Integravimas dalimis. Sprendimo pavyzdžiai

Labas dar kartą. Šiandien pamokoje išmoksime integruoti dalimis. Integravimo dalimis metodas yra vienas iš integralinio skaičiavimo kertinių akmenų. Testo, egzamino metu studentui beveik visada siūloma spręsti šių tipų integralus: paprasčiausias integralas (žr. straipsnį) arba integralas kintamajam pakeisti (žr. straipsnį) arba integralas tiesiog įjungtas integravimo dalimis metodas.

Kaip visada, po ranka turėtų būti: Integralų lentelė ir Išvestinė lentelė. Jei vis dar jų neturite, apsilankykite mano svetainės sandėlyje: Matematinės formulės ir lentelės. Nepavargsiu kartoti – geriau viską atspausdinti. Visą medžiagą stengsiuosi pateikti nuosekliai, paprastai ir prieinamai, nėra jokių ypatingų sunkumų integruojant dalimis.

Kokią problemą išsprendžia integravimas dalimis? Integravimo dalimis metodas išsprendžia labai svarbią problemą, leidžia integruoti kai kurias funkcijas, kurių nėra lentelėje, dirbti funkcijas, o kai kuriais atvejais – ir privačias. Kaip prisimename, nėra patogios formulės: . Bet yra toks: yra dalių integravimo asmeniškai formulė. Žinau, žinau, tu vienintelis - su ja dirbsime visą pamoką (jau lengviau).

Ir iškart sąrašas studijoje. Šių tipų integralai paimami dalimis:

1) , , - logaritmas, logaritmas, padaugintas iš kokio nors daugianario.

2) ,yra eksponentinė funkcija, padauginta iš kokio nors daugianario. Tai taip pat apima integralus, tokius kaip - eksponentinė funkcija, padauginta iš daugianario, tačiau praktiškai tai yra 97 procentai, po integralu puikuojasi graži raidė „e“. ... straipsnis pasirodo kažkoks lyriškas, o taip ... atėjo pavasaris.

3) , , yra trigonometrinės funkcijos, padaugintos iš kurio nors daugianario.

4) , - atvirkštinės trigonometrinės funkcijos („arkos“), „arkos“, padaugintos iš kokio nors daugianario.

Be to, kai kurios trupmenos imamos dalimis, taip pat išsamiai apsvarstysime atitinkamus pavyzdžius.

Logaritmų integralai

1 pavyzdys

Klasika. Retkarčiais šį integralą galima rasti lentelėse, tačiau nepageidautina naudoti paruoštą atsakymą, nes mokytojas pavasarį serga avitaminoze ir jis daug bars. Kadangi nagrinėjamas integralas jokiu būdu nėra lentelės formos – jis paimtas dalimis. Mes nusprendžiame:

Pertraukiame sprendimą dėl tarpinių paaiškinimų.

Integravimui pagal dalis naudojame formulę:

Formulė taikoma iš kairės į dešinę

Mes žiūrime į kairę pusę:. Akivaizdu, kad mūsų pavyzdyje (ir visuose kituose, kuriuos apsvarstysime) kažkas turi būti pažymėtas , o kažkas - .

Nagrinėjamo tipo integraluose visada žymime logaritmą.

Techniškai sprendimo dizainas įgyvendinamas taip, stulpelyje rašome:

Tai reiškia, kad mes pažymėjome logaritmą, o už - likusią dalį integrandas.

Kitas žingsnis: raskite skirtumą:

Skirtumas beveik toks pat kaip ir išvestinė, kaip jį rasti, jau aptarėme ankstesnėse pamokose.

Dabar randame funkciją. Norint rasti funkciją, būtina integruoti dešinioji pusė mažesnė lygybė:

Dabar atidarome savo sprendimą ir sukuriame dešinę formulės pusę: .
Beje, čia yra galutinio sprendimo pavyzdys su mažomis pastabomis:

Vienintelis momentas sandaugoje iš karto pertvarkiau ir, kadangi įprasta daugiklį rašyti prieš logaritmą.

Kaip matote, taikant integravimo pagal dalis formulę, mūsų sprendimas iš esmės sumažėjo iki dviejų paprastų integralų.

Atkreipkite dėmesį, kad kai kuriais atvejais iš karto po Taikant formulę, supaprastinimas būtinai atliekamas pagal likusį integralą - nagrinėjamame pavyzdyje integrandą sumažinome "x".

Patikrinkime. Norėdami tai padaryti, turite paimti atsakymo išvestinę:

Gaunamas pradinis integralas, o tai reiškia, kad integralas išspręstas teisingai.

