Linija gali priklausyti plokštumai arba nepriklausyti. Jis priklauso plokštumai, jei bent du jo taškai yra plokštumoje. 93 paveiksle pavaizduota plokštuma Sum (axb). Tiesiai l priklauso plokštumai Sum, nes jos taškai 1 ir 2 priklauso šiai plokštumai.
Jei tiesė nepriklauso plokštumai, ji gali būti lygiagreti jai arba ją kirsti.
Tiesė yra lygiagreti plokštumai, jei ji lygiagreti kitai tos plokštumos tiesei. 93 paveikslas tiesiai m || suma, nes ji lygiagreti linijai l priklausantis šiai plokštumai.
Tiesi linija gali kirsti plokštumą įvairiais kampais ir ypač būti jai statmena. Tiesių susikirtimo su plokštuma linijų konstrukcija pateikta §61.
93 pav. – Tiesi linija, priklausanti plokštumai
Taškas plokštumos atžvilgiu gali būti išdėstytas taip: priklausyti jai ar nepriklausyti. Taškas priklauso plokštumai, jei jis yra toje plokštumoje esančioje tiesėje. 94 paveiksle parodytas dviejų lygiagrečių linijų apibrėžtos Sumos plokštumos kompleksinis brėžinys l ir P. Linija yra plokštumoje m. Taškas A yra plokštumoje Sum, nes jis yra tiesėje m. Taškas AT nepriklauso plokštumai, nes antroji jos projekcija nėra ant atitinkamų tiesės projekcijų.
94 pav. Sudėtinis plokštumos, apibrėžtos dviem lygiagrečiomis tiesėmis, brėžinys
Kūginiai ir cilindriniai paviršiai
Kūginiai paviršiai apima paviršius, susidariusius pasislinkus tiesiajai generatrix l palei lenktą kreiptuvą m. Kūginio paviršiaus formavimo ypatybė yra ta, kad šiuo atveju vienas generatoriaus taškas visada yra fiksuotas. Šis taškas yra kūginio paviršiaus viršus (95 pav. a). Kūginio paviršiaus apibrėžtis apima viršūnę S ir vadovas m, kurioje l"~S; l"^ m.
Cilindriniai paviršiai apima paviršius, sudarytus iš tiesios generatoriaus / judančio išilgai kreivinio kreiptuvo t lygiagrečiai nurodytai krypčiai S(95 pav., b). Cilindrinis paviršius gali būti laikomas specialiu kūginio paviršiaus, kurio viršūnė yra begalybėje, atvejis S.
Cilindrinio paviršiaus determinantas susideda iš kreiptuvo t ir kryptis S, formuojant l, o l" || S; l" ^ m.
Jei cilindrinio paviršiaus generatoriai yra statmeni projekcijų plokštumai, tai toks paviršius vadinamas projektuojantis. 95 paveikslas, in parodytas horizontaliai išsikišantis cilindrinis paviršius.
Ant cilindrinių ir kūginių paviršių duotus taškus yra sukonstruoti per juos einančių generatorių pagalba. Linijos ant paviršių, pavyzdžiui, linija aį 95 skaičių, in arba horizontaliai h 95 paveiksle, a, b, statomi naudojant atskirus šioms linijoms priklausančius taškus.
95 pav. – Kūginiai ir cilindriniai paviršiai
Liemens paviršiai
Liemens paviršius yra paviršius, sudarytas iš tiesios generatrix l, savo judėjimo metu visose padėtyse paliesdamas tam tikrą erdvinę kreivę t, paskambino grįžtamasis kraštas(96 pav.). Grįžtamoji briauna visiškai apibrėžia liemenį ir yra geometrinė paviršiaus apibrėžimo dalis. Algoritminė dalis yra generatorių liesties su smaigalio krašto nuoroda.
Kūginis paviršius yra ypatingas liemens atvejis su grįžtamuoju kraštu t išsigimęs į tašką S- kūginio paviršiaus viršus. Cilindrinis paviršius yra ypatingas liemens atvejis, kurio smaigalio kraštas yra taškas begalybėje.
96 paveikslas – liemens paviršius
Briaunuoti paviršiai
Briaunuotiems paviršiams priskiriami paviršiai, susidarę pasislinkus tiesiajai generatrix l išilgai nutrūkusios linijos m. Tačiau jei vienas taškas S generatrix yra nejudanti, sukuriamas piramidinis paviršius (97 pav.), jei generatrix yra lygiagreti tam tikrai krypčiai judant S, tada sukuriamas prizminis paviršius (98 pav.).
Briaunuotų paviršių elementai yra: viršūnė S(prie prizminio paviršiaus jis yra begalybėje), veidas (plokštumos dalis, kurią riboja viena kreiptuvo dalis m ir kraštutinės generatrix padėties jos atžvilgiu l) ir briauna (gretimų paviršių susikirtimo linija).
Piramidės paviršiaus determinantas apima viršūnę S, pro kuriuos praeina generatoriai ir kreiptuvai: l" ~ S; l^ t.
Prizminio paviršiaus determinantas, išskyrus kreiptuvą t, yra kryptis S, kuriam lygiagretūs visi generatoriai l paviršiai: l||S; l^ t.
97 paveikslas – piramidinis paviršius
98 pav. Prizminis paviršius
Uždaryti briaunoti paviršiai, sudaryti iš tam tikro skaičiaus (mažiausiai keturių) veidų, vadinami daugiakampiais. Tarp daugiakampių išskiriama taisyklingųjų daugiakampių grupė, kurios visi paviršiai yra taisyklingi ir sutampantys daugiakampiai, o daugiakampiai kampai viršūnėse yra išgaubti ir juose yra tas pats numeris veidai. Pavyzdžiui: šešiakampis – kubas (99 pav., a), tetraedras – taisyklingas keturkampis (99 pav., 6) oktaedras – daugiakampis (99 pav., in). Kristalai turi įvairių daugiasluoksnių formų.
99 paveikslas – daugiakampis
Piramidė- daugiakampis, kurio pagrinde yra savavališkas daugiakampis, o šoniniai paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne S.
Sudėtingame brėžinyje piramidė apibrėžiama jos viršūnių ir briaunų projekcijomis, atsižvelgiant į jų matomumą. Krašto matomumas nustatomas naudojant konkuruojančius taškus (100 pav.).
100 pav. – Krašto matomumo nustatymas naudojant konkuruojančius taškus
Prizmė- daugiakampis, kurio pagrindas yra du vienodi ir lygiagretūs daugiakampiai, o šoniniai paviršiai yra lygiagrečiai. Jei prizmės briaunos statmenos pagrindo plokštumai, tokia prizmė vadinama tiesia linija. Jei prizmės briaunos yra statmenos bet kuriai projekcijos plokštumai, tai jos šoninis paviršius vadinamas projektuojančiu. 101 paveiksle pavaizduotas sudėtingas tiesios keturkampės prizmės su horizontaliai išsikišusiu paviršiumi brėžinys.
101 pav. – Kompleksinis tiesios keturkampės prizmės su horizontaliai išsikišusiu paviršiumi brėžinys
Dirbdami su sudėtingu daugiakampio brėžiniu, turite nubrėžti linijas ant jo paviršiaus, o kadangi linija yra taškų rinkinys, jūs turite mokėti statyti taškus ant paviršiaus.
Bet kuris briaunoto paviršiaus taškas gali būti sukonstruotas naudojant generatrix, einantį per šį tašką. Paveiksle 100 veide ACS pastatytas taškas M generatoriaus pagalba S-5.
Sraigtiniai paviršiai
Sraigtiniai paviršiai yra tie, kurie susidaro spiralinio tiesinio generatoriaus judėjimo metu. Taisyti spiraliniai paviršiai vadinami helioidų.
Tiesi spiralė susidaro judant tiesinei generatrix i išilgai dviejų kreiptuvų: spiralės t ir jo ašys i; generuojant l kerta sraigtinę ašį stačiu kampu (102 pav., a). Tiesi spiralė naudojama staklių spiraliniams laiptams, varžtams, taip pat galios sriegiams sukurti.
Pasviręs sraigtasparnis susidaro generatrix judant išilgai sraigtinės kreiptuvo t ir jo ašys i kad generatorius l kerta ašį i pastoviu kampu φ, ne stačiu kampu, ty bet kurioje padėtyje generatrix l lygiagrečiai vienai iš kreipiamojo kūgio generatricų, kurios kampas viršūnėje lygus 2φ (102 pav., b). Nuožulnios spiralės riboja sriegių paviršius.
102 pav. – Helicoids
Revoliucijos paviršiai
Revoliucijos paviršiai apima paviršius, susidariusius sukantis linijai l aplink tiesią liniją i atstovaujanti sukimosi ašį. Jie gali būti valdomi, pavyzdžiui, sukimosi kūgio arba cilindro, ir netiesiniai arba kreiviniai, pavyzdžiui, rutulys. Revoliucijos paviršiaus determinantas apima generatrix l ir ašis i . Kiekvienas generatoriaus taškas sukimosi metu apibūdina apskritimą, kurio plokštuma yra statmena sukimosi ašiai. Tokie sukimosi paviršiaus apskritimai vadinami paralelėmis. Didžiausia iš paralelių vadinama pusiaujo. Ekvatorius.nusako horizontalų paviršiaus kontūrą, jei i _|_ P 1 . Šiuo atveju paralelės yra šio paviršiaus horizontalės.
Apsisukimo paviršiaus kreivės, susidariusios dėl paviršiaus susikirtimo su plokštumomis, einančiomis per sukimosi ašį, vadinamos dienovidiniai. Visi vieno paviršiaus dienovidiniai yra kongruentiški. Priekinis dienovidinis vadinamas pagrindiniu dienovidiniu; jis apibrėžia revoliucijos paviršiaus frontalinę kontūrą. Profilio meridianas nustato sukimosi paviršiaus profilio kontūrą.
Patogiausia tašką statyti ant lenktų sukimosi paviršių naudojant paviršiaus paraleles. 103 paveikslas taškas M pastatytas ant lygiagretės h 4 .
103 paveikslas – taško pastatymas ant lenkto paviršiaus
Revoliucijos paviršiai rado daugiausiai platus pritaikymas technologijose. Jie riboja daugumos inžinerinių dalių paviršius.
Kūginis sukimosi paviršius susidaro sukantis tiesia linija i aplink su juo susikertančią tiesę – ašį i(104 pav., a). Taškas M ant paviršiaus yra pastatytas naudojant generatrix l ir paralelės h.Šis paviršius taip pat vadinamas sukimosi kūgiu arba dešiniuoju apskritu kūgiu.
Sukant tiesią liniją susidaro cilindrinis apsisukimo paviršius l aplink lygiagrečią ašį i(104 pav., b).Šis paviršius taip pat vadinamas cilindru arba dešiniuoju apskritu cilindru.
