สัญญาณแรกของเส้นคู่ขนาน สัญญาณความขนานของสองเส้น

บทเรียนวิดีโอ "สัญญาณของการขนานกันของสองบรรทัด" มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่อธิบายสัญญาณที่หมายถึงเส้นคู่ขนาน ในเวลาเดียวกันวิดีโออธิบาย 1) ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความขนานของเส้นซึ่งมุมเท่ากันถูกสร้างขึ้นโดยซีแคนต์ 2) เครื่องหมายที่หมายถึงความขนานของสองเส้น - ที่มุมที่สอดคล้องกันที่เกิดขึ้น 3) เครื่องหมาย นั่นหมายถึงความขนานกันของเส้นสองเส้นในกรณีที่เมื่อตัดมุมด้านเดียวของซีแคนต์รวมกันได้ 180° จุดประสงค์ของบทเรียนวิดีโอนี้คือเพื่อให้นักเรียนคุ้นเคยกับเครื่องหมายที่หมายถึงความขนานกันของสองบรรทัด ความรู้ซึ่งจำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติหลายอย่าง เพื่อนำเสนอการพิสูจน์ทฤษฎีบทเหล่านี้ด้วยสายตา เพื่อสร้างทักษะในการพิสูจน์ข้อความทางเรขาคณิต

ข้อดีของบทเรียนวิดีโอเกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่าด้วยความช่วยเหลือของแอนิเมชั่นคำแนะนำด้วยเสียงความสามารถในการเน้นด้วยสีมันให้ทัศนวิสัยในระดับสูงสามารถใช้แทนการจัดหาบล็อกมาตรฐานของ ใหม่ สื่อการศึกษาครู.

บทเรียนวิดีโอเริ่มต้นด้วยการแสดงชื่อบนหน้าจอ ก่อนที่จะอธิบายสัญญาณของการขนานกันของเส้นตรง นักเรียนจะได้รับการแนะนำให้รู้จักกับแนวคิดของซีแคนต์ ซีแคนต์ถูกกำหนดให้เป็นเส้นที่ตัดกับเส้นอื่น หน้าจอแสดงเส้น a และ b ที่ตัดกับเส้น c เส้นที่สร้างขึ้น c ถูกเน้นด้วยสีน้ำเงิน โดยเน้นว่าเป็นซีแคนต์ของเส้นที่กำหนด a และ b ในการพิจารณาสัญญาณของการขนานกันของเส้น จำเป็นต้องทำความคุ้นเคยกับพื้นที่จุดตัดของเส้นให้มากขึ้น ซีแคนต์ที่จุดตัดที่มีเส้นตรงประกอบเป็นมุม 8 มุม ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8 โดยการวิเคราะห์อัตราส่วนที่สามารถรับเครื่องหมาย ของการขนานกันของเส้นเหล่านี้ สังเกตได้ว่ามุม ∠3 และ ∠5 รวมทั้ง ∠2 และ ∠4 เรียกว่าแนวขวาง คำอธิบายโดยละเอียดได้รับโดยใช้แอนิเมชันของการจัดเรียงมุมนอนขวางเป็นมุมที่อยู่ระหว่างเส้นคู่ขนานและต่อกับเส้นที่อยู่ตามขวาง จากนั้นให้แนวคิดของมุมด้านเดียว ซึ่งรวมถึงคู่ ∠4 และ ∠5 เช่นเดียวกับ ∠3 และ ∠6 นอกจากนี้ยังระบุคู่ของมุมที่สอดคล้องกันซึ่งมี 4 คู่ในภาพที่สร้างขึ้น - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7

ในส่วนถัดไปของวิดีโอสอน จะพิจารณาสัญญาณความขนานสามประการของสองบรรทัดใดๆ คำอธิบายแรกจะปรากฏขึ้น ทฤษฎีบทนี้ระบุว่าถ้ามุมตัดที่เกิดจากเซแคนต์เท่ากัน เส้นที่กำหนดจะขนานกัน คำสั่งนี้มาพร้อมกับภาพวาด ซึ่งแสดงเส้นตรงสองเส้น a และ b และ AB ซีแคนต์ สังเกตว่ามุมนอน ∠1 และ ∠2 ก่อตัวเป็นแนวขวางเท่ากัน คำสั่งนี้ต้องมีหลักฐาน

