Risinājums. Maksimālie punkti atbilst punktiem, kuros atvasinājuma zīme mainās no plusa uz mīnusu. Nozarē funkcijai ir divi maksimālie punkti x = 4 un x = 4. Atbilde: 2. Attēlā parādīts intervālā (10; 8) definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks. Atrodiet funkcijas f(x) maksimālo punktu skaitu segmentā .
Risinājums. Attēlā parādīts intervālā (1; 12) definētas funkcijas y=f(x) grafiks. Nosakiet veselu skaitļu punktu skaitu, kur funkcijas atvasinājums ir negatīvs. Funkcijas atvasinājums ir negatīvs tajos intervālos, kuros funkcija samazinās, t.i., uz intervāliem (0,5; 3), (6; 10) un (11; 12). Tajos ir veseli skaitļu punkti 1, 2, 7, 8 un 9. Kopā ir 5 punkti. Atbilde: 5.
Attēlā parādīts intervālā (10; 4) definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks. Atrodiet dilstošās funkcijas f(x) intervālus. Atbildē ierakstiet lielākās no tām garumu. Risinājums. Samazinošās funkcijas f(x) intervāli atbilst intervāliem, kuros funkcijas atvasinājums ir negatīvs, tas ir, intervālam (9; 6) ar garumu 3 un intervālam (2; 3) ar garumu 5. Garums no lielākajiem ir 5. Atbilde: 5.
Attēlā parādīts intervālā (7; 14) definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks. Atrodiet funkcijas f(x) maksimālo punktu skaitu segmentā . Risinājums. Maksimālie punkti atbilst punktiem, kuros atvasinājuma zīme mainās no pozitīvas uz negatīvu. Nozarē funkcijai ir viens maksimālais punkts x = 7. Atbilde: 1.
Attēlā parādīts intervālā (8; 6) definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks. Atrodiet pieaugošās funkcijas f(x) intervālus. Atbildē ierakstiet lielākās no tām garumu. Risinājums. Palielinošās funkcijas f(x) intervāli atbilst intervāliem, uz kuriem funkcijas atvasinājums ir pozitīvs, tas ir, intervāliem (7; 5), (2; 5). Lielākais no tiem ir intervāls (2; 5), kura garums ir 3.
Attēlā parādīts intervālā (7; 10) definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks. Atrodiet funkcijas f(x) minimālo punktu skaitu segmentā . Risinājums. Minimālie punkti atbilst punktiem, kuros atvasinājuma zīme mainās no mīnusa uz plusu. Nozarē funkcijai ir viens minimālais punkts x = 4. Atbilde: 1.
Attēlā parādīts intervālā (16; 4) definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks. Atrodiet funkcijas f(x) galējo punktu skaitu segmentā . Risinājums. Ekstrēma punkti atbilst grafikā attēlotā atvasinājuma zīmes maiņas punktiem pret atvasinājuma nullēm. Atvasinājums pazūd punktos 13, 11, 9, 7. Funkcijai segmentā ir 4 galējie punkti. Atbilde: 4.
Attēlā parādīts intervālā (2; 12) definētas funkcijas y=f(x) grafiks. Atrodiet funkcijas f(x) galējo punktu summu. Risinājums. Dotajai funkcijai maksimumi ir punktos 1, 4, 9, 11 un minimumi punktos 2, 7, 10. Tāpēc ekstrēmu punktu summa ir = 44. Atbilde: 44.