Patikrinimo metu naudojome produktų diferencijavimo taisyklę: . Ir tai nėra atsitiktinumas.

Integravimas pagal dalių formulę ir formulę Tai dvi tarpusavyje atvirkštinės taisyklės.

2 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Integrandas yra logaritmo ir daugianario sandauga.
Mes nusprendžiame.

Dar kartą išsamiai aprašysiu taisyklės taikymo tvarką, ateityje pavyzdžiai bus pateikti trumpiau, o jei kyla sunkumų sprendžiant pačiam, reikia grįžti prie pirmų dviejų pamokos pavyzdžių. .

Kaip jau minėta, logaritmą reikia nurodyti (tai, kad jis yra laipsnyje, nesvarbu). Mes pažymime likusią dalį integrandas.

Stulpelyje rašome:

Pirmiausia randame skirtumą:

Čia mes naudojame diferenciacijos taisyklę sudėtinga funkcija . Neatsitiktinai pačioje pirmoje temos pamokoje Neapibrėžtas integralas. Sprendimo pavyzdžiai Sutelkiau dėmesį į tai, kad norint įvaldyti integralus, reikia „pasikišti į rankas“ išvestinius. Su išvestinėmis priemonėmis teks susidurti ne kartą.

Dabar randame funkciją, kurią integruojame dešinioji pusė mažesnė lygybė:

Integravimui taikėme paprasčiausią lentelių formulę

Dabar esate pasirengę taikyti formulę . Atidarome jį „žvaigždute“ ir „sukuriame“ sprendimą pagal dešinę pusę:

Pagal integralą logaritme vėl turime daugianarį! Todėl sprendimas vėl nutraukiamas ir integravimo dalimis taisyklė taikoma antrą kartą. Nepamirškite, kad panašiose situacijose logaritmas visada žymimas.

Būtų gerai, jei šioje vietoje pavyktų žodžiu rasti paprasčiausius integralus ir išvestinius.

(1) Nepainiokite ženklų! Labai dažnai čia prarandamas minusas, taip pat atkreipkite dėmesį, kad galioja minusas visiems laikiklis , ir šiuos skliaustus reikia atidaryti teisingai.

(2) Išplėskite skliaustus. Supaprastiname paskutinį integralą.

(3) Imame paskutinį integralą.

(4) „Sušukuoti“ atsakymą.

Poreikis taikyti integravimo dalimis taisyklę du kartus (ar net tris kartus) nėra neįprasta.

O dabar pora pavyzdžių savarankiškas sprendimas:

3 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Šis pavyzdys išspręstas kintamojo metodo pakeitimu (arba sumuojant po diferencialiniu ženklu)! O kodėl gi ne – galite pabandyti paimti dalimis, gausite juokingą dalyką.

4 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Tačiau šis integralas yra integruotas dalimis (žadėtoji trupmena).

Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdžiai, sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.

Atrodo, kad 3,4 pavyzdžiuose integrandai yra panašūs, tačiau sprendimo būdai skiriasi! Būtent tai yra pagrindinis integralų įsisavinimo sunkumas - jei pasirinksite netinkamą integralo sprendimo metodą, galite su juo knistis valandų valandas, kaip su tikru galvosūkiu. Todėl kuo daugiau spręsite įvairius integralus, tuo geriau, tuo lengviau bus testas ir egzaminas. Be to, antrame kurse bus diferencialinės lygtys, o be integralų ir išvestinių sprendimo patirties ten nėra ką veikti.

Pagal logaritmus galbūt daugiau nei pakankamai. Užkandžiui taip pat galiu prisiminti, kad technologijų studentai moteriškas krūtis vadina logaritmais =). Beje, pravartu mintinai žinoti pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikus: sinuso, kosinuso, arc tangento, eksponento, trečio, ketvirto laipsnio daugianario ir kt. Ne, žinoma, prezervatyvas ant gaublio
Netrauksiu, bet dabar daug ką prisiminsi iš skyriaus Grafikai ir funkcijos =).

Rodiklio integralai, padauginti iš daugianario

Pagrindinė taisyklė:

5 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Naudodami pažįstamą algoritmą integruojame dalimis:

Jei turite kokių nors sunkumų dėl integralo, turėtumėte grįžti prie straipsnio Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje.

Vienintelis kitas dalykas, kurį reikia padaryti, yra „iššukuoti“ atsakymą:

Bet jei jūsų skaičiavimo technika nėra labai gera, palikite pelningiausią variantą kaip atsakymą. ar net

Tai yra, pavyzdys laikomas išspręstu, kai imamas paskutinis integralas. Tai nebus klaida, kitas reikalas, kad mokytojas gali paprašyti supaprastinti atsakymą.

