Atvasinājums ln arctg x. Arksīna (arcsin x)′ un arkosīna (arccos x)′ atvasinājumu atvasināšana

Datums: 20.11.2014

Kas ir atvasinājums?

Atvasinājumu tabula.

Atvasinājums ir viens no galvenajiem jēdzieniem augstākā matemātika. Šajā nodarbībā mēs iepazīstināsim ar šo jēdzienu. Iepazīsimies, bez stingriem matemātiskiem formulējumiem un pierādījumiem.

Šis ievads ļaus jums:

Izprast vienkāršu uzdevumu būtību ar atvasinājumu;

Veiksmīgi atrisiniet šos ļoti vienkāršos uzdevumus;

Sagatavojieties nopietnākām atvasinājumu nodarbībām.

Pirmkārt, patīkams pārsteigums.

Stingrā atvasinājuma definīcija ir balstīta uz robežu teoriju, un lieta ir diezgan sarežģīta. Tas ir satraucoši. Bet atvasinājuma praktiskā pielietošana, kā likums, neprasa tik plašas un dziļas zināšanas!

Lai veiksmīgi izpildītu lielāko daļu uzdevumu skolā un universitātē, pietiek ar to, ka zina tikai daži termini- izprast uzdevumu un tikai daži noteikumi- lai to atrisinātu. Un viss. Tas mani iepriecina.

Vai mēs iepazīsimies?)

Noteikumi un apzīmējumi.

Elementārajā matemātikā ir daudz matemātisko darbību. Saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, kāpināšana, logaritms utt. Ja šīm darbībām pievieno vēl vienu darbību, elementārā matemātika kļūst augstāka. Šo jauno operāciju sauc diferenciācija.Šīs darbības definīcija un nozīme tiks apspriesta atsevišķās nodarbībās.

Šeit ir svarīgi saprast, ka diferencēšana ir tikai matemātiska darbība ar funkciju. Mēs ņemam jebkuru funkciju un saskaņā ar noteiktiem noteikumiem to pārveidojam. Rezultāts ir jauna funkcija. Šo jauno funkciju sauc: atvasinājums.

Diferenciācija- darbība ar funkciju.

Atvasinājums ir šīs darbības rezultāts.

Tāpat kā, piemēram, summa ir pievienošanas rezultāts. Or Privāts ir sadalīšanas rezultāts.

Zinot terminus, var vismaz saprast uzdevumus.) Formulējums ir šāds: atrast funkcijas atvasinājumu; ņemt atvasinājumu; atšķirt funkciju; aprēķināt atvasinājumu utt. Tas viss tas pats. Protams, ir sarežģītāki uzdevumi, kur atvasinājuma (diferencēšanas) atrašana būs tikai viens no soļiem uzdevuma risināšanā.

Atvasinājums tiek apzīmēts ar domuzīmi augšējā labajā stūrī virs funkcijas. Kā šis: y" vai f"(x) vai S"(t) un tā tālāk.

lasīt y insults, ef insults no x, es insults no te, nu tu saprati...)

Pirmskaitlis var arī apzīmēt noteiktas funkcijas atvasinājumu, piemēram: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" utt. Bieži vien atvasinājums tiek apzīmēts, izmantojot diferenciāļus, taču mēs šajā nodarbībā šādu apzīmējumu neapskatīsim.

Pieņemsim, ka esam iemācījušies saprast uzdevumus. Nekas cits neatliek - iemācīties tos atrisināt.) Atgādināšu vēlreiz: atvasinājuma atrašana ir funkcijas pārveidošana saskaņā ar noteiktiem noteikumiem.Šo noteikumu ir pārsteidzoši maz.

Lai atrastu funkcijas atvasinājumu, jums jāzina tikai trīs lietas. Trīs pīlāri, uz kuriem balstās visa diferenciācija. Šeit ir trīs vaļi:

1. Atvasinājumu tabula (diferenciācijas formulas).

3.Atvasinājums sarežģīta funkcija.

Sāksim secībā. Šajā nodarbībā mēs apskatīsim atvasinājumu tabulu.

Atvasinājumu tabula.