Attēlā parādīts funkcijas y \u003d f (x) grafiks un tai pieskare punktā ar abscisu x 0. Atrodiet funkcijas f (x) atvasinājuma vērtību punktā x 0. Risinājums. Atvasinājuma vērtība saskares punktā ir vienāda ar pieskares slīpumu, kas savukārt ir vienāds ar dotās pieskares x ass slīpuma leņķa pieskari. Izveidosim trīsstūri ar virsotnēm punktos A (2; 2), B (2; 0), C (6; 0). Pieskares slīpuma leņķis pret x asi būs vienāds ar leņķi, kas atrodas blakus leņķim ACB
Attēlā parādīts funkcijas y = f(x) grafiks un šī grafika pieskare punktā, kura abscisa ir vienāda ar 3. Atrodiet šīs funkcijas atvasinājuma vērtību punktā x = 3. Lai atrisinātu, mēs izmantojiet atvasinājuma ģeometrisko nozīmi: funkcijas atvasinājuma vērtība punktā ir vienāda ar šajā punktā uzzīmētā šīs funkcijas grafika pieskares slīpumu. Pieskares slīpums ir vienāds ar leņķa pieskari starp tangensu un x ass pozitīvo virzienu (tg α). Leņķis α = β, kā šķērsvirziena guļus leņķi ar paralēlām līnijām y=0, y=1 un secant-tangensu. Trijstūrim ABC
Attēlā parādīts funkcijas y \u003d f (x) grafiks un tai pieskare punktā ar abscisu x 0. Atrodiet funkcijas f (x) atvasinājuma vērtību punktā x 0. Saskaņā ar pieskares īpašības, funkcijas f (x) pieskares formula punktā x 0 ir vienāda ar y \u003d f (x 0) x + b, b \u003d const Attēlā parādīts, ka pieskares pieskarei funkcija f (x) punktā x 0 iet caur punktiem (-3; 2), (5.4). Tāpēc mēs varam sastādīt vienādojumu sistēmu
Avoti
Individuālās nodarbības caur SKYPE
par efektīvu tiešsaistes apmācību uz eksāmenu matemātikā.
B8 tipa uzdevumi ir atvasināto funkciju pielietošanas uzdevumi. Mērķi uzdevumos:
- atrast atvasinājumu noteiktā punktā
- noteikt funkcijas ekstrēmus, maksimālos un minimālos punktus
- pieauguma un samazināšanās periodi
Apskatīsim dažus piemērus. Uzdevums v8.1: attēlā parādīts funkcijas y \u003d f (x) grafiks un tai pieskares punktā ar abscisu x0. Atrodiet funkcijas y=f (x) atvasinājuma vērtību punktā x0.
Mazliet teorijas. Ja tangenss palielinās, tad atvasinājums būs pozitīvs, un, ja tangenss samazinās, tad atvasinājums būs negatīvs. Funkcijas y’= tgA atvasinājums, kur A ir X ass pieskares slīpuma leņķis
Risinājums: mūsu piemērā tangenss palielinās, kas nozīmē, ka atvasinājums būs pozitīvs. Apsveriet taisnleņķa trīsstūri ABC un atrodiet no tā tg A \u003d BC / AB, kur BC ir attālums starp raksturīgajiem punktiem pa y asi, AB ir attālums starp punktiem pa x asi. Raksturīgie punkti diagrammā ir atzīmēti ar trekniem punktiem un apzīmēti ar burtiem A un C. Raksturīgajiem punktiem jābūt skaidriem un veseliem skaitļiem. Diagrammā redzams, ka AB= 5+3=8 un saule=3-1=2,
tgα= BC/AB=2/8=1/4=0,25, tātad atvasinājums y’=0,25
Atbilde: 0,25
Uzdevums B8.2 Attēlā parādīts funkcijas y \u003d f (x) grafiks, kas definēts intervālā (-9; 4). Atrodiet funkciju f(x) galējo punktu abscisu summu
Risinājums: Pirmkārt, definēsim, kas ir ekstremālie punkti? Tie ir punkti, kuros atvasinājums maina savu zīmi uz pretējo, citiem vārdiem sakot, visi "pakalni" un "iedobumi". Mūsu piemērā mums ir 4 "pakalni" un 4 "iedobumi". Paņemsim visus "ainavas" punktus uz X asi un atrodam abscisas vērtību, tagad mēs pievienojam visas šo punktu vērtības gar X. ass
iegūstam -8-7-5-3-2+0+1+3=-21
Atbilde: -21
skatiet šī uzdevuma video pamācību
"B8 eksāmenā matemātikā" - Minimālais punktu skaits. Funkcijas atvasinājums ir negatīvs. Atrodiet funkcijas atvasinājuma vērtību. Atrodiet saskares punkta abscisu. Ātrums. Funkcijas atvasinājuma vērtība. Atvasinājums. Laiks. Funkcijas atvasinājuma grafiks. Atrodiet funkcijas atvasinājumu. Funkcijas palielināšanas intervāli. Uzdevumu risināšana B8 LIETOŠANA matemātikā.
