Lekciju kurss par disciplīnu
"Matricas analīze"
2. kursa studentiem
Matemātikas fakultātes specialitāte
"Ekonomiskā kibernētika"
(lektors Dmitruks Marija Aleksandrovna)
3. nodaļa. Matricas funkcijas.
1. Funkciju definīcija.
Df. Ļaujiet 
ir skalāra argumenta funkcija. Nepieciešams definēt, ko nozīmē f(A), t.i. mums jāpaplašina funkcija f(x) līdz argumenta matricas vērtībai.
Šīs problēmas risinājums ir zināms, ja f(x) ir polinoms: , tad .
f(A) definīcija vispārīgā gadījumā.
Pieņemsim, ka m(x) ir minimālais polinoms A, un tam ir šāda kanoniskā sadalīšanās , 
, ir A īpašvērtības. Ļaujiet polinomiem g(x) un h(x) ņemt vienādas vērtības.
Pieņemsim, ka g(A)=h(A) (1), tad polinoms d(x)=g(x)-h(x) ir A iznīcinošais polinoms, jo d(A)=0, tātad d(x) ) dalās ar lineāru polinomu, t.i. d(x)=m(x)*q(x) (2).
Tad t.i. (3) 
, 
, .
Mēs piekritīsim izsaukt m skaitļus priekš f(x) šādas funkcijas f(x) vērtības matricas A spektrā, un šo vērtību kopa tiks apzīmēta ar .
Ja kopa f(Sp A) ir definēta f(x), tad funkcija ir definēta matricas A spektrā.
No (3) izriet, ka polinomiem h(x) un g(x) ir vienādas vērtības matricas A spektrā.
Mūsu argumentācija ir atgriezeniska, t.i. no (3) Þ (3) Þ (1). Tādējādi, ja ir dota matrica A, tad polinoma f(x) vērtību pilnībā nosaka šī polinoma vērtības matricas A spektrā, t.i. visiem polinomiem g i (x), kuriem ir vienādas vērtības matricas spektrā, ir vienādas matricas vērtības g i (A). Mēs pieprasām, lai f(A) vērtības definīcija vispārīgā gadījumā atbilstu tam pašam principam.
Funkcijas f(x) vērtībām matricas A spektrā pilnībā jānosaka f(A), t.i. funkcijām, kurām spektrā ir vienādas vērtības, jābūt tādai pašai matricas vērtībai f(A). Acīmredzot, lai vispārīgā gadījumā noteiktu f(A), pietiek atrast polinomu g(x), kam spektrā A būtu tādas pašas vērtības kā funkcijai f(A)=g(A).
Df. Ja f(x) ir definēts matricas A spektrā, tad f(A)=g(A), kur g(A) ir polinoms, kas spektrā iegūst tādas pašas vērtības kā f(A), 
Df. Funkcijas vērtība no matricas A ir polinoma vērtība no šīs matricas for .
Starp polinomiem no С[x], kuriem matricas A spektrā ir tādas pašas vērtības kā f(x), ar pakāpi, kas nav augstāka par (m-1), kam ir tādas pašas vērtības uz matricas A spektrs A, jo f(x) ir dalījuma atlikums jebkuram polinomam g(x), kuram ir tādas pašas vērtības matricas A spektrā kā f(x) līdz minimālajam polinomam m(x)=g(x) )=m(x)*g(x)+r(x) .
Šo polinomu r(x) sauc par Lagranža-Silvestera interpolācijas polinomu funkcijai f(x) matricas A spektrā.
komentēt. Ja matricas A minimālajam polinomam m(x) nav vairāku sakņu, t.i. , tad funkcijas vērtība spektrā .
Atrodiet r(x) patvaļīgam f(x), ja matrica
. Konstruēsim f(H 1). Atrodiet minimālo polinomu H 1 - pēdējo nemainīgo faktoru:
, d n-1 = x 2; d n-1 = 1;
m x =f n (x)=d n (x)/d n-1 (x)=x n Þ 0 – n-kārtīga sakne m(x), t.i. n-kārtīgas H 1 īpašvērtības.
R(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0) Þ .
Trīs vienādi ir spēles risinājums<=>, kad ir spēles risinājums, kur a ir jebkurš reāls skaitlis, k>0 2. NODAĻA. Nulles summas spēles tīrajās stratēģijās 2.1 Optimālo stratēģiju aprēķins uz uzdevumu risināšanas piemēra Izmantojot minimaksa teorēmu, varam apgalvot, ka katrs antagonistiskajai spēlei ir optimālas stratēģijas. Teorēma: lai A ir matricas spēle un dotās rindas...
Attēls, kas tam neatbilst, ir kandidāts izslēgšanai no korporācijas darbības jomas. 5. Korporatīvās stratēģijas izstrāde Iepriekšējā analīze ir noteikusi pamatu stratēģisku soļu izstrādei, lai uzlabotu diversificēta uzņēmuma darbību. Galvenais secinājums par to, ko darīt, ir atkarīgs no secinājumiem par visu darbību kopumu ekonomiskajā ...
Vēsturiski pirmais korporatīvās stratēģiskās plānošanas modelis tiek uzskatīts par tā saukto “izaugsmes daļas” modeli, kas vairāk pazīstams kā Boston Consulting Group (BCG) modelis.
Šis modelis ir sava veida noteikta uzņēmējdarbības veida pozīciju kartēšana stratēģiskā telpā, ko nosaka divas asis (x, y), no kurām viena tiek izmantota, lai izmērītu attiecīgā produkta tirgus pieauguma tempu, un otrs - mērīt organizācijas produktu relatīvo daļu attiecīgā produkta tirgū.