Pasaulei ir bezgalīgs skaits funkciju. Šajā komplektā ir funkcijas, kas ir vissvarīgākās praktisks pielietojums. Šīs funkcijas ietilpst visos dabas likumos. No šīm funkcijām, tāpat kā no ķieģeļiem, jūs varat izveidot visas pārējās. Šo funkciju klasi sauc elementāras funkcijas. Tieši šīs funkcijas tiek pētītas skolā - lineārās, kvadrātiskās, hiperbolas utt.

Funkciju diferencēšana "no nulles", t.i. pamatojoties uz atvasinājuma definīciju un robežu teoriju - diezgan laikietilpīga lieta. Un matemātiķi arī ir cilvēki, jā, jā!) Tātad viņi vienkāršoja savu dzīvi (un mūs). Viņi pirms mums aprēķināja elementāro funkciju atvasinājumus. Rezultātā tiek iegūta atvasinājumu tabula, kurā viss ir gatavs.)

Lūk, šī plāksne populārākajām funkcijām. Pa kreisi - elementārā funkcija, pa labi - tās atvasinājums.

	Funkcija y	Funkcijas y atvasinājums y"
1	C( nemainīgs)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n ir jebkurš skaitlis)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x


4	grēks x	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
4	e x
5	žurnāls a x
5	ln x ( a = e)

Es iesaku pievērst uzmanību trešajai funkciju grupai šajā atvasinājumu tabulā. Jaudas funkcijas atvasinājums ir viena no visbiežāk sastopamajām formulām, ja ne visizplatītākā! Vai mājiens ir skaidrs?) Jā, atvasinājumu tabulu vēlams zināt no galvas. Starp citu, tas nav tik grūti, kā varētu šķist. Mēģiniet atrisināt vairāk piemēru, pati tabula paliks atmiņā!)

Atvasinājuma tabulas vērtības atrašana, kā jūs saprotat, nav visgrūtākais uzdevums. Tāpēc ļoti bieži šādos uzdevumos ir papildu mikroshēmas. Vai nu uzdevuma formulējumā, vai sākotnējā funkcijā, kas, šķiet, nav tabulā ...

Apskatīsim dažus piemērus:

1. Atrodiet funkcijas y = x atvasinājumu 3

Tabulā šādas funkcijas nav. Bet ir jaudas funkcijas vispārējs atvasinājums (trešā grupa). Mūsu gadījumā n=3. Tāpēc mēs aizstājam trīskāršu n vietā un uzmanīgi pierakstām rezultātu:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Tas ir viss.

Atbilde: y" = 3x 2

2. Atrodiet funkcijas y = sinx atvasinājuma vērtību punktā x = 0.

Šis uzdevums nozīmē, ka vispirms ir jāatrod sinusa atvasinājums un pēc tam jāaizstāj vērtība x = 0šim pašam atvasinājumam. Tas ir tādā secībā! Citādi gadās, ka viņi oriģinālajā funkcijā uzreiz aizvieto nulli... Mums tiek lūgts atrast nevis sākotnējās funkcijas vērtību, bet gan vērtību. tā atvasinājums. Atvasinājums, ļaujiet man atgādināt, jau ir jauna funkcija.

Uz plāksnes mēs atrodam sinusu un atbilstošo atvasinājumu:

y" = (sinx)" = cosx

Aizstāt nulli atvasinājumā:

y"(0) = cos 0 = 1

Šī būs atbilde.

3. Atšķiriet funkciju:

Kas iedvesmo?) Atvasinājumu tabulā šādas funkcijas nav pat tuvu.

Atgādināšu, ka funkcijas diferencēšana nozīmē vienkārši atrast šīs funkcijas atvasinājumu. Ja aizmirstat elementāro trigonometriju, mūsu funkcijas atvasinājuma atrašana ir diezgan apgrūtinoša. Tabula nepalīdz...

Bet, ja mēs redzam, ka mūsu funkcija ir dubultā leņķa kosinuss, tad uzreiz viss kļūst labāk!

Jā jā! Atcerieties, ka sākotnējās funkcijas pārveidošana pirms diferenciācijas diezgan pieņemami! Un tas notiek, lai padarītu dzīvi daudz vieglāku. Saskaņā ar dubultā leņķa kosinusa formulu:

Tie. mūsu viltīgā funkcija ir nekas cits kā y = cox. Un šī ir tabulas funkcija. Mēs uzreiz saņemam:

Atbilde: y" = - grēks x.