Sfera susidaro sukant apskritimą aplink jos skersmenį (104 pav. in). Taškas A rutulio paviršiuje priklauso pagrindiniam dienovidiniam f, taškas AT- pusiaujas h, taškas M pastatytas ant pagalbinės lygiagretės h".
104 pav. Apsisukimo paviršių susidarymas
Toras susidaro sukant apskritimą arba jo lanką aplink ašį, esančią apskritimo plokštumoje. Jei ašis yra suformuotame apskritime, toks toras vadinamas uždaru (105 pav., a). Jei sukimosi ašis yra už apskritimo ribų, toks toras vadinamas atviru (105 pav., b). Atviras toras dar vadinamas žiedu.
105 pav. – Toro susidarymas
Apsisukimo paviršius gali sudaryti ir kitos antros eilės kreivės. Revoliucijos elipsoidas (106 pav., a) susidaro elipsei sukantis aplink vieną iš jos ašių; revoliucijos paraboloidas (106 pav., b) - parabolės sukimasis aplink savo ašį; vieno lapo revoliucijos hiperboloidas (106 pav., in) susidaro hiperbolei sukantis apie įsivaizduojamą ašį ir yra dviejų lakštų (106 pav., G) – hiperbolės sukimasis aplink realiąją ašį.
106 pav. Apsisukimo paviršių susidarymas pagal antros eilės kreives
Bendru atveju paviršiai vaizduojami kaip neapriboti generuojančių linijų sklidimo kryptimi (žr. 97, 98 pav.). Dėl sprendimų konkrečias užduotis ir gavimas geometrines figūras apsiriboja pjovimo plokštumais. Pavyzdžiui, norint gauti apskritą cilindrą, reikia apriboti cilindrinio paviršiaus pjūvį iškirptomis plokštumomis (žr. 104 pav. b). Dėl to gauname jo viršutinę ir apatinę bazes. Jei pjūvio plokštumos yra statmenos sukimosi ašiai, cilindras bus tiesus, jei ne, cilindras bus pasviręs.
Norėdami gauti apskritą kūgį (žr. 104 pav., a), reikia pjauti išilgai viršūnės ir už jos ribų. Jei cilindro pagrindo pjūvio plokštuma yra statmena sukimosi ašiai, kūgis bus tiesus, o jei ne, jis bus pasviręs. Jei abi pjūvio plokštumos nepraeina per viršūnę, kūgis bus nupjautas.
Naudodami pjovimo plokštumą galite gauti prizmę ir piramidę. Pavyzdžiui, šešiakampė piramidė bus tiesi, jei visos jos briaunos turi vienodą nuolydį į pjūvio plokštumą. Kitais atvejais jis bus įstrižas. Jei tai padaroma Su apdailos plokštumų pagalba ir nei viena nepraeina per viršų - piramidė nupjauta.
Prizmę (žr. 101 pav.) galima gauti apribojant prizminio paviršiaus dalį dviem pjūvio plokštumomis. Jei pjūvio plokštuma yra statmena kraštams, pavyzdžiui, aštuonkampė prizmė, ji yra tiesi, jei ne statmena, tai pasvirusi.
Pasirinkus tinkamą pjovimo plokštumų padėtį, galima gauti įvairių formų geometrinių figūrų, priklausomai nuo sprendžiamo uždavinio sąlygų.
Stereometrija
Abipusis linijų ir plokštumų išdėstymas
Kosmose
Tiesių ir plokštumų lygiagretumas
Vadinamos dvi erdvės linijos lygiagrečiai jei jie guli toje pačioje plokštumoje ir nesikerta.
Linija ir plokštuma vadinamos lygiagrečiai jei jie nesusikerta.
Dvi plokštumos vadinamos lygiagrečiai jei jie nesusikerta.
Vadinamos tiesės, kurios nesikerta ir nėra vienoje plokštumoje kryžminimasis .
Tiesės ir plokštumos lygiagretumo ženklas. Jeigu plokštumai nepriklausanti tiesė yra lygiagreti kuriai nors tos plokštumos tiesei, tai ji lygiagreti ir pačiai plokštumai.
Lygiagrečių plokštumų ženklas. Jei dvi susikertančios vienos plokštumos tiesės yra atitinkamai lygiagrečios dviem kitos plokštumos tiesėms, tai šios plokštumos yra lygiagrečios.
Susikertančių linijų ženklas. Jei viena iš dviejų tiesių yra plokštumoje, o kita kerta šią plokštumą taške, kuris nepriklauso pirmajai tiesei, tada šios tiesės susikerta.
Lygiagrečių tiesių ir lygiagrečių plokštumų teorema.
1. Dvi tiesės, lygiagrečios trečiajai tiesei, yra lygiagrečios.
2. Jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių kerta plokštumą, tai kita tiesė kerta šią plokštumą.
3. Per tašką, esantį už duotosios tiesės, galima nubrėžti tiesę, lygiagrečią duotai tiesei, ir tik vieną.
4. Jei tiesė lygiagreti kiekvienai iš dviejų susikertančių plokštumų, tai ji lygiagreti jų susikirtimo linijai.
5. Jeigu dvi lygiagrečias plokštumas kerta trečioji plokštuma, tai susikirtimo tiesės yra lygiagrečios.
6. Per tašką, esantį ne duotoje plokštumoje, galima nubrėžti plokštumą, lygiagrečią duotajai, ir tik vieną.
7. Dvi plokštumos, lygiagrečios trečiajai, yra lygiagrečios viena kitai.
8. Tarp lygiagrečių plokštumų uždarytų lygiagrečių tiesių atkarpos yra lygios.
Kampai tarp linijų ir plokštumų
Kampas tarp linijos ir plokštumos vadinamas kampas tarp tiesės ir jos projekcijos į plokštumą (kampas 1 pav.).
Kampas tarp pasvirusių linijų yra kampas tarp susikertančių tiesių, lygiagrečių atitinkamoms pasvirimo linijoms.
dvikampis kampas Vadinama figūra, sudaryta iš dviejų pusiau plokštumų su bendra tiese. Pusinės plokštumos vadinamos veidai , tiesi linija kraštas dvikampis kampas.
Linijinis kampas dvikampis kampas – tai kampas tarp pustiesių, priklausančių dvibriaunio kampo paviršiams, išeinančių iš vieno taško briaunoje ir statmenos kraštui (kampas 2 pav.).
Dvikampio kampo laipsnis (radianas) yra lygus jo tiesinio kampo laipsniui (radianui).
Tiesių ir plokštumų statmenumas
Dvi eilutės vadinamos statmenai jei jie susikerta stačiu kampu.
Tiesė, kuri kerta plokštumą, vadinama statmenai ši plokštuma, jei ji statmena bet kuriai plokštumos, einančios per šios tiesės ir plokštumos susikirtimo tašką, tiesei.
Dvi plokštumos vadinamos statmenai , jei susikerta, jie sudaro stačiuosius dvikampius kampus.
Tiesės ir plokštumos statmenumo ženklas. Jei tiesė, kertanti plokštumą, yra statmena dviem toje plokštumoje susikertančioms tiesėms, tai ji yra statmena plokštumai.
Dviejų plokštumų statmenumo ženklas. Jei plokštuma eina per tiesę, statmeną kitai plokštumai, tai šios plokštumos yra statmenos.
Teoremos apie statmenas tieses ir plokštumas.
1. Jei plokštuma yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji yra statmena ir kitai.
2. Jei dvi tiesės yra statmenos tai pačiai plokštumai, tai jos yra lygiagrečios.
3. Jei tiesė yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių plokštumų, tai ji yra statmena ir kitai.
4. Jei dvi plokštumos yra statmenos tai pačiai tiesei, tai jos yra lygiagrečios.
Statmenas ir įstrižas
Teorema. Jei iš vieno taško, esančio už plokštumos, nubrėžtos statmenos ir įstrižos linijos, tada:
1) pasvirieji, turintys lygias projekcijas, yra vienodi;
2) iš dviejų pasvirusių yra didesnė ta, kurios projekcija didesnė;
3) lygios įstrižai turi vienodas projekcijas;
4) iš dviejų projekcijų ta, kuri atitinka didesnį nuolydį, yra didesnė.
Trijų statmenų teorema. Kad plokštumoje esanti tiesė būtų statmena pasvirusiajai, būtina ir pakanka, kad ši tiesė būtų statmena pasvirusios projekcijai (3 pav.).
Teorema apie daugiakampio stačiakampio projekcijos į plokštumą plotą. Stačiakampio daugiakampio projekcijos į plokštumą plotas yra lygus daugiakampio ploto ir kampo tarp daugiakampio plokštumos ir projekcijos plokštumos kosinuso sandaugai.
Statyba.
1. Lėktuve a nubrėžti tiesią liniją a.
3. Plokštumoje b per tašką BET nubrėžkime tiesią liniją b, lygiagrečiai linijai a.
4. Nutiesta tiesi linija b lygiagrečiai plokštumai a.
Įrodymas. Remiantis tiesės ir plokštumos lygiagretumu, tiesė b lygiagrečiai plokštumai a, nes ji lygiagreti linijai a priklausantis lėktuvui a.
Studijuoti. Problema turi begalinį sprendimų skaičių nuo linijos a lėktuve a pasirenkamas savavališkai.
2 pavyzdys Nustatykite, kokiu atstumu taškas yra nuo plokštumos BET jei tiesus AB kerta plokštumą 45º kampu, atstumu nuo taško BET iki taško AT, priklausantis plokštumai, yra lygus cm?
Sprendimas. Padarykime piešinį (5 pav.):
AC- statmenai plokštumai a, AB- pasviręs, kampas ABC- kampas tarp linijos AB ir lėktuvas a. Trikampis ABC- stačiakampis kaip AC- statmenai. Norimas atstumas nuo taško BETį lėktuvą – tai koja AC taisyklingas trikampis. Žinodami kampą ir hipotenuzę cm, randame koją AC:
Atsakymas: 3 cm
3 pavyzdys Nustatykite, kokiu atstumu nuo lygiašonio trikampio plokštumos yra 13 cm atstumu nuo kiekvienos trikampio viršūnės esantis taškas, jei trikampio pagrindas ir aukštis yra po 8 cm?
Sprendimas. Padarykime piešinį (6 pav.). Taškas S toliau nuo taškų BET, AT ir NUOį tą patį atstumą. Taip linkęs SA, SB ir SC lygus, TAIP- bendras šių pasvirusių statmenų. Pagal įstrižąją ir projekcijos teoremą AO = BO = CO.
Taškas O- apie trikampį apibrėžto apskritimo centras ABC. Raskime jo spindulį:
kur saulė- bazė;
REKLAMA yra nurodyto lygiašonio trikampio aukštis.