กรณีพิเศษที่พิสูจน์ได้ง่ายที่สุดคือเมื่อมุมที่กำหนดที่เกิดจากกากบาทเป็นมุมฉาก ซึ่งหมายความว่าซีแคนต์ตั้งฉากกับเส้นตรง และตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว ในกรณีนี้ เส้น a และ b จะไม่ตัดกัน นั่นคือ มันขนานกัน หลักฐานสำหรับกรณีพิเศษนี้อธิบายโดยใช้ตัวอย่างของรูปภาพที่สร้างขึ้นถัดจากรูปแรก โดยเน้นรายละเอียดที่สำคัญของการพิสูจน์ด้วยความช่วยเหลือของแอนิเมชัน

เพื่อพิสูจน์ในกรณีทั่วไป จำเป็นต้องวาดเส้นตั้งฉากเพิ่มเติมจากจุดกึ่งกลางของส่วน AB ไปยังเส้น a นอกจากนี้ บนเส้นตรง b จะมีการพล็อตส่วน VN 1 เท่ากับส่วน AN จากจุด H 1 ที่ได้รับในกรณีนี้ จะมีการลากส่วนเชื่อมต่อจุด O และ H 1 ถัดไป พิจารณาสามเหลี่ยมสองรูป ΔONA และ ΔOBN 1 ซึ่งความเท่าเทียมกันได้รับการพิสูจน์โดยเกณฑ์แรกสำหรับความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมสองรูป ด้าน OA และ OB นั้นเท่ากันในการก่อสร้าง เนื่องจากจุด O ถูกทำเครื่องหมายว่าอยู่ตรงกลางของส่วน AB ด้าน HA และ H 1 B เท่ากันในการก่อสร้าง เนื่องจากเราแยกส่วน H 1 B ออกจากกัน เท่ากับ HA และมุม ∠1=∠2 ตามเงื่อนไขของปัญหา เนื่องจากสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นนั้นมีค่าเท่ากัน ดังนั้นมุมและด้านคู่ที่เหลือที่สอดคล้องกันจึงมีค่าเท่ากัน จากนี้ไปเซ็กเมนต์ OH 1 คือความต่อเนื่องของเซ็กเมนต์ OH ประกอบเป็นหนึ่งเซ็กเมนต์ HH 1 สังเกตว่าเนื่องจากส่วนที่สร้างขึ้น OH ตั้งฉากกับเส้นตรง a จากนั้นตามลำดับ ส่วน HH 1 จะตั้งฉากกับเส้นตรง a และ b ความจริงข้อนี้หมายความว่า การใช้ทฤษฎีบทขนานสำหรับเส้นที่สร้างเส้นตั้งฉากหนึ่งเส้น ให้เส้นที่กำหนด a และ b ขนานกัน

ทฤษฎีบทต่อไปที่ต้องพิสูจน์คือสัญญาณของความเท่าเทียมกันของเส้นคู่ขนานโดยความเสมอภาคของมุมที่สอดคล้องกันที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของซีแคนต์ ข้อความของทฤษฎีบทที่ระบุจะแสดงบนหน้าจอและนักเรียนสามารถเสนอให้บันทึกได้ หลักฐานเริ่มต้นด้วยการสร้างบนหน้าจอของเส้นคู่ขนาน a และ b ซึ่งสร้างซีแคนต์ c เน้นเป็นสีน้ำเงินในภาพ ซีแคนต์สร้างมุมที่สอดคล้องกัน ∠1 และ ∠2 ซึ่งโดยเงื่อนไขจะเท่ากัน มุมที่อยู่ติดกัน ∠3 และ ∠4 จะถูกทำเครื่องหมายด้วย ∠2 เทียบกับมุม ∠3 เป็นมุมแนวตั้ง และมุมแนวตั้งจะเท่ากันเสมอ นอกจากนี้ มุม ∠1 และ ∠3 ยังขนานกัน - ความเท่าเทียมกัน (ตามข้อความที่พิสูจน์แล้ว) หมายความว่าเส้น a และ b ขนานกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ส่วนสุดท้ายของวิดีโอกวดวิชานี้ใช้เพื่อพิสูจน์ข้อความที่ว่าหากผลรวมของมุมด้านเดียวที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของสองเส้นบางเส้นโดยเส้นซีแคนต์เท่ากับ 180 ° เส้นเหล่านี้จะขนานกับแต่ละเส้น อื่นๆ. หลักฐานแสดงโดยใช้ภาพวาดที่แสดงเส้น a และ b ตัดกับซีแคนต์ค มุมที่เกิดจากทางแยกจะถูกทำเครื่องหมายเหมือนกับหลักฐานก่อนหน้า ตามเงื่อนไข ผลรวมของมุม ∠1 และ ∠4 เท่ากับ 180° เป็นที่ทราบกันว่าผลรวมของมุม ∠3 และ ∠4 เท่ากับ 180° เนื่องจากพวกมันอยู่ติดกัน ซึ่งหมายความว่ามุม ∠1 และ ∠3 เท่ากัน ข้อสรุปนี้ให้สิทธิที่จะยืนยันว่าเส้น a และ b ขนานกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