Piemērs pieredzējušiem absolventiem un studentiem:

4. Atrodiet funkcijas atvasinājumu:

Protams, atvasinājumu tabulā šādas funkcijas nav. Bet, ja atceries elementāru matemātiku, darbības ar pilnvarām... Tad pavisam iespējams šo funkciju vienkāršot. Kā šis:

Un x desmitdaļas pakāpē jau ir tabulas funkcija! Trešā grupa, n=1/10. Tieši pēc formulas un rakstiet:

Tas ir viss. Šī būs atbilde.

Ceru, ka ar pirmo diferenciācijas vali - atvasinājumu tabulu - viss ir skaidrs. Atliek tikt galā ar diviem atlikušajiem vaļiem. Nākamajā nodarbībā apgūsim diferencēšanas noteikumus.

Parādīts kosinusa atvasinājuma - cos(x) formulas pierādījums un atvasinājums. Piemēri cos 2x, cos 3x, cos nx, kosinusa kvadrātā, kubā un n pakāpē atvasinājumu aprēķināšanai. N-tās kārtas kosinusa atvasinājuma formula.

Saturs

Skatīt arī: Sinuss un kosinuss - īpašības, grafiki, formulas

Atvasinājums attiecībā pret x kosinusa mainīgo x ir vienāds ar mīnus x sinusu:
(cos x)′ = - sin x.

Pierādījums

Lai iegūtu kosinusa atvasinājuma formulu, mēs izmantojam atvasinājuma definīciju:
.

Pārveidosim šo izteiksmi, lai to reducētu līdz zināmiem matemātiskajiem likumiem un likumiem. Lai to izdarītu, mums jāzina četras īpašības.
1) Trigonometriskās formulas. Mums ir nepieciešama šāda formula:
(1) ;
2) Sinusa funkcijas nepārtrauktības īpašība:
(2) ;
3) Pirmā ievērojamā ierobežojuma nozīme:
(3) ;
4) Divu funkciju reizinājuma limita īpašība:
Ja un tad
(4) .

Mēs piemērojam šos likumus līdz mūsu robežām. Vispirms pārveidojam algebrisko izteiksmi
.
Šim nolūkam mēs izmantojam formulu
(1) ;
Mūsu gadījumā
; . Tad
;
;
;
.

Veiksim aizstāšanu. Pie , . Mēs izmantojam nepārtrauktības īpašību (2):
.

Mēs veicam to pašu aizstāšanu un piemērojam pirmo ievērojamo ierobežojumu (3):
.

Tā kā pastāv iepriekš aprēķinātie ierobežojumi, mēs izmantojam īpašību (4):

.

Tādējādi esam ieguvuši kosinusa atvasinājuma formulu.

Piemēri

Apsveriet vienkāršus piemērus, kā atrast kosinusu saturošu funkciju atvasinājumus. Atradīsim šādu funkciju atvasinājumus:
y = cos2x; y = cos 3x; y = cos nx; y= cos 2x; y= cos 3x un y= cos n x.

1. piemērs

Atrast atvasinājumus no cos 2x, jo 3x un cos nx.

Sākotnējām funkcijām ir līdzīga forma. Tāpēc mēs atradīsim funkcijas atvasinājumu y = cos nx. Tad kā atvasinājums no cos nx, aizstājējs n = 2 un n = 3 . Un tādējādi mēs iegūstam formulas atvasinājumiem no jo 2x un jo 3x .

Tātad, mēs atrodam funkcijas atvasinājumu
y = cos nx .
Attēlosim šo mainīgā x funkciju kā kompleksu funkciju, kas sastāv no divām funkcijām:
1)
2)
Tad sākotnējā funkcija ir sarežģīta (salikta) funkcija, kas sastāv no funkcijām un :
.

Atradīsim funkcijas atvasinājumu attiecībā pret mainīgo x:
.
Atradīsim funkcijas atvasinājumu attiecībā pret mainīgo:
.
Mēs piesakāmies.
.
Aizstājējs:
(P1) .

Tagad formulā (P1) mēs aizstājam un:
;
.

;
;
.

2. piemērs

Atrodiet atvasinājumus no kosinusa kvadrātā, kosinusa kubā un kosinusa, kas paaugstināts līdz pakāpei n:
y= cos 2x; y= cos 3x; y= cos n x.