"B3 matemātikā" - piezīme skolēnam. CT prasmes. Darba prototips. Uzdevuma saturs B3. Darba prototips B3. Darba prototips B3. Vienādojums. Sakņu pamatīpašības. Atrodiet vienādojuma sakni. Logaritmi. Logaritmi ar tādu pašu bāzi. Grāds. Gatavošanās eksāmenam matemātikā. Uzdevumi priekš neatkarīgs lēmums.
"Uzdevumu risinājums B11" - Uzdevumi. Matemātiskās analīzes sākums. Atrodiet segmenta funkcijas lielāko vērtību. Formulas. Atrodiet funkcijas lielāko vērtību. CT prasmes. Uzdevumi patstāvīgam lēmumam. Atrodiet mazāko funkcijas vērtību segmentā. Atrodiet funkcijas mazāko vērtību. Pārbaude. Risinājums. Piezīme studentam.
"B1 eksāmenā matemātikā" - Mazākais skaitlis. bulciņa. Biļete. Amerikāņu auto. Elektriskā tējkanna. Reklāmas kampaņa. diena. Maksājumu terminālis. Medicīna. Uzdevumi B1. Klients. Motorkuģis. Vispārējā piezīmju grāmatiņa. Plūsmas mērītājs karsts ūdens. Dzelzceļa biļete. Pensionāri.
“Vienoti valsts pārbaudījuma uzdevumi matemātikā” - B 13. uzdevums. Jāatrisina vēl pāris piemēri. B uzdevums 6. Atrodi motociklista ātrumu. B uzdevums 1. Par cik ūdens līmenim jāpaaugstinās pēc lietus? Atrodiet apgabalu. Pēc lietus ūdens līmenis akā var paaugstināties. B 5. uzdevums. B 12. uzdevums. Patstāvīgs darbs. Sagatavošanās eksāmenam. B 3. uzdevums.
"B1 matemātikā" - Marmelāde. Reklāmas kampaņa. Izpārdošanas dienas atlaide. Ampula. Veļas mašīna. Autobuss. Ienākuma nodoklis. Šampūna pudele. Piezīmju grāmatiņa. Mazākais skaitlis. Mobilais telefons. Starppilsētu autobusa biļete. Taksometra šoferis. Rezultāts. Biļete. tutu sviests. Roze. Uzdevumi B1 LIETOŠANA matemātikā. Risinājums.
Kopā tēmā 33 prezentācijas
Uzdevumu B8 risinājums, pamatojoties uz materiāliem atvērta banka LIETOŠANAS uzdevumi matemātikā 2012 Taisne y \u003d 4x + 11 ir paralēla funkcijas y \u003d x2 + 8x + 6 grafika pieskarei. Atrodiet pieskares punkta abscisu Nr. 1 Risinājums: Ja taisne ir paralēli funkcijas grafika pieskarei kādā punktā (sauksim to par ho), tad tās slīpums (mūsu gadījumā k = 4 no vienādojuma y = 4x + 11) ir vienāds ar funkcijas atvasinājuma vērtību. funkcija punktā xo: k = f ′(xo) = 4 Funkcijas atvasinājums f′(x) = (x2 + 8x + 6) ′= 2x +8. Tātad, lai atrastu vēlamo pieskāriena punktu, ir nepieciešams, lai 2хo + 8 = 4, no kurienes хо = - 2. Atbilde: - 2. Taisne y \u003d 3x + 11 ir pieskares grafikam
funkcijas y = x3−3x2− 6x + 6.Atrodiet saskares punkta abscisu.#2 Risinājums: Ņemiet vērā, ka, ja līnija ir pieskares grafikam, tad tās slīpumam (k = 3) jābūt vienādam ar funkcijas atvasinājumu saskares punktā, no kura mums ir Zx2 - 6x - 6 = 3, tas ir, Zx2 - 6x - 9 = 0 vai x2 - 2x - 3 = 0. Tas ir
kvadrātvienādojums ir divas saknes: −1 un 3. Tādējādi ir divi punkti, kuros funkcijas y \u003d x3 - 3x2 - 6x + 6 grafika pieskares slīpums ir vienāds ar 3. Lai noteiktu, kurā no tiem Divos punktos līnija y \u003d 3x + 11 pieskaras funkcijas grafikam, mēs aprēķinām funkcijas vērtības šajos punktos un pārbaudām, vai tie atbilst tangensvienādojumam. Funkcijas vērtība punktā −1 ir y(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8, un vērtība punktā 3 ir y(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12. Ņemiet vērā, ka punkts ar koordinātām (-1; 8) apmierina pieskares vienādojumu, jo 8 = -3 + 11. Bet punkts (3; -12) neapmierina pieskares vienādojumu, jo -12 ≠ 9 + 11. , vēlamā pieskāriena punkta abscisa ir −1. Atbilde: −1. Attēlā parādīts grafiks ar y = f ′(x) - funkcijas f(x) atvasinājums, kas definēts intervālā (–10; 8). Kurā segmenta punktā [–8; –4] funkcijai f(x) ir mazākā vērtība №3 Risinājums: Ņemiet vērā, ka segmentā [–8; -4] funkcijas atvasinājums ir negatīvs, kas nozīmē, ka pati funkcija samazinās, kas nozīmē, ka tai ir mazākā vērtība šajā segmentā segmenta labajā galā, tas ir, punktā -4.y = f ′ (x) f (x) - Atbilde: -4 . Attēlā parādīts y grafiks \u003d f ′(x) - funkcijas f (x) atvasinājums, kas definēts intervālā (-8; 8) Atrast funkcijas f (x) ekstrēmuma punktu skaitu, kas pieder segmentam [- 6; 6].