บทเรียนวิดีโอ "สัญญาณของการขนานกันของสองบรรทัด" สามารถใช้โดยครูเป็นบล็อกอิสระที่แสดงให้เห็นถึงการพิสูจน์ของทฤษฎีบทเหล่านี้แทนที่คำอธิบายของครูหรือประกอบ คำอธิบายโดยละเอียดทำให้สามารถใช้สื่อสำหรับ การศึกษาด้วยตนเองและจะช่วยอธิบายเนื้อหาในการเรียนทางไกล

ขนานกันเป็นอย่างมาก คุณสมบัติที่มีประโยชน์ในเรขาคณิต ที่ ชีวิตจริง ด้านขนานช่วยให้คุณสร้างสิ่งที่สวยงามและสมมาตรซึ่งดึงดูดสายตาทุกสายตา ดังนั้นเรขาคณิตจึงจำเป็นต้องมีวิธีตรวจสอบความขนานนี้เสมอ เราจะพูดถึงสัญญาณของเส้นคู่ขนานในบทความนี้

นิยามความขนาน

ให้เราแยกแยะคำจำกัดความที่คุณจำเป็นต้องรู้เพื่อพิสูจน์สัญญาณของการขนานกันของสองบรรทัด

เส้นจะเรียกว่าขนานหากไม่มีจุดตัดกัน นอกจากนี้ ในการแก้ปัญหา เส้นขนานมักจะไปร่วมกับเส้นซีแคนต์

เส้นตัดคือเส้นที่ตัดกับเส้นคู่ขนานทั้งสอง ในกรณีนี้มุมนอนมุมที่สอดคล้องกันและมุมด้านเดียวจะเกิดขึ้นตามขวาง มุมคู่ที่ 1 และ 4 จะอยู่ตรงข้ามกัน 2 และ 3; 8 และ 6; 7 และ 5 ที่สอดคล้องกันจะเป็น 7 และ 2; 1 และ 6; 8 และ 4; 3 และ 5

ฝ่ายเดียว 1 และ 2; 7 และ 6; 8 และ 5; 3 และ 4

เมื่อจัดรูปแบบอย่างถูกต้อง จะมีการเขียนไว้ว่า: "มุมตัดขวางที่มีเส้นขนานสองเส้น a และ b และซีแคนต์ c" เพราะสำหรับเส้นคู่ขนานสองเส้น อาจมีซีแคนต์จำนวนไม่จำกัด ดังนั้นคุณต้องระบุว่าต้องการตัดซีแคนต์ใด

นอกจากนี้ สำหรับการพิสูจน์ เราต้องการทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งระบุว่ามุมภายนอกของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมสองมุมของสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน

ป้าย

สัญญาณทั้งหมดของเส้นคู่ขนานเชื่อมโยงกับความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของมุมและทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม

คุณลักษณะ 1

เส้นสองเส้นขนานกันถ้ามุมตัดกันเท่ากัน

พิจารณาสองบรรทัด a และ b ที่มีซีแคนต์ c มุมนอนขวาง 1 และ 4 เท่ากัน สมมติว่าเส้นไม่ขนานกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นตัดกันและควรมีจุดตัด M จากนั้นสามเหลี่ยม AVM จะเกิดมุมภายนอกเท่ากับ 1 มุมภายนอกจะต้องเท่ากับผลรวมของมุม 4 และ AVM ที่ไม่อยู่ติดกันตาม ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายนอกในรูปสามเหลี่ยม แต่ปรากฎว่ามุม 1 มากกว่ามุม 4 และสิ่งนี้ขัดแย้งกับเงื่อนไขของปัญหา ซึ่งหมายความว่าไม่มีจุด M เส้นไม่ตัดกัน นั่นคือ มันขนานกัน

