Neapibrėžto integralo antidarinės ir neapibrėžto integralo savybės. Antidarinys ir integralai

IKTIB ITA SFU

MATEMATIKOS PASKAITŲ KURSAS

5 skyrius Integralinis skaičiavimas
vieno kintamojo funkcijos

21 paskaita Antidarinis, neapibrėžtas integralas

Paskaitos planas

Antidarinis ir neapibrėžtas integralas. Neapibrėžtinio integralo savybės. Stalo integravimas. Integravimo formulių nekintamumo savybė. Atvedimas po diferencialo ženklu. Kintamojo pokytis neapibrėžtajame integrale. Integravimas dalimis. Polinomų faktorizavimas. Tinkamų racionaliųjų trupmenų skaidymas į paprastas. Paprastųjų ir racionaliųjų trupmenų integravimas. Integracija trigonometrinės funkcijos ir kai kurios neracionalios išraiškos.

Antidarinio ir neapibrėžto integralo samprata

Kas yra integralas? Ar tiesa, kad integracija yra diferenciacijos priešingybė? Atsakykime į šiuos ir kitus klausimus.

1 apibrėžimas . Funkcijos antidarinys yra tokia funkcija, kad .

Taigi antidarinė yra funkcija, kurios išvestinė lygi duotai funkcijai. Atkreipkite dėmesį, kad tam tikros funkcijos antidarinys nėra nustatytas vienareikšmiškai. Pavyzdžiui, funkcijos išvestinė yra lygi funkcijai. Todėl funkcija yra funkcijos antidarinė. Bet juk funkcijos išvestinė taip pat lygi funkcijai. Todėl funkcija taip pat yra funkcijos , kaip ir funkcijos , kur yra savavališka konstanta, antidarinė.

1 teorema . (Bendroji tam tikros funkcijos antidarinių forma) Tegul funkcija yra funkcijos antidarinys. Tada bet kuri funkcijos antidarinė vaizduojama kaip , kur yra savavališka konstanta. Ir atvirkščiai, bet kuriai funkcijai funkcija yra antidarinė.

Įrodymas . Antroji teoremos dalis yra akivaizdi, nes akivaizdu, kad . Dabar pakanka įrodyti, kad jei dviejų funkcijų išvestinės yra lygios, tai šios funkcijos skiriasi konstanta. Tiesą sakant, pakanka įrodyti, kad jei funkcijos išvestinė (minėtų funkcijų skirtumas) lygi 0, tai tai yra konstantos išvestinė. Bet tai tiesa. Paimkite bet kuriuos du taškus. Skirtumas tarp funkcijos reikšmių šiuose taškuose pagal Lagranžo baigtinio prieaugio formulę yra lygus išvestinei tam tikrame tarpiniame taške, padauginta iš argumentų skirtumo ( ). Bet juk išvestinė visur lygi 0, todėl funkcijos prieaugis visada lygus 0, t.y. funkcija lygi konstantai. Teorema įrodyta.

2 apibrėžimas . Visų funkcijos antidarinių aibė vadinama neapibrėžtuoju funkcijos integralu ir žymima simboliu .

Taigi, iš tikrųjų, skaičiuoti neapibrėžtą integralą reiškia atlikti veiksmą, kuris yra priešingas išvestinės apskaičiavimui. Be to, atsižvelgiant į 1 teoremą, galioja neapibrėžto integralo skaičiavimo formulė , (1) kur yra vienas iš funkcijos, vadinamos under, antidarinių s integrali funkcija.

Jau žinome, kad funkcijos išvestinė turi daugybę pritaikymų. Kalba programose, be abejo, yra apie darinių vertę atskiruose taškuose, tai yra, apie skaičius. Atkreipkite dėmesį, kad neapibrėžtas integralas yra funkcijų rinkinys. Todėl tiesioginis neapibrėžtinio integralo taikymas yra labai ribotas. Programose yra ir kitų tipų integralai, kur rezultatas yra skaičius, o techniškai skaičiavimas sumažinamas iki antidarinės funkcijos radimo. Todėl labai svarbu išmokti skaičiuoti neapibrėžtą integralą.