BCG modeļa rašanās bija loģisks secinājums pētnieciskais darbs, ko savulaik veica konsultāciju kompānijas Boston Consulting Group speciālists.
Pētot dažādas organizācijas, kas ražo 24 galvenos produkcijas veidus 7 nozarēs (elektrība, plastmasa, krāsainie metāli, elektroiekārtas, benzīns u.c.), tika konstatēti empīriski fakti, ka, dubultojot ražošanas apjomus, mainīgās izmaksas ražošanas vienību ražošanas tiek samazinātas par 10-30%.
Ir arī konstatēts, ka šī tendence vērojama gandrīz katrā tirgus sektorā.
Šie fakti kļuva par pamatu secinājumam, ka mainīgās ražošanas izmaksas ir viens no galvenajiem, ja ne galvenais biznesa veiksmes faktoriem un nosaka vienas organizācijas konkurences priekšrocības pār otru.
Statistiskās metodes tika izmantotas, lai iegūtu empīriskās atkarības, kas raksturo sakarību starp ražošanas izmaksām, ražošanas vienībām un ražošanas apjomu. Un viens no galvenajiem konkurences priekšrocību faktoriem bija savstarpēja atbilstība saražotās produkcijas apjomam un līdz ar to, kādu attiecīgo produktu tirgus daļu šis apjoms aizņem.
BCG modeļa galvenā uzmanība tiek pievērsta uzņēmuma naudas plūsmai, kas tiek novirzīta vai nu uz darbību veikšanu noteiktā biznesa jomā, vai arī rodas no šādām darbībām. Tiek uzskatīts, ka ienākumu līmenis jeb naudas plūsma ir ļoti spēcīgā funkcionālā atkarībā no tirgus pieauguma tempa un organizācijas relatīvās daļas šajā tirgū.
Organizācijas biznesa izaugsmes temps nosaka ātrumu, kādā organizācija izmantos skaidru naudu.
Ir vispārpieņemts, ka jebkura biznesa brieduma stadijā un dzīves cikla beigu posmā veiksmīgs bizness ģenerē skaidru naudu, savukārt biznesa attīstības un izaugsmes posmā notiek skaidras naudas apguve.
Secinājums: Lai saglabātu veiksmīgas uzņēmējdarbības nepārtrauktību, naudas piedāvājums, kas rodas, īstenojot "nobriedušu" biznesu, ir daļēji jāiegulda jaunās uzņēmējdarbības jomās, kas sola kļūt par nākotnes ienākumu ģeneratoriem organizācijai.
BCG modelī galvenie organizācijas komerciālie mērķi ir masas un peļņas līmeņa pieaugums. Tajā pašā laikā pieņemamo stratēģisko lēmumu kopums par to, kā šos mērķus var sasniegt, ir ierobežots līdz 4 iespējām:
- 1) palielināt organizācijas biznesa daļu tirgū;
- 2) cīņa par organizācijas biznesa daļas saglabāšanu tirgū;
- 3) uzņēmuma pozīcijas maksimāla izmantošana tirgū;
- 4) atbrīvojums no šāda veida uzņēmējdarbības.
BCG modeļa ieteiktie lēmumi ir atkarīgi no konkrētā organizācijas uzņēmējdarbības veida stāvokļa, stratēģiskās telpas, ko veido divas koordinātu asis. Šī parametra izmantošana BCG modelī ir iespējama 3 iemeslu dēļ:
augošais tirgus, kā likums, tuvākajā nākotnē sola ieguldījumu atdevi šāda veida biznesā.
pieaugušie tirgus pieauguma tempi ietekmē skaidrās naudas apjomu ar “-” zīmi pat diezgan augsta atdeves likmes gadījumā, jo tas prasa lielākus ieguldījumus biznesa attīstībā.
Ir divi BCG modeļi: klasiskais un pielāgotais. Apsveriet klasisko modeli:
Klasiskā modeļa struktūra:
Abscisa parāda dažu organizācijas konkurences pozīciju mērījumu šajā biznesā kā organizācijas pārdošanas apjomu attiecību šajā biznesā pret lielākā konkurenta pārdošanas apjomu šajā uzņēmējdarbības jomā.
Sākotnējā BCG versijā abscisu skala ir logaritmiska. Tādējādi BCG modelis ir 2 * 2 matrica, uz kuras uzņēmējdarbības jomas tiek parādītas kā apļi, kuru centrā ir koordinātu krustpunkts, ko veido atbilstošie tirgus pieauguma tempi un organizācijas relatīvā daļa attiecīgajā tirgū.
Katrs uzzīmētais aplis raksturo tikai 1 uzņēmumu - šai organizācijai raksturīgu jomu.
Apļa lielums ir proporcionāls visa tirgus kopējam izmēram. Visbiežāk šo lielumu nosaka vienkāršs organizācijas biznesa un tai atbilstošā konkurentu biznesa papildinājums.
Dažkārt katram lokam tiek piešķirts segments, kas raksturo organizācijas biznesa jomas relatīvo daļu konkrētajā tirgū, lai gan tas nav nepieciešams, lai šajā modelī gūtu stratēģiskus secinājumus.
Cirvju sadalīšana 2 daļās nav veikta nejauši. Matricas augšgalā ir biznesa jomas ar pieauguma tempiem virs vidējā. Apakšā, attiecīgi, zemāks.
Sākotnējā BCG modelī tiek pieņemts, ka robeža starp augstiem un zemiem pieauguma tempiem ir pārdošanas apjoma pieaugums par 10% gadā.
Katram no šiem kvadrātiem ir doti figurāli nosaukumi (piemēram: BCG matricu sauc par "zoodārzu").