6 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Šis integralas integruojamas du kartus dalimis. Ypatingas dėmesys turėtų būti skiriamas ženklams – juose lengva susipainioti, taip pat prisimename, kad – sudėtinga funkcija.

Daugiau apie parodos dalyvį nėra ką pasakyti. Galiu tik pridurti, kad eksponentas ir natūralusis logaritmas yra tarpusavyje atvirkštinės funkcijos, tai aš apie įdomius grafikus aukštoji matematika=) Sustok, sustok, nesijaudink, dėstytojas blaivus.

Trigonometrinių funkcijų integralai, padauginti iš daugianario

Pagrindinė taisyklė: visada reiškia daugianarį

7 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Integravimas dalimis:

Hmm... ir nėra ką komentuoti.

8 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys

9 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Kitas pavyzdys su trupmena. Kaip ir dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose, daugianomas žymimas.

Integravimas dalimis:

Jei kyla sunkumų ar nesusipratimų ieškant integralo, rekomenduoju apsilankyti pamokoje Trigonometrinių funkcijų integralai.

10 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys.

Patarimas: prieš naudodami integravimo dalimis metodą, turėtumėte pritaikyti kokią nors trigonometrinę formulę, kuri paverčia dviejų sandaugą trigonometrinės funkcijosį vieną funkciją. Formulė gali būti naudojama ir taikant integravimo dalimis metodą, kam tai patogiau.

Ko gero, visa tai šioje pastraipoje. Kažkodėl prisiminiau eilutę iš Fizikos ir matematikos katedros himno „Ir sinuso grafiko banga po bangos eina palei abscisių ašį“ ....

Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų integralai.
Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų integralai, padauginti iš daugianario

Pagrindinė taisyklė: visada reiškia atvirkštinę trigonometrinę funkciją.

Primenu, kad atvirkštinės trigonometrinės funkcijos apima arcsinusą, arkosinusą, arctangentą ir arkotangentą. Trumpumo dėlei aš juos pavadinsiu „arkomis“

Sudėtingi integralai

Šis straipsnis užbaigia temą neapibrėžtieji integralai, ir jis apima integralus, kurie, mano nuomone, yra gana sudėtingi. Pamoka buvo sukurta ne kartą lankytojų prašymu, kurie išreiškė pageidavimą, kad svetainėje būtų analizuojami sunkesni pavyzdžiai.

Daroma prielaida, kad šio teksto skaitytojas yra gerai pasiruošęs ir žino, kaip taikyti pagrindinius integravimo būdus. Manekenai ir žmonės, kurie nelabai pasitiki integralais, turėtų kreiptis į pačią pirmąją pamoką - Neapibrėžtas integralas. Sprendimo pavyzdžiai kur galite išmokti temą beveik nuo nulio. Labiau patyrę studentai gali susipažinti su integracijos technikomis ir metodais, su kuriais dar nebuvo susidurta mano straipsniuose.

Kokie integralai bus svarstomi?

Pirma, nagrinėjame integralus su šaknimis, kurių sprendimui nuosekliai naudojame kintamasis pakeitimas ir integravimas dalimis. Tai yra, viename pavyzdyje vienu metu derinami du metodai. Ir dar daugiau.

Tada susipažinsime su įdomiu ir originaliu integralo redukavimo į save metodą. Taip išsprendžiama ne tiek ir mažai integralų.

Trečiasis programos numeris bus kompleksinių trupmenų integralai, kurie ankstesniuose straipsniuose praskriejo pro kasos aparatą.

Ketvirta, bus analizuojami papildomi integralai iš trigonometrinių funkcijų. Visų pirma, yra metodų, kuriais išvengiama daug laiko reikalaujančio universalaus trigonometrinio pakeitimo.

(2) Integrande dalijame skaitiklį iš vardiklio termino.

(3) Naudojame neapibrėžto integralo tiesiškumo savybę. Paskutiniame integrale iškart perkelkite funkciją po diferencialo ženklu.

(4) Imame likusius integralus. Atminkite, kad logaritme galite naudoti skliaustus, o ne modulį, nes .

(5) Atliekame atvirkštinį pakeitimą, išreikšdami tiesioginį pakeitimą „te“:

Mazochistiniai studentai gali atskirti atsakymą ir gauti pradinį integrandą, kaip ką tik padariau aš. Ne, ne, patikrinau teisinga prasme =)

Kaip matote, sprendimo eigoje teko panaudoti net daugiau nei du sprendimo būdus, todėl norint susidoroti su tokiais integralais, reikia užtikrintų integravimo įgūdžių ir ne mažiau patirties.

