Розглянуто метод вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівняньвищих порядків з постійними коефіцієнтами методом варіації постійних лагранжів. Метод Лагранжа також застосовується для вирішення будь-яких лінійних неоднорідних рівнянь, якщо відома фундаментальна система рішень однорідного рівняння.
ЗмістДив. також:
Метод Лагранжа (варіація постійних)
Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами довільного n-го порядку:
(1)
.
Метод варіації постійної, розглянутий нами рівняння першого порядку , також застосуємо й у рівнянь вищих порядків.
Рішення виконується у два етапи. На першому етапі ми відкидаємо праву частину та вирішуємо однорідне рівняння. В результаті отримуємо рішення, що містить довільних n постійних. На другому етапі ми змінюємо постійні. Тобто ми вважаємо, що ці постійні є функціями від незалежної змінної x та знаходимо вигляд цих функцій.
Хоча ми тут розглядаємо рівняння із постійними коефіцієнтами, але метод Лагранжа також застосовний і для вирішення будь-яких лінійних неоднорідних рівнянь. Для цього, однак, має бути відома фундаментальна система розв'язків однорідного рівняння.
Крок 1. Вирішення однорідного рівняння
Як і у разі рівнянь першого ладу, спочатку ми шукаємо спільне рішенняоднорідного рівняння, прирівнюючи праву неоднорідну частину до нуля:
(2)
.
Загальне рішення такого рівняння має вигляд:
(3)
.
Тут – довільні постійні; - n лінійно незалежних розв'язків однорідного рівняння (2), які утворюють фундаментальну систему розв'язків цього рівняння.
Крок 2. Варіація постійних – заміна постійних функціями
На другому етапі ми займемося варіацією постійних. Іншими словами, ми замінимо постійні на функції від незалежної змінної x:
.
Тобто ми шукаємо рішення вихідного рівняння (1) у такому вигляді:
(4)
.
Якщо ми підставимо (4) (1), то отримаємо одне диференціальне рівняння для n функцій . У цьому ми можемо пов'язати ці функції додатковими рівняннями. Тоді вийде n рівнянь, у тому числі можна визначити n функцій . Додаткові рівняння можна скласти у різний спосіб. Але ми це зробимо так, щоб рішення мало найпростіший вигляд. Для цього, при диференціюванні, потрібно прирівнювати до нуля члени, що містять похідні від функцій. Продемонструємо це.
Щоб підставити передбачуване рішення (4) у вихідне рівняння (1), потрібно знайти похідні перших n порядків від функції, записаної як (4). Диференціюємо (4), застосовуючи правила диференціювання суми та добутку:
.
Згрупуємо члени. Спочатку випишемо члени з похідними від , а потім члени з похідними від :
.
Накладемо на функції першу умову:
(5.1)
.
Тоді вираз для першої похідної буде мати більш простий вигляд:
(6.1)
.
Тим самим способом знаходимо другу похідну:
.
Накладемо на функції другу умову:
(5.2)
.
Тоді
(6.2)
.
І так далі. У додаткових умовах ми прирівнюємо члени, що містять похідні функції до нуля.
Таким чином, якщо вибрати наступні додаткові рівняння для функцій:
(5.k) ,
то перші похідних по матимуть найпростіший вид:
(6.k) .
Тут.
Знаходимо n-ю похідну:
(6.n)
.
Підставляємо у вихідне рівняння (1):
(1)
;
.
Врахуємо, що всі функції відповідають рівнянню (2):
.
Тоді сума членів, що містять, дають нуль. У результаті отримуємо:
(7)
.
В результаті ми отримали систему лінійних рівнянь для похідних:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .
Вирішуючи цю систему, знаходимо вирази для похідних як функції x . Інтегруючи, отримаємо:
.
Тут - вже не залежать від x постійні. Підставляючи (4), отримуємо загальне рішення вихідного рівняння.
Зауважимо, що визначення величин похідних ми ніде не використовували той факт, що коефіцієнти a i є постійними. Тому метод Лагранжа застосовується для вирішення будь-яких лінійних неоднорідних рівнянь, якщо відома фундаментальна система розв'язків однорідного рівняння (2).
Приклади
Розв'язати рівняння методом варіації постійних (Лагранжа).