"Zvaigznes": tās ir jaunas uzņēmējdarbības jomas, kas aizņem salīdzinoši lielu daļu plaukstošā tirgū, kas nes lielu peļņu. Šīs uzņēmējdarbības jomas var saukt par līderiem savās nozarēs, jo tās sniedz organizācijai ļoti augstus ienākumus. Tomēr galvenā problēma ir atrast pareizo līdzsvaru starp ienākumiem un ieguldījumiem šajā jomā, lai garantētu pēdējo atdevi nākotnē.
Naudas govis: tās ir biznesa jomas, kas pagātnē ir ieguvušas salīdzinoši lielu tirgus daļu, taču laika gaitā attiecīgās nozares izaugsme ir ievērojami palēninājusies, naudas plūsma šajā pozīcijā ir labi sabalansēta, jo investīcijas šādā biznesa jomā prasa pats minimums. Šāda biznesa joma organizācijai var dot labus ienākumus (Tās ir bijušās "Zvaigznes").
Problēmu bērni: šīs uzņēmējdarbības jomas konkurē augošās nozarēs, taču tām pieder salīdzinoši neliela tirgus daļa. Šāda apstākļu kombinācija rada nepieciešamību palielināt ieguldījumus, lai aizsargātu savu tirgus daļu. Augstiem izaugsmes tempiem ir nepieciešama ievērojama naudas plūsma, lai atbilstu šim pieaugumam.
"Suņi": tās ir uzņēmējdarbības jomas ar salīdzinoši nelielu tirgus daļu lēni augošās nozarēs. Naudas plūsma ir niecīga, dažkārt pat negatīva.
Bet ne daudzi cilvēki izmanto Classic modeli, jo tas ir nepraktiski, jo ir nepieciešams iegūt jaunākos datus par tirgus stāvokli un uzņēmuma un tā konkurenta aizņemto daļu. Tāpēc aprēķiniem mēs izmantojam
Pielāgots modelis:
Pielāgotā BCG matrica ir veidota, pamatojoties uz uzņēmuma iekšējo informāciju. Nepieciešamie dati - produkcijas pārdošanas apjomi par noteiktu periodu, kas nevar būt mazāks par 12 mēnešiem, turpmāk, lai izsekotu dinamikai, nepieciešams pievienot datus par nākamajiem 3 mēnešiem (t.i. dati par 12, 15, 18, 21, 24 mēneši). Datiem nav jāsākas no janvāra, bet ir jābūt pa mēnešiem. Svarīgi ir arī ņemt vērā jūsu uzņēmuma produktu preču vai pakalpojumu pārdošanas sezonalitāti. Izskatāmajā uzņēmumā preču portfeli veido 5 preču grupas, kā arī ir dati par to realizāciju par 2013.gada janvāra - decembra periodu.
5. tabula. NordWest LLC pārdošanas dati
|
Keramikas flīze |
|||||||||||||
|
Šūnu betons |
 |
||||||||||||
|
Lielformāta ķieģelis |
Otrā pieeja Petri tīklu analīzei ir balstīta uz Petri tīklu matricas attēlojumu. Alternatīva Petri tīkla definīcijai formā (P, T, I, O) ir divu matricu D - un D + definīcija, kas attēlo ievades un izvades funkcijas. Katrā matricā ir m rindas (viena katrā pārejā) un n kolonnas (viena katrā pozīcijā). Definējiet D - = #(p i , I(t j)) un D + = #(p i , O(t j)). D - definē pārejas ieejas, D + - izejas.
Petri tīkla definīcijas matricas forma (P, T, D - , D +) ir līdzvērtīga mūsu izmantotajai standarta formai, taču pieļauj definīcijas vektoru un matricu izteiksmē. Lai e[j] ir m-vektors, kas satur nulles visur ārpusē j-tais izņēmums sastāvdaļas, kas vienādas ar vienu. Pāreju t j attēlo m-rindas vektors e[j].
Tagad pāreja t j marķējumā µ ir atļauta, ja µ > e[j] D - , un pārejas t j izpildes rezultāts marķējumā µ tiek rakstīts šādi:
δ(t j) = µ - e[j] D - + e[j] D + = µ + e[j] D
kur D = D + - D - ir salikta izmaiņu matrica.
Tad pārejas sprūda secībai σ = t j 1 , t j 2 , … , t jk mums ir:
δ(σ) = µ + e D + e D + … + e D =
= µ + (e + e + … + e)D = µ + f(σ) D
Vektoru f(σ) = e + e + ... + e sauc par sekvences palaišanas vektoru σ = t j 1 , t j 2 , … , t jk , f(σ) j p ir secības palaišanas vektors. pāreja t p secībā t j 1 , t j 2 , … , t jk . Tāpēc sprūda vektors f(σ) ir vektors ar nenegatīviem veseliem skaitļiem. (Vektors f(σ) ir secības σ = t j 1 , t j 2 , … , t jk Parikha kartējums).
Lai parādītu šādas matricas pieejas lietderību Petri tīkliem, apsveriet, piemēram, saglabāšanas problēmu: vai dotais marķētais Petri tīkls saglabā? Lai parādītu saglabāšanos, ir jāatrod (ne nulle) svēruma vektors, kuram svērtā summa pār visiem sasniedzamajiem atzīmēm ir nemainīga.
Ļaujiet w = (w 1 , w 2 , … , w n) ir kolonnas vektors. Tad, ja µ ir sākotnējais marķējums un µ" ir patvaļīgi sasniedzams marķējums, t.i., µ" pieder pie R(C,µ), nepieciešams, lai µ w = µ" w. Tagad, tā kā µ" ir sasniedzams, ir palaišanas pāreju secība σ = t j 1 , t j 2 , … , t jk , kas pārņem tīklu no µ uz µ”.