1. Iš kokių funkcijų galite apskaičiuoti
neapibrėžtas integralas

Žinome, kad bet kurios elementariosios funkcijos išvestinę galima apskaičiuoti naudojant pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinių lentelę ir išvestinių skaičiavimo taisykles (sumos išvestinė, skirtumas, sandauga, koeficientas, sudėtinga funkcija).

Iš čia galite parašyti antidarinių lentelę, skaitydami išvestinių lentelę „iš dešinės į kairę“. Taip pat galima suformuluoti taisykles, atitinkančias išvestinės išvestinės apskaičiavimo taisykles. Su skaitinės aibės suma, skirtumu, atvaizdavimu diferencijavimo ir integravimo taisyklės yra identiškos. Tačiau su kompleksinės funkcijos sandauga, koeficientu ir apskaičiavimu situacija yra sudėtingesnė. Juk, tarkime, produkto darinys nėra lygus „darinių produktui“. Todėl antidarinių lentelė ir antidarinių skaičiavimo taisyklės neleidžia rasti jokios elementarios funkcijos antidarinio. Egzistuoja vadinamieji „nepaimti“ elementariųjų funkcijų integralai. Pavyzdžiui, atrodytų, kad paprastas integralas mūsų supratimu negali būti apskaičiuotas, nes tarp elementariųjų funkcijų nėra funkcijos, kurios išvestinė būtų lygi . Tolydžios funkcijos antidarinys visada egzistuoja, tačiau šiuo atveju jis nėra tarp elementarių. Tokios funkcijos vadinamos specialiosiomis. Daug jų reikia programose, jos tiriamos atskirai.

Taigi, skirtingai nei skaičiuojant funkcijos išvestinę, mums nereikia mokėti apskaičiuoti bet kurios elementariosios funkcijos neapibrėžto integralo. Išnagrinėsime tam tikrų tipų elementariąsias funkcijas, iš kurių turime išmokti skaičiuoti neapibrėžtuosius integralus.

Paprastųjų neapibrėžtųjų integralų lentelė

Prisiminkime pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinių lentelę:

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)	11)	12)

Daugeliu atžvilgių jis generuoja paprasčiausių neapibrėžtų integralų lentelę. Čia yra ir kitų integralų. Visus juos nesunkiai galima patikrinti apskaičiuojant dešinės pusės išvestinę.

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)

	|	kita paskaita ==>
	|

Funkcija F(x ) paskambino primityvus už funkciją f(x) tam tikru intervalu, jei visiems x iš šio intervalo lygybė

F"(x ) = f(x ) .

Pavyzdžiui, funkcija F(x) = x 2 f(x ) = 2X , nes

F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Pagrindinė antidarinio savybė

Jeigu F(x) yra funkcijos antidarinys f(x) tam tikru intervalu, tada funkcija f(x) turi be galo daug antidarinių, ir visi šie antidariniai gali būti parašyti kaip F(x) + C, kur NUO yra savavališka konstanta.

Pavyzdžiui. Funkcija F(x) = x 2 + 1 yra funkcijos antidarinys f(x ) = 2X , nes F "(x) \u003d (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); funkcija F(x) = x 2 - 1 yra funkcijos antidarinys f(x ) = 2X , nes F "(x) \u003d (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; funkcija F(x) = x 2 - 3 yra funkcijos antidarinys f(x) = 2X , nes F "(x) \u003d (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); bet kokia funkcija F(x) = x 2 + NUO , kur NUO yra savavališka konstanta, ir tik tokia funkcija yra funkcijos antidarinė f(x) = 2X . ◄

Antidarinių skaičiavimo taisyklės

1. Jeigu F(x) - originalus skirtas f(x) , a G(x) - originalus skirtas g(x) , tada F(x) + G(x) - originalus skirtas f(x) + g(x) . Kitaip tariant, sumos antidarinė lygi antidarinių sumai .
2. Jeigu F(x) - originalus skirtas f(x) , ir k tada yra pastovus k · F(x) - originalus skirtas k · f(x) . Kitaip tariant, pastovųjį veiksnį galima išimti iš išvestinės ženklo .
3. Jeigu F(x) - originalus skirtas f(x) , ir k,b- nuolatinis ir k ≠ 0 , tada 1 / k F( k x + b ) - originalus skirtas f(k x + b) .