Рішення прикладів > > >
Вирішення рівнянь вищих порядків методом Бернуллі
Вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь вищих порядків з постійними коефіцієнтами лінійної підстановки
Розглянемо тепер лінійне неоднорідне рівняння
. (2)
Нехай y 1 ,y 2 ,.., y n - фундаментальна система рішень, а - загальне рішення відповідного однорідного рівняння L(y)=0. Аналогічно нагоди рівнянь першого порядку, шукатимемо рішення рівняння (2) у вигляді
. (3)
Переконаємося у тому, що рішення у такому вигляді існує. Для цього підставимо функцію рівняння. Для встановлення цієї функції в рівняння знайдемо її похідні. Перша похідна дорівнює
. (4)
При обчисленні другої похідної у правій частині (4) з'явиться чотири доданки, при обчисленні третьої похідної - вісім доданків і так далі. Тому, для зручності подальшого рахунку, перший доданок (4) вважають рівним нулю. З урахуванням цього, друга похідна дорівнює
. (5)
За тими самими, що раніше, міркувань, в (5) також вважаємо перший доданок рівним нулю. Нарешті, n-я похідна дорівнює
. (6)
Підставляючи отримані значення похідних у вихідне рівняння, маємо
. (7)
Друге доданок (7) дорівнює нулю, так як функції y j , j=1,2,..,n, є рішеннями відповідного однорідного рівняння L(y)=0. Поєднуючи з попереднім, отримуємо систему рівнянь алгебри для знаходження функцій C" j (x)
(8)
Визначник цієї системи є визначником Вронської фундаментальної системи рішень y 1 ,y 2 ,..,y n відповідного однорідного рівняння L(y)=0 і тому не дорівнює нулю. Отже, існує єдине рішення системи (8). Знайшовши його, отримаємо функції C" j (x), j=1,2,…,n, а, отже, і C j (x), j=1,2,…,n Підставляючи ці значення (3), отримуємо рішення лінійного неоднорідного рівняння.
Викладений метод називається методом варіації довільної постійної чи методом Лагранжа.
Приклад №1. Знайдемо загальне рішення рівняння y" + 4y + 3y = 9e -3 x . Розглянемо відповідне однорідне рівняння y" + 4y + 3y = 0. Коріння його характеристичного рівняння r 2 + 4r + 3 = 0 рівні -1 і - 3. Тому фундаментальна система розв'язків однорідного рівняння складається з функцій y 1 = e - x та y 2 = e -3 x. Розв'язання неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді y = C 1 (x) e - x + C 2 (x) e -3 x. Для знаходження похідних C" 1 , C" 2 складаємо систему рівнянь (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
вирішуючи яку, знаходимо , інтегруючи отримані функції, маємо
Остаточно отримаємо
Приклад №2. Вирішити лінійні диференціальні рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами методом варіації довільних постійних:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Рішення:
Дане диференціальне рівняння відноситься до лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами.
Розв'язання рівняння будемо шукати у вигляді y = e rx. Для цього складаємо характеристичне рівняння лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 · 1 · 8 = 4
Коріння характеристичного рівняння: r 1 = 4, r 2 = 2
Отже, фундаментальну систему рішень складають функції: y1 = e4x, y2 = e2x
Загальне рішення однорідного рівняння має вигляд: y = C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x
Пошук приватного рішення шляхом варіації довільної постійної.
Для знаходження похідних C" i складаємо систему рівнянь:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Виразимо C" 1 з першого рівняння:
C" 1 = -c 2 e -2x
і підставимо на друге. У результаті отримуємо:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x / (e 2x +2e 4x)
Інтегруємо отримані функції C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
Оскільки y = C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x записуємо отримані вирази у вигляді:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Таким чином, загальне рішення диференціального рівняння має вигляд:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
або
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Знайдемо приватне рішення за умови:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Підставляючи x = 0, у знайдене рівняння, отримаємо:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Знаходимо першу похідну від отриманого загального рішення:
y' = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Підставляючи x = 0, отримаємо:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Отримуємо систему із двох рівнянь:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
або
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
або
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C 2 = 2
Звідки: C 1 = 0, C * 2 = 2
Приватне рішення запишеться як:
y = 2e 4x · ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x · ln (2e 2x +1) - 2x · e 2x + 2 · e 2x
Метод варіації довільних постійних
Метод варіації довільних постійних для побудови розв'язування лінійного неоднорідного диференціального рівняння
a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)
полягає у заміні довільних постійних c kу загальному рішенні
z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)
відповідного однорідного рівняння
a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0
на допоміжні функції c k (t) , похідні яких задовольняють лінійній системі алгебри
Визначником системи (1) служить вронскіан функцій z 1 ,z 2 ,...,z n , Що забезпечує її однозначну розв'язність щодо .
Якщо - первісні для , взяті при фіксованих постійних значеннях інтегрування, то функція
є рішенням вихідного неоднорідного лінійного диференціального рівняння. Інтегрування неоднорідного рівняння за наявності загального розв'язання відповідного однорідного рівняння зводиться, таким чином, до квадратур.
Метод варіації довільних постійних для побудови рішень системи лінійних диференціальних рівнянь у нормальній векторній формі
полягає у побудові приватного рішення (1) у вигляді
де Z(t) - базис розв'язків відповідного однорідного рівняння, записаний у вигляді матриці, а векторна функція, що замінила вектор довільних постійних, визначена співвідношенням. Шукане приватне рішення (з нульовими початковими значеннями при t = t 0 має вигляд
Для системи з постійними коефіцієнтами останній вираз спрощується:
Матриця Z(t)Z− 1 (τ)називається матрицею Кошіоператора L = A(t) .