µ" = µ + f(σ) D
Sekojoši,
µ w = µ" w = (µ + f(σ) D) w = µ w + f(σ) D w, tātad f(σ) D w = 0.
Tā kā tam ir jāatbilst visiem f (σ), mums ir D w = 0.
Tādējādi Petri tīkls saglabājas tad un tikai tad, ja pastāv pozitīvs vektors w, kurā D w = 0.
Tas nodrošina vienkāršu noturības pārbaudes algoritmu, kā arī ļauj iegūt svēruma vektoru w.
Izstrādātā Petri tīklu matricas teorija ir instruments sasniedzamības problēmas risināšanai. Pieņemsim, ka marķējums µ" ir sasniedzams no marķējuma µ. Tad ir pārejas sākumu secība (iespējams, tukša), kas ved no µ uz µ". Tas nozīmē, ka f(σ) ir nenegatīvs vesels skaitļa risinājums šādam matricas vienādojumam x:
µ" = µ + xD
Tāpēc, ja µ" ir sasniedzams no µ, tad dotajam vienādojumam ir risinājums nenegatīvos veselos skaitļos; ja dotajam vienādojumam nav atrisinājuma, tad µ" nav sasniedzams no µ.
Apsveriet, piemēram, 1. attēlā parādīto Petri tīklu ar marķējumu:
Rīsi. 1. Petri tīkls, kas ilustrē uz matricas vienādojumiem balstītu analīzes metodi
Matricām D - un D + ir šāda forma:
t 1 t 2 t 3 t 1 t 2 t 3
p 1 1 0 0 p 1 1 0 0
D - = p 2 1 0 0 D + = p 2 0 2 0
p 3 1 0 1 p 3 0 1 0
p 4 0 1 0 p 4 0 0 1
un matrica D:
Sākotnējā marķējumā µ = (1, 0, 1, 0) ir pieļaujama pāreja t 3 un noved pie atzīmes µ" = (1, 0, 0, 1).
µ" = µ + e D = (1, 0, 1, 0) + (0, 0, 1) D =
= (1, 0, 1, 0) + (0, 0, -1, 1) = (1, 0, 0, 1).
Secība σ = t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 1 ir attēlota ar palaišanas vektoru f(σ) = (1, 2, 2) un ir apzīmēta ar µ":
µ" = (1, 0, 1, 0) + (1, 2, 2) D = (1, 0, 1, 0) + (0, 3, -1, 0) = (1, 3, 0, 0)
Lai noteiktu, vai etiķete (1, 8, 0, 1) ir sasniedzama no etiķetes (1,0, 1, 0), mums ir vienādojums:
(1, 8, 0, 1) = (1, 0, 1,0) + x D
kam ir risinājums x =(0, 4, 5). Tas atbilst secībai σ = t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3 .
(1, 7,0, 1)=(1, 0, 1, 0) + x D
nav risinājuma.
Matricas pieeja Petri tīklu analīzei ir ļoti daudzsološa, taču tai ir arī dažas grūtības. Pirmkārt, mēs atzīmējam, ka matrica D pati par sevi pilnībā neatspoguļo Petri tīkla struktūru. Pārejas, kurām ir gan ieejas, gan izejas no vienas pozīcijas (cilpas), tiek attēlotas ar atbilstošiem matricas elementiem D+ un D - , bet pēc tam izslēdz viens otru matricā D = D + - D - . Iepriekšējā piemērā to atspoguļo pozīcija p 4 un pāreja t3.
Vēl viena problēma ir secības informācijas trūkums palaišanas vektorā. Apsveriet Petri tīklu attēlā. 2. Pieņemsim, ka mēs vēlamies noteikt, vai atzīme (0, 0, 0, 0, 1) ir sasniedzama no (1, 0, 0, 0, 0). Tad mums ir vienādojums
(1, 0, 0, 0, 0)=(0, 0, 0, 0, 1) + xD
Rīsi. 2. Vēl viens Petri tīkls, lai ilustrētu matricas analīzi
Šim vienādojumam nav unikāla risinājuma, bet tas tiek reducēts līdz risinājumu kopai (a\f(o) =(1, x 2, x 6 - 1, 2x 6, x e - 1, x 6)). Tas nosaka attiecības starp pārejas izraisītājiem. Ja liekam x 6= 1 un x 2= 1, tad /(o) = (1, 1, 0, 2, 0, 1), bet šis trigervektors atbilst gan secībai 44444., gan n0 secībai 44444. palaišana nav zināma.
Vēl viena grūtība ir tāda, ka vienādojuma atrisināšana ir nepieciešama sasniedzamībai, bet nav pietiekama. Apsveriet vienkāršo Petri tīklu, kas parādīts attēlā. 3. Ja vēlamies noteikt, vai (0, 0, 0, 1) ir sasniedzams no (1, 0, 0, 0), mums jāatrisina vienādojums
Rīsi. 3. Petri tīkls, kas parāda, ka matricas vienādojuma atrisinājums ir nepieciešams, bet nepietiekams nosacījums sasniedzamības problēmas risināšanai
Šim vienādojumam ir risinājums f(a) = (1, 1), kas atbilst divām secībām: zīle 2 un /3/t. Taču neviena no šīm divām pāreju secībām nav iespējama, jo (1,0, 0, 0) neviena no tām nav iespējama t to nav atļauti arī 4. Tādējādi, lai pierādītu sasniedzamību, nepietiek ar vienādojuma atrisināšanu.
testa jautājumi un uzdevumi
1. Izveidojiet Petri tīkla grafiku šādam Petri tīklam:
P = (p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ), T = (t 1 , t 2 , t 3 , t 4 , t 5 ),
I(t 1)=(), O(t 1)=(p 1 ),
I(t 2)=(p 1 ), O(t 2)=(p 2 ),
I(t 3) = (p 2 , p 2 , p 4 ), O(t 3) = (p 1 , p 3 ),
I(t 4)=(), O(t 4)=(p 3 ),
I(t 5)=(p 3 ), O(t 5)=(p 4 , p 4 ).