Praktikoje, žinoma, kvadratinė šaknis yra labiau paplitusi, čia yra trys nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai:

2 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

3 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

4 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Šie pavyzdžiai yra to paties tipo, todėl visas sprendimas straipsnio pabaigoje bus skirtas tik 2 pavyzdžiui, 3-4 pavyzdžiuose – vienas atsakymas. Kurį pakaitalą naudoti sprendimų pradžioje, manau, akivaizdu. Kodėl pasirinkau tokio paties tipo pavyzdžius? Dažnai sutinkami jų vaidmenyse. Dažniau galbūt tiesiog kažkas panašaus .

Tačiau ne visada, kai tiesinės funkcijos šaknis yra po arkos tangentu, sinusu, kosinusu, eksponentu ir kitomis funkcijomis, vienu metu reikia taikyti kelis metodus. Daugeliu atvejų galima „išlipti lengvai“, tai yra iškart po pakeitimo gaunamas paprastas integralas, kuris imamas elementariai. Lengviausia iš aukščiau pasiūlytų užduočių yra 4 pavyzdys, kuriame po pakeitimo gaunamas gana paprastas integralas.

Integralo redukavimo į save metodas

Protingas ir gražus metodas. Pažvelkime į šio žanro klasiką:

5 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Po šaknimi yra kvadratinis dvinaris, o bandant integruoti šį pavyzdį arbatinukas gali kentėti valandas. Toks integralas paimamas dalimis ir redukuojamas į save. Iš principo tai nėra sunku. Jei žinai kaip.

Pažymėkime nagrinėjamąjį integralą lotyniška raide ir pradėkime sprendimą:

Integravimas dalimis:

(1) Paruošiame integrandą padalijimui pagal terminą.

(2) Integrandą dalijame iš termino. Galbūt ne visi supranta, parašysiu plačiau:

(3) Naudojame neapibrėžto integralo tiesiškumo savybę.

(4) Imame paskutinį integralą („ilgasis“ logaritmas).

Dabar pažvelkime į pačią sprendimo pradžią:

O pabaigai:

Kas nutiko? Dėl mūsų manipuliacijų integralas sumažėjo iki savęs!

Sulyginkite pradžią ir pabaigą:

Perkeliame į kairę pusę su ženklo pakeitimu:

Ir nugriauname dvikovą į dešinę pusę. Kaip rezultatas:

Konstanta, griežtai tariant, turėjo būti pridėta anksčiau, bet aš ją pridėjau pabaigoje. Primygtinai rekomenduoju perskaityti, koks yra sunkumas čia:

Pastaba: Tiksliau, galutinis sprendimo etapas atrodo taip:

Šiuo būdu:

Konstantą galima pervadinti naudojant . Kodėl galite pervardyti? Nes vis tiek reikia bet koks reikšmės, ir šia prasme nėra skirtumo tarp konstantų ir.
Kaip rezultatas:

Panašus triukas su nuolatiniu pervadinimu yra plačiai naudojamas diferencialines lygtis. O ten aš būsiu griežtas. O štai tokias laisves aš leidžiau tik tam, kad nesupainiočiau jūsų su nereikalingais dalykais ir susikoncentruotumėte į patį integracijos metodą.

6 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Kitas tipiškas nepriklausomo sprendimo integralas. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Skirtumas nuo ankstesnio pavyzdžio atsakymo bus toks!

Jei po kvadratine šaknimi yra kvadratinis trinaris, sprendimas bet kuriuo atveju sumažinamas iki dviejų analizuotų pavyzdžių.

Pavyzdžiui, apsvarstykite integralą . Viskas, ką jums reikia padaryti, tai iš anksto pasirinkite visą kvadratą:
.
Toliau atliekamas linijinis pakeitimas, kuris valdo „be jokių pasekmių“:
, todėl gaunamas integralas . Kažkas pažįstamo, tiesa?

Arba šis pavyzdys su kvadratiniu dvejetainiu:
Viso kvadrato pasirinkimas:
Ir po tiesinio pakeitimo gauname integralą , kurį taip pat išsprendžia jau svarstytas algoritmas.

Apsvarstykite dar du tipinius pavyzdžius, kaip sumažinti integralą į save:
yra laipsnio integralas, padaugintas iš sinuso;
yra rodiklio integralas, padaugintas iš kosinuso.

Išvardytuose integraluose pagal dalis turėsite integruoti jau du kartus:

7 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Integrandas yra eksponentas, padaugintas iš sinuso.