Trikampio kraštinių radimas ABC iš stačiojo trikampio ABD pagal Pitagoro teoremą:
Dabar randame OV:
Apsvarstykite trikampį SOB: SB= 13 cm, OV= = 5 cm Raskite statmens ilgį TAIP pagal Pitagoro teoremą:
Atsakymas: 12 cm
4 pavyzdys Duotos lygiagrečios plokštumos a ir b. Per tašką M, kuris nepriklauso nė vienam iš jų, brėžiamos tiesios linijos a ir b, kuris kryžius a taškuose BET 1 ir AT 1 ir lėktuvas b- taškuose BET 2 ir AT 2. Rasti BET 1 AT 1, jei tai žinoma MA 1 = 8 cm, BET 1 BET 2 = 12 cm, BET 2 AT 2 = 25 cm.
Sprendimas. Kadangi sąlyga nenurodo, kaip taškas yra abiejų plokštumų atžvilgiu M, tada galimi du variantai: (7 pav., a) ir (7 pav., b). Panagrinėkime kiekvieną iš jų. Dvi susikertančios linijos a ir b apibrėžti plokštumą. Ši plokštuma kerta dvi lygiagrečias plokštumas a ir b išilgai lygiagrečių linijų BET 1 AT 1 ir BET 2 AT 2 pagal 5 teoremą lygiagrečiose tiesėse ir lygiagrečiose plokštumose.
trikampiai MA 1 AT 1 ir MA 2 AT 2 yra panašūs (kampai BET 2 MV 2 ir BET 1 MV 1 - vertikalus, kampai MA 1 AT 1 ir MA 2 AT 2 - vidinis kryžius, gulintis lygiagrečiomis linijomis BET 1 AT 1 ir BET 2 AT 2 ir sekantas BET 1 BET 2). Iš trikampių panašumo išplaukia kraštinių proporcingumas:
A variantas):
b variantas):
Atsakymas: 10 cm ir 50 cm.
5 pavyzdys Per tašką BET lėktuvas g tiesioginis AB formuojant kampą su plokštuma a. Per tiesia linija AB nupieštas lėktuvas r, formuojantis su plokštuma g kampas b. Raskite kampą tarp linijos projekcijos ABį lėktuvą g ir lėktuvas r.
Sprendimas. Padarykime piešinį (8 pav.). Iš taško AT nuleiskite statmeną plokštumai g. Tiesinis dvikampis kampas tarp plokštumų g ir r yra kampas REKLAMA DBC, remiantis tiesės ir plokštumos statmenumu, nes ir Remiantis plokštumų statmenumu, plokštuma r statmena trikampio plokštumai DBC, nes jis eina per liniją REKLAMA. Mes sukonstruojame norimą kampą, nuleisdami statmeną nuo taško NUOį lėktuvą r, pažymėkite jį Raskite šio stačiojo trikampio kampo sinusą AŠ PATS. Pristatome pagalbinį segmentą a = saulė. Iš trikampio ABC: Iš trikampio karinis jūrų laivynas rasti
Tada reikiamas kampas
Atsakymas:
Užduotys skirtos savarankiškas sprendimas
I lygiu
1.1. Per tašką nubrėžkite liniją, statmeną dviem nurodytoms pasvirimo linijoms.
1.2. Nustatykite, kiek skirtingų plokštumų galima nubrėžti:
1) per tris skirtingus taškus;
2) per keturis skirtingus taškus, iš kurių trys nėra toje pačioje plokštumoje?
1.3. per trikampio viršūnes ABC, esantis vienoje iš dviejų lygiagrečių plokštumų, nubrėžiamos lygiagrečios linijos, kurios taškuose kerta antrąją plokštumą BET 1 , AT 1 , NUO vienas . Įrodykite, kad trikampiai yra lygūs ABC ir BET 1 AT 1 NUO 1 .
1.4. Nuo viršaus BET stačiakampis ABCD pastatytas statmenai ESUį savo plokštumą.
1) įrodyti, kad trikampiai MBC ir MDC- stačiakampis;
2) nurodykite tarp segmentų MB, MC, MD ir MA didžiausio ir mažiausio ilgio segmentai.
1.5. Vieno dvikampio kampo paviršiai yra atitinkamai lygiagrečios kito paviršiams. Nustatykite, koks yra ryšys tarp šių dvikampių kampų verčių.
1.6. Raskite dvisienio kampo reikšmę, jei atstumas nuo taško, paimto iš vienos pusės, iki briaunos yra 2 kartus didesnis atstumas nuo taško iki antrojo veido plokštumos.
1.7. Iš taško, atskirto nuo plokštumos atstumu, nubrėžiamos dvi vienodos pasvirusios linijos, sudarančios 60º kampą. Pasvirusių plokštumų projekcijos yra viena kitai statmenos. Raskite įstrižų ilgius.
1.8. Nuo viršaus AT kvadratas ABCD pastatytas statmenai BEį aikštės plokštumą. Trikampio plokštumos pasvirimo kampas ACEį aikštės plokštumą yra j, aikštės pusė yra a ACE.
II lygis
2.1. Per tašką, kuris nepriklauso nė vienai iš dviejų susikertančių tiesių, nubrėžkite liniją, kuri kerta abi nurodytas linijas.
2.2. Lygiagrečios linijos a, b ir Su negulėkite toje pačioje plokštumoje. Per tašką BET tiesioje linijoje a nubrėžtas statmenai linijoms b ir Su, susikerta juos atitinkamai taškuose AT ir NUO. Įrodykite, kad linija saulė statmenos tiesioms linijoms b ir Su.
2.3. Per viršų BET taisyklingas trikampis ABC lygiagrečiai nubrėžta plokštuma saulė. Trikampės kojos AC= 20 cm, saulė\u003d 15 cm. Vienos iš kojų projekcija plokštumoje yra 12 cm. Raskite hipotenuzės projekciją.
2.4. Viename iš dvikampio kampo, lygaus 30º, paviršių yra taškas M. Atstumas nuo jo iki kampo krašto 18 cm Raskite atstumą nuo taško projekcijos M antrame krašte iki pirmojo krašto.
2.5. Linija baigiasi AB priklauso dvikampio kampo, lygaus 90º, paviršiams. Atstumas nuo taškų BET ir AT iki krašto yra atitinkamai vienodi AA 1 = 3 cm, BB 1 \u003d 6 cm, atstumas tarp taškų krašte Raskite atkarpos ilgį AB.
2.6. Iš taško, kurį nuo plokštumos skiria atstumas a, nubrėžtos dvi pasvirusios, su plokštuma sudaro 45º ir 30º kampus, o tarpusavyje - 90º kampą. Raskite atstumą tarp šlaitų pagrindų.
2.7. Trikampio kraštinės yra 15 cm, 21 cm ir 24 cm Taškas M nutolęs nuo trikampio plokštumos 73 cm ir yra tokiu pat atstumu nuo jo viršūnių. Raskite šį atstumą.
2.8. Iš centro O apskritimas, įrašytas į trikampį ABC, statmena trikampio plokštumai OM. Raskite atstumą nuo taško Mį trikampio kraštines, jei AB = BC = 10 cm AC= 12 cm, OM= 4 cm.
2.9. Atstumai nuo taško M stačiojo kampo kraštinės ir viršūnė yra atitinkamai 4 cm, 7 cm ir 8 cm. Raskite atstumą nuo taško Mį stačiojo kampo plokštumą.
2.10. Per bazę AB lygiašonis trikampis ABC plokštuma nubrėžta kampu bį trikampio plokštumą. Viršūnė NUO per atstumą pašalintas iš lėktuvo a. Raskite trikampio plotą ABC jei pagrindas AB lygiašonis trikampis yra lygus jo aukščiui.
III lygis
3.1. Stačiakampio išdėstymas ABCD su šalimis a ir b sulankstytas įstrižai BD kad trikampių plokštumos blogai ir BCD tapti viena kitai statmenos. Raskite atkarpos ilgį AC.
3.2. Dvi stačiakampės trapecijos, kurių kampai yra 60º, yra statmenose plokštumose ir turi didesnį bendrą pagrindą. Didžiosios šoninės kraštinės yra 4 cm ir 8 cm Raskite atstumą tarp tiesių viršūnių ir trapecijos bukųjų kampų viršūnių, jei jų smailiųjų kampų viršūnės sutampa.
3.3 Duodamas kubas ABCDA 1 B 1 C 1 D vienas . Raskite kampą tarp linijos CD 1 ir lėktuvas bdc 1 .
3.4. ant krašto AB Kuba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 taškas paimtas R yra šio krašto vidurys. Sukurkite kubo atkarpą plokštuma, einančia per taškus C 1 PD ir suraskite šios sekcijos plotą, jei kubo kraštas yra a.
3.5. Kitoje pusėje REKLAMA stačiakampis ABCD nupieštas lėktuvas a kad įstrižainė BD su šia plokštuma sudaro 30 laipsnių kampą. Raskite kampą tarp stačiakampio plokštumos ir plokštumos a, jei AB = a, AD=b. Nustatykite, koks santykis a ir b problema turi sprendimą.
3.6. Raskite taškų, esančių vienodu atstumu nuo tiesių, apibrėžtų trikampio kraštinėmis, vietą.
Prizmė. Lygiagretaus vamzdžio
prizmė vadinamas daugiakampiu, kurio dvi briaunos yra lygios n kampams (pagrindas) , esantis lygiagrečiose plokštumose, o likę n paviršiai yra lygiagretainiai (šoniniai kraštai) . Šoninis šonkaulis prizmė yra šoninio paviršiaus pusė, kuri nepriklauso pagrindui.
Vadinama prizmė, kurios šoninės briaunos yra statmenos pagrindų plokštumoms tiesiai prizmė (1 pav.). Jeigu šoninės briaunos nėra statmenos pagrindų plokštumoms, vadinasi prizmė įstrižas . Teisingai Prizmė yra tiesi prizmė, kurios pagrindai yra taisyklingi daugiakampiai.
Aukštis prizmė vadinama atstumu tarp pagrindų plokštumų. Įstrižainė Prizmė yra atkarpa, jungianti dvi viršūnes, kurios nepriklauso tam pačiam paviršiui. įstrižainė Vadinamas prizmės pjūvis plokštumos, einančios per du šoninius kraštus, nepriklausančius tam pačiam paviršiui. Statmenas pjūvis vadinama prizmės pjūviu plokštuma, statmena prizmės šoniniam kraštui.
Šoninio paviršiaus plotas prizmė yra visų šoninių paviršių plotų suma. Visas paviršiaus plotas vadinama visų prizmės paviršių plotų suma (t. y. šoninių paviršių ir pagrindų plotų suma).
Savavališkai prizmei formulės yra teisingos:
kur l yra šoninio šonkaulio ilgis;
H- aukštis;
P
K
S pusė
S pilnas
S pagrindinis yra pagrindų plotas;
V yra prizmės tūris.
Tiesiai prizmei galioja šios formulės:
kur p- pagrindo perimetras;
l yra šoninio šonkaulio ilgis;
H- aukštis.