2. Izveidojiet Petri tīkla grafiku šādam Petri tīklam:
P = (p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ), T = (t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ),
I(t 1)=(), O(t 1)=(p 1 , p 1 , p 1 , p 1 , p 2 ),
I(t 2)=(p 2 ), O(t 2)=( p 1 , p 1 p 1 , p 1 , p 1 , p 1 , p 3 ),
I(t 3) = (p 1 , p 1 , p 1 , p 1 , p 1 , p 1 ), O(t 3) = ( p 2 , p 2 p 2 , p 2 p 4, p 4 ),
I(t 4)=( p 2 ,p 3 p 4, p 4 ), O(t 4)=(p 3 ).
3. Petri tīklam no 1. uzdevuma atzīmēšanai m=(5,4,0,0) norādiet atļautās pārejas.
4. Petri tīklam no 2. uzdevuma, atzīmējot m=(7,12,2,1), norādiet atļautās pārejas.
5. Parādiet, ka ÈR(C,m)=N n , kur mнN n .
6. Pierādīt, ka, ja m‘н R(C,m), tad R(C,m‘)н R(C,m).
7. Pierādīt, ka m‘н R(C,m) tad un tikai tad, ja R(C,m‘)н R(C,m).
8. Izveidojiet sasniedzamības komplektu Petri tīklam no 1. uzdevuma.
9. Izveidojiet sasniedzamo Petri tīkla komplektu no 2. uzdevuma.
10. Petri tīkli ar saviem žetoniem un palaišanas noteikumiem daudzējādā ziņā atgādina spēles, kurām ir spēles laukums: dambrete, bekgemons, viņš, aiziet utt. Varat izdomāt spēli vienam vai četriem cilvēkiem, kas sastāv no spēles. lauks (kā lauks tiek izmantots Petri tīkls) un mikroshēmu komplekts. Žetoni tiek sadalīti pa Petri tīkla pozīcijām, un spēlētāji pēc kārtas izvēlas atļautās pārejas un palaiž tās. Definējiet spēles noteikumus, paredzot sekojošo:
a Kā tiek noteikta flīžu sākotnējā pozīcija? (Piemēram, katrs spēlētājs sāk spēli ar vienu žetonu mājā, vai arī katrs spēlētājs saņem n flīzes visā laukumā pēc vēlēšanās utt.).
b Kāds ir spēles mērķis? (Iegūstiet pretinieka žetonus; iegūstiet visvairāk žetonu; pēc iespējas ātrāk atbrīvojieties no žetoniem utt.).
c Vai ir nepieciešams izkrāsot figūras dažādiem spēlētājiem? (Attiecīgi nosakiet pāreju aktivizēšanas noteikumus.)
d Vai mums nevajadzētu piešķirt punktus dažādām pārejām? (Tad spēlētāja punktu skaitu nosaka viņa izšauto pāreju summa).
Pamatojoties uz to, aprakstiet spēli, sniedziet spēles piemēru.
11. Izstrādājiet programmu, kas realizē spēli no 10. uzdevuma, kur jūsu pretinieks ir dators dotajam Petri tīklam.
12. Izveidojiet simulācijas sistēmu, lai veiktu Petri tīklu. Atļauto pāreju sākumu nosaka simulācijas sistēmas lietotājs.
13. Gudri vīri sēž pie liela apaļā galda, uz kura atrodas daudzi ķīniešu virtuves ēdieni. Starp kaimiņiem guļ viens irbulītis. Taču, lai ēstu ķīniešu ēdienu, ir nepieciešami divi irbulīši, tāpēc katram gudrajam ir jāņem irbulīši no labās un kreisās puses. Problēma ir tāda, ka, ja visi gudrie paņems nūjas kreisajā pusē un pēc tam gaidīs, kad labās puses nūjas tiks atbrīvotas, viņi gaidīs mūžīgi un mirs badā (strupcijas stāvoklis). Ir jāveido tāds Petri tīkls, kas nosaka vakariņu rīkošanas stratēģiju un kuram nav strupceļu.
14. Izveidojiet Petri tīklu, kas attēlo galīgu automātu, kas aprēķina bināra skaitļa divu komplementu.
15. Izveidojiet Petri tīklu, kas attēlo galīgo stāvokļu mašīnu ievades binārā skaitļa paritātes noteikšanai.
16. Izveidojiet Petri tīklu, kas attēlo ierobežota stāvokļa mašīnu, kas definē trigeri ar skaitīšanas ievadi.
17. Izveidojiet Petri tīklu, kas attēlo stāvokļa mašīnu, kas definē trigeri ar atsevišķām ieejām.
18.Izstrādāt algoritmu blokshēmu modelēšanai ar Petri tīklu.
19.PERT diagramma ir grafiskais attēlojums attiecības starp dažādiem posmiem, kas veido projektu. Projekts ir daudzu aktivitāšu kopums, un darbības ir jāpabeidz, pirms var sākt citas. Turklāt katra darba pabeigšana prasa noteiktu laiku. Darbi tiek grafiski attēloti ar virsotnēm, un loki tiek izmantoti, lai parādītu cēloņu un seku attiecības starp tiem. PETR diagramma ir virzīts grafiks ar svērtām malām. Uzdevums ir noteikt minimālo laiku projekta pabeigšanai. Izstrādāt algoritmu PERT diagrammu modelēšanai, izmantojot Petri tīklus.