Integruojame dalimis du kartus ir integralą sumažiname į save:

Dėl dvigubo integravimo dalimis integralas redukuojamas į save. Sulyginkite sprendimo pradžią ir pabaigą:

Perkeliame į kairę pusę su ženklo pakeitimu ir išreiškiame integralą:

Paruošta. Pakeliui pageidautina šukuoti dešinįjį šoną, t.y. išimkite eksponentą iš skliaustų, o sinusą ir kosinusą įdėkite į skliaustus „gražia“ tvarka.

Dabar grįžkime į pavyzdžio pradžią, tiksliau, prie integravimo dalimis:

Nes mes paskyrėme parodos dalyvį. Kyla klausimas, ar eksponentas visada turėtų būti žymimas ? Nereikalinga. Tiesą sakant, laikomame integralu iš esmės nesvarbu, ką žymėti, galima eiti ir kitaip:

Kodėl tai įmanoma? Kadangi eksponentas virsta savimi (diferencijuojant ir integruojant), sinusas ir kosinusas tarpusavyje virsta vienas kitu (vėlgi, tiek diferencijuojant, tiek integruojant).

Tai yra, galima pažymėti ir trigonometrinę funkciją. Tačiau nagrinėjamame pavyzdyje tai yra mažiau racionalu, nes atsiras trupmenos. Jei norite, galite pabandyti išspręsti šį pavyzdį antruoju būdu, atsakymai turi būti vienodi.

8 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Prieš priimdami sprendimą, pagalvokite, ką šiuo atveju naudingiau priskirti eksponentinei ar trigonometrinei funkcijai? Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ir, žinoma, nepamirškite, kad daugumą šios pamokos atsakymų gana lengva patikrinti diferencijuojant!

Pavyzdžiai nebuvo laikomi pačiais sunkiausiais. Praktikoje labiau paplitę integralai, kur konstanta yra ir laipsnyje, ir trigonometrinės funkcijos argumente, pavyzdžiui: . Daugeliui žmonių teks susipainioti tokiame integrale, o aš pats dažnai susipainioju. Faktas yra tas, kad tirpale yra didelė trupmenų atsiradimo tikimybė ir labai lengva ką nors prarasti dėl neatidumo. Be to, yra didelė ženklų klaidų tikimybė, atkreipkite dėmesį, kad rodiklyje yra minuso ženklas, o tai sukelia papildomų sunkumų.

Paskutiniame etape dažnai pasirodo kažkas panašaus į tai:

Net sprendimo pabaigoje turėtumėte būti ypač atsargūs ir teisingai elgtis su trupmenomis:

Sudėtingų trupmenų integravimas

Pamažu artėjame prie pamokos pusiaujo ir pradedame svarstyti trupmenų integralus. Vėlgi, ne visi jie yra labai sudėtingi, tik dėl vienokių ar kitokių priežasčių pavyzdžiai buvo šiek tiek „ne į temą“ kituose straipsniuose.

Tęsiant šaknų temą

9 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Vardiklyje po šaknimi yra kvadratinis trinaris plius už šaknies „priedas“ „x“ pavidalu. Šios formos integralas išsprendžiamas naudojant standartinį pakaitalą.

Mes nusprendžiame:

Pakeitimas čia yra paprastas:

Žvelgiant į gyvenimą po pakeitimo:

(1) Pakeitę šaknies terminus sumažiname iki bendro vardiklio.
(2) Išimame iš po šaknies.
(3) Sumažiname skaitiklį ir vardiklį . Tuo pačiu metu pagal šaknį pertvarkiau sąlygas patogia tvarka. Turint tam tikrą patirtį, žingsnius (1), (2) galima praleisti, atliekant komentuojamus veiksmus žodžiu.
(4) Gautas integralas, kaip prisimenate iš pamokos Kai kurių trupmenų integravimas, yra išspręsta pilno kvadrato pasirinkimo metodas. Pasirinkite visą kvadratą.
(5) Integruodami gauname įprastą „ilgąjį“ logaritmą.
(6) Atliekame atvirkštinį pakeitimą. Jei iš pradžių , tada atgal: .
(7) Paskutiniu veiksmu siekiama iškirpti rezultatą: po šaknimi vėl sujungiame terminus į bendrą vardiklį ir išimame juos iš po šaknies.

10 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Čia prie vienetinio x pridedama konstanta, o pakeitimas yra beveik toks pat:

Vienintelis dalykas, kurį reikia padaryti papildomai, yra išreikšti „x“ iš pakeitimo:

Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Kartais tokiame integrale po šaknimi gali būti kvadratinis dvinaris, tai nekeičia sprendimo būdo, bus net dar paprasčiau. Jausti skirtumą:

11 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

12 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Trumpi sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje. Reikėtų pažymėti, kad 11 pavyzdys yra būtent toks binominis integralas, kurio sprendimo būdas buvo aptartas pamokoje Iracionaliųjų funkcijų integralai.