Lygiagretaus vamzdžio Vadinama prizmė, kurios pagrindas yra lygiagretainis. Vadinamas gretasienis, kurio šoninės briaunos yra statmenos pagrindams tiesioginis (2 pav.). Jeigu šoninės briaunos nėra statmenos pagrindams, vadinasi gretasienis įstrižas . Vadinamas stačiakampis gretasienis, kurio pagrindas yra stačiakampis stačiakampis. Vadinamas stačiakampis gretasienis, kurio visos briaunos lygios kubas.
Vadinami gretasienio paviršiai, neturintys bendrų viršūnių priešingas . Vadinami briaunų ilgiai, išeinantys iš vienos viršūnės matavimai gretasienis. Kadangi dėžutė yra prizmė, jos pagrindiniai elementai apibrėžiami taip pat, kaip ir prizmėms.
Teoremos.
1. Gretasienio įstrižainės susikerta viename taške ir dalija jį pusiau.
2. Stačiakampio gretasienio įstrižainės ilgio kvadratas yra lygus trijų jo matmenų kvadratų sumai:
3. Visos keturios stačiakampio gretasienio įstrižainės yra lygios viena kitai.
Savavališkam gretasieniui galioja šios formulės:
kur l yra šoninio šonkaulio ilgis;
H- aukštis;
P yra statmenos pjūvio perimetras;
K– statmenos pjūvio plotas;
S pusė yra šoninio paviršiaus plotas;
S pilnas yra bendras paviršiaus plotas;
S pagrindinis yra pagrindų plotas;
V yra prizmės tūris.
Dešiniajam gretasieniui galioja šios formulės:
kur p- pagrindo perimetras;
l yra šoninio šonkaulio ilgis;
H yra dešiniojo gretasienio aukštis.
Stačiakampio gretasienio atveju galioja šios formulės:
kur p- pagrindo perimetras;
H- aukštis;
d- įstrižainė;
a,b,c– gretasienio išmatavimai.
Teisingos kubo formulės yra šios:
kur a yra šonkaulio ilgis;
d yra kubo įstrižainė.
1 pavyzdys Stačiakampio stačiakampio įstrižainė yra 33 dm, o jos išmatavimai susieti kaip 2:6:9. Raskite stačiakampio išmatavimus.
Sprendimas. Norėdami rasti gretasienio matmenis, naudojame formulę (3), t.y. tai, kad stačiakampio kampo kvadratas yra lygus jo matmenų kvadratų sumai. Pažymėti k proporcingumo koeficientas. Tada gretasienio matmenys bus lygūs 2 k, 6k ir 9 k. Problemos duomenims rašome formulę (3):
Sprendžiant šią lygtį k, mes gauname:
Vadinasi, gretasienio matmenys yra 6 dm, 18 dm ir 27 dm.
Atsakymas: 6 dm, 18 dm, 27 dm.
2 pavyzdys Raskite pasvirusios trikampės prizmės, kurios pagrindas yra lygiakraštis trikampis, kurio kraštinė yra 8 cm, tūrį, jei šoninė briauna lygi pagrindo kraštinei ir yra pasvirusi 60º kampu į pagrindą.
Sprendimas . Padarykime piešinį (3 pav.).
Norėdami rasti pasvirusios prizmės tūrį, turite žinoti jos pagrindo plotą ir aukštį. Šios prizmės pagrindo plotas yra lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė yra 8 cm, plotas. Apskaičiuokime:
Prizmės aukštis yra atstumas tarp jos pagrindų. Nuo viršaus BET 1 viršutinio pagrindo nuleidžiame statmeną apatinio pagrindo plokštumai BET 1 D. Jo ilgis bus prizmės aukštis. Apsvarstykite D BET 1 REKLAMA: kadangi tai yra šoninio šonkaulio pasvirimo kampas BET 1 BETį bazinę plokštumą BET 1 BET= 8 cm.. Iš šio trikampio randame BET 1 D:
Dabar apskaičiuojame tūrį pagal formulę (1):
Atsakymas: 192 cm3.
3 pavyzdys Taisyklingos šešiakampės prizmės šoninis kraštas yra 14 cm. Didžiausios įstrižainės pjūvio plotas yra 168 cm 2. Raskite bendrą prizmės paviršiaus plotą.
Sprendimas. Padarykime piešinį (4 pav.)
Didžiausia įstrižainė dalis yra stačiakampis AA 1 DD 1 , nuo įstrižainės REKLAMA taisyklingas šešiakampis ABCDEF yra didžiausias. Norint apskaičiuoti prizmės šoninio paviršiaus plotą, būtina žinoti pagrindo kraštą ir šoninio briaunelės ilgį.
Žinodami įstrižainės pjūvio (stačiakampio) plotą, randame pagrindo įstrižainę.
Nes tada
Nuo tada AB= 6 cm.
Tada pagrindo perimetras yra:
Raskite prizmės šoninio paviršiaus plotą:
Įprasto šešiakampio, kurio kraštinė yra 6 cm, plotas yra:
Raskite bendrą prizmės paviršiaus plotą:
Atsakymas:
4 pavyzdys Dešiniojo gretasienio pagrindas yra rombas. Įstrižainių pjūvių plotai yra 300 cm 2 ir 875 cm 2. Raskite gretasienio šoninio paviršiaus plotą.
Sprendimas. Padarykime piešinį (5 pav.).
Pažymėkite rombo kraštą a, rombo įstrižainės d 1 ir d 2, dėžutės aukštis h. Norint rasti tiesaus gretasienio šoninio paviršiaus plotą, pagrindo perimetrą reikia padauginti iš aukščio: (2 formulė). Bazinis perimetras p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, nes ABCD- rombas. H = AA 1 = h. Tai. Reikia surasti a ir h.
Apsvarstykite įstrižaines dalis. AA 1 SS 1 - stačiakampis, kurio viena kraštinė yra rombo įstrižainė AC = d 1 , antrasis šoninis kraštas AA 1 = h, tada
Panašiai ir skyrelyje BB 1 DD 1 gauname:
Naudodami lygiagretainio savybę, kad įstrižainių kvadratų suma būtų lygi visų jo kraštinių kvadratų sumai, gauname lygybę Gauname:
Iš pirmųjų dviejų lygybių išreiškiame ir pakeičiame trečiąja. Gauname: tada
1.3. Pasvirusioje trikampėje prizmėje statmenai šoniniam kraštui nubrėžta pjūvis, lygus 12 cm. Gautame trikampyje dvi kraštinės, kurių ilgis cm ir 8 cm, sudaro 45° kampą. Raskite prizmės šoninio paviršiaus plotą.
1.4. Dešiniojo gretasienio pagrindas yra rombas, kurio kraštinė yra 4 cm ir aštrus kampas 60°. Raskite gretasienio įstrižaines, jei šoninės briaunos ilgis yra 10 cm.
1.5. Dešiniojo gretasienio pagrindas yra kvadratas, kurio įstrižainė lygi cm. Gretasienio šoninis kraštas yra 5 cm. Raskite bendrą gretasienio paviršiaus plotą.
1.6. Pasvirusio gretasienio pagrindas yra stačiakampis, kurio kraštinės yra 3 cm ir 4 cm. Šoninė briauna lygi cm yra pasvirusi į pagrindo plokštumą 60 ° kampu. Raskite gretasienio tūrį.
1.7. Apskaičiuokite stačiakampio paviršiaus plotą, jei dvi briaunos ir įstrižainė, kylanti iš tos pačios viršūnės, yra atitinkamai 11 cm, cm ir 13 cm.
1.8. Nustatykite stačiakampio gretasienio formos akmeninės kolonos, kurios matmenys 0,3 m, 0,3 m ir 2,5 m, svorį, jei medžiagos savitasis svoris yra 2,2 g/cm3.
1.9. Raskite kubo įstrižainės pjūvio plotą, jei jo veido įstrižainė yra dm.
1.10. Raskite kubo tūrį, jei atstumas tarp dviejų jo viršūnių, kurios nėra tame pačiame paviršiuje, yra cm.
II lygis
2.1. Pasvirosios prizmės pagrindas yra lygiakraštis trikampis, kurio kraštinė cm.Šoninė briauna pasvirusi į pagrindo plokštumą 30° kampu. Raskite prizmės, einančios per šoninį kraštą, skerspjūvio plotą ir prizmės aukštį, jei žinoma, kad viena iš viršutinio pagrindo viršūnių yra projektuojama į apatinio pagrindo kraštinės vidurį.
2.2. Pasvirosios prizmės pagrindas yra lygiakraštis trikampis ABC, kurio kraštinė lygi 3 cm. Viršūnė A 1 projektuojama į trikampio ABC centrą. Šonkaulis AA 1 sudaro 45° kampą su pagrindine plokštuma. Raskite prizmės šoninio paviršiaus plotą.
2.3. Apskaičiuokite pasvirusios trikampės prizmės tūrį, jei pagrindo kraštinės yra 7 cm, 5 cm ir 8 cm, o prizmės aukštis lygus pagrindo trikampio apatiniam aukščiui.
2.4. Taisyklingos keturkampės prizmės įstrižainė yra pasvirusi į šoninį paviršių 30° kampu. Raskite pasvirimo kampą į pagrindinę plokštumą.
2.5. Tiesios prizmės pagrindas yra lygiašonė trapecija, kurios pagrindai yra 4 cm ir 14 cm, o įstrižainė 15 cm.. Du prizmės šoniniai paviršiai yra kvadratai. Raskite bendrą prizmės paviršiaus plotą.
2.6. Taisyklingosios šešiakampės prizmės įstrižainės yra 19 cm ir 21 cm Raskite jos tūrį.
2.7. Raskite stačiakampio gretasienio, kurio įstrižainė yra 8 dm ir sudaro 30° ir 40° kampus su šoniniais paviršiais, išmatavimus.
2.8. Tiesiojo gretasienio pagrindo įstrižainės yra 34 cm ir 38 cm, o šoninių paviršių plotai yra 800 cm 2 ir 1 200 cm 2. Raskite gretasienio tūrį.
2.9. Nustatykite stačiakampio, kurio šoninių paviršių, išeinančių iš vienos viršūnės, įstrižainės yra 4 cm ir 5 cm ir sudaro 60° kampą, tūrį.
2.10. Raskite kubo tūrį, jei atstumas nuo jo įstrižainės iki briaunos, kuri su juo nesikerta, yra mm.
III lygis
3.1. Taisyklingoje trikampėje prizmėje pjūvis nubrėžiamas per pagrindo šoną ir priešingos šoninės briaunos vidurį. Pagrindo plotas yra 18 cm2, o šoninio paviršiaus įstrižainė pasvirusi į pagrindą 60° kampu. Raskite pjūvio plotą.