ข้าว. 1. การวาดภาพเพื่อพิสูจน์

คุณสมบัติ 2

เส้นสองเส้นขนานกันถ้ามุมตัดที่เท่ากันนั้นเท่ากัน

พิจารณาสองบรรทัด a และ b ที่มีซีแคนต์ c มุมที่สอดคล้องกัน 7 และ 2 เท่ากัน ให้ความสนใจกับมุม 3 กัน มันคือแนวตั้งสำหรับมุม 7 ดังนั้นมุม 7 กับ 3 จึงเท่ากัน มุม 3 และ 2 ก็เท่ากัน เนื่องจาก<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.

ข้าว. 2. การวาดภาพเพื่อพิสูจน์

คุณสมบัติ 3

เส้นสองเส้นขนานกันหากผลรวมของมุมด้านเดียวเท่ากับ 180 องศา

ข้าว. 3. การวาดภาพเพื่อพิสูจน์

พิจารณาสองบรรทัด a และ b ที่มีซีแคนต์ c ผลรวมของมุมด้านเดียว 1 และ 2 คือ 180 องศา มาสนใจมุม 1 กับ 7 กัน พวกมันอยู่ประชิดกัน นั่นคือ:

$$<1+<7=180$$

$$<1+<2=180$$

ลบวินาทีจากนิพจน์แรก:

$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$

$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$

$$<1+<7-<1-<2=0$$

$$<7-<2=0$$

$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.

เราได้เรียนรู้อะไรบ้าง?

เราวิเคราะห์ในรายละเอียดว่ามุมใดที่ได้เมื่อตัดเส้นคู่ขนานด้วยเส้นที่สาม ระบุและอธิบายรายละเอียดการพิสูจน์สัญญาณทั้งสามของการขนานกันของเส้น

แบบทดสอบหัวข้อ

การให้คะแนนบทความ

คะแนนเฉลี่ย: 4.1. คะแนนที่ได้รับทั้งหมด: 220

ความขนานของเส้นสองเส้นสามารถพิสูจน์ได้บนพื้นฐานของทฤษฎีบท ซึ่งเส้นตั้งฉากสองเส้นที่วาดตามเส้นเดียวจะขนานกัน มีสัญญาณบางอย่างของเส้นขนาน - มีสามสัญญาณและเราจะพิจารณาสิ่งเหล่านี้อย่างเจาะจงมากขึ้น

สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกัน

เส้นจะขนานกัน ถ้าที่จุดตัดของเส้นที่สาม มุมภายในที่เกิดขึ้นซึ่งวางขวางนั้นเท่ากัน

สมมติว่า ที่จุดตัดของเส้น AB และ CD ที่มีเส้นตรง EF มุม /1 และ /2 ถูกสร้างขึ้น เท่ากัน เนื่องจากเส้นตรง EF วิ่งบนความชันเท่ากันเมื่อเทียบกับเส้นตรงอีกสองเส้น ที่จุดตัดของเส้นตรง เราใส่จุด Ki L - เรามีส่วนของเซแคนต์ EF เราหาจุดกึ่งกลางและใส่จุด O (รูปที่ 189)

บนเส้น AB เราวางเส้นตั้งฉากจากจุด O เรียกมันว่า OM เราตั้งฉากต่อไปจนกว่าจะตัดกับเส้นซีดี เป็นผลให้บรรทัดเดิม AB ตั้งฉากกับ MN อย่างเคร่งครัดซึ่งหมายความว่า CD _ | _ MN แต่คำสั่งนี้ต้องมีการพิสูจน์ จากการวาดเส้นตั้งฉากกับเส้นตัด เราจึงได้รูปสามเหลี่ยมสองรูป หนึ่งในนั้นคือ MINE ส่วนที่สองคือ NOK ลองพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติม เครื่องหมายเส้นคู่ขนาน ป.7