Šajā piemērā arī funkcijām ir līdzīgs izskats. Tāpēc mēs atradīsim vispārīgākās funkcijas atvasinājumu - kosinusu n pakāpē:
y= cos n x.
Tad mēs aizstājam n = 2 un n = 3 . Un tādējādi mēs iegūstam formulas kosinusa kvadrātā un kosinusa kubā atvasinājumiem.

Tātad, mums jāatrod funkcijas atvasinājums
.
Pārrakstīsim to saprotamākā formā:
.
Attēlosim šo funkciju kā sarežģītu funkciju, kas sastāv no divām funkcijām:
1) Mainīgi atkarīgās funkcijas: ;
2) Mainīgi atkarīgās funkcijas: .
Tad sākotnējā funkcija ir sarežģīta funkcija, kas sastāv no divām funkcijām un:
.

Mēs atrodam funkcijas atvasinājumu attiecībā pret mainīgo x:
.
Mēs atrodam funkcijas atvasinājumu attiecībā pret mainīgo:
.
Mēs piemērojam sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu.
.
Aizstājējs:
(P2) .

Tagad aizstāsim un:
;
.

;
;
.

Augstāku pasūtījumu atvasinājumi

Ņemiet vērā, ka atvasinājums no cos x pirmās kārtas var izteikt ar kosinusu šādi:
.

Atradīsim otrās kārtas atvasinājumu, izmantojot kompleksas funkcijas atvasinājuma formulu:

.
Šeit .

Ņemiet vērā šo diferenciāciju cos x izraisa tā argumenta palielināšanos par . Tad n-tās kārtas atvasinājumam ir šāda forma:
(5) .

Šo formulu var stingrāk pierādīt, izmantojot matemātiskās indukcijas metodi. Sinusa n-tā atvasinājuma pierādījums ir dots lapā “Sinusa atvasinājums”. Kosinusa n-tajam atvasinājumam pierādījums ir tieši tāds pats. Visās formulās ir nepieciešams tikai aizstāt grēku ar cos.

Skatīt arī:

Tiek parādīts arkosīna (arcsin x)′ un arkosīna (arccos x)′ pirmās kārtas atvasinājumu atvasinājums. Katrai no funkcijām izvade tiek dota divos veidos.

Saturs

Skatīt arī: Arcsīns, arkosīns - īpašības, grafiki, formulas

Šeit mēs pieņemam, ka mēs zinām sinusa un kosinusa atvasinājumus. Tālāk mēs iegūstam arcsinusa un arkosīna atvasinājumus, ņemot vērā, ka tie ir attiecīgi sinusa un kosinusa apgriezti.

Arksīna atvasinājuma atvasināšana

Apsveriet mainīgā x arcsinējošo funkciju:
y= arcsin x.
- 1 pirms tam + 1 :
.
- π/2 pirms tam + π/2:
.
Arksīna funkcija ir sinusa funkcijas apgrieztā vērtība:
x= siny.

Lai noteiktu arcsīna atvasinājumu, mēs izmantojam apgrieztās funkcijas atvasinājuma formulu:
(1) .

Mēs zinām sinusa atvasinājumu. Parasti to raksta šādā formā:
.
Šeit .
,
kur .
Aizstāt formulā (1):
(2) .
Šeit
y= arcsin x;
x= siny.

Tagad izteiksim formulas (2) labo pusi caur mainīgo x . Šim nolūkam mēs atzīmējam, ka kopš , tad . Tad
.
Aizstāt formulā (2):
.

Tādējādi mēs atvasinājām arcsīna atvasinājuma formulu:
.

Otrais veids

Tā kā arcsinuss un sinuss ir apgrieztas funkcijas attiecībā pret otru, tad
(3) .
Šeit .
Atšķirsim šo vienādojumu attiecībā pret mainīgo x. Tas ir, mēs atrodam kreisās un labās puses atvasinājumus un pielīdzinām tos viens otram:
(4) .

Mēs atrodam labās puses atvasinājumu no atvasinājumu tabulas:
.

Kreisās puses atvasinājumu atrodam pēc sarežģītas funkcijas atvasinājuma formulas:
.
Šeit .
Jo tad. Tāpēc
.
Tad
.

Aizstāt (4):
.
No šejienes
.