3.2. Prizmės pagrindas yra kvadratas ABCD, kurio visos viršūnės yra vienodu atstumu nuo viršutinio pagrindo viršaus A 1. Kampas tarp šoninio krašto ir pagrindo plokštumos yra 60°. Pagrindo kraštinė 12 cm.. Sukonstruokite prizmės pjūvį per viršūnę C einančia plokštuma, statmena kraštinei AA 1, ir raskite jos plotą.
3.3. Tiesiosios prizmės pagrindas yra lygiašonė trapecija. Įstrižainės pjūvio plotas ir lygiagrečių šoninių paviršių plotas yra atitinkamai 320 cm 2 , 176 cm 2 ir 336 cm 2 . Raskite prizmės šoninio paviršiaus plotą.
3.4. Tiesios trikampės prizmės pagrindo plotas yra 9 cm 2, šoninių paviršių plotas yra 18 cm 2, 20 cm 2 ir 34 cm 2. Raskite prizmės tūrį.
3.5. Raskite stačiakampio įstrižaines, žinant, kad jo paviršių įstrižainės yra 11 cm, 19 cm ir 20 cm.
3.6. Stačiakampio gretasienio pagrindo įstrižainės su pagrindo kraštine ir gretasienio įstrižainės suformuoti kampai yra atitinkamai lygūs a ir b. Raskite gretasienio šoninio paviršiaus plotą, jei jo įstrižainė yra d.
3.7. Tos kubo dalies, kuri yra taisyklingas šešiakampis, plotas yra cm 2. Raskite kubo paviršiaus plotą.
Linija priklauso plokštumai, jei jis turi du bendrus taškus arba vieną bendrą tašką ir yra lygiagreti kokiai nors plokštumoje esančiai tiesei. Tegu brėžinyje plokštuma nurodoma dviem susikertančiomis tiesėmis. Šioje plokštumoje reikia nutiesti dvi tieses m ir n pagal šias sąlygas ( G(a b)) (4.5 pav.).
Sprendimas 1. Savavališkai nubrėžkite m 2, kadangi tiesė priklauso plokštumai, pažymėkite jos susikirtimo taškų projekcijas linijomis a ir b ir nustatykite jų horizontalias projekcijas, nubrėžkite m 1 per 1 1 ir 2 1.
2. Per tašką Į plokštumą nubrėžiame n 2 ║m 2 ir n 1 ║m 1.
Tiesė lygiagreti plokštumai jei ji lygiagreti bet kuriai plokštumoje esančiai tiesei.
Tiesės ir plokštumos sankirta. Yra trys tiesės ir plokštumos padėties projekcinių plokštumų atžvilgiu atvejai. Atsižvelgiant į tai, nustatomas linijos ir plokštumos susikirtimo taškas.
Pirmas atvejis
- tiesi linija ir plokštuma - projektavimo padėtis. Šiuo atveju brėžinyje yra susikirtimo taškas (abi jo projekcijos), tereikia jį pažymėti.
PAVYZDYS Brėžinyje plokštuma nurodoma pėdsakais Σ ( h 0 f0)– horizontaliai išsikišusi padėtis – ir tiesiai l- į priekį išsikišusi padėtis. Nustatykite jų susikirtimo tašką (4.6 pav.).
Brėžinyje jau yra susikirtimo taškas - K (K 1 K 2).
Antras atvejis- arba tiesi linija, arba plokštuma - išsikišimo padėties. Šiuo atveju vienoje iš projekcinių plokštumų jau yra susikirtimo taško projekcija, ji turi būti nurodyta, o antroje projekcijų plokštumoje ją reikia rasti pagal priklausymą.
PAVYZDŽIAI. Ant pav. 4.7, tačiau plokštuma pavaizduota su priekyje išsikišusios padėties pėdsakais ir tiesia linija l- bendra pozicija. Susikirtimo taško K 2 projekcija brėžinyje jau yra, o projekciją K 1 reikia rasti priklausant taškui K tiesei l. Ant
ryžių. 4.7, b yra plokštuma bendroje padėtyje, o tiesė m yra frontaliai, tada K 2 jau yra (sutampa su m 2), o K 1 reikia rasti iš sąlygos, kad taškas priklauso plokštumai. Norėdami tai padaryti, eikite per K
tiesi linija ( h- horizontaliai) guli plokštumoje.
Trečias atvejis- tiek tiesi, tiek plokštuma - bendros padėties. Šiuo atveju, norint nustatyti tiesės ir plokštumos susikirtimo tašką, reikia naudoti vadinamąjį tarpininką - projektavimo plokštumą. Norėdami tai padaryti, per tiesią liniją nubrėžiama pagalbinė sekantinė plokštuma. Ši plokštuma kerta nurodytą plokštumą išilgai linijos. Jei ši linija kerta tam tikrą tiesę, tada yra tiesės ir plokštumos susikirtimo taškas.
PAVYZDŽIAI. Ant pav. 4.8 plokštuma pavaizduota trikampiu ABC - bendroje padėtyje - ir tiesia linija l- bendra pozicija. Norint nustatyti susikirtimo tašką K, būtina per l Nubraižykite frontaliai projektuojančią plokštumą Σ, nubrėžkite Δ ir Σ susikirtimo liniją trikampyje (brėžinyje tai atkarpa 1.2), nustatykite K 1 ir pagal priklausymą - K 2. Tada nustatomas linijos matomumas l trikampio atžvilgiu konkuruojančiais taškais. P 1 taškai 3 ir 4 laikomi konkuruojančiais taškais. 4 taško projekcija matoma P 1, nes jo Z koordinatė yra didesnė nei taško 3, todėl projekcija l 1 nuo šio taško iki K 1 bus nematomas.
Konkuruojantys taškai ant P 2 yra taškas 1, kuris priklauso AB, ir taškas 5, kuris priklauso l. 1 taškas bus matomas, nes jo Y koordinatė yra didesnė nei taško 5, taigi ir tiesės projekcija l 2 iki K 2 yra nematomas.
Vieta
Ypatybė: jei tiesė, esanti ne tam tikroje plokštumoje, yra lygiagreti kuriai nors tiesei, esančiai šioje plokštumoje, tai ji lygiagreti duotajai plokštumai.
1. jei plokštuma eina per duotąją tiesę, lygiagrečią kitai plokštumai ir kerta šią plokštumą, tai plokštumų susikirtimo linija yra lygiagreti duotajai tiesei.
2. jei viena iš 2 tiesių yra lygiagreti duotajai, tai kita tiesė taip pat yra lygiagreti duotai plokštumai arba yra šioje plokštumoje.
LĖKTUVIŲ RYŠYS. LYGIALELIOS PLOKŠTUMOS
Vieta
1. plokštumos turi bent 1 bendrą tašką, t.y. susikerta tiesia linija
2. plokštumos nesikerta, t.y. neturi 1 bendro taško, tokiu atveju jie vadinami lygiagrečiais.
ženklas
jei 2 susikertančios 1 plokštumos tiesės yra atitinkamai lygiagrečios 2 kitos plokštumos tiesėms, tai šios plokštumos yra lygiagrečios.
Šventoji
1. jei 2 lygiagrečias plokštumas kerta 3, tai jų susikirtimo tiesės lygiagrečios
2. lygiagrečių tiesių atkarpos, uždarytos tarp lygiagrečių plokštumų, yra lygios.
LINĖS IR PLOKŠTUMOS STAPETUMUMAS. LINĖS IR PLOKŠTUMOS STAMETUMO ŽENKLAS.
Tiesiogiai naz statmenai jei jie susikerta<90.
Lemma: jei 1 iš 2 lygiagrečių tiesių yra statmena 3-ajai tiesei, tai kita tiesė taip pat yra statmena šiai tiesei.
Tiesi linija yra statmena plokštumai, jeigu jis statmenas bet kuriai tos plokštumos tiesei.
Teorema: jei 1 iš 2 lygiagrečių tiesių yra statmena plokštumai, tai kita tiesė taip pat yra statmena tai plokštumai.
Teorema: jei 2 tiesės yra statmenos plokštumai, tai jos lygiagrečios.
ženklas
Jei tiesė yra statmena 2 susikertančioms tiesėms, esančioms plokštumoje, tai ji yra statmena tai plokštumai.
Statmenas IR PAŽEIDIMAS
Sukonstruokime plokštumą ir plokštumai nepriklausančią m.A. Jų t.A nubrėžti tiesią liniją, statmeną plokštumai. Tiesės susikirtimo su plokštuma taškas žymimas H. Atkarpa AN yra statmena, nubrėžta iš taško A į plokštumą. T.N - statmens pagrindas. Paimkime plokštumą t.M, kuri nesutampa su H. Atkarpa AM yra įstrižinė linija, nubrėžta nuo taško A iki plokštumos. M - pasvirimo pagrindas. Segmentas MN - pasvirimo projekcija į plokštumą. Statmenas AH – atstumas nuo taško A iki plokštumos. Bet koks atstumas yra statmeno dalis.
Teorema apie 3 statmenis:
Tiesi linija, nubrėžta plokštumoje per pasvirusios plokštumos pagrindą, statmeną jos projekcijai į šią plokštumą, taip pat statmena pačiai pasvirusiajai.
KAMPAS TARP DEŠINĖS IR PLOKŠTUMOS
Kampas tarp linijos ir plokštuma yra kampas tarp šios linijos ir jos projekcijos plokštumoje.
DIHADRINIS KAMPAS. KAMPAS TARP PLOKTUMU
dvikampis kampas naz figūra, sudaryta iš tiesės ir 2 pusiau plokštumų su bendra riba a nepriklauso tai pačiai plokštumai.
riba a- dvikampis kraštas. Pusiau lėktuvai - dvikampio kampo paviršiai. Išmatuoti dvikampį kampą. Jo viduje reikia sukurti linijinį kampą. Pažymime tam tikrą tašką dvikampio kampo krašte ir iš šio taško nubrėžiame spindulį kiekviename paviršiuje, statmenai kraštui. Šių spindulių suformuotas kampas dvisienio kampo tiesinis gl. Dvikampio kampo viduje jų gali būti be galo daug. Visi jie yra vienodo dydžio.
DVIEJŲ PLOKTUČIŲ STAPETUMAS
Dvi susikertančios plokštumos statmenai, jei kampas tarp jų yra 90.
Ypatybė:
Jei 1 iš 2 plokštumų eina per tiesę, statmeną kitai plokštumai, tai tokios plokštumos yra statmenos.