Neskaidomo 2-ojo laipsnio daugianario integralas į laipsnį

(polinomas vardiklyje)

Rečiau, bet vis dėlto susitinkama praktinių pavyzdžių integralo tipas.

13 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Bet grįžkime prie pavyzdžio su laimingu skaičiumi 13 (tiesą pasakius, neatspėjau). Šis integralas taip pat priklauso tų, su kuriais galite labai nukentėti, jei nežinote, kaip išspręsti.

Sprendimas prasideda dirbtine transformacija:

Manau, visi jau supranta, kaip dalyti skaitiklį iš vardiklio termino iš termino.

Gautas integralas paimamas dalimis:

Formos integralas ( yra natūralusis skaičius), mes išvedėme pasikartojantis pažeminimo formulė:
, kur yra žemesnio laipsnio integralas.

Patikrinkime šios formulės pagrįstumą išspręstam integralui .
Šiuo atveju: , , naudojame formulę:

Kaip matote, atsakymai yra tie patys.

14 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Mėginio tirpale naudojama aukščiau pateikta formulė du kartus iš eilės.

Jei pagal laipsnį yra neskaidomas kvadratinis trinalis, tada sprendimas sumažinamas iki dvejetainio, ištraukiant visą kvadratą, pavyzdžiui:

Ką daryti, jei skaitiklyje yra papildomas daugianomas? Šiuo atveju naudojamas neapibrėžtųjų koeficientų metodas, o integrandas išplečiamas į trupmenų sumą. Bet mano praktikoje toks pavyzdys niekada nesusitiko, todėl šį atvejį straipsnyje praleidau Trupmeninės-racionalios funkcijos integralai, dabar praleisiu. Jei toks integralas vis tiek pasitaiko, žiūrėkite vadovėlį – ten viskas paprasta. Nemanau, kad tikslinga įtraukti medžiagą (net ir paprastą), su kuria susitikimo tikimybė linkusi į nulį.

Sudėtingų trigonometrinių funkcijų integravimas

Daugumos pavyzdžių būdvardis „sunku“ vėlgi iš esmės yra sąlyginis. Pradėkime nuo liestinių ir kotangentų didelėmis galiomis. Lietinės ir kotangento sprendimo metodų požiūriu yra beveik vienodi, todėl plačiau kalbėsiu apie liestinę, tai reiškia, kad parodytas integralo sprendimo būdas galioja ir kotangentui.

Aukščiau pateiktoje pamokoje mes apžvelgėme universalus trigonometrinis pakeitimas tam tikro tipo trigonometrinių funkcijų integralams išspręsti. Universalaus trigonometrinio pakeitimo trūkumas yra tas, kad jo taikymas dažnai sukelia sudėtingus integralus, kuriuos reikia atlikti sudėtingais skaičiavimais. Ir kai kuriais atvejais universalaus trigonometrinio pakeitimo galima išvengti!

Apsvarstykite kitą kanoninį pavyzdį, vienybės integralą, padalytą iš sinuso:

17 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Čia galite naudoti universalųjį trigonometrinį pakaitalą ir gauti atsakymą, tačiau yra racionalesnis būdas. Kiekvienam žingsniui pateiksiu išsamų sprendimą su komentarais:

(1) Mes naudojame trigonometrinę dvigubo kampo sinuso formulę.
(2) Atliekame dirbtinę transformaciją: Vardiklyje dalijame ir dauginame iš .
(3) Pagal gerai žinomą vardiklyje esančią formulę trupmeną paverčiame liestine.
(4) Pažymime funkciją po diferencialo ženklu.
(5) Imame integralą.

Keletas paprastų pavyzdžių, kuriuos galite išspręsti patys:

18 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Patarimas: pats pirmas žingsnis yra naudoti mažinimo formulę ir atidžiai atlikite veiksmus, panašius į ankstesnį pavyzdį.

19 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Na, tai labai paprastas pavyzdys.

Užbaigti sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.

Manau, kad dabar niekas neturės problemų su integralais:
ir tt

Kokia metodo idėja? Idėja yra naudoti transformacijas, trigonometrines formules, kad būtų galima organizuoti tik liestinės ir liestinės išvestinę integrande. Tai yra, mes kalbame apie pakeitimą: . 17–19 pavyzdžiuose mes iš tikrųjų taikėme šis pakaitalas, tačiau integralai buvo tokie paprasti, kad tai buvo atlikta lygiaverčiu veiksmu – funkcijai paskiriant diferencialo ženklą.