Arkosīna atvasinājuma atvasinājums

Izmantojot attiecības starp arcsīnu un arkosīnu

Loka kosinusa atvasinājumu ir viegli iegūt no loka sinusa atvasinājuma, ja izmanto attiecību starp loka sinusu un loka kosinusu:
.
No šejienes
.

Saskaņā ar apgrieztās funkcijas atvasinājuma formulu

Arī loka kosinusa atvasinājumu var atrast pēc apgrieztās funkcijas atvasinājuma formulas.

Apsveriet arkosīna funkciju:
y= arccos x.
Šeit neatkarīgais mainīgais x var iegūt vērtības no - 1 pirms tam + 1 :
.
Atkarīgais mainīgais y var iegūt vērtības no 0 pirms tam π :
.
Arkosinusa funkcija ir kosinusa funkcijas apgrieztā vērtība:
x= cos y.

Mēs izmantojam apgrieztās funkcijas atvasinājuma formulu:
(1) .

Mēs zinām kosinusa atvasinājumu:
.
Šeit .
Apmainīsimies ar mainīgo x un y apzīmējumiem. Tad
,
kur .
Aizstāt formulā (1):
(5) .
Šeit
y= arccos x;
x= cos y.

Tagad izteiksim formulas (5) labo pusi caur mainīgo x . Jo tad. Tad
.
Aizstāt formulā (5):
.

Tādējādi mēs esam atvasinājuši loka kosinusa atvasinājuma formulu:
.

f'(x)

LEKCIJA 8. INVERSE FUNKCIJAS ATvasinājums. SAVIENOTĀS EXPONENTĀS FUNKCIJAS ATvasinājums.

PARAMETRISKI NOTEIKTO FUNKCIJU DIFERENCIJA. NETIEŠĀ ATVASINĀJUMI

1. Apgrieztās funkcijas atvasinājums

1. apgalvojums. Dota funkcija y = f (x), kurai eksistē apgrieztā funkcija x = f −1 (y), un lai funkcijai y = f (x) ir atvasinājums, kas nav nulle f ′ (x). punktā x. Tad arī apgrieztajai funkcijai f −1 (y) ir atvasinājums attiecīgajā punktā y = f (x), un šis atvasinājums ir vienāds.

Tādējādi formula


	(f −1 (y))′

		f'(x)
Pierādījums. Ļaujiet	y pieaugums		mainīgs	y, tas atbilst
apgrieztās funkcijas pieaugums x = f −1 (y + y) − f −1 (y). To var parādīt skatā
pašas funkcijas unikalitāte y = f (x), ka ja				x 6 = 0 un x un y
tajā pašā laikā ir tendence uz nulli. Tāpēc mums ir

Ja x → 0, tad šīs vienādības labās puses saucējs tiecas uz robežu f ′ (x) =6 0, kas nozīmē, ka šīs vienādības labajā pusē ir robeža.




						f'(x)

Tāpēc arī no kreisās puses ir ierobežojums; viņš pārstāv

atvasinājums (f −1 (y))′ .

Tātad mums ir formula xy

yx′

Piezīme 1. Parasti

arguments

funkcija ir apzīmēta

x , sakarā ar

ņemot vērā funkciju f −1

kā mainīgā x funkciju, formulu (1) pārrakstām kā

(f–1

(x))′

f'(y)

Atvasināsim apgriezto trigonometrisko funkciju atvasinājumus.

1–x2

funkcija y

ir apgriezts attiecībā pret funkciju x

Tāpēc saskaņā ar apgrieztās funkcijas diferenciācijas likumu mēs iegūstam

(sin y)y '

1 − sin2y

1–x2

kur –π 2< y < π 2 .

1–x2

Tādā pašā veidā mēs iegūstam

(cos y)y′

1 – cos2 g

1–x2

1+x2

π <

funkcija y

x ir x apgrieztā vērtība

y< π ).

xy′ =

cos2 g

Sekojoši,

yx′ =

cos2y,

cos2 y =

1 + tg2 g

tā kā tg y = x, mēs beidzot iegūstam:

Tāpat izvade

1+x2

Apsveriet piemērus.