20. Izstrādāt modeli, kura pamatā ir Petri tīkli, lai modelētu ķīmiskās reakcijas.
21. Apsveriet iespēju izveidot nevis koku, bet sasniedzamības grafiku. Ja virsotne x ģenerē nākamo virsotni z ar m[z]=m[y] kādai virsotnei, kas nav robeža, tiek ieviesta atbilstoši marķēta loka no x līdz y. Aprakstiet sasniedzamības diagrammas konstruēšanas algoritmu.
22. Parādiet, ka sasniedzamības grafa konstruēšanas algoritms konverģē un pārbaudi tā īpašības, salīdzinot to ar sasniedzamības koka konstruēšanas algoritmu.
23. Sasniedzamības koku nevar izmantot sasniedzamības problēmas risināšanai, jo informācija tiek zaudēta saistībā ar simbola w jēdziena ieviešanu. Tas tiek ieviests, kad mēs nonākam pie atzīmes m’ un ceļā no saknes līdz m’ ir tāds marķējums m, ka m’>m. Šajā gadījumā var iegūt visus m+n(m‘-m) formas marķējumus. Izpētiet iespēju izmantot izteiksmi a+bn i, nevis w, lai attēlotu komponentu vērtības. Ja var definēt sasniedzamības koku, kurā visi etiķešu vektori ir izteiksmes, tad sasniedzamības problēmas risinājums tiek noteikts, vienkārši atrisinot vienādojumu sistēmu.
24. Vispārināt saglabāšanas definīciju, pieļaujot negatīvus svarus Kāda būtu saprātīga negatīvā svara interpretācija? Vai Petri tīkla noturības noteikšanas problēma ir atrisināma, ja ir atļauti negatīvie svari?
25. Izstrādāt algoritmu Petri tīkla robežu noteikšanai, izmantojot matricas pieeju analīzei.
26.Izstrādāt algoritmu divu Petri tīklu vienādības problēmas risināšanai. Petri tīkls C 1 =(P 1 ,T 1 ,I 1 ,O 1) ar m 1 ir vienāds ar Petri tīkls C 2 =(P 2 ,T 2 ,I 2 ,O 2), kas apzīmēts ar m 2, ja R(C 1 ,m 1)= R(C2,m2).
27.Izstrādāt algoritmu divu Petri tīklu apakškopas problēmas risināšanai. Petri tīkls C 1 =(P 2 ,T 2 ,I 2 ,O 2) ar m 2 ir Petri tīkla C 1 =(P 1 ,T 1 ,I 1,O 1) apakškopa, kas apzīmēta ar m 1, ja R( C 1,m 1)Н R(C 2,m 2).
28.Izstrādāt sasniedzamības problēmas risināšanas algoritmu. Petri tīklā C=(P,T,I,O) ar marķējumu m, m’ ir sasniedzams no m, ja m’ ОR(C,m).
29.Izstrādāt algoritmu apakšbirku sasniedzamības problēmai. Vai, ņemot vērā apakškopu P’ Н P un marķējumu m’, pastāv tāds m’’ ОR(C,m), ka m’’(p i)=m’(p i) visiem p i ОP’?.
30.Izstrādāt nulles sasniedzamības problēmas algoritmu. Vai m’нR(C,m), kur m’(p i)=0, attiecas uz visiem p i нP?
31.Izstrādāt algoritmu uzdevumam sasniegt nulli vienā pozīcijā. Vai dotajai pozīcijai p i ОP m’ОR(C,m) pastāv ar m’(p i)=0?
32.Izstrādāt Petri tīkla aktivitātes problēmas risināšanas algoritmu. Vai visas pārejas t j ОT ir aktīvas?
33.Izstrādāt vienas pārejas aktivitātes problēmas risināšanas algoritmu. Vai šī pāreja t j ОT ir aktīva?
34. Petri tīklu sauc par atgriezenisku, ja katrai pārejai t j ОT ir tāda pāreja t k ОT,
#(p i ,I(t j))=#(p i ,O(t k)), #(p i ,O(t j))=#(p i ,I(t k)),
tie. katrai pārejai ir vēl viena pāreja ar apgrieztām ieejām un izejām. Izstrādāt algoritmu sasniedzamības problēmas risināšanai atgriezeniskiem Petri tīkliem.
35. Izstrādāt vienādības problēmas risināšanas algoritmu atgriezeniskiem Petri tīkliem.
36.Smēķētāju uzdevums. Katrs no trim smēķētājiem nepārtraukti izgatavo cigareti un to smēķē. Lai pagatavotu cigareti, nepieciešama tabaka, papīrs un sērkociņi. Vienam no smēķētājiem vienmēr ir papīrs, citam vienmēr ir sērkociņi, trešajam vienmēr ir tabaka. Aģentam ir bezgalīgi daudz papīra, sērkociņu un tabakas. Aģents noliek abas sastāvdaļas uz galda. Smēķētājs, kuram trūkst trešās sastāvdaļas, var pagatavot un izsmēķēt cigareti, paziņojot par to aģentam. Pēc tam aģents ievieto pārējās divas no trim sastāvdaļām, un cikls atkārtojas. Ieteikt aktīvs tīkls Petri, kas modelē smēķētāju problēmu.
37. Automāts Petri tīkls ir Petri tīkls, kurā katrai pārejai var būt tieši viena izeja un viena ieeja, t.i. visiem t j ОT ½I(t j)1=1 un ½O(t j)1=1. Izstrādāt algoritmu galīga automāta konstruēšanai, kas ir līdzvērtīgs dotam automātam Petri tīklam.
38. Marķēts grafs ir Petri tīkls, kurā katra pozīcija ir ievade tieši vienai pārejai un izvade tieši vienai pārejai, t.i. katrai pārejai p i ОP ½I(p i)1=1 un ½O(p i)1=1. Izstrādāt algoritmu marķētu grafiku sasniedzamības problēmas risināšanai.
39. Apsveriet Petri tīklu klasi, kas ir gan marķēti grafi, gan automatizēti Petri tīkli.
40.Izveidojiet Petri tīklu, kas simulē 8.pielikumā aprakstītās sistēmas. Aprakstiet notikumus, kas notiek sistēmā, un nosacījumus, kas raksturo sistēmu. Izbūvētajam Petri tīklam izveidojiet sasniedzamu koku. Aprakstiet stāvokļus, kuros sistēma var būt.
Tas ļauj noteikt optimālo secību mācību programmā iekļauto priekšmetu apguvei. Katram priekšmetam mācību programmā ir savs numurs.
Lai mācību programmā būtu 19 priekšmeti. Veidojam kvadrātveida matricu ar bāzi, kas ir vienāda ar mācību priekšmetu skaitu mācību programmā (19).
Pieredzējušo skolotāju ekspertu vērtēšanas metode nosaka būtiskākās attiecības starp akadēmiskajiem priekšmetiem. Matricas kolonnas tiek uzskatītas par patērētājiem, bet rindas - par informācijas nesējiem. Piemēram, 10. ailē 7., 9., 11. rinda ir svarīgi informācijas nesēji, tas ir, zināšanas par priekšmetiem ar šiem cipariem. Šīs kolonnas rindas atspoguļo vieninieki (1), skaidras naudas savienojuma neesamība - ar nullēm (0). Analīzes rezultātā tika izveidota deviņpadsmitās kārtas matrica, kuras analīze sastāv no kolonnu un rindu secīgas noņemšanas. Kolonnas, kas aizpildītas ar nullēm, nesaņem informāciju no citiem priekšmetiem, tas ir, to pētījums nav balstīts uz loģiskām attiecībām ar citiem priekšmetiem, lai gan tie, savukārt, var būt primārās informācijas nesēji. Tas nozīmē, ka priekšmetus, kuriem šajās kolonnās ir skaitļi, var apgūt vispirms. Ar nullēm aizpildītas rindas netiek uzskatītas par informācijas nesējiem un nebūs par pamatu citu priekšmetu apguvei, kas nozīmē, ka tos var apgūt kā pēdējo.
Vispirms tiek izsvītrotas 7,8,9,18 kolonnas un tām atbilstošās rindas. Iegūstam pirmo reducēto piecpadsmitās kārtas matricu, kurā savukārt ir nulles kolonnas 4, 16, 17. Atbrīvojoties no tām, iegūstam otro reducēto matricu. Šādi veicot visus turpmākos samazinājumus, mēs iegūstam matricu, kurā nav kolonnu bez vieniniekiem, bet ir nulle rindas, kuras arī tiek izsvītrotas kopā ar tām atbilstošajām kolonnām. Secīgi veicot līdzīgas darbības, mēs nonākam pie šādas formas matricas, kā parādīts diagrammā.
Izveidotā matrica atbilst 3.2. attēlā redzamajam grafikam. Šajā diagrammā ir trīs slēgtas dubultkontūras (13-15), (5-6), (11-10). Ar zināmu tuvinājumu mēs varam pieņemt, ka priekšmeti, kas iekļuvuši šajās shēmās, ir jāapgūst paralēli, un vispirms tiek apgūti priekšmeti ar skaitļiem 13 un 15, un tikai pēc tam priekšmeti 5, 6, 10, 11.
Veiktās matricas analīzes rezultātā kļūst iespējams izveidot shematisku (bloku) modeli mācību programmā iekļauto priekšmetu apguvei:
Diagrammā parādīta apvienota sistēma izglītības priekšmetu savienošanai. Šūnās ir ietverts paralēlo pētījumu subjektu skaits. Izglītota savienojuma sistēma ir jāsaprot nevis kā obligāta vienas priekšmetu grupas savienošanas secība tikai pēc iepriekšējās beigām, bet gan tikai kā nepieciešamība tikt uz priekšu mācībās. Tas tikai norāda uz vispārēju tendenci objektu savienošanā.
Matricas analīzes programma
Ļauj novērtēt atrašanās vietas loģisko secību izglītojošs materiāls priekšmeta ietvaros un attiecīgi uzlabojiet to.
Ļaujiet priekšmetam ietvert 6 tēmas. Matrica A! sastādīts pēc šī akadēmiskā priekšmeta tematiskā plāna. Tēmu skaitļi, kas, sastādot matricu, tiek ņemti vērā pēc to izmantošanas citu tēmu izpētē, ir sakārtoti vertikāli, skaitļi, kas atrodas horizontāli, atbilst aplūkotajām tēmām pēc to informācijas izmantošanas no citām tēmām.
Lai identificētu slēgtās cilpas, kuru klātbūtne norāda uz neiespējamību noteikt atsevišķu tēmu pārejas secības pāreju, mēs veicam matricas Au transformācijas (saīsināšanu). Mēs izdzēšam 5. rindu, kas sastāv no nullēm, un tai atbilstošo kolonnu, kā arī nulles kolonnu 3 ar atbilstošo rindu. Izveidojas matrica A2.
Matricā A2 trūkst rindu un kolonnu, kas sastāv tikai no nullēm. Lai izveidotu slēgtas kontūras, mēs uzrāda matricai A2 atbilstošu grafiku (sk. 3.3. att., a).
No diagrammas izpētes izriet, ka slēgto kontūru esamību izraisa 1. un 6. tēmas, kā arī 4. un 6. tēmas mācību materiāla satura attiecības. Iemesls atzīmētajai saistībai ir neveiksmīgais mācību materiāla satura pārdale starp šīm tēmām. Pārskatot šo tēmu saturu, kļūst iespējams likvidēt esošās slēgtās grafa kontūras. Tādējādi veidojas jauns grafs (3.3. att., b) un atbilstošā matrica A3.
Samazinot šo matricu, tiek iegūta jauna matrica A4.
Pēc loku (6, 4), (6, 1) un (1, 6) noņemšanas iegūstam jaunu sākotnējo matricu B1, kuras grafikā nav slēgtu kontūru.
Tagad, kad cilpas ir pārrautas, sāksim pielāgot tēmu secību. Lai to izdarītu, mēs secīgi izdzēsīsim kolonnas, kas sastāv no nullēm, un rindas ar tādu pašu nosaukumu. Tēmas šajās slejās neizmanto informāciju no citām tēmām, un tāpēc tās var izpētīt vispirms.
Matricā! 1. un 3. aile ir nulles Līdz ar to 1. tēma var ieņemt savu vietu tematiskajā plānā. Izpētot iemeslus, kāpēc 3. tēma tiek likta pirms 2. tēmas, izrādās, ka daļa informācijas par 2. tēmu notiek 3. tēmā. Tomēr loģiskāk un lietderīgāk ir tos atstāt 3. tēmā.
Pēc mācību materiāla pārkārtošanas loka (3, 2) vietā iegūstam loku (2, 3); dzēst 1. kolonnu - iegūstam matricu B2.
2. tēmai piešķiram bijušo numuru 2. Dzēst 2. kolonnas rindu 2. Iegūstam matricu B3.
3. un 4. tēma paliek ar tādiem pašiem numuriem. Dzēst 3., 4. kolonnu ar atbilstošajām rindām; mēs iegūstam matricu B4
6. tēmai ir piešķirts numurs 5, bet 5. tēmai ir 6. numurs.
Matricu C1 veidojam atbilstoši jaunajam tēmu sadalījumam.
Veiksim matricas transformācijas, secīgi dzēšot nulles rindas un kolonnas ar tādu pašu nosaukumu. Tiem atbilstošās tēmas pārceļam uz rindas beigām, jo šo tēmu informācija netiek izmantota citu tēmu izpētē. 5. tēmai ir piešķirts numurs 6.
Dzēst rindu un kolonnu 6. Piešķiriet 6. tēmai numuru 5.
Izdzēšam 4. un 3. rindiņu un tēmas, kas uz tām atbild, piešķiram bijušajiem skaitļiem 4 un 3.
1. un 2. tēmai tie paši skaitļi paliek tematiskajā plānā. Matricas apstrādes rezultātā tiek iegūts šāds galīgais tēmu izkārtojums priekšmeta struktūrā:
No iepriekšminētās secības redzams, ka pēc matricas, kas apstrādāja tematiskā plānojuma struktūras, tika samainītas tēmas 5 un 6. Turklāt radās nepieciešamība pārvietot mācību materiālu par 5. tēmu uz 1. tēmu, kā arī no tēmas. 2 uz 3. tēmu.
Kā redzams no iepriekš minētā piemēra, mācību materiāla struktūras matricas analīze ļauj to zināmā mērā racionalizēt un uzlabot. savstarpēja vienošanās mācību programmas tēmas.
Jāņem vērā, ka mācību programmu un programmu matricas analīze prasa daudz praktiskā pieredze un padziļinātas zināšanas par apmācību saturu. Pirmkārt, tas attiecas uz sākotnējās matricas sastādīšanu, precīzāk, uz saikņu definēšanu starp akadēmiskiem priekšmetiem vai izglītības tēmām priekšmeta ietvaros. Starp tik lieliem elementiem kā programmas tēmas ir daudz sakarību, taču matricas analīzes veicējiem jāprot "lasīt starp rindām" (atrod slēptas, bet reālas sakarības), noteikt dažādu sakarību nozīmīgumu saistībā ar matricas analīzes mērķiem un dažreiz būt kritiskam pret izglītības priekšmetu tēmu saturu.
Matricas analīze jeb matricas metode ir kļuvusi plaši izplatīta dažādu ekonomisko sistēmu (uzņēmumu, atsevišķu uzņēmumu struktūrvienību uc) salīdzinošajā novērtēšanā. Matricas metode ļauj noteikt katra uzņēmuma integrālo novērtējumu vairākiem rādītājiem. Šo novērtējumu sauc par uzņēmuma reitingu. Apsveriet matricas metodes izmantošanu pa posmiem, izmantojot konkrētu piemēru.
1. Novērtēšanas rādītāju izvēle un sākotnējo datu matricas veidošana a ij, tas ir, tabulas, kur sistēmu (uzņēmumu) skaitļi ir atspoguļoti rindās, un rādītāju skaitļi (i = 1,2 ... .n) - sistēmas tiek atspoguļotas kolonnās; (j=1,2…..n) - rādītāji. Atlasītajiem indikatoriem jābūt vienādam fokusam (jo vairāk, jo labāk).
2. Standartizēto koeficientu matricas sastādīšana. Katrā kolonnā tiek noteikts maksimālais elements, un pēc tam visi šīs kolonnas elementi tiek dalīti ar maksimālo elementu. Pamatojoties uz aprēķina rezultātiem, tiek izveidota standartizēto koeficientu matrica.
Mēs izvēlamies maksimālo elementu katrā kolonnā.