Panašus samprotavimas, kaip jau minėjau, gali būti atliktas ir kotangentui.

Taip pat yra formali išankstinė sąlyga, kad būtų galima taikyti pirmiau nurodytą pakeitimą:

Kosinuso ir sinuso laipsnių suma yra neigiamas sveikasis skaičius LYGINIS, pavyzdžiui:

integralui – sveikasis neigiamas LYGINIS skaičius.

! Pastaba : jei integralas turi TIK sinusą arba TIK kosinusą, tai integralas imamas net ir su neigiamu nelyginiu laipsniu (paprasčiausi atvejai yra pavyzdžiuose Nr. 17, 18).

Apsvarstykite keletą prasmingesnių šios taisyklės užduočių:

20 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Sinuso ir kosinuso laipsnių suma: 2 - 6 \u003d -4 - neigiamas sveikasis skaičius LYGINIS skaičius, o tai reiškia, kad integralas gali būti sumažintas iki liestinių ir jo išvestinės:

(1) Transformuokime vardiklį.
(2) Pagal gerai žinomą formulę gauname .
(3) Transformuokime vardiklį.
(4) Mes naudojame formulę .
(5) Funkciją pateikiame po diferencialiniu ženklu.
(6) Mes atliekame pakeitimą. Labiau patyrę studentai gali neatlikti keitimo, bet vis tiek geriau liestinę pakeisti viena raide - yra mažesnė painiavos rizika.

21 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys.

Laikykitės, čempionato etapai prasideda =)

Dažnai integrande yra „dėmėsis“:

22 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Šis integralas iš pradžių turi liestinę, kuri iš karto rodo jau pažįstamą mintį:

Dirbtinę transformaciją paliksiu pačioje pradžioje ir kitus veiksmus be komentarų, nes viskas jau buvo pasakyta aukščiau.

Keletas kūrybingų savarankiško sprendimo pavyzdžių:

23 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

24 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Taip, juose, žinoma, galite sumažinti sinuso, kosinuso laipsnius, naudoti universalų trigonometrinį pakaitalą, tačiau sprendimas bus daug efektyvesnis ir trumpesnis, jei jis bus nubrėžtas per liestinę. Visas sprendimas ir atsakymai pamokos pabaigoje

Išsamiai nagrinėjami integralų dalimis sprendinių pavyzdžiai, kurių integrande yra logaritmas, arcsinusas, arktangentas, taip pat logaritmas iki sveikojo skaičiaus laipsnio ir daugianario logaritmas.

Turinys

Taip pat žiūrėkite: Integravimo dalimis būdas
Neapibrėžtų integralų lentelė
Neapibrėžtinių integralų skaičiavimo metodai
Pagrindinės elementarios funkcijos ir jų savybės

Integravimas pagal dalių formulę

Toliau, sprendžiant pavyzdžius, taikoma integravimo pagal dalis formulė:
;
.

Integralų, kuriuose yra logaritmų ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų, pavyzdžiai

Štai integralų, integruojamų dalimis, pavyzdžiai:
, , , , , , .

Integruojant ta integrando dalis, kurioje yra logaritmas arba atvirkštinės trigonometrinės funkcijos, žymima u, likusioji - dv.

Žemiau pateikiami pavyzdžiai su išsamiais šių integralų sprendimais.

Paprastas logaritmo pavyzdys

Apskaičiuojame integralą, kuriame yra daugianario ir logaritmo sandauga:

Čia integrandas turi logaritmą. Pakeitimų darymas
u= ln x, dv = x 2 dx . Tada
,
.

Integruojame dalimis.
.

.
Tada
.
Skaičiavimų pabaigoje pridedame konstantą C.

Logaritmo laipsnio 2 pavyzdys

Apsvarstykite pavyzdį, kuriame integrandas apima logaritmą iki sveikojo skaičiaus laipsnio. Tokius integralus taip pat galima integruoti dalimis.

Pakeitimų darymas
u= (ln x) 2, dv = x dx . Tada
,
.

Likęs integralas taip pat apskaičiuojamas dalimis:
.
Pakaitalas
.

Pavyzdys, kai logaritmo argumentas yra daugianario

Iš dalies galima skaičiuoti integralus, kurių integralas apima logaritmą, kurio argumentas yra daugianario, racionalioji arba iracionalioji funkcija. Pavyzdžiui, apskaičiuokime integralą su logaritmu, kurio argumentas yra daugianario.
.

Pakeitimų darymas
u= žurnalas (x 2 - 1), dv = x dx .
Tada
,
.