POLIEDRALIAI
Daugiakampis- paviršius, sudarytas iš daugiakampių ir ribojantis tam tikrą geometrinį kūną. Aspektai yra daugiakampiai, sudarantys daugiakampį. Šonkauliai- kraštų šonai. Viršūnės- šonkaulių galai. Daugiakampio įstrižainė atgal segmentas, jungiantis 2 viršūnes, kurios nepriklauso 1 veidui. Plokštuma, kurios abiejose pusėse yra daugiakampio taškai, vadinama . pjovimo plokštuma. Bendroji daugiakampio dalis ir sekantinė sritis vadinama daugiakampio atkarpa. Daugiakampiai yra išgaubti ir įgaubti. Nazo daugiakampis išgaubtas, jei jis yra vienoje kiekvieno jo paviršiaus plokštumos pusėje (tetraedras, gretasienis, oktaedras). Išgaubtame daugiakampyje visų plokštumos kampų suma kiekvienoje jo viršūnėje yra mažesnė nei 360.
PRISM
Daugiakampis, sudarytas iš 2 lygiagrečių daugiakampių, esančių lygiagrečiose plokštumose, ir n – lygiagretainių prizmė.
Daugiakampiai A1A2..A(p) ir B1B2..B(p) – prizmių pagrindai. А1А2В2В1…- lygiagretainiai, A(p)A1B1B(p) – šoniniai kraštai. Segmentai A1B1, A2B2..A(p)B(p) – šoniniai šonkauliai. Priklausomai nuo daugiakampio, esančio po prizme, prizmė naz p-anglis. Statmenas, nubrėžtas iš bet kurio vieno pagrindo taško į kito pagrindo plokštumą, vadinamas aukščio. Jei prizmės šoninės briaunos statmenos pagrindui, tai prizmė - tiesiai, o jei ne statmenai - tada linkęs. Tiesios prizmės aukštis lygus jos šoninės briaunos ilgiui. Tiesioginis prizmanaz teisingas, jei jo pagrindas yra taisyklingi daugiakampiai, visi šoniniai paviršiai yra lygūs stačiakampiai.
LYGIAUSIA
ABCD//A1B1C1D1, AA1//BB1//SS1//DD1, AA1=BB1=SS1=DD1 (pagal lygiagrečių plokštumų savybę)
Lygiagretainis susideda iš 6 lygiagretainių. Lygiagrečios naz veidai. ABSD ir A1V1S1D1 - bazės, likę veidai vadinami pusėje. Taškai A B C D A1 B1 C1 D1 - viršūnės. Segmentai, jungiantys viršūnes šonkauliai. AA1, BB1, SS1, DD1 – šoniniai šonkauliai.
Gretasienio įstrižainė atgal segmentas, jungiantis 2 viršūnes, kurios nepriklauso 1 veidui.
Šventieji
1. Gretasienio priešingi paviršiai yra lygiagretūs ir lygūs. 2. Gretasienio įstrižainės susikerta viename taške ir padalija šį tašką pusiau.
PIRAMIDĖ
Apsvarstykite daugiakampį A1A2..A(n), tašką P, esantį ne šio daugiakampio plokštumoje. Sujungkime tašką P su daugiakampio viršūnėmis ir gaukime n trikampių: PA1A2, PA2A3….RA(p)A1.
Daugiakampis, sudarytas iš n kampo ir n trikampių virš piramidės. Poligonas - bazė. trikampiai - šoniniai kraštai. R - piramidės viršūnė. Segmentai А1Р, А2Р..А(p)Р – šoniniai šonkauliai. Priklausomai nuo daugiakampio, esančio pagrinde, piramidė vadinama p-anglis. Piramidės aukštis atgal statmeną, nubrėžtą iš viršūnės į pagrindo plokštumą. Piramidė vadinama teisinga, jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o aukštis yra pagrindo centre. Apotema yra taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis.
NUTRAUKTA PIRAMIDĖ
Apsvarstykite piramidę PA1A2A3A(n). nubrėžkite pjovimo plokštumą lygiagrečiai pagrindui. Ši plokštuma padalija mūsų piramidę į 2 dalis: viršutinė yra piramidė, panaši į šią, apatinė - nupjauta piramidė. Šoninis paviršius susideda iš trapecijos. Šoniniai šonkauliai jungia pagrindų viršūnes.
Teorema: taisyklingos nupjautinės piramidės šoninio paviršiaus plotas lygus pusės pagrindų ir apotemos perimetrų sumos sandaugai.
ĮRENGINIAI POLITOPAI
Išgaubtas daugiakampis vadinamas taisyklingu, jei visi jo paviršiai yra vienodi taisyklingi daugiakampiai ir kiekvienoje jo viršūnėje susilieja tiek pat briaunų. Įprasto daugiakampio pavyzdys yra kubas. Visi jo paviršiai yra lygūs kvadratai, o 3 briaunos susilieja kiekvienoje viršūnėje.
taisyklingas tetraedras sudarytas iš 4 lygiakraščių trikampių. Kiekviena viršūnė yra 3 trikampių viršūnė. Kiekvienos viršūnės plokščiųjų kampų suma yra 180.
Taisyklingas oktaedras Susideda iš 8 lygiakraščių trikampių. Kiekviena viršūnė yra 4 trikampių viršūnė. Plokštumos kampų suma kiekvienoje viršūnėje =240
Taisyklingas ikosaedras Susideda iš 20 lygiakraščių trikampių. Kiekviena viršūnė yra 5 viršūnės trikampis. Plokščių kampų suma kiekvienoje viršūnėje yra 300.
kubas sudarytas iš 6 kvadratų. Kiekviena viršūnė yra 3 kvadratų viršūnė. Kiekvienos viršūnės plokščiųjų kampų suma =270.
Taisyklingas dodekaedras Susideda iš 12 taisyklingų penkiakampių. Kiekviena viršūnė yra 3 taisyklingų penkiakampių viršūnė. Plokščių kampų suma kiekvienoje viršūnėje = 324.
Kitų įprastų daugiakampių tipų nėra.
CILINDRAS
Kūnas, apribotas cilindrinio paviršiaus ir dviejų apskritimų, kurių ribos yra L ir L1, vadinami cilindras. Apskritimai L ir L1 atgal cilindro pagrindai. Segmentai MM1, AA1 - generatoriai. Cilindrinio arba šoninio cilindro paviršiaus sudėties formavimas. Tiesi linija, jungianti O ir O1 naz bazių centrus cilindro ašis. Ilgio generavimas - cilindro aukštis. Pagrindo spindulys (r) yra cilindro spindulys.
Cilindrų sekcijos
Ašinis eina per ašį ir pagrindo skersmenį
Statmena ašiai
Cilindras yra revoliucijos kūnas. Jis gaunamas sukant stačiakampį aplink vieną iš kraštinių.
KŪGIS
Panagrinėkime apskritimą (o;r) ir tiesę OP, statmeną šio apskritimo plokštumai. Per kiekvieną apskritimo tašką L ir t.P brėžiame atkarpas, jų yra be galo daug. Jie sudaro kūginį paviršių ir generatoriai.
R- viršūnė, ARBA - kūginė paviršiaus ašis.
Kūnas, ribojamas kūginio paviršiaus ir apskritimo su riba L naz kūgis. Apskritimas - kūgio pagrindas. Kūginio paviršiaus viršūnė yra kūgio viršūnė. Kūginio paviršiaus formavimas - formuojant kūgį. Kūginis paviršius - šoninis kūgio paviršius. RO – kūgio ašis. Atstumas nuo R iki O - kūgio aukštis. Kūgis yra revoliucijos kūnas. Jis gaunamas sukant stačiakampį trikampį aplink koją.
Kūgio skyrius
Ašinė sekcija
Atkarpa statmena ašiai
RUMULĖLIS IR KUMULYS
sfera vadinamas paviršiumi, susidedančiu iš visų erdvės taškų, esančių tam tikru atstumu nuo tam tikro taško. Šis taškas yra sferos centras.Šis atstumas yra sferos spindulys.
Linijos atkarpa, jungianti du rutulio taškus ir einanti per jos centrą naz sferos skersmuo.
Kūnas, kurį riboja rutulys kamuolys. Rutulio centras, spindulys ir skersmuo rutulio centras, spindulys ir skersmuo.
Rutulys ir rutulys yra revoliucijos kūnai. Sfera gaunamas sukant puslankį aplink skersmenį, ir kamuolys gaunamas sukant puslankį aplink skersmenį.
stačiakampėje koordinačių sistemoje spindulio R rutulio, kurio centras yra C(x(0), y(0), Z(0), lygtis yra (x-x(0))(2)+(y-y(0) )(2)+(z-z(0))(2)= R(2)
Nuimamas elementas.
išeinantis elementas.
- a) neturi bendrų taškų;
Teorema.
Pjūvių žymėjimas
GOST 2.305-2008 numato šiuos skyriaus žymėjimo reikalavimus:
1. Pjovimo plokštumos padėtis brėžinyje nurodyta pjūvio linija.
2. Pjūvio linijai reikia naudoti atvirą liniją (storis nuo S iki 1,5S, linijos ilgis 8-20 mm).
3. Esant sudėtingam pjūviui, smūgiai atliekami ir slenkančių plokštumų sankirtose viena su kita.
4. Rodyklės, nurodančios žiūrėjimo kryptį, turi būti dedamos ant pradinio ir galutinio potėpio, rodyklės turi būti taikomos 2-3 mm atstumu nuo išorinio brūkšnio galo.
5. Rodyklių matmenys turi atitikti nurodytus 14 pav.
6. Pradžios ir pabaigos potėpiai neturi kirsti atitinkamo vaizdo kontūro.
7. Pjūvio linijos pradžioje ir pabaigoje bei, jei reikia, pjovimo plokštumų susikirtimo vietoje įdėkite tą pačią didžiąją rusiškos abėcėlės raidę. Raidės dedamos šalia rodyklių, nurodančių žiūrėjimo kryptį, ir sankryžose iš išorinio kampo pusės (24 pav.).
24 pav. Sekcijos žymėjimo pavyzdžiai
8. Pjūvis turi būti pažymėtas „A-A“ tipo užrašu (visada dvi raidės, atskirtos brūkšneliu).
9. Kai pjovimo plokštuma sutampa su viso objekto simetrijos plokštuma, o atitinkami vaizdai yra tame pačiame lape tiesiogiai projekcijoje ir nėra atskirti jokiais kitais vaizdais, pjovimo plokštumos padėtis nėra pažymėtos horizontalioms, priekinėms ir profilinėms sekcijoms, o prie pjūvio nėra užrašo.
10. Priekinėms ir profilinėms sekcijoms, kaip taisyklė, suteikiama padėtis, atitinkanti pagrindiniame brėžinio paveiksle pasirinktą tam tikro dalyko padėtį.
11. Atitinkamų pagrindinių vaizdų vietoje gali būti išdėstytos horizontalios, priekinės ir profilinės sekcijos.
12. Pjūvį leidžiama dėti bet kurioje piešimo lauko vietoje, taip pat sukant, pridedant įprastą grafinį simbolį - piktogramą „Pasukta“ (25 pav.).