สามเหลี่ยมเหล่านี้มีค่าเท่ากัน เพราะตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท /1 = /2 และตามการสร้างสามเหลี่ยม ด้าน OK = ด้าน OL มุม MOL =/NOK เนื่องจากเป็นมุมแนวตั้ง จากนี้ไปว่าด้านและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของรูปสามเหลี่ยมด้านใดด้านหนึ่งจะเท่ากับด้านและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของอีกรูปสามเหลี่ยมตามลำดับ ดังนั้นสามเหลี่ยม MOL \u003d สามเหลี่ยม NOK และด้วยเหตุนี้มุม LMO \u003d มุม KNO แต่เรารู้ว่า / LMO เป็นมุมฉาก ซึ่งหมายความว่ามุมที่สอดคล้องกัน KNO ก็ถูกต้องเช่นกัน นั่นคือ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าทั้งเส้น AB และเส้น CD ตั้งฉากกับเส้น MN นั่นคือ AB และ CD ขนานกัน นี่คือสิ่งที่เราต้องพิสูจน์ ให้เราพิจารณาสัญญาณที่เหลือของเส้นคู่ขนาน (คลาส 7) ซึ่งแตกต่างจากสัญญาณแรกในการพิสูจน์

สัญญาณที่สองของความเท่าเทียมกัน

จากเครื่องหมายที่สองของการขนานกันของเส้นตรง เราต้องพิสูจน์ว่ามุมที่ได้จากกระบวนการตัดกันของเส้นคู่ขนาน AB และ CD โดยเส้น EF จะเท่ากัน ดังนั้น สัญญาณของการขนานกันของเส้นสองเส้น ทั้งเส้นแรกและเส้นที่สอง จะขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันของมุมที่ได้รับเมื่อข้ามเส้นที่สาม เราคิดว่า /3 = /2 และมุม 1 = /3 เนื่องจากเป็นแนวตั้ง ดังนั้น และ /2 จะเท่ากับมุม 1 อย่างไรก็ตาม ควรคำนึงว่าทั้งมุม 1 และมุม 2 เป็นมุมภายในที่เป็นมุมนอนตะแคง ดังนั้นจึงยังคงเป็นสำหรับเราที่จะใช้ความรู้ของเรา กล่าวคือ สองส่วนจะขนานกัน ถ้าที่จุดตัดกับเส้นที่สาม มุมที่เกิดขึ้นและนอนตะแคงจะเท่ากัน ดังนั้นเราจึงพบว่า AB || ซีดี.

เราพิสูจน์ได้ว่าภายใต้เงื่อนไขที่ว่าเส้นตั้งฉากสองเส้นขนานกับเส้นตรงเส้นเดียว ตามทฤษฎีบทที่สอดคล้องกัน เครื่องหมายของเส้นคู่ขนานนั้นชัดเจน

สัญญาณที่สามของความเท่าเทียม

นอกจากนี้ยังมีเกณฑ์ที่สามสำหรับการขนานซึ่งพิสูจน์โดยผลรวมของมุมภายในด้านเดียว การพิสูจน์เครื่องหมายความขนานของเส้นดังกล่าวทำให้เราสามารถสรุปได้ว่าเส้นสองเส้นจะขนานกัน หากเมื่อพวกมันตัดกับเส้นที่สาม ผลรวมของมุมภายในด้านเดียวที่ได้รับจะเท่ากับ 2d ดู รูปภาพ 192

พวกเขาไม่ตัดกันไม่ว่าจะดำเนินต่อไปนานแค่ไหน ความขนานของเส้นในการเขียนระบุไว้ดังนี้: AB|| จากอี

ความเป็นไปได้ของการมีอยู่ของเส้นดังกล่าวได้รับการพิสูจน์โดยทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท.

ผ่านจุดใดๆ นอกเส้นที่กำหนด เราสามารถลากเส้นขนานกับเส้นนี้ได้.

อนุญาต ABสายนี้และ จากบางจุดถ่ายนอกมัน ต้องพิสูจน์ว่า จากคุณสามารถวาดเส้นตรงได้ ขนานAB. มาลงกัน ABจากจุดหนึ่ง จาก ตั้งฉากจากดีแล้วเราจะ จากอี^ จากดี, สิ่งที่เป็นไปได้. ตรง CEขนาน AB.

สำหรับการพิสูจน์ เราถือว่าตรงกันข้าม นั่นคือ CEทางแยก ABในบางจุด เอ็ม. จากนั้นจากจุด เอ็มเป็นเส้นตรง จากดีเราจะมีฉากตั้งฉากสองแบบที่แตกต่างกัน เอ็มดีและ นางสาวซึ่งเป็นไปไม่ได้ วิธี, CEตัดกับ .ไม่ได้ AB, เช่น. จากอีขนาน AB.