Apskaičiuojame likusį integralą:
.
Modulio ženklo čia nerašome. ln | x 2 - 1|, nes integrandas yra apibrėžtas x 2 - 1 > 0 . Pakaitalas
.

Arcsine pavyzdys

Apsvarstykite integralo, kurio integrandas apima arcsinusą, pavyzdį.
.

Pakeitimų darymas
u= arcsin x,
.
Tada
,
.

Be to, pastebime, kad integrandas yra apibrėžtas |x|< 1 . Atsižvelgdami į tai, išplečiame modulio ženklą po logaritmu 1 – x > 0 ir 1 + x > 0.

Lanko liestinės pavyzdys

Išspręskime pavyzdį su lanko liestine:
.

Integruojame dalimis.
.
Paimkime sveikąją trupmenos dalį:
x 8 = x 8 + x 6 - x 6 - x 4 + x 4 + x 2 - x 2 - 1 + 1 = (x 2 + 1) (x 6 - x 4 + x 2 - 1) + 1;
.
Integruojame:
.
Pagaliau turime.

Antidarinis ir integralas

1. Antidarinis. Funkcija F (x) vadinama funkcijos f (x) antiderivatine intervale X, jei bet kuriam x iš X lygybė F "(x) \u003d f (x)

T.7.13 (Jei F(x) yra funkcijos f(x) intervale X antidarinė, tai funkcija f(x) turi be galo daug antidarinių, ir visos šios antidarinės yra F (x) + С, kur С yra savavališka konstanta (pagrindinė antidarinio savybė).

2. Antidarinių lentelė. Atsižvelgiant į tai, kad antidarinės radimas yra operacija, atvirkštinė diferenciacijai, ir, pradėdami nuo išvestinių lentelės, gauname tokią antidarinių lentelę (paprastumo dėlei lentelėje parodyta viena antiderivatinė F(x), o ne bendra antidarinių F forma. (x) + C):

	antidarinis		antidarinis

Antiderivatinė ir logaritminė funkcija

Logaritminė funkcija, funkcija atvirkštinė eksponentinė funkcija. L. f. žymimas

jo reikšmė y, atitinkanti argumento x reikšmę, vadinama skaičiaus x natūraliuoju logaritmu. Pagal apibrėžimą santykis (1) yra lygiavertis

(e yra ne lygiavertis skaičius). Kadangi ey > 0 bet kuriai realiai y, tada L. f. apibrėžiamas tik tada, kai x > 0. Bendresne prasme L. f. iškviesti funkciją

antiderivatinis laipsnio integralinis logaritmas

kur a > 0 (a? 1) yra savavališka logaritmų bazė. Tačiau atliekant matematinę analizę InX funkcija yra ypač svarbi; logaX funkcija redukuojama pagal formulę:

kur M = 1/In a. L. f. - viena iš pagrindinių elementariųjų funkcijų; jo grafikas (1 pav.) vadinamas logaritminiu. Pagrindinės L. f. savybės. sekti iš atitinkamų eksponentinės funkcijos savybių ir logaritmų; pavyzdžiui, L. f. tenkina funkcinę lygtį

Už - 1< х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

Daugelis integralų išreiškiami L. f.; pavyzdžiui

L. f. dažnai pasitaiko skaičiavimuose ir jo taikymuose.

L. f. buvo gerai žinomas XVII amžiaus matematikams. Pirmą kartą ryšį tarp kintamųjų, išreikštą L. f., nagrinėjo J. Napier (1614). Jis pateikė skaičių ir jų logaritmų ryšį naudodamas du taškus, judančius lygiagrečiomis tiesėmis (2 pav.). Vienas iš jų (Y) juda tolygiai, pradedant nuo C, o kitas (X), pradedant nuo A, juda greičiu, proporcingu jo atstumui nuo B. Jei SU = y, XB = x, tai pagal šis apibrėžimas,

dx/dy = - kx, iš kur.

L. f. kompleksinėje plokštumoje yra daugiareikšmė (begalinės reikšmės) funkcija, apibrėžta visoms argumento z reikšmėms? 0 žymimas Lnz. Vienareikšmiška šios funkcijos šaka, apibrėžta kaip

Inz \u003d In?z? + i arg z,

kur arg z yra kompleksinio skaičiaus z argumentas, vadinamas pagrindine L reikšme. f. Mes turime

Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...

Visos L. f. neigiamiems: tikrieji z yra kompleksiniai skaičiai. Pirmoji patenkinama teorija L. f. kompleksinėje plokštumoje pateikė L. Euleris (1749), kuris rėmėsi apibrėžimu