). У кожній точці z, що f(z) аналітична (тобто. однозначно визначена і диференційована в околиці цієї точки) і, відображення конформно, тобто. кут між двома кривими, що проходять через точку z, переходить у рівний за величиною і направлено відліку кут між двома відповідними кривими в площині.
Нескінченно малий трикутник біля такої точки z відображається в подібний нескінченно малий трикутник - площині; кожна сторона трикутника розтягується у співвідношенні та повертається на кут. Коефіцієнт спотворення (локальне відношення малих площ) при відображенні визначається якобіаном відображення
у кожній точці z де відображення конформно.
Конформне відображення перетворює лінії на сімейство ортогональних траєкторій в w-площині.
Область z-площини, що відображається на всю w-площину функцією f(z), називається фундаментальною областю функції f(z).
Точки, де називаються критичними точками відображення.
Відображення, яке зберігає величину, але не напрямок відліку кута між двома кривими, називається вигнаним або конформним відображенням другого роду.
Відображення конформно в нескінченно віддаленій точці, якщо функція конформно відображає початок - площину.
Дві криві перетинаються під кутом у точці, якщо перетворення переводить їх у дві криві, що перетинаються під кутом у точці.
Аналогічно конформно відображає точку конформно в точку .
КЛАСИЧНІ ПРИКЛАДИ КОНФОРМНИХ ВІДОБРАЖЕНЬ
Найпростіші приклади
Приклад 1. За допомогою функції відобразити пряму площину.
Перетворюємо пряму.
Таким чином,
Підставляємо в отримані рівняння:
і отримуємо
З отриманих рівнянь виключаємо х.
З рівняння (1) знаходимо х і отримуємо
Підставляємо (3) до рівняння (2):
отримуємо
Зобразимо отримані лінії малюнку 1.
Малюнок 1 Конформне відображення прямою функцією
Відповідь: Отже, пряма, розташована в площині хОу, конформно відобразилася в криву (параболу), розташовану в площині
Приклад 2. Знайти кут повороту та коефіцієнт спотворення масштабу у точці при відображенні:
У разі відображення за допомогою функції кут повороту є,а .
У точці маємо
Відповідь: (стиснення).
Приклад 3. Знайти кут повороту та коефіцієнт спотворення масштабу у точці при відображенні:
При відображенні за допомогою функції кут повороту є коефіцієнт коефіцієнта спотворення масштабу в точці дорівнює
У точці маємо
(Розтягнення).
Відповідь: (розтягування).
Приклад 4. Знайти точки площини, в яких дорівнює коефіцієнт спотворення масштабу 1 при відображенні:
Коефіцієнт спотворення масштабу у точці дорівнює
Знаходимо похідну
Отже,
Приклад 5. Знайти точки площини, в яких дорівнює 1 коефіцієнт спотворення масштабу при відображенні:
Коефіцієнт спотворення масштабу у точці дорівнює
Знаходимо похідну
За умовою коефіцієнт спотворення масштабу повинен дорівнювати 1.
Отже,
Розв'язанні прикладних завдань часто виникає необхідність перетворити задану область на область більш простого виду, причому так, щоб зберігалися кути між кривими. Перетворення, наділені такою властивістю, дозволяють успішно вирішувати завдання аеро- та гідродинаміки, теорії пружності, теорії полів різної природи та багато інших. Ми обмежимося перетвореннями плоских областей. Безперервне відображення го = / (г) плоскої області в область на площині називається конформним в точці, якщо в цій точці воно має властивості постійного розтягування і збереження кутів. Відкриті області і називаються конформноеквівапентними, якщо існує однозначне відображення однієї з цих областей на іншу, конформне в кожній точці. Теорема Рімана. Будь-які дві плоскі відкриті однозв'язні області, межі яких складаються з більш як однієї точки, конформно еквівалентні. Основною проблемою при вирішенні конкретних завдань є побудова за заданими плоскими областями явного однозначного взаємно конформного відображення однієї з них на іншу. Один із способів вирішення цієї проблеми в плоскому випадку - залучення апарату теорії функцій комплексного змінного. Як уже зазначалося вище, однолистова аналітична функція з відмінною від нуля похідною здійснює конформне відображення своєї області завдання на її образ. При побудові конформних відображень дуже корисне таке правило. Принцип відповідності кордонів. Нехай в однозв'язковій ділянці Я) комплексної площини z, обмеженої контуром 7, задана однозначна аналітична функція w = f(z), безперервна в замиканні 9) і відображає контур 7 на деякий контур 7" комплексної п/юскості w. Якщо при цьому зберігається напрямки обходу контуру, то функція w - f(z) здійснює конформне відображення області комплексної площини z область З1 комплексної площини w, обмежену контуром 7" (рис. 1). 3), Рис.3 2. поворот (на заданий кут 3. розтягнення (fc > 1) мул і стиснення (рис. 5).Тим самим перетворення виду 0 будь-яке коло можна зробити одиничним колом з центром в нулі (рис. 6). ), будь-яку напівплощину можна зробити верхньою напівплощиною, будь-який відрізок прямої можна перетворити на відрізок речової осі (рис. 14). розрізом по дійсному променю (0, +«>(Площина з розрізами по дійсних променях J -оо, 0] і (I, +оо[ Площина з розрізом по дійсному променю Площина з розрізом по відрізку (О, 1J № 21 1площина з розрізами) ю променів, що лежать ia прямий, що проходить через очало координат по дійсних променів ]-«ю, 0] і (1. Площина з розрізом по дійсному променю (0, +во(Площина з розрізом по дузі кола Ixl - 1, lm z > О Площина з розрізом по дузі кола III - I, Re z > Про Площина з розрізом по дійсному променю (0, Площина з розрізом no дузі кола Площина з розрізом по дійсному променю [С, + с [ № 25 Півплощина з розрізами Коло з розрізом по відрізку (1/2, 1J №30 Площина з розрізом по відрізку (-1, 5/4) Коло Izl з розрізами по відрізкам (-1 . -1/2] та (1/2, 1] № 31 Площина з розрізами по відрізах I -5/4, 5/4] Коло Ijl симетричними розрізами по уявній осі Коло lie з симетричними розрізами по справжній осі Зовнішність кола з розрізами одиничного кола I з розрізом по відрізку і 11, 2) №34 Площина з розрізом по відрізку [-1, 5/4] Площина з розрізом по відрізку I - 5/4, 3/4] w = e"^z Зовнішність одиничного кола Izl > 1 з розрізами по відрізках, що є продовженнями його діаметра Зовнішність одиничного кола Iwl > 1 з розрізами по відрізках, що лежать на дійсній осі Напівіруг з розрізами -г2 Nfc 36 Круг Iwl з розрізом по відрізку [-1/4, , з розрізом по відрізку (0, i/2) Півколо, з розрізом по відрізку )