ผลที่ตามมา

สองฉากตั้งฉาก (Cอีและดีบี) เป็นเส้นตรงหนึ่งเส้น (Cดี) ขนานกัน

สัจพจน์ของเส้นขนาน

จากจุดเดียวกัน เป็นไปไม่ได้ที่จะลากเส้นสองเส้นขนานกับเส้นเดียวกัน

ดังนั้นถ้าเป็นเส้นตรง จากดี, ลากผ่านจุด จากขนานกับเส้นตรง ABแล้วสายอื่นๆ จากอีผ่านจุดเดียวกัน จากขนานกันไม่ได้ AB, เช่น. เธอพูดต่อ ตัดกับ AB.

การพิสูจน์ความจริงที่ไม่ชัดเจนนี้กลับกลายเป็นว่าเป็นไปไม่ได้ เป็นที่ยอมรับโดยไม่มีหลักฐานเป็นสมมติฐานที่จำเป็น (postulatum)

ผลที่ตามมา.

1. ถ้า ตรง(จากอี) ตัดกับหนึ่งใน ขนาน(SW) แล้วตัดกับอีกอัน ( AB) เพราะมิฉะนั้นผ่านจุดเดียวกัน จากเส้นตรงสองเส้นขนานกัน ABซึ่งเป็นไปไม่ได้

2. ถ้าคนละอย่างกัน โดยตรง (อาและบี) ขนานกับบรรทัดที่สามเดียวกัน ( จาก) แล้วพวกเขา ขนานกันระหว่างกัน

แท้จริงแล้วถ้าเราคิดว่า อาและ บีตัดกันในบางจุด เอ็มแล้วเส้นตรงสองเส้นที่ขนานกันจะผ่านจุดนี้ จากซึ่งเป็นไปไม่ได้

ทฤษฎีบท.

ถ้า เส้นตรงตั้งฉากถึงเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่ง แล้วตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่ง ขนาน.

อนุญาต AB || จากดีและ EF ^ AB.มันต้องพิสูจน์ว่า EF ^ จากดี.

ตั้งฉากอีF, ตัดกับ AB, จะตัดกันอย่างแน่นอนและ จากดี. ให้จุดสี่แยกเป็น ชม.

สมมุติว่าตอนนี้ จากดีไม่ตั้งฉากกับ EH. แล้วสายอื่นๆ เช่น HK, จะตั้งฉากกับ EHและด้วยเหตุนี้จึงผ่านจุดเดียวกัน ชมสอง ขนานตรง AB: หนึ่ง จากดี, ตามเงื่อนไข, และอื่นๆ HKตามที่ได้พิสูจน์มาก่อน เนื่องจากสิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ จึงไม่สามารถสันนิษฐานได้ว่า SWไม่ได้ตั้งฉากกับ EH.

สัญญาณความขนานของสองเส้น

ทฤษฎีบทที่ 1 ถ้าอยู่ที่จุดตัดของเส้นตัดสองบรรทัด:

มุมนอนในแนวทแยงเท่ากันหรือ

มุมที่สอดคล้องกันมีค่าเท่ากันหรือ

ผลรวมของมุมด้านเดียวคือ 180° แล้ว

เส้นขนานกัน(รูปที่ 1).

การพิสูจน์. เราจำกัดตัวเองไว้ที่หลักฐานของกรณีที่ 1

สมมติว่าที่จุดตัดของเส้น a และ b โดยเส้นตัด AB ข้ามมุมนอนเท่ากัน ตัวอย่างเช่น ∠ 4 = ∠ 6 ให้เราพิสูจน์ว่า || ข.

สมมติว่าเส้น a และ b ไม่ขนานกัน จากนั้นพวกมันตัดกันที่จุดหนึ่ง M และดังนั้นหนึ่งในมุม 4 หรือ 6 จะเป็นมุมภายนอกของสามเหลี่ยม ABM เพื่อความชัดเจน ∠ 4 เป็นมุมด้านนอกของสามเหลี่ยม ABM และ ∠ 6 เป็นมุมด้านใน จากทฤษฎีบทที่มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมที่ ∠ 4 มากกว่า ∠ 6 และสิ่งนี้ขัดแย้งกับเงื่อนไข ซึ่งหมายความว่าเส้น a และ 6 ไม่สามารถตัดกัน ดังนั้นจึงขนานกัน

ข้อพิสูจน์ 1 เส้นตรงสองเส้นในระนาบตั้งฉากกับเส้นเดียวกันนั้นขนานกัน(รูปที่ 2).