Neapibrėžtas integralas

Ne apibrėžtasis integralas nuo funkcijos f(x) vadinama išraiška F(x) + C, tai yra visų pateiktos funkcijos antidarinių aibė f(x) . Neapibrėžtas integralas žymimas taip:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- paskambino integrandas ;

f(x) dx- paskambino integrandas ;

x - paskambino integracijos kintamasis ;

F(x) yra vienas iš funkcijos antidarinių f(x) ;

NUO yra savavališka konstanta.

Pavyzdžiui, ∫ 2 x dx =X 2 + NUO , ∫ cosx dx = nuodėmė X + NUO ir taip toliau. ◄

Žodis „integralus“ kilęs iš lotyniško žodžio sveikasis skaičius , o tai reiškia „atkurta“. Atsižvelgiant į neapibrėžtą integralą 2 x, mes tarsi atkuriame funkciją X 2 , kurio išvestinė yra 2 x. Funkcijos atkūrimas iš jos išvestinės arba, kas yra tas pats, neapibrėžto integralo radimas per duotąjį integrandą, vadinamas integracija šią funkciją. Integracija yra atvirkštinis diferenciacijos veiksmas.Norint patikrinti, ar integracija teisinga, pakanka diferencijuoti rezultatą ir gauti integrandą.

Pagrindinės neapibrėžtinio integralo savybės

1. Neapibrėžto integralo išvestinė lygi integrandui:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

2. Integralo pastovųjį koeficientą galima išimti iš integralo ženklo:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

3. Funkcijų sumos (skirtumo) integralas yra lygus šių funkcijų integralų sumai (skirtumui):

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Jeigu k,b- nuolatinis ir k ≠ 0 , tada

∫ f( k x + b) dx = 1 / k F( k x + b ) + C .

Antidarinių ir neapibrėžtųjų integralų lentelė

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
aš.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
v.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
x.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
Šioje lentelėje pateikti primityvieji ir neapibrėžtieji integralai paprastai vadinami lentelių primityvai ir lentelės integralai .

Apibrėžtasis integralas

Įsileiskite tarp [a; b] suteikta nuolatinė funkcija y = f(x) , tada apibrėžtasis integralas nuo a iki b funkcijas f(x) vadinamas primityvumo prieaugiu F(x) ši funkcija, tai yra

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Skaičiai a ir b vadinami atitinkamai žemesnė ir viršuje integracijos ribos.

Pagrindinės apibrėžtojo integralo skaičiavimo taisyklės

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) kur k - pastovus;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x) dx \);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), kur f(x) yra lygi funkcija;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), kur f(x) yra nelyginė funkcija.

komentuoti . Visais atvejais daroma prielaida, kad integrandai yra integruojami skaitiniais intervalais, kurių ribos yra integravimo ribos.

Geometrinė ir fizinė apibrėžtojo integralo reikšmė

geometrine prasme apibrėžtasis integralas	fizinę reikšmę apibrėžtasis integralas
Kvadratas S kreivinė trapecija (skaičius, apribotas nuolatinio teigiamo intervalo grafiku [a; b] funkcijas f(x) , ašis Jautis ir tiesioginis x=a , x=b ) apskaičiuojamas pagal formulę $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Kelias s kuris įveikė materialus taškas, judant tiesia linija greičiu, kuris skiriasi pagal įstatymus v(t) , laiko intervalui a ; b], tada figūros plotas, kurį riboja šių funkcijų grafikai ir tiesės x = a , x = b , apskaičiuojamas pagal formulę $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Pavyzdžiui. Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y=x 2 ir y= 2-x . Schematiškai pavaizduosime šių funkcijų grafikus ir paryškinsime figūrą, kurios sritį reikia rasti kita spalva. Norėdami rasti integracijos ribas, išsprendžiame lygtį: x 2 = 2-x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Revoliucijos kūno tūris