25 pav. Sąlyginis grafinis žymėjimas – piktograma „Pasukta“
Skyrių žymėjimas yra panašus pjūvių žymėjimas ir susideda iš slenkančios plokštumos pėdsakų ir rodyklės, nurodančios žiūrėjimo kryptį, taip pat raidės, pritvirtintos rodyklės išorėje (1c pav., 3 pav.). Pašalinta atkarpa nepažymėta ir pjovimo plokštuma nerodoma, jei pjūvio linija sutampa su pjūvio simetrijos ašimi, o pati pjūvis yra pjovimo plokštumos pėdsako tęsinyje arba tarpe tarp pjūvio dalių. vaizdas. Simetriškai uždėtoje dalyje pjovimo plokštuma taip pat nerodoma. Jei pjūvis yra asimetriškas ir yra tarpelyje arba yra uždėtas (2 pav. b), pjūvio linija brėžiama rodyklėmis, bet nepažymėta raidėmis.
Skyrius leidžiama pasukti, virš jos esančiame užraše su žodžiu „pasukta“. Kelių identiškų sekcijų, susijusių su tuo pačiu objektu, pjūvio linijos žymimos ta pačia raide ir nubrėžia vieną sekciją. Tais atvejais, kai sekcija gaunama iš atskirų dalių, reikia naudoti pjūvius.
Bendra linija
Tiesė bendroje padėtyje (2.2 pav.) vadinama tiese, kuri nėra lygiagreti nė vienai iš šių projekcijų plokštumų. Bet kuri tokios tiesės atkarpa tam tikroje projekcinių plokštumų sistemoje projektuojama iškreiptai. Taip pat iškraipomi šios tiesės pasvirimo kampai projekcijų plokštumų atžvilgiu.
Ryžiai. 2.2.
Tiesioginis privatus aprūpinimas
Konkrečios padėties tiesioginės linijos apima tiesias linijas, lygiagrečias vienai arba dviem projekcijos plokštumoms.
Bet kuri tiesė (tiesė arba kreivė), lygiagreti projekcijos plokštumai, vadinama lygio linija. Inžinerinėje grafikoje yra trys pagrindinės lygio linijos: horizontalios, priekinės ir profilinės linijos.
Ryžiai. 2.3-a
Horizontali linija – tai bet kuri tiesė, lygiagreti horizontaliai projekcijų plokštumai (2.3-a pav.). Priekinė horizontalės projekcija visada yra statmena ryšio linijoms. Bet kuris horizontalės segmentas ant horizontalios projekcijos plokštumos projektuojamas tikrąja verte. Tikroji vertė projektuojama į šią plokštumą ir horizontalės (tiesios linijos) pasvirimo kampas į priekinę projekcijos plokštumą. Pavyzdžiui, 2.Z-a pav. pateiktas vaizdinis vaizdas ir kompleksinis horizontalios linijos brėžinys h, pasviręs į plokštumą P 2 kampu b . 
Ryžiai. 2.3-b
Frontaliu vadinama tiesė, lygiagreti frontalinei projekcijos plokštumai (2.3-b pav.). Horizontali priekinės dalies projekcija visada yra statmena ryšio linijoms. Bet kuris priekinės dalies segmentas ant priekinės projekcijos plokštumos projektuojamas tikruoju dydžiu. Tikroji vertė projektuojama į šią plokštumą ir priekinės dalies (tiesios) pasvirimo kampas į horizontalią projekcijos plokštumą (kampas a). 
Ryžiai. 2,3 colio
Profilio linija – tai tiesė, lygiagreti projekcijų profilio plokštumai (2.Z-c pav.). Profilio linijos horizontalioji ir priekinė projekcijos yra lygiagrečios šių projekcijų ryšio linijoms. Bet kuris profilio linijos segmentas (tiesus) projektuojamas į profilio plokštumą tikrąja verte. Toje pačioje plokštumoje projektuojami tikroji vertė ir profilio tiesės pasvirimo kampai su projekcinėmis plokštumomis P 1 ir P 2. Nurodant profilio liniją kompleksiniame brėžinyje, būtina nurodyti du šios linijos taškus.
Lygio linijos, lygiagrečios dviem projekcinėms plokštumoms, bus statmenos trečiajai projekcijos plokštumai. Tokios linijos vadinamos projektavimu. Yra trys pagrindinės projektavimo linijos: horizontalios, priekinės ir profilinės projektavimo linijos. 
Ryžiai. 2,3 d 
Ryžiai. 2,3 d 
Ryžiai. 2.3
Horizontaliai išsikišusi tiesė (2.3-d pav.) vadinama tiese, statmena plokštumai P vienas . Bet kuri šios linijos atkarpa projektuojama į plokštumą P P 1 – iki reikalo.
Priekyje išsikišusi tiesė (2.Z-e pav.) vadinama tiese, statmena plokštumai P 2. Bet kuri šios linijos atkarpa projektuojama į plokštumą P 1 be iškraipymų, bet plokščias P 2 - iki taško.
Profilio projektavimo linija (2.Z-e pav.) vadinama tiese, statmena plokštumai P 3 , t.y. tiesė, lygiagreti projekcinėms plokštumoms P 1 ir P 2. Bet kuri šios linijos atkarpa projektuojama į plokštumą P 1 ir P 2 be iškraipymų, bet plokščias P 3 – iki taško.
Pagrindinės linijos plokštumoje
Tarp tiesių linijų, priklausančių plokštumai, ypatingą vietą užima tiesios linijos, užimančios tam tikrą vietą erdvėje:
1. Horizontalumai h – tiesės, esančios tam tikroje plokštumoje ir lygiagrečios horizontaliai projekcijų plokštumai (h / / P1) (6.4 pav.).
6.4 pav. Horizontalus
2. Frontalai f – tiesios linijos, esančios plokštumoje ir lygiagrečios priekinei projekcijų plokštumai (f / / P2) (6.5 pav.).
6.5 pav. Priekinė
3. Profilinės tiesės p – tiesės, kurios yra tam tikroje plokštumoje ir lygiagrečios projekcijų profilio plokštumai (p / / P3) (6.6 pav.). Pažymėtina, kad pagrindinėms linijoms galima priskirti ir lėktuvo pėdsakus. Horizontalus pėdsakas yra plokštumos horizontalė, priekinė yra priekinė, o profilis yra plokštumos profilio linija.
6.6 pav. Profilis tiesus
4. Didžiausio šlaito linija ir jos horizontalioji projekcija sudaro tiesinį kampą j, kuris matuoja šios plokštumos sudarytą dvikampį ir horizontalią projekcijų plokštumą (6.7 pav.). Akivaizdu, kad jei tiesė neturi dviejų bendrų taškų su plokštuma, tada ji yra lygiagreti plokštumai arba ją kerta.
6.7 pav. Didžiausio nuolydžio linija
Kinematinis paviršiaus formavimo būdas. Paviršiaus nustatymas ant brėžinio.
Inžinerinėje grafikoje paviršius laikomas nuoseklių linijos, judančios erdvėje pagal tam tikrą dėsnį, padėčių rinkiniu. Paviršiaus formavimosi procese 1 eilutė gali likti nepakitusi arba pakeisti savo formą.
Kad būtų aiškesnis sudėtingo brėžinio paviršiaus vaizdas, poslinkio dėsnį patartina nustatyti grafiškai linijų šeimos pavidalu (a, b, c). 1 linijos judėjimo dėsnį galima nurodyti dviem (a ir b) arba viena (a) linijomis ir papildomomis sąlygomis, nurodančiomis 1 judėjimo dėsnį.
Judanti linija 1 vadinama generatoriumi, fiksuotos linijos a, b, c yra kreiptuvai.
Paviršiaus formavimo procesą nagrinėsime 3.1 pav. pavaizduotu pavyzdžiu.
Čia kaip generatorius imama eilutė 1. Generatoriaus poslinkio dėsnį pateikia kreiptuvas a ir linija b. Tai reiškia, kad generatorius 1 slenka išilgai kreiptuvo a, visą laiką likdamas lygiagrečiai tiesei b.
Toks paviršių formavimo būdas vadinamas kinematinis. Su juo galite kurti ir nustatyti įvairius piešinio paviršius. Konkrečiai, 3.1 paveiksle parodytas bendriausias cilindrinio paviršiaus atvejis.
Ryžiai. 3.1.
Kitas būdas suformuoti paviršių ir jo atvaizdą brėžinyje – nustatyti paviršių jam priklausančių taškų ar linijų rinkiniu. Šiuo atveju taškai ir linijos parenkami taip, kad jie leistų pakankamai tiksliai nustatyti paviršiaus formą ir išspręsti įvairias jo problemas.
Taškų arba linijų, apibrėžiančių paviršių, rinkinys vadinamas jo vieliniu rėmu.
Priklausomai nuo to, kaip nurodytas paviršiaus rėmas, taškais ar linijomis, rėmeliai skirstomi į taškinius ir linijinius.
3.2 paveiksle parodytas paviršiaus skeletas, susidedantis iš dviejų stačiakampių linijų a1, a2, a3, ..., an ir b1, b2, b3, ..., bn šeimų.
Ryžiai. 3.2.
Kūginės sekcijos.
KŪGINIAI SKYRIAI, plokštumos kreivės, kurios gaunamos sukryžiavus dešinįjį apskritą kūgį su plokštuma, kuri nekerta jo viršaus (1 pav.). Analitinės geometrijos požiūriu kūgio pjūvis yra taškų, kurie tenkina antros eilės lygtį, vieta. Išskyrus paskutiniame skyriuje aptartus išsigimusius atvejus, kūgio formos pjūviai yra elipsės, hiperbolės arba parabolės.
Gamtoje ir technikoje dažnai randami kūginiai pjūviai. Pavyzdžiui, aplink Saulę besisukančių planetų orbitos yra elipsės. Apskritimas yra ypatingas elipsės atvejis, kai didžioji ašis yra lygi mažajai. Parabolinis veidrodis turi savybę, kad visi krintantys spinduliai lygiagrečiai jo ašiai susilieja viename taške (fokusas). Tai naudojama daugumoje atspindinčių teleskopų, kuriuose naudojami paraboliniai veidrodžiai, taip pat radaro antenose ir specialiuose mikrofonuose su paraboliniais atšvaitais. Lygiagrečių spindulių spindulys sklinda iš šviesos šaltinio, esančio parabolinio reflektoriaus židinyje. Todėl paraboliniai veidrodžiai naudojami galinguose prožektoriuose ir automobilių priekiniuose žibintuose. Hiperbolė yra daugelio svarbių fizinių ryšių grafikas, pvz., Boilio dėsnis (susijęs su idealių dujų slėgiu ir tūriu) ir Omo dėsnis, apibrėžiantis elektros srovę kaip atsparumo esant pastoviai įtampai funkciją.
ANKSTYVA ISTORIJA
Manoma, kad kūginių pjūvių atradėjas yra Menechmas (IV a. pr. Kr.), Platono mokinys ir Aleksandro Makedoniečio mokytojas. Menechmas panaudojo parabolę ir lygiašonę hiperbolę, kad išspręstų kubo padvigubinimo problemą.