№4Risinājums: galējā punktā funkcijas atvasinājums ir vienāds ar 0 vai neeksistē. Redzams, ka šādi segmentam piederošie punkti [–6; 6] trīs. Tajā pašā laikā katrā punktā atvasinājums maina zīmi no “+” uz “–”, vai no “–” uz “+”. ′(x) ir funkcijas f(x) atvasinājums, kas definēts intervāls (–8; 10). Atrodiet funkcijas f (x) galējo punktu intervālā (-4; 8) Nr. 5. Risinājums: Ņemiet vērā, ka intervālā (-4; 8) atvasinājums punktā xo = 4 pagriežas uz 0 un maina zīmi, ejot cauri šim punkta atvasinājumam no "-" uz "+", 4. punkts ir vēlamais funkcijas galējības punkts noteiktā intervālā. y \u003d f ′(x) + - Atbilde: 4. Attēlā parādīts grafiks y \u003d f ′ (x) - funkcijas f (x) atvasinājums, kas definēts intervālā (-8; 8). Atrodiet punktu skaitu, kur funkcijas f(x) grafika pieskare ir paralēla taisnei y = -2x + 2 vai sakrīt ar to. №6 Risinājums: Ja funkcijas f(x) grafika pieskare ir paralēla taisnei y = -2x + 2 vai sakrīt ar to, tad tās slīpums k =–2, kas nozīmē, ka jāatrod punktu skaits, kuros funkcijas f ′(x) atvasinājums = –2. Lai to izdarītu, atvasinājuma grafikā mēs novelkam taisnu līniju y \u003d -2 un saskaitām punktu skaitu atvasinājuma grafikā, kas atrodas uz šīs līnijas. Šādi punkti ir 4. y \u003d f ′ (x) y \u003d -2 Atbilde: 4. Attēlā parādīts funkcijas y \u003d f (x) grafiks, kas definēts intervālā (-6; 5). Nosakiet veselu skaitļu punktu skaitu, kuros funkcijas atvasinājums ir negatīvs Nr.7y Risinājums: Ņemiet vērā, ka funkcijas atvasinājums ir negatīvs, ja pati funkcija f (x) samazinās, kas nozīmē, ka ir jāatrod veselu skaitļu punktu skaits, kas iekļauts dilstošās funkcijas intervālos. Šādi punkti ir 6: x = −4, x = −3, x = −2, x = −1, x = 0, x = 3. y = f( x) x–6–45–1–20–33 Atbilde: 6. Attēlā parādīts funkcijas y \u003d f (x) grafiks, kas definēts intervālā (-6; 6). Atrodiet punktu skaitu, kuros funkcijas grafika pieskare ir paralēla taisnei y \u003d -5. Nr. 8y Risinājums: Līnija y \u003d −5 ir horizontāla, kas nozīmē, ka, ja funkcijas grafika pieskare ir tai paralēla, tad tā ir arī horizontāla. Tāpēc slīpums vēlamajos punktos k = f′(х)= 0. Mūsu gadījumā tie ir galējie punkti. Ir 6.1y = f(x) x06–635642y = –5–5 tādi punkti. viņam punktā ar abscisu ho. Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā xo. №9Risinājums: funkcijas f′(хo)= tgα = k atvasinājuma vērtība līdz vienāda leņķa koeficientam pieskarei, kas uzvilkta šīs funkcijas grafikam dotajā punktā. Mūsu gadījumā k > 0, jo α–