Atrodiet atvasinājumu y = arccos tg x.

cos2 x

1 − tg2 x

Atrodiet atvasinājumu y = arctg4 x.

y′ = (arctg4 x)′ = 4 arctg3 x(arctg x)′

4 arctg3x

2. Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Skatīšanas funkcija

y = u(x)v(x) (u(x) > 0),

kur gan bāze, gan eksponents ir atkarīgi no x, sauc par salikto eksponenciālu. Funkciju uv var attēlot kā uv = ev ln u , tad

y′ = (uv )′ = ev ln u (v ln u)′ = uv u v u′ − v′ ln u .

Varat rīkoties citādi, vispirms izmantojot funkcijas y logaritmu:

ln y = ln uv = v ln u.

Šīs identitātes diferencēšana attiecībā pret x

un atceroties, ka ln y ir kompleksa x funkcija,

v ln u + v · u · u′ .

y' = y

Darbību, kas sastāv no secīgas logaritma un pēc tam diferencēšanas funkcijas f (x) pielietošanas, sauc par logaritmisko diferenciāciju un tās rezultātu.

′ = f ′ (x) f (x)

sauc par funkcijas f(x) logaritmisko atvasinājumu.

Logaritmisko diferenciāciju var izmantot, lai atrastu ne tikai sarežģītu eksponenciālu funkciju atvasinājumus. Tā, piemēram, lai atrastu produkta atvasinājumu

y = 2x √ x2 + 4 sin2 x

ir ērti pielietot logaritmisko diferenciāciju, kas ļauj ātri atrast rezultāts. Tad ln y = ln(2 x √ x 2 + 4 sin 2 x).

Pēc logaritmiskās funkcijas īpašībām mums ir

ln y = ln 2x + ln x2 + 4 + ln sin2 x

ln y = x ln 2 + 1 2 ln(x2 + 4) + 2 ln sin x.

Atšķirot šo identitāti attiecībā pret x un atceroties, ka vienādības kreisā puse ir komplekss

x funkcija,

x2+4

Atrodi tevi,

ja y = (ctg x)x 2 .

Risinājums. Funkcija ir sarežģīta. Mēs logaritējam abas vienādojuma puses:

ln y = ln(ctg x)x 2 = x2 ln ctg x.

y′ = 2x ln ctg x −

(ctgx)x

ctg x sin2 x

3. Parametriski doto funkciju diferenciācija

Izsakām y atkarību no x ar parametru t, t.i.

Tas ir jāsaprot šādi. Funkcijai x = ϕ(t) ir apgriezta funkcija t = ϕ−1 (x) , un tāpēc mēs varam uzrakstīt skaidru atkarību

y = ψ(ϕ−1 (x)).

Atradīsim yx ′ caur ψt ′ , ϕ′ t . Mēs diferencējam y kā x kompleksu funkciju. gūt

ψ′

yx = ψt

= ψt

(x))x =

ϕt′

Īsāk sakot, to var uzrakstīt šādi:

4. piemērs Atrast

dx dy,

ja x = ln3 t , y = cos2 3t .

dy :

Risinājums. Funkcija ir iestatīta parametriski. Atradīsim

3 ln2 t

dy dt = 2 cos 3t(− sin 3t)3 = −3 sin 6t,

dx dy = dx dt = −t sin 6t .

5. piemērs. Atrodiet atvasinājumu yx ′, ja x = a cos t, y = a sin t. Mums ir

		yt'		(grēks t)t′

		x′		(a cos t)′

4. Netiešo funkciju atvasinājumi

Pieņemsim, ka y = y(x) ir x implicīta funkcija, t.i., funkcija ir dota ar kādu vienādojumu F (x, y) = 0, lai F (x, y(x)) ≡ 0. Tad, lai atrastu funkcijas y = y(x) atvasinājums, mums ir jādiferencē abas vienādojuma puses F (x, y(x)) = 0 attiecībā pret x, ņemot vērā, ka y ir x funkcija.

6. piemērs. Atrodiet atvasinājumu y ′, ja funkcija y ir dota ar vienādojumu

y2 + x sin y = 0.

Risinājums. Atšķiriet vienādojumu attiecībā pret x:

2yy′ + siny + x cos y y′ = 0.

No šejienes mēs izsakām y′ . gūt

y ′ = − 2y + x cos y .