IV amžiaus pabaigoje Aristaeus ir Euklido parašyti traktatai apie kūginius pjūvius. Kr., buvo pamestos, tačiau iš jų pagamintos medžiagos buvo įtrauktos į garsiąsias Apolonijaus Pergos (apie 260–170 m. pr. Kr.) kūgines pjūvius, išlikusius iki mūsų laikų. Apolonijus atsisakė reikalavimo, kad kūgio generatrikso skentinė plokštuma būtų statmena ir, keisdamas jo pasvirimo kampą, iš vieno apskrito kūgio gaudavo visas kūgines pjūvis, tiesias arba pasvirusias. Apolonijui taip pat turime šiuolaikinius kreivių pavadinimus – elipsę, parabolę ir hiperbolę.
Savo konstrukcijose Apolonijus panaudojo dviejų lakštų apskritą kūgį (kaip 1 pav.), todėl pirmą kartą paaiškėjo, kad hiperbolė yra kreivė su dviem šakomis. Nuo Apolonijaus laikų kūginės pjūviai skirstomi į tris tipus, priklausomai nuo pjovimo plokštumos pokrypio į kūgio generatricą. Elipsė (1 pav., a) susidaro, kai pjovimo plokštuma vienos jos ertmės taškuose kerta visus kūgio generatorius; parabolė (1 pav., b) – kai pjovimo plokštuma lygiagreti vienai iš kūgio liestinių plokštumų; hiperbolė (1 pav., c) – kai pjovimo plokštuma kerta abi kūgio ertmes.
KŪGINIŲ SEKCIJŲ KONSTRUKCIJA
Tyrinėdami kūginius pjūvius kaip plokštumų ir kūgių sankirtas, senovės graikų matematikai taip pat laikė jas taškų trajektorijomis plokštumoje. Nustatyta, kad elipsę galima apibrėžti kaip taškų lokusą, atstumų, nuo kurių iki dviejų nurodytų taškų, suma yra pastovi; parabolė – kaip taškų, vienodu atstumu nutolusių nuo tam tikro taško ir tam tikros linijos, vieta; hiperbolė – kaip taškų lokusas, atstumų, nuo kurių iki dviejų nurodytų taškų, skirtumas yra pastovus.
Šie kūginių pjūvių, kaip plokštumos kreivių, apibrėžimai taip pat siūlo būdą jas sukonstruoti naudojant ištemptą siūlą.
Elipsė.
Jei tam tikro ilgio sriegio galai yra pritvirtinti taškuose F1 ir F2 (2 pav.), tai kreivė, aprašyta pieštuko galiuku, slenkančiu išilgai ištempto siūlo, yra elipsės formos. Taškai F1 ir F2 vadinami elipsės židiniais, o atkarpos V1V2 ir v1v2 tarp elipsės susikirtimo taškų su koordinačių ašimis – didžiąja ir mažąja ašimis. Jei taškai F1 ir F2 sutampa, tai elipsė virsta apskritimu.
ryžių. 2 Elipsė
Hiperbolė.
Statant hiperbolę, taškas P, pieštuko smaigalys, tvirtinamas ant sriegio, kuris laisvai slysta išilgai taškuose F1 ir F2 sumontuotų kaiščių, kaip parodyta Fig. 3a. Atstumai parenkami taip, kad atkarpa PF2 būtų fiksuota dalimi ilgesnė už atkarpą PF1, kuri yra mažesnė už atstumą F1F2. Šiuo atveju vienas sriegio galas praeina po F1 kaiščiu, o abu sriegio galai pereina per F2 kaištį. (Pieštuko galiukas neturi slysti išilgai sriegio, todėl jį reikia pritvirtinti ant sriegio padarant nedidelę kilpą ir įsriegiant antgalį.) Nubrėžiame vieną hiperbolės (PV1Q) atšaką, įsitikindami, kad siūlas visą laiką išlieka įtemptas, o traukdami abu galus sriegį nusuka žemyn pro tašką F2, o kai taškas P yra žemiau atkarpos F1F2, abiejuose galuose prilaikant sriegį ir atsargiai jį atleidžiant (t. y. atleidžiant). Nubrėžiame antrąją hiperbolės šaką (PўV2Qў), anksčiau pakeitę kaiščių F1 ir F2 vaidmenis.
ryžių. 3 hiperbolė
Hiperbolės šakos artėja prie dviejų tiesių linijų, kurios susikerta tarp šakų. Šios linijos, vadinamos hiperbolės asimptotais, yra sukonstruotos taip, kaip parodyta Fig. 3b. Šių tiesių nuolydžiai lygūs ± (v1v2)/(V1V2), kur v1v2 – kampo tarp asimptočių, statmenos atkarpai F1F2, atkarpa; atkarpa v1v2 vadinama konjuguota hiperbolės ašimi, o atkarpa V1V2 – jos skersine ašimi. Taigi, asimptotės yra stačiakampio, kurio kraštinės eina per keturis taškus v1, v2, V1, V2 lygiagrečiai ašims, įstrižainės. Norėdami sukurti šį stačiakampį, turite nurodyti taškų v1 ir v2 vietą. Jie yra vienodu atstumu, lygūs
nuo ašių susikirtimo taško O. Šioje formulėje sudaromas stačiakampis trikampis su kojomis Ov1 ir V2O bei hipotenuze F2O.
Jei hiperbolės asimptotai yra vienas kitą statmeni, tada hiperbolė vadinama lygiašone. Dvi hiperbolės, turinčios bendrus asimptotus, bet su pertvarkytomis skersinėmis ir konjuguotomis ašimis, vadinamos tarpusavyje konjuguotomis.
Parabolė.
Elipsės ir hiperbolės židinius žinojo Apolonijus, tačiau parabolės židinį, matyt, pirmasis nustatė Pappas (III a. II pusė), kuris šią kreivę apibrėžė kaip taškų, nutolusių nuo konkretaus taško, vietą ( fokusas) ir nurodyta tiesi linija, kuri vadinama režisieriumi. Konstruoti parabolę naudojant ištemptą siūlą, remiantis Pappus apibrėžimu, pasiūlė Izidorius Miletietis (VI a.). Išdėsime liniuotę taip, kad jos briauna sutaptų su kryptine LLў (4 pav.), ir prie šios briaunos pritvirtinkime brėžinio trikampio ABC koją AC. Vieną AB ilgio sriegio galą fiksuojame trikampio viršūnėje B, o kitą parabolės židinyje F. Traukdami siūlą pieštuko galiuku, antgalį kintamajame taške P prispauskite į laisvą. brėžinio trikampio kojelė AB. Kai trikampis juda išilgai liniuote, taškas P apibūdins parabolės lanką su židiniu F ir kryptį LLў, nes bendras sriegio ilgis yra AB, sriegio atkarpa yra greta laisvosios trikampio kojos ir todėl likęs sriegio segmentas PF turi būti lygus likusioms AB kojos dalims, t.y. PA. V parabolės susikirtimo su ašimi taškas vadinamas parabolės viršūne, o tiesė, einanti per F ir V – parabolės ašimi. Jei per židinį nubrėžiama tiesi linija, statmena ašiai, tada šios tiesios linijos atkarpa, nupjauta parabolės, vadinama židinio parametru. Elipsės ir hiperbolės židinio parametras apibrėžiamas panašiai.
BILIETŲ ATSAKYMAI: Nr. 1 (neužbaigtas), 2 (neužbaigtas), 3 (neužbaigtas), 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 (neužbaigtas), 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23 , 26,
Nuimamas elementas.
Darant brėžinius, tam tikrais atvejais atsiranda poreikis sukonstruoti papildomą atskirą bet kurios objekto dalies vaizdą, kuriam reikia paaiškinimų dėl formos, matmenų ar kitų duomenų. Toks vaizdas vadinamas išeinantis elementas. Paprastai jis atliekamas padidinus. Išnaša gali būti išdėstyta kaip vaizdas arba kaip skyrius.
Konstruojant nuotolinį elementą, atitinkama vieta pagrindiniame vaizde pažymėta uždara ištisine plona linija, dažniausiai ovaliu arba apskritimu, ir nurodoma didžiąja rusiškos abėcėlės raide lyderio linijos lentynoje. Išorinis elementas įrašomas pagal A tipą (5: 1). Ant pav. 191 parodytas nuotolinio elemento pavyzdys. Jis dedamas kuo arčiau atitinkamos objekto vaizdo vietos.
1. Stačiakampės (stačiakampės) projekcijos metodas. Stačiakampės projekcijos pagrindinės nekintamos savybės. Epure Monge.
Stačiakampė (stačiakampė) projekcija yra ypatingas lygiagrečios projekcijos atvejis, kai visi projektuojantys spinduliai yra statmeni projekcijos plokštumai. Stačiakampės projekcijos turi visas lygiagrečių projekcijų savybes, tačiau esant stačiakampei projekcijai atkarpos projekcija, jei ji nėra lygiagreti projekcijos plokštumai, visada yra mažesnė už pačią atkarpą (58 pav.). Tai paaiškinama tuo, kad pati atkarpa erdvėje yra stačiojo trikampio hipotenuzė, o jo projekcija yra kojelė: A "B" \u003d ABcos a.
Esant stačiakampei projekcijai, stačiakampis projektuojamas visu dydžiu, kai abi jo kraštinės yra lygiagrečios projekcijos plokštumai, ir kai tik viena iš jo kraštinių lygiagreti projekcijos plokštumai, o antroji kraštinė nėra statmena šiai projekcijos plokštumai.
Tiesės ir plokštumos tarpusavio išdėstymas.
Tiesi linija ir plokštuma erdvėje gali:
- a) neturi bendrų taškų;
- b) turi tiksliai vieną bendrą tašką;
- c) turi bent du bendrus taškus.
Ant pav. 30 parodytos visos šios galimybės.
A) atveju tiesė b lygiagreti plokštumai: b || .
b) atveju tiesė l kerta plokštumą viename taške O; l = O.
c) atveju tiesė a priklauso plokštumai: a arba a.
Teorema. Jeigu tiesė b lygiagreti bent vienai plokštumai priklausančiai tiesei a , tai tiesė lygiagreti plokštumai .
Tarkime, kad tiesė m kerta plokštumą taške Q. Jei m yra statmena kiekvienai plokštumos, einančios per tašką Q, tiesei, tai tiesė m vadinama statmena plokštumai.
Tramvajaus bėgiai iliustruoja tiesių linijų priklausomybę žemės plokštumai. Elektros linijos yra lygiagrečios įžeminimo plokštumai, o medžių kamienai yra tiesių linijų, kertančių žemę, pavyzdžiai, kai kurios statmenos įžeminimo plokštumai, kitos nėra statmenos (pasvirusios).