	Jei kūnas gaunamas sukimosi apie ašį rezultatas Jautis kreivinė trapecija, apribota tolydžio ir neneigiamo intervalo grafiku [a; b] funkcijas y = f(x) ir tiesioginis x = a ir x = b , tada jis vadinamas revoliucijos kūnas . Apsisukimo kūno tūris apskaičiuojamas pagal formulę $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Jei apsisukimo kūnas gaunamas sukant figūrą, kurią virš ir apriboja funkcijų grafikai y = f(x) ir y = g(x) , atitinkamai, tada $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Pavyzdžiui. Apskaičiuokite spindulį turinčio kūgio tūrį r ir aukštis h . Įstatykime kūgį į stačiakampę koordinačių sistemą taip, kad jo ašis sutaptų su ašimi Jautis , o pagrindo centras buvo koordinačių pradžioje. Generatoriaus sukimasis AB apibrėžia kūgį. Kadangi lygtis AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
o mūsų turimam kūgio tūriui $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄

Antidarinio apibrėžimas.

Antiderivatinė funkcija f(x) intervale (a; b) yra tokia funkcija F(x), kuri galioja bet kuriam x iš tam tikro intervalo.

Jei atsižvelgsime į tai, kad konstantos C išvestinė lygi nuliui, tada lygybė . Taigi funkcija f(x) turi aibę antidarinių F(x)+C , savavališkai konstantai C, ir šios antidarinės viena nuo kitos skiriasi savavališka konstantos reikšme.

Neapibrėžtinio integralo apibrėžimas.

Visas funkcijos f(x) antidarinių rinkinys vadinamas neapibrėžtuoju šios funkcijos integralu ir žymimas .

Išraiška vadinama integrandas ir f(x) integrandas. Integrandas yra funkcijos f(x) diferencialas.

Nežinomos funkcijos radimo pagal duotąjį diferencialą veiksmas vadinamas neapibrėžtas integracija, nes integravimo rezultatas yra ne viena funkcija F(x) , o jos antidarinių aibė F(x)+C .

Remiantis darinio savybėmis, galima suformuluoti ir įrodyti neapibrėžto integralo savybės(antidarinio savybės).

Patikslinimui pateiktos tarpinės neapibrėžtinio integralo pirmosios ir antrosios savybių lygybės.

Norint įrodyti trečiąją ir ketvirtąją savybę, pakanka rasti lygybių dešiniųjų pusių išvestines:

Šios išvestinės yra lygios integrandams, o tai yra įrodymas dėl pirmosios savybės. Jis taip pat naudojamas paskutiniuose perėjimuose.

Taigi integracijos problema yra atvirkštinė diferenciacijos problema, ir tarp šių problemų yra labai glaudus ryšys:

• pirmoji savybė leidžia patikrinti integraciją. Norint patikrinti atliktos integracijos teisingumą, pakanka apskaičiuoti gauto rezultato išvestinę. Jei dėl diferenciacijos gauta funkcija yra lygi integrandui, tai reikš, kad integravimas atliktas teisingai;
• antroji neapibrėžtinio integralo savybė leidžia rasti jo antidarinį iš žinomo funkcijos diferencialo. Šia savybe pagrįstas tiesioginis neapibrėžtų integralų skaičiavimas.

Apsvarstykite pavyzdį.

Pavyzdys.

Raskite funkcijos, kurios reikšmė lygi vienetui, priešišvestinę, kai x = 1.

Sprendimas.

Iš diferencialinio skaičiavimo tai žinome (tik pažiūrėkite į pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinių lentelę). Šiuo būdu, . Pagal antrąjį turtą . Tai yra, mes turime antidarinių rinkinį. Jei x = 1, gauname reikšmę. Pagal sąlygą ši reikšmė turi būti lygi vienetui, todėl С = 1. Norimas antidarinys įgaus formą .

Pavyzdys.

Raskite neapibrėžtą integralą ir patikrinkite rezultatą diferencijuodami.

Sprendimas.