ความคิดเห็น วิธีที่เราเพิ่งพิสูจน์กรณีที่ 1 ของทฤษฎีบท 1 เรียกว่าวิธีการพิสูจน์โดยขัดแย้งหรือลดความไร้สาระ วิธีนี้ได้ชื่อแรกเพราะในตอนต้นของการให้เหตุผล มีการตั้งสมมติฐานที่ตรงกันข้าม (ตรงกันข้าม) กับสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์ เรียกว่าการลดความไร้สาระเนื่องจากการโต้เถียงบนพื้นฐานของสมมติฐานที่ทำขึ้นเราได้ข้อสรุปที่ไร้สาระ (ความไร้สาระ) การได้รับข้อสรุปดังกล่าวบังคับให้เราปฏิเสธสมมติฐานที่ทำขึ้นในตอนเริ่มต้นและยอมรับข้อสันนิษฐานที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ภารกิจที่ 1สร้างเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนด M และขนานกับเส้นที่กำหนด a ไม่ผ่านจุด M

วิธีการแก้. เราลากเส้น p ผ่านจุด M ตั้งฉากกับเส้น a (รูปที่ 3)

จากนั้นเราลากเส้น b ผ่านจุด M ตั้งฉากกับเส้น p เส้น b ขนานกับเส้น a ตามผลของทฤษฎีบท 1

ข้อสรุปที่สำคัญดังต่อไปนี้จากปัญหาที่พิจารณา:
โดยผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่ในเส้นที่กำหนด เราสามารถลากเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดได้เสมอ.

คุณสมบัติหลักของเส้นคู่ขนานมีดังนี้

สัจพจน์ของเส้นขนาน ผ่านจุดที่กำหนดไม่ใช่บนเส้นที่กำหนด มีเพียงหนึ่งเส้นขนานกับเส้นที่กำหนด

พิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของเส้นคู่ขนานที่ตามมาจากสัจพจน์นี้

1) หากเส้นตัดกับเส้นคู่ขนานเส้นใดเส้นหนึ่ง แสดงว่าเส้นนั้นตัดกับอีกเส้นหนึ่ง (รูปที่ 4)

2) หากเส้นสองเส้นขนานกันกับเส้นที่สาม แสดงว่าขนานกัน (รูปที่ 5)

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ก็เป็นจริงเช่นกัน

ทฤษฎีบทที่ 2 หากเส้นคู่ขนานกันตัดกันด้วยซีแคนต์ ดังนั้น:

มุมนอนเท่ากัน

มุมที่สอดคล้องกันมีค่าเท่ากัน

ผลรวมของมุมด้านเดียวคือ 180°

ผลที่ 2 หากเส้นตั้งฉากกับเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้น เส้นนั้นก็จะตั้งฉากกับเส้นอีกเส้นหนึ่งด้วย(ดูรูปที่ 2)

ความคิดเห็น ทฤษฎีบทที่ 2 เรียกว่าผกผันของทฤษฎีบทที่ 1 บทสรุปของทฤษฎีบทที่ 1 คือเงื่อนไขของทฤษฎีบทที่ 2 และเงื่อนไขของทฤษฎีบทที่ 1 คือบทสรุปของทฤษฎีบทที่ 2 ไม่ใช่ทุกทฤษฎีบทที่มีการผกผัน กล่าวคือ หากทฤษฎีบทที่กำหนดเป็นจริง ทฤษฎีบทผกผันอาจเป็นเท็จ

ให้เราอธิบายสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมแนวตั้ง ทฤษฎีบทนี้สามารถกำหนดได้ดังนี้ ถ้ามุมสองมุมเป็นแนวตั้ง มุมทั้งสองจะเท่ากัน ทฤษฎีบทผกผันจะเป็นดังนี้: ถ้ามุมสองมุมเท่ากันก็จะเป็นแนวตั้ง และแน่นอนว่าสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง มุมสองมุมเท่ากันไม่จำเป็นต้องเป็นแนวตั้งเลย

ตัวอย่าง 1เส้นขนานสองเส้นตัดกันด้วยเส้นที่สาม เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าความแตกต่างระหว่างมุมด้านเดียวภายในสองมุมคือ 30° หามุมเหล่านั้น

วิธีการแก้. ให้รูปที่ 6 เป็นไปตามเงื่อนไข