ass stūris(tgα > 0) Lai atrastu slīpumu, izvēlamies divus punktus A un B, kas atrodas uz pieskares, kuru abscises un ordinātas ir veseli skaitļi. Tagad definēsim slīpuma moduli. Lai to izdarītu, mēs izveidojam trīsstūri ABC. tgα = ВС: АС = 5: 4 = 1,25 y = f(x) Вα5хαС4А Atbilde: 1,25.punkts ar abscisu xo Atrodiet funkcijas f (x) atvasinājuma vērtību punktā xo. №10Risinājums: funkcijas f′(хo)= tgα = k atvasinājuma vērtība līdz vienāda leņķa koeficientam pieskarei, kas uzvilkta šīs funkcijas grafikam dotajā punktā. Mūsu gadījumā k< 0, так как α– тупой угол (tgα < 0).Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg(180°−α) = ВС: АС = 6: 8 = 0,75 tgα = − tg (180°−α) = −0,75Ву = f(x) α6хо180°− αСА8Ответ: −0,75.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10]. №11.Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [−10; 10] пять. В точках х2и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.уу = f ′(x) +++–100–––х10f(x) х3х5х2х4х1maxmaxОтвет: 2.Прямая у = 4х – 4является касательной к графику функции ах2+ 34х + 11. Найдите а.№12Решение:Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo+ 34 = 4. То есть ахo =–15. Найдем значение исходной функции в точке касания:ахo2 + 34хo + 11 = –15xo+ 34хo + 11 = 19хo + 11.Так как прямая у = 4х – 4– касательная, имеем: 19хo + 11 =4хo–4, откуда хo = –1. А значитa = 15. Ответ: 15.Прямая у = –4х – 5 является касательной к графику функции 9х2+bх + 20. Найдите b,учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.№13Решение. Если хо– абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = –4 –18хо. Аналогично задаче№12 найдем хо:9xo2+ (–4 –18хо)xo+20 = – 4хo – 5, 9xo2–4xo –18хо2+20 + 4хo + 5 = 0,–9xo2+25 = 0,хо2 = 25/9. Откуда xo = 5/3или xo = –5/3. Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = –4 –18∙ 5/3, имеем b = –34. Ответ: –34.Прямая у = 2х – 6является касательной к графику функции х2+ 12х + с. Найдите с.№14Решение. Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной. 2хо + 12 = 2, откуда xo= –5. Значение исходной функции в точке –5 равно: 25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2∙(–5) – 6, откуда с = 19. Ответ: 19.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.№15Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t),равна значению производной функции хnput = to, искомая скорость будет равнаx ′(t) = 0,5 ∙ 2t – 2 = t – 2,x ′(6) = 6 – 2 = 4м/с.Ответ: 4.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 22, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с?№16Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t),равна значению производной функции хnput = to, искомая скорость будет равнаx ′(to) = 0,5 ∙ 2to – 2 = to – 2,Т.к. по условию, x ′(to) = 4, то to – 2 = 4, откуда to = 4 + 2 = 6м/с.Ответ: 6.На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–8; 6).Найдите сумму точек экстремума функции f(x).№17Решение: Точки экстремума – это точки минимума и максимума. Видно, что таких точек принадлежащих промежутку (–8; 6) пять. Найдем сумму их абсцисс: -6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6.у = f ′(x) Ответ: 6.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) – функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). Найдите промежутки возрастания функцииf(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. Решение: Заметим, что функция f(x)возрастает, если производная функции положительна; а значит, необходимо найти сумму целых точек, входящих в промежутки возрастания функции.Таких точек 7:х = −3, х = −2, х = 3, х = 4, х = 5, х = 6, х = 7.Их сумма: −3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20у = f ′(x) ++3-357Ответ: 20.Используемые материалы
LIETOŠANA 2012. Matemātika. Uzdevums B8. Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Darba burtnīca / Red. A.L. Semenovs un I.V. Jaščenko. 3. izdevums stereotips. - M.: MTSNMO, 2012. - 88 lpp.http://mathege.ru/or/ege/Main− Atvērtās matemātikas uzdevumu bankas materiāli 2012. gadā