Pagal dvigubo kampo sinuso formulę iš trigonometrijos , Štai kodėl

Iš trigonometrinių funkcijų išvestinių lentelės turime

Tai yra,

Pagal trečiąją neapibrėžtinio integralo savybę galime rašyti

Pasukę į antrą nuosavybę, gauname .

Vadinasi,

Apžiūra.

Norėdami patikrinti rezultatą, išskiriame gautą išraišką:

Dėl to mes gavome integrandą, o tai reiškia, kad integracija buvo atlikta teisingai. Paskutiniame perėjime buvo naudojama dvigubo kampo sinuso formulė.

Jei pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė perrašoma diferencialų pavidalu, tai iš jos pagal antrąją neapibrėžtinio integralo savybę galima sudaryti antidarinių lentelę.

NENUMATYTAS INTEGRAL

Pradedame studijuoti integralus, kurie plačiai naudojami daugelyje technologijų sričių. Pradėkime nuo neapibrėžto integralo.

Antidarinis ir neapibrėžtas integralas

Diferencialinio skaičiavimo pagrindinis uždavinys yra šių funkcijų diferencijavimas, kitaip tariant, užduotis rasti duotosios funkcijos kitimo greitį. Daugybė mokslo ir technologijų klausimų veda prie atvirkštinės problemos formulavimo: tam tikrai funkcijai f (x) atkurkite funkciją F(x), kurios f (x) būtų išvestinė: F ¢ (x) = f ( x).

Apibrėžimas. Funkcija F(x) vadinama antiderivatine f (x), jei

F ¢ (x) = f (x) arba dF(x) = f (x) dx.

Pavyzdžiai. 1) f (x) \u003d 3x 2, F (x) \u003d x 3;

2) f(x) = cosx, F(x) = sinx.

Nesunku pastebėti, kad ši funkcija f (x) = 3x 2 atitinka ne vieną antidarinį, o aibę: x 3 ; x 3 + 1; x 3 - 1; x 3 + 5; x 3 - 100; x 3 + C.

Iš tiesų, (x 3)¢ \u003d 3x 2; (x 3 + 1)¢ = 3x 2; (x 3 - 1) ¢ = 3x 2; . . . . (x 3 + C)¢ \u003d 3x 2.

Apskritai, jei F(x) yra tam tikros funkcijos f (x) antidarinė, tada antiderivatinė funkcija taip pat bus funkcija F(x) + c, "СнR, nes:

¢ = F¢(x) = f (x).

Ar visų antidarinių f(x) aibė yra išnaudota F(x) + C formos išraiškomis, ar yra šios funkcijos antidarinių, kurie neatsiranda iš F(x) + C bet kuriai C reikšmei? Pasirodo, teiginys yra teisingas: kitų funkcijos f (x) antidarinių nėra. Kitaip tariant, jei F 1 (x) ir F 2 (x) yra du f (x) antidariniai, tada F 1 (x) = F 2 (x) + C,

kur C yra tam tikra konstanta.

Tiesa, nuo F 1 (x) ir F 2 (x) yra f (x) antidariniai, tada

Apsvarstykite skirtumą visiems x.

Tegul x 0 yra tam tikra fiksuota argumento reikšmė,

x yra savavališka kita reikšmė.

Pagal Lagranžo formulę

kur yra koks nors skaičius tarp x 0 ir x. Nes:

Ar kiekviena funkcija f(x) turi antidarinį?

Teorema. Jei funkcija f(x) yra ištisinė tam tikru intervalu, tada ji turi antidarinį (be įrodymo).

Apibrėžimas. Jei F (x) yra tam tikra f (x) antidarinė, tada išraiška F (x) + C, kur C yra savavališka konstanta, vadinama neapibrėžtu integralu ir žymima: , o f (x) vadinama integrandas, o išraiška f (x) dx - integrandas:

Vadinamas veiksmas ieškant neapibrėžto integralo, kitaip, surandant visus tam tikros funkcijos antidarinius integracijašią funkciją. Akivaizdu, kad diferenciacijos ir integravimo operacijos yra atvirkštinės.

Sudėjimas ir atimtis, eksponencija ir šaknų ištraukimas, daugyba ir dalyba yra abipusių matematinių operacijų pavyzdžiai.