7. piemērs. Aprēķiniet implicītās funkcijas xy2 = 4 atvasinājuma vērtību punktā

Risinājums. Atradīsim atvasinājumu:
x′ y2 + x2yy′		0, y′ = −


Ja x = 1, y = 2, mēs iegūstam

Un teorēma par sarežģītas funkcijas atvasinājumu, kuras formulējums ir šāds:

Pieņemsim, ka 1) funkcijai $u=\varphi (x)$ ir atvasinājums $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ kādā brīdī $x_0$, 2) funkcijai $y=f(u)$. attiecīgajā punktā $u_0=\varphi (x_0)$ ir atvasinājums $y_(u)"=f"(u)$. Tad kompleksajai funkcijai $y=f\left(\varphi (x) \right)$ minētajā punktā būs arī atvasinājums, kas vienāds ar funkciju $f(u)$ un $\varphi () atvasinājumu reizinājumu x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

vai īsākā apzīmējumā: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Šīs sadaļas piemēros visām funkcijām ir forma $y=f(x)$ (ti, mēs uzskatām tikai viena mainīgā $x$ funkcijas). Attiecīgi visos piemēros atvasinājums $y"$ tiek ņemts attiecībā pret mainīgo $x$. Lai uzsvērtu, ka atvasinājums ņemts attiecībā pret mainīgo $x$, bieži vien $y"_x$ vietā raksta $y"_x$. y"$.

1., 2. un 3. piemēri sniedz detalizētu procesu sarežģītu funkciju atvasinājuma atrašanai. Piemērs Nr. 4 ir paredzēts atvasinājumu tabulas pilnīgākai izpratnei, un ir jēga ar to iepazīties.

Pēc piemērā Nr.1-3 esošā materiāla izpētīšanas vēlams doties uz neatkarīgs lēmums 5., 6. un 7. piemēri. 5., 6. un 7. piemēri satur īsu risinājumu, lai lasītājs varētu pārbaudīt sava rezultāta pareizību.

1. piemērs

Atrodiet funkcijas $y=e^(\cos x)$ atvasinājumu.

Mums jāatrod kompleksās funkcijas $y"$ atvasinājums. Tā kā $y=e^(\cos x)$, tad $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. atrodiet atvasinājumu $ \left(e^(\cos x)\right)"$ izmantojiet formulu #6 no atvasinājumu tabulas. Lai izmantotu formulu Nr.6, jāņem vērā, ka mūsu gadījumā $u=\cos x$. Tālākais risinājums ir banāla izteiksmes $\cos x$, nevis $u$ aizstāšana formulā Nr. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Tagad jāatrod izteiksmes $(\cos x)"$ vērtība. Atkal pievēršamies atvasinājumu tabulai, no tās izvēloties formulu Nr. 10. Aizvietojot $u=x$ formulā Nr. 10, mēs iegūstam : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Tagad turpinām vienādību (1.1), papildinot to ar atrasto rezultātu:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Tā kā $x"=1$, mēs turpinām vienlīdzību (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Tātad no vienādības (1.3) mums ir: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Protams, skaidrojumus un starpvienādības parasti izlaiž, atvasinājumu rakstot vienā rindā, kā vienādībā ( 1.3) Tātad ir atrasts kompleksās funkcijas atvasinājums, atliek tikai pierakstīt atbildi.

Atbilde: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

2. piemērs

Atrodiet funkcijas $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ atvasinājumu.

Mums jāaprēķina atvasinājums $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Sākumā mēs atzīmējam, ka konstanti (t.i., skaitli 9) var izņemt no atvasinājuma zīmes:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Tagad pievērsīsimies izteiksmei $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Lai atvieglotu vēlamās formulas atlasi no atvasinājumu tabulas, prezentēšu izteiksmi jautājumu šādā formā: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Tagad ir skaidrs, ka ir jāizmanto formula Nr.2, t.i. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Šajā formulā aizstājiet $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ un $\alpha=12$:

Papildinot vienādību (2.1) ar iegūto rezultātu, mēs iegūstam:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Šādā situācijā bieži tiek pieļauta kļūda, kad risinātājs pirmajā solī formulas vietā izvēlas formulu $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Lieta ir tāda, ka vispirms ir jāatrod ārējās funkcijas atvasinājums. Lai saprastu, kura funkcija būs ārpus izteiksmes $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, iedomājieties, ka jūs uzskaitāt izteiksmes $\arctg^(12)(4\cdot 5^) vērtību. x)$ kādai vērtībai $x$. Vispirms aprēķiniet vērtību $5^x$, pēc tam reiziniet rezultātu ar 4, lai iegūtu $4\cdot 5^x$. Tagad no šī rezultāta ņemam arktangensu, iegūstot $\arctg(4\cdot 5^x)$. Tad mēs paaugstinām iegūto skaitli līdz divpadsmitajai pakāpei, iegūstot $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Pēdējā darbība, t.i. paaugstinot līdz 12 spēkam, - un būs ārējā funkcija. Un tieši no tā jāsāk atrast atvasinājumu, kas tika izdarīts vienādībā (2.2).

Tagad mums jāatrod $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Mēs izmantojam atvasinājumu tabulas formulu Nr. 19, aizstājot tajā $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Nedaudz vienkāršosim iegūto izteiksmi, ņemot vērā $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Vienlīdzība (2.2) tagad kļūs par:

Atliek atrast $(4\cdot \ln x)"$. No atvasinājuma zīmes izņemam konstanti (t.i. 4): $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. Lai atrastu $(\ln x)"$, mēs izmantojam formulu Nr. 8, aizstājot to ar $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. Tā kā $x"=1$, tad $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ Iegūto rezultātu aizstājot formulā (2.3), iegūstam:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Atgādināšu, ka kompleksās funkcijas atvasinājums visbiežāk ir vienā rindā, kā rakstīts pēdējā vienādībā. Tāpēc, veicot standarta aprēķinus vai kontroles darbi nav nepieciešams tik detalizēti aprakstīt risinājumu.

Atbilde: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

3. piemērs

Atrodiet $y"$ no funkcijas $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Vispirms nedaudz pārveidosim funkciju $y$, izsakot radikāli (sakni) kā pakāpju: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \labais)^(\frac(3)(7))$. Tagad sāksim atrast atvasinājumu. Tā kā $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, tad:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Mēs izmantojam formulu Nr. 2 no atvasinājumu tabulas, aizstājot tajā $u=\sin(5\cdot 9^x)$ un $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Turpinām vienādību (3.1), izmantojot iegūto rezultātu:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Tagad mums jāatrod $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Šim nolūkam mēs izmantojam formulu Nr. 9 no atvasinājumu tabulas, aizstājot tajā $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Papildinot vienādību (3.2) ar iegūto rezultātu, mēs iegūstam:

Atliek atrast $(5\cdot 9^x)"$. Vispirms no atvasinājuma zīmes izņemsim konstanti (skaitli $5$), t.i., $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9^x) "$. Lai atrastu atvasinājumu $(9^x)"$, mēs izmantojam atvasinājumu tabulas formulu Nr. 5, aizstājot tajā $a=9$ un $u=x$: $( 9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Tā kā $x"=1$, tad $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Tagad varam turpināt vienlīdzību (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Varat atgriezties no pakāpēm pie radikāļiem (t.i., saknēm), ierakstot $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ kā $\ frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^) x)))$. Tad atvasinājums tiks uzrakstīts šādā formā:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$

Atbilde: $y"=\frac(15\cdot \ln 9) (7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

4. piemērs

Parādiet, ka atvasinājumu tabulas formulas Nr. 3 un Nr. 4 ir šīs tabulas formulas Nr. 2 īpašs gadījums.

Atvasinājumu tabulas formulā Nr.2 ir ierakstīts funkcijas $u^\alpha$ atvasinājums. Formulā #2 aizstājot $\alpha=-1$, mēs iegūstam:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Tā kā $u^(-1)=\frac(1)(u)$ un $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, vienādību (4.1) var pārrakstīt šādi: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Šī ir atvasinājumu tabulas formulas numurs 3.

Atkal pievērsīsimies atvasinājumu tabulas formulai Nr.2. Aizstājiet tajā $\alpha=\frac(1)(2)$:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Tā kā $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ un $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, tad vienādību (4.2) var pārrakstīt šādi:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Rezultātā iegūtā vienādība $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ ir atvasinājumu tabulas formula Nr. 4. Kā redzat, atvasinājumu tabulas formulas Nr.3 un Nr.4 ir iegūtas no formulas Nr.2, aizstājot atbilstošo vērtību $\alpha$.