Un vēl viena problēma B11 par šo pašu tēmu - no īsta LIETOŠANA matemātika.
Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību:
Šajā īsajā video pamācībā mēs uzzināsim, kā pieteikties samazināšanas formulas reālu uzdevumu risināšanai B11 no matemātikas eksāmena. Kā redzat, mūsu priekšā ir divas trigonometriskas izteiksmes, no kurām katra satur sinusus un kosinusus, kā arī diezgan brutālus skaitliskus argumentus.
Pirms šo problēmu risināšanas atcerēsimies, kas ir samazināšanas formulas. Tātad, ja mums ir tādi izteicieni kā:
Tad mēs varam atbrīvoties no pirmā termina (formas k π/2) ar īpaši noteikumi. Uzzīmēsim trigonometrisko apli, atzīmēsim uz tā galvenos punktus: 0, π/2; π; 3π/2 un 2π. Pēc tam aplūkojam pirmo terminu zem trigonometriskās funkcijas zīmes. Mums ir:
- Ja mūs interesējošais termins atrodas uz trigonometriskā apļa vertikālās ass (piemēram: 3π / 2; π / 2 utt.), tad sākotnējā funkcija tiek aizstāta ar kofunkciju: sinusu aizstāj ar a kosinuss, un kosinuss tiek aizstāts ar sinusu.
- Ja mūsu termins atrodas uz horizontālās ass, sākotnējā funkcija nemainās. Vienkārši noņemiet pirmo vārdu izteiksmē - un viss.
Tādējādi iegūstam trigonometrisku funkciju, kas nesatur k · π/2 formas terminus. Tomēr darbs ar samazināšanas formulām ar to nebeidzas. Fakts ir tāds, ka pirms mūsu jaunās funkcijas, kas iegūta pēc pirmā termiņa "noraidīšanas", var būt plusa vai mīnusa zīme. Kā atpazīt šo zīmi? Tagad mēs to uzzināsim.
Iedomājieties, ka leņķim α, kas paliek trigonometriskās funkcijas iekšpusē pēc transformācijām, ir ļoti mazs pakāpes mērs. Bet ko nozīmē “mazs mērs”? Pieņemsim, ka α ∈ (0; 30°) - ar to pilnīgi pietiek. Kā piemēru ņemsim funkciju:
Pēc tam, ievērojot mūsu pieņēmumus, ka α ∈ (0; 30°), mēs secinām, ka leņķis 3π/2 − α atrodas trešajā koordinātu kvadrantā, t.i., 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Atgādinām sākotnējās funkcijas zīmi, t.i. y = sin x šajā intervālā. Acīmredzot sinuss trešajā koordinātu ceturksnī ir negatīvs, jo pēc definīcijas sinuss ir kustīgā rādiusa beigu ordināta (īsi sakot, sinuss ir y koordināta). Nu, y-koordinātai apakšējā pusplaknē vienmēr ir negatīvas vērtības. Tādējādi arī trešajā ceturksnī y ir negatīvs.
Pamatojoties uz šiem apsvērumiem, mēs varam uzrakstīt galīgo izteiksmi:
Problēma B11 - 1 iespēja
Šīs pašas metodes ir diezgan piemērotas problēmas B11 risināšanai no vienotā valsts eksāmena matemātikā. Vienīgā atšķirība ir tā, ka daudzās reālās dzīves B11 problēmās radiāna mēra (t.i., skaitļu π, π/2, 2π utt.) vietā tiek izmantots grādu mērs (t.i., 90°, 180°, 270° un utt.). Apskatīsim pirmo uzdevumu:
Vispirms tiksim galā ar skaitītāju. cos 41° ir ne tabulas vērtība, tāpēc mēs ar to neko nevaram darīt. Pagaidām atstāsim to tā.
Tagad apskatiet saucēju:
sin 131° = grēks (90° + 41°) = cos 41°
Acīmredzot mūsu priekšā ir reducēšanas formula, tāpēc sinuss ir aizstāts ar kosinusu. Turklāt leņķis 41° atrodas uz segmentu (0°; 90°), t.i. pirmajā koordinātu ceturksnī - tieši tik, cik nepieciešams, lai piemērotu samazinājuma formulas. Bet tad 90° + 41° ir otrā koordinātu ceturtdaļa. Sākotnējā funkcija y = sin x ir pozitīva, tāpēc pēdējā solī kosinusa priekšā ievietojām plus zīmi (citiem vārdiem sakot, mēs neko nelikām).
Atliek risināt pēdējo elementu:
cos 240° = cos (180° + 60°) = -cos 60° = -0,5
Šeit redzams, ka 180° ir horizontālā ass. Līdz ar to arī pati funkcija nemainīsies: bija kosinuss - un paliks arī kosinuss. Bet atkal rodas jautājums: vai plus vai mīnus būs pirms rezultāta izteiksmes cos 60 °? Ņemiet vērā, ka 180° ir trešais koordinātu kvadrants. Kosinuss tur ir negatīvs, tāpēc kosinuss beigsies ar mīnusa zīmi. Kopumā mēs iegūstam konstrukciju -cos 60 ° = -0,5 - tā ir tabulas vērtība, tāpēc visu ir viegli aprēķināt.
Tagad mēs aizstājam iegūtos skaitļus sākotnējā formulā un iegūstam:
Kā redzat, skaitli cos 41 ° frakcijas skaitītājā un saucējā ir viegli samazināt, un paliek parastā izteiksme, kas ir vienāda ar –10. Šajā gadījumā mīnusu var vai nu izņemt un ievietot daļskaitļa zīmes priekšā, vai arī “paturēt” blakus otrajam reizinātājam līdz pašam pēdējam aprēķinu solim. Jebkurā gadījumā atbilde ir -10. Tas arī viss, problēma B11 ir atrisināta!
Problēma B14 - 2. variants
Pārejam pie otrā uzdevuma. Pirms mums atkal ir daļa:
Nu, mums pirmajā koordinātu kvadrantā ir 27°, tāpēc mēs šeit neko nemainīsim. Bet grēks 117 ° ir jānokrāso (līdz šim bez kvadrāta):
sin 117° = grēks (90° + 27°) = cos 27°
Acīmredzot atkal pirms mums samazināšanas formula: 90° ir vertikālā ass, tāpēc sinuss mainīsies uz kosinusu. Turklāt leņķis α = 117° = 90° + 27° atrodas otrajā koordinātu kvadrantā. Tur sākotnējā funkcija y = sin x ir pozitīva, tāpēc pirms kosinusa pēc visām pārvērtībām joprojām paliek plus zīme. Citiem vārdiem sakot, tur nekas nav pievienots - mēs to atstājam tā: cos 27 °.
Mēs atgriežamies pie sākotnējās izteiksmes, kas jānovērtē:
Kā redzams, pēc transformācijām saucējā parādījās galvenā trigonometriskā identitāte: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Kopā -4: 1 = -4 - tātad atradām atbildi uz otro uzdevumu B11.
Kā redzat, ar redukcijas formulu palīdzību šādi uzdevumi no vienotā valsts eksāmena matemātikā tiek atrisināti tikai pāris rindās. Nav summas sinusu un starpības kosinusu. Viss, kas mums jāatceras, ir tikai trigonometriskais aplis.
Samazināšanas formulas ir attiecības, kas ļauj pāriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa ar leņķiem `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` uz tām pašām leņķa `\alpha` funkcijām, kas atrodas vienības apļa pirmajā ceturtdaļā. Tādējādi samazināšanas formulas "vedina" mūs strādāt ar leņķiem diapazonā no 0 līdz 90 grādiem, kas ir ļoti ērti.
Kopumā ir 32 samazināšanas formulas. Tie neapšaubāmi noderēs eksāmenā, eksāmenos, ieskaitēs. Bet mēs uzreiz brīdināsim, ka nav nepieciešams tos iegaumēt! Jums jāpavada nedaudz laika un jāsaprot to pielietošanas algoritms, tad jums nebūs grūti īstajā laikā iegūt nepieciešamo vienlīdzību.
Vispirms pierakstīsim visas samazināšanas formulas:
Leņķim (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) vai (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha
Leņķim (`\pi \pm \alpha`) vai (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Leņķim (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) vai (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Leņķim (`2\pi \pm \alpha`) vai (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha
Reducēšanas formulas bieži var atrast tabulas veidā, kur leņķi ir ierakstīti radiānos:
Lai to izmantotu, jums ir jāatlasa rinda ar mums nepieciešamo funkciju un kolonna ar vēlamo argumentu. Piemēram, lai izmantotu tabulu, lai noskaidrotu, kas būs ` sin(\pi + \alpha)`, pietiek ar atbildi atrast rindas ` sin \beta` un kolonnas ` \pi + \ krustpunktā. alfa`. Mēs iegūstam ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
Un otrā, līdzīga tabula, kur leņķi ir rakstīti grādos:
Formulu liešanas mnemoniskais likums vai kā tās atcerēties
Kā jau minējām, nav nepieciešams iegaumēt visas iepriekš minētās attiecības. Ja jūs tos rūpīgi aplūkojāt, jūs, iespējams, pamanījāt dažus modeļus. Tie ļauj mums noformulēt mnemonisku noteikumu (mnemonisks - iegaumēt), ar kuru jūs varat viegli iegūt jebkuru no samazināšanas formulām.
Mēs uzreiz atzīmējam, ka, lai piemērotu šo noteikumu, ir labi jāspēj noteikt (vai atcerēties) trigonometrisko funkciju zīmes dažādās vienības apļa ceturtdaļās. 
Pats transplantāts sastāv no 3 posmiem:
- Funkcijas argumentam ir jābūt šādā formātā: \frac (\pi)2 \pm \alpha, \pi \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha, 2\pi \ pm \alpha, obligāti norādot \alpha ass stūris(no 0 līdz 90 grādiem).
- Argumentiem "\frac (\pi)2 \pm \alpha", "\frac (3\pi)2 \pm \alpha" trigonometriskā funkcija konvertētā izteiksme mainās uz kofunkciju, tas ir, pretējo (sinuss pret kosinusu, tangenss pret kotangensu un otrādi). Argumentiem \pi \pm \alpha, 2\pi \pm \alpha funkcija nemainās.
- Tiek noteikta sākotnējās funkcijas zīme. Iegūtajai funkcijai labajā pusē būs tāda pati zīme.
Lai redzētu, kā šo noteikumu var piemērot praksē, pārveidosim dažas izteiksmes:
1. "cos(\pi + \alpha)".
Funkcija nav apgriezta. Leņķis ` \pi + \alpha` atrodas trešajā kvadrantā, kosinusam šajā kvadrantā ir "-" zīme, tāpēc konvertētajai funkcijai būs arī "-" zīme.
Atbilde: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)'.
Saskaņā ar mnemonisko likumu funkcija tiks apgriezta. Leņķis `\frac (3\pi)2 - \alpha` atrodas trešajā kvadrantā, sinusam šeit ir "-" zīme, tāpēc arī rezultāts būs ar "-" zīmi.
Atbilde: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. "cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)".
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alpha))". Apzīmēsim 3\pi kā 2\pi+\pi. "2\pi" ir funkcijas periods.
Svarīgi! Funkcijām "cos \alpha" un "sin \alpha" ir periods "2\pi" vai "360^\circ", to vērtības nemainīsies, ja arguments tiks palielināts vai samazināts par šīm vērtībām.
Pamatojoties uz to, mūsu izteiksmi var uzrakstīt šādi: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Divreiz piemērojot mnemonisko noteikumu, iegūstam: `cos (\pi+(\frac(\) pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Atbilde: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha.
zirgu likums
Iepriekš minētā otrā rindkopa mnemoniskais likums saukts arī par zirga likumu samazinājuma formulām. Interesanti, kāpēc zirgi?
Tātad mums ir funkcijas ar argumentiem "\frac (\pi)2 \pm \alpha", "\pi \pm \alpha", "\frac (3\pi)2 \pm \alpha", "2\pi \ pm". \alpha, punkti \frac (\pi)2, \pi, \frac (3\pi)2, 2\pi ir galvenie punkti, tie atrodas uz koordinātu asīm. "\pi" un "2\pi" atrodas uz horizontālās x ass, un "\frac (\pi)2" un "\frac (3\pi)2" atrodas uz vertikālās y ass.
Mēs uzdodam sev jautājumu: “Vai funkcija pārvēršas par kofunkciju?”. Lai atbildētu uz šo jautājumu, jums jāpārvieto galva pa asi, uz kuras atrodas galvenais punkts.
Tas ir, argumentiem ar galvenajiem punktiem, kas atrodas uz horizontālās ass, mēs atbildam “nē”, pakratot galvu uz sāniem. Un stūriem, kuru galvenie punkti atrodas uz vertikālās ass, mēs atbildam “jā”, mājot ar galvu no augšas uz leju, piemēram, zirgam 🙂
Mēs iesakām noskatīties video pamācību, kurā autors detalizēti izskaidro, kā iegaumēt samazināšanas formulas, tās neiegaumējot.
Praktiski liešanas formulu izmantošanas piemēri
Samazināšanas formulu lietošana sākas 9. un 10. klasē. Eksāmenam tiek iesniegti daudzi uzdevumi ar to izmantošanu. Šeit ir daži no uzdevumiem, kuriem jums būs jāpiemēro šīs formulas:
- taisnleņķa trīsstūra risināšanas uzdevumi;
- skaitlisko un alfabētisko trigonometrisko izteiksmju konvertēšana, to vērtību aprēķināšana;
- stereometriskas problēmas.
1. piemērs. Izmantojiet samazināšanas formulas, lai aprēķinātu a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.
Risinājums: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3;
c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2;
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
2. piemērs. Izteicot kosinusu caur sinusu, izmantojot reducēšanas formulas, salīdziniet skaitļus: 1) `sin \frac (9\pi)8` un `cos \frac (9\pi)8`; 2) "sin \frac (\pi)8" un "cos \frac (3\pi)10".
Risinājums: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Vispirms mēs pierāda divas formulas argumenta `\frac (\pi)2 + \alpha sinusa un kosinusam: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` un ` cos( \frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Pārējie ir iegūti no tiem. Paņemiet vienības apli un punktu A ar koordinātām (1,0). Ļaujiet pēc ieslēgšanas No pieskares un kotangensa definīcijas iegūstam ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi) )2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` un ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac) (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, kas pierāda samazinājumu leņķa `\frac (\pi)2 + \alpha' tangensas un kotangensas formulas. Lai pierādītu formulas ar argumentu `\frac (\pi)2 - \alpha`, pietiek to attēlot kā `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` un iet pa to pašu ceļu kā iepriekš. Piemēram, "cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)". Leņķus \pi + \alpha un \pi - \alpha var attēlot kā \frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha) un \frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` attiecīgi. Un "\frac (3\pi)2 + \alpha" un "\frac (3\pi)2 - \alpha" kā "\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)" un "\pi" +(\frac (\pi)2-\alpha)`. Šis raksts ir veltīts detalizētam trigonometrisko samazināšanas formulu pētījumam. Ir dots pilns redukcijas formulu saraksts, parādīti to izmantošanas piemēri un sniegts formulu pareizības pierādījums. Rakstā ir sniegts arī mnemonisks noteikums, kas ļauj iegūt redukcijas formulas, neatceroties katru formulu. Yandex.RTB R-A-339285-1 Samazināšanas formulas ļauj samazināt patvaļīga izmēra leņķu trigonometriskās pamatfunkcijas līdz leņķu funkcijām, kas atrodas diapazonā no 0 līdz 90 grādiem (no 0 līdz π 2 radiāniem). Darbība ar leņķiem no 0 līdz 90 grādiem ir daudz ērtāka nekā darbs ar patvaļīgi lielām vērtībām, tāpēc trigonometrijas uzdevumu risināšanā plaši tiek izmantotas samazināšanas formulas. Pirms mēs pierakstām pašas formulas, mēs noskaidrosim dažus punktus, kas ir svarīgi izpratnei. Tagad pāriesim tieši uz samazināšanas formulām. Liešanas formulas ļauj pāriet no darba ar patvaļīgiem un patvaļīgi lieliem leņķiem uz darbu ar leņķiem no 0 līdz 90 grādiem. Visas formulas rakstīsim tabulas veidā. Lietās formulas sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + = - 2 π z cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos π , cos + 2 α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z =, cos π z . π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = -s π z . π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z , = α s α + 2 π z + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z =, cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 ϱ 2 - α = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α Šajā gadījumā formulas raksta radiānos. Tomēr jūs varat arī rakstīt tos, izmantojot grādus. Pietiek pārveidot radiānus grādos, aizstājot π ar 180 grādiem. Mēs parādīsim, kā izmantot reducēšanas formulas un kā šīs formulas tiek izmantotas praktisko piemēru risināšanā. Leņķi zem trigonometriskās funkcijas zīmes var attēlot nevis vienā, bet dažādos veidos. Piemēram, trigonometriskās funkcijas argumentu var attēlot kā ± α + 2 π z , π 2 ± α + 2 π z , π ± α + 2 π z , 3 π 2 ± α + 2 π z . Demonstrēsim to. Ņemsim leņķi α = 16 π 3 . Šo leņķi var uzrakstīt šādi: α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π Atkarībā no leņķa attēlojuma tiek izmantota atbilstošā samazināšanas formula. Ņemsim to pašu leņķi α = 16 π 3 un aprēķināsim tā tangensu 1. piemērs. Liešanas formulu izmantošana α \u003d 16 π 3, t g α \u003d? Attēlosim leņķi α = 16 π 3 kā α = π + π 3 + 2 π 2 Šis leņķa attēlojums atbildīs samazināšanas formulai t g (π + α + 2 π z) = t g α t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3 Izmantojot tabulu, mēs norādām pieskares vērtību Tagad mēs izmantojam citu leņķa α = 16 π 3 attēlojumu. 2. piemērs. Liešanas formulu izmantošana α \u003d 16 π 3, t g α \u003d? α \u003d - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 \u003d t g - 2 π 3 + 2 π 3 \u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3 d) \u003d Visbeidzot, par trešo leņķa attēlojumu, ko mēs rakstām 3. piemērs. Liešanas formulu izmantošana α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π 3 π = c t 6 + 2 π 3 π Tagad sniegsim sarežģītāku samazināšanas formulu izmantošanas piemēru 4. piemērs. Liešanas formulu izmantošana Attēlosim grēku 197° asā leņķa sinusa un kosinusa izteiksmē. Lai varētu izmantot reducēšanas formulas, ir nepieciešams attēlot leņķi α = 197 ° vienā no formām ± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Atbilstoši problēmas stāvoklim leņķim jābūt asam. Attiecīgi mums ir divi veidi, kā to attēlot: 197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73° Mēs saņemam grēks 197° = grēks (180° + 17°) grēks 197° = grēks (270° - 73°) Tagad apskatīsim sinusu samazināšanas formulas un izvēlēsimies atbilstošās. sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = grēks (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin(270° - 73° + 360° z) = - cos 73° Liešanas formulu ir daudz, un, par laimi, tās nav jāiegaumē. Ir modeļi, pēc kuriem varat iegūt samazināšanas formulas dažādiem leņķiem un trigonometriskām funkcijām. Šos modeļus sauc par mnemoniskajiem noteikumiem. Mnemonika ir iegaumēšanas māksla. Mnemoniskais noteikums sastāv no trim daļām vai ietver trīs posmus. Mnemoniskais likums 1. Sākotnējās funkcijas arguments ir attēlots vienā no formām ± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz Leņķim α jābūt no 0 līdz 90 grādiem. 2. Tiek noteikta sākotnējās trigonometriskās funkcijas zīme. Funkcijai, kas rakstīta formulas labajā pusē, būs tāda pati zīme. 3. Leņķiem ± α + 2 πz un π ± α + 2 πz sākotnējās funkcijas nosaukums paliek nemainīgs, un attiecīgi leņķiem π 2 ± α + 2 πz un 3 π 2 ± α + 2 πz tas mainās. "līdzfunkcionēt". Sinuss līdz kosinusam. Pieskares kotangensam. Lai izmantotu mnemonisko noteikumu samazinājuma formulām, jums ir jāspēj noteikt trigonometrisko funkciju zīmes gar vienības apļa ceturtdaļām. Apskatīsim mnemoniskā likuma piemērošanas piemērus. 1. piemērs: mnemoniska likuma izmantošana Pierakstīsim reducēšanas formulas cos π 2 - α + 2 πz un t g π - α + 2 πz . α - pirmā ceturkšņa leņķis. 1. Tā kā pēc nosacījuma α ir pirmā ceturkšņa žurnāls, mēs izlaižam noteikuma pirmo rindkopu. 2. Noteiksim funkciju cos π 2 - α + 2 πz un t g π - α + 2 πz zīmes. Leņķis π 2 - α + 2 πz ir arī pirmā ceturkšņa leņķis, un leņķis π - α + 2 πz atrodas otrajā ceturksnī. Pirmajā ceturksnī kosinusa funkcija ir pozitīva, un otrajā ceturksnī tangensam ir mīnusa zīme. Pierakstīsim, kā vēlamās formulas izskatīsies šajā posmā. cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = - 3. Saskaņā ar trešo punktu leņķim π 2 - α + 2 π funkcijas nosaukums mainās uz Konfūcijs, un leņķim π - α + 2 πz paliek nemainīgs. Rakstīsim: cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α Tagad apskatīsim iepriekš minētās formulas un pārliecināsimies, ka mnemoniskais noteikums darbojas. Apsveriet piemēru ar noteiktu leņķi α = 777°. Mēs savienojam sinusu alfa līdz akūta leņķa trigonometriskajai funkcijai. 2. piemērs: mnemoniska likuma izmantošana 1. Attēlosim leņķi α = 777 ° vajadzīgajā formā 777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2 2. Sākotnējais leņķis - pirmā ceturkšņa leņķis. Tātad leņķa sinusam ir pozitīva zīme. Rezultātā mums ir: 3. grēks 777° = grēks (57° + 360° 2) = grēks 57° grēks 777° = grēks (90° - 33° + 360° 2) = cos 33° Tagad apskatīsim piemēru, kas parāda, cik svarīgi ir pareizi noteikt trigonometriskās funkcijas zīmi un pareizi attēlot leņķi, izmantojot mnemonisko noteikumu. Atkārtosim vēlreiz. Svarīgs! Leņķim α jābūt akūtam! Aprēķināsim leņķa 5 π 3 tangensu. No galveno trigonometrisko funkciju vērtību tabulas varat nekavējoties ņemt vērtību t g 5 π 3 = - 3, bet mēs piemērosim mnemonisko noteikumu. 3. piemērs: mnemoniska likuma izmantošana Mēs attēlojam leņķi α = 5 π 3 vajadzīgajā formā un izmantojam noteikumu t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3 Ja leņķi alfa attēlojam formā 5 π 3 = π + 2 π 3, tad mnemoniskā likuma piemērošanas rezultāts būs nepareizs. t g 5 π 3 \u003d t g π + 2 π 3 \u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3) \u003d 3 Nepareizs rezultāts ir saistīts ar faktu, ka leņķis 2 π 3 nav akūts. Redukcijas formulu pierādījums balstās uz trigonometrisko funkciju periodiskuma un simetrijas īpašībām, kā arī uz īpašību nobīdi pa leņķiem π 2 un 3 π 2 . Visu reducēšanas formulu derīguma pierādījumu var veikt, neņemot vērā terminu 2 πz, jo tas apzīmē leņķa izmaiņas ar veselu skaitu pilnu apgriezienu un tikai atspoguļo periodiskuma īpašību. Pirmās 16 formulas izriet tieši no trigonometrisko pamatfunkciju īpašībām: sinusa, kosinuss, tangenss un kotangenss. Mēs piedāvājam sinusu un kosinusu samazināšanas formulu pierādījumus sin π 2 + α = cos α un cos π 2 + α = - sin α Apskatīsim vienības apli, kura sākuma punkts pēc pagrieziena caur leņķi α ir pārgājis uz punktu A 1 x , y , bet pēc pagrieziena caur leņķi π 2 + α - uz punktu A 2 . No abiem punktiem novelkam perpendikulus x asij. Divi taisnleņķa trijstūri O A 1 H 1 un O A 2 H 2 ir vienādi hipotenūzas un tai piegulošo leņķu izteiksmē. No punktu izvietojuma uz apļa un trīsstūru vienādības varam secināt, ka punktam A 2 ir koordinātes A 2 - y, x. Izmantojot sinusa un kosinusa definīcijas, mēs rakstām: sin α \u003d y, cos α \u003d x, sin π 2 + α \u003d x, cos π 2 + α \u003d y sin π 2 + α \u003d cos α, cos π 2 + α \u003d - sin α Ņemot vērā trigonometrijas pamatidentitātes un tikko pierādīto, varam rakstīt t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - α α = cos tgα Lai pierādītu reducēšanas formulas ar argumentu π 2 - α, tas ir jāattēlo kā π 2 + (- α) . Piemēram: cos π 2 - α \u003d cos π 2 + (- α) \u003d - grēks (- α) \u003d grēks α Pierādījumā tiek izmantotas trigonometrisko funkciju īpašības ar argumentiem, kas ir pretēji zīmei. Visas pārējās samazināšanas formulas var pierādīt, pamatojoties uz iepriekš rakstītajām. Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter Un vēl viena lieta: skaita samazināšanas formulu ir diezgan daudz, un mēs nekavējoties brīdināsim, lai tās visas neiegaumētu. Tas nav absolūti nepieciešams - tas ir, kas atvieglo samazināšanas formulu piemērošanu. Tātad, pierakstīsim visas samazināšanas formulas tabulas veidā. Šīs formulas var pārrakstīt, izmantojot grādus un radiānus. Lai to izdarītu, atcerieties par attiecību starp grādiem un radiāniem un visur aizstājiet π ar 180 grādiem. Šīs sadaļas mērķis ir parādīt, kā reducēšanas formulas tiek izmantotas praksē, risinot piemērus. Vispirms ir vērts teikt, ka ir bezgalīgi daudz veidu, kā attēlot leņķi zem trigonometrisko funkciju zīmes formā un Piemēram, ņemsim leņķi zem trigonometriskās funkcijas zīmes, kas vienāda ar . Šo leņķi var attēlot kā Tagad apskatīsim, kādas samazināšanas formulas mums ir jāizmanto atkarībā no leņķa attēlojuma. Piemēram, ņemsim . Ja mēs attēlojam leņķi kā Prezentācijai Visbeidzot, , jo atbilstošajai samazināšanas formulai ir forma Lai pabeigtu šo diskusiju, ir vērts uzsvērt, ka ir dažas ērtības, izmantojot leņķa attēlojumus, kuros leņķa vērtība ir no 0 līdz 90 grādiem (no 0 līdz pi pusradiānos). Apsveriet vēl vienu reducēšanas formulu izmantošanas piemēru. Piemērs. Izmantojot samazināšanas formulas, attēlojiet caur sinusu, kā arī caur asā leņķa kosinusu. Risinājums. Lai piemērotu samazināšanas formulas, mums ir jāattēlo 197 grādu leņķis formā vai Atsaucoties uz atbilstošām samazināšanas formulām Atbilde:
Kā jau minējām iepriekš, liešanas formulas nav jāiegaumē. Ja tos rūpīgi aplūkojat, varat noteikt modeļus, no kuriem varat iegūt noteikumu, kas ļauj iegūt jebkuru no samazināšanas formulām. Viņu sauc mnemoniskais likums(mnemonika ir atmiņas māksla). Mnemoniskais noteikums ietver trīs darbības: Tūlīt ir vērts teikt, ka, lai piemērotu mnemonisko likumu, jums ļoti labi jāprot noteikt sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa zīmes pa ceturtdaļām, jo jums tas būs jādara visu laiku. Analizēsim mnemoniskā likuma piemērošanu ar piemēriem. Piemērs. Izmantojot mnemonisko likumu, pierakstiet samazināšanas formulas Risinājums. Mums nav jāveic pirmais noteikuma solis, jo leņķi zem trigonometrisko funkciju zīmēm jau ir ierakstīti vēlamajā formā. Definēsim funkciju zīmi Tā kā kosinusa funkcijas argumentam ir forma Rezultātā mums ir Atbilde:
Lai konsolidētu materiālu, apsveriet piemēra risinājumu ar konkrētiem leņķiem. Piemērs. Izmantojot mnemonisko likumu, konvertējiet uz akūta leņķa trigonometriskajām funkcijām. Risinājums. Vispirms attēlosim 777 grādu leņķi formā, kas nepieciešama, lai piemērotu mnemonisko noteikumu. To var izdarīt divos veidos: vai . Sākotnējais leņķis ir pirmā ceturkšņa leņķis, šī leņķa sinusam ir plus zīme. Attēlojumam sinusa nosaukums ir jāatstāj nemainīgs, bet tipa attēlojumam sinuss būs jāmaina uz kosinusu. Rezultātā mums ir un . Atbilde: Un Lai pabeigtu šo sadaļu, apsveriet piemēru, kas ilustrē, cik svarīgi ir pareizi attēlot leņķi zem trigonometrisko funkciju zīmes, lai piemērotu mnemonisko noteikumu: leņķim jābūt asam! Aprēķiniet leņķa tangensu. Principā, atsaucoties uz raksta materiālu sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta vērtībām, mēs varam uzreiz atbildēt uz problēmas jautājumu: Ja mēs attēlojam leņķi kā vai kā , mēs varam izmantot mnemonisko noteikumu: Bet kas var notikt, ja ņemam leņķa attēlojumu, piemēram, skatu. Šajā gadījumā mnemoniskais noteikums mūs novedīs pie šī rezultāta. Šis rezultāts ir nepareizs, un tas ir izskaidrojams ar to, ka mums nebija tiesību piemērot attēlojuma mnemonisko noteikumu, jo leņķis nav akūts. Samazināšanas formulas atspoguļo nobīdes periodiskumu, simetriju un īpašības pa leņķiem un . Uzreiz atzīmējam, ka visas samazināšanas formulas var pierādīt, argumentos atmetot terminu, jo tas nozīmē leņķa izmaiņas par veselu skaitu pilnu pagriezienu, un tas nemaina trigonometrisko funkciju vērtību. Šis termins kalpo kā periodiskuma atspoguļojums. Pirmais 16 reducēšanas formulu bloks izriet tieši no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašībām. Jums pat nav jāapstājas pie tiem. Pārejam pie nākamā formulu bloka. Vispirms mēs pierādām pirmos divus no tiem. Pārējais izriet no tiem. Tātad, pierādīsim formas samazināšanas formulas Apsveriet vienības apli. Ļaujiet sākuma punktam A pēc pagriešanās pa leņķi nonākt punktā A 1 (x, y) , bet pēc pagrieziena leņķī - punktā A 2 . Uzzīmēsim A 1 H 1 un A 2 H 2 - perpendikulus taisnei Ox . Ir viegli redzēt, ka taisnleņķa trijstūri OA 1 H 1 un OA 2 H 2 ir vienādi hipotenūzā un divos tai blakus leņķos. No trijstūra vienādības un punktu A 1 un A 2 izvietojuma uz vienības apļa kļūst skaidrs, ka, ja punktam A 1 ir koordinātes x un y , tad punktam A 2 ir koordinātes −y un x . Tad sinusa un kosinusa definīcijas ļauj rakstīt vienādības un Ņemot vērā to un Lai pierādītu reducēšanas formulas ar argumentu, pietiek to attēlot kā , un pēc tam izmantot pārbaudītās formulas un trigonometrisko funkciju īpašības ar pretējiem argumentiem. Piemēram, . Visas pārējās reducēšanas formulas tiek pierādītas līdzīgi, pamatojoties uz tām, kuras jau ir pierādītas ar dubultu pielietojumu. Piemēram, tas tiek attēlots kā , un - kā Bibliogrāfija. Papildu materiāli Mācību līdzekļi un simulatori interneta veikalā "Integral" 10. klasei Ko mēs pētīsim: Trigonometrisko funkciju atkārtošana
Puiši, jūs jau esat saskārušies ar spoku formulām, bet tās vēl nav tā nosauktas. Kur tu domā? Apskatiet mūsu zīmējumus. Pareizi, kad viņi ieviesa trigonometrisko funkciju definīcijas. Ieviesīsim pamatnoteikumu: Ja trigonometriskās funkcijas zīme satur skaitli formā π×n/2 + t, kur n ir jebkurš vesels skaitlis, tad mūsu trigonometrisko funkciju var reducēt uz vienkāršāku formu, kurā būs tikai arguments. t. Šādas formulas sauc par spoku formulām. Atcerēsimies dažas formulas: ir daudz spoku formulu, izveidosim noteikumu, pēc kura mēs noteiksim savas trigonometriskās funkcijas, izmantojot spoku formulas: Šie noteikumi ir spēkā arī tad, ja funkcijas arguments ir grādos! Mēs varam arī izveidot trigonometrisko funkciju pārveidošanas tabulu: 1. Pārveidosim cos(π + t). Funkcijas nosaukums paliek, t.i. mēs iegūstam cos(t). Tālāk pieņemsim, ka π/2 2. Pārveidot sin(π/2 + t). Tiek mainīts funkcijas nosaukums, t.i. mēs iegūstam cos(t). Turklāt pieņemsim, ka 0 sin(t + π/2) = cos(t) 3. Pārveidosim tg(π + t). Funkcijas nosaukums paliek, t.i. mēs iegūstam tg(t). Turklāt pieņemsim, ka 0 4. Pārveidosim ctg(270 0 + t). Funkcijas nosaukums mainās, tas ir, mēs iegūstam tg(t). Turklāt pieņemsim, ka 0 Puiši, pārvērtiet sevi, izmantojot mūsu noteikumus: 1) tg(π + t), 
stūrī `\alpha`, tas pāries uz punktu `A_1(x, y)` un pēc leņķa `\frac (\pi)2 + \alpha` pagriešanas uz punktu `A_2(-y,x)` . Nometot perpendikulus no šiem punktiem uz taisni OX, redzam, ka trijstūri `OA_1H_1` un `OA_2H_2` ir vienādi, jo to hipotenūzas un blakus leņķi ir vienādi. Pēc tam, pamatojoties uz sinusa un kosinusa definīcijām, mēs varam rakstīt "sin \alpha=y", "cos \alpha=x", "sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x", "cos". (\frac (\pi)2 + \alpha)=-y`. Kā var uzrakstīt, ka ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` un ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, kas pierāda samazinājumu leņķa `\frac (\pi)2 + \alpha' sinusa un kosinusa formulas.Liešanas formulas. Saraksts
Lieto formulu izmantošanas piemēri
Mnemoniskais noteikums
Lieto formulu izmantošanas piemēri
. Tas ir saistīts ar faktu, ka leņķis var iegūt jebkuru vērtību. Parādīsim to ar piemēru.
, vai kā 
, vai kā 
, vai daudzos citos veidos., tad šis attēlojums atbilst formas reducēšanas formulai, no kuras mēs iegūstam 
. Šeit mēs varam norādīt trigonometriskās funkcijas vērtību: .mēs jau izmantosim formas formulu 
, kas mūs noved pie šāda rezultāta: .
.
, un atbilstoši problēmas stāvoklim leņķim jābūt asam. To var izdarīt divos veidos: 
vai 
. Pa šo ceļu, 
vai 
.
un 
, mēs saņemam un .
un 
.
Mnemoniskais noteikums
un 
, skaitot leņķi kā pirmās ceturkšņa leņķi.un . Ar nosacījumu, ka - pirmā ceturkšņa leņķis, leņķis 
ir arī pirmā ceturkšņa leņķis un leņķis 
- otrās ceturtdaļas stūris. Pirmās ceturtdaļas kosinusam ir plus zīme, bet tangensam otrajā ceturksnī ir mīnus zīme. Šajā posmā vēlamajām formulām būs forma 
un . Mēs izdomājām zīmes, jūs varat pāriet uz mnemoniskā likuma pēdējo soli., tad funkcijas nosaukums ir jāmaina uz kofunkciju, tas ir, uz sinusu. Un pieskares arguments ir , tāpēc funkcijas nosaukums ir jāatstāj tāds pats.
un . Lai pārliecinātos, ka rezultāti ir pareizi, varat apskatīt cast formulu tabulu.
un .
.
.
un , kas noved pie tā paša rezultāta.Redukcijas formulu pierādījums
un 
.
, no kurienes tas izriet un . Tas pierāda reducēšanas formulas, kas tiek ņemtas vērā jebkuram leņķim.
(ja nepieciešams, skatiet rakstu pamata trigonometriskās identitātes), kā arī tikko pierādītās formulas iegūstam 
un 
. Tātad mēs esam pierādījuši šādas divas samazināšanas formulas.
. Un un - kā arī attiecīgi.Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Reducēšanas formulu pielietošana uzdevumu risināšanā"
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus. Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.
1C: skola. Interaktīvie būvniecības uzdevumi 7.-10.klasei
1C: skola. Mēs risinām uzdevumus ģeometrijā. Interaktīvi uzdevumi būvēšanai telpā 10.-11.klasei
1. Nedaudz atkārtosim.
2. Samazināšanas formulu noteikumi.
3. Reducēšanas formulu transformāciju tabula.
4. Piemēri.Samazināšanas formulu noteikums
3π/2 + t un 3π/2 - t, tad funkcija mainīsies uz saistītu, t.i., sinuss kļūs par kosinusu, kotangenss – par tangensu.
Redukcijas formulu izmantošanas piemēri
Problēmas ar reducēšanas formulām neatkarīgam risinājumam
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 — t),
5) ctg(3π + t),
6) grēks(2π + t),
7) grēks(π/2 + 5t),
8) grēks(π/2 — t),
9) grēks(2π - t),
10) cos(2π — t),
11) cos (3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 — t),
13) cos(π - t).