Aplūkota metode lineāru nehomogēnu augstākas kārtas diferenciālvienādojumu atrisināšanai ar nemainīgiem koeficientiem ar Lagranža konstantu variācijas metodi. Lagranža metode ir piemērojama arī jebkuru lineāru nehomogēnu vienādojumu risināšanai, ja ir zināma homogēnā vienādojuma atrisinājumu pamatsistēma.
SatursSkatīt arī:
Lagranža metode (konstantes izmaiņas)
Apsveriet lineāru nehomogēnu diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem patvaļīgas n-tās kārtas koeficientiem:
(1)
.
Pastāvīgās variācijas metode, ko mēs aplūkojām pirmās kārtas vienādojumam, ir piemērojama arī augstākas kārtas vienādojumiem.
Risinājums tiek veikts divos posmos. Pirmajā posmā mēs atmetam labo pusi un atrisinām viendabīgo vienādojumu. Rezultātā mēs iegūstam risinājumu, kas satur n patvaļīgas konstantes. Otrajā solī mēs mainām konstantes. Tas ir, mēs uzskatām, ka šīs konstantes ir neatkarīgā mainīgā x funkcijas, un atrodam šo funkciju formu.
Lai gan mēs šeit apsveram vienādojumus ar nemainīgiem koeficientiem, bet Lagranža metode ir piemērojama arī jebkuru lineāru nehomogēnu vienādojumu risināšanai. Tomēr šim nolūkam ir jāzina viendabīgā vienādojuma atrisinājumu pamatsistēma.
1. solis. Homogēnā vienādojuma atrisinājums
Tāpat kā pirmās kārtas vienādojumu gadījumā, mēs vispirms meklējam kopīgs lēmums viendabīgs vienādojums, pielīdzinot labo nehomogēnu daļu ar nulli:
(2)
.
Šāda vienādojuma vispārīgajam risinājumam ir šāda forma:
(3)
.
Šeit ir patvaļīgas konstantes; - n viendabīgā vienādojuma (2) lineāri neatkarīgi atrisinājumi, kas veido šī vienādojuma atrisinājumu pamatsistēmu.
2. solis. Konstantu variēšana – konstantu aizstāšana ar funkcijām
Otrajā solī mēs aplūkosim konstantu variācijas. Citiem vārdiem sakot, mēs aizstāsim konstantes ar neatkarīgā mainīgā x funkcijām:
.
Tas ir, mēs meklējam sākotnējā vienādojuma (1) risinājumu šādā formā:
(4)
.
Ja (4) aizstājam ar (1), mēs iegūstam vienu diferenciālvienādojumu n funkcijām. Šajā gadījumā mēs varam savienot šīs funkcijas ar papildu vienādojumiem. Tad jūs iegūstat n vienādojumus, no kuriem jūs varat noteikt n funkcijas. Papildu vienādojumus var uzrakstīt dažādos veidos. Bet mēs to darīsim tā, lai risinājumam būtu visvienkāršākā forma. Lai to izdarītu, diferencējot, jums ir jāpielīdzina nullei termini, kas satur funkciju atvasinājumus. Demonstrēsim to.
Lai piedāvāto risinājumu (4) aizstātu ar sākotnējo vienādojumu (1), jāatrod formā (4) ierakstītās funkcijas pirmo n kārtu atvasinājumi. Diferencēt (4), piemērojot summas un produkta diferencēšanas noteikumus:
.
Sagrupēsim dalībniekus. Vispirms mēs uzrakstām terminus ar atvasinājumiem un pēc tam terminus ar atvasinājumiem no :
.
Mēs izvirzām pirmo nosacījumu funkcijām:
(5.1)
.
Tad izteiksmei pirmajam atvasinājumam attiecībā pret būs vienkāršāka forma:
(6.1)
.
Tādā pašā veidā mēs atrodam otro atvasinājumu:
.
Otro nosacījumu mēs izvirzām funkcijām:
(5.2)
.
Tad
(6.2)
.
Un tā tālāk. Papildu nosacījumos vārdus, kas satur funkciju atvasinājumus, pielīdzinām nullei.
Tādējādi, ja funkcijām izvēlamies šādus papildu vienādojumus:
(5.k) ,
tad pirmajiem atvasinājumiem attiecībā uz būs visvienkāršākā forma:
(6.k) .
Šeit .
Mēs atrodam n-to atvasinājumu:
(6.n)
.
Mēs aizstājam ar sākotnējo vienādojumu (1):
(1)
;
.
Mēs ņemam vērā, ka visas funkcijas atbilst (2) vienādojumam:
.
Tad terminu summa, kas satur, dod nulli. Rezultātā mēs iegūstam:
(7)
.
Rezultātā mēs saņēmām lineāru vienādojumu sistēmu atvasinājumiem:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .
Atrisinot šo sistēmu, mēs atrodam izteiksmes atvasinājumiem kā x funkcijas. Integrējot, mēs iegūstam:
.
Šeit ir konstantes, kas vairs nav atkarīgas no x. Aizstājot ar (4), iegūstam sākotnējā vienādojuma vispārējo risinājumu.
Ņemiet vērā, ka mēs nekad neizmantojām faktu, ka koeficienti a i ir nemainīgi, lai noteiktu atvasinājumu vērtības. Tāpēc Lagranža metode ir piemērojama, lai atrisinātu jebkuru lineāru nehomogēnu vienādojumu, ja ir zināma homogēnā vienādojuma (2) atrisinājumu fundamentālā sistēma.
Piemēri
Atrisiniet vienādojumus ar konstantu variācijas metodi (Lagrange).
Piemēru risinājums >>>
Augstākas kārtas vienādojumu atrisināšana pēc Bernulli metodes
Lineāru nehomogēnu augstākās kārtas diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem risināšana ar lineāru aizstāšanu
Lekcija 44. Otrās kārtas lineāri nehomogēni vienādojumi. Patvaļīgu konstantu variācijas metode. Otrās kārtas lineāri nehomogēni vienādojumi ar nemainīgiem koeficientiem. (īpaša labā puse).
Sociālās transformācijas. Valsts un Baznīca.
Boļševiku sociālo politiku lielā mērā noteica viņu šķiriskā pieeja. Ar 1917. gada 10. novembra dekrētu īpašumu sistēma tika atcelta, pirmsrevolūcijas pakāpes, tituli un apbalvojumi tika atcelti. Tiesnešu vēlēšanas ir noteiktas; tika veikta civilvalstu sekularizācija. Nodibināja bezmaksas izglītību un medicīnisko aprūpi (1918. gada 31. oktobra dekrēts). Sievietes tiesībās tika pielīdzinātas vīriešiem (1917. gada 16. un 18. decembra dekrēti). Dekrēts par laulību ieviesa civillaulības institūtu.
Ar Tautas komisāru padomes 1918. gada 20. janvāra dekrētu baznīca tika atdalīta no valsts un no izglītības sistēmas. Lielākā daļa Baznīcas īpašums tika konfiscēts. Maskavas un visas Krievijas patriarhs Tihons (ievēlēts 1917. gada 5. novembrī) 1918. gada 19. janvārī nojauca padomju varu un aicināja cīnīties pret boļševikiem.
Apsveriet lineāru nehomogēnu otrās kārtas vienādojumu
Šāda vienādojuma vispārējā risinājuma struktūru nosaka šāda teorēma:
1. teorēma. Nehomogēnā vienādojuma (1) vispārējais atrisinājums tiek attēlots kā šī vienādojuma kāda konkrēta risinājuma un atbilstošā homogēnā vienādojuma vispārējā atrisinājuma summa
Pierādījums. Mums ir jāpierāda, ka summa
ir (1) vienādojuma vispārējais risinājums. Vispirms pierādīsim, ka funkcija (3) ir (1) vienādojuma risinājums.
Aizstājot summu vienādojumā (1), nevis plkst, būs
Tā kā (2) vienādojumam ir risinājums, izteiksme pirmajās iekavās ir vienāda ar nulli. Tā kā vienādojumam (1) ir risinājums, izteiksme otrajās iekavās ir vienāda ar f(x). Tāpēc vienlīdzība (4) ir identitāte. Tādējādi tiek pierādīta teorēmas pirmā daļa.
Pierādīsim otro apgalvojumu: izteiksme (3) ir ģenerālis(1) vienādojuma risinājums. Mums jāpierāda, ka šajā izteiksmē iekļautās patvaļīgās konstantes var izvēlēties tā, lai būtu izpildīti sākotnējie nosacījumi:
neatkarīgi no skaitļiem x 0, y 0 un (ja tikai x 0 tika ņemts no apgabala, kurā funkcijas a 1, a 2 un f(x) nepārtraukts).
Ievērojot, ka ir iespējams attēlot formā . Tad, pamatojoties uz nosacījumiem (5), mums ir
Atrisināsim šo sistēmu un atradīsim No 1 un No 2. Pārrakstīsim sistēmu šādi:
Ņemiet vērā, ka šīs sistēmas noteicošais ir Vronska funkciju determinants 1 un plkst.2 punktā x=x 0. Tā kā šīs funkcijas pēc pieņēmuma ir lineāri neatkarīgas, Vronska determinants nav vienāds ar nulli; tātad sistēmai (6) ir noteikts risinājums No 1 un No 2, t.i. ir tādas vērtības No 1 un No 2, kurai formula (3) nosaka (1) vienādojuma risinājumu, kas atbilst dotajiem sākuma nosacījumiem. Q.E.D.
Pāriesim pie izplatīta metode konkrētu risinājumu atrašana nehomogēnam vienādojumam.
Uzrakstīsim homogēnā vienādojuma (2) vispārējo atrisinājumu.
Mēs meklēsim nehomogēnā vienādojuma (1) konkrētu risinājumu formā (7), ņemot vērā No 1 un No 2 kā dažas vēl nezināmas funkcijas no X.
Atšķirsim vienlīdzību (7):
Mēs izvēlamies vēlamās funkcijas No 1 un No 2 tā ka vienlīdzība
Ja ņem vērā šo papildu nosacījumu, tad pirmais atvasinājums iegūst formu
Tagad, atšķirot šo izteiksmi, mēs atrodam:
Aizvietojot vienādojumu (1), iegūstam
Izteicieni pirmajās divās iekavās pazūd, jo y 1 un y2 ir homogēna vienādojuma risinājumi. Tāpēc pēdējā vienlīdzība iegūst formu
Tādējādi funkcija (7) būs nehomogēnā vienādojuma (1) risinājums, ja funkcijas No 1 un No 2 atbilst (8) un (9) vienādojumam. Sastādīsim vienādojumu sistēmu no vienādojumiem (8) un (9).
Tā kā šīs sistēmas determinants ir Vronska determinants lineāri neatkarīgiem risinājumiem y 1 un y2 vienādojums (2), tad tas nav vienāds ar nulli. Tāpēc, risinot sistēmu, mēs atradīsim gan noteiktas funkcijas X:
Atrisinot šo sistēmu, mēs atrodam , no kurienes integrācijas rezultātā iegūstam . Tālāk mēs aizvietojam atrastās funkcijas formulā , iegūstam nehomogēnā vienādojuma vispārējo atrisinājumu , kur ir patvaļīgas konstantes.
Teorētiskais minimumsDiferenciālvienādojumu teorijā ir metode, kas apgalvo, ka šai teorijai ir pietiekami augsta universāluma pakāpe.
Mēs runājam par patvaļīgas konstantes variācijas metodi, kas piemērojama dažādu diferenciālvienādojumu klašu risināšanai un to
sistēmas. Tas ir tieši tas gadījums, kad teorija - ja izņem apgalvojumu pierādījumus no iekavām - ir minimāla, bet ļauj sasniegt
nozīmīgi rezultāti, tāpēc galvenā uzmanība tiks pievērsta piemēriem.Metodes vispārīgā ideja ir diezgan vienkārši formulējama. Lai dotais vienādojums (vienādojumu sistēma) būtu grūti atrisināms vai pat nesaprotams,
kā to atrisināt. Tomēr var redzēt, ka tad, kad daži termini tiek izslēgti no vienādojuma, tas tiek atrisināts. Tad viņi atrisina tikai šādu vienkāršotu
vienādojumu (sistēmu), iegūstiet risinājumu, kas satur noteiktu skaitu patvaļīgu konstantu - atkarībā no vienādojuma secības (skaits
vienādojumi sistēmā). Tad tiek pieņemts, ka konstantes atrastajā risinājumā nav īsti konstantes, atrastais risinājums
tiek aizstāts ar sākotnējo vienādojumu (sistēmu), tiek iegūts diferenciālvienādojums (vai vienādojumu sistēma), lai noteiktu "konstantes".
Patvaļīgas konstantes variācijas metodes pielietošanai ir noteikta specifika dažādi uzdevumi, bet tie jau ir dati, kas būs
parādīts ar piemēriem.Atsevišķi aplūkosim augstākas kārtas lineāru nehomogēnu vienādojumu atrisinājumu, t.i. formas vienādojumi
.
Lineāra nehomogēna vienādojuma vispārējais atrisinājums ir atbilstošā homogēnā vienādojuma vispārējā atrisinājuma un konkrētā risinājuma summa
dots vienādojums. Pieņemsim, ka viendabīgā vienādojuma vispārējais atrisinājums jau ir atrasts, proti, ir uzbūvēta fundamentālā atrisinājumu sistēma (FSR).
. Tad homogēnā vienādojuma vispārējais atrisinājums ir .
Ir jāatrod kāds konkrēts nehomogēnā vienādojuma risinājums. Šim nolūkam tiek uzskatīts, ka konstantes ir atkarīgas no mainīgā.
Tālāk jums jāatrisina vienādojumu sistēma.
Teorija garantē, ka šai algebrisko vienādojumu sistēmai attiecībā uz funkciju atvasinājumiem ir unikāls risinājums.
Atrodot pašas funkcijas, integrācijas konstantes neparādās: galu galā tiek meklēts jebkurš viens risinājums.Formas pirmās kārtas lineāru nehomogēnu vienādojumu sistēmu risināšanas gadījumā
algoritms paliek gandrīz nemainīgs. Vispirms jāatrod atbilstošās viendabīgās vienādojumu sistēmas FSR, jāsastāda pamatmatrica
sistēma , kuras kolonnas ir FSR elementi. Tālāk vienādojums.
Atrisinot sistēmu, mēs nosakām funkcijas, tādējādi atrodot konkrētu risinājumu oriģinālajai sistēmai
(pamatmatrica tiek reizināta ar atrastās pazīmes kolonnu).
Mēs to pievienojam atbilstošās viendabīgo vienādojumu sistēmas vispārīgajam risinājumam, kas veidots, pamatojoties uz jau atrasto FSR.
Tiek iegūts sākotnējās sistēmas vispārīgais risinājums.Piemēri.
1. piemērs Pirmās kārtas lineāri nehomogēni vienādojumi.
Apskatīsim atbilstošo viendabīgo vienādojumu (vajadzīgo funkciju apzīmējam ar ):
.
Šo vienādojumu ir viegli atrisināt, atdalot mainīgos:
.
Tagad mēs attēlojam sākotnējā vienādojuma risinājumu formā, kur funkcija vēl nav atrasta.
Mēs aizstājam šāda veida risinājumus sākotnējā vienādojumā:
.
Kā redzat, otrais un trešais termins kreisajā pusē atceļ viens otru - tas ir funkciju patvaļīgas konstantes variācijas metode.
Šeit jau - patiešām, patvaļīga konstante. Pa šo ceļu,
.2. piemērs Bernulli vienādojums.
Mēs rīkojamies līdzīgi kā pirmajā piemērā – atrisinām vienādojumu
mainīgo lielumu atdalīšanas metode. Izrādīsies , tāpēc mēs meklējam sākotnējā vienādojuma risinājumu formā
.
Aizstājiet šo funkciju sākotnējā vienādojumā:
.
Un atkal ir griezumi:
.
Šeit jums ir jāatceras, ka, dalot ar, risinājums netiek zaudēts. Un lieta atbilst oriģināla risinājumam
vienādojumi. Atcerēsimies viņu. Tātad,.
Rakstīsim.
Šis ir risinājums. Rakstot atbildi, jānorāda arī iepriekš atrastais risinājums, jo tas neatbilst nevienai gala vērtībai
konstantes.3. piemērs Augstākas kārtas lineāri nehomogēni vienādojumi.
Mēs uzreiz atzīmējam, ka šo vienādojumu var atrisināt vienkāršāk, taču ir ērti parādīt metodi. Lai gan dažas priekšrocības
patvaļīgas konstantes variācijas metodei tā ir arī šajā piemērā.
Tātad, jums jāsāk ar atbilstošā viendabīgā vienādojuma FSR. Atgādiniet, ka, lai atrastu FSR, raksturlielumu
vienādojums
.
Tādējādi homogēnā vienādojuma vispārējais risinājums
.
Šeit iekļautās konstantes ir jāmaina. Sistēmas